对面积曲面积分的计算法.

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高数第四节.对面积的曲面积分 (1)

1. f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
1
2
当为闭曲面时, f ( x, y, z)dS 可写成 f ( x, y, z)dS.
2. 当 f ( x, y, z) 1时, dS 是曲面的面积.
复习：
z n
设光滑曲面
M
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S dA
处小切平面的面积 d A 无限积累而成. o
设它在 D 上的投影为 d , 则
x
y
d
d cos d A n ( fx( x0 , y0 ), fy( x0 , y0 ), 1 )
cos
1
1 fx2 (x, y) f y2 (x, y)
d A 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
z
h
oD xy
ay
x
因为dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
a
dxdy，
a2 x2 y2
dS
a
dxdy，
a2 x2 y2
ห้องสมุดไป่ตู้
dS z
Dxy
a2
adxdy x2
y2
add Dxy a2 2
a
2π
d
0
a2 h2 0
d a2 2
2πa
1 2
ln( a 2
2
) 0
a2
h2
2πa ln a . h
f (i ,i , i )Si
积分曲面
面积元素
积分和式
以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的曲面积分.

高等数学对面积曲面积分

1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k ) ( k ) x y
f(x,y,z)dS
f(k,k,z(k,k))
1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k )( k ) x y
f(k,k,z(k,k))
定理设有光滑曲面
z
f (x, y, z) 在上连续, 则曲面积分
O
y
f(x,y,z)dS存在, 且有
x Dxy
(k)xy (k,k,k)
f(x,y, Dxy
证明由定义知
)
n
lim
0 k 1
而
(k)x y 1 zx 2 (x ,y ) zy2 (x ,y )d x d y
用球面坐标
zRcos
dSR2sindd
R3
2πd
π
2sincosd
0
0
R 2πd
π
2sind
0
0
思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?
例5 计算
z22(xyz).
其中是球面 x2 y2
解显然球心为 (1,1,1), 半径为 3
利用对称性可知
z
1
计算 I f(x,y,z)dS.
x Dxy y
解锥面 z x2y2与上半球面 z a2x2y2的
交线为Βιβλιοθήκη 设1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xOy 面上的
投影域为 D x y (x ,y )x 2 y 2 1 2 a 2 ,则
I (x2y2)dS 1

O
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的 x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).

§10.4对面积的曲面积分

Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式.
按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式:
(1) 若曲面为: z=z(x, y), 则
f ( x, y, z)dS
Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
)
i
.
i 1
由以上假设知: 上式两边当0时的极限存在, 即
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
i
)Si
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
z(i
,i
))
1
z
2 x
(i
,i
)
z
2 y
(
i
,i
)
i
.
上式左边为函数f(x, y, z)在上对面积的曲面积分, 而
右边为一个在区域Dxy上的二重积分, 因此有
f ( x, y, z)dS
对面积的曲面积分的性质:
由上述定义可知, 其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似.
(1) 对函数的线性性质:
[f ( x, y, z) g( x, y, z)]dS
f ( x, y, z)dS g( x, y, z)dS.
(2) 对积分曲面的可加性:
12 f ( x, y, z)dS
0
i 1
(
i
,i
,
i
)Si
.
实例: 若曲面是光滑的, 它的面密度(x, y, z)为
连续函数, 求它的质量. 所谓曲面光滑即曲面上各点处

对面积的曲面积分公式

对面积的曲面积分公式1. 对面积的曲面积分的概念。

- 设曲面∑是光滑的，函数f(x,y,z)在∑上有界。

把∑任意分成n小块Δ S_i（Δ S_i同时也表示第i小块曲面的面积），设(ξ_i,eta_i,ζ_i)是Δ S_i上任意取定的一点，作乘积f(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i，并作和∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。

- 如果当各小块曲面的直径的最大值λto0时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作∬_∑f(x,y,z)dS=limlimits_λto0∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。

