中考数学专题(十九)阅读理解题专题

中考数学专题9 阅读理解题专题

【前言】

新课标以来中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。不同以往的单纯“给条件”to “求结果”式的题目，阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。对于这种题来说，如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键，让我们先看以下的例题。

【例1】

请阅读下列材料

问题：如图1，在等边三角形ABC 有一点P ，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．

明同学的思路是：将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′P B 是等边三角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决．

请你参考明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．

【思路分析】首先仔细阅读材料，问题中小明的做法总结起来就是通过旋转固定的角度将已知条件放在同一个（组）图形中进行研究。旋转60度以后BP 就成了BP`,PC 成了P`A,借助等量关系BP`=PP`,于是△APP`就可以计算了.至于说为什么是60°,则完全是因为大图

图3 图1

图2

形是等边三角形,需要用60度去构造另一个等边三角形。看完这个，再看所求的问题，几乎是一个一模一样的问题，只不过大图形由三角形变成了正方形。那么根据题中所给的思路，很自然就会想到将△BPC 旋转90度看看行不行。旋转90度之后，成功将PC 挪了出来，于是很自然做AP`延长线，构造出一个直角三角形来，于是问题得解。说实话如果完全不看材料，在正方形做辅助线，当成一道普通的线段角计算问题也是可以算的。但是借助材料中已经给出的旋转方法做这道题会非常简单快捷。大家可以从本题中体会一下领会材料分析方法的重要性所在。

【解析】

（1）如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC ≌△BP′A． ∴AP′=PC=1，BP=BP′=2． 连结P P′， 在Rt△BP′P 中，

∵ BP=BP′=2，∠PBP′=90°， ∴ P P′=2，∠BP′P=45°．

在△AP′P 中， AP′=1，P P′=2，AP=5， ∵ 22212(5)+=，即AP′ 2 + PP′ 2 = AP2． ∴ △AP′P 是直角三角形，即∠A P′ P=90°． ∴ ∠AP′B=135°．

∴ ∠BPC=∠AP′B=135°． …

（2）过点B 作BE ⊥AP′ 交AP′ 的延长线于点E ． ∴ ∠E P′ B =45°.∴ E P′=B E=1.∴ AE=2. ∴ 在Rt△AB E 中，由勾股定理，得AB=5． ∴ ∠BPC=135°，正方形边长为5． 【例2】

若12,x x 是关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则方程的两个根12

,x x 和系数,,a b c 有如下关系：1212,

b c

x x x x a

a

+=-⋅=

. 我们把它们称为根与系数关系定理. 如果设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的两个交点为12(,0),(,0)A x B x .利用根与系数关系定理我们又可以得到A 、B 两个交点间的距离为：

12AB x x =-== 请你参考以上定理和结论，解答下列问题:

设二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的两个交点为12(,0),(,0)A x B x ，抛物线的顶点为C ，显然ABC ∆为等腰三角形.

（1）当ABC ∆为等腰直角三角形时，求24;b ac -的值 （2）当ABC ∆为等边三角形时，24b ac -= .

（3）设抛物线21y x kx =++与x 轴的两个交点为A 、B ，顶点为C ，且90ACB ∠=︒,试问如何平移此抛物线，才能使60ACB ∠=︒？

【思路分析】本题也是较为常见的类型，即先给出一个定理或结论，然后利用它们去解决一些问题。题干中给出抛物线与X 轴的两交点之间的距离和表达式系数的关系,那么第一问要求24b ac -取何值时△ABC 为等腰直角三角形.于是我们可以想到直角三角形的性质就是斜边中线等于斜边长的一半.斜边中线就是顶点的纵坐标,而斜边恰好就是两交点的距离.于是将24b ac -作为一个整体,列出方程求解.第二问也是一样,把握等边三角形底边与中线的比例关系即可.第三问则可以直接利用第一问求得的24b ac -值求出K,然后设出平移后的解析式,使其满足第二问的结果即可.注意左右平移是不会改变度数的，只需上下即可。

【解析】．⑴ 解：当ABC △为等腰直角三角形时，过C 作CD AB ⊥，垂足为D ， 则2AB CD =

∵抛物线与x 轴有两个交点，∴0>△，（不要忘记这一步的论证）

∴22

44b ac b ac -=-

∵AB =

又∵244b ac

CD a

-=，

∵0a ≠，

22

442

b ac

b a

c --

(

)

2

22444

b ac

b a

c --=

∴(

)

2

22444

b ac

b a

c --=

∴244b ac -=…

⑵当ABC △为等边三角形时，24b ac -12= ⑶∵90ACB ∠=︒， ∴24b ac -4=． 即244k -=， ∴22k =± 因为向左或向右平移时，ACB ∠的度数不变，

所有只需要将抛物线2221y x x =±+向上或向下平移使60ACB ∠=︒，然后向左或向右平移任意个单位即可．

设向上或向下平移后的抛物线解析式为：2221y x x m =±++， ∵平移后60ACB ∠=︒，∴2412b ac -=， ∴2m =-．

∴抛物线21y x kx =++向下平移2个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使ACB ∠的度数由90︒变为60︒

【例3】 阅读下列材料：

小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 和DA 边上靠近A 、B 、C 、D 的n 等分点，

连结AF 、BG 、CH 、DE ，形成四边形MNPQ ．求