高二数学辅导精讲：指数不等式、对数不等式的解法·例题

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高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析

高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析解不等式是中学数学解决问题的重要工具，在研究函数的性质、确立问题成立的条件等方面都有广泛的应用。

本阶段的重点是不等式的“等价转化”，将高次不等式低次化，无理不等式有理化、超越不等式代数化，最终回归到一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。

难点是解含参数的不等式，对于如何选择参数分类的标准、如何把握分类的时机是有难度和深度的。

一、高次不等式1．概念：形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0（其中x1, x2, ……,x n是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(n∈N)。

2．解题思路：作出相应函数的图象草图。

具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）。

然后根据图象草图，写出满足不等式的解集。

3．例题：例1．解不等式：(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0；(2)(x2-5x-6)(1-x)>0。

解：(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图（图1）。

所以不等式的解集为(-∞,-2)(-1,1)(2,+∞)。

(2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)<0。

作出函数y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图（图2），所以解集为(-∞,-1)(1,6)。

注意：(1)解题中首先观察关于x的最高次项的系数是否为正数，如果为正数，函数y在最右边的开区间上的函数值总为正数，因此曲线总在x轴的上方，这样作草图就可以一蹴而就了，如果不是正数，那么首先化为正数；(2)解高次不等式的步骤可以概括为：找零点、分区间、画草图、写解集。

例2．解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0。

分析：此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出现了重因式，当x值从大于-1变化到小于-1时（不含-1），y值符号没有发生变化，而x值从大于1到小于1时（不含1），y值符号发生了变化，如图3，故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+∞)。

4.8.2 指数不等式与对数不等式(含答案)

【课堂例题】例1.试解下列不等式：(1)1239x x ->; (2) 1()32x ≤;(3)2lg lg(6)x x >+； (4)0.5log 1x >-.课堂自测1.解下列不等式： (1)23712()2x x +-> (2)11332log ()log x x x -> (3)11()93x -<(4)2lg(6)1x -≤2.解下列不等式：(1)469x x x +>; (2)2log log 430x x +-≤;3.解不等式：2(2)log (34)0x x x ---<(选用)例2.解关于x 的不等式：2log (2)log 20,(0,1)a a a x a x a a -++>>≠.【知识再现】下列常见指数不等式与对数不等式的等价变形为：()()(0,1)f x g x a a a a ⎧>≠>⇔⎨⎩(0,1)log ()log ()a a a a f x g x ⎧>≠>⇔⎨⎩【基础训练】(解不等式的结果一律集合(区间)表示)1.解下列不等式： (1)352114()2x x +->; (2)451381x -≥.2.解下列不等式：(1)222log log x x ≥; (2)0.5log 2x ≤-.3.(1)不等式11()161282x <≤的整数解的个数为( )； A.10 B.11 C.12 D.13(2)不等式3log |2|2x -<的整数解的个数为( )；A.15B.16C.17D.18(3)若2log 13a<，则a 的取值范围是( ). A.2(0,)3 B.2(,)3+∞ C.2(,1)3 D.2(0,)(1,)3+∞ 4.解不等式：2log (6)2x x x -->.5.解不等式：2882lg3310x x +->.6.已知0,1a a >≠，解关于x 的不等式：(1)log 1a x >; (2)26160x xa a --≥.7.解不等式：||22x x +≥【巩固提高】8.解不等式组：11221124log (32)log (1)log (42)1log (21)x x x x ->+⎧⎪⎨-+≥-⎪⎩.9.利用函数、方程与不等式的关系，解不等式：232x x -+>要求：①解集中，区间的端点如有必要，请精确到0.01；②解集需满足纯粹性，即解集中不能包含不满足不等式的实数.(选做)10.以下两题任选一题：(1)求不等式77(lg 3)lg 2lg 30x x x ++++≥的解集.(2)已知对于任意正整数n ，不等式lg (1)lg a n a n a <+都成立，求实数a 的取值范围.【温故知新】11.已知()f x 是定义在区间[2,2]-上的单调减函数，且(1)2f =，则不等式2(3)2f x ->的解集是 .【课堂例题答案】例1.(1)1(,)3-∞-；(2)12[log 3,)+∞;(3)(6,2,)(3,)--+∞;(4)(0,2). 课堂自测： 1.(1)4(,)3x ∈+∞;(2)(1,2)x ∈；(3)(1,)x ∈-+∞;(4)[4,(6,4]x ∈-2.(1)23(,log x ∈-∞；(2)(0,1)[2,4]x ∈;(3)x ∈. 2(,),a a +∞11a <，(0f ⎧⎨<⎩(,)x a ∈+∞；[log 8,a +∞(21)][,2-或0122x x x <⎧⎪⎨+≥⎪⎩[1,2).。

指数不等式、对数不等式考试试题及答案

指数不等式、对数不等式考试试题及答案例5-3-7 解不等式：解(1)原不等式可化为x2-2x-1＜2(指数函数的单调性)x2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0所以原不等式的解为-1＜x＜3。

