分式与分式方程专题三【分式的加减法】
北师版八年级下册数学精品教学课件 第五章 分式与分式方程 第3课时 异分母分式的加减(2)
3
m
m3
3m
3
2m （m 3）
m 3m 3
m
m3
3m
3
从 1，-3，3 中任 选一个你喜欢的 m 值代入求值.
1. m3
当
m
=
1
时，原式
1 1
3
1 2
做一做
先化简，再求值： 1 x 1
x
2 2
，其中 1
x
2.
解：
1 x 1
2 x2 1
1 x 1
2 (x 1)(x 1)
(x 1)
2
(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
计算结果要化为最简分式或整式．
例解4：原计式算： （m1）2m22
2m
5 2m
m
5 ••232m3mm4mm;41
2
(m
或
2)(2 2m
m)
9 m2 • 2m 2
先算括号里的
2m 3m
加法，再算括
3 m3 m 22 m
•
号外的乘法
2m
3m
2m 3 2m 6.
注：当式子中出现整式时，把整式看成整体，并把
第五章 分 式
5.3 分式的加减法
第3课时 异分母分式的加减(2)
复习引入 1. 分式的乘除法则是什么？用字母表示出来：
b d bd a c ac
b d b c bc a c a d ad
2. 分式的加减法则是什么？用字母表示出来：
b d bc ad bc ad a c ac ac ac
异分母 通分 相加减 转化为
同分母 分母不变 相加减 转化为
分子 (整式) 相加减
2. 分式的混合运算法则 先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
初二数学分式的加减运算
初二数学分式的加减运算分式是初中数学中重要的概念之一，也是数学中常见的计算方式。
在初二阶段，学生需要掌握分式的加减运算方法。
本文将介绍初二数学分式的加减运算，并通过实例进行讲解。
一、分式的基本概念回顾在进行分式的加减运算之前，我们需要回顾分式的基本概念。
一个分数由分子和分母组成，分子表示分数的实际数量，分母表示把整体分成的份数。
分式可以用下面的形式表示：a/b其中，a为分子，b为分母。
分式可以表示有理数，可以是整数，也可以是小数。
在分式的加减运算中，我们需要找到公共分母，然后进行运算。
二、分式的加法运算分式的加法运算是将两个分式相加，首先需要找到它们的公共分母，然后将其转化为相同的分数进行运算。
具体步骤如下：1. 找到两个分式的公共分母。
2. 将分式转化为相同的分母。
3. 将分子相加，分母保持不变。
4. 如果结果可以简化，进行简化。
5. 如果需要，将结果写成最简形式。
下面通过一个实例来说明分式的加法运算：例1：计算 1/3 + 1/4解：首先找到两个分式的公共分母，这里可以取12作为公共分母。
然后将分式转化为相同的分母，得到：4/12 + 3/12接下来，将分子相加，分母保持不变，得到：7/12最后，结果已经是最简形式，因此答案为 7/12。
三、分式的减法运算分式的减法运算与加法运算类似，也需要找到公共分母，然后将其转化为相同的分数进行运算。
具体步骤如下：1. 找到两个分式的公共分母。
2. 将分式转化为相同的分母。
3. 将分子相减，分母保持不变。
4. 如果结果可以简化，进行简化。
5. 如果需要，将结果写成最简形式。
下面通过一个实例来说明分式的减法运算：例2：计算 2/5 - 1/10解：首先找到两个分式的公共分母，这里可以取10作为公共分母。
然后将分式转化为相同的分母，得到：4/10 - 1/10接下来，将分子相减，分母保持不变，得到：3/10最后，结果已经是最简形式，因此答案为 3/10。
四、分式的加减混合运算在分式的加减运算中，也可能出现多个分式混合的情况，我们可以先进行分式的加法运算，然后再进行减法运算。
《分式的加减法》分式与分式方程PPT(第2课件)
货物．现在让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务．
(1)分别写出大船、小船完成任务用的时间；
(2)试说明哪艘轮船完成任务用的时间少？
解：(1)大船完成任务的时间为
80
100 x 10
天；
小船完成任务的时间为 x 天．
(2)
100 x 10
80 = 2（0 x-40） x x（x 10）
远眺图使用说明
1、远眺距离为1米-2.5米(远眺图电脑版比纸质 版小，距离相应缩短)，每日眺望5次以上，每次 3—15分钟。
2、要思想集中，认真排除干扰，精神专注，高 度标准为使远眺图的中心成为使用者水平视线的 中心点。
3、远眺开始，双眼看整个图表，产生向前深进 的感觉，然后由外向内逐步辨认每一层的绿白线 条。
236 6 6
3 a
+
41a 应该怎样计算？
(2) 1 - 1 = 3 - 2 = 1 . 2 36 6 6
把异分母的分式化成同分母的分式，再按同分母的分式加减.
