八年级初二数学 数学二次根式试题及解析
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八年级初二数学 数学二次根式试题及解析
一、选择题
1．计算 的结果是（）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（）
A． B． C． ＝4 D．
3．下列二次根式中，最简二次根式是（）
A． B． C． D．
4．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列式子一定是二次根式的是 ( )
A． B．－ C． D．
若3 的位置记为（2，3），2 的位置记为（3，2），则这组数中最大数的位置记为______．
17．使式子 有意义的 的取值范围是______．
18．若 的整数部分是a，小数部分是b，则 ______.
19． ＝_____．
20．化简 的结果为_________.
三、解答题
21．阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为 ， ，所 与 ， 与 互为有理化因式．
（1） 的有理化因式是；
（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
，
用上述方法对 进行分母有理化．
（3）先化简，再求值：a+2 ，其中a＝﹣2018．
【答案】（1）小亮（2） =-a（a＜0）（3）2013.
【解析】
试题分析：（1）根据二次根式的性质 =|a|，判断出小亮的计算是错误的；
（2）错误原因是：二次根式的性质 =|a|的应用错误；
（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可.
=3 ﹣1
【点睛】
本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.
26．计算（1） ； （2）
【答案】（1） ；（2）8 .
【解析】
分析：先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算.
详解：（1） ；
＝
＝ ；
（2）原式＝ ,
＝
＝
＝
＝ .
点睛：此题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
A． B．
C． D．
9．下列各式计算正确的是（）
A． B． C． D．
10．若 与最简二次根式 是同类二次根式，则m的值为（ ）
A．7B．11C．2D．1
11．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知a，b是正整数，且满足 是整数，则这样的有序数对（a，b）共有____对．
例如：化简
解：首先把 化为 ，这里 ，由于 ，即： ， ，
所以 。
问题：
①填空： ， ；
②化简： （请写出计算过程）
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】
由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对 的形式化简后就可以得出结论了．
【详解】
解：（1）
；
（2）
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用．
27．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ， ， ；以上这种化简的步骤叫做分母有理化. 还可以用以下方法化简：
14．设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第二个正方形AEGH，如此下去……．
⑴记正方形ABCD的边长为 ，按上述方法所作的正方形的边长依次为 ，请求出 的值；
⑵根据以上规律写出 的表达式．
15． -1的最小值是______．
16．将一组数 ，2， ，2 ， ，…，2 按图中的方法排列：
（3）利用所需知识判断：若 ， ，则 的关系是．
（4）直接写结果： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）互为相反数；（4）2019
【分析】
（1）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出；
（2）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式 ，化简即可；
（3）将 分母有理化，通过结果即可判断；
（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可．
（1）请用其中一种方法化简 ；
（2）化简： .
【答案】(1) ＋ ；(2) 3 －1.
【分析】
(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为 ；
（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案.
【详解】
（1）原式= = ；
（2）原式= + + +…
= ﹣1+ ﹣ + ﹣ +… ﹣ = ﹣1
试题解析：（1）小亮
（2） =-a（a＜0）
（3）原式＝a+2 ＝a+2（3-a）＝6-a=6-（-2007）＝2013.
25．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如 、 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； .
以上这种化简过程叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简： .
6．给出下列结论：① 在3和4之间；② 中 的取值范围是 ；③ 的平方根是3；④ ；⑤ ．其中正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．已知 ， 是大于1的自然数，那么 的值是（）.
A． B． C． D．
8．如图直线a，b都与直线m垂直，垂足分别为M、N，MN＝1，等腰直角△ABC的斜边，AB在直线m上，AB＝2，且点B位于点M处，将等腰直角△ABC沿直线m向右平移，直到点A与点N重合为止，记点B平移平移的距离为x，等腰直角△ABC的边位于直线a，b之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
23．先化简，再求值： ，其中 .
【答案】 .
【分析】
根据分式的运算法则进行化简，再代入求解.
【详解】
原式= .
将 代入原式得
【点睛】
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
24．先化简，再求值：a+ ，其中a＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）来自百度文库解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ 的有理化因式是 ；
（2） = ；
（3）∵ ， ，
∴a和b互为相反数；
（4）
=
=
=
= ，
故原式的值为 .