(2)原不等式可化为注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。

例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。

解[法一] 原不等式同解于所以原不等式的解为x＞3。

[法二] 原不等式同解于log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1)所以原不等式的解为x＞3。

注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。

解原不等式可化为22x-6×2x-16＜0令2x=t(t＞0)，则得t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。

注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。

解原不等式可化为解得t＜-2或0＜t＜1，即注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。

这时也常常用到换元法。

例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式解原不等式可化为令log a x=t，则得当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有4-t2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0t＜-1，或t＞3当a＞1时，则有4-t2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。

例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。

解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。

分析由题设条件容易联想到f(x)是指数型函数，又a2=f(1)·f(1)=f(2)，故原不等式同解于f(x2+x-4)＞f(2)。

对数不等式知识点总结及习题精讲

对数不等式知识点总结及习题精讲1. 设0,1,log ()log ()a a a a f x g x >≠>﹒(1) 当1a >时()()()0()0f x g x f x g x >⎧⎪⇒>⎨⎪>⎩﹒(2)当01a <<时()()()0()0f x g x f x g x <⎧⎪⇒>⎨⎪>⎩2.欲解2(log )(log )0a a p x q x r ++>型式的不等式﹐则先令log a x t =﹐代入不等式得20pt qt r ++>﹐再利用因式分解求出t 的范围﹐即可求得x 之范围3.对数函数的极值求法：(1)欲求函数2()(log )(log )a a f x p x q x r =++的极值时﹐可以先令log a t x =代入函数得二次函数2()g t pt qt r =++﹐再利用配方法求极值 (2)利用算几不等式求极值典型例题1.解下列不等式：(1)log 2(3x ) > log 2(x + 2)﹒ (2)log 3(5x ) < log 3(x + 4)﹒【解答】(1)323020x x x x >+⎧⎪>⎨⎪+>⎩﹐得x > 1﹒(2)545040x x x x <+⎧⎪>⎨⎪+>⎩﹐得0 < x < 1﹒2.解不等式：(1) log 2(x - 1) < 1 + log 4(x + 2)之解为。

(2) log 3(log 21x ) < 1之解为。

【解答】(1)∵ 原式有意义 ⇒ ⎩⎨⎧>+>-0201x x ⇒ x > 1……①原式化为log 2(x - 1) < log 22 +21log 2(x + 2) ⇒ x - 1 < 2 (x + 2)21⇒ (x - 1)2 < 4 (x + 2)⇒ x 2 - 6x - 7 < 0 ⇒ (x + 1)(x - 7) < 0 ⇒ - 1 < x < 7……② 由①②得1 < x < 7(2)log 3(log 21x ) < 1 ⇒ log 3(log 21x ) < log 33 ⇒ 0 < log 21x < 3⇒ log 211 < log 21x < log 21(21)3⇒ 1 > x >813.解下列各不等式：(1)132log (log )2x ≥-﹒ (2)144log (log )2x >﹒【解答】(1)2131221log (log )2log ()2x -≥-=⇒ 0 < log 3x ≤ 4⇒ log 31 < log 3x ≤ log 334 ⇒ 1 < x ≤ 81﹒ (2)2141441log (log )2log ()4x >=⇒410log 16x <<⇒116444log 1log log 4x << ⇒1812x <<﹒随堂练习.解下列各不等式：(1)log 3(x - 4) < log 9(x - 2)﹒ (2)log 0.7(x + 3) < log 0.49(x 2 + 3x + 2)﹒【解答】(1)由真数x - 4 > 0与x - 2 > 0 ⇒ 即x > 4…①log 3(x - 4) = log 9(x - 4)2 ⇒ log 9(x - 4)2 < log 9(x - 2) 又底数9 > 1⇒ (x - 4)2 < x - 2﹐可得3 < x < 6…② 由①②可知﹕4 < x < 6﹒(2)真数恒正﹕x + 3 > 0且x 2 + 3x + 2 > 0 x > - 3且（x > - 1或x < - 2） ⇒ - 3 < x < - 2或x > - 1…① log 0.49(x + 3)2 < log 0.49(x 2 + 3x + 2) 又底数0.49 < 1⇒ (x + 3)2 > x 2 + 3x + 2 ⇒ 6x + 9 > 3x + 2 73x ⇒>-…②由①②知﹕723x -<<-或x > - 1﹒随堂练习.解下列各不等式：(1)212log (log )0x > (2)212log (log )0x <﹒【解答】(1)2122log (log )0log 1x >=⇒11221log 1log 2x >=⇒102x <<﹒ (2)2122log (log )0log 1x <=⇒120log 1x <<⇒1112221log 1log log 2x <<112x ⇒>>即112x <<﹒随堂练习.解不等式2122log (log (log ))1x >﹒【解答】2122log (log (log ))1x >21222log (log (log ))log 2x ⇒>2121122211log (log )2log ()log 24x ⇒>==（因为底数2 > 1）210log 4x ⇒<<（因为底数112<﹐且真数log 2x > 0）142222log 1log log 2log x ⇒<<=1x ⇒<随堂练习.不等式log 21(3x + 1) > 2之解为。

