华南理工大学 线性代数与解析几何 试卷
大学数学(08)试卷A答案
华南理工大学期末考试《 解析几何》试卷A 答案与评分标准一. 解:(1) 又直线的坐标式参数方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=tz t y t x 211 设交点处对应的参数为0t ，∴03)21()1()(2000=-+-++-⨯t t t ∴10-=t ，从而交点为（1，0，-1）。
(2) 设切点为()00,x y ,因为切线的方向数X Y ：为1:0或0:1,()()0220000101:023,1212y X Y x x y y ⎧+=⎪=⎨⎪++=⎩--0x 当：时，由方程组解得切点为，或，，∴ 平行于x 轴的切线方程为y=2与y=-2.(3) x 2+y 2＝2z(4) (－1):1, 抛物型.(5) 30162=-'+'y x , 053=--y x .(6) (-12,-26,8)(7) 二次曲线的矩阵为12012321002⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦且{}{}()()00,,1,,1,v X Y k x y k ===()()()()()21211002002100200430,1,3,11).1,,10,2132).3,,,150,21,3,k k k k k F x y X F x y Y k F x y X F x y Y k φ=-+====+=-+≠=+=-+≠∴=k,1则当时当时时原直线与二次曲线交于一个实点.(8) 设所求的平面为：0)25()134(=+-++-+-z y x z y x λ欲使平面通过原点，则须：021=+-λ，即21=λ，故所求的平面方程为： 0)25()134(2=+-++-+-z y x z y x即：0539=++z y x .二．用向量法证明三角形的余弦定理 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .证明： 证明：（1）如图1，△ABC 中，设＝b,＝,＝a ，且|a|＝a ，|b |＝b ,|c |＝c . 则a ＝b －c , (5分)2＝(b －c )2＝b 2+2－2b ⋅＝b 2+2－2|b|||cos A . 此即 a 2＝b 2+c 2－2bc cos A. (10分)三. 给定两异面直线：01123-==-z y x 与10211zy x =-=+，试求它们的公垂线方程。
线性代数与几何答案华南理工大
线性代数与几何答案华南理工大【篇一：华南理工大学线性代数与解析几何试卷(14)】s=txt>华南理工大学期末考试《线性代数－2007》试卷a注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：开（闭）卷；一、单项选择题（每小题2分，共30分）。
1．设矩阵a1 2??3 4??, b1 23??456??, c??14?25，则下列矩阵运算无意义的是【】36??a. bacb. abcc. bcad. cab2.设n阶方阵a满足a2–e =0，其中e是n阶单位矩阵，则必有【】a. a=a-1b. a=-ec. a=ed. det(a)=13.设a为3阶方阵，且行列式det(a)=?12,则a*【】 a. ?14b. 14c. ?1d. 1 4.设a为n阶方阵，且行列式det(a)=0，则在a的行向量组中【】a.必存在一个行向量为零向量b.必存在两个行向量，其对应分量成比例c. 存在一个行向量，它是其它n-1个行向量的线性组合d. 任意一个行向量都是其它n-1个行向量的线性组合5．设向量组a1,a2,a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】 a．a1?a2,a2?a3,a3?a1 b. a1,a2,2a1?3a2 c. a2,2a3,2a2?a3 d.a1,a2,a1?a36.向量组(i): a1,?,am(m?3)线性无关的充分必要条件是【】a.(i)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出b.(i)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出 c.(i)中任意两个向量线性无关d.存在不全为零的常数k1,?,km,使k1a1kmam?0【】a．a的行向量组线性相关 b. a的列向量组线性相关 c. a的行向量组线性无关 d. a的列向量组线性无关a1x1a2x2a3x308.设ai、bi均为非零常数（i=1，2，3），且齐次线性方程组?bx?bx?bx?02233?11的基础解系含2个解向量，则必有【】a.a1a2b2b30 b.a1a2b1b20 c.a1a3a1a2a30 d.b1b2b1b2b3【】9.方程组?x?2x?x?1 有解的充分必要的条件是1233 x3x2xa123?2x1x2x31a. a=-3b. a=-2c. a=3d. a=2【】a. 方程组有无穷多解b. 方程组可能无解，也可能有无穷多解c. 方程组有唯一解或无穷多解d. 方程组无解12. n阶方阵a相似于对角矩阵的充分必要条件是a有n个【】a.互不相同的特征值b.互不相同的特征向量c.线性无关的特征向量d.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间rn的子空间的是【】a. {(a1,a2,?,an)|a1a2?0}b. {(a1,a2,?,an)|c. {(a1,a2,?,an)|a1?1}d. {(a1,a2,?,ana)|?an1i?nii0} 1}14.【】1001?1 2a. 011b. ?5?2-10 1 -1c. ?1 -11 0d.0 -10 -11 0 015.若矩阵a?0 2 a正定,则实数a的取值范围是【】 0 a 8?? a．a 8b. a＞4c．a＜-4 d．-4 ＜a＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。
华南理工大学线性代数与解析几何试卷