2. 对面积的曲面积分的计算方法。

- 一、利用曲面的方程化为二重积分计算。

- 设曲面∑的方程为z = z(x,y)，∑在xOy面上的投影区域为D_xy，函数z(x,y)在D_xy上具有连续偏导数，被积函数f(x,y,z)在∑上连续，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{xy}f[x,y,z(x,y)]√(1 + z_x)^2+z_{y^2}dxdy。

- 类似地，如果曲面∑的方程为x = x(y,z)，∑在yOz面上的投影区域为D_yz，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{yz}f[x(y,z),y,z]√(1 + x_y)^2+x_{z^2}dydz。

- 如果曲面∑的方程为y = y(z,x)，∑在zOx面上的投影区域为D_zx，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{zx}f[x,y(z,x),z]√(1 + y_z)^2+y_{x^2}dzdx。

- 二、利用曲面的参数方程计算（略高于一般要求）- 设曲面∑的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(u,v) y = y(u,v) z =z(u,v)end{array}right.，(u,v)∈ D，且x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D上具有连续偏导数，(∂(x,y))/(∂(u,v)),(∂(y,z))/(∂(u,v)),(∂(z,x))/(∂(u,v))不全为零，则dS=√(EG - F^2)dudv，其中E=x_u^2+y_u^2+z_u^2，F = x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v，G=x_v^2+y_v^2+z_v^2。

对面积的曲面积分

M = lim∑ρ(ξi ,ηi ,ζ i )∆Si
0 λ→ i=1
n
∑
其中λ是n个小曲面个小曲面块的直径的最大值。块的直径的最大值。
o x
y
2
2、对面积的曲面积分的定义、定义8.3.1 设曲面是光滑的，函数 (x,y,z)在Σ上设曲面Σ是光滑的函数f 是光滑的，定义在上有界。任意分成n小块同时也代表第i小有界。把 Σ任意分成小块 ⊿ Si （同时也代表第小任意分成小块⊿ 块的面积）设上任意取定的一点，块的面积）,设 (ξi ,ηi ,ζi)是⊿Si上任意取定的一点，是作乘积 f (ξi ,ηi ,ζi)∆si (i=1，2，3，…，n)，并作和，，，，，
Σ
o
Dxy x
y
∫∫ f (x, y, z)dS Σ
Dxy
(∆σi )x y (ξi ,ηi ,ζ i )
)
= ∫∫
f (x, y,
7
说明（1）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” ）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” “一代” 将z=z(x,y)代入被积函数 (x,y,z)，一代” 代入被积函数f 一代代入被积函数，得f [x,y,z(x,y)]；； “二换”将dS换成相应的曲面面积元素的表达式：二换” 换成相应的曲面面积元素的表达式：二换换成相应的曲面面积元素的表达式如Σ：z=z(x,y)，则：，
o x
13
y
I = 0 + 2∫∫ x x2 + y2 dxdy
Dxy
y
= 2∫ π dθ ∫
2 − 2
π
2acosθ
0
r cosθ ⋅ r ⋅ rdr

曲面积分1

Dxz
(3) 若曲面Σ : x x( y, z ) 则
f ( x , y, z )dS

2 f [ x( y, z ) , y , z ] 1 x 2 xz dydz y
D yz
3
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
例求 x 2dS , : x 2 y 2 z 2 a 2
【思考】两类曲面积分的定义一个与的方向无关, 一个与
的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?
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4. 常用计算公式及方法面积分第一类 (对面积) 第二类 (对坐标) 代入曲面方程 (方程不同时，分片积分) 第一类：面积投影第二类：有向投影 (4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面转化二重积分
: z x 2 y 2 , dS 2d 积分曲面
zdS D

x y
2
2
2d
Dxy : x y 2 x
2 2
极坐标
xy
2 d
π 2 0
π 2 π 2
2 cos
0
d
16 2 cos 3 d 3
16 2 32 2 2. 3 3 9
1.对面积的曲面积分
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
对面积的曲面积分的计算法
思想是: 化为二重积分计算. 按照曲面的不同情况分为以下四种:
(1) 若曲面Σ : z z( x , y )
则

