点到直线的距离与两条平行线间的距离
第二章 点到直线的距离(第三课时) 两条平行直线间的距离
课堂小结
1.知识清单： (1)两条平行线间的距离. (2)两条平行线间的距离最值问题. 2.方法归纳：数形结合法、解方程(组)法. 3.常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x， y的系数分别对应相同.
随堂演练
1.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为
A.1
√B. 2
C. 3
D.2
跟踪训练3 已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平 行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_x_＋__2_y_－__3_＝__0_.
解析 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距 离最大. 因为A(1,1)，B(0，－1). 所以 kAB＝－01－－11＝2， 所以两条平行直线的斜率为－12， 所以直线 l1 的方程为 y－1＝－12(x－1)，
(2)当d取最大值时，两条直线的方程.
解 由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直. 而 kAB＝26－ －－ －13＝13， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
反思感悟 应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”， 从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运 动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变 化范围.
解得c＝11或c＝－9.
三、平行直线间的距离的最值问题
例3 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着 A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围；
点到直线的距离、两条平行线间的距离 课件
法二：由平面几何知识知l∥AB或l过线段AB的中点． ∵直线AB的斜率kAB＝4， 若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0. 若l过AB的中点(1，－1)，则直线方程为x＝1， 故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.
点到直线的距离 两条平行线间的距离
点到直线的距离与两条平行线间的距离
定义 公式
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
点 到 直 线 的 垂 线 夹在两条平行直线间公垂
段的长度
线段的长度
点 P0(x0，y0)到直 两条平行直线 l1：Ax＋By 线 l：Ax＋By＋C ＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2
点到直线的距离
[例 1] 求点 P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝34x＋14；(2)y＝6；(3)x＝4. [解] (1)直线 y＝34x＋14化为一般式为 3x－4y＋1＝0，由 点到直线的距离公式可得 d＝|3×3－324＋×－－422＋1|＝158.
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离 d＝|－2－6|＝8.
由题意，得|C1－3 6|＝2， 所以C＝32，或C＝－20. 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝ 52|＋C－－6|122， 解得C＝32，或C＝－20. 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离 d＝|3－4|＝1.
[类题通法] 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般 式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适 用．
点到直线的距离公式两条平行直线间的距离(导学案) 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2.3.3 点到直线的距离公式2.3.4 两条平行直线间的距离导学案一、明确目标（一）学习目标1．通过阅读课本74-78页，探索并掌握平面上点到直线的距离公式.2．通过同伴互助，会求两条平行直线间的距离.3．通过同伴互助，提升学生的计算能力以及数学运算的核心素养．（二）学习重点点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式的应用．（三）学法指导1．自学思考法；2．复习类比法．二、知识梳理自学课本74-78页，并完成下列填空题与思考题.知识点一点到直线的距离公式（1）点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的的长度，其中是垂足．（2）点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.知识点二两条平行直线间的距离（1）两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的的长，也就是一条平行直线上任一点到另一直线的．（2）两条平行直线间的距离公式①P(x0，y0)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2间的距离d＝.①两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝.思考题1：（1）点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是m＋n－12.()（2）连接两条平行直线上的两点，即得两条平行直线间的距离．()（3）两条平行直线间的距离是两条平行直线上两点间距离的最小值．()思考题2：（1）已知点A(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝()A． 2 B．2－ 2 C．2－1 D．2＋1（2）点P(1,2)到直线2x＋y－4＝0的距离等于________．（3）若点(4,3)到直线3x－4y＋C＝0的距离为1，则C＝________.（4）两条平行直线4x＋6y＝16与2x＋3y＋18＝0间的距离等于________．三、典例探究题型一点到直线的距离例1（1）求点P0(－1，2)到下列直线的距离：①2x＋y－10＝0；①x＋y＝2；①y－1＝0.