活动探究
问题2：小明和小亮都认为只要把异分母的分式化成同分母的分式，再按同 分母的分式加减.但他两做法不同，你对两种做法有什么看法？
解：他们都是根据分式的根本性质将异分母化成同分母的分式加减；但他们 取得的公分母不同，一个是4a ²，另一个是是4a，后者比前者简单.
1
解：（1）小刚从家到学校需要的时间
v
2 3v
=
32 3v
=
5（h) 3v
活动探究
问题：小刚家和小丽家到学校的路程都是3 km ，其中小丽走的是平路，骑车 速度是2v km/h.小刚需要走1 km的上坡路,2 km的下坡路，在上坡路上的骑车速度 为v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h .那么
分式与分式方程
分式与分式方程分式是指形如 $\frac{a}{b}$ 的数，其中 a 和 b 都是实数，且 b 不等于零。
分式方程则是含有分式的方程。
在解分式方程之前，我们先来了解一下分式、分式的化简和分式方程的一些基本概念。
一、分式的基本概念分式由分子和分母组成，分子表示分式的被除数，而分母则表示分式的除数。
1. 真分数和假分数当分子小于分母时，分式称为真分数；当分子大于等于分母时，分式称为假分数。
如 $\frac{3}{4}$ 是真分数，$\frac{5}{3}$ 是假分数。
2. 约分和通分约分是指将分式的分子和分母同时除以一个公约数，使得分子和分母的最大公约数为1。
通分是指将分式的分子和分母同时乘以一个系数，使得分式的分母相等。
通分后可以进行分式的加减运算。
如$\frac{3}{8}$ 和 $\frac{6}{16}$ 可以通分为 $\frac{6}{16}$ 和$\frac{6}{16}$。
二、分式的运算法则1. 分式的加减法当分母相同时，可以直接相加或相减分子，而分母保持不变。
例如，$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$。
当分母不同时，需要先通分，然后再进行加减运算。
通分后，将分子相加或相减，分母保持不变。
例如，$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} =\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$。
2. 分式的乘法分式的乘法是将两个分式的分子相乘，分母相乘。
例如，$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$。
3. 分式的除法分式的除法是将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘，第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘。
例如，$\frac{2}{3} \div\frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} =\frac{5}{6}$。
分式的加减法及分式方程
例2、写出下列分式的最简公分母：
x 5 , x 2 4 x2
（1）
b a c , , 3 2 2 2a c 3bc 5ab
（2）
练习：写出下列分式的最简公分母：
（1）
1 1 1 , 2 2, mn m n mn
（2）
1 1 , 2 2 x x x 2x 1
6
【异分母分式加减法的法则】异分母的 分式相加减，先通分，化为同分母的 分式，再按同分母分式的加减法法则 进行计算.
法 则 是 基 石
【同分母分式加减法的法则】同分母的 分式相加减，分母不变，分子相加减.
2
基 础 基础
例1、计算：
(1)
5a 2a mn mn
1 x x 1 1 x
(2)
a b ab ab
5a 6b 3b 4a a 3b 2 2 2 3a bc 3ba c 3cba
2
2
(3)
(4)
3
练习：计算：
1 （1） a 1 a a
x2 y2 （2） 2 2 x y y x
x 2 y y 2x （3） 2 2 2 2 x y y x
4
法 则 是 基 石
【通分】利用分式的基本性质 ,把异分母的 分式化为同分分母的过程 . 确定最简公分母的方法： 最小公倍数 ①系数取各系数的__________； ②分母为单项式时所有字母都取； 高 ③所有字母取最__次幂； 当分母是多项式时，应先将各分母分解因式， 再确定最简公分母.