曲面的面积元素
2 dS 1 z x z 2 dxdy y
f ( x , y, z )dS 将曲面方程代入被积函数

对面积的曲面积分

2
被柱面
x y 25
所截得的部分.
2 2
解曲面 : z 5 y 投影域: D xy {( x , y ) | x y 25 } 故 ( x

z
O
y z )d S
x
y
2 ( x y 5 y ) dxdy
D xy
dS
的二对重称积性分
z a a x y
2 2 2
O
x
y
2
投影域 Dxy : x
y a
2
2
17
对面积的曲面积分
Σ 是球面 x y z 2 az
2 2 2
对上半球 z a
dS
2 2
a x y
2 2
2
1 z x z y dxdy
2
a a x y
2 2
2
若可分为分片光滑的曲面
1及 2 , 则

f ( x , y , z )d S

1
f ( x , y , z )d S

2
f ( x , y , z )d S
5
对面积的曲面积分
补充：第一类面积分对称性
设分片光滑的曲面Σ 关于yOz面对称,
则

f ( x , y , z )d S
1
O
1
x
16
对面积的曲面积分
计算曲面积分 I

( x y z )d S
2 2 2
的值.
2 2 2 其中Σ 是球面 x y z 2 az .
(a 0)

高数对面积的曲面积分讲解

如 : z z( x, y) ，则
dS
1

z
2 x

z
2 y
dxdy
“三投影”认清在二重积分是在区域上
xoy 平面上的投影区域 Dxy 进行的。
Dxy ，
10
2)如果曲面方程为 x x( y, z), ( y, z) Dyz
或 y y( x, z), ( x, z) Dxz
21
例5 设 : x2 y2 z2 a2
z 1
计算 I f ( x, y, z)dS
解锥面 z x2 y2 与上半球面 z
x o Dx y y
a2 x2 y2 的
交线为
设 1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 Dx y ( x, y)

1

x x2
y2
2

y x2
y2
2
O

dxdy

a
2a x
2dxdy
I ( xy y x2 y2 x x2 y2 ) 2dxdy
Dxy
20
y
0 2 x x2 y2dxdy
Dxy

2a cos

2
两片, 则计算较繁。解取曲面面积元素
则
I

0H
2
R2
R dz z2
2 arctan H
R
H
z dz
o
y
x
28
例11 求椭圆柱面
位于xoy面上方及平面
z = y 下方那部分柱面的侧面积 S 。

对面积的曲面积分的定义

( ) yz 当cos 0 时
(S ) yz ( ) yz 当cos 0 时.
0
当cos 0 时
前侧后侧
其中( ) yz 表示投影区域的面积 .
概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A(面积为 A)。
求单位时间流过 A 的流体的质量 (设密度为 1).
v
A
n 0
流量
A | v | cos
0
Av n .
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)的速度场
由 v ( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面, 函数
P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 都在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的
cos 0
注意：曲面方程均是单值函数.
特别地，在上恒有，
(1) cos 0, 即平行于 x 轴， Pdydz 0; (2) cos 0, 即平行于 y 轴， Qdzdx 0; (3) cos 0, 即平行于 z 轴， Rdxdy 0.
例1 计算 xyz dxdy, 其中
右侧
Dzx
Q( x, y, z)dzdx Q[x, y(z, x), z]dzdx
左侧
Dzx
一投：将曲面向 zox 面投影，得 Dzx . 二代： f ( x, y, z) : y y( x, z) f ( x, y( x, z), z);
三定号：右侧“”号；左侧“”号.
cos 0
质量.
z
1.分割
把曲面Σ分成 n小块 si