（2）已知P1(2,3)，P2(－4,5)与点A(－1,2)，求过点A且与P1，P2距离相等的直线l的方程．题型二求两条平行直线间的距离例2 求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0的距离为2的直线方程．题型三 距离公式的综合应用例3 已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． （1）若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； （2）求点A (5,0)到l 的距离的最大值．四、课堂展示1．自由展示：展示“同伴互助”环节本组还没解决的问题，其他组代表给出方案，代表回答不完善的，本组同学优先补充，其他组可以质疑.2．预设展示：例3变式：两条平行直线l 1，l 2分别过P 1(1，0)，P 2(0,5)，若l 1与l 2间的距离为5，求两条直线的方程．五、总结提升求点到直线的距离： 求两条平行线间的距离：六、达标测评1．P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任意的点，则|PQ |的最小值为( ) A ．95 B ．185C ．3D ．62．（多选）已知点A (1＋t,1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点A 的坐标可以为( ) A ．(0，－2)B ．(2,4)C ．(－1，－5)D ．（12，－12）3．若点P 到直线5x －12y ＋13＝0和直线3x －4y ＋5＝0的距离相等，则点P 的坐标应满足的方程是( )A ．32x －56y ＋65＝0或7x ＋4y ＝0B ．x －4y ＋4＝0或4x －8y ＋9＝0C ．7x ＋4y ＝0D ．x －4y ＋4＝04．经过两条直线x ＋3y －10＝0和3x －y ＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________． 5．已知直线l ：3x －2y －6＝0.（1）若直线l 1过点M (1，－2)，且l 1①l ，求直线l 1的方程；（2）若直线l 2①l ，且直线l 2与直线l 之间的距离为 13，求直线l 2的方程．【课上选学】已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)，l 2：－4x ＋2y ＋1＝0和l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2的距离是7510.（1）求a 的值；（2）能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限的点；①点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；①点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2① 5.若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由．附：课上选学答案：（1）因为l 2可化为2x －y －12＝0，所以l 1与l 2的距离为221||221a d -=+＝7510.因为a >0，所以a ＝3.（2）设存在点P (x 0，y 0)满足①，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12·1||25c +，即c ＝132或c ＝116.所以满足条件①的点P 满足2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0.若点P 满足条件①，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|.所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0.因为点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得00312x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去)，联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得00193718x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P(19，3718)即为同时满足条件的点.。
高中数学 3.3.2点到直线的距离及两条平行直线间的距离练习 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2
3.3.2点到直线的距离及两条平行直线间的距离 基础梳理1．点P0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0练习1：点P 0(0，5)到直线2x －y ＝02．平行直线Ax ＋By ＋n ＝0，Ax ＋By ＋m ＝0练习2：直线y ＝a 与直线y ＝b 的距离d ＝|b －a |．►思考应用1．点P(x ，y)到直线y ＝b 的距离为|b －y|，点P(x ，y)到直线x ＝a 的距离d ＝|a －x|．2．已知直线l 1：3x ＋y －3＝0，l 2：6x ＋2y ＋1＝0，l 1与l 2是否平行？若平行，求l 1与l 2间的距离．解析：l 1方程可化为6x ＋2y －6＝0，l 1∥l 2，由两平行线间的距离公式得d ＝|－6－1|36＋4＝71020. 自测自评1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为(D ) A ．1 B . 3 C ．2 D . 5解析：d ＝|－5|1＋22＝ 5.2．若点(2，k)到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是(D )A ．1B ．－3C ．1或53D ．－3或173解析：由点到直线的距离公式|10－12k ＋6|52＋122＝4， 解得k ＝－3或k ＝173. 3．点P(－2，0)到直线y ＝3的距离为3．4．两条平行直线3x ＋4y －2＝0，3x ＋4y －12＝0之间的距离为2．解析：d ＝|－2＋12|32＋42＝105＝2. 基础达标1．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(D) A ．4 B.21313C.52613D.72613 解析：∵3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0平行，∴m ＝4.∴两平行线间的距离：d ＝|－3－12|32＋22＝7213＝72613. 2．两平行线y ＝kx ＋b 1与y ＝kx ＋b 2之间的距离是(B )A ．