(1)n 矩阵，B 是m维列向量，则方程组AX B 无解是(2) 已知可逆矩阵P 使得P 1APcos sinsin cos,则 P 1A 2007P)封 题… 答… 不… 内… 线… 封…密…A, 乘一个m 阶初等矩阵, B, 右乘一个m 阶初等矩阵诚信应考,考试作弊将带来严重后果!华南理工大学期末考试(A 卷)I《2007线性代数》试卷线一、填空题(共20分)(3) 若向量组口= (0 , 4, t ), B = (2, 3, 1), 丫= (t , 2, 3)的秩为 2,则 t= (4)若A 为2n 阶正交矩阵，A *为A 的伴随矩阵，则A * =n(5)设A 为n 阶方阵，1， 2， , n 是A 的n个特征根，则i E A =i 1选择题(共20分)(1 )将矩阵A m n的第i列乘C加到第j列相当于对A :C, 左乘一个n 阶初等矩阵, D ，右乘一个n 阶初等矩阵 (4) 若A 是n 阶正交矩阵, 则以下命题那一个成立: A ，矩阵A 1为正交矩阵, B ，矩阵-A 1为正交矩阵 C ,矩阵A 为正交矩阵,D ，矩阵-A 为正交矩阵(5)4n 阶行列式A , 1, C , n的值B , -1-n三、解下列各题(共30分)511 1 1 .求向量1，在基10 , 21 , 31下的坐标310 1(3) 若n 阶方阵A , B 满足，A 2 B 2 ，则以下命题哪一个成立 A , A B ,B , r(A) r(B)C , det AdetB ,D ,r(A B) r(A B) n(2) 若A 为m x n 矩阵，B 是m 维 非零列向量，r(A) r min{ m, n} M {X : AX B, X R n }则A , M 是m 维向量空间，B ,M 是n-r 维向量空间C , M 是m-r 维向量空间,D , A , B , C 都不对集合3 5 92527 125 816254.计算矩阵A10 3列向量组生成的空间的一个基b 。
华工2006-2007线性代数试题及解答
华南理工大学期末考试《 2006线性代数 》试卷A一、填空题（每小题4分，共20分）。
0．已知正交矩阵P 使得100010002T P AP ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则2006()T P A E A P +=1．设A 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则det( 2A )=2．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是：rank(A)=rank(A,B)<n 3．4．若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t=-85．231511523()5495827x D x xx -=-，则0)(=x D 的全部根为：1、2、-3二、 选择题（每小题4分，共20分）1．行列式001010100⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为（ c ）。
DA ， 1，B ，-1C ，(1)2(1)n n -- D ，(1)2(1)n n +-2．对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于（ A ）。
A ， 左乘一个m 阶初等矩阵，B ，右乘一个m 阶初等矩阵C ， 左乘一个n 阶初等矩阵，D ，右乘一个n 阶初等矩阵3．若A 为m ×n 矩阵，()r A r n =<，{|0,}nM X AX X R ==∈。
则（ C ）。
DA ，M 是m 维向量空间，B ， M 是n 维向量空间C ，M 是m-r 维向量空间，D ，M 是n-r 维向量空间4．若n 阶方阵A 满足，2A =0，则以下命题哪一个成立（ A ）。
DA ， ()0r A =，B ， ()2n r A =C ， ()2n r A ≥，D ，()2n r A ≤5．若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ D ）。
A ，矩阵A T 为正交矩阵，B ，矩阵1A -为正交矩阵C ，矩阵A 的行列式是±1，D ，矩阵A 的特征根是±1三、解下列各题（每小题6分，共30分） 1．若A 为3阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 求det (*A )2．计算行列式111111111111a a a a。
华南理工大学 华南理工2009年641线性代数 考研真题及答案解析
1 1 （ ai ≠ 0, i = 1, 2,L , n ） 。 M 1 + an
⎛1 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ * 2、设矩阵 A = 0 1 0 ，且满足方程 A* BA = 2 BA − 9 E ，其中 A 为 A 的伴随矩 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ ⎝ ⎠
阵，试求矩阵 B 。
⎧ x1 − ax2 − 2 x3 = −1 ⎪ 3、 问： a 为何值时， 线性方程组 ⎨ x1 − x2 + ax3 = 2 有唯一解， 无解， 有无穷多解？ ⎪ 5x − 5x − 4x = 1 2 3 ⎩ 1
（C） k1 （ β 2 ＋ β 1 ）＋ k 2 （ β 2 ＋ β 3 ）＋ k 3 （ β 3 ＋ β 1 ） ； （D） k1 （ β 1 － β 2 ）＋ k 2 （ β 2 － β 3 ） 。 4、设向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 线性无关，则下列向量组线性相关的是 （A） α1 , 2α 2 ,3α 3 , 4α 4 ； （B） α1 , α1 + α 2 , α1 + α 2 + α 3 , α1 + α 2 + α 3 + α 4 ； （C） α 4 , α 3 − α 4 , α 2 − α 3 , α1 − α 2 ； （D） α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 4 , α 4 + α1 。 。
