常用离散分布

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常见离散型分布

§2.4 常见离散型分布
刘妍丽主讲
一、单点分布（退化分布）
分布列 P（X=a）=1 期望 EX=a 方差 VarX=0
一次实验中事件A发生的次数X ~ b(1, p)
二、两点分布（0-1分布）EX p VarX pq
分布列 X P
0
1
1-p
p
P( X k) C1k p k (1 p)1k k 0,1
EX
r
k
C
k M
C nk N M
k 0
C
n N
r
M k 1 (n1)(k 1) k k C C M 1 ( N 1)(M 1)
k 1
N n
C n1 N 1
nM N
~ h(n 1, N 1, M 1)
VarX n M N M N n N N N 1
EX 2 VarX (EX )2
•超几何分布的近似分布
5、二项分布的近似分布图2.4.1
X ~ P() np
n充分大，p很小泊松定理
X ~ N (, 2 ) np 2 npq np 5 nq 5 极限定理
例2.4.1 例2.4.2 例2.4.3
四、泊松分布 X ~ P() EX VarX
分布列正则性
P(X k) k e
X ~ h(n, N, M ) X ~ b(n, p)
p M n N N
EX 2
r
k2
C
k M
C
nk N M
r
(k(k
1)
k)
C
k M
C nk N M
r
(k(k
1))
M k
(M 1) (k 1)
C C k 2 (n2)(k 2) M 2 (N 2)(M 2)

第2节常用离散型分布

0－1分布如果二项分布B(n, p)中 n 1, 则称为 0 1分布.
两点分布
如果 X 只有两个可能取值点,则称X服从两点分布.
例1 袋中共有N个球, 其中 N1个白球, N2个黑球. 从中随机地取 n 个球, 以X表示取到的白球数. 求(1)有放回时, X的概率分布;和(2)无放回时, X的概率分布.
通常, 将上述分布称为参数为 p 的几何分布.
推广在伯努利概型中令 X 表示直到事件 A 第r次发生为止所行进的试验次数, 则 X 的概率分布为
P{ X

k}
Ckr
1 1
pr
(1

p)kr ,
k

r,r
1,
推广后的这一分布称为参数为 r 和 p 的负二项分布.
几何分布的无记忆性引例一个家庭已经连着生了3个女孩，求下一个
二、离散型随机变量及其概率分布
1. 离散型随机变量: 分布函数i }被称为离散型随机变量
X的概率分布, 如果它满足(1) pi 0, (2)
i 1
pi
1.
记
作 X ~ { pi }.
3. 概率分布与分布函数的等价性:
(1)设 X ~ { pi }, 则F ( x) p ; i:xi x i
k0

3 k0
2k k!
e 2

0.857124
综上，这 20000人中发生过敏反应的人数不超过 3
的概率约为85.7%.
第十次作业 (3.25)
必做题练习2－3). 1. 3. (1)(2)(3). 8. 选做题练习2－3). 5. (只求分布列). 补充题.
补充题甲乙两棋手约定: 进行 5 盘比赛, 以赢的盘数较多者胜. 假设在每盘中甲赢的概率为0.6,乙赢的概率为 0.4, 而且各盘比赛相互独立, 求甲胜和乙胜的概率各为多少? 并说明[5盘3胜制]与[3盘2胜制],哪种对甲有利.

23 常用的离散型分布.

Poisson分布的数字特征
期望：方差：
EX
DX
Poisson分布的应用
Poisson分布应用极为广泛. 如银行收到的存款次数；保险公司收到的索赔单数;放射粒子的数目（著名的Rutherford等人利用云雾实验室观察镭说发射出的粒子数目试验）；一定时间内发生的灾害数目；……
故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.
例设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台设备发生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台设备.
(1) 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
因为{X k}表示前 k 1中 A 恰好发生了r 1 次, 而第 k 次 A 发生，故
P{X

k}

C r1 k 1
p r 1q
k
r

p

C r1 k 1
p r q k r
,
k
r, r 1,,
亦可记为 P{X k} f (k; r, p).
一般地，若随机变量 X 的概率分布由上式给
例某厂产品不合格率为0.03, 现将产品装箱, 若要以不小于 90%的概率保证每箱中至少有 100 个合格品, 则每箱至少应装多少个产品？
解设每箱至少应装100 + n 个, 每箱的不合格品个数为X , 则X ~ B ( 100 + n , 0.03 )
n
由题意 P(X n) P100n (k) 0.9 k 0
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5