b 1－b 2 B.|b 1－b 2|1＋k2 C ．|b 1－b 2| D ．b 2－b 1解析：两直线方程可化为kx －y ＋b 1＝0，kx －y ＋b 2＝0. ∴d ＝|b 1－b 2|1＋k2. 3．过点(1，2)且与原点距离最大的直线方程是(A )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0解析：所求为过A (1，2)，且垂直OA 的直线，∴k ＝－12， ∴y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 4．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋y n ＝1的距离等于(A )A.m 2＋n 2B.m 2－n 2C.n 2－m 2D.m 2±n 2解析：直线方程可化为nx ＋my －mn ＝0，故d ＝|（m －n ）n －m 2－mn |m 2＋n 2＝|mn －n 2－m 2－mn |m 2＋n2＝m 2＋n 2. 5．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为(D ) A ．2x ＋y ＝0B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0解析：根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，因为两直线间的距离等于55，所以d ＝|c －1|22＋12＝55，解得c ＝0，或c ＝2. 所以所求直线方程为2x ＋y ＝0，或2x ＋y ＋2＝0. 6．垂直于直线x －3y ＋1＝0且到原点的距离等于5的直线方程是________． 解析：由题意，可设所求直线方程为3x ＋y ＋c ＝0，则|c |2＝5. ∴|c |＝10，即c ＝±10.答案：3x ＋y －10＝0或3x ＋y ＋10＝07．求点P (3，－2)到下列直线的距离：(1)y ＝34x ＋14； (2)y ＝6；(3)x ＝4.解析：(1)把方程y ＝34x ＋14写成3x －4y ＋1＝0， 由点到直线的距离公式得 d ＝|3×3－4×（－2）＋1|32＋（－4）2＝185. (2)因为直线y ＝6平行于x 轴，所以d ＝|6－(－2)|＝8.(3)因为直线x ＝4平行于y 轴，所以d＝|4－3|＝1.巩固提升8．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(A)A．8 B．2 2C. 2 D．169．直线l在x轴上的截距为1，又有两点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则l的方程为________．解析：显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1；设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.∵点A，B到l的距离相等，∴|－2k＋1－k|k2＋1＝|4k－5－k|k2＋1.∴|1－3k|＝|3k－5|，∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0.综上，l的方程为x＝1，或x－y－1＝0.答案：x＝1，或x－y－1＝010．求与直线2x－y－1＝0平行，且和2x－y－1＝0的距离为2的直线方程．解析：解法一由已知可设所要求的直线方程为2x－y＋c＝0，则两条平行直线间的距离为d＝|c－（－1）| 22＋（－1）2，∴|c＋1|5＝2，∴|c＋1|＝2 5.∴c＝－1±25，所求直线方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0. 解法二设所要求的直线上任意一点P(x，y)，则P到直线2x－y－1＝0的距离为d＝|2x－y－1|22＋（－1）2，∴|2x－y－1|5＝2，∴2x－y－1＝±2 5.∴所要求的直线方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0.1．点到直线的距离公式是本节的重要公式，其用途十分广泛，在使用此公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．2．点到直线的距离的特殊形式：P(x0，y0)到直线y＝b的距离为|y0－b|，到直线x＝a 的距离为|x0－a|；若P(x0，y0)在直线上，公式也适用，此时d＝0.3．在求两平行线间距离时要注意首先将两直线方程中x，y的系数化为相同的．。
点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳
点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳【知识梳理】点到直线的距离与两条平行线间的距离题型一、点到直线的距离【例1】 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.【类题通法】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．【对点训练】1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A .2 B ．2－ 2 C .2－1D .2＋12．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．题型二、两平行线间的距离【例2】求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．【类题通法】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|A2＋B2.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．【对点训练】3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．题型三、距离的综合应用【例3】求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．【类题通法】解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．【对点训练】4．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．5. 已知A(-2,0),B(2,-2),C(0,5),过点M(-4,2)且平行于AB的直线l将△ABC分成两部分,求此两部分面积的比.题型四距离最值问题例4.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上任一点,则|PQ|的最小值为()A.B.C.3 D.6例5.已知x+y-3=0,则的最小值为.例6.