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并在有无穷多解的情况下，用基础解系表示其通解。 4、已知 R 线性变换 T 在基 η1 = (−1,1,1) ， η 2 = (1, 0, −1) ， η3 = (0,1,1) 下的矩阵为
3
⎛ 1 0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 0 ⎟ ，求 T 在基 ε1 = (1, 0, 0) ， ε 2 = (0,1, 0) ， ε 3 = (0, 0,1) 下的矩阵。 ⎜ −1 2 1 ⎟ ⎝ ⎠
华南理工大学线代考试题2008
研究生《线性代数》考试题 2008年12月姓名 院（系） 学号一、单项选择题：（每小题 4分，共24分）1、已知A 是n 阶方阵，则|A **|=_________，其中A **是指A 的伴随矩阵的伴随矩阵（a ） |A|1-n （b ） ()21-n A（c ） |A|1+n （d ）||1A2、设n 阶方阵A 满足A 2＋2A ＋3E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有_________。
A. 矩阵A 是实矩阵B. A=-EC. det(A)=1D. -1是矩阵A 的一个特征值3、下列结论成立的是_______________（a ）1α，……，s α线性无关，则任一向量i α不能由其余向量线性表示 （b ）1α，……，s α线性相关，则任一向量i α可由其余向量线性表示 （c ）1α，……，s α线性相关，至少存在某两向量成比例（d ）1α，……，s α中任意两向量不成比例，则1α，……，s α线性无关4、已知矩阵A 53⨯的秩为3，1β ，2β，3β是线性方程组AX ＝B 的三个线性无关的解，则 AX ＝B 的通解可表示为：_____________（a ）1k 1β＋2k 2β＋3k 3β （b ）1k （2β－1β）＋2k （3β－1β）＋1β （c ）1k （2β＋1β）＋2k （2β＋3β）＋3k （3β＋1β） （d ）1k （1β－2β）＋2k （2β－3β）5、设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是_________。
A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 1321,,a a a a －6、n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个_________A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量二、填空题（每小题 4分，共24分）1、设矩阵,1 00 2,1 0 23 1- 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A 记T A 为A 的转置，*B 为B 的伴随矩阵，则*B A T= 。
华南理工大学期中考试
华南理工大学线性代数与解析几何期中考试
一．选择题
1.设A 为n 阶对称矩阵, B 为n 阶反对称矩阵, 则下列矩阵中为反对称矩阵的是( ).
(A)BA AB -; (B)BA AB +; (C)2)(AB ; (D)BAB ;
2.均为n 阶方阵, 则下面结论正确的是( ).
(A)若A 或B 可逆, 则AB 必可逆; (B)若A 或B 不可逆, 则AB 必不可逆; (C)若B A 、均可逆, 则B A +必可逆; (D)若B A 、均不可逆, 则B A +必不可逆.
3.若n 阶方阵B A 、都可逆, 且BA AB =, 则下列( )结论错误.
(A)11--=BA B A ; (B)A B AB 11--=; (C)1111----=A B B A ; (D)11--=AB BA ;
4.设C B A 、、为同阶方阵, 且E ABC =, 则下列各式中不成立的是( ).
(A)E CAB =; (B)E C A B =---111; (C)E BCA =; (D)E B A C =---111.
二．填空题
2. 求此平面方程
3.设n i a i ,3,2,1,0=≠, 且⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=-00
000000000121
n
n a a a a A ,则1-A
=
三．解答题 1.设n 阶矩阵A 和B 满足:
AB B A =+.
(1)证明: E A -为可逆矩阵, 其中E n 阶单位矩阵; (2)证明: BA AB =
;
(3)已知⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=200012031B , 求矩阵A .
2.（附加题）计算下面行列式。
线性代数与空间解析几何试卷答案及评分标准
线性代数与空间解析几何试卷答案及评分标准试卷号：B20130314一、单项选择题(将正确答案填在题中括号内，每小题4分, 共20分)1、设),,(),,,(321321b b b B a a a A ==是两个三维向量，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=609406203B A T,则=T AB （ B ）().6A ().9B ().15C ().12D2、下列矩阵中，（ D ）不是正交矩阵。
）（A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001 ）（B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ）（C ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21232321 ）（D ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222222223、二次型32232221321232),,(x tx x x x x x x f +++=是正定的，则t 的取值范围是（ C ）（A ）55<<-t (B ) 55>-<t t 或 (C) 66<<-t (D ) 66>-<t t 或4、已知3阶方阵A 的3个特征值分别为10±，，则下列命题不正确的是（C ））（A 矩阵A 为不可逆矩阵； ）（B 矩阵A 与对角阵相似； ）（C 1 和1- 所对应的特征向量是正交的； ）（D 方程组0=Ax 的基础解系由一个向量组成。
