分式的概念和性质练习题1
1.分式的概念与基本性质(整理)
2 x 10x 2x 2 x( x 5) 2 x 5 ( x 5)(x 5) x 25
3 x 15x 3x 3x( x 5) 2 x 5 ( x 5)(x 5) x 25
2
2
x 与 (3) 2 4 2 x 4 x
解： （3）最简公分母是
x x-2
x-1 4x+1
练习：当x取什么值时,下列分式无意义 ?
3 x 1 , x 1 . x 2 x 5
当m取何值时,下列分式的值为零?
m m 1 1 2 m2 4m 1 m 1 m 2 3 m2
分式 当y 当y
当y
y +2 y-3
，
时，分式有意义； 时，分式没有意义；
分式的通分
与分数的通分类似，也可以利用 分式的基本性质，使分子和分母同乘 适当的整式，不改变分式的值，把 分式变形叫做分式的通分。
2a b 和 2 化成相同分母的分式，这样的 a ab ab
把各分式化成相同 3 分母的分式叫做 a b （ 1） 2 2 b 与 a 2 c 分式的通分. a b 1 x 2x 3x 与 2 （ 2） x 5 与 (3) 4 2 x 4 x5 x
2 1 , 已知分式 3 x 2 12 x 2，其中m是这两个分式中分母的公因式，n是
这两个分式的最简公分母，且则x= .
时，分式的值为0。
1、分式的概念； 2、什么情况下分式有意义、 无意义？ 3、什么情况下分式的值为零？
分式的基本性质 ------约分
与通分
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以） 一个不等于０的整式，分式的值不变。
用式子表示为：
2023年中考数学《分式》专题知识回顾与练习题(含答案解析)
知识回顾微专题知识回顾微专题2023年中考数学《分式》专题知识回顾与练习题（含答案解析）考点一：分式之分式的概念1. 分式的概念：形如BA，B A 、都是整式的式子叫做分式。
简单来说，分母中含有字母的式子叫做分式。
1．（2022•怀化）代数式52x ，π1，422+x ，x 2﹣32，x 1，21++x x 中，属于分式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】根据分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式叫做分式判断即可．【解答】解：分式有：，，，整式有：x ，，x 2﹣，分式有3个， 故选：B ．考点二：分式之有意义的条件，分式值为0的条件1. 分式有意义的条件：分式的分母为能为0。
即BA中，0≠B 。
2. 分式值为0的条件：分式的分子为0，分母不为0。
即BA中，0=A ，0≠B 。
2．（2022•凉山州）分式x+31有意义的条件是（ ） A ．x ＝﹣3B ．x ≠﹣3C ．x ≠3D ．x ≠0【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，可得3+x ≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 3+x ≠0， ∴x ≠﹣3， 故选：B ． 3．（2022•南通）分式22−x 有意义，则x 应满足的条件是 ． 【分析】利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式求解即可． 【解答】解：∵分母不等于0，分式有意义， ∴x ﹣2≠0， 解得：x ≠2， 故答案为：x ≠2． 4．（2022•湖北）若分式12−x 有意义，则x 的取值范围是 ． 【分析】根据分式有意义的条件可知x ﹣1≠0，再解不等式即可． 【解答】解：由题意得：x ﹣1≠0， 解得：x ≠1， 故答案为：x ≠1．5．（2022•广西）当x ＝ 时，分式22+x x的值为零． 【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，可得2x ＝0且x +2≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得： 2x ＝0且x +2≠0， ∴x ＝0且x ≠﹣2， ∴当x ＝0时，分式的值为零，故答案为：0．知识回顾6．（2022•湖州）当a ＝1时，分式aa 1+的值是 ． 【分析】把a ＝1代入分式计算即可求出值． 【解答】解：当a ＝1时， 原式＝＝2．故答案为：2．考点三：分式之分式的运算：1. 分式的性质：分式的分子与分母同时乘上（或除以）同一个不为0的式子，分式的值不变。
分式的概念和性质+答案
分式的概念和性质（提高）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0 的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】【高清课堂403986 分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念A 一般地，如果A、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A叫做分式. 其中AB叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的. 分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式. 分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母” ，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式2不能先化简，如x y是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，x不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1. 分式有意义的条件：分母不等于零.2. 分式无意义的条件：分母等于零.3. 分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变，这个性质叫做A A M A A M分式的基本性质，用式子表示是： A A M，A A M（其中M是不等于零的整式）.B B M B B M要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式. 其中B≠0 是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠ 0 是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0 这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化. 例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变2 4解：整式有：23，2y 2， 2y 2；其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数 要点诠释： 根据分式的基本性质有 b a b bb. 分式a与 a 互为相反数a a ab b重要的作用 .要点五、分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的 值，这样的分式变形叫做分式的约分 . 如果一个分式的分子与分母没有相同的因式 （1 除外）， 那么这个分式叫做最简分式 .要点诠释： （1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分 母再没有公因式 .（ 2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式. 分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式 的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子 与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分 .要点六、分式的通分与分数的通分类似， 利用分式的基本性质， 使分式的分子和分母同乘适当的整式， 不改 变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分 .要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母： 一般取各分母所有因式的最高 次幂的积作为公分母 .2）如果各分母都是单项式， 那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相 同字母的最高次幂的乘积； 如果各分母都是多项式， 就要先把它们分解 因式，然后再找最简公分母 .3）约分和通分恰好是相反的两种变形， 约分是对一个分式而言， 而通分则 是针对多个分式而言 .典型例题】 类型一、分式的概念高清课堂 403986 分式的概念和性质 例 1】. 根据有理数除法的符号法则有分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着1、指出下列各式中的整式与分式：1 ，1 ，a b ，x ， 3 ，， ， ， ，2 ，x x y 2 x 12y 2，2 x ，思路点拨】 判断分式的依据是看分母中是否含有字母， 如果含有字母则是分式， 如果不含有字母则不是分式． 【答案与解析】∵ x 2 为非负数，不可能等于－ 1， ∴ 对于任意实数 x ，分式都有意义； 当 x 0 时，分式的值为零．（2）当 x 2 0即 x 0时，分式有意义； 当 x 0, 即 x 5 时，分式的值为零x 5 0,（3）当 x 5 0，即 x 5 时，分式有意义； 当 x 5 0, ①时，分式的值为零，2x 10 0 ②由①得 x 5时，由②得 x 5 ，互相矛盾．