7
例3、计算：
（1）
1 1 2 3a 2ab
（2）
2a 1 2 9a a3
（3）
a2 a 1 a 1
分式方程的基本运算法则
分式方程的基本运算法则分式方程是以分式形式表示的带有未知数的数学等式。
在解分式方程时，需要遵循一些基本的运算法则。
本文将介绍分式方程的基本运算法则，包括分式的加减乘除运算以及方程的解法。
一、分式的加减法对于分式的加减法，首先需要找到分母的公共倍数，然后将各个分子相加或相减，并保持分母不变即可。
例如，对于分式$\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}$，若b和d互质，则可以将其通分得到$\frac{ad \pm bc}{bd}$。
二、分式的乘法分式的乘法是指两个分式相乘的运算法则。
对于分式$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$，只需将分子相乘得到ac，分母相乘得到bd，即可得到结果$\frac{ac}{bd}$。
三、分式的除法分式的除法是指一个分式除以另一个分式的运算法则。
对于分式$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$，可以转化为乘法的形式，即$\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$，然后按照乘法法则进行计算，得到结果$\frac{ad}{bc}$。
四、解分式方程解分式方程的基本方法是将方程两边的分式化简，使得方程转化为整式方程，然后按照解整式方程的方法进行计算。
在解法中需要注意保持等式两边的平衡，确保每一步的操作都是合法的。
结论分式方程的基本运算法则包括加减乘除四则运算以及解法。
掌握这些基本法则，能够帮助我们更好地理解和解决分式方程相关的问题。
在学习和应用过程中，需要不断练习，提高自己的计算能力和逻辑思维能力。
希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
分式的加减法及分式方程的解法
分式的加减三. 分式的加减法※1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.（1）通分的方法：（2）确定最简公分母的方法：※2. 分式的加减法:分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;上述法则用式子表示是:CB AC B C A ±=± (2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:BDBC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 例1：（1）111123-+----a a a a a （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++22131111x x x例2：计算化简求值：1、先化简再求值：)2122(24--+÷--x x x x ，其中43-=x2、课堂上，李老师出了这样一道题： 已知352008-=x ，求代数式)131(11222+-+÷-+-x x x x x 的值。
小明觉得直接代入计算太繁了。
请你来帮他解决，并写出具体过程。
3.先化简，再求值：÷（m+2﹣）．其中m 是方程x 2+3x ﹣1=0的根．4．先化简，再求值：，其中x 所取的值是在﹣2＜x≤3内的一个整数．例5：已知：23)3)(2(98-++=+--x Bx A x x x ，求A 、B 的值；变式练习：已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值.例6：方法拓展1、已知20072=+x a ，20082=+x b ，20092=+x c ，且abc=24，试求代数式c b a ab c ac bbc a111---++的值。
2、已知a 、b 、c 为实数，且51,41,31=+=+=+c a ac c b bc b a ab ，试求：acbc ab abc ++的值。
分式与分式方程
（3）列出方程
（4）解方程并检验，一是检验所列方程是否有根，二是 看根是否符合实际情况。 （5）写出答案。
例题讲解
1、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行 12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他
步行40千米用多少小时?
例题讲解
3、A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地， 大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30 分钟.已知小汽车与大汽车的速度之比是5：2，求两辆 汽车各自的速度.
第五章 分式与分式方程
三、分式的加减
1、同分母分式加减法法则：
同分母的分数相加减，分母不变，分子相加减。
b c bc 用式子表示为： a a a
例题讲解
m y c (1) x x x
y x (2) x y x y
2
x 4 2 ) . （( 3 ） x2 x2
例题讲解
4、小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾
高速公路，全程约84km，返回时经过跨海大桥，全程
45km．小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍， 所用时间却比返回时多20min．求小丽所乘汽车返回时的 平均速度．
例题讲解
5、文具商店从批发部门购进甲、乙两种型号的笔记本进
行销售．若每本甲种笔记本的进价比每本乙种笔记本的进
三、分式的加减
1、通分： 根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为同分母的分式
2、最简公分母:
（1）各分母系数的最小公倍数