曲面积分

=其中Fra bibliotek所以= =
2,计算曲面积分 ,其中是上半个球面与平面围成封闭曲面外侧.
解：
本题需用高斯公式计算，化为三重积分后，再用球坐标计算
=
=
=
3,计算曲面积分 ,其中是长方体的整个表面的外侧，
解：（1）直接计算法
将有向曲面分成以下六个部分
上侧；
下侧；
前侧；
后侧；
左侧；
右侧；
对于，需将向xoy坐标面做投影.显然，除外，其余四片曲面在xoy坐标面上的投影均为零，故
曲面积分
一，第一类（对面积）的曲面积分
内容要点
第一类（对面积）的曲面积分的计算
设函数在曲面上连续，曲面的方程为，且有一阶连续偏导数，则曲面积分
其中为在坐标面上的投影区域.
例题
1计算曲面积分，其中是平面在第一挂限部分.
解：，
=
=
=
=
2计算曲面积分，在xoy坐标面的上方部分
解：
=
=
=
= .
练习题
1设为平面在第一卦限部分，求
2设为平面在第一卦限部分，求
3计算曲面积分，在xoy坐标面的上方部分
[答案：1, ; 2, ; 3, .]
二，第二类（对坐标）的曲面积分
内容要点
1,第二类（对坐标）曲面积分的计算
对于曲面积分的计算，首先应将的方程表为，然后将向xoy坐标面做投影，若投影区域为，则曲面积分便可化为二重积分
[答案：1, ; 2, 3, 4, 5, . ]
同理可得
总之
=
(2)高斯公式法
=
=
其中

对面积曲面积分的计算法

所以
0
1
2
3
在 4 上 z 1 x y， dS 1 zx2 zy2 d 3d，又 4 在xoy面上的投影区域D为 x 0, y 0, x y 1 围成的三角形
所以
xyzdS
xyzdS xy(1 x y) 3d
4
D
1
1 x
30 xdx0 y(1 x y)dy
dy R2 y2 0
R2 z2 dz
R
0
R R2
y2
1 arctan R
Z R
|0H
dy
arctan H R 1 dy
R 0 R2 y2
而
R 1 dy lim R1
0 R2 y2
R1 R 0
lim arcsin R1
R1 R
R2
1 dy R2 y2
所以
dS x2 y2 z2
a
d
Hale Waihona Puke a2 x2 y2所以
1
z
dS
1
D a2 x2 y2
a
d
a2 x2 y2
a d
a rdrd
D a2 x2 y2
D a2 r2
（极坐标）
＝a
2
d
0
0
a2 h2
a2
r r2 dr
2 a[
1 ln(a2 2
r 2 )]0 a2 h2
2 a ln a
h
❖例2 计算 xyzdS ，其中是三个坐标面和
3
1
x[(1 x)
0
y2 2
y3 3
]10
x
dx
3 1 x (1 x)3 dx
0

对面积的曲面积分的计算方法

对面积的曲面积分的计算方法曲面积分是在三维空间中对一个曲面上的某个量进行积分，其结果是一个标量。

曲面积分在科学、工程等领域中有着广泛的应用，例如用于计算物理量的分布、流体力学中的流量等。

曲面积分的计算方法基本上可以分为两种：参数化法和微元法。

参数化法是将曲面上的点表示成一组参数的函数形式，从而将曲面积分转化为对参数的积分。

具体来说，假设曲面在参数域内的参数表示为u、v，曲面上的某一点坐标表示为(x,y,z)，那么我们可以将曲面上任意一点的坐标表示为(x(u,v),y(u,v),z(u,v))。

此时，曲面积分被表示为以下形式：∫∫ f(x,y,z)ds = ∫∫f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|ru×rv|dudv其中，|ru×rv|代表曲面在参数域内的两个方向上的向量积的模长，是一个表示曲面面积的系数。

这个曲面积分的计算方式相对较简单，只需要固定参数u和v的取值范围，然后将f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))乘以|ru×rv|进行积分即可。