已知直线l1过A(3,0),直线l2过B(0,4),且l1∥l2,用d表示l1与l2间的距离,则d的取值范围是.【练习反馈】1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B. 3C．2 D. 52．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1 B. 2C. 3 D．23．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．4．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳参考答案【例1】[解] (1)185.(2) 8.(3) 1.【对点训练】 1．选C 2．答案：3【例2】设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋－2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 【对点训练】 3．104【例3】[解]当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. 【对点训练】4．x ＝2或4x －3y －10＝0. 5.两部分的面积之比为. 例4.答案:C 例5.答案:例6.答案:(0,5] 【练习反馈】1．选D 2．选B 3．12 4．答案：－3或1735．解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y2－0＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得|BC |＝－3－2＋－2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高，d ＝|－1－2×3＋3|12＋－2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4， 即△ABC 的面积为4.。
点到直线的距离两条平行直线间的距离
2．对两平行直线间的距离公式的理解 (1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可 以利用公式． (2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式， 且 x，y 的系数对应相等． (3)当两直线都与 x 轴(或 y 轴)垂直时， 可利用数形结合来解决．
典例剖析 题型一 点到直线的距离 【例 1】 求点 P0(－1,2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0. 思路点拨： 利用点到直线的距离公式， 对于特殊直线也可数形 结合．
题型二 两条平行线间的距离 【例 2】 求与直线 2x－y－1＝0 平行，且与直线 2x－y－1 距 离为 2 的直线方程．
思路点拨：本题可从两方面考虑： ①可利用两点间的距离公式求解； ②可利用两直线的距离公式求解．
解： 法一： 由已知， 可设所求的直线方程为 2x－y＋C＝0(C≠－1)， |C－－1| |C＋1| 则它到直线 2x－y－1＝0 的距离 d＝ 2 ＝2， 2＝ 5 2 ＋－1 ∴|C＋1|＝2 5，C＝± 2 5－1， ∴所求直线的方程为 2x－y＋2 5－1＝0 或 2x－y－2 5－1＝ 0.
【答案】B
3．在过点 A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为 ____________．
【答案】2x＋y－5＝0
4．若直线 l 与直线 l1：5x－12y＋6＝0 平行，且 l 与 l1 的距离 为 2，则 l 的方程为____________．
【答案】5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0
要点阐释 1．应用点到直线的距离公式应注意的问题 (1)直线方程应为一般式， 若给出其他形式， 应先化成一般式再 用公式．例如求 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b 的距离，应先把直线方 |kx0－y0＋b| 程化为 kx－y＋b＝0，得 d＝ . 2 k ＋1 (2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用， 故应用公式时不必判定点 P 与直线 l 的位置关系． (3)直线方程 Ax＋By＋C＝0 中 A＝0 或 B＝0 时，公式也成立， 也可以用下列方法求点到直线的距离： ①P(x0，y0)到 x＝a 的距离 d＝|a－x0|； ②P(x0，y0)到 y＝b 的距离 d＝|b－y0|.
点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离(人教A版2019选修一高二数学
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由
A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
[方法技巧]
光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点
距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．
(1)点 A(x0，y0)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称点 M(x，y)，
yx－－yx00·(－AB )＝－1AB≠0
可由方程组 A·x＋x0＋B·y＋y0＋C＝0
2
2
求得．
(2)常用对称的特例有： ①A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； ②B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； ③C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； ④D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； ⑤P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； ⑥Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
[方法技巧] 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直 接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线 x＝a 或 y＝b，求点到它 们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d＝ |x0－a|或 d＝|y0－b|.