（2）各分母所有因式最高次幂的乘积
例题讲解
计算：
5 2 3 2 2 6a b 3ab 4abc
先找出最简公分母，再 正确通分，转化为同分 母的分式相加减。
分式的加减法
分式的加减法分式是数学中常见的一种表示形式，用于表示比例、比率以及一些运算过程中的数值关系。
分式的加减法是分式运算中的基本运算之一，它可以帮助我们计算各种分数的和或差。
本文将介绍分式的加减法，并演示一些实际应用的例子。
一、分式的基本概念在了解分式的加减法之前，我们先来回顾一下分式的基本概念。
分式由两个整数表示，其中一个整数位于分数线上方，称为分子；另一个整数位于分数线下方，称为分母。
分子和分母之间用横线表示，如a/b。
二、分式的加法在进行分式的加法运算时，我们首先要确保两个分式的分母相同，然后将它们的分子相加，最后将分子的和写在相同的分母下即可。
具体的步骤如下：1. 确定两个分式的分母是否相同。
如果两个分式的分母相同，直接将它们的分子相加即可；如果两个分式的分母不同，需要通过通分将它们的分母转化为相同的数值。
2. 将两个分子相加。
将两个分式的分子相加，得到它们的和。
3. 将分子的和写在相同的分母下。
将分子的和写在相同的分母下，得到最终的结果。
示例1：计算分式的加法计算1/3 + 2/5。
步骤1：确定两个分式的分母是否相同。
1/3与2/5的分母不同，需要通过通分将它们的分母转化为相同的数值。
步骤2：通分后，将两个分子相加。
分母相同的通分数为15，所以1/3可以拓展为5/15，2/5可以拓展为6/15。
5/15 + 6/15 = 11/15。
步骤3：将分子的和写在相同的分母下。
最终结果为11/15。
因此，1/3 + 2/5 = 11/15。
三、分式的减法分式的减法与分式的加法类似，也需要确保两个分式的分母相同，然后将它们的分子相减，最后将分子的差写在相同的分母下。
具体的步骤如下：1. 确定两个分式的分母是否相同。
如果两个分式的分母相同，直接将它们的分子相减即可；如果两个分式的分母不同，需要通过通分将它们的分母转化为相同的数值。
2. 将两个分子相减。
将两个分式的分子相减，得到它们的差。
3. 将分子的差写在相同的分母下。
《分式的加减法》分式与分式方程PPT(第3课件)
解：(1) y xy
x
1 xy x
=
y x（y
1）
1 x（y
1）
=
y（y-1） x（y 1）（y-1）
x（y
y+1 1）（y-1）
= y（y-1）+y+1 x（y 1）（y-1）
= y 2 +1 xy 2 -x
(3) a 1 a 1 a 3 a2 9 a 3
活动探究
探究点一
问题1：计算：
问题1：计算：
(1)
y xy
x
1 xy
x
(2) x2 x 1 x 1
(3) a
a
3
1 a2
9
a a
1 3
=
a(a a2
3） 9
a2
1
9
（a
1）(a a2 9
3)
= a(a 3）+1-(a-1)(a-3) a2 9
= 7a 2 a2 9
(3)
a
a
3
a
1 2
9
a a
1 3
〔1〕求乙工程队单独完成这项工程所需的天数为x，那么x满足怎样的方程？ 〔2〕求两队合做完成这项工程所需的天数为y，那么x满足怎样的方程.
解：（1）10 x
+
1 x
1 40
20=1
（2）
1 y
1
40
10
20 y
=1
随堂检测
x x＋6 1
1．化简x－3－x2－3x＋x正确的结果是( C
) ]
解：1实1x2际0 修1x建1+210这0 =条11盲2x0道（x+的x1+0工10）期比x1原1x2+方01x0案=缩x21短12的0100天x 数为
8、分式的加减法和分式方程
分式的加减法和分式方程【本讲教育信息】一. 教学内容：第三章：分式第三节：分式的加减法第四节：分式方程二. 教学要求：1、会探求分式加减运算法则，会进行简单分式的加减运算，及加减、乘除混合运算，并理解其算理．2、了解分式方程的概念、会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个），会检验根的合理性，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系与区别．三. 重点及难点：一次方程的联系与区别．重点：1、分式加减运算法则和通分．2、分式方程的解法，列分式方程解决实际问题．难点：1、最简公分母的确定．2、理解分式方程产生增根的原因和列分式方程解决实际问题．四. 课堂教学［知识要点］知识点1、分式加减法法则（1）同分母分式加减法法则同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．这里相加减运算的结果一定要约分化成最简结果．（2）异分母分式加减法法则异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后按同分母的法则进行计算．说明：（1）异分母分式加减法关键是通分后化为同分母分式的加减法．通分的概念：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．（2）通分的关键是找出最简公分母，再依据分式基本性质进行相关变形．（3）最简公分母的定义：各分母系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，并连同单独的因式及指数．（4）分式的运算与分数运算非常类似，因而学习分析运算务必与分式运算进行类比．知识点2、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．知识点3、分式方程的解法，即解分式方程的一般步骤：（1）去分母：即方程两边都乘以最简公分母，化分式方程为整式方程．（2）解这个整式方程（3）验根说明：（1）分式方程的解法充分体现了“转化”思想．（2）解分式方程必须验根，严格的讲，解任何方程都需要验根，但仅是检验解方程过程的正确性，在确保解方程正确的前提下可以省略验根，而解分式方程的验根有其不可省略的原因是在去分母过程中，两边都乘以最简公分母——整式，不能保证整式的值恒不为零，在这个变形过程中有可能扩大了未知数的取值范围，从而产生不满足原方程的数值——增根．