微元法是将曲面分割成若干微小的面元，然后对每个微元进行积分，最后将所有微元的积分结果加起来得到整个曲面积分的结果。

具体来说，我们可以将曲面分割成n个小面元，每个小面元的面积为dS，对于每个小面元需要求出f(x,y,z)在该面元上的贡献，即f(x,y,z)dS。

然后将所有小面元的贡献加起来即可得到整个曲面积分的结果：∫∫ f(x,y,z)ds = lim(n→∞) Σ[i=1 to n]f(x_i,y_i,z_i)dS_i其中，dS_i代表第i个小面元的面积，(x_i,y_i,z_i)代表第i个小面元的中心点的坐标。

当n无限大时，这个极限就是整个曲面积分的结果。

需要注意的是，微元法中的分割方式对最终结果的精度有很大影响。

通常情况下，我们会选择将曲面分割成较小的小面元，以保证计算结果的精度。

无论是参数化法还是微元法，曲面积分的计算都需要一定的数学基础才能进行。

对面积的曲面积分的计算方法(一)

对面积的曲面积分的计算方法(一)对面积的曲面积分的计算方法曲面积分是对曲面上的某个物理量的积分，计算曲面积分需要对曲面进行参数化，然后将积分变为对参数的积分。

针对计算对面积的曲面积分，需要注意以下几个方面。

曲面的参数化首先需要对曲面进行参数化，将曲面表示为一个参数方程，这样才能进行对参数的积分。

对于一个光滑曲面，可以采用以下方法进行参数化。

•隐式参数化：将曲面方程化为F(x,y,z)=0的形式，然后通过某些手段解得一个参数方程。

•显式参数化：即直接给出x,y,z三个自变量的函数表达式。

参数变换曲面积分需要对参数的积分，而参数变换可以将曲面积分转化为对一个标准区域D的积分，即曲面上的每一个点都与标准区域D上的一个点对应。

这样可以帮助我们更容易地对参数进行积分。

曲面积分的计算公式对于面积元素dσ，面积分的计算公式如下：∬fS (x,y,z)dσ=∬fD(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|n|dudv其中|n|表示n向量在(x,y,z)点的模长，也即面积元素dσ的面积大小。

实例演示以球体 x 2+y 2+z 2=R 2 为例，设 f (x,y,z )=z ，现计算 f 在球体上的曲面积分。

首先可以把球体用下面的参数方程表示出来：{x =Rsinϕcosθy =Rsinϕsinθz =Rcosϕ然后可以计算出 dσ 及其对应的模长：dσ=R 2sinϕdϕdθ|n |=√(∂x ∂u ×∂x ∂v )2+(∂y ∂u ×∂y ∂v )2+(∂z ∂u ×∂z ∂v)2=√2Rsinϕ 所以曲面积分可以写成：∬z S dσ=∫∫(Rcosϕ)π02π0⋅(R 2sinϕ)dϕdθ=0 因此，f 在球体上的曲面积分等于 0。

综上，对面积的曲面积分的计算方法需要进行曲面的参数化、参数变换和计算公式的应用。

掌握这些知识，可以更好地解决曲面积分的问题。

注意事项在计算曲面积分的过程中，需要注意以下几个方面：• 对于面积元素 dσ，需要注意其符号，在计算曲面积分时要与曲面的法向量 n 的方向一致。

曲面积分的计算方法

曲面积分的计算方法
曲面积分是对曲面上某个量的积分，常用于物理学、工程学和数学等领域的问题求解。

计算曲面积分的方法包括两类：对面积元素的积分和对参数的积分。

方法一：对面积元素的积分
1. 将曲面划分为小面元，每个面元的面积为ΔS。

2. 在每个面元上选择一个点P，计算该点上的量F的值。

3. 计算量F在每个面元上的微元积分dΦ=F(P)ΔS。

4. 对所有面元上的微元积分进行求和，即可得到曲面积分的近似值。

方法二：对参数的积分
1. 将曲面用参数方程表示，即将曲面上的点P(x,y,z)表示为参数u和v的函数：P(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))。