2x 10∴ 不论 x 取什么值，分式 2x 10 的值都不等于零．x5【总结升华】 分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值 为零． 举一反三：【变式 1】若分式的值为 0，则的值为 _________________________ . 【答案】 － 2；|x| 2 0 |x| 2 0 提示：由题意 2， ，所以 x 2.x 2 5x 6 0 x 3 x 2 0分式有：1，1 ， 3 ， x2 x x y x 2 1 x总结升华】 判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处： 一个是把 π 也看作字母来判断， 没有弄清 π 是一个常数； 另一个就是将分式化简成整式后2再判断，如 x 和 x x，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相同的．类型二、分式有意义， 分式值为 0 高清课堂 403986当 x 取什么数时，下列分式有意义？当2、 分式的概念和性质 例 2】x 取什么数时，下列分式的值为零？（ 1） 2x x 2 答案与解析】2）x52；x3) 2x 10 x5解：（ 1）当 x 20，即 x21时，分式有意义．x2变式 2】当 x 取何值时，分式 的值恒为负数？ 2x 6 答案】 x 2 0, 或 x 2 0, 2x 6 0, 2x 6 0. 解不等式组x 2 0,该不等式组无解．2x 6 0,解不等式组x 2 0,得 3 x 2． 2x 6 0.所以当 3x 2 时，分式x 2的值恒为负数． 2x 6类型三、分式的基本性质高清课堂 403986 分式的概念和性质 例 4】 3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数(1) ； (2) ； (3) . 答案与解析】解：(1) ；(3).【总结升华】 (1) 、根据分式的意义， 分数线代表除号， 又起括号的作用； (2) 、添括号法则： 当括号前添“＋”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号 举一反三：解： 由题意可知(2)a1 a 2 2a 1 ；2；a 22变式】 列分式变形正确的是(A ．2 x2ymn(m n)2 (m n)(m n)(m n)2答案】C ．x 21x 2x 11 x1ab 2 aD ；提示：条件．将分式变形时，注意将分子、分母同乘(或除以)同一个不为 其中A 项分子、分母乘的不是同一整式，B 项中 m n 0 的整式这一0这一条件不知是1x 否成立，故 A 、B 两项均是错的． C 项左边可化为： 1 x 2(1 x)21 1x11，故 C x1项亦错，只有 D 项的变形是正确的．类型四、分式的约分、通分如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂． 通分的关键是确定几个分式的最简公分 母，若分母是多项式， 则要因式分解， 要防止遗漏只在一个分母中出现的字母以及符号的变 化情况． 类型五、分式条件求值225、若 x 2，求 x 22 2xy 3y 22 的值．y x 2 6xy 7 y 2【思路点拨】 本题可利用分式的基本性质， 采用整体代入法， 或把分式的分子与分母化成只 含同一字母的因式，使问题得到解决． 【答案与解析】x 解法一：因为 2 ，可知 y 0 ，y222(x 22xy3y 2) g12x2x g3所以x 22xy3y 2yyy所以2x 26xy7y 2(x 26xy 7y 2)g12 y2x6 x g7yy4、约分：（1）2；(2) 2n 2 m 3 ；2mn 4n通分：3）3 2a 2ba b ；ab 2c4）x 24x42 x2答案与解析】解：（1） a 2 2a 1a 21(a1)2 ( a 1)(a 1)1；a12） 2 n 2 m2mn 4n 32n 2 m2n (m 2n 2)(m2n 2) 2n (m 2n 2 )1 2n ；3）最简公分母是 222a 2b 2c ． 3 g bc222a 2b 2a 2b g bc3bc22 2a b cb ab 2c(a b) g 2a ab 2c g 2a22a 22ab2a 2b 2c4）最简公分母是(x 2)(x 2) ，1 x2x2 (x 2)( x 2)x 2 ，4 xx 2 4 x 2 44x x 2 42(x 2)x 2 (x 2)( x 2)2x 4 x 2 4总结升华】( 2)2 2 ( 2) 3 5 ( 2)2 6 ( 2) 7 9解法二：因为 x 2 ， y所以 x 2y ，且 y 0 ，22x 2 2xy 3y 2 (x 3y)(x y) x 3y x 2 6xy 7y 2 (x 7y)(x y) x 7y【总结升华】 本题的整体代入思想是数学中一种十分重要的思想． 一般情况下， 在条件中含 有不定量时，不需求其具体值，只需将其作为一个“整体”代入进行运算，就可以达到化简 的目的． 举一反三： 【变式】已知x 3 y4z(xyz 0) ，求xy 26x 2yz 2 y zx 2的值．z 2【答案】x解： 设yz k(k 0) ，则 x 3k，y4k ， z 6k3 46∴xyyz zx3k g4k 4k g6k 6k g3k54k 2 54 ∴2x2 y2z22(3k)2 (4k)2(6k) 261k 2 61【巩固练习】 一. 选择题a 2 91．若分式 2a 9 的值为 0，则 a 的值为（ ）a 2 a 6A ．3B ．－3C ．±3D ． a ≠－ 2中的 x 、y 都扩大 m 倍（ m ≠ 0），则分式的值（）2.把分式 2x2y 3y 5 2y 7y 9xy14. 已知 13． A ．扩大 m 倍 5a b若分式 5a b 有意义，则 a 、 3a 2b B ．缩小 m 倍C ．不变 b 满足的关系是( 4． 5． 6．D ．不能确定A ． 3a 2b 1b 若分式 12 b 2b 2 A ． b < 0 面四个等式： ④xy 2 0个 A ． 化简B ． a 15bC ． b D．23b的值是负数，则 1 b 满足( B ．b ≥1 C ． b <1 D． b >1 ① x 2 y x 2y ;② xy 2 x 2y ;③ xy 2x y;2xy 2 b 22a a 2 2ab b 2 ab ab 二. 填空题 A ．7. 使分式 (x 2x 其中正确的有( B ． 1 个 的正确结果是( B ． a a b b 2 有意义的条件为 3)2 C ． 2个 D ． 3个C ．1 2abD ．2a 1b8. 分式 (x 2x 51)2有意义的条件为 2 分式 |x| 4 x4 m n ( mn 11．填入适当的代数式，使等式成立．9．当 时， 的值为零．10．填空： (1) ) n m m n ;(2) mn 2a 2b2a)2b1) a 2 ab 2b 2 a 2 b 2 ( ) ( 2) ab1a1a b ( ba 2 m 12. 分式 2m 2 1 约分的结果是 m 2 三. 解答题 2 x 13. 若 2 x 23x1的值为零，求 2 的值．2 (x 1)21 x 2，求 3x 7xy 3y 的值．2x 3xy 2y7. 8.15. （1）阅读下面解题过程：已知 2,求 524x的值．x 4 11. 解：∵ 2xx 21 ∴1∴1xx2 5,2,即 5,即 2x 4x1 21 x2 x1 (x 1x )2 2 x2）请借鉴（ 已知2 x 2 答案与解析】 . 选择题 答案】 B ； 解析】 由题意 2. 答案】 C ； 解析】 3. 答案】 解析】 4. 答案】 解析】 5. 6. 9. 1）x 3x 2mxmx my D；中的方法解答下面的题目： 2, 求 4 x 0且am 2x m(x y)由题意， 3a D；因为 2b 2 1 答案】 解析】①④正确 . 答案】 解析】. 填空题【答案】【答案】【解析】【答案】2b 0 ， C；B； 22ab 22 a 2ab b2x 2x2x xy所以的值．0,所以 1 b aba2abx 3.x 为任意实数；x 为任意实数，分母都大于零x 4 ；1 (52)2 2 170 ，解得 a 3.23b .0,即 b >1.ab ab2，| x| 4 0 解析】 ，所以 x 4 . x40x 2 x 0 ，即 x(x 1) 0 x 2 3x 2 0 (x 1)(x 2) 0x 0 或 x 1 0x 1 0且 x 2 0 x 0或 x 1, x 1且 x 2, x 0 ，14. 【解析】 解：方法一：∵ 1 1 y x 2 ，x y xy等式两边同乘以 xy ，得 2xy y x ．x y 2xy ．3x 7xy 3y 3(x y) 7 xy 2x 3xy 2y 2( x y) 3xy11 xy【解析】2a ab 2b 2a b a 2b ；1 b ba 2b 2abab1 a bab b12. 【答案】 11m；；m【解析】2m 2m 1 2m 1 1 m10. 【答案】（1）－；（2）＋；11. 【答案】（1） a 2b ；（2） b a ；a ab 21 m 1 m 1 m 1 m三. 解答题13. 【解析】ab ba解：由已知得： 将 x 0 代入得：1 ( x 1)2 1 (0 1)2 1 (0 1)21．3 2 xy 7xy xy 2 2 xy 3xy 7xy方法15. 【解析】解：∵ 2xx23x 1 ∴1x13x2x42x x 1121x 2 1x12 x1 21x3x7xy3y3 y72x3xy2y23y 3 x31x1 y73271 2x21 x1 y322372,2 ，∴ x1 4.72 45.12。
《分式》典型练习题