（3）验根的方法有两种，①代入原方程检验．②代入最简公分母中检验，若最简公分母的值为零，则为增根，反之，为原方程的解．【典型例题】例1、通分2432127,92,25b a c ba a -- 分析：分母系数的最小公倍数是36，字母因式a ，b 的最高次幂是34,b a ，所以最简公分母是3436b a ．解：最简公分母是3436b a ， 所以a 25-＝343333333690181825b a b a b a b a a -=∙- 342223232368449292b a a a a b a ba =∙= 342424362133127127b a bc b b b a c b a c -=∙-=- 说明：求最简公分母可概括为以下几步：1、取各分母系数的最小公倍数2、凡出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取3、相同字母（可含字母的式子）的幂的因式取指数最大的，最后按上述的条件将取出的因式写成积的形式，在找出最小公分母后，就要确定分子、分母所应乘以的因式．这个因式就是公分母除以原分母所得的商．例2、计算：（1）ab b a ab b b a a 3)(22+÷-+- （2）31963293222-÷+----+x x x x x x x 分析：（1）先将括号内两式分母统一合并后再化简．（2）先将分子、分母因式分解，约简后再进行计算．解：（1）ab b a ab b b a a 3)(22+÷-+- ab ba ab b a b a b a ba ab b a b a ba ab b a b b a a 33))((33)(2222=+⨯-+-=+⨯--=+⨯---=（2）31963293222-÷+----+x x x x x x x1333323)3()3(32)3)(3()3(2-=-+-=----=-⨯---+-+=x x x x x x x x x x x x x例3、已知1,3112422++=+-x x x x x x 求的值． 分析：根据已知条件，求出)1(x x +的值，进而可得)1(22x x +的值，再对所求分式运用分式性质，分子分母都除以2x ，就可求出其值． 解：因为3112=+-x x x ，所以x ≠0 所以41,312=+=+-x x x x x 即 所以)1(22x x +＝14 所以151********22242=+=++=++x x x x x说明：把1242++x x x 反复用221,1n n n n ++的式子表示，才能顺利求解．例4、解下列方程（1）32121-=----x x x （2）2434252--=--x x xx 解：（1）方程两边都乘以x －2，得：1－（x －1）＝ －3（x －2）1－x ＋1＝ －3x ＋6－x ＋3x ＝6－1－12x ＝4x ＝2经检验，x ＝2是增根所以原方程无解（2）方程两边都乘以x （x －2），得5－4（x x 22-）＝x （3－4x ）5－24x ＋8x ＝3x －24x－24x ＋8x －3x ＋24x ＝ －55x ＝ －5x ＝ －1经检验x ＝－1是原方程的解．例5、某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成：（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；（3）若甲、乙两队合作4天余下的工程由乙队单独做也正好如期完成，在不耽误工期的前提下，你觉得那一种施工方案最节省工程款？分析：以不耽误工期为前提，显然第二种方案是不可取的，而（1）、（3）谁最省钱就要看所花总工程款的多少了，先求出规定工程期限，再分别计算两种方案下的工程款．解：设预定完成这项工程需x 天，依据题意，得：154=++x x x解这个方程，得x ＝20经检验，x ＝20是所列方程的根．则方案（1）：总工程款＝20×1.5＝30（万元）方案（2）：总工程款＝4×1.5＋20×1.1＝28（万元）所以方案（2）最省工程款．【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1. 下列各式计算正确的是（ ） A. b a b a +=+111 B. ab m bm a m 2=+ C. a a b a b 11=+- D. 011=-+-a b b a2. 化简111322-+--+a a a a ＋1等于（ ） A. 11+-a B. 1+a aC. 11+-a aD. 11-+a a3. 若a －b ＝2ab ，则b a 11-的值为（ ）A. 21B. －21C. 2D. －24. 若111312-++=--x N x M x x ，则M 、N 的值分别为（ ）A. M ＝－1，N ＝－2B. M ＝－2，N ＝－1C. M ＝1，N ＝2D. M ＝2，N ＝15. 若x 2＋x －2＝0，则x 2＋x －x x +21的值为（ ） A. 23 B. 21C. 2D. －236. 下列各式中，是分式方程的是（ ）A. x ＋y ＝5B.3252z y x -=+ C. x 1 D. 5+x y＝07. 关于x 的方程4332=-+xa ax 的根为x ＝1，则a 应取值（ ） A. 1 B. 3 C. －1 D. －38. 方程1＋1)1(2-+x x ＝0有增根，则增根是（ ）A. 1B. －1C. ±1D. 09. 沿河两地相距s 千米，船在静水中的速度为a 千米/时，水流速度为b 千米/时，此船一次往返所需时间为（ ） A. b a s +2小时 B. b a s-2小时C. （b s a s +）小时D. （b a s b a s -++）小时10. 赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完. 当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完. 