解析：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝ 0，
则由点到直线的距离公式知： d＝|3×3－2＋1－－01＋2 m|＝|m－103|＝35 10. 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 答案：3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
点到直线的距离、两平行线间的距离ppt
点到直线的距离
两平行线间的距离
一、两点之间的距离 思考：已知平面上两点P1（x1,y1)， P2（x2,y2), 如何求P1,P2的距离 P1P2 ？ y
P2
O P1
x
P1P2
x2 x1 y2 y1
2
2
特别地，原点O（0，0）与任意一点P(x,y)的距离为
2 2
例3 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
d
23 70 8 2 2 ( 7 ) 2
14 14 53 53 53
1. 点P(-5,7)到直线12x+5y+3=0的距离是
;
2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是
.
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式是
d = Ax
0
+ By
0
+ C
2
A
2
+ B
当A=0或B=0时,公式仍然成立. 2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是
d = C
1 2
- C
2 2
A
+ B
OP x y
2
2
例1、已知点A（-1，2），B（2， 7 ），在x 轴上求一点P，使 PA PB ，并求 PA 的值。
二、点到直线的距离
已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎样求点P到直线l的距离呢? y
d Ax0 By0 C A B
2 2
P
点到直线的距离、两平行线间的距离基础篇
分层训练基础篇1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( ) A ．3 B.53C ．1D.22解析：选B 点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×(－1)－2|02＋32＝53，选B. 2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( ) A ．0 B.34 C ．3D ．0或34解析：选D 点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m＝0或m ＝34，选D.3．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y－4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.4．已知点P (1＋t,1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(2,4) C ．(0，－2)或(2,4)D ．(1,1)解析：选C 直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|2(1＋t )－(1＋3t )－1|22＋(－1)2＝55，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P 的坐标为(2,4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)，故选C.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( )A.423B.823C ．4 2D ．2 2解析：选B ∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)－3＝0，2a －6(a －2)≠0，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，∴l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪⎪6－2312＋(－1)2＝823.6．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________． 解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173. 答案：－3或1737．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：128．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0间的距离相等，则直线l 的方程是________．解析：由题意可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，于是有|c －3|22＋(－1)2＝|c ＋1|22＋(－1)2，即|c －3|＝|c ＋1|.∴c ＝1，∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝09．求过点P (0,2)且与点A (1,1)，B (－3,1)等距离的直线l 的方程．解：法一：∵点A (1,1)与B (－3,1)到y 轴的距离不相等，∴直线l 的斜率存在，设为k . 又直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0. 由点A (1,1)与B (－3,1)到直线l 的距离相等， 得|k －1＋2|k 2＋1＝|－3k －1＋2|k 2＋1，解得k ＝0或k ＝1. ∴直线l 的方程是y ＝2或x －y ＋2＝0.法二：当直线l 过线段AB 的中点时，直线l 与点A ，B 的距离相等．∵AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P(0,2)，∴直线l的方程是x－y＋2＝0；当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等．∵直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0，∴直线l的方程为y＝2.综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.10.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．解：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．∴|AD|＝2，|BC|＝2b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h＝|1＋0－b|2＝|b－1|2＝b－12(b>1)，由梯形的面积公式得2＋2b2×b－12＝4，∴b2＝9，b＝±3.又b>1，∴b＝3.从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.。
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
点到直线的距离
1:实例中的第(1)中点与直线什 么关系,你能求出点到直线的距离吗?
第(1)小题中点在直线外,过 A 作 x,y 轴平
行线交 l1 于 B、C 两点,点 A 到直线 l1 的距离 |AD|=
AB AC 2 5 BC 5
平面上任意一点 P0(x0,y0)到直线
l:Ax+By+C=0 的距离为 d=
10 ].…………………………(8 分)
法二 如图所示,
显然有 0<d≤|AB|,……………………(3 分)
而|AB|=
(6 3) (2 1)
2
2
=3
10 ,
故所求的 d 的变化范围为 (0,3
10 ].………………(8 分)
(2)由图可知,当 d 取最大值时,两直线垂直于 AB. 而 kAB
2 2
=3,
解之得 C=45 或 C=-33, 故所求直线方程为 5x-12y+45=0 或 5x-12y-33=0.