分式知识点和典型习题（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义1、下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .2、下列分式中，最简分式有（ ）322222222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b-++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3、下列各式：2b a -，x x 3+，πy +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1y x m-中，是分式的共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个题型二：考查分式有意义的条件 1、当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件 1、当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件 1、（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数1、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0（3）b a ba 10141534.0-+题型二：分数的系数变号2、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx yx --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：考查分式的性质 1、若分式xyx +中x 、y 的值都增加到原来的3倍，则分式的值（ ） A 、不变 B 、是原来的3倍 C 、是原来的31 D 、是原来的912、若分式xyy x 22+中x 、y 的值都增加到原来的3倍，则分式的值（ ）A 、不变B 、是原来的3倍C 、是原来的31D 、是原来的91题型三：化简求值题 1、已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值. 2、已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.3、已知：21=-xx ，求221xx +的值. 4、若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.5、已知与互为相反数，代数式的值。
分式的概念及性质
分式的概念及性质一、分式的基本概念：【例1】下列各式2x ，22a b +，a b π+，2x +，1a m +中，分式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【拓1】（1）当x 满足条件_________时，分式21xx -有意义．（2）若分式()11x x +有意义，则x 需满足____________；若分式()1xx x +有意义，则x 需满足_____________．【拓2】当x 为何值时，下列分式的值为0：①31x x + ②2213x x - ③242x x -+ ④212x x x -+-【例2】已知：当x =2时，分式x m x n -+无意义；当x =-6时，分式x mx n-+的值为0，则 m -n =_______．【拓3】当x ________时，分式36x -的值为正数；当x ________时，分式26xx--的值为负数．【拓4】（21广陵期末）关于x 的方程1233x kx x -=+--的解为非负数，则k 的取值范围是___．【拓5】若分式1324x x x x ++÷++有意义，则x 的取值范围为__________．【拓6】（2021·扬州）不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）A ．1x +B ．21x -C ．11x + D ．2(1)x +二、分式的基本性质：①x y x y +- ②xy x y - ③22x y x y +- ④2xx y+【拓7】（21邗江期末）把分式2xyx y+中的x 和y 都扩大2倍，分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大4倍 C ．缩小12D ．扩大2倍【拓8】不改变分式的值，把分式的分子和分母系数都化为整数：①0.10.51.5x y x y -+ ②21321334x y x y -+ ③10.3210.55a ba b -+【拓9】（1）不改变分式的值，把分式的分母化为6ab 2：23a b 22a bab+（2）不改变分式的值，把分式的分母化为()()11x x x -+：()11x x x -+ 21xx -【例4】（1）下列等式，从左到右的变形正确的是（ ）A ．1x y x y --=-- B ．0.220.50.353x y x yx y x y++=-- C ．x a ax b b+=+ D ．()2x y x y y x -=-+-（2）将下列格式约分：3439x x =-__________322384a b a b c -=-___________ 23224x x x -=-___________ 2442a a a-+=-_________【拓10】下列分式：2x x ，1m m +，x xπ+，a bb a --中，最简分式的个数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【拓11】（21扬州期末）当2021a =时，分式293a a --的值是________．【拓12】分式2214a b 与36a bab c+的最简公分母是________．【拓13】通分：①()()112x x --，2121x x -+；②()11a a a -+，21a a -，2221a a ++．【拓14】（18邗江期中）先约分，再求值：32322444a ab a a b ab --+，其中2a =，12b =-．【拓15】（15邗江月考）已知：y z z x x y x y z +++==，其中0x y z ++≠，求x y zx y z+-++的值．三、分式的运算：（1）2222463ab cc a b -⋅ （2）32422ab c ac c ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）()()222142y x x y xy x y x +-÷⋅- （4）23x y x y x y y x x y ++----（5）a b b c ab bc ++- （6）24142x x +-+【拓16】化简，求值：22211111m m m m m m -+-⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中m =四、真题演练：1．（21邗江月考）已知：23a b b c c a m cab+++=++，且0abc >，0a b c ++=．则m 共有x 个不同的值，若在这些不同的m 值中，最小的值为y ，则x y +=（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．32．（19扬州一模）已知111m n -=，则代数式222m mn nm mn n--+-的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．1- D ．3-3．（19江都期中）已知113x y +=，则分式2322x xy yx xy y-+++的值为（ ） A ．35 B ．9C ．1D ．不能确定4．（15扬州月考）已知x 为整数，且222218329x x x x ++++--为整数，则所有符合条件的x 值的和为________．5．（21仪征期末）若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数，则m 的取值范围为________．6．（20邗江期末）关于x 的方程1242k xx x -=--的解为正数，则k 的取值范围是________．7．（21广陵期末）先化简，再求值222124424x x x x x x x ++++÷--，其中2021x =．8．（19宝应期中）已知实数A 、B 使得等式34(1)(2)12x A Bx x x x -=+----成立，求实数A 、B ．9．（18高邮期中）已知13x x +=，求221x x+的值．10．（18江都月考）定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----，232252255211111x x x x x x x x -+-+-==+=-+++++，则 11x x +-和231x x -+都是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①1x x+；②22x +；③21x x ++；④221y y +（2）将“和谐分式2231a a a -+-化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：2231a a a -+=-________+________．（3）应用：先化简22361112x x x x x x x +---÷++，并求x 取什么整数时，该式的值为整数．11．（20仪征期中）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：11x x -+，21x x -这样的分式就是假分式；再如：31x +，221x x +这样的分式就是真分式，假分数74可以化成314+（即314）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：1(1)221111x x x x x -+-==-+++． 解决下列问题： （1）分式3x 是____（填“真”或“假”）分式；假分式64x x ++可化为带分式________形式； （2）如果分式42x x --的值为整数，求满足条件的整数x 的值； （3）若分式22251x x ++的值为m ，则m 的取值范围是________（直接写出答案）．。
分式基本性质练习题