5、直线:l 182511+=--=-z y x 与平面:π032=+-+z y x 的夹角为( A )）（A 6π ）（B 4π ）（C 3π ）（D 2π 二、填空题(将正确答案填在题中横线上，每小题4分, 共20分)1、设A 为3阶矩阵，将A 的第2列的2-倍加到第1列上得到矩阵B ,若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321B ,则矩阵=A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛982365143252、设4阶矩阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩=*)(A R 0 .3、设矩阵A 满足042=-+E A A ,其中E 为A 同阶的单位矩阵，则=--1）（E AE A+24、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20224312a A ，若齐次线性方程组0=Ax 有非零解，则=a 2 。
05华工线代试题及答提示
2005年华南理工大学线性代数期考试卷姓名 班级 成绩单序号一． 填空题（15分）1．若*A 是6阶方阵A 的伴随矩阵，且rank(A)=4, 则rank(*A )=( ).2.设cos sin sin cos A αααα-⎛⎫=⎪⎝⎭，则100A =（ ）。
3．设12,3123{(,)|230}T V x x x x x x =-+=是3R 的子空间，则空间V 的维数是（ ）。
4．对称矩阵A 的全部特征根是4,-5,3,2,若已知矩阵A E β+为正定矩阵，则常数β必须大于数值（ ）。
5．已知n 阶矩阵100...0010...0001...0..................000...1000...01A λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，0λ≠，则矩阵A 的逆是二．选择题(15分)１．若A,B 是n 阶方阵，下列等式中恒等的表达式是( )A.222()AB A B =,B. 111()AB A B ---=,C. | A+B|=|A|+|B|,D. ***()AB B A =2.若A 是n 阶方阵，则Ａ为正交矩阵的充要条件不是（ ）Ａ.Ａ的列向量构成n R 的单位正交基，Ｂ．Ａ的行向量构成n R 的单位正交基， Ｃ．1T A A -=， Ｄ．d e t 1A =± 3.若1V 是空间n R 的一个k 维子空间，1,...,k αα是1V 的一组基；2V 是空间m R 的一个k 维子空间, 1,...,k ββ是2V 的一组基.且,,m n k m k n ≠<<,则( ) A.向量组1,...,k αα可以由向量组1,...,k ββ线性表示,B. 向量组1,...,k ββ可以由向量组1,...,k αα线性表示,C. 向量组1,...,k ββ与向量组1,...,k αα可以相互线性表示,D. 向量组1,...,k ββ与向量组1,...,k αα不能相互线性表示.4.若12,λλ是实对称阵A 的两个不同特征根,12,ξξ是对应的特征向量,则下列命题哪一个不成立( )A. 12,λλ都是实数,B. 12,ξξ一定正交,C. 12ξξ+有可能是A 的特征向量。
华南理工大学 线性代数与解析几何 习题 (3)
1 , 2 , , r，1 , 2 , , t 线性表示；
因此，向量组1 1 , 2 2 , , n n 可由向量组1 , 2 , , r，1 , 2 , , t 线性表示, 则rank(1 1 , 2 2 , , n n ) rank(1 , 2 , , r，1 , 2 , , t ) r t 即：rank(A B) r t rank ( A) rank ( B )
三、 (第3章第6题) 证明：若方程组 a11 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 系数矩阵的秩等于矩阵 an1 a x a x a x b nn n n n1 1 n 2 2 b1 的秩，则这个方程组有解。 a12 b2 a1n ann bn a1n b1 bn 0
九、（第四章第14题）证明V {( x1 , x2 , x3 ) | 2 x1 x2 3 x3 0}是R 3的 一个子空间，并求V 的一组基。 证： 设任意向量 =(a1 , a2 , a3 )T , (b1 , b2 , b3 )T V , 任意k , t R, 则 2a1 a2 3a3 0, 2b1 b2 3b3 0 k t (ka1 tb1 , ka2 tb2 , ka3 tb3 )T 由于 2(ka1 tb1 ) (ka2 tb2 ) 3(ka3 tb3 ) =k (2a1 a2 3a3 ) t (2b1 b2 3b3 ) 0 所以，k t V . 则V 是子空间。 x1 c1 x1 1 0 解方程组： 2 x1 x2 3 x3 0 x2 2c1 3c2 x2 c1 2 c2 3 x c x 0 1 2 3 3 则 (1,2,0)T ,(0,3,1)T 是子空间V的一组基。
华南理工大学线行代数部分习题答案
cd
4. 求相应的i,j值： (1) 17i52 j6成偶排列； 解：由于排列是7阶排列，i,j是 3,4 或 4,3
当i 3, j 4时，
(1735246) 1 2 3 4 5 6 +7
031 2110 8
1735246是偶排列，此时，i 3, j 4 i 4, j 3时，1745236是奇排列，不符合要求。
13 +23 +33 +43 23 33 43 解：原式 13 +23 +33 +43 13 23 33
13 +23 +33 +43 43 13 23 13 +23 +33 +43 33 43 13
1 23 33 43 （13 +23 +33 +43）1 13 23 33
1 43 13 23 1 33 43 13
解：行列式D不为零的元素少于n个,n行中至少 有某一行的元素全为0. 则D=0.