指数与对数不等式的解法

指数不等式：转化为代数不等式()()()()()1.(1)()();(01)()()2.(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x ab a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>对数不等式：转化为代数不等式 ()0log ()log ()(1)()0;()()()0log ()log ()(01)()0()()a a a a f x f x g x a g x f x g x f x f x g x a g x f x g x >⎧⎪>>⇔>⎨⎪>⎩>⎧⎪><<⇔>⎨⎪<⎩例题例1.解不等式66522252.0-+---≥x x x x变式 .解关于x 的不等式：222)21(2--+>x x x例2.解不等式154log <x . 例3.如果x=3是不等式：2log (2)log (1)log 3aa a x x x --<++的一个解，解此关于x 的不等式.例4.解不等式：)10(log 31log ≠<-<-a x x a a例5．1>a 时解关于x 的不等式0]1)2(2[log 12>++-+x x x x aa a 练习 1.不等式log log 221>x 的解集为……………………………………（）（A ）{x|x<2} （B ）{x|0<x<2} （C ）{x|1<x<2} （D ）{x|x>2}2. （05辽宁卷）若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（）A ．),21(+∞ B ．),1(+∞ C ．)1,21(D ．)21,0(3. (05全国卷Ⅰ) 设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（）（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞ （C ）)3log ,(a -∞ （D ）),3(log +∞a4. （05山东卷）01a <<，下列不等式一定成立的是（）（A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++> （B ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+（C ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ （D ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+5、不等式x x 283)31(2--> 的解集为； 6、不等式1)22lg(2<++x x 的解集为； 7.若3log 1(0,1),4aa a <>≠且则实数a 的取值范围为 8. )54(log 231++-=x x y 的单调递增区间为作业 1．不等式1log21<x 的解集为（）A ．}41|{>x xB ．}1,41|{≠>x x x 且 C ．}4101|{<<>x x x 或 D ．}410|{<<x x2．不等式)1(1)12(1log log ---->x a x a 成立的充要条件（） A ．1,2>>x a B ．1,1>>x aC ．0,2>>x aD ．0>x3．已知集合=⋂>-=<=N M x x N x M xx 则},0)1(log |{},33|{21322（）A ．)23,0(B ．)2,23( C ．)23,1( D ．(0,1)4．若函数)2(log 22a ax x y +-=的值域为R ，则实数a 的取值范围（）A ．10<<aB ．10≤≤aC ．10><a a 或D ．10≥≤a a 或 5．对于22322)21(,a x ax x R x +-<∈不等式恒成立，则a 的取值范围（）A ．(0,1)B ．),43(+∞C ．)43,0(D ．)43,(-∞ 6．不等式)1(4)1(2log 5log 2++->x x 的解集是____________________.7．不等式1)11(log >-xa的解集为_____________________. 8．解下列不等式①2log )532()1(2>-++x xx ②0825421≥+⋅-+x x。

高三数学不等式的解法分式、高次、指数、对数、含参不等式的解法

含绝对值不等式的解法
公式法：(a>0)
|x|=a x a
|x|>a x a或x -a
|x|<a a x a
注意a≤0
|x|＜a在a≤0时解集是φ， |x|≥a在a≤0时解集是R
例4：①不等式(1 x )(1 x) 0的解集
②不等式x2 - x - 2 0的解集
f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x)
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
f (x) g(x)
可同解变形为
g(x) 0 f (x) 0 f (x) g 2 (x)
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
lo解ga 法f (；x) loga g(x)
（a>0，a≠1)型的不等式的
Aa2x Bax C 0
中级目标：掌握可化为
及不等式的A解法log；a2 x B loga x C 0 型的
高级目标：初步掌握综合有根式、指数、对数
的不等式的解法；用分类讨论思想解指数、对数不等式；（依时间而定）
f (x) g(x)
可同解变形为
g(x) 0 f (x) 0
或
g(x) 0
f (x) g 2 (x)
f (x) 0
按g(x)分类
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
你知道吗？
指数的性质：
指数的运算法则：
a0 1(a 0)
ax ay axy
不等式的解法二
分式、高次、指数、对数、含参不等式的解法
分式不等式的解法：

指、对数不等式的解法

指、对数不等式的解法【知识要点】1．化同底把指数不等式和对数不等式转化为代数不等式：（1）()()()()1()()01f xg x f x g x a aaf xg x a >>⎧>⇔⎨><<⎩；（2）当1a >时，()0log ()log ()()0()()aa f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩当01a <<时，()0log ()log ()()0()()aa f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩2．通过换元法把指对数不等式转化为代数不等式：（1）形如20x x Aa Ba C ++>的不等式可以换元x t a =。