分式基本性质练习题分式是数学中重要的概念之一，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将为大家提供一些分式基本性质的练习题，帮助读者巩固和深入理解分式的概念和运算规则。
练习题一：分式的乘法和除法1. 计算：$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$2. 简化：$\frac{16}{24}$3. 计算：$\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}$4. 简化：$\frac{12}{36}$练习题二：分式的加法和减法1. 计算：$\frac{1}{4} + \frac{3}{8}$2. 计算：$\frac{5}{6} - \frac{2}{3}$3. 计算：$\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$4. 计算：$\frac{3}{4} - \frac{1}{6}$练习题三：分式的化简和换算1. 化简：$\frac{4x^2}{8x}$2. 化简：$\frac{10ab^2}{5a^2b}$3. 将小数$\frac{0.6}{1.2}$化成分数的形式。
4. 将百分数$75\%$化成分数的形式。
练习题四：分式的比较和大小关系1. 比较大小：$\frac{3}{4}$和$\frac{5}{8}$2. 比较大小：$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{5}$3. 将分数$\frac{2}{9}$改写成百分数。
4. 将百分数$25\%$改写成分数。
练习题五：分式的应用1. 假设小明每小时工作5小时，小红每小时工作4小时，他们一起工作的效率是多少？2. 某项工程由甲、乙两人合作完成，甲单独完成需要10天，乙单独完成需要15天，他们一起工作多少天可以完成该项目？3. 假设一块土地上有甲、乙两家农场，甲家的土地面积是乙家的2倍，甲家每年产量为1000千克，乙家每年产量为800千克，问两家农场每年的平均产量是多少千克？以上是分式基本性质的练习题，希望读者朋友们通过这些练习能够提高对分式的理解和运用能力。
分式的基本概念及性质
分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷(0m≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．一、分式的基本概念【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1 t ，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+【例2】代数式22221131321223x x x a b a b abm n xyx x y+--++++，，，，，，，中分式有（）A.1个B.1个C.1个D.1个分式的基本概念及性质二、分式有意义的条件【例3】求下列分式有意义的条件：⑴1x⑵33x+⑶2a ba b+--⑷21nm+⑸22x yx y++⑹2128x x--⑺293xx-+【例4】x为何值时，分式2141xx++无意义？【例5】x为何值时，分式2132x x-+有意义？【例6】x为何值时，分式211xx-+有意义？【例7】要使分式23xx-有意义，则x须满足的条件为．【例8】x为何值时，分式1111x++有意义？【例9】要使分式241312aaa-++没有意义，求a的值.【例10】x为何值时，分式1122x++有意义？【例11】x为何值时，分式1122xx+-+有意义？【例12】若分式25011250xx-++有意义，则x；若分式25011250x x-++无意义，则x ；【例13】 若33aa-有意义，则33a a -( ).A. 无意义B. 有意义C. 值为0D. 以上答案都不对【例14】 x 为何值时，分式29113x x-++有意义？【例15】 ⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ;⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x ;三、分式值为零的条件【例16】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x+ ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +--⑹2242x x x-+【例17】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴213x x -+ ⑵223(1)(2)x x x x --++ ⑶2656x x x --- ⑷221634x x x -+-⑸288xx + ⑹2225(5)x x -- ⑺(8)(1)1x x x -+-【例18】 若分式41x x +-的值为0，则x 的值为 ．【例19】 若分241++x x 的值为零，则x 的值为________________________．【例20】 若分式242x x --的值为0，则x 的值为 ．【例21】 若分式 242a a -+ 的值为0，则a 的值为 .【例22】 若分式221x x -+的值为0，则x = ．【例23】 （2级）（2010房山二模）9. 若分式221x xx +-的值为0，则x 的值为 ．【例24】 若分式231x x ++的值为零，则x = ________________.【例25】 （2级）（2010平谷二模）已知分式11x x -+的值是零，那么x 的值是（ ） A ．1 B. 0 C. 1- D. 1±【例26】 若分式2532x x -+的值为0，则x 的值为 ．【例27】 如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是 ．【例28】 若分式()()321x x x +-+的值不为零，求x 的取值范围．【例29】 若22x x a-+的值为0，则x = .【例30】 x 为何值时，分式29113x x-++分式值为零？【例31】 若22032x xx x +=++，求21(1)x -的值.【例32】 x 为何值时，分式23455x xx x ++-+值为零？【例33】 若分式2160(3)(4)x x x -=-+，则x ；【例34】 若分式233x x x--的值为0，则x = .【巩固】 若分式250011250x x-=++，则x .【例35】 若2(1)(3)032m m m m --=-+，求m 的值.四、分式的基本性质【例36】 填空：（1）()2ab ba = （2）()32x x xy x y =++（3）()2x y x xyxy ++=（4）()222x y x y x xy y +=--+【例37】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴x y x y +- ⑵xy x y - ⑶22x y x y -+【例38】 把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？（1）2x y x y ++ （2）22923x x y +【例39】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴2222x y x y +-⑵3323x y⑶223x y xy-【例40】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数． ⑴1.030.023.20.5x y x y +- ⑵32431532x yx y -+【例41】 不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数。
分式的概念和性质练习题-基础
分式的概念和性质练习题-基础一.选择题1．（2015春•东台市月考）下列式子是分式的是（ ）A. B. C. +y D.+1 2．（2016•连云港）若分式12x x -+的值为0，则的值是（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．1或-23.下列判断错误．．的是（ ） A ．当时，分式有意义 B ．当时，分式有意义 C ．当时，分式值为0 D ．当时，分式有意义 4．为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )A ．B ．C ．D ． 5．如果把分式中的和都扩大10倍，那么分式的值（ ） A ．扩大10倍B ．缩小10倍C ．是原来的D ．不变 6．下列各式中，正确的是（ ）A ．B ． x 23x ≠231-+x x a b ≠22ab a b -21-=x 214x x+x y ≠22x y y x--x 21x x +211x x --11x x -+211x x -+yx y x ++2x y 32a m a b m b +=+0a b a b+=+C ．D ． 二.填空题7．（2016•北京）如果分式21x -有意义，那么x 的取值范围是______． 8.若分式的值为正数，则满足______． 9．（1） （2） 10．（1） （2） 11.分式与的最简公分母是_________. 12. （2015•朝阳区一模）一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．三.解答题13. （2014春•丹阳市校级期中）当x 取什么值时，分式．（1）没有意义？（2）有意义？（3）值为零？1111ab b ac c +-=--221x y x y x y-=-+67x--x 112()x x x --=-.y x xy x 22353)(=22)(1y x y x -=+⋅-=--24)(21yy x 2214a b 36x ab c14．已知分式当＝－3时无意义，当＝2时分式的值为0， 求当＝－7时分式的值．