概率论常用的离散分布

概率论常用的离散分布
目录
• 引言 • 二项分布 • 泊松分布 • 超几何分布 • 几何分布 • 负二项分布
01 引言
离散分布的定义
离散分布：离散随机变量所有可能取值的概率分布。
离散分布描述了随机变量取各个可能值时所对应的概率。
离散分布的应用场景
统计学研究
离散分布在统计学中有着广泛的应用，如人口普效之前所经历的试验次数。
02
在生物统计学中，负二项分布可以用于描述在一定时间内捕获
猎物的数量或者在一定时间内发生的事件次数。
在金融领域，负二项分布可以用于描述股票价格在一定时间内
03
上涨或下跌的次数。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
它以法国数学家西莫恩·德尼·泊松的名字命名，他在19世纪中叶首次研究了这种分布。
泊松分布的性质
泊松分布具有离散性和随机性，适用于描述在一定范围内随机事件的次数。
泊松分布的概率函数由两个参数决定：均值和方差。
当随机事件的概率保持不变且相互独立时，泊松分布成立。
泊松分布在现实生活中的应用
泊松分布在统计学、物理学、生物学、经济学等领域有广泛应用。
在网络请求中，直到得到响应所需要的请求次数可以服从几何分布。
自然选择与遗传
在生物进化过程中，自然选择对某一性状的选择压力可以用几何分布来描述。
06 负二项分布
负二项分布的定义
负二项分布是一种离散概率分布，描述了在成功达到某一目标之前需要进行的独立、同分布的伯努利试验次数。
负二项分布的概率质量函数为 P(X=k) = (n+1) choose k * p^k * (1p)^(n+1-k)，其中 X 表示试验次数， k 表示成功次数，n 表示试验次数上限，p 表示每次试验成功的概率。

常用离散分布

(n 1)p或(n 1)p-1 当(n 1)p是整数时
k0
[(n 1)p]
其它
其中[(n+1)p]表示(n+1)p的整数部分。
10
从图中可以看出，对于固定的n及p，当k增加时， b(k;n,p)险随之增加并达到某极大值，以后又下降。此外，当概率p越与1/2接近时，分布越接近对称。
11
若 X ~ b(n, p) P{X k} Cnk pk (1 p)nk
n(n
1)(n
k
1)
n
k 1
n
nk
k!
n n
kn
1
1
1
2
1
k
1 1
n
nk
k! n n n n
由于对固定的k有
lim
n
kn
k , lim1
n
n
n
nk
e
及
lim1 1 1 2 1 k 1 1
n n n
n
因此
lim b(k; n, p) k e .
P{
k
}
k r
11
p
r
q
k
r
,
k
r, r 1,
在事件A发生的概率为p的贝努利试验中，若以X记A
首次出现时的试验次数，则X为随机变量，它的可能取
值为1,2,3…，其概率分布为几何分布。记为X ~ Ge( p)
其分布列为
P{X=k}=qk-1p, k=1,2, … 比如：
其中q=1-p
1、某射手的命中率为0.8，则首次击中目标的射击次数
X ~ Ge(0.8)
n!
pk (1 p)nk