他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是（ ） A. 21140140-+x x＝14 B. 21280280++x x ＝14 C. 21140140++x x＝14 D. 211010++x x ＝1二、填空题1. 计算：3236+++x x x ＝________．2. 已知x ≠0，x x x 31211++＝________．3. 化简：x ＋x x -12＝________．4. 如果m ＋n ＝2，mn ＝－4，那么n m m n +的值为________．5. 甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地到乙地按每小时v 千米的速度行驶，可按时到达；若每小时多行驶a 千米，则可提前________小时到达（保留最简结果）．6. 方程457+=x x 的根是________．7. 当x ＝________时，分式x x++51的值等于21．8. 如果关于x 的方程x x x a --=+-42114有增根，则a 的值为________． 9. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶v 2千米，那么可提前________小时到达．10. 我国政府为解决老百姓看病问题，决定下调药品价格. 某种药品在2001年涨价30%后，2003年降价70%至a 元，则这种药品在2001年涨价前的价格为________元．三、解答题1. 计算：（1）a ＋b ＋b a b -22（2）x y y x yx y x y y x ----+-+2 （3）232323194322---+--+x x x xx （4）（x ＋1－13-x ）÷222-+x x2. 化简求值：（2＋1111+--a a ）÷（a －21a a -），其中a ＝2．3. 已知b a b a +-=+411，求b a a b +的值．4. 解下列方程（1）x x x --=+-34231 （2）2123442+-=-++-x x x x x5. （任选一题）（1）有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期为多少天？（2）一组学生乘汽车去旅游，预计共需车费120元．后来人数增加了41，车费仍不变，这样每人可少摊3元，原来这组学生有多少人？【试题答案】一、1. D2. C3. D4. B5. A6. D7. D8. A9. D 10. C二、1. 2 2. x 611 3. x x-1 4. －3 5. )a v (v Sa +6. －147. 38. 79. 212v v t v + 10. 39100a三、1. （1）b a b a -+22 （2）1 （3）1 （4）2x －42. 13. －64. （1）无解 （2）x ＝－15. （1）6天 （2）8人。
分式方程的加减法运算
分式方程的加减法运算
分式方程是指含有分数形式的方程，其中未知数出现在分母或分子中。
分式方程的加减法运算是解决这类方程的常见方法之一，下面将详细介绍分式方程的加减法运算。
一、同分母分式的加减法
当分式方程中的分式有相同的分母时，可以直接进行加减法运算。
例如，对于分式方程$\frac{3}{5x} + \frac{2}{5x}$，由于两个分式的分母相同，可以将分子相加得到$\frac{3+2}{5x}=\frac{5}{5x}$。
二、不同分母分式的加减法
当分式的分母不同的时候，需要通过找到它们的最小公倍数来将它们的分母转换成相同的，然后再进行加减法运算。
例如，对于分式方程$\frac{1}{2x} - \frac{1}{3y}$，分母的最小公倍数为$6xy$，将分子乘以相应的倍数进行转换得到$\frac{3y}{6xy} - \frac{2x}{6xy}=\frac{3y-2x}{6xy}$。
三、加减法运算注意事项
在进行分式方程的加减法运算时，需要注意以下几点：
1. 确保分式的分母相同或转换成相同的分母；
2. 分子之间进行加减法运算时，分母保持不变；
3. 结果可能需要进行约分或化简。
通过以上介绍，我们可以看到分式方程的加减法运算并不复杂，关键在于找到合适的方法将分式转换成相同的分母，然后进行简单的加减法运算即可。
希望本文的内容能够帮助到大家理解分式方程的加减法运算，更好地解决相关问题。
分式与分式方程知识点
分式与分式方程知识点一、分式的定义1. 分式（Fraction）：形如 A/B 的代数表达式，其中 A 是分子，B 是分母，B ≠ 0。
2. 有理表达式（Rational Expression）：包含分式的代数表达式。
二、分式的基本性质1. 等值变换：分式可以通过乘以或除以相同的非零表达式进行等值变换。
例如：(2/3) * (4/5) = (2*4)/(3*5) = 8/152. 分式的加减法：只有当分母相同时，才能直接进行加减运算。
例如：(2/5) + (3/5) = (2+3)/5 = 5/5 = 13. 分式的乘除法：分子乘分子，分母乘分母。
例如：(2/3) * (4/5) = (2*4)/(3*5) = 8/154. 分式的化简：通过约分，将分子和分母中的公因数相除，得到最简分式。
例如：(12/16) -> (12÷4)/(16÷4) = 3/4三、分式方程1. 分式方程（Fractional Equation）：含有分式的方程。
2. 解分式方程的基本原则：将分式方程转化为整式方程进行求解。
3. 去分母：通过将方程两边同时乘以所有分母的最简公分母，消除分母。
例如：(2/x) + (3/y) = 5 => 2y + 3x = 5xy (假设 x, y > 0) 4. 检验解：将求得的整式解代入最简公分母中，确保不会得到零。
四、特殊类型的分式方程1. 一元一次分式方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为一的分式方程。
2. 二元一次分式方程：含有两个未知数，且每个未知数的最高次数为一的分式方程。
3. 高次分式方程：含有未知数的最高次数大于一的分式方程。
五、解分式方程的步骤1. 确定最简公分母。
2. 去分母，将分式方程转化为整式方程。
3. 解整式方程，求得未知数的值。
