《计算机图形学》05 图形的几何变换解析

o
x
o
T1 = 1 0 0 0 1 0 C/A 0 1
x
o
T2=
x
cosα －sinα 0 sinα cosα 0
0
0
1
y
y
y
o
T3 = 1 0 0 0 -1 0 0 0 1
x
o
x
o
T5=
x
1 0 0 0 1 0 －C/A 0 1
cosα sinα 0 T4 = －sinα cosα 0 0 0
1
组合变换矩阵为： cos2α sin2α T =T1×T2×T3×T4×T5= sin2α －cos2α (cos2α-1)C/A sin2α*C/A 0 0 1
原图形上的任意一点 P(x,y) 对该直线的对称变换都可用下
式实现 ： [x* y* 1]=[x y 1]· T
5.3 三维图形变换
三维变换矩阵可表示为： T= a d g l b e h m c p f q i r n s
h)，h是任一不为0的比例系数。 给定一个点的齐次坐标表示 : (x，y，h)， 该点的二维笛卡儿直角坐标： (x / h，y / h)。 同样，对于一个三维空间的向量(x，y，z)， 它在四维空间 中对应的向量即齐次坐标为 (x×h ，y×h ， z×h ， h) ，其中 h≠0 。 齐次坐标的概念可以推广到 n 维空间的向量。齐次坐标的 表示不是唯一的，通常当h=1时，称为规格化齐次坐标。
5.2 二维图形变换
采用齐次坐标可将二维图形变换表示成如下形式： a d 0 [ x* y* 1 ] = [ x y 1 ] b e 0 c f 1 P*
变换后的 顶点坐标
=
P
变换前的 顶点坐标
•
M
二维变换矩阵
二维变换矩阵中： a b [c d e f] 是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。 是对图形进行平移变换
y z o x
好比照相时选择拍摄的位置和方向。
左手笛卡儿坐标系(上图)：观察坐标 系的原点通常设置在观察点(视点)，Z轴作 为观察方向。 右手笛卡儿坐标系：视点确定在Z轴
视点
y
上的某一个位置，Z轴仍为观察方向(下图)。
o
视点
x z
3. 设备坐标系(Device Coordinates) 与图形设备相关连的坐标系叫设备坐标系。 例如，显示器以分辨率确定坐标单位，原点在左下角或左
二维图形变换中要注意的几个问题： 1. 旋转变换中角度正负的确定： 逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。
2. 对称变换是相对于：X轴、 Y轴、坐标原点、直线 y = x 和
直线 y = – x 3. 弄清错切变换前后的关系： 沿 X 轴方向关于 Y 的错切----- y 坐标不变，而 x 坐标与 原坐标值( x , y )及变换矩阵中的 b 有关，即 x* = x + by 沿 Y 轴方向关于 X 的错切----- x 坐标不变，而 y 坐标与 原坐标值( x , y )及变换矩阵中的 d 有关，即 y* = y + dx 并且，当 b (或 d ) > 0 时，图形沿 X (或 Y )正向错切；
一. 几种坐标系
1. 世界坐标系(World Coordinates) 为了描述被处理的对象，要在对象所在 的空间被处理对象
的描述，这个坐标系通常就称之为世界坐标 系或用户坐标系。世界坐标系一般采用右手 三维笛卡儿坐标系。 x
z
o
y
2. 观察坐标系(View Coordinates) 产生三维物体的视图，必须规定观 察点(视点)和观察方向。
当 b (或 d ) < 0 时，图形沿 X (或 Y )负向错切。
4. 二维图形的级联(组合)变换 对于复杂的图形变换，需要通过若干个变换矩阵的级联才 能实现。这里特别要注意的是矩阵级联的顺序，由于矩阵的乘 法运算不适用交换率，因此矩阵级联的顺序不同所得到的变换 结果也不相同。 例如：对任意直线的对称变换（直线方程为 Ax + By + C = 0） y y y
二. 图形变换的过程
建立物体的
变换到
在VC空间 进行裁剪
WC
VC
投影到 NDC
变换到 DC
在图形设备 上输出
三. 图形变换的特点 图形变换就是改变图形的几何关系，即改变图形顶点的坐 标，但图形的拓扑关系不变。 最基本的图形变换可以分别用矩阵形式表示为：
平移变换 P′＝P＋Tm
Tm＝[Mx My] Mx、My分别为X方 向和Y方向的平移量。 Sx 0 Ts＝ 0 Sy Sx、Sy分别表示比例因子。
第五章
图形的几何变换
5.1 概述
为了使被显示的对象数字化，通常是采用适当的坐标系 耒描述被处理的对象。图形和数字之间的联系也就是通过坐 标建立起来的。因此，所谓图形的几何变换实质上就是图形 的坐标变换。 图形 坐 标 数字化
几何变换，投影变换，视窗变换 线性变换，属性不变，拓扑关系不变。 作用： 把用户坐标系与设备坐标系联系起来； 可由简单图形生成复杂图形； 可用二维图形表示三维形体； 动态显示。
cosθ sinθ Tr＝ -sinθ cosθ θ＞0时为逆时针旋转 θ＜0时为顺时针旋转
比例变换 P′＝P×Ts
旋转变换 P＇＝P×Tr
四. 齐次坐标 从形式上来说，用一个有n+1个分量的向量去表示一个有n 个分量的向量的方法称为齐次坐标表示。
例如二维平面上的点(x，y)的齐次坐标表示为(h×x，h×y，
上角；绘图机绘图平面以绘图精度确定坐标单位，原点一般在
左下角。
4. 规格化设备坐标系(Normal Device Coordinates)
为了使图形处理过程做到与设备无关，通常采用一种虚拟 设备的方法来处理，也就是图形处理的结果是按照一种虚拟设 备的坐标规定耒输出的。这种设备坐标规定为 0≤X≤1 ， 0≤Y≤1 ， 这种坐标系称之为规格化设备坐标系。
其中： a b c d e f 产生比例、错切、镜象和旋转等基本变换。 g h i
[ l m n] 产生沿x、y、z三轴方向上的平移变换。 p q r [s] 产生透视变换。 产生等比例缩放变换。
三维图形变换中要注意的几个问题： 1.在三维图形的比例变换中，常会采用 s 来实现整体的比例 变换。当 |s | < 1 时，三维图形整体等比例放大；当 |s | > 1 时， 三维图形整体等比例缩小。 2.三维图形的对称变换是相对于各个坐标平面进行的。 3.三维图形的旋转变换是指绕坐标轴的旋转。 在采用右手坐标系的情况下，图形绕坐标轴逆时针旋转时， 转角为正 ( 拇指指向坐标轴的方向，其余四指指向旋转方向 )， 顺时针旋转为负。