常用的离散分布

pq
n 1
几何分布：X
n ... 其中 n 1 2 ... 0 p 1, pq P p pq pq ... q 1 p p 2 n 1 p pq pq ... pq ... 1 q 1
n1
1
2
3
...
n 1 2 n 1 p 2 pq 3 pq ... npq ... n pq EX
0 1 即为0—1分布. 当 x1 1, x2 0 时， X ~ p 1 p 此时 EX p DX p(1 p)
也称X是参数为p的伯努利随机变量.
X ~ 1 1 1 ... n n n 1 1 1 1 EX x1 x2 ... xn x1 x2 ... xn x n n n n 2 2 DX E X EX E X x 1 1 1 2 2 2 ( x1 x ) ( x2 x ) ... ( xn x ) n n n
1 P X i 1
i 0
4
i i 20i C 0.3 0.7 20
4
i 0
例在四舍五入时,每个加数的取整误差服从 [0.5, 0.5 ] 上的均匀分布,今有n个加数,计算它们中至少有3个的绝对误差小于 0.3 的概率. 解设 X 表示一个加数的取整误差 X ~ U [ 0.5, 0.5 ] 每个加数的绝对误差小于0.3 的概率为:
0.3 0.3
设 Y 为n个加数中绝对误差小于0.3的个数. y f ( x) 1 Y ~ b( n, 0.6 ) 至少有3个加数的绝对误差 0.5 0.5 小于 0.3 的概率为:
P Y 3 1 P Y 3 1 P Y 0 P Y 1 P Y 2 1 n 1 2 n1 n2 2 C 0.6 1 0.4 C 0.4 0.4 n n 0.6

3种常用离散型分布的公式

3种常用离散型分布的公式嘿，咱们来聊聊 3 种常用的离散型分布公式。

先来说说二项分布。

这二项分布啊，就好比你扔硬币。

假设你扔 10 次硬币，每次都只有正面和反面两种可能，而且每次扔硬币正面朝上的概率都一样。

那在这10 次中，出现正面的次数就可能符合二项分布。

我记得之前教过一个学生，他特别纠结这个二项分布的公式。

我就跟他说：“你就想象成你去抽奖，每次抽奖中奖的概率是固定的，抽了特定的次数，算一下总共中奖几次的可能性。

”他还是一脸懵。

于是我就给他举了个例子，假设抽奖中奖概率是 0.2，一共抽 5 次，那中奖 2次的概率咋算呢？这时候二项分布公式就派上用场啦。

二项分布的公式是：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k) 。

这里的 n 就是试验次数，k 就是成功的次数，p 是每次试验成功的概率。

再讲讲泊松分布。

泊松分布就像是在一段时间或者一个区域内，某种事件发生的次数。

比如说，在一个小时内，某个路口发生交通事故的次数。

我曾经观察过我们学校门口的交通情况。

有一天，我特意在那站了一个小时，想看看大概会有多少起小的交通摩擦。

结果发现，差不多平均下来，一个小时会有那么两三起。

这其实就有点像泊松分布的情况。

泊松分布的公式是：P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k! ，这里的λ是单位时间或者单位面积内事件发生的平均次数。