4. 检验解的有效性。
5. 写出最终解。
六、应用题1. 理解题意，找出等量关系。
2. 列出分式方程。
(完整版)分式加减教案
第五章分式与分式方程第三节分式的加减法〔第一课时〕一、授课目的1、知识与技术掌握同分母分式的加减法法那么，会进行简单分式的加减运算。
2、过程与方法经历研究分式加减运算法那么的过程，进一步培养代数化归意识和类比思想。
3、感神态度与价值观经过学习认识到数与式的联系，激发学生学习数学的兴趣，重视学习过程中对学生的概括、概括、交流等能力的培养；丰富数学感情与思想。
二、授课重点〔1〕同分母分式的加减运算法那么，同分母分式加减法的简单应用。
〔2〕类比、转变的思想的浸透。
三、授课难点〔1〕分子为多项式括号要加括号。
〔2〕当分式的分母是互为相反式时，转变为同分母。
四、授课过程1、情况引入〔1〕做一做：你能说说上面原由？1212777775751212式子的1212特点吗？并思虑做法运算法那么：同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减．1221a a x x35742b2b3y3y〔 2〕猜一猜：运算法那么：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．〔类比思想〕用式子表示为：b c b ca a a2、同分母加减例 1〔 1〕a ba b ；〔2〕 x224；ab ab x x2〔3〕m 2n4m n ；〔4〕x 3x 2 x 1 . m n m n x1x 1 x 1目的：授课生如何运用法那么进行运算，经过这 4 道例题，让学生学会加减法运算并注意运算时可能出现的问题。
注意：在进行运算时假设分子是多项式的，分子要先带括号，再去括号后合并同类项；运算结果也类比分数加减法的结果，要化成最简形式，即约去分子与分母的所有公因式—化简。
牛刀小试 1：(1)3x2x2xy ;(2)b2a22ab .2 x y2x y a b a b注意：经过学生的解答情况，对法那么做进一步的讲解，力求让学生理解并掌握同分母分式的加减法法那么。
3、拓展提高例2 计算〔 1〕 xy ； 〔 2〕 a21 2a . x yy xa 11 a牛刀小试 2：① 计算：2 x 1x 1 1 x② 先化简，再求值x 25 x 1 x x2x 22 , 其中 x 2021 .x目的：这是一组分母互为相反式的分式加减的题目，实那么是简单的异分母分式的加减法，经过例题的讲解，又有练一练的坚固，应该能够掌握，第三小题有意增加难度，在于学生能力的提高。
《分式的加减法》分式与分式方程(第2课件)
2023-11-09CATALOGUE目录•分式的基本概念•分式的加减法•分式的乘除法•分式方程及其解法•分式在实际生活中的应用•分式与分式方程的历史与发展01分式的基本概念如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
分式的定义定义读作“分子A，分母B”，写作“A/B”符号表示当A=0，B≠0时，分式无意义；当A≠0，B=0时，分式值为无穷大特殊情况分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
性质1性质2性质3分式的分子和分母同时扩大（或缩小）相同的倍数，分式的值改变。
当分式的分子和分母是多项式时，首先要进行因式分解，然后约分。
03分式的基本性质0201把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义先把分子、分母分解因式，然后约去它们公因式。
方法约分时，分子、分母必须是公因式的最高次幂。
注意分式的约分02分式的加减法运算法则同分母分式相加减，分子相加减，分母不变。
概念同分母分式是指具有相同分母的分式。
例子如$\frac{2}{3} + \frac{3}{3}$，$\frac{5}{6} - \frac{1}{6}$等。
同分母分式的加减法异分母分式是指具有不同分母的分式。
概念异分母分式的加减法异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再按照同分母分式的加减法进行运算。
运算法则如$\frac{2}{3} + \frac{1}{2}$，$\frac{5}{6} - \frac{1}{2}$等。
例子概念混合运算是指包含加法、减法、乘法、除法等多种运算的算式。
分式加减法的混合运算运算法则按照运算的优先级，先乘除后加减，有括号先算括号里面的。
例子如$(2 + 3) \times 5 - \frac{1}{2} \times 4$，$5 \div (3 - 1) + \frac{1}{3} \times 6$等。
03分式的乘除法总结词了解分式乘法的运算方法，能够熟练进行分式乘法运算。
《分式的加减法》分式与分式方程(第3课件)
分式方程与一元一次方程的联系
分式方程可以看作是一元一次方 程的扩展，即一元一次方程中的
未知数可以出现在分母中。
解分式方程需要消去分母，转化 为整式方程，然后求解。
一元一次方程的解法适用于分式 方程，例如：$x + frac{1}{x} = 2$ 可以转化为 $(x^2 - 2x + 1)
= 0$，然后求解。
详细描述
分式是一种数学表达形式，通常由一个分母和分子组成，表示两个整式的商。 分式具有一些基本性质，如分母不能为零，分式的值会随着分子和分母的改变 而改变等。
分式方程的概念与解法
总结词
掌握分式方程的概念和解法是解决这类问题的关键。
详细描述
分式方程是一种含有分式的等式，其解法通常是通过化简、消去分母等方式将方 程转化为整式方程，然后求解。常见的解法有直接约分、通分化为同分母、换元 法等。
约分
简化分数的分子和分母 ，使其更容易进行加减
运算。
通分
将异分母分数转化为同 分母分数，以便进行加
减运算。
拆项法
将一个复杂的分数拆分 成若干个简单的分数，
以便进行加减运算。
分子有理化
通过有理化分子，使分 数更容易进行加减运算
。
02
分式与分式方程
分式的定义与性质
总结词
理解分式的定义和性质是解决分式问题的关键。
பைடு நூலகம்