（2）形如2log log 0a a A x B x C ++>的不等式可以换元log a t x =。

3、对数恒等式：∴01log =a ， 1log =a a ，Na Na=log4、运算法则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=+=R)(n log log Nlog M log N M log N log M log (MN)log a na a a a a a a Mn M【精选例题】例1．不等式组22|2|2log (1)1x x -<⎧⎨->⎩的解集为 ( )(A)； (B),2)； (C),4)； (D) (2,4)。

例2．解不等式（1）2415210xx -+⋅-≤（2）2lg 4lg 30x x -+<。

例3．已知函数()log a f x x =满足2(3)(2)f a f a -<，求实数a 的取值范围。

【基础训练】1.已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=<，M N = （）.A ∅ .{|23}B x x << .{|02}C x x << .{|2}D x x <2．不等式2123139x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______________。

4高三第一轮复习——无理不等式、指数与对数不等式的解法

高三第一轮复习——无理不等式、指数与对数不等式的解法1.无理不等式解无理不等式关键是把它同解变形为有理不等式组一.⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型例1.解不等式0343>---x x 解：∵根式有意义，∴必须有：303043≥⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x ，又有∵ 原不等式可化为343->-x x 两边平方得：343->-x x ，解之：21>x ，∴}3|{}21|{}3|{>=>⋂>x x x x x x 二.⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型例2.解不等式x x x 34232->-+-解：原不等式等价于下列两个不等式组的解集的并集：（Ⅰ）：⎪⎩⎪⎨⎧->-+-≥-+-≥-222)34(23023034x x x x x x ，或（Ⅱ）：⎩⎨⎧<-≥---0340232x x x 解（Ⅰ）得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⇒<<<≤≤345623562134x x x x ，解（Ⅱ）得：234≤<x ∴原不等式的解集为}256|{≤<x x 三.⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型例3.解不等式24622+<+-x x x解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+≥+-222)2(462020462x x x x x x }10102|{100212≤<<≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<->≤≥⇒x x x x x x x 或或特别提醒注意：取等号的情况例4.解不等式1112-+>+x x解：要使不等式有意义必须：2112101012-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≥⇒⎩⎨⎧≥+≥+x x x x x 原不等式可变形为 1112+>++x x 因为两边均为非负 ∴22)1()112(+>++x x 即)1(122+->+x x∵x +1≥0 ∴不等式的解为2x +1≥0 即 21-≥x 例5.解不等式36922>-+-x x x 解：要使不等式有意义必须：306033060922≤≤⇒⎩⎨⎧≤≤≤≤-⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x x x x 在0≤x ≤3内 0≤29x -≤3 0≤26x x -≤3 ∴29x ->3-26x x - 因为不等式两边均为非负两边平方得：22266699x x x x x ---+>- 即26x x ->x因为两边非负，再次平方：226x x x >- 解之0<x <3综合得：原不等式的解集为0<x <3例6.解不等式1123>-+-x x解：定义域 x -1≥0 ，x ≥1，原不等式可化为：3211->--x x 两边立方并整理得：)1(41)2(->-+x x x在此条件下两边再平方, 整理得：0)10)(2)(1(>---x x x解之并联系定义域得原不等式的解为}1021|{><<x x x 或针对训练：解下列不等式1．655332->-+-x x x 2．33333++<++-x x x x3．x x ->--2144．02)1(2≥---x x x5．112>+--x x 参考答案：1. )2(>x2. )3(-≥x3. (12135≤<+-x )s4. )12(-=≥x x 或5. )2511(-≤≤-x 2.指数与对数不等式的解法一.知识回顾：（1）)()(x g x f a a >⇔)()(x g x f a a >⇔当10<<a 时)()(x g x f <；当1>a 时)()(x g x f >。

4.7 指数不等式与对数不等式

D.∅
【答案】C
二、填空题
9.若2x<4,则x的取值范围是 (-∞,2) .
10.函数y=(lox+2)0的定义域是 (0,9)∪(9,+∞) .
11.不等式
1 2
x
<3的解集是
(log1 3, )
2
.
12.不等式log2(x+1)<3的解集是 (-1,7) .
三、解答题
13.解下列指数不等式.
【解】要使函数y=log(x-1)(64-4x)有意义,
必须
64 x 1
4x 0,
0,
解得
x x
3, 1,
x 1 1,
x 2,
即1<x<3且x≠2,所以,所求定义域为{x|1<x<3且x≠2}.
【同步训练】一、选择题 1.函数y= 2x 4 的定义域是
A.{x|x<2} C.{x|x>2}
14.解下列对数不等式. (1)log 1(4x2-x)>1;
2
【解】 (1) log1 (4x2 x) 1,
2
由对数性质得
4x2 4x2
x x
0,
1 2
,
解得{x
|
1 4
x
0}
{x
|
1 4
x
12}.
(2)lg(x+2)-lg(x-3)>1;
【解】 (2)lg(x 2) lg(x 3) 1,
0,
3 2
x 1,所以解集为
3 2
,
1
.
【点评】在高考中经常出现这类型不等式,请同学们分析它的解法,然后自己解第(2)问.