15．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．（1） （2） （3） （4）,y a y b-+y y y 22x x y--2b a a --2211x x x x---+2231m m m ---一.选择题1. 【答案】B ；【解析】解：A 、分母中不含有字母是整式，故A 错误；B 、分母中含有字母是分式，故B 正确；C 、分母中不含有字母是整式，故C 错误；D 、分母中不含有字母是整式，故D 错误；故选：B ．2. 【答案】C ；【解析】x -1=0且x +2≠03. 【答案】B ；【解析】，有意义. 4. 【答案】D ；【解析】无论为何值，都大于零.5. 【答案】D ；【解析】. 6. 【答案】D ；【解析】利用分式的基本性质来判断.二.填空题7. 【答案】x ≠1；【解析】由题意，x -1≠0a b ≠±22ab a b -x 21x +102010(2)2101010()x y x y x y x y x y x y+++==+++【解析】由题意.9. 【答案】（1）；（2）；10.【答案】（1）；（2）；【解析】. 11.【答案】；【解析】最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积.12.【答案】，．【解析】解：∵=（﹣1）2•，=（﹣1）3•，=（﹣1）4•，…∴第7个式子是，第n 个式子为：．故答案是：，．三.解答题13.【解析】解：（1）∵分式没意义，∴x ﹣1=0，解得x=1；70,7x x -<>∴2x -5y x y -22xy x y +--221(1)(2)22244x x y xy x y y y y --++--==---2312a b c（2）∵分式有意义，∴x ﹣1≠0，即x≠1；（3）∵分式的值为0， ∴，解得x=﹣2． 14.【解析】解：由题意：，解得 ，解得 所以分式为，当＝－7时，. 15.【解析】解：（1） ； （2）； （3）；（4）. 30b -+=3b =2023a -=+2a =23y y -+y 2729937344y y ----===+-+-2222x x x y x y -=---22b b a a a a =---+222222111111x x x x x x x x x x x x ----++-==-+-++--22223311m m m m m m ---=---。
分式的概念、基本性质训练
乐学分式的概念、基本性质训练1．下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x +2.分式31x a x +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（ ）A ．分式的值为零；B ．分式无意义C ．若13a -≠时，分式的值为零；D ．若13a ≠时，分式的值为零3下列各式中，可能取值为零的是（ ）A ．2211m m +-B ．211m m -+C ．211m m +- D ．211m m ++4．下列各式πa ，11x +，15x y +，22a b a b --，23x -，0•中，是分式的有___ __；是整式的有_____ ．5．当x ______时，分式2134x x +-无意义．6．当x _______时，分式2212x x x -+-的值为零．7．当m =________时，分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为零．8．当x ______时，分式435x x +-的值为1；当x _______时，分式435x x +-的值为1-．9．当x _______时，分式15x -+的值为正；当x ______时，分式241x -+的值为负．10.已知123x y x-=-，x 取哪些值时：（1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数； （3）y 的值是零；（4）分式无意义．11.不改变分式的值，使分式115101139x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以A ．10B ．9C ．45D ．90 12.如果把分式63xx y-中的x,y 都扩大10倍,那么分式的值一定( ) A.扩大10倍 B.扩大100倍 C.缩小10倍 D.不变 13. 使等式27+x =xx x 272+自左到右变形成立的条件是 （ ）A ．x<0 B.x>0 C.x≠0 D.x≠0且x≠－2 14. 写出等式中未知的分子或分母： ①xy3= ()23x y ② y x xy 257=()7 ③)(1ba b a +=- 15. 不改变分式的值，使分式的分子与分母都不含负号： ①=--y x 25 ； ②=---ba3 . 16. 等式1)1(12--=+a a a a a 成立的条件是________. 17. 不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数:① yx yx 6125131+- ②y x yx 4.05.078.08.0+- ③ ba b a436.04.02+-18. 不改变分式的值,使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号:①112+--x x ②2122--+-x x x ③1312+----x x x19.分式434y xa +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a abab b +-中是最简分式的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 20.下列约分正确的是( )A.32)(3)(2+=+++a c b a c b B.1)()(22-=--a b b a C.ba b a b a +=++222 D.xy y x xy y x -=---1222 21.等式)1)(1()1(1+++=+b a b a a a 成立的条件是( ) A.a ≠0且b ≠0 B.a ≠1且b ≠1 C.a ≠－1且b ≠－1 D.a 、b 为任意数 22. 约分：① 232636yz z xy - ② 2224m m m +- ③ 2411x x -- ④ 22699x x x ++-⑤ 44422-+-a a a ⑥ 16282--m m ⑦ 2232m m m m -+- ⑧ 22221521033223y x y x --23.通分： （1）26x ab ，29y a bc ； （2）21x x-， 2121x x --+；2. 先化简,再求值:① 1616822-+-a a a ,其中a=5; ② 2222b ab a ab a +++,其中a=3b ≠0.3.已知511=-yx，求分式y xy x y xy x 272-+++-的值． 4.已知432zy x ==，求222z y x zx yz xy ++++的值．5.已知12,4-=-=+xy y x , 求1111+++++y x x y 的值. 6．已知13x x +=，求2421x x x ++的值．。
分式的概念和性质练习题
1．填空题：（1）当x= 时，分式135-+x x 无意义。
（2）当x= 时，分式123-+x x 的值为零；当分式23+-x x =0时，x= 。
（3）()()333++x x x =x 3成立的条件是 。
（7）当x 时，分式121+-x x 有意义。
2．选择题：（1）下列说法正确的是（ ）A ．形如BA 的式子叫分式B ．分母不等于零，分式有意义C ．分式的值等于零，分式无意义D ．分式等于零，分式的值就等于零（2）已知有理式：x 4、4a 、y x -1、43x 、21x 2、a 1＋4，其中分式有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个（3）使分式ax 45-有意义的x 的值是 （ ）A ．4aB ．－4aC ．±4aD ．非±4a 的一切实数（4）使分式mx m x 41622--的值为零的x 的值是 （ ） A ．4m B ．－4m C ．±4m D ．非±4m 的一切实数3．解答下列各题：（1）当x 取什么数时，分式1132-+x x 有意义？ （2）当x 为何值时，分式x x x 32212-++无意义？ （3）若分式1642-+x x 无意义，求x 的值。
4．已知分式()()()()22253435232-----+x x x x （1）当x 为何值时，分式无意义？（2）当x 为何值时，分式的值为零？（3）当x 为何值时，分式的值为－1？5．当x 为何值时，下列分式的值为正？（1）432+-x x （2）232-+x x 6．（1）填充分子，使等式成立；()222(2)a a a -=++ （2）．填充分母，使等式成立：()2223434254x x x x -+-=--- （3）化简：233812a b c a bc =_______。
6．（1）()2a b ab a b += （2）()21a aa c++=（a ≠0） （3）()22233x x x -=-+-（4）()2232565a a a a a ++=+++7．（1））333()3ax by ax by ax by ax by---=-=---，对吗？为什么？ （2）22112x y x y x y x y++==---对吗？为什么？ 8．把分式x x y+（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x ，y 同时扩大2倍，那么分式的值 （ ） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．改变 D ．不改变9．下列等式正确的是 （ ）A ．22b b a a = B ．1a b a b-+=-- C ．0a b a b +=+ D ．0.10.330.22a b a b a b a b--=++ 10．不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数。