03
同分母分数
分母相同的分数。
04
异分母分数
分母不同的分数。
分数加减法的运算规则
同分母分数相加或相减
直接对分子进行加法或减法运算，分 母保持不变。
分数加减法的运算顺序
从左到右依次进行，先乘除后加减。
分式的加减课件
（×）
(4) x y 1 xy xy
（
√
）
学习交流PPT
10
三、课堂小结
收获
今天，你有哪些收获？
知识
同分母分式的加减法法则： 同分母的分式相加减， 分母不变，把分子相加减。
式子： b c b c aa a
方法、思想
类比的方法
分数的加减法法则
分式的加减法法则
转化的思想
分母互为相反式
同分母的分式
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3
二、新朋友
同分母的分式加减法法则：
同分母的分式相加减，分母不变， 把分子相加减．
用式子表示为： b c b c aa a
学习交流PPT
4
例1 计算：
(1)abab ab ab
(2) x2 4 x2 x2
解:原式 ab(ab) ab
2b ab
解:原式 x 2 4 x2
第五章 分式与分式方程
第三节 分式的加减法（一）
学习交流PPT
1
一、老朋友
12 77
1 2 7
3 7
7
5
75
12 12 12
1
1 2 1 2 1
77 7
7
7 5 75 1 12 12 12 6
你能说说上面式子的特点吗？并思考做法理由？
运算法则：同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减．
学习交流PPT
2
做一做
12 77
1 2 7
3 7
75 12 12
75 12
1
猜一猜
1 2 1 2 3 aa a a
35 2b 2b
8 4 2b b
1 2 1 2 1
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专题三：分式的加减法
知识点一：通分
例1：将下列分式化为同分母
挑战自我，勇攀高分
（1）3
21,2312,13222+--+-+--x x x x x x x x （2）
（3） 2223,2,)(1b a b a b a -+-+
（4） m
m 394,9122-- （5） 2,2
1--x x （6） 2
31,1122+--x x x （7） 221,,
b a b a b b a --- （8） 1
21,11,121222++-+-a a a a a
11,11,11,12--+x x x x
知识点二：分式的加减法
同分母的加减法
例1：计算：2
222223223n m n m n m n m n m n m --+-+--+
挑战自我，勇攀高分
1.计算：m n n
n m n
m n n m ---+-+22
异分母的加减法
例1：计算：1624
43
2---a a
挑战自我，勇攀高分
1.计算：
（1）mn n m 65
43322-+
（2）x x --+242
知识点三：分式的加减乘除混合运算
例1：计算：
（1）x x
x x x x x -
÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+----+44412222
（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+•+-a ab a a b a b a a 22221212。
1.计算：
（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷--a b ab a ab a b a 22222； （2）a
a a a a 2124222+•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---。
知识点四：化简求值
例1： 先化简，再求值（1）x x x x x x x 39396922
322-+⋅++-，其中x ＝－31。
（2）2
2441y x y x y x +÷-+，其中x ＝8，y ＝11．
(3) )1121(1
222+---÷--x x x x x x ，其中31-=x
1.先化简，再求值：21223-12++-÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛+x x x x ，其中21+=x 。
2.已知32+=x ，32-=y .计算代数式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+2211y x
y x y x y x y x 的值。
3.先化简，在求值：)1
121(122+---÷--a a a a a ，其中a 是方程62=-x x 的根。
4若a 满足33-≤≤a ，请你选取一个合适的数a ，使得代数⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷-a a a 1112的值为一个奇数。
5.下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
； 第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； ……
第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）
A ．第10个数
B ．第11个数
C ．第12个数
D ．第13个数 知识点五：方法规律聚焦
类型一 代数式的值与其中字母的取值无关问题
例1：试说明代数式1111
12222+-+-÷-+-x x x x x x x 在有意义的条件下，无论x 取何值，它的值都不变。
类型二 分式的值为特殊数值时，字母的取值问题 例2：x 取何整数值时，能使
212
22112232342334-+--÷+++-•-+--+x x x x x x x x x x x x 的值为正整数？
类型三 巧解化简题型 例3：计算)1)(1)(1)(1)(116842+++++x x x x x （。