最后说说几何分布。

几何分布就好像是你不断尝试做一件事，直到第一次成功为止，所需要的尝试次数。

有次我陪我家孩子玩猜谜语，他一直猜不对，我就告诉他，你猜猜看，平均几次能猜对一个。

这其实就和几何分布有点关系。

几何分布的公式是：P(X = k) = (1 - p)^(k - 1) * p ，其中 p 是每次试验成功的概率。

总之，这三种离散型分布公式在生活和学习中都有很多用处。

咱们多观察、多思考，就能更好地理解和运用它们啦！。

常用的离散型分布

概率为p(0p1) 则X~b(n p)
四、二项分布
二项分布
如果一个随机变量 X 的概率分布为
P{X k} Ckn pk(1 p)nk k0 1 2, n
(245)
则称 X 服从参数为 n p 的二项分布并记作 X~b(n p) 且记
b(k; n, p) Ckn pk(1 p)nk
二项分布的期望和方差
P{X
xi}
1 n
i1
2,
n
则称 X 服从 n 个点{x1 x2 xn}上的均匀分布
n个点上的均匀分布的期望和方差
EX
1 n
n
x i1 i
(xi
x)2
(242)
(243) (244)
三、n个点上的均匀分布
n个点上的均匀分布
设随机变量 X 取 n 个不同的值且其概率分布为
退化分布之所以称为退化分布是因为其取值几乎是确定的即这样的随机变量退化成了一个确定的常数
二、两点分布
两点分布一个随机变量只有两个可能取值设其分布为
P{Xx1}p P{Xx2}1p 0p1 则称X服从x1 x2处参数为p的两点分布两点分布的期望和方差
EXpx1(1p)x2 DXp(1p)(x1x2)2
在实际中当N很大时且N1和N2均较大而n相对很小时通常将不放回近似地当作放回来处理从而用二项分布作为
超几何分布的近似即
C C k nk N1 N2 CnN
Ckn
(
N1)k N
(
N2 N
)nk
(256)
六、超几何分布
超几何分布
一个袋子中共装有N个球其中N1个白球 N2个黑球从中不放回地抽取n个球 X表示取到白球的数目那么X的分布为

2.3常用的离散型分布

P { X m }

P { X m } q k 1 p q m q j 1 p q m
k m 1
j 1
同理有
P{Xmn}qmn P{Xn}qn 于是得
P { X m n |X m } q q m m n q n P { X n } 说明
pn(注意这与试验的次数n有关) 如果n时 npn (0为常
数) 则对任意给定的k 有 k l n b i ( k ; n m , p n ) k ! e
( 2 6 3 )
说明
由该定理我们可以将二项分布用泊松分布来近似当二
项分布b(n p)的参数n很大而p很小时可以将它用参数为
说明
设X表示投掷一枚均匀的骰子出现的点数此时 {1 2
6} 令
X()
则 X服从 {1 2 6}上的均匀分布
四、二项分布
二项分布
如果一个随机变量 X的概率分布为
P {Xk}C k npk(1p)nk k0 1 2, n
式(254)通常称为几何分布的无记忆性意指几何分布对过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了
六、超几何分布
超几何分布
一个袋子中共装有N个球其中N1个白球 N2个黑球从中不放回地抽取n个球 X表示取到白球的数目那么X的分布为
P { X k } C k N 1 C n N 2 k ,0 k n C n N
如果X只取0 1两个值其概率分布为
P{X1}p P{X0}1p 0p1
(239)
则称X服从参数为p的01分布也称X是参数为p的伯努利随机

常用离散分布-二项分布

(一)常用离散分布这里将给出三个常用的离散分布：二项分布、泊松分布与超几何分布。

1 .二项分布我们来考察由n次随机试验组成的随机现象，它满足如下条件：⑴重复进行n次随机试验。

比如，把一枚硬币连抛n次，检验n个产品的质量，对一个目标连续射击n次等。

2 2) n次试验间相互独立，即任何一次试验结果不会对其他次试验结果产生影响。

⑶每次试验仅有两个可能的结果，比如，正面与反面、合格与不合格、命中与不命中、具有某特性与不具有某特性，以下统称为“成功”与“失败工(4)每次试验成功的概率均为p,失败的概率均为1-p。

在上述四个条件下，设X表示n次独立重复试验中成功出现的次数，显然X是可以取0,1,..., n等n+1个值的离散随机变量，且它的概率函数为：n= x) = /(1一。

)1 , x=O,l,…3(1.2-4)W'G这个分布称为二项分布，记为父乩，)，其中是从n个不同元素中取出/个的蛆合数，它的计算公式为：\X)G、_ n\㈤%!(« - x)!二项分布的均值、方差与标准差分别为：E(X) = npVar{X}-4>(1 - p)—=加(1-0)特例：n=i的二项分布称为二点分布。