2. 计算参数u和v的范围，并确定积分的积分区域D。

3. 计算向量积dS=|∂P/∂u × ∂P/∂v|dudv，其中∂P/∂u和∂P/∂v分别表示参数u和v对应的偏导数。

4. 将量F用参数表示，即F(P(x,y,z))=F(x(u,v),y(u,v),z(u,v))。

5. 计算量F在参数区域D上的积分：∬F(P)dS =
∫∫F(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|∂P/∂u × ∂P/∂v|dudv。

这两种方法都可以用于计算曲面积分，根据具体的问题选用合适的方法。

需注意，在计算中要注意曲面的参数化表示和确定积分区域，以及正确计算面积元素或微元积分。

§10.4对面积的曲面积分

i =1
∑ f (ξ i ,ηi , ζ i )∆Si ,
n
∫∫Σ f ( x , y , z )dS = lim ∑ f (ξ i ,ηi , ζ i )∆Si . λ →0
i =1
n
其中f(x, y, z)叫作被积函数 Σ 叫作积分曲面叫作被积函数积分曲面. 其中叫作被积函数, 叫作积分曲面其物理意义是面密度为f(x, y, z)的曲面Σ 的质量其物理意义是面密度为的曲面的质量.
λ → 0 i =1
= ∫∫D f [ x, y, z( x, y)] 1 + z′2 + z′2dxdy. x y
xy
这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式. 这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式
按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式: 按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式 (1) 若曲面Σ 为: z=z(x, y), 则 ∫∫Σ f ( x , y , z )dS
xy
= ∫∫D f [ x , y , z ( x , y )] 1 + z′x2 + z′y2 dxdy .
(2) 若曲面Σ 为: y=y(z, x), 则 ∫∫Σ f ( x , y , z )dS
xz
= ∫∫D f [ x , y( x , z ), z ] 1 + y′x2 + y′ 2 dxdz . z
= 4 ∫0 dθ ∫0 r 2 cos t sin t ⋅ r 2 1 + 4r 2 rdr (用极坐标计算用极坐标计算) 用极坐标计算
2
π
1
位于对称坐标面一侧的部分. 其中Σ1是Σ 位于对称坐标面一侧的部分
1 + 4r 2 dr = 4 ∫0 cos t sin tdt ∫ 1 1 5 令 u=1+4r2. = 4 ⋅ ∫0 r 1 + 4r 2 dr 2 125 5 − 1 1 5 u−1 2 . ) du = = ∫1 u( 420 4 4 对面积的曲面积分有完全类似与三重积分的注: 对面积的曲面积分有完全类似与三重积分的对称性. 对称性对称于xoy(或yoz, 或zox)坐标面坐标面, 设Σ 对称于或坐标面是奇函数, 关于z 若f(x, y, z)关于 (或x,或 y)是奇函数则关于或或是奇函数 ∫∫Σ f ( x , y , z )dS = 0. 关于z 是偶函数, 若f(x, y, z)关于 (或x, 或 y)是偶函数则关于或是偶函数 ∫∫Σ f ( x , y , z )dS = 2∫∫Σ f ( x , y , z )dS .

