对面积曲面积分的计算法.

第一型曲面积分化为二重积分的公式为
f (x, y, z)dS f (x, y, z(x, y)) 1 zx2(x, y) zy2(x, y)d
D
如果曲面 的方程由x=x(y,z)或y=y(x,z)给出，
也可类似地把第一型曲面积分化为yoz面或xoz
面上的二重积分。
: x x y, z
0 R2 y2
R1 R 0
lim arcsin R1
R1 R
R2
1 dy R2 y2
所以
dS x2 y2 z2
arctan H
2
R
（R1<R ）
所以
xyzdS
xyzdS xy(1 x y) 3d
4
D
1
1 x
30 xdx0 y(1 x y)dy
3
1
x[(1 x)
0
y2 2
y3 3
]10
x
dx
3 1 x (1 x)3 dx
0
6
3 1(x 3x2 3x3 x4 )dx
60
3 120
❖例3
计算
dS
x2 y2 z2
f x, y, zds
f x y, z , y, z
1
x
2 y
xz2 d
Dyz
: y y x, z
f x, y, zds
f x, y x, z , z
1
y
2 x
yz2
d
Dxz
❖例1
计算
1 z
dS
，其中
是球面 x2 y2 z2 a2
被平面 z h(0 h a) 截出的顶部。
R dydz
R2 y2
于是
dS
1
R dydz
x2 y2 z2 D R2 z2 R2 y2
R
H1
D
dy R2 y2 0
R2 z2 dz
R
0
R R2
y2
1 arctan R
Z R
|0H
dy
arctan H R 1 dy
R 0 R2 y2
而
R 1 dy lim R1
，其中 为圆柱面
x2 y2 R2 介于平面z =0和z =H(H>0)且在第一 卦限的部分。
解 由于 不能表示成z=z(x,y)的形式
现写成 x R2 y2 ，这样就需投影到yoz面上，
投影区域D为矩形 0 y R,0 z H
又
xy
y R2
y2
, xz
0
有
dS 1 zx2 zy2 dydz
1
y
解 边界曲面 由四块组成： 1 2 3 4 他们的表达式分别是 x 0, y 0, z 0, x y z 1
于是
xyzdS
1
2
3 4
由于在 1 ，2 ，3 上 f (x, y, z) xyz 均为零，
所以
0
1
2
3
在 4 上 z 1 x y， dS 1 zx2 zy2 d 3d， 又 4 在xoy面上的投影区域D为 x 0, y 0, x y 1 围成的三角形
z a h
O Dxy
a
x
a
y
解 的方程为 z a2 x2 y2 ，它在xoy面上的
投影区域D为 x2 y2 a2 h2 ， 的曲面面积元素
为
dS 1 zx2 zy2 d
a
d
a2 x2 y2
所以
1
z
dS
1
D a2 x2 y2
a
d
a2 x2 y2
a d
a rdrd
第五节 对面积曲面积分的计算法
几何形体上的积分 G f P dg
重积分
f x, yd ; f x, y, zdv
D
对弧长的曲线积分
L f x, yds; f x, y, zds
当G为一光滑曲面 ， 被积函数
f x, y, z在上连续，
有 f ( x, y, z)dS 曲面面积元素 积分曲面
DFra Baidu biblioteka2 x2 y2
D a2 r2
（极坐标）
＝a
2
d
0
0
a2 h2
a2
r r2 dr
2 a[
1 ln(a2 2
r 2 )]0 a2 h2
2 a ln a
h
❖例2 计算 Ò xyzdS ，其中 是三个坐标面和
平面 x y z 1 围成的四面体的整个边界曲面。
z 1
1
x
O Dxy
称为函数f x, y, z在曲面上的
对面积的曲面积分(第一类曲面积分)
计算对面积的曲面积分
——化为二重积分
f ( x, y, z)dS
？
x, y, z在上变化
f ( x, y, z)dS
用切平面小块 dA 来代替dS ，而
dA d cos
曲面积分元素为
dA
d
ds d cos
1 zx2 (x, y) zy2 (x, y)d