分式题型-易错题-难题-大汇总
分式单元复习〔一〕、分式定义及有关题型一、分式的概念： 形如BA 〔A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0〕的式子，叫做分式。
概念分析：①必须形如“B A 〞的式子；②A 可以为单项式或多项式，没有其他的限制；③B 可以为单项式或多项式，但必须含有字母。
．．．例：以下各式中，是分式的是①1+x 1② ③3x ④ ⑤3-x x ⑥ ⑦πx 练习：1、以下有理式中是分式的有〔 〕A 、 m 1B 、C 、D 、57 2、以下各式中，是分式的是 ①x 1② ③3x ④ ⑤3-x x ⑥ ⑦ 1、以下各式：()xx x x y x x x 2225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有〔 〕个。
A 、2 B 、3 C 、4 D 、5二、有理式：整式和分式统称有理式。
即：例：把以下各有理式的序号分别填入相应的横线上 ①21x② ③x -3 ④0 ⑤3a ⑥ ⑦ 整式： ；分式 。
①分式有意义：分母不为0〔0B ≠〕②分式无意义：分母为0〔0B=〕③分式值为0：分子为0且分母不为0〔〕④分式值为正或大于0：分子分母同号〔或〕⑤分式值为负或小于0：分子分母异号〔或〕⑥分式值为1：分子分母值相等〔A=B〕⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数〔A+B=0〕⑧分式的值为整数：〔分母为分子的约数〕例:当x 时，分式有意义；当x 时，有意义。
练习：1、当x 时，分式无意义。
8．使分式无意义，x的取值是〔〕A．0 B．1 C．1- D．1±2、分式，当______x时有意义。
3、当a 时，分式有意义．4、当x 时，分式有意义。
5、当x 时，有意义。
分式有意义的条件是。
4、当x 时，分式的值为1；2．〔辨析题〕以下各式中，无论x取何值，分式都有意义的是〔〕A．121x+ B．21xx+C．231xx+ D．〔7〕当x为任意实数时，以下分式一定有意义的是〔〕A.23x+B. C.1xD.四、分式的值为零说明：①分式的分子的值等于零；②分母不等于零例1：假设分式的值为0，那么x 。
分式的基本性质
分式的基本性质A 、221v v + 千米 B 、2121v v v v + 千米 C 、21212v v vv +千米 D 、无法确定 2、分式有意义的条件重点：分式有意义的条件是分母不等于零；分式无意义的条件是分母等于零；分式的值等于零的条件是分子等于零且分母不等于零；分式的值等于1的条件是分母等于分子但不等于零；分式的值为正数则分子分母同号，分式的值为负数则分子分母异号。
例1、当x 取什么值时中，下列分式有意义？（1）1-x x （2）322+-x x一：知识新授1、分式的概念重点：（1）、分式的分母含有字母 （2）、分式只看其初始状态，如：aa 24（3）、分式是一种表达形式，如：21--x x 是分式，但（x-1）÷（x-2）不是分式 例1、下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）x1； （2）2x ； （3）yx xy +2； （4）32y x -.练习1、下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？224013922,,,,2x x ab a x x aπ+-- 整式： ，分式：例2、轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知水流速度是每小时3千米，设轮船在静水中的速度是x 千米/时，则轮船顺流航行的时间是 小时，逆流航行的时间是 小时。
练习2、在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v 1千米，下坡时的速度为每小时v 2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时 （ ）练习1、若分式112-+x x 有意义，则x ≠ ；若分式112-+x x 无意义，则x ＝ ；若112-+x x ＝0，则a ＝例2、当x 为何值时，下列分式的值为零？（1）、 2xx 3x 2-+ （2）、2x -2x x 2--练习2、求使下列各式的值为0的X 的值。
（1）2x -2x-2（2）22x 2x 1-+例3、若分式4523-+x x 的值为1，则x 等于 （ ） A 、-3 B 、3 C 、1 D 、-1练习3、当x= 时，分式231-+x x 的值为1。
3.1.1分式的基本概念及性质.题库学生版
内容 基本要求略高要求较高要求分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式． 整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式1x，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义． 分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a mb b m÷=÷(0m ≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．知识点睛中考要求分式的基本概念及性质一、分式的基本概念【例1】 在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1t ，(2)3x x +，2211x x x -+-，24x x +，52a ，2m ，21321x x x +--，3πx -，323a a a+【例2】 代数式22221131321223x x x a b a b ab m n xy x x y +--++++，，，，，，，中分式有（ ） A.1个 B.1个 C.1个 D.1个二、分式有意义的条件【例3】 求下列分式有意义的条件：⑴1x ⑵33x + ⑶2a b a b +-- ⑷21n m + ⑸22x y x y ++ ⑹2128x x -- ⑺293x x -+【例4】 x 为何值时，分式2141x x ++无意义？【例5】 x 为何值时，分式2132x x -+有意义？【例6】 x 为何值时，分式211x x -+有意义？【例7】 要使分式23xx -有意义，则x 须满足的条件为．【例8】 x 为何值时，分式111x++有意义？【例9】 要使分式241312a a a-++没有意义，求a 的值.例题精讲【例10】 x 为何值时，分式1122x++有意义？【例11】 x 为何值时，分式1122x x+-+有意义？【例12】 若分式25011250x x -++有意义，则x ； 若分式2501250x x-++无意义，则x ；【例13】 若33aa-有意义，则33a a -( ).A. 无意义B. 有意义C. 值为0D. 以上答案都不对【例14】 x 为何值时，分式29113x x-++有意义？【例15】 ⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ;⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x ;三、分式值为零的条件【例16】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x + ⑵211x x -+ ⑶33x x --⑷237x x ++ ⑸2231x x x +--⑹2242x x x-+【例17】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑸288x x +⑹2225(5)x x --⑺(8)(1)1x x x -+-【例18】 若分式41x x +-的值为0，则x 的值为 ．【例19】 若分241++x x 的值为零，则x 的值为________________________．【例20】 若分式242x x --的值为0，则x 的值为 ．【例21】 若分式 242a a -+ 的值为0，则a 的值为 .【例22】 若分式221x x -+的值为0，则x = ．【例23】 （2级）（2010房山二模）9. 若分式221x xx +-的值为0，则x 的值为 ．【例24】 若分式231x x ++的值为零，则x = ________________.【例25】 （2级）（2010平谷二模）已知分式11x x -+的值是零，那么x 的值是（ ） A ．1 B. 0 C. 1- D. 1±【例26】 若分式2532x x -+的值为0，则x 的值为 ．【例27】 如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是 ．【例28】 若分式()()321x x x +-+的值不为零，求x 的取值范围．【例29】 若22x x a-+的值为0，则x = .【例30】 x 为何值时，分式29113x x-++分式值为零？【例31】 若22032x xx x +=++，求21(1)x -的值.【例32】 x 为何值时，分式2355x xx x ++-+值为零？【例33】 若分式2160(3)(4)x x x -=-+，则x ；【例34】 若分式233x x x--的值为0，则x = .【巩固】 若分式250011250x x-=++，则x .【例35】 若2(1)(3)032m m m m --=-+，求m 的值.四、分式的基本性质【例36】 填空：（1）()2ab ba = （2）32x x xy x y =++（3）()2x y x xyxy ++= （4）()222x y x y x xy y +=--+【例37】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴x y x y +- ⑵xy x y - ⑶22x y x y -+【例38】 把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？（1）2x y x y ++ （2）22923x x y +【例39】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴2222x y x y +-⑵3323x y⑶223x y xy-【例40】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数．⑴1.030.023.20.5x y x y+- ⑵32431532x yx y -+【例41】 不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数。