它的概率函数为：产= —, x = O,l或列表如下：x | 0 1 ____________P P它的均值、方差与标准差分别为跃© = P，gr(X) = Hl-⑼，6X)=［pQ-p)［例1.2-10］在一个制造过程中，不合格品率为0.1，如今从成品中随机取出6个，记X为6个成品中的不合格品数，则x服从二项分布8(6 ,0.1),简记为X〜堆，0.1) o现研究如下几个问题：(1)恰有1个不合格品的概率是多少?这里规定抽到不合格品为“成功” > 则事件XE的概率为：P{X = 1) = x0.1x(l-0.1)6-i = 6x0.1x0.95 =0.3543Uz这表明, 6个成品中恰有一个不合格品的概率为0. 3543-类似可计算X=0 , X=1 ,…'X=6的概率，计算结果可列出一张分布列，具体如下：X 0 1 2 3 4 5 6P 0.5314~0.3543 0.0984 0.0146 0.0012 0.0001 0.0000这里0. 0000表示X=6的概率取前4位小数的有效数字为零,实际上，它的概率为P 0(=6)=0. 000001 ,并不严格为零。

4第四讲常用离散分布与连续分布函数

k}
C
k 3
(
2 5
)
k
(
3 5
)3
k
,
k 0,1,2,3.即：
第四讲常用离散分布与连续的分布函数
P(X
0)
C
0 3
(
2 5
)0
(
3 5
)3
27 , 125
P(X
1)
C
1 3
(
2 5
)1
(
3 5
)2
54 , 125
P( X 2) 36 , P( X 3) 8 .
125
125
分布函数则要求在( ,0),[0,1),[1,2),[2,3),[3, )中
通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.4.设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律和分布函数。
分析：三个岗遇到红灯相互独立，因此，本题是三次独立试验每次事件A(遇到红灯）是否发生两种情况的概型。
解：设X为3个岗遇到红灯的次数，则X ~ B(3, 2). 5
其概率函数为：P{ X
k!
np
第四讲常用离散分布与连续的分布函数
证设 p ，则
n
Cnk
p k q nk
Ank k!
pk (1
p)nk
n(n
1)(n
k
1)
k
1
nk
前两大项合并处理共
x项
k!
n n
即原式 k n n 1 n k 11 nk
k!n n
n n
k
1
1
1
k
1 1
nk

概率论常见分布性质及应用

概率论常见分布性质及应用概率论是研究随机现象的规律性及概率性问题的数学分支。

常见的概率论分布有离散分布和连续分布两种。

下面将对常见的概率论分布性质及其应用进行详细阐述。

一、离散分布：1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的离散分布，它只有两个取值0和1，其中0发生的概率为p，1发生的概率为q=1-p。

伯努利分布通常用来表示只有两个可能结果的试验，如掷硬币的结果。

应用：伯努利分布可以用于模拟二项分布的单次试验结果，也可以用于描述二分类问题的概率分布。

2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布描述了一系列独立重复的伯努利试验，在每次试验中，都有成功的概率p，失败的概率q=1-p。

将n次伯努利试验的成功次数定义为X，X的取值为0到n。

二项分布的概率质量函数可以表示为P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)。

应用：二项分布可以用于模拟多次试验的结果，如投掷硬币、扔骰子等。

在实际应用中，二项分布也可以用于描述二分类问题的概率分布，如判断客户是否购买某个产品。

3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布描述了在一个固定时间间隔内某个事件发生的次数的概率分布。