【点睛】
本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．
22．先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ， ，使得 ， ，那么便有：
一、选择题
1．计算 的结果是（）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（）
A． B． C． ＝4 D．
3．下列二次根式中，最简二次根式是（）
A． B． C． D．
4．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列式子一定是二次根式的是 ( )
A． B．－ C． D．
若3 的位置记为（2，3），2 的位置记为（3，2），则这组数中最大数的位置记为______．
17．使式子 有意义的 的取值范围是______．
18．若 的整数部分是a，小数部分是b，则 ______.
19． ＝_____．
20．化简 的结果为_________.
三、解答题
21．阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为 ， ，所 与 ， 与 互为有理化因式．
（1） 的有理化因式是；
（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
，
用上述方法对 进行分母有理化．
（3）先化简，再求值：a+2 ，其中a＝﹣2018．
【答案】（1）小亮（2） =-a（a＜0）（3）2013.
【解析】
试题分析：（1）根据二次根式的性质 =|a|，判断出小亮的计算是错误的；
（2）错误原因是：二次根式的性质 =|a|的应用错误；
（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可.
=3 ﹣1
【点睛】
本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.
26．计算（1） ； （2）
【答案】（1） ；（2）8 .
【解析】
分析：先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算.
详解：（1） ；
＝
＝ ；
（2）原式＝ ,
＝
＝
＝
＝ .
点睛：此题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
A． B．
C． D．
9．下列各式计算正确的是（）
A． B． C． D．
10．若 与最简二次根式 是同类二次根式，则m的值为（ ）
A．7B．11C．2D．1
11．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知a，b是正整数，且满足 是整数，则这样的有序数对（a，b）共有____对．
例如：化简
解：首先把 化为 ，这里 ，由于 ，即： ， ，
所以 。
问题：
①填空： ， ；
②化简： （请写出计算过程）
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】
由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对 的形式化简后就可以得出结论了．
【详解】
解：（1）
；
（2）
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用．
27．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ， ， ；以上这种化简的步骤叫做分母有理化. 还可以用以下方法化简：
14．设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第二个正方形AEGH，如此下去……．
⑴记正方形ABCD的边长为 ，按上述方法所作的正方形的边长依次为 ，请求出 的值；
⑵根据以上规律写出 的表达式．
15． -1的最小值是______．
16．将一组数 ，2， ，2 ， ，…，2 按图中的方法排列：
（3）利用所需知识判断：若 ， ，则 的关系是．
（4）直接写结果： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）互为相反数；（4）2019
【分析】
（1）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出；
（2）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式 ，化简即可；
（3）将 分母有理化，通过结果即可判断；
（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可．
（1）请用其中一种方法化简 ；
（2）化简： .
【答案】(1) ＋ ；(2) 3 －1.
【分析】
(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为 ；
（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案.
【详解】
（1）原式= = ；
（2）原式= + + +…
= ﹣1+ ﹣ + ﹣ +… ﹣ = ﹣1
试题解析：（1）小亮
（2） =-a（a＜0）
（3）原式＝a+2 ＝a+2（3-a）＝6-a=6-（-2007）＝2013.
25．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如 、 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； .
以上这种化简过程叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简： .
6．给出下列结论：① 在3和4之间；② 中 的取值范围是 ；③ 的平方根是3；④ ；⑤ ．其中正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．已知 ， 是大于1的自然数，那么 的值是（）.
A． B． C． D．
8．如图直线a，b都与直线m垂直，垂足分别为M、N，MN＝1，等腰直角△ABC的斜边，AB在直线m上，AB＝2，且点B位于点M处，将等腰直角△ABC沿直线m向右平移，直到点A与点N重合为止，记点B平移平移的距离为x，等腰直角△ABC的边位于直线a，b之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
23．先化简，再求值： ，其中 .
【答案】 .
【分析】
根据分式的运算法则进行化简，再代入求解.
【详解】
原式= .
将 代入原式得
【点睛】
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
24．先化简，再求值：a+ ，其中a＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）来自百度文库解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ 的有理化因式是 ；
（2） = ；
（3）∵ ， ，
∴a和b互为相反数；
（4）
=
=
=
= ，
故原式的值为 .
【点睛】
本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．
22．先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ， ，使得 ， ，那么便有：