分式的概念与性质
1 , x (x 2), x2 2x 1 , 2x 4 , 5x ,3b, x 1 , 3 x , b3 b
a3
x 1
x 2 3x2 2x 1 2b
分式的概念
注意：分式的概念是针对原式的，尽管原式化简后可以 是整式的形式，但原式仍是分式 。
分式的意义
分式的意义： 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
例 2、（ 1）下列各式， ①a a2
a 取何值时，分式有意义 ②1 a 2
？ ③ 3a a2 9
( 2 ) 在什么情况下，下列分 ① 3x
x(x 2)
式没有意义？ ② x1
x2
③ x3 x2 9
( 3 )当 m 为何值时，，下列分式
的值为 0？
① 2m 1 3m 3
② m2m m2 1
③ m2 m2 4
注意: （1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否 有意义，就必须分析、讨论 分母中所含字母不能取哪些值，以避免 分母的值为零. （2）本题中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也 就是说分式中分母的值不等 于零. （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
分式的意义
（1） 2a (2) 4x (3) 3x
b
5y
y
(4) 3x 10 y
分式的约分、通分
分式的约分： 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因 式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个 分式叫做最简分式.
分式的通分： 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同 乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母 的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
七年级上分式的概念及性质
第一节 分式的概念、性质及运算一、基础知识 1、分式的概念分式概念：一般地，用A 、B 表示两个整式（其中B ≠0），A ÷B 就可以表示为BA的形式，如果B 中含有字母，式子BA叫做分式。
A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
分式有意义、无意义，分式的值为零的条件： ① 分式有意义的条件是分式的分母不为0；② 分式无意义的条件是分式的分母为0； ③ 分式的值为0的条件是分子为0，且分母不为0．2、分式性质：若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；即A A M A N B B MB N ∙÷==∙÷,其中M 、N 为整式，且0,0,0B M N ≠≠≠.例：()()339315535x x x x ==分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去的过程叫约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式（1除外），这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算式 （1）分式的乘除法法则：两个分式相乘，将两个分式的分子的乘积作为分子，分母相乘的积作为分母。
即：.BDAC D C B A =⋅ 两个分式相除时，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
即：BCAD C D B A D C B A =⋅=÷.注：计算结果要化为最简分式。
分式的乘方：为正整数）（n .b a b a n n n=⎪⎭⎫⎝⎛.例：22()x y（2）分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
即;cba cbc a ±=±异分母分数相加减，先将它们化为同分母分式，然后再相加减。
bdbcad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。
将几个异分母分式化为与原分式值相等的同分母分式的过程叫通分。
分式的概念及性质
第10讲 分式的概念及性质知识目标：模块一 分式的概念 知识导航一、分式的定义一般的，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式．分式AB中，A 叫分子，B 叫分母．二、分式有意义（或分式存在）的条件分式的分母不等于零，即AB中的B ≠0． 三、分式的值为零的条件分式在有意义的前提下分式的分子为零．即当A ＝0且B ≠0时，AB＝0． 例1 （1）（2015-2016江岸区八上期末）下列代数式中：1a ，2334a b c ，56x +，7x ＋8y，9x ＋10y ，其中是分式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 （2）当x 时，分式2x x -有意义；当x 时，分式211x +有意义．练习（1）在代数式－234a b ，1x ，3x y +，2a ，1a b +，221x x +-，212x －23，223b a 中，分式有个．（2）当x 取何值时，下列分式有意义？（1）13x x -- （2）2131x x -+ （3）221x -例2当x 为何值时，下列分式的值为零？①213x x -+②661x x x --+③()()21641x x x -+-④288xx +⑤()22255x x --模块二 分式的基本性质 知识导航一、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．即A B ＝A C B C ⨯⨯（C ≠0），A B＝A CB C÷÷（C ≠0）． 二、约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分． 分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式．三、通分利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．题型一 分式基本性质 例3（1）下列式子中，正确的是（ ） A ．a b c --＝－a b c - B ．a b c --＝－a bc +-C ．a b c --＝a b c -- D ．a b c--＝－a bc +（2）（2015-2016江汉区八上期末）若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？ ①x y x y +-②xy x y -③22x y x y -+ （3）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数：12231134x y x y-+＝ ；02003004a b a b -+．．．＝ ；10421035a ba b -+．．＝ ． 练习（1）（2015-2016武昌区八上期末）下列分式与分式2yx相等的是（ ） A ．224y x B ．22xy x C ．2y x D ．－2y x--（2）下列各式变形正确的是（ ） A ．1x ＝2x x B ．52a ＝2254a a C ．a b a b+--＝a b a b-++ D ．0205003x y x +．．．＝253x yx +（3）如果把5xx y+的x 与y 都扩大10倍，那么这个代数式的值（ ）A ．不变B ．扩大50倍C ．扩大10倍D ．缩小到原来的110题型二 约分例4（1）下列分式为最简分式的是（ ）A ．3315ba B ．22ab b a -- C ．23x x D ．22x y x y ++（2）约分33mnm ＝ ； 2332510x y x y z --＝ ；23326a a a --＝ ； 22121x x x --+＝ ．练习 约分：（1）231620x y xy - （2）22n m m n -- （3）222122x x x ++-题型三 通分 例5（1）分式3xy 与232x y 的最简公分母是 ．