泊松分布的概率质量函数可以表示为P(X=k) = (lambda^k * e^(-lambda)) / k!，其中lambda为事件发生的平均次数。

应用：泊松分布广泛应用于描述实际生活中的随机事件，如交通事故发生的次数、电话呼叫的次数等。

此外，泊松分布还可以用于模拟排队论中的到达与服务过程。

二、连续分布：1. 均匀分布（Uniform Distribution）：均匀分布是最简单的连续分布，它的概率密度函数在一个有限区间内是常数，而在区间外为零。

均匀分布的概率密度函数可以表示为f(x) = 1/(b-a)，其中a和b为区间的起始和结束点。

2.3常用的离散型分布

(k 0,1, 2,..., n)
其中0 p 1, 则称X服从参数为n, p的二项分布, 记为 X ~ b(n, p). 注二项分布的试验背景是n重Bernoulli试验模型;
其中n是试验独立重复的次数, p是每一次基本试验“成功”的概率. 随机变量X指n次试验中“成功”出现的次数.
当n=1时，P(X=k)=pk(1-p)1-k, k=0,1，此时X服从
六. 超几何分布 1 引例一个袋子中装有N个球，其中N1个白球，N2个黑球（N=N1+N2），从中不放回地抽取 n个球，X表示取到白球数目，则
P{X k} C C
k N1
n k N2
/ C (0 k n)
n N
规定C 0(b a)
b a
称X服从超几何分布
注：超几何分布的极限分布是二项分布。即
EX=(x1+x2+…+xn)/n x
1 n 2 D( X ) ( xi x ) n i 1
五.几何分布
1. 定义若X的概率分布为：
k 1
P( X k ) (1 p)
p, k 1, 2,,
则称 X 服从参数为p 的几何分布。注：无记忆性： P{X>m+n|X>m}= P{X>n} 2. EX=1/p DX=(1-p)/p2
4. Possion定理设当 n , npn 0, 则对任意k
k! k 0,1, 2, Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大， p 较小, 而 np 适中, 则可以用近似公式 k k k nk Cn p (1 p ) e , k 0,1, 2, k!

常用离散分布

则事件A恰好发生k次的概率为
C P{X k} k pk (1 p)nk ,(k 0,1,...,n) n
其中随机变量X为n重贝努里试验中事件A成功的次数。
定义: 设随机变量X的可能取值为0，1，…，n ，并且取这些值的概率分别为
C P{X k} k pk (1 p)nk ,(k 0,1,...,n) n
2.4 常用离散分布
1、退化分布若随机变量X只取常数值c，即 P{x=c}=1
这时分布函数为
0, x c FX (x) 1, x c
E(X)=c Var(X)=0
1
2、二点分布（0—1）分布
若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，即X只可能取0与1两个值，它的分布列是
P{X＝k}＝pk(1一p)1-k，k＝0，1 (0<p<1)，则称X服从(0—1)分布或两点分布，记为b(1，p)。
P{X
k}
M k
N n
M k
,
k
0,1,, r
N n
where r min{ n, M }
验证规范性，利用r源自k 0M kN n
M k
N n
(见习题1.2)
21
超几何分布的期望和方差 P98
E(X ) n M N
理解
Var( X ) nM (N M )(N n) N 2 (N 1)
(n 1)p或(n 1)p-1 当(n 1)p是整数时
k0
[(n 1)p]
其它
其中[(n+1)p]表示(n+1)p的整数部分。
10
从图中可以看出，对于固定的n及p，当k增加时， b(k;n,p)险随之增加并达到某极大值，以后又下降。此外，当概率p越与1/2接近时，分布越接近对称。

2-3常见的离散型分布

是确定最小的 N , 使得 P{ X N } 0.99.
由泊松定理，X 近似服从参数 =300 0.01 3的泊
松分布,故 P{ X N } N 3k e3 , k0 k!
故有
N 3k e3 0.99,
k0 k!
查表可求得满足此式最小的N是8. 故至少需配置8
个工人,才干确保设备发生故障但不能及时维修旳概率不大于0.01.
P{ X 1} 1 P{ X 0} 1 0.018316 0.9817
启示：小概率事件虽不易发生，但反复次数
多了，就成大约率事件.
6. 几何分布
（1）概率分布记作X ~ G( p )
P{ X k} qk1 p, k 1, 2, (q 1 p)
（2）应用背景：描述伯努利试验序列中，
解设X为800个纺锭在这段时间内发生断头的次数,
则X ~ b(800, 0.005),它近似服从参数 =800 0.005 4的泊
松分布, 故
2
2
P{0 X 2} P{ X k} b(k;800, 0.005)
k0
k0
2 4k e4 0.2381
k0 k !
P{ X 2} 1 P{0 X 2} 1 0.2381 0.7619
1 n
,i
1, 2,
n.
P{ X
xi }
P{i }
1 n
,
i 1, 2, n.
实例抛掷骰子并记出现旳点数为随机变量 X,
则有 X 1 2 3 4 5 6
1 1 11 11
P 6 6 66 66
4. 二项分布
（1）概率分布
记作X ~ b(n, p) (0 p 1)
P{ X