10 用行列式的定义计算下列行列式： a00b
（3）0 a b 0 0ba0 b00a
解：原式 (1) (1234) a11a22a33a44 (1) (1324) a11a23a32a44 (1) (4231) a14a22a33a41 (1) (4321) a14a23a32a41 (1)0 a4 (1)1a2b2 (1)5b2a2 (1)6 b4 (a2 b2)2
1 23 33 43 100 0 -7 -19 -37
0 56 -26 -56 0 19 37 -63
1 23 33 43
r38r 2
r 43r 2
0 -7 -19 -37
线性代数与解析几何复习题.docx
《钱性代就鸟解祈入何》第习龜—、矩阵部分(一) 填空题.1.设 a = ( 1 2 3 ),0 = (1,寺,*), A = a T/3, B = /3a T,则 4" = _____________________提示：A 3= a T/3a Tpa Tp = a\pa Tpa T}[i = 3a T p2. _____________________________________________________________ 设方阵A 满足"+4-4心0,其中为单位矩阵，，贝IJ (A-/)T= _____________________________ 提示：A 2+A-4I=0-A 2+A-2I-2I=0-(A-I)(A+2I)=2I-(A-I)(A+2I)/2=l3. _____________________________________________ 设方阵人满足A 2-2A-37 = 0,贝IJA -1 = ______________________________________________ 提示：A 2-2A-3I=0 〜 A(A-2A)=3I提示： 对矩阵A 施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A 的秩。
(a a 1、5.设A= a 1 a ,则当。
满足条件 ________________ 时，A 可逆.、1 a ci 丿提示：矩阵A 的行列式detA^0时，矩阵可逆。
匚)选择题 1.设n 阶矩阵A,B,C 满足则位絢阵 ，贝泌有⑷ ACB = I (B) BCA = J (C) CBA = I CD) BAC = I 提示：A 的逆矩阵为BCQ 2 3、2. 已知屋三I 址非零矩阵込则,3 12,提示：P 的列为齐次线性方程组Qx=0的解,P 非零,Qx=0有非零解，故Q 的行列式detQ=01 0 £=011 0(A) AP }P 2 = B (B) AP 2P } = B (C) P }P 2A = B (Q) P 2P }A = B-1 1-I -21 -1,则 r(A)-31 1 0 -3 11、 -14.设 A =-1 1 ,QP = 0. t =(A) -1 (B)(C) -2 (£>) 2 a 22 a 23_0 1 o - a \2如1 0 0 °32 +。
05华工线代试题
2005年华南理工大学线性代数期考试卷姓名 班级 成绩单序号一． 填空题（15分）1．若*A 是6阶方阵A 的伴随矩阵，且rank(A)=4, 则rank(*A )=( ). 2.设cos sin sin cos A αααα-⎛⎫=⎪⎝⎭，则100A =（ ）。
3．设12,3123{(,)|230}T V x x x x x x =-+=是3R 的子空间，则空间V 的维数是（ ）。
4．对称矩阵A 的全部特征根是4,-5,3,2,若已知矩阵A E β+为正定矩阵，则常数β必须大于数值（ ）。
5．已知n 阶矩阵10...0010 (00)01...0..................000 (100)...01A λλλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，0λ≠，则矩阵A 的逆是( ). 二．选择题(15分)１．若A,B 是n 阶方阵，下列等式中恒等的表达式是( ) A.222()AB A B =, B. 111()AB A B ---=, C. | A+B|=|A|+|B|, D. ***()AB B A =2.若A 是n 阶方阵，则Ａ为正交矩阵的充要条件不是（ ） Ａ.Ａ的列向量构成n R 的单位正交基，Ｂ．Ａ的行向量构成n R 的单位正交基，Ｃ．1T A A -=， Ｄ．det 1A =±3.若1V 是空间n R 的一个k 维子空间，1,...,k αα是1V 的一组基；2V 是空间m R 的一个k 维子空间, 1,...,k ββ是2V 的一组基. 且,,m n k m k n ≠<<,则( )A.向量组1,...,k αα可以由向量组1,...,k ββ线性表示,B. 向量组1,...,k ββ可以由向量组1,...,k αα线性表示,C. 向量组1,...,k ββ与向量组1,...,k αα可以相互线性表示,D. 向量组1,...,k ββ与向量组1,...,k αα不能相互线性表示.4.若12,λλ是实对称阵A 的两个不同特征根,12,ξξ是对应的特征向量,则下列命题哪一个不成立( )A. 12,λλ都是实数,B. 12,ξξ一定正交,C. 12ξξ+有可能是A 的特征向量。
华南理工大学考研真题—空间解析几何
一、判断下列命题的正误，倘若准确在( )号内打“√”，倘若不准确，在( )内打“×”。(10分)
1．若 ( )
2．若 ，则 ( )
3． ( )
4．两个相等矢量一定平行。( )
5．若 ,则 共面。( )
二、已知 为四个共面向量，且 不共线，倘若 ，证实： 。(10分)
三、已知 为单位向量， 垂直 ， 垂直于 ，求 的夹角。(10分)
四、求直线L： 在平面 上的投影直线的方程。(15分)
五、求平行于平面 且与球面 相切的平面方程。(15分)
六、设三平面的方程为： 试求满意下列条件的 值：
(1)三平面交于一点
(2)三平面通过同向来线
(3直交母线的交点轨迹。(20分)
八、求过两球面 相交圆的直圆柱面的方程。(20分)
线性代数与空间解析几何试卷答案
线性代数与空间解析几何试卷答案及评分标准试卷编号：A20130116一、单项选择题 (将正确答案填在题中括号内，每小题4分, 共20分) 1、设*A 是n 阶可逆方阵A 的伴随矩阵，下列结论中不正确的是( C ))(A 1-*=n AA )(B A AA 1)(1=-* )(C **=kA kA )( )(D T T A A )()(**= 2、设A 为m 阶可逆方阵，B 为n 阶可逆方阵，下列结论中不正确的是( D ))(A B A BA =00 )(B B A BA mn )1(00-=)(C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1110000B A B A )(D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000111B A B A 3、方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是 ( B )()A A 的行向量组线性无关 ， ()B A 的列向量组线性无关 ， ()C A 的行向量组线性相关 ， ()D A 的列向量组线性相关 .4、直线182511:1+=--=-z y x l 与直线⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x l 的夹角为（ C ） )(A 6π )(B 4π )(C 3π )(D 2π 5、对二次曲面，下列说法不正确的是（ D ）)(A 方程2222y x z +=表示旋转抛物面； )(B 方程22222y x z +=表示圆锥面； )(C 方程x y =2表示抛物柱面；)(D 方程19141222=--z y x 表示单叶双曲面。