对面积的曲面积分

第四节对面积的曲面积分4.1 学习目标了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量 .4.2 内容提要1.定义设函数f x, y,z 在光滑曲面上有界，将曲面任意分成n 小块 s ( S i也表示第i 小块曲面的面积)，在 S i 上任取一点 M i ( i , i , J ，作乘积f( i , i , i ) S i n (i 1,2,L ,n )，并作和 f i , i , is i ，记各小曲面直径的最大值为，如果对曲i 1面的任一分法和点(i , i , i )的任意取法，当 0时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数 f x,y,z 在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记nf(x, y,z)dS lim 0 i 1 f ( i , i , i ) S •【注】定义中的“ S i ”是面积元素，因此，S i 0 .2•性质f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x, y,z)dS ;1 2②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面的面积S ，即f (x, y, z)dS S .3.对面积的曲面积分的计算在xoy 面上的投影区域为 D xy ,函数z z x, y 在Dxy同样地:x x y,zf (x, y, z)dSD yzD xy 上具有连续偏导数，被积函数f (x, y,z)在上连续，则f (x,y,z)dSf(x, y,z(x,y)h 1dxdy①关于曲面具有可加性，若12，且1与2没有公共的内点，则设曲面由z z x, y 给出,x y,z , y,z dydz ,:y y z,xf(x,y,z)dS f x, yz,x ,zD xz4•对面积的曲面积分的应用设曲面上任意一点x, y, z处的面密度是x, y,z①曲面的质量x, y, zdS.②曲面的质心x,y,z 2 dzdx .x,y,z dS, x,y,z dS③曲面的转动惯量I x x,y,z dS Iyx, y,zI z x,y,z dS, I o z x, y, z dSdS,x, y,zdS.4.3 典型例题与方法基本题型I :计算对面积的曲面积分1 填空题:x2y2z24，则Q(X2y2)dS由积分区域的对称性知乙x2dS y2dS? z2dS而积分在上进行,乙（x2故应填12832 选择题(A) xdS (C) zdS乙（X2y2)dS - (x23z24,y2)dSa2(z 0),代入上式得,z2)dS .22128在第一卦限中的部分，则有（）4 xdS ；( B) ydS 4 xdS ；1 14 xdS ；( D) xyzdS 4 xyzdS解因为曲面是上半球面，关于yoz 面对称且被积函数f i (x, y,z) x ,f 2(x, y, z) xyz 都是变量X 的奇函数，于是 xdS xyzdS ° .类似地，关于xoz面对称且f 3(x, y,z) y 是变量y 的奇函数，于是 yds 0 .而 xdS 0, xyzdS 0 ,1 1故应选(C ).事实上，由对称性，zdS 4zdS ,zdS xdS, (0正确.1 1 1【方法点击】在计算对面积的曲面积分时，应注意下列技巧： (1) 利用对称性，但要注意，曲面关于某坐标面对称，被积函数关于相应变量具有奇偶性，两者缺一不可.(2)利用积分曲面的方程化简被积函数.例3计算曲面积分 (2x 2y z)ds ，其中是平面2x 2y z 2 0被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分D : 0 x 1,0 y22dSJ 1~x ~ dxdy ^ 2dxdy ,解法2x 2y,z x2,Z y 2.在xoy 平面上的投影是三角形，记为(2x 2y z)ds2g 1 z x 2 z y 2 dxdy6dxdy 3.D解法(2x 2y z)ds 2dS22 3 .【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里, 形，最后用到了三角形的面积公式 .例 4 计算 | (x2y 2)dS ,因为积分曲面是一个三角为立体.x 2 y2z 1的边界.【分析】］根据积分曲面的方程, 分转化为投影区域上的二重积分进行计算.确定投影区域，计算曲面面积微元dS ，将曲面积1为锥面zx 2 y 2 , 0 z 1，在 1 上,图4-12为z 1上x 2y 21部分，在 2上，dS dxdy ,2 2i, 2在xOy 面的投影区域为D ：x y 1，所以图4-2【注】该题不能将积分曲面向xoy 面作投影，因为投影为曲线，不是区域•基本题型II :对面积的曲面积分的应用(x 21y 2)dS + (x y 2)dS2 (x 2 2 y )、. 2dxdy (xD2y )dxdy(.2 1) (x 2y 2)dxdy (1D3d八2).例5计算 z 2dS ，其中为 x 2 y 24介于z 0,z 6之间的部分•【分析】积分曲面如图11-13所示，此积分为对面积的曲面积分，积分曲面关于xoz 面，yoz 面对称，被积函数是偶函数，则有z 2dS = 4 z 2dS ， 1故可利用对称性解之•解设1 : x 4 y 2,其在yoz 面的投影域为D yz :dS . 1 x y 2x z2dydzdydzz dS = 4 z ? dS =4Ddy 288 .1例6求物质曲面S: z (x2 y2)(0 z 1)的质量，其面密度z((x, y,z) S).2解S在xoy平面上的投影区域D : x2 y2(、‘2)2.解以球心为原点，铅锤直径为Z 轴建立直角坐标系，则球面方程为x 2y 2z 2R 2，且任意点M (x,y, z)处的密度为x 2y 2.设球壳的质心坐标为(x,y,z)，由对称性知，x y 0 .z dS于是球壳的质量为2 R43 R4R12 3 3，于是半球壳的质心坐标为-2R 3 324.4 教材习题解答1.有一个分布着质量的曲面，在点(X, y, z)处它的面密度u(x,y, z)，用对面积的曲面积分表示这曲面对于 x 轴转动惯量。