常用的离散分布(课件)

常用的离散分布(课件)
这个演讲将介绍离散概率分布的主要内容，包括二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布、负二项分布、多项式分布等。
离散概率分布的概念介绍
介绍离散概率分布的基本概念，包括随机变量、概率密度函数和累积概率函数等。
二项分布的定义及其特点
详细介绍二项分布的定义、特点和应用场景，以及二项分布与其他概率分布的关系。
负二项分布的定义及其特点
深入探讨负二项分布的定义、特点和应用场景，以及如何计算期望值和方差。
多项式分布的介绍和实际应用
介绍多项式分布的特点和实际应用，以及与其他离散分布的关系和区别。本概念、性质和应用，提供期望值和方差的计算方法。
泊松分布的基本概念和应用场景
探讨泊松分布的基本概念，讲解它在实际应用中的场景和特点，以及如何计算期望值和方差。
几何分布的定义及其概率密度函数
介绍几何分布的定义、概率密度函数和应用情景，以及与其他概率分布的联系和区别。
超几何分布的基本概念和公式推导
详细讲解超几何分布的基本概念和公式推导过程，提供实际应用案例分析。

2.4常用的离散分布

(p是事件A发生的概率)
•n重伯努利试验：将伯努利试验，独立重复进行了n 次。
• 以X表示n重贝伯努利试验中事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。 • 记作X ～ B（n,p) [p+(1-p)] 分布律为：展开式的第k+1项
n
P{X = k} = Cn pk (1− p)n−k , (k = 0,1,..., n)
k n C M C N− kM − P( X = k ) = n CN
k = 0,1, L
当抽取个数n《产品总量N时，每次抽取完，不合格品率p=M/N改变甚微，不放回抽样可以看做为放回抽样，因此超几何分布可以看做二项分布。
离散型 b(n,p) p(λ) λ Ge(p) Nb(p)
期望 np λ 1/p r/p
方差 np(1-p) λ 1-p/p2 r(1-p)/p2
范围 n重伯努利试验事件A发生的次数单位时间(体积) 的计数事件A首次发生(伯努利) A ( ) 事件A第r次发生（伯努利）不放回抽样
h(n,N,M) nM/N
Var(X)=np(1-p)
例3 已知X～ b(2,p) Y～b(3,p)；若p(X≥1)=5/9 求～～ p(Y≥1) • 解： p(X≥1)=1-p(X=0)=5/9
• 得 • 即
5 1 − C P (1 − P) = 9
0 2 0 2
4 (1 − P) = 9
2
0 3 0 3
2 3 19 p (Y ≥ 1) = 1 − P (Y = 0) = 1 − C P (1 − P) = 1 − ( ) = 3 27
• X：投保人中的一年死亡人数; np=10 • 项目收入2000 000 支付 X*100 000 • 1）p(X>20)=1-p(X≤20) • =1-0.998=0.002

常用离散分布

常⽤离散分布⼆项分布⼆项分布就是重复 n 次独⽴的伯努利试验，在每次试验中只有两种可能的结果，⽽且两种结果发⽣与否互相对⽴，并且相互独⽴，与其它各次试验结果⽆关，事件发⽣与否的概率在每⼀次独⽴试验中都保持不变。