二、填空题(将正确答案填在题中横线上，每小题4分, 共20分) 1、交换矩阵A 1、2两行得到矩阵B ,若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0638527411B,则=-1A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0368257142、向量)4,3,4(-=α在向量)1,2,2(=β上的投影=αβj Pr 23、设4元线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3)(=A R ,321,,ηηη均为此方程组的解，且,)6,4,0,2(21T=+ηη,)2,1,2,1(31T -=+ηη则方程组b Ax =的通解为T T k x )4,3,2,1()3,2,0,1(+=4、已知实二次型),,(321x x x f = 31212322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型， 则参数λ的取值范围为35<<-λ5、二次曲面4222222=++++++yz xz bxy z ay x 经过正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ζηξP z y x 化为椭圆柱面：4422=+ζη，则=a 3，=b 1.三、（10分）计算行列式：1023*********102=D解、1021023123113101610260236231631064321=+++c c c c D 5分212313121621203130121031016141312----=-------r r r r r r 8分00500501216231312=-----r r r r 10分 四、(10分) 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=654321,1121B A ，又B XA =，求矩阵X解： 1=A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-11211A 5分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-16111074311216543211BA X 10分五、(10分)设m ααα,,,21K 是两两正交的非零向量组，证明m ααα,,,21K 线性无关。
线性代数与解析几何复习考试题
《线性代数与解析几何》复习题一、矩阵部分(一)填空题.1．设()1123123,(1,,)αβ==，TT B A βαβα==,，则3___________A =.提示：A 3=βαββαβααββαβααTT T T T T T 3)(==2．设方阵A 满足240,,A A I I +-=其中为单位矩阵，1)_____________A I --=则(. 提示：A 2+A-4I=0→A 2+A-2I-2I=0→(A-I)(A+2I)=2I →(A-I)(A+2I)/2=I 3．设方阵A 满足0322=--I A A ，则=-1A ____________.提示：A 2-2A-3I=0 → A(A-2A)=3I4．设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=1301113111211111A ，则=)(A r . 提示： 对矩阵A 施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A 的秩。
5．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a a a A 111，则当a 满足条件 时，A 可逆.提示：矩阵A 的行列式detA ≠0时，矩阵可逆。
(二)选择题1．设n 阶矩阵,,,A B C ABC I I =满足为单位矩阵，则必有 （ ）（A ）I ACB = （B ）I BCA = （C ）I CBA = （D ）I BAC = 提示：A 的逆矩阵为BC2．12321,,0,312Q t P QP t ⎛⎫ ⎪=-== ⎪ ⎪⎝⎭已知是三阶非零矩阵且则 （ ）()1()1()2()2A B C D --提示：P 的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P 非零，Qx=0有非零解，故Q 的行列式detQ=0 3．1112132122232122231112131313233311132123313010,100001a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦设2100010,101P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则必有 （ ）12211221()()()()A APP B B AP P B C PP A B D P P A B ====提示：矩阵B 由矩阵A 经初等行变换得到，故在C 或D 中选择，P1、P2为初等矩阵，P1为交换第1、2行，P2为将第一行的1倍加到第三行，故选C 4．设n 维向量)21,0,,0,21(=α,矩阵ααααT T I B I A 2,+=-=,其中I 为n 阶单位矩阵,则=AB ( )()()()()T A B IC ID I αα-+提示：AB ＝ (I-αT α)(I+2αT α)=I+αT α-2 αT α αT α= I+αT α-2 αT (α αT )α=I5．A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+ （ ） （A ） B=E （B ） A=E （C ）A=B （D ）AB=BA提示：(A+B)(A-B)=AA-AB-BA-BB6．矩阵==≠≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ii 则其中 ( )A 、1B 、2C 、3D 、4 提示：A=(a 1,a 2,a 3,a 4)T (b 1,b 2,b 3,b 4) (三)计算题1．2101,02010AB I A B A I B ⎛⎫ ⎪+=+= ⎪ ⎪-⎝⎭设,为单位矩阵,求矩阵。
华南理工数学试题及答案
华南理工数学试题及答案一、单项选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. πD. 2答案：B3. 矩阵A=\[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]的行列式是（）。
A. -2B. 2C. 5D. 8答案：A4. 函数y=e^x的反函数是（）。
A. ln(x)B. e^xC. x^eD. x^2答案：A5. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C6. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点个数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C7. 函数f(x)=x^2-4x+4的值域是（）。
A. [0, +∞)B. (-∞, 0]C. (-∞, 4]D. [4, +∞)答案：A8. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^2+2x+1)的值是（）。
A. 1B. 0C. 2D. -1答案：A9. 函数y=ln(x)的定义域是（）。
A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)答案：A10. 函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴是（）。
A. x=2B. x=-2C. x=1D. x=-1答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x的导数是______。
答案：3x^2-32. 函数f(x)=x^2-4x+4的极小值是______。
答案：03. 函数f(x)=x^2-6x+8的零点是______。
答案：2和44. 函数y=e^x的不定积分是______。
答案：e^x+C5. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的单调递增区间是______。
华南理工大学《线性代数与概率统计》随堂练习及答案
第一章行列式·1.1 行列式概念1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第一章行列式·1.2 行列式的性质与计算1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B10.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C第一章行列式·1.3 克拉姆法则1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C第二章矩阵·2.2 矩阵的基本运算1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D第二章矩阵·2.3 逆矩阵1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D10.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第二章矩阵·2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C10.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D11.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B12.