（2）通分： ①3x y 与232x y ②22x y x y -+与()2xy x y + ③b a ，23c b ，2a bc④()11x x x +-，21x x -，2221x x -+ ⑤()()1a b a c --，()()1b c b a --，()()1c a c b --练习（1）分式－256x y 与34xyz的最简公分母是 ． （2）通分①232a b与2a b ab c - ②1y x -与122x y + ③2a b ，23b a ，4aab模块三 分式的基本运算知识导航c d＝a d b c题型一 分式的乘除 例6 计算： （1）34a b ·2169b a （2）125xy a÷82x y（3）3310a b ab -·232225a b a b - （4）222242y x x xy y -++÷222x y x xy -+练习 计算：（1）715c ab ·2514abc - （2）22ab cd ÷34ab cd -（3）23x x +-·22694x x x -+- （4）（xy －2x ）÷x y xy -例7 计算：（1）2a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭·3a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭÷()4a b - （2）32a b c ⎛⎫⎪-⎝⎭·22c ab ⎛⎫ ⎪-⎝⎭÷4bc a ⎛⎫⎪⎝⎭（3）333a x y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭·（2x －2y ）÷2y x y x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ （4）222x y xy ⎛⎫- ⎪⎝⎭÷（x ＋y ）·3x x y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭练习（1）23233x y z ⎛⎫- ⎪⎝⎭ （2）2a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭÷2225a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭·5a b（3）4x 2y z ÷()212x yz --- （4）()2222m n -·333m n -题型二 分式的加减 例8 计算： （1）2m n n m +-＋n m n -－2m n m - （2）224x x -－12x -（3）()2521a a ++－()121a a -+＋()2321a a -+ （4）a b c a b c -++-－23a b c b c a -+-+＋2b cc a b---练习计算：（1）a b b c c a ab bc ca---++（2）222a b ab a b b a ----（3）222244224y x y x y x y y x +++-- （4）22b a b a b-++ 拓展计算：372481124811111x x x x x x x x -----++++题型三 分式化简求值 例9 计算：（1）2212239a aa a a a -+÷---（2）已知：2380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值．（3）先化简：22211a a a a a a --⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭，然后给a 选择一个你喜欢的数代入求值．练习 计算：（1）()322x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷+⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（2）()()2434x x x +÷+-+2x =+（3）已知220x -=，求代数式()222111x x x x -+-+的值． 刻意练习 计算：（1）化简分式：①222241121x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+--+⎝⎭ ②532224m m m m -⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭（2）先化简，再求值：235142x x x +⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中x =－4．（3）先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中x =4．（4）先化简21211x x x x --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭，再取一个你认为合理的x 的值，代入求原式的值．（5）先化简，再求值：124(2)22xx x x ---÷++，其中x 2=4．（6）先化简，再求值：524223a a a a -⎛⎫+-⋅⎪--⎝⎭，其中a 满足212448a a ++=．第10讲 分式的概念及性质A 基础巩固1．下列式子：1a ，x －2，6m ，3b ，zx y-，62a b +，25mn ，2217x x ++，a b a b -+中分式的个数是（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 2．下列分式从左至右的变形正确的是（ ）A ．22a a b b -=-- B ．11m n m n+=+ C ．21y y y xy x ++= D ．22a ac b bc = 3．若分式25x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠5 B ．x ≠－5 C ．x ＞5 D ．x ＞－54．下列各式中，与分式aa b--的值相等的是（ ） A ．a a b --- B ．a a b + C ．a b a - D ．a b a--5．化简22442y xy x x y -+-= ；22322m m m m-+-= ． 6．分式234m -与542m-的最简公分母是 ． 7．约分：（1）()()221227a b a a b -- （2）22326x x x x ++--（3）22416m m m -- （4）2442x x x -+-B 综合训练8．通分 （1）277a -，2312a a a -+，211a -（2）2145x x --，232x x x ++，22310x x x --（3）22a ab a ab +-，22ab b ab -，222a ab -（4）231881x x -+，2281x -，211881x x ++9．先化简，再求值：21211x x ---，其中x =－2．10．先化简，再计算222x y x y x y--+-，其中x =3，y =－2． 数学故事含有数字8的数究竟占了多大的比例在中国，“八”谐音“发”，成了一个人见人爱的幸运数字，不管是手机号，还是车牌号，谁都想要里面有一个数字8，含有数字8的数似乎成了一种不可再生的稀缺资源，那么，在全体自然数中，含有数字8的数点多大的比例？10%？50%？还是90%？现在，我们就进行一番严肃的数学计算吧，相邻答案会让你大吃一惊的．如果把0算上的话，一位数一共有10个，不过含有数学8的只有一个，只占总数的10%，那么，在两位数以内的所有数中，含有数字8有是不是也只占10%呢？不是的，从0数到99，一共100个数，但含有8的数有8，18，28，…，78，80，81，82，…，88，89，98，一共19个，也就是说，两位以内的所有数中，含有数字8的数占了19%．如果进一步扩大我们考虑的自然数范围，你会发现这个比值会越来越大，计算机显示，在0到9999999999之间的数中，含有数字8的数竟然占到了65.1%．为了得到全体自然数中含8的数所占的百分比，我们需要算出，位数增加到无穷大时，百分比会变成多少，为此，我们首先需要推导出百分比有什么计算公式．在考虑n位以内有所有数时，我们可以在不足n位的数的前面添0补足，这样一来，每个数都可以看作是恰好由n个0到9之间的数字组成的.显然，所有这样的数一共有10n个，但其中不含数字8的数（也就是只含有数字0，1，2，…，7，9的数）却只有9n个，因此，不含数字8的数占了所有数的90.9 10nnn=，含有数字8的数所占比例也就是10.9n-．当n趋于无穷大，0.9n将会越来越小，最终变成0，此时10.9n-也就变成了1，因此，结论就是：含有数字8的数占了全体自然数的100%！也就是说，几乎所有数都是含有数字8的．。
分式的概念及性质
分式的概念及性质因式分解因式分解的意义提公因式法22因式分解因式分解的方法平方差公式:a b(a b)(a b)运用公式法222完全平方公式:a2ab b(a b)因式分解的步骤把下列各式分解因式：(1) a2n－2a2n1＝；－ (2) 12x－x＋1＝； 42(3) m－m5＝； 2 (4) (1－x)＋(x－1)3＝ . （5）10a(x－y)－5b(y－x) (6)（x+y）+2x+2y（7）4a－(b＋c)22 （8）2x+4xy+2y 22《分式的概念》一、知识梳理：1、_________________________________________叫分式。
当________________时，分式有意义；当_________________时，分式无意义；当__________________时，分式值为零；当______________时，分式值为1。
2、_____________和____________________统称为有理式。
二、课堂精练：x15727ex22ay4x ④1、下列各式：① ② ③ ⑤ ⑥，其中整式有32x22x7x5y__________________，分式有________________，有理式有____________________________。
2、下列分式中，一定有意义的是_____________x1x25A、2 B、2 x1x1xx21C、 D、 2x13x3、题2中错误的选项要有意义，请你求各式的x的取值范围。
14、要使分式x2的值为零，则x的取值是____________________。
x15、当________________时，分式x2无意义。
(x1)(x3)6、对于分式x1，当___________时，它的值为正；当______________时，它的值为负。
2x1三、双基巩固：1、请你写出一个分式，满足当x=2时它无意义，这个分式可以是__________________；当x=2时它的值为零，这个分式可以是______________________。