多目标函数的优化设计
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第七章 多目标函数的优化设计方法
在实际问题中，对于大量的工程设计方案要评价 其优劣，往往要考虑多个目标。 例如，对于车床齿轮变速箱的设计，提出了下列要求：
1)各齿轮体积总和f1(x)尽可能小．使材料消耗减 少，成本降低。
2)各传动轴间的中心距总和f2(x)尽可能小，使变 速箱结构紧凑。
3)齿轮的最大圆周速度f3(x)尽可能低，使变速箱 运转噪声小。
V min x F n(x ) = min [ f1 (x ) f 2 (x ) f 3 (fx4)(x )T] R s.t. g j (x ) 0 ( j = 1,2,L , p) hk (x ) = 0 (k = 1,2,L , q )
在多目标优化模型中，还有一类模型，其特点是，
在约束条件下，各个目标函数不是同等地被最优化，而 是按不同的优先层次先后地进行优化。例如:工厂生产： 1号产品，2号产品，3号产品，…，M号产品。应如何安 排生产计划，在避免开工不足的条件下，使工厂获得最 大利润，工人加班时间尽量地少。
将各分目标转化后加权
先将各项设计指标都转化为统一的无量纲值，并且将 量级也限于某一规定范围之内．使目标规格化，然后再根 据各个目标（设计指标）的重要性用加权因子来组合“统 一目标函数”。
在前述的单目标优化方法的基础上，扼要介绍 多目标优化设计问题的一些基本概念、求解思路和 处理方法。
从上述有关多目标优化问题的数学模型可见，多目 标(向量)优化问题与单目标(标量)优化问题的一个本质 的不同点是：
多目标优化是一个向量函数的优化，比较向量函数 值的大小，要比标量值大小的比较复杂。在单目标优化 问题中，任何两个解都可以比较其优劣，因此是完全有 序的。可是对于多目标优化问题，任何两个解不一定都 可以比出其优劣，因此只能是个有序的。
若决策者希望把所考虑的两个目标函数按其重要性 分成以下两个优先层次：第一优先层次——工厂获得最 大利润．第二优先层次——工人加班时间尽可能地少。 那么，这种先在第一优先层次极大化总利润，然后在此 基础上再在第二优先层次同等地极小化工人加班时间的 问题就是分层多目标优化问题。
多目标优化设计问题要求各分量目标都达到最 优，如能获得这样的结果，当然是十分理想的。但 是，一般比较困难，尤其是各个分目标的优化互相 矛盾时更是如此。譬如，机械优化设计中技术性能 的要求往往与经济性的要求互相矛盾。所以，解决 多目标优化设计问题也是一个复杂的问题。近年来 国内外学者虽然作了许多研究，也提出了—些解决 的方法，但比起单目标优化设计问题来，在理论上 和计算方法，都还很不完善，也不够系统。
()
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( x) =
xD
xD
=i 1
i iF x
使用这个方法的难处在于如何找到合理的权系 数，以反映各个单目标对整个多目标问题中的重要程 度。使原多目标优化问题较合理地转化为单目标优化 问题，且此单目标优化问题的解又是原多目标优化问 题的好的非劣解。权系数的选取．反映了对各分目标 的不同估价、折衷，故应根据具体情况作具体处理， 有时要凭经验、凭估计或统计计算并经试算得出。
例如，设计某一产品时，希望对不同要求的A和B为 最小。一般说来这种要求是难以完美实现的，因为它们 没有确切的意义。除非这些性质靠完全不同的设计变量 组来决定，而且全部约束也是各自独立的。
对多目标设计指标而言，任意两个设计方案的优劣一 般是难以判别的，这就是多目标优化问题的特点。这样，在 单目标优化问题中得到的是最优解，而在多目标优化问题中 得到的只是非劣解。而且，非劣解往往不只一个。如何求得 能接受的最好非劣解，关键是要选择某种形式的折衷。
另一种是将多目标(向量)优化问题转化为一系列单目标 (标量)优化问题来求解。
属于这一大类求解的前一种方法有：主要目标法，线性 加权和法，理想点法，平方和加权法，分目标乘除法，功效 系数法——几何平均法，极大极小法等等。属于后一种的有 分层序列法等。此外还有其它类型的方法，如协调曲线法等 等。
7.2 统一目标函数法
所谓非劣解(或称有效解)，是指若有M个目标，f1 ( x0 )( i = 1,2,... m ) 当要求(M—1)个目标值不变坏时，找不到一个x，使得另一 个目标函数值 fi ( x)比 fi ( x )更好，则将此x*作为非劣解。
显然，多目标优化问题只有当求得的解是非劣解时才 有意义，劣解是没有意义的，而绝对最优解存在的可能性 很小。
例7.1一个二维分目标（n=1，m=2） 的多目标优化问题为：
V min F ( x) = [ f1 ( x) f 2 ( x)]T f1 ( x) = x 2 2 x f 2 ( x) = x
D： 0 x 2
多目标优化方法
多目标优化的求解方法甚多，其中最主要的有两大类。 一类是直接求出非劣解，然后从中选择较好解。属于这类方 法的如合适等约束法等。另一大类是将多目标优化问题求解 时作适当的处理。处理的方法可分为两种：一种处理方法是 将多目标优化问题重新构造一个函数，即评价函数，从而将 多目标(向量)优化问题转变为求评价函数的单目标(标量)优 化问题。
4)传动效率尽可能高，亦即机械损耗率f4(x)尽可 能低，以节省能源。
此外，该变速箱设计时需满足轮齿不根切、不干 涉等几何约束条件，还需满足轮齿强度等约束条件， 以及有关设计变量的非负约束条件等。