即⼀枚硬币扔 n 次，扔出正⾯概率为 p ，得到 k 次正⾯的概率：P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,\cdots,n这个分布称为⼆项分布，记为 X\sim b(n,p) .n=1 时的⼆项分布 b(1,p) 称为⼆点分布，或称0-1分布，或称伯努利分布，其分布列为P(X=x)=p^{x}(1-p)^{1-x}, x=0,1.⼆项分布的数学期望和⽅差设随机变量 X\sim b(n,p) ，则\begin{aligned} E(X) &=\sum_{k=0}^{n} k\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}=n p \sum_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{l} n-1 \\ k-1 \end{array}\right) p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)} \\ &=n p[p+(1-p)]^{n-1}=n p \end{aligned}⼜因为\begin{aligned} E\left(X^{2}\right) &=\sum_{k=0}^{n} k^{2}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}=\sum_{k=1}^{n}(k-1+1) k\left(\begin{array}{l} n \\ k\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n} k(k-1)\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}+\sum_{k=1}^{n} k\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=2}^{n} k(k-1)\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}+n p \\ &=n(n-1) p^{2} \sum_{k=2}^{n}\left(\begin{array}{l} n-2 \\ k-2\end{array}\right) p^{k-2}(1-p)^{(n-2)-(k-2)}+n p \\ &=n(n-1) p^{2}+n p \end{aligned}由此得 X 的⽅差为\operatorname{Var}(X)=E\left(X^{2}\right)-(E(X))^{2}=n(n-1) p^{2}+n p-(n p)^{2}=n p(1-p)泊松分布泊松分布的概率分布列是P(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}, k=0,1,2, \cdots其中参数 \lambda>0 ,记为 X\sim P(\lambda) .泊松分布的数学期望和⽅差设随机变量 X\sim P(\lambda) ,则E(X)=\sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}=\lambda \mathrm{e}^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1) !}=\lambda \mathrm{e}^{-\lambda} \mathrm{e}^{\lambda}=\lambda⼜因为\begin{aligned} E\left(X^{2}\right) &=\sum_{k=0}^{\infty} k^{2} \frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}=\sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^{k}}{(k-1) !} \mathrm{e}^{-\lambda} \\ &=\sum_{k=1}^{\infty}[(k-1)+1] \frac{\lambda^{k}}{(k-1) !} \mathrm{e}^{-\lambda} \\ &=\lambda^{2} \mathrm{e}^{-\lambda} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\lambda^{k-2}}{(k-2) !}+\lambda\mathrm{e}^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1) !} \\ &=\lambda^{2}+\lambda \end{aligned}由此得 X 的⽅差为\operatorname{Var}(X)=E\left(X^{2}\right)-(E(X))^{2}=\lambda^{2}+\lambda-\lambda^{2}=\lambda⼆项分布的泊松近似(泊松定理) 在 n 重伯努利试验中,记事件 A 在⼀次试验中发⽣的概率为 p_n (与试验次数 n 有关),如果当 b\to\infty 时,有 np_n\to\lambda , 则\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}证明：记 np_n=\lambda_n , 可得\begin{aligned} \left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k} &=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{k !}\left(\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{n-k} \\ &=\frac{\lambda_{n}^{k}}{k !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\left(1-\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{n-k} \end{aligned}对固定的 k 有\lim _{n \rightarrow \infty} \lambda_{n}=\lambda\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{n-k}=\mathrm{e}^{-\lambda}\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)=1从⽽\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}对任意的 k=0,1,\cdots 成⽴.定理得证.由于泊松定理是在条件 np_n\to\lambda 下得到的,故在计算⼆项分布 b(n,p) 时,当 n 很⼤, p 很⼩,⽽ \lambda=np ⼤⼩适中时,可以⽤泊松公式近似,即\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k} \approx \frac{(n p)^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-n p}, k=0,1,2, \cdotsLoading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js通常当 n\geqslant20,p\leqslant0.05 时，就可以⽤泊松公式近似得计算。

常用离散分布

常见离散型分布

第2节 常用离散型分布

23 常用的离散型分布.

概率论常用的离散分布

常用离散分布

常用的离散分布

3种常用离散型分布的公式

常用的离散型分布

2.3常用的离散型分布

常用离散分布-二项分布

4第四讲常用离散分布与连续分布函数

概率论常见分布性质及应用

2.3常用的离散型分布

常用离散分布

2-3常见的离散型分布

常用的离散分布(课件)

2.4常用的离散分布

常用离散分布

第2节常用离散型分布