法二 设所求直线方程为 5x-12y+c=0,
1 在直线 5x-12y+6=0 上取一点 P 0, , 2
则 P 到直线 5x-12y+c=0 的距离为
1 12 c 2 5 (12)
2:直线 l1:x-2y-1=0 与直线 l2:2x-4y+3=0 之间的距离等于 .
解析:l2 方程可化为 x-2y+ 3 =0,显然 l1∥l2, 2
1
因此两直线 l1,l2 间的距离为
3 2
=
2 2 1 2
5. 2
答案:
5 2
求点到直线的距离
3.3.3~3.3.4 点到直线的距离~两条平行直线间的距离
时，利用 yx－ －yx00·－AB＝－1，
可以求点P′的坐标.
x0＋x y0＋y A· 2 ＋B· 2 ＋C＝0，
对称问题的解决，要充分利用对称的几何性质，同时还要注意运算的策
略和方法，所以说对称问题充分体现了直观想象和数学运算的数学核心
素养.
3 达标检测
PART THREE
1.已知原点O(0,0)，则点O到直线x＋y＋2＝0的距离等于
解 3y＝4可化为3y－4＝0， 则点 P(2，－3)到该直线的距离为|－30×2＋3－324|＝133. ③x＝3.
解 x＝3可化为x－3＝0， 则点 P(2，－3)到该直线的距离为|2－1 3|＝1.
(2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程.
反思
感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 ①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式. ②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用. ③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是 特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. (2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意.
A.1
√B.2
C. 1 2
D.4
解析 由两条直线平行可得－34＝－m6 ，解得 m＝8.由两条平行线间的距离公式得 d＝ |－332＋－472|＝2.
(3)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距 离最大时，直线l1的方程是__x_＋__2_y－__3_＝__0__.
解析 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大. 因为A(1,1)，B(0，－1).
点到直线的距离、两条平行直线间的距离
0 A B
2 2
0,
【知识点拨】 1.对点到直线的距离的三点说明 (1)点到直线的距离的本质:其本质是点与直线上任意一点连 线长度的最小值,可用最小值的方法求出. (2)从几何特征上分析:点到直线的距离是点与过该点且垂直 于已知直线的直线与已知直线的交点间的距离 .
(3)点到直线的距离的几种特殊情况 ①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; ②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; ③点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a(a≠0)的距离d=|y0-a|; ④点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=a(a≠0)的距离d=|x0-a|.
解得k=-7或k=-1.
故直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.
【拓展提升】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式. (2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用. (3)直线方程Ax+By+C=0中,A=0或B=0公式也成立,但由于直线 是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.
2. 求点B（-5，7）到直线12x+5y+3=0的距离.
3、求点P0（-1，2）到直线2x+y-10=0的距离.
两条平行直线间的距离： 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直 y l1 线间的公垂线段的长. P l2 Q x o 两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
2.对两条平行直线间的距离的理解 (1)这个距离与所选点的位置无关,但一般要选取特殊的点(如 与坐标轴的交点). (2)两条平行直线间的距离是分别在两条直线上的两点间的距 离的最小值.