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A13.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第三章线性方程组·3.1 线性方程组的解1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A第三章线性方程组·3.2 线性方程组解的结构1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C第四章随机事件及其概率·4.1 随机事件1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第四章随机事件及其概率·4.2 随机事件的运算1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)甲乙两人同时向目标射击，甲射中目标的概率为0.8，乙射中目标的概率是0.85，两人同时射中目标的概率为0.68，则目标被射中的概率为（）A．0.8 ;B．0.85;C．0.97;D．0.96.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D第四章随机事件及其概率·4.4 条件概率与事件的独立性1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：AA4.(单选题)设有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.9和0.8，在两批种子中各随机取一粒，则两粒都发芽的概率为（）A．0.8 ; B．0.72 ; C．0.9 ; D．0.27 .答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)设有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.9和0.8，在两批种子中各随机取一粒，则至少有一粒发芽的概率为（）A．0.9 ; B．0.72 ; C．0.98 ; D．0.7答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C6.(单选题)设有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.9和0.8，在两批种子中各随机取一粒，则恰有一粒发芽的概率为（）A．0.1 ; B．0.3 ; C．0.27 ; D．0.26答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D第四章随机事件及其概率·4.5 全概率公式与贝叶斯公式1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第五章随机变量及其分布·5.2 离散型随机变量1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A5.(单选题)从一副扑克牌（52张）中任意取出5张，求抽到2张红桃的概率？A 0.1743;B 0.2743;C 0.3743;D 0.4743答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第五章随机变量及其分布·5.3 连续型随机变量1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A第五章随机变量及其分布·5.4 正态分布1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C。
华南理工大学 线性代数与解析几何 习题答案 (4)
所求非齐次线性方程组的通解为
= ( −16, 23, 0, 0, 0 ) + k1 (1, −2,1, 0, 0 ) + k2 (1, −2, 0,1, 0 ) + k3 ( 5, −6, 0, 0,1)
20、 （2）解：方程组的增广矩阵
λ2 1 1 1 1 1 1+ λ 1 + λ = A λ λ − λ2 1+ λ 1 −λ 1 → 0 λ 0 −λ 1 − (1 + λ )2 1 − (1 + λ ) λ 2 1 1+ λ λ2 1 1 1 1+ λ → 0 λ −λ 0 0 −3λ − λ 2
β1 + β 2 + + β s
s −1
−βj
故 α j ( j = 1, 2, , s ) 可由向量组 β i ( i = 1, 2, , s ) 线性表示 所以向量组 β i ( i = 1, 2, , s ) 与向量组 α j ( j = 1, 2, , s ) 等价.
6、 （1）证明：因不存在 λ ，使得 ξ1 = λξ 2 ，故 ξ1 , ξ 2 线性无关 （2）解：
所以线性方程组的解为
x1 = 1 x = 1 2 x3 = 1 . x = 1 4 x5 = 2
3、 （1）证明：因 r (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) ≤ 3 < 4 ，所以 α1 , α 2 , α 3 , α 4 线性相关。
3 1 4 1 2 5 1 2 5 （2）证明： (α1 , α 2 , α 4 ) = −1 1 0 → 0 3 5 → 0 1 1 1 2 5 0 4 4 0 0 2
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,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试（A 卷）《 2007线性代数 》试卷20分） （1） 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =无解的充分必要条件是：（2） 已知可逆矩阵P 使得1cos sin sin cos P AP θθθθ-⎛⎫=⎪-⎝⎭，则12007P A P -= （3） 若向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t= （4） 若A 为2n 阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A =（5） 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则1ni i E A λ=-∑ =选择题（共20分） （1） 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘C 加到第j 列相当于对A ：A ， 乘一个m 阶初等矩阵，B ，右乘一个m 阶初等矩阵C，左乘一个n阶初等矩阵，D，右乘一个n阶初等矩阵（2）若A为m×n 矩阵，B是m维非零列向量，()min{,}r A r m n=<。
集合{:,}nM X AX B X R==∈则A，M是m维向量空间，B，M是n-r维向量空间C，M是m-r维向量空间，D，A，B，C都不对（3）若n阶方阵A，B满足，22A B=，则以下命题哪一个成立A，A B=±，B，()()r A r B=C，det detA B=±，D，()()r A B r A B n++-≤（4）若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：A，矩阵1A-为正交矩阵，B，矩阵-1A-为正交矩阵C，矩阵*A为正交矩阵，D，矩阵-*A为正交矩阵（5）4n阶行列式111110100-⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为：A，1，B，-1 C，n D，-n三、解下列各题（共30分）1．求向量513β⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，在基1231110,1,1101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标。
2．设1020200,001A AB A B -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵1B --A3．计算行列式1335199251272712518181625--4.计算矩阵134926631039693394120A -⎛⎫ ⎪----⎪= ⎪---- ⎪-⎝⎭列向量组生成的空间的一个基。
5. 设120201012..................n n n a b b b b a b b A b b a b b b b a ⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭计算det A四、证明题（10分） 设12,,,r ξξξ是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系， η不是线性方程组0AX =的一个解，求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关。