指数方程和不等式与对数方程和不等式

指数方程和不等式与对数方程和不等式一、指数方程和不等式与对数方程和不等式指数方程和不等式与对数方程和不等式是对指数函数和对数函数的性质的综合运用．我们将指数方程和对数方程的主要类型和解法列入下面的表格：分析：1、解指数方程和对数方程主要是运用转化的思想将方程化归为己学过的代数方程来解，同时要注意对数方程的同解变形，重视对根的检验．2、对于含有指数函数或对数函数的混合型方程，常用图象法求方程的近似解或确定方程的根的个数．3、在解含有参数的指数方程和对数方程时，必须注意对字母的取值范围的讨论．将上述表格中的等号“＝”改为不等号“＜”或“＞”即得到指数不等式和对数不等式，它们的解法在本质上与方程的解法是相同的，同时也要对字母的取值范围进行讨论．但不同的地方在于要对底数a的取值范围进行讨论，因为a的取值范围不同时要影响指数函数和对数函数的单调性．要注意方程与不等式的本质联系与区别．例1 解下列方程：(1)lg2x·lg3x=lg2·lg3；(2)；(3)；(4)log(x+1)(2x2-2x+1)=2分析：(1)根据方程的结构，可以从方程中分离出变量lgx，利用换元的方法求解；(2)去分母后可采用换元的方法；(3)再对方程变形后采用两边取对数的方法求解；(4)利用对数定义将方程转化为代数方程求解．解：(1)原方程可化为(lg2+lgx)(lg3+lgx)＝lg2·lg3，即lg2x+lg6·lgx＝0．解得lgx＝0或lgx＝-lg6. ∴x＝1或.经检验，x＝1和都是方程的根．(2)方程可化为3x+1-3-x+2＝0，即3·32x+2·3x-1＝0．设y＝3x，则3y2+2y-1＝0，解得y1=-1，.当y＝-1时，3x＝-1＜0，无意义，故舍去；当时，, ∴x=-1。

(3)原方程即，即, ＝3．两边取以3为底数的对数，得到(log3x)2=1, ∴log3x=±1, 解得x＝3或.经检验，x＝3和都是原方程的根．(4)根据对数的定义得到(x+1)2＝2x2-2x+1，即x2-4x＝0．解得x＝0或x＝4．当x＝0时，x+1＝1，故舍去．∴原方程的根为x＝4．总结：(1)解对数方程时，必须注意对根的检验；(2)换元的方法是解方程的一种常用方法；(3)在解指数方程和对数方程时，要注意应用指数和对数的有关性质和法则对方程进行变形．当幂指数上含有未知数时，往往两边取对数求解．例2 解方程：lgx+lg(4-x)＝lg(2x+a)解：原方程等价于：, ∴.设y1＝a, y2＝-x2+2x，x∈(0,4). 作出两个函数的图象，如图所示．分以下三种情况讨论：(1) a>1或a≤-8 时，方程无解；(2) 0<a<1时，方程有两解；(3) -8<a≤0, 方程有一解。

高中数学——“不等式的解法”归类专题(参考)

“不等式的解法”专题一．整式不等式的解法步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇过偶不过），定解1. 一元一次不等式ax >b 解的讨论：当a>0时解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,a b ，当a<0时解集为,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭当a=0且b<0时解集为R ，当a=0且b ≥0时，解集为Φ；2. 一元二次不等式我们总可化为ax 2+bx+c>0和ax 2+bx+c+<0(a>0)两形式之一，记△=b 2-4ac 。

跟踪训练1.若01,a <<则不等式()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解是 2. x 的取值范围是3. 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．4.解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()二．分式不等式的解法先移项通分化为一边为()()f xg x ，一边为0的形式，再等价转化为整式不等式，即： ()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩跟踪训练 1.下列不等式与012≤+x x同解的是（） (A)01≤+xx (B)0)1(≤+x x (C) 0)1lg(≤+x (D)21|1|≤+x x 2. 不等式x x<1的解集为 .3. 不等式1213≥--xx 的解集为（） (A){x |43≤x ≤2} (B) {x |43≤x <2} (C) {x |x >2或x ≤43} (D){x |x ＜2} 4. 不等式21≥+x x的解集为 .5.解不等式237223x x x -≥+- 巩固训练不等式(x －2)2·(x －1)>0的解集为 . 不等式(x ＋1) ·(x －1)2≤0的解集为 .1. 不等式(x 2－2x －3)(x 2－4x +4)<0的解集为（） A .{x | x <－1或x >3} B .{x | －1<x <3}C .{x | x <－3或x >1}D .{x | －1<x <2或2<x <3} 2.与不等式023≥--xx 同解的不等式是（） A.(x －3)(2－x )≥0 B.lg(x －2)≤0 C.032≥--x xD.(x －3)(2－x )>0 3.不等式12x x-≥的解集为（） A. [1,0)- B. [1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1](0,)-∞-+∞U含绝对值的不等式1.应用分类讨论思想去绝对值；2.应用数形结合思想；3.应用平方法（要求不等式两端同号）基础训练1. 不等式|8－3x|＞0的解集是（）A B RC {x|x }D {83}．．．≠．∅83 2.不等式1|1|3x <+<的解集为（）.C. (4,0)-D. (4,2)(0,2)--U3. 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为指数、对数不等式的解法解指数、对数不等式的一些常用方法：（1）同底法：能化为同底数先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底是参数时要注意分类讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件（2）转化法：多用于指数不等式，通过两边取对数转化为对数不等式（3）换元法：多用于不等式两边均有统一的组合形式，或取对数后再换元，注意所换“元”的范围（4）数形结合基础训练 1. 不等式2261xx +-<的解集为2.不等式1(33>的解集为 3. 不等式2log (2)0x -≤的解集为 4.函数()f x =为5. 不等式20.20.2log (23)log (31)x x x +->+的解集为6. 不等式0.51log x x ->的解集为巩固训练 1.已知当94x =时，不等式22log (2)log (23)a a x x x x -->-++成立，则不等式的解集为 2.设1232,(2)()log (1),(2)x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 3. 已知集合22{228,},{log 1,}x A x x Z B x x x R -=≤≤∈=>∈，则()R A C B ⋂的元素个数为_____个5 若关于x 的方程2222x xxxa ---=+有解，求实数a 的取值范围6 已知0,1a a >≠，若2log 2log a a <，求实数a 的取值范围不等式解法六种典型例题典型例题一（整式不等式）例1. 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”。