2020高中数学 检测(二十一)点到直线的距离、两条平行线间的距离(含解析)2
课时跟踪检测（二十一) 点到直线的距离、两条平行线间的距离一、题组对点训练对点练一点到直线的距离1．点（5，－3）到直线x＋2＝0的距离等于( ）A．7 B．5C．3 D．2解析:选A 直线x＋2＝0,即x＝－2为平行于y轴的直线,所以点(5，－3）到x＝－2的距离d＝｜5－（－2）|＝7。
2．已知A(－2，－4),B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( )A．－3 B．3C．－3或3 D．1或3解析：选C 由题意得错误!＝错误!，解得a＝－3或3。
3．倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为________．解析：因为直线斜率为tan 60°＝3，可设直线方程为y＝错误!x ＋b，化为一般式得错误!x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5,得错误!＝5⇒|b|＝10。
所以b＝±10，所以所求直线方程为3x－y＋10＝0或3x－y－10＝0.答案:错误!x－y＋10＝0或错误!x－y－10＝04．若动点A（x1，y1)，B(x2，y2）分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为________．解析：由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线方程为x＋y＋c＝0，则错误!＝错误!，即c＝－6，∴点M在直线x＋y－6＝0上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离,即错误!＝3错误!.答案:3错误!对点练二两条平行线间的距离5．已知直线l1:x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1,l2之间的距离为（)A．1 B。
错误!C.错误!D．2解析：选B 在l1上取一点(1，－2），则点到直线l2的距离为错误!＝错误!.6．两平行线分别经过点A（5,0），B（0,12)，它们之间的距离d满足的条件是（）A．0＜d≤5 B．0＜d≤13C．0＜d＜12 D．5≤d≤12解析：选B 当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大,｜AB｜＝13,所以0＜d≤13。
点到直线的距离,两平行直线的距离
点到直线的距离，两平行直线的距离【学习目标】1. 了解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离.【重难点】重点：点到直线距离公式；两平行线距离公式难点：直线距离公式的推导自主学习案【知识梳理】1. 点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax + By + C = 0的距离公式为________________2. 两条平行直线间的距离的求法：转化为求点到直线的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，就是这两条平行直线间的距离3. 两平行线间的距离公式：两平行线间的距离d ，已知1l ：Ax + By + C 1= 0 2l ：Ax + By + C 2= 0 则d= _________________【预习自测】1. 原点到直线02623=-+y x 的距离是______________.2. 点)2,1(0-P )到直线l ：23=x 的距离是_____，点)2,1(0-P )到直线l ：23=y 的距离是____。
3. 平行直线1l ：0872=+-y x ，2l ：0172=+-y x 的距离为_____________。
【合作探究】例1 已知点A (1，3)，B (3，1)，C(–1，0)，求三角形ABC 的面积.例2．求过点M(–2， 1)且与A(–7，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程.例3：若两条平行直线1l ：ax ＋2y ＋2＝0 ，2l ：3x －y ＋d ＝0的距离为10， 求a 与d 的值.例4. 等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x + 3y – 6 = 0上，顶点A 的坐标是(1，–2).求边AB 、AC 所在直线方程.【当堂检测】1、点)5,0(到直线x y 2=的距离是（ ） A. 25 B. 5 C. 23 D. 25 2.若点),3(a 到直线043=-+y x 的距离是1，则a 的值是___________3、已知直线1l ：0323=-+y x 和直线2l ：016=++my x 互相平行，求它们之间的距离。
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3.3.3 --3.3.4点到直线的距离、两条平行直线间的距离（教学设计）
教学目标：
1.知识与技能：
1）理解点到直线距离公式的推导，
2）熟练掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间距离；
2.过程与方法
经历两点间距离公式的推导过程，会用点到直线距离公式求解两平行线距离 3.情感、态度与价值观：
认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题
教学重点、难点
重点：点到直线的距离公式.
难点：点到直线距离公式的理解与应用.
教学过程
（一）创设情境，导入新课
前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的交点问题，两点间的距离公式。
逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离。
用POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。
要求学生思考一点到直线的距离计算？能否用两点间距离公式进行推导？
（二） 师生互动，探究新知
1．点到直线距离公式及其推导：
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200B A C By Ax d +++=
（1）提出问题
在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(00y x ，直线方程中A ＝0或B ＝0时，，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?
学生可自由讨论。
（2）数行结合，分析问题，提出解决方案
学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l 的垂线段的长.
这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为 一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问题。
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。
方案一：
设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ ⊥l 可知，直线PQ 的斜率为A
B （A ≠0），根据点斜式写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ ｜，得到点P 到直线l 的距离为d
此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法
方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点),(01y x R ；作y 轴的平行线，交l 于点),(20y x S ，
由⎩⎨⎧=++=++0020011C By Ax C By x A 得
B C
Ax y A C By x --=--=0201,.