高等数学第十章曲面积分

（1）求 1和 2在 yoz 平面上的投影区域：
因 1和 2在 yoz 平面上的投影区域相同，设为 D yz ： 0 z H 。 R y R，

1
H
z

o
2
x
R
R
y
（2）求微元 dS ：在 1和 2 上，
dS 1 ( x 2 x ) ( ) 2 dydz y z R R y
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
1 2
2．反号性
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy

3．奇偶对称性
0 Rdxdy 2 Rdxdy
4 z 2 x y与形式相同，故可利用曲面方程来简化被积 3 4 z 2 x y 4 代入，从而简化计算。函数，即将 3 x y 解：平面方程的为 z 4(1 ) （见下图）， 2 3
在 xoy 面上的投影区域为：
x y D xy : 1, x 0, y 0 2 3 z z 4 2, x y 3
0 i 1
n

2．物理意义 Pdydz Qdzdx Rdxdy

表示流体密度 1 速度场为 V P i Q j R k , 单位时间内流过曲面一侧的流量。

二、对坐标的曲面积分的性质
1．可加性

1 2
Pdydz Qdzdx Rdxdy
【例1】计算曲面积分 ( z 2 x

x y z 1在第一卦限中的部分。 2 3 4

对面积的曲面积分的计算法

1 x
1y
4 xyz d S
4 : z
0
0
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
0
0
3 120
例3. 设 : x2 y2 z2 a2
z 1
计算 I f (x, y, z) d S .
解: 锥面 z x2 y2 与上半球面 z
z2 2(x y z).
其中是球面 x2 y2
解: 显然球心为(1,1,1), 半径为 3
利用对称性可知
I
2 3
(x2
y2
z2)
dS
4 3
(x
y
z) d
S
xd S yd S zd S 利用重心公式
4 xd S 4 x d S
x xd S d S
例7. 计算
其中是介于平面
定理: 设有光滑曲面
z
f (x, y, z) 在上连续, 则曲面积分
O
y
f (x, y, z) dS 存在, 且有
x Dxy
( k )x y (k ,k , k )
f (x, y, Dx y
证明: 由定义知
)
n
lim
0 k 1
而
( k )xy 1 zx2 (x, y) z y2 (x, y) dxd y
之间的圆柱面分析: 若将曲面分为前后(或左右) 两片, 则计算较繁. 解: 取曲面面积元素
则
I
H 2π R dz 0 R2 z2
2 π arctan H R
z H
z dz
O
y
x
例8. 求椭圆柱面

对面积曲面积分的计算法.

高数第四节.对面积的曲面积分 (1)

高等数学对面积曲面积分

§10.4对面积的曲面积分

对面积的曲面积分公式

对面积的曲面积分

曲面积分1

对面积的曲面积分

高数 对面积的曲面积分讲解

对面积的曲面积分的定义

曲面积分

对面积曲面积分的计算法

对面积的曲面积分的计算方法

对面积的曲面积分的计算方法(一)

曲面积分的计算方法

§10.4对面积的曲面积分

对面积的曲面积分

高等数学第十章曲面积分

对面积的曲面积分的计算法

高数对面积的曲面积分讲解