解决不等式恒成立问题的几种方法及指数不等式与对数不等式

解决不等式恒成立问题的几种方法及指数不等式与对数不等式一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ; 2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a例1．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或。

所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞Y 。

若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。

解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。

综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。

二、最值法（分类讨论）将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔ 例3 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.解析本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立⇔2)(],2,2[m in≥-∈∀x f x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-=-≤-237)2()(22m in a f x f a或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=-=≤-≤-243)2()(2222m in a a a f x f a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+==>-27)2()(22m in a f x f a ，即a 的取值范围为]222,5[+--. 点评对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >⇔m in )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔m ax )(.本题也可以用零点分布策略求解.练习、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。

高考数学复习专题05不等式指数不等式与对数不等式备考策略

指数不等式与对数不等式的解法备考策略主标题：指数不等式与对数不等式的解法备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

关键词：不等式，指数不等式与对数不等式的解法，备考策略难度：3重要程度：5 内容：1.指数函数的定义域与单调性是什么？2.对数函数的定义域与单调性是什么？思维规律解题考点1.)()(x g x f a a 型不等式的解法例1. 解不等式：解 (1)原不等式可化为x 2-2x-1＜2(指数函数的单调性)x 2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0所以原不等式的解为-1＜x ＜3。

(2)原不等式可化为考点2. )(log )(log x g x f a a >型不等式的解法例2.解不等式log x+1(x 2-x-2)＞1。

解原不等式同解于log x+1(x 2-x-2)＞lo g x+1(x+1)所以原不等式的解为x ＞3。

考点3.02>++C Ba Aa x x 型不等式的解法例3.解不等式82162112<⎪⎭⎫⎝⎛⨯---xx解原不等式可化为22x -6×2x -16＜0令2x =t(t ＞0)，则得t 2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t ＜8 又t ＞0，故0＜t ＜8即0＜2x ＜8，解得x ＜3。

考点4.0log )(log 2>++C x B x A a a 型不等式的解法例4.解不等式1)1(log 41log 21)1(>---x x解原不等式可化为解得t ＜-2或0＜t ＜1，即。

指数不等式和对数不等式解法

2或x
log 3
2 3
∴原不等式的解集为x
|
x
2或x
log
3
2
3
例5求 y log (2x 1) 的定义域 0.1 解：要使此函数有意义：只须
log (2x 1) 0 0.1
2 x
2
x
1 0 1 1
x 0
x
1
0 x 1
∴原不等式的解集为 x | 0 x 1
例2：袋中有5个白球和3个黑球，从中任取两个球，求取得的两个球颜色相同的概率。
解：设A=两球颜色相同 B=两白球 C=两黑球
A=B+C其中B、C互斥
∴P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C）
C52 C82
C32 C84
0.357 0.107 0.464
答：取得两球颜色相同的概率是0·464
a
a
f (x) g(x)
f (x) 0
log f (x) log g(x) g(x) 0
a
a
f (x) g(x)
例1：解不等式：
0.2 x2 2x1 0.04
•
解 (1)原不等式
0.2 x2 2 x1 0.2 2
x2 2x 1 2
(x 1)( x 3) 0
1 x 3
指数不等式的解法是利用指数函数的性质化为同解的代数不等式
a 1时，
a f (x) a g(x) f (x) g(x); a f (x) a g(x) f (x) g(x);
0 a 1时，
a f (x) a g(x) f (x) g(x); a f (x) a g(x) f (x) g(x);
(x 4)(x 1) 0 (x 4)(x 1) 0