所以，｜P Ｒ｜＝｜10x x -｜＝A C
By Ax ++00
｜PS ｜＝｜20y y -｜＝B C By Ax ++00
｜ＲS ｜＝AB B A PS PR 2
222+=+×｜C By Ax ++00｜
由三角形面积公式可知：d ·｜ＲS ｜＝｜P Ｒ｜·｜PS ｜ 所以2200B A C
By Ax d +++=
可证明，当A=0时仍适用
（三）公式识别，巩固提高.
例1（课本P107例5） 求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。
解：
53=
变式训练1（课本P108练习NO ：1；2）
例2（课本P107例6） 已知点A （1，3），B （3，1），C （-1，0），求三角形ABC 的面积。
解：设AB 边上的高为h ，则
S ABC =1
2AB h •
AB ==
AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离.
AB 边所在直线方程为311331y X --=--
即x+y-4=0。
点C 到X+Y-4=0的距离为
h=2104
11-+-=+ 因此，
S=152⨯= 通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。
例3 求两平行线1l ：0832=-+y x ，2l ：01032=-+y x 的距离.
解法1：在直线1l 上取一点P (４，0)，
因为1l ∥2l ，所以点P 到2l 的距离等于1l 与2l 的距离.于是
1313
21323210
034222==++⨯-⨯=d 新问题：平行直线间距离如何求？。
已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，
2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为222
1B A C C d +-=
证明：设),(000y x P 是直线02=++C By Ax 上任一点，则点P 0到直线01=++C By Ax 的距离为221
00B A C By Ax d +++=
又 0200=++C By Ax
即200C By Ax -=+，∴d ＝222
1B A C C +-
上述例3的解法2：1l ∥2l 又10,821-=-=C C .
由两平行线间的距离公式得13
3232)
10(822=+---=d 变式训练3：（1）（课本P108例7）已知直线12:2780,:62110l x y l x y --=--=，1l 与2l 是否平行？若平行，求1l 与2l 间的距离。
分析：两直线是否平行就看其斜率是否相等。
若平行，1l 与2l 间的距离可利用上例的方法求得。
生：（讨论后解答）解：1l 的斜率12
7k =，2l 的斜率262
217k ==，即：12k k =
所以1l ∥2l 。
在直线1l 上任取一点A （4，0），
点A （4，0）到直线2l 的距离为：
d ===
所以1l 与2l
（2）（课本P109练习NO ：1）
例4：(tb2509501)两条直线L 1：ax-by+4=0和L 2：(a-1)x+y+b=0，求满足下列条件的a,b 的值：
(1) 直线L 1⊥L 2且L 1过点(-3,-1)；
(2) 直线L 1//L 2且坐标的原到这两条直线的距离相等。
（答：（1）a=2,b=2；（2）a=2,b=2或a=32
,b=2）
变式训练4：(tb1808205)直线L 的方程是y=3x-4，试求直线L 1的方程，使L 与L 1：
（1）关于x 轴对称；（2）关于y 轴对称；（3）关于原点对称；（4）关于直线y=x 对称。
（答：（1）y= -3x+4；（2）y= -3x-4 ；(3) y=3x+4；(4) x=3y-4）
（四）课堂小结，巩固反思： 点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式
（五）课时必记：
1、点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200B A C
By Ax d +++=
2、已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，
则1l 与2l 的距离为222
1B A C C d +-=
特别注意：x 与y 的系数应化为相等。
（六）布置作业
A组：
1、（课本P109习题3.3 A组：NO：9）
2、（课本P109习题3.3 A组：NO：10）
3、（课本P114复习参考题A组：NO：10）
4、（课本P114复习参考题A组：NO：11）
B组：
1、（课本P109习题3.3 A组：NO：2）
2、（课本P109习题3.3 A组：NO：4）
3、（课本P109习题3.3 A组：NO：9）
4、（课本P114复习参考题B组：NO：4）
5、（课本P114复习参考题B组：NO：10）。