五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵22123122313(,,)42f x x x x x x x x x =++-六、（8分）a 取何值时，方程组1231231232325106x x x a x x x a x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 有无数多个解？并求通解七、（4分）设矩阵A，B ，A +B 都是可逆矩阵，证明矩阵11A B --+也是可逆矩阵。
《2007年线性代数A 》参考答案一 填空题 每个四分(0) rankA<rank(A|B) 或者 rankA ≠ rank(A|B)(1) cos 2007sin 2007sin 2007cos 2007θθθθ⎛⎫⎪-⎝⎭(2)t=43± (3) 1± (4) 0二 选择题.(1) D (2) D (3) C (4) 都对 (5) A三 解答题(1) 设向量β在基123,,ααα下的坐标为123(,,)T x x x ，则112323(,,)x x x αααβ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++3153132321x x x x x x x （4分） ⎪⎩⎪⎨⎧-===326321x x x （6分） (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==+∴=+=+∴-=------100042024200012021100002020)()()(111111E A A B B E A A B A E A A B E A B A AB 则 （2分）（6分）(3)138240238119480238101901115)96(3104239511106322426208478012024240201265331-=-⨯-=--⨯⨯-=-⨯⨯⨯=--.（6分） （4）13513491349002380023800692400005008122700000()3(1,2,3,3),(4,6,6,4),(9,10,3,0)T T TA rank A ααα--⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-⎪⎪--⎝⎭⎝⎭∴==--=--=--一个基（4分）（6分） （5）0121210110220100000000000000()()1ni n n i in n ni i a b a b b b b ab b b a b b a a b a b b a a b a b b a a b a b na ab i i i a b b a b ==-⎛⎫-⎛⎫ ⎪-⎪⎪-- ⎪ ⎪- ⎪=--= ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎪-⎝⎭=+-=∑-∑∏-原式（6分） 四 证明：1231122112212123,,,,,()(),()0(1)3[()(),()]040,()05r r r r r r r k k k k k k k k k A A k k k k AX k k k k k A ξηξηξηηξηξηξηηξξξηη+++++++=-----+++++++=-----=++++=-----------------反证：假设它们线性相关，则存在一组不全为零的数使得用矩阵对上式作用得又，，为方程的一个基础解故不123112212311221212300061070010r r r r r r r r AX A k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ηξξξηξξξξξξ=≠++++=------------------+++++++=--------∴++=∴====----------------是的解故所以由（）得（）又，，线性无关五、A=021210101-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭, (2分) |A E λ- |=221210(1)(5)0101λλλλλλ---=---=--11,2λλ±==（5分）P=0⎛ （7分）21231(,,)f x x x y =+1222y+1223y （8分）六，证明112112112()3124002540022131151061510640065112112000634006532324006500063a a a A B a r r a r r a a a a r r a r r a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛ ⎪ +-↔-- ⎪ ⎪ ---⎝⎭⎝方程组的增广矩阵232()24()2630620123244111128rank A rank A B a x x x a x x x c x c ⎫⎪----⎪⎪⎭=----------------=∴-=------------------+-=⎧⎪=⎨-=-⎪⎩=⎧⎪⎪=+-----------------------⎨⎪=⎪⎩如果方程有无穷多个解则当时原方程有无数个解，且原方程等价于七1111111111111111,,()2,,()A B A B A B A E EB A BB A AB A B A B A B A B A B A B A B ----------------++=+=+=+---∴∴+∴+都是可逆矩阵有可逆也可逆-----------------3也是可逆矩阵是可逆矩阵------------------4,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试（B 卷）《 2007线性代数 》试卷20分）（1） 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有唯一解的充分必要条件是：（2） 已知可逆矩阵P 使得1cos sin sin cos P AP θθθθ-⎛⎫=⎪-⎝⎭，则120072007()P A AP --+= （3） 若向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩r 不为3，则r=（4） 若A 为2n+1阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A =（5） 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则221ni i E A λ=-∑ =二、 选择题（共20分）（1） 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘c 相当于对A ：A ， 左乘一个m 阶初等矩阵，B ，右乘一个m 阶初等矩阵C ， 左乘一个n 阶初等矩阵，D ，右乘一个n 阶初等矩阵（2） 若A 为m ×n 矩阵，()min{,}r A r m n =<。
集合{:'0,}m M X X A X R ==∈则 A ，M 是m 维向量空间， B ， M 是n-r 维向量空间 C ，M 是m-r 维向量空间， D ， A ，B ，C 都不对（3）若n 阶方阵A ，B 满足，224A B = ，则以下命题哪一个成立A ， 2AB =±， B ， ()()r A r B =C ， det 2det A B =±，D ， 都不对（4）若A 是n 阶初等矩阵，则以下命题那一个成立： A ，矩阵1A -为初等矩阵， B ，矩阵 -1A -为初等矩阵 C ，矩阵*A 为初等矩阵， D ，矩阵 -*A 为初等矩阵（5）4n+2阶行列式111110100-⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为：A ，1，B ，-1C ， nD ，-n三、解下列各题（共30分）1．求向量013β⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，在基1231110,1,1101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标。
2．设1020200,2001A AB A B -⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵1B --A3．计算行列式113351199251372712519181625--4.计算矩阵134092663103969300233A -⎛⎫ ⎪----⎪= ⎪---- ⎪--⎝⎭列向量组生成的空间的一个基。