指数不等式、对数不等式的解法_例题

指数不等式、对数不等式的解法·例题例 5-3-7解不等式：解 (1) 原不等式可化为x2 -2x-1 ＜2( 指数函数的单一性 )x2 -2x-3 ＜0 (x+1)(x-3)＜0因此原不等式的解为 -1 ＜x＜3。

(2)原不等式可化为注函数的单一性是解指数不等式、对数不等式的重要依照。

例 5-3-8解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。

解 [ 法一 ]原不等式同解于因此原不等式的解为x＞ 3。

[ 法二 ]原不等式同解于log (x2-x-2)＞ log (x+1)x+1x+1因此原不等式的解为x＞ 3。

注解这种对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类议论。

解原不等式可化为22x-6 ×2x-16 ＜ 0令 2x=t(t ＞0) ，则得t 2 -6t-16 ＜ 0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8又 t ＞0，故 0＜ t ＜ 8 即 0＜2x＜ 8，解得 x＜3。

注解这种指数不等式，经常需要经过变量代换把它变成整式不等式来解。

解原不等式可化为解得 t ＜-2 或 0＜ t ＜ 1，即注解不一样底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单一性将它转变成整式不等式求解。

这时也经常用到换元法。

例 5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式解原不等式可化为令 log a x=t ，则得当 0＜a＜1 时，由指数函数的单一性，有4-t 2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0t ＜ -1 ，或 t ＞ 3当 a＞1 时，则有4-t 2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不一样底的指数或对数化为同底的，再经过函数的单一性将复合情况转变成只含指数或对数的单一情况求解。

例 5-3-12 设 f(x) 是定义在实数集 R内的函数，对随意 x， y∈ R，有f(x+y)=f(x) ·f(y) ；而且当 x＞ 0 时， f(x) ＞1，f(1)=a 。

一（7）指数、对数不等式的解法（教师）

一（7）指数、对数不等式的解法（教师）模块：一、集合、命题、不等式课题：7、指数、对数不等式的解法教学目标：掌握指数、对数不等式的解法．重难点：指数、对数运算的应用．一、知识要点1、指数不等式的解法2、对数不等式的解法注：解指数、对数不等式，未指定底数的大小，要分1a >和01a <<两种情况解．二、例题精讲例1、解下列不等式（1）2lg 12x <；（2）649x x x+>；（3）2216230x x+-+<．答案：（1）11,00,1010 - ? ????? ；（2）23,log ?-∞ ??；（3）()40,log 3．例2、解下列不等式（1）()()122log 21log 222x x +-?-<；（2）()3log 3log 01a a x x a a <>≠且；（32112log x>+．答案：（1）225log ,log 34?? ??；（2）当01a <<时，()()a +∞ ；当1a >时，((0,1,a ；（3）()0,1,22? ??例3、解下列关于x 的不等式（1）()3log 101a x a xa a x --??<>≠且；（2）()()2log 12101a x a a a ->->≠且．答案：（1）当1a >时，解集为()3,a a ；当01a <<时，解集为()()30,,a a +∞ ；（2）当102a <<时，解集为()0,+∞；当12a =时，解集为()110,,22,22 +∞ ? ?????；当112a <<时，解集为((()0,aa+∞ ；当1a >时，(()0,a +∞*例4、（1）解不等式2231037290x x +-?+≤；（2）对满足（1）的x ，若函数()()22log log 1a a y a x x b =?-+的最大值为32，最小值为0，求a b 、的值．答案：（1）[]2,4；（2）2a =或12a =，32b =．三、课堂练习1、当1,33x ??∈时，log 1a x <恒成立，则实数a 的取值范围是．答案：[)10,3,3+∞ ??2、22xx +≥答案：)21|log 12x x x ??≤≥或3、不等式0.5log 1xxx<的解集为．答案：()()0,12,+∞412log 1x <-的解集为．答案：10,8?? ???5、对于11a -≤≤，使不等式221 1122x axx a ++-??< ?恒成立的x 的取值范围是．答案：0x <或2x >6、不等式()222log 0x x ->的解集是．答案：())0,1+∞四、课后作业一、填空题1、不等式21log 63x x ??++≤的解集为．答案：({}331---+ 2、函数y =答案：[)22log 3,3--3、不等式()()()2cos lg 2010,x x π>∈的解是．答案：0,2π??4、已知全集I R =，261|12x x A x -- =>?? ?，(){}3|log 2B x x a =-<，当A B ?时，a 的取值范围是．答案：[]6,2--5、不等式1402x->的解集为；若关于x 的不等式42x x a ->的解集为R （实数集），则实数a 的取值范围是．答案：1,2??-+∞ ；1,4?-∞- ??6、不等式2223122x axx a -+??< ?的解集为R ，则实数a 的取值范围是．答案：34a >二、选择题7、已知关于x 的方程()4200xxa b c a ?+?+=≠中，常数a 和b 同号，而b 和c 异号．则下列结论中正确的是（） A 、此方程无实根 B 、此方程有两个互异的负实根 C 、此方程有两个异号实根 D 、此方程仅有一个实根答案：D8、若不等式220x ax a -+>对x R ∈恒成立，则关于t 的不等式221231t tt aa ++-<<的解为（） A 、12t << B 、21t -<<C 、22t -<<D 、32t -<<答案：A9、若集合12|log 2,S x x x R ??=>-∈，{}2,T x x Z =<∈，则S T 中的元素个数为（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个答案：B三、解答题10、解下列关于x 的不等式：（1）()()11241log 4log 1xxaa+-≥-（0a >且1a ≠）；（2）92log 2a xxxa >．答案：（1）当1a >时，解集为{}|log 2log 4a a x x ≤<；当01a <<时，解集为{}|log 4log 2a a x x <≤；（2）当1a >时，解集为142|0x x a x a ??<<>或；当01a <<时，不等式的解集为1 42|x a x a ??<<．11、（1）2121|13x x A x --=>?? ?，(){}3|log 32B x x a =-<；（2）(){}2|log 5832x A x x x =-+>，{}24|210B x x x a =--+≥，当A B ?时，分别求a 的取值范围．答案：（1）423a -≤≤-（2）55a -≤≤12、已知n 为自然数，实数1a >，解关于x 的不等式：()()()231212log 4log 12log 2log log 3n nn a a a a a x x x n x x a ----+-+->-答案：?+∞。

高次分式指数对数不等式的解法

{x | −3 < x < 2}.
点评
题型1 : a
f ( x)
>a
f ( x)
g ( x)
, (a > 0, 且a ≠ 1)
g ( x)
思路格式 : 同底法. 当a > 1时, a >a
f ( x)
⇔ f ( x) > g ( x)
g ( x)
当0 < a < 1时, a
>a
⇔ f ( x) < g ( x)
x +3 2
−1 >
x 3
+4
例题：例4.解不等式 |x-5|+|x+5|≤12 例5.解不等式组 |3x-4| +|x+2|≤ 5
作业：练习卷。
课外挑战
例1、已知不等式 2+abx+b>0的解集为、已知不等式ax 的解集为 (2，3)，求实数a，b的值，，求实数，的值. 的值
试一试：已知不等式试一试：已知不等式ax2+bx+c>0的解集为的解集为

(α , β )(0 < α < β ) ,求不等式 2 +bx+a<0的求不等式cx 求不等式的解集．解集．
考点精讲精练
的不等式: 例2、解关于的不等式、解关于x的不等式
( x − 4)( x − 2)( x − 3) ≥0 3 2 ( x − 1) ( x − x + 1)
2 5
[−2,1) ∪ {2} ∪ [3, +∞)
例3.解不等式 : 2
x 2 − 2 x −3
1 3( x −1) <( ) . 2

2021年高考数学复习专题05 不等式指数不等式与对数不等式易错点

2021年高考数学复习专题05 不等式指数不等式与对数不等式易错点主标题：指数不等式与对数不等式的解法副标题：从考点分析指数不等式与对数不等式的解法在高考中的易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。

关键词：不等式，指数不等式与对数不等式的解法，易错点难度：3重要程度：5内容：一、忘记根据底数的范围讨论函数的单调性【例1】解不等式且）.错解：由，得，即，解得，即的解集为.剖析：本题忘记讨论底数与两种情况，导致错误.正解：当时，由，得，即，解得；当时，由，得，即，解得；综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.二、忽视对数式的“真数为正”导致错误【例2】解不等式错解：由，得，即，解得，即的解集为.剖析：本题忽视对数式中的真数为正值导致错误.正解：由，得，即，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->>->3221x x x ，即，即的解集为.三、利用换元思想时，忘记中间元的求值范围导致错误【例3】若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．错解：∵不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.由二次函数的性质可知：y 取得最小值-1，∴实数a 的取值范围为(－∞，-1]．剖析：本题解析中，忘记条件导致错误.正解：∵不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4.由二次函数的性质可知：当2x ＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0，∴实数a 的取值范围为(－∞，0]．!3W35989 8C95 貕32501 7EF5 绵MK27059 69B3 榳 q25719 6477 摷39030 9876 顶。

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指数不等式、对数不等式的解法·例题
例5-3-7 解不等式：
解(1)原不等式可化为
x 2-2x-1＜2(指数函数的单调性)
x 2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0
所以原不等式的解为-1＜x＜3。

(2)原不等式可化为
注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。

例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。

解[法一] 原不等式同解于
所以原不等式的解为x＞3。

[法二] 原不等式同解于
log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1)
所以原不等式的解为x＞3。

注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。

解原不等式可化为
22x-6×2x-16＜0
令2x=t(t＞0)，则得
t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8
又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。

注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。

解原不等式可化为
解得t＜-2或0＜t＜1，即
注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。

这时也常常用到换元法。

例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式
解原不等式可化为
令log a x=t，则得
当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有
4-t 2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0
t＜-1，或t＞3
当a＞1时，则有
4-t 2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3
注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。