按照上述要求，可分别建立四个目标函数： f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)。这几个目标函数都要 达到最优，且又要满足约束条件，则可归纳为
统一目标法又称综合目标法。它是将原多目标优化 问题，通过一定方法转化为统一目标函数或综合目标函 数作为该多目标优化问题的评价函数，然后用前述的单 目标函数优化方法求解。
1．线性加权和法
线性加权和法又称线性组合法，它是处理多 目标优化问题常用的较简便的一种方法。这种方 法因为有一定理论根据，故已被广泛应用。但这 种方法的成功与否，在很大程度上取决于一个确 定方向的凸性条件。如果缺乏凸性，这种方法将 归于失败。所谓线性加权和法即将多目标函数组 成—综合目标函数，把一个要最小化的函数 F ( x) 规定为有关性质的联合。
在实际问题中，对于大量的工程设计方案要评价 其优劣，往往要考虑多个目标。 例如，对于车床齿轮变速箱的设计，提出了下列要求：
1)各齿轮体积总和f1(x)尽可能小．使材料消耗减 少，成本降低。
2)各传动轴间的中心距总和f2(x)尽可能小，使变 速箱结构紧凑。
3)齿轮的最大圆周速度f3(x)尽可能低，使变速箱 运转噪声小。
V min x F n(x ) = min [ f1 (x ) f 2 (x ) f 3 (fx4)(x )T] R s.t. g j (x ) 0 ( j = 1,2,L , p) hk (x ) = 0 (k = 1,2,L , q )
在多目标优化模型中，还有一类模型，其特点是，
在约束条件下，各个目标函数不是同等地被最优化，而 是按不同的优先层次先后地进行优化。例如:工厂生产： 1号产品，2号产品，3号产品，…，M号产品。应如何安 排生产计划，在避免开工不足的条件下，使工厂获得最 大利润，工人加班时间尽量地少。
将各分目标转化后加权
先将各项设计指标都转化为统一的无量纲值，并且将 量级也限于某一规定范围之内．使目标规格化，然后再根 据各个目标（设计指标）的重要性用加权因子来组合“统 一目标函数”。
在前述的单目标优化方法的基础上，扼要介绍 多目标优化设计问题的一些基本概念、求解思路和 处理方法。
从上述有关多目标优化问题的数学模型可见，多目 标(向量)优化问题与单目标(标量)优化问题的一个本质 的不同点是：
多目标优化是一个向量函数的优化，比较向量函数 值的大小，要比标量值大小的比较复杂。在单目标优化 问题中，任何两个解都可以比较其优劣，因此是完全有 序的。可是对于多目标优化问题，任何两个解不一定都 可以比出其优劣，因此只能是个有序的。
若决策者希望把所考虑的两个目标函数按其重要性 分成以下两个优先层次：第一优先层次——工厂获得最 大利润．第二优先层次——工人加班时间尽可能地少。 那么，这种先在第一优先层次极大化总利润，然后在此 基础上再在第二优先层次同等地极小化工人加班时间的 问题就是分层多目标优化问题。
多目标优化设计问题要求各分量目标都达到最 优，如能获得这样的结果，当然是十分理想的。但 是，一般比较困难，尤其是各个分目标的优化互相 矛盾时更是如此。譬如，机械优化设计中技术性能 的要求往往与经济性的要求互相矛盾。所以，解决 多目标优化设计问题也是一个复杂的问题。近年来 国内外学者虽然作了许多研究，也提出了—些解决 的方法，但比起单目标优化设计问题来，在理论上 和计算方法，都还很不完善，也不够系统。
()
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( x) =
xD
xD
=i 1
i iF x
使用这个方法的难处在于如何找到合理的权系 数，以反映各个单目标对整个多目标问题中的重要程 度。使原多目标优化问题较合理地转化为单目标优化 问题，且此单目标优化问题的解又是原多目标优化问 题的好的非劣解。权系数的选取．反映了对各分目标 的不同估价、折衷，故应根据具体情况作具体处理， 有时要凭经验、凭估计或统计计算并经试算得出。
例如，设计某一产品时，希望对不同要求的A和B为 最小。一般说来这种要求是难以完美实现的，因为它们 没有确切的意义。除非这些性质靠完全不同的设计变量 组来决定，而且全部约束也是各自独立的。
对多目标设计指标而言，任意两个设计方案的优劣一 般是难以判别的，这就是多目标优化问题的特点。这样，在 单目标优化问题中得到的是最优解，而在多目标优化问题中 得到的只是非劣解。而且，非劣解往往不只一个。如何求得 能接受的最好非劣解，关键是要选择某种形式的折衷。
另一种是将多目标(向量)优化问题转化为一系列单目标 (标量)优化问题来求解。
属于这一大类求解的前一种方法有：主要目标法，线性 加权和法，理想点法，平方和加权法，分目标乘除法，功效 系数法——几何平均法，极大极小法等等。属于后一种的有 分层序列法等。此外还有其它类型的方法，如协调曲线法等 等。
7.2 统一目标函数法
所谓非劣解(或称有效解)，是指若有M个目标，f1 ( x0 )( i = 1,2,... m ) 当要求(M—1)个目标值不变坏时，找不到一个x，使得另一 个目标函数值 fi ( x)比 fi ( x )更好，则将此x*作为非劣解。
显然，多目标优化问题只有当求得的解是非劣解时才 有意义，劣解是没有意义的，而绝对最优解存在的可能性 很小。
例7.1一个二维分目标（n=1，m=2） 的多目标优化问题为：
V min F ( x) = [ f1 ( x) f 2 ( x)]T f1 ( x) = x 2 2 x f 2 ( x) = x
D： 0 x 2
多目标优化方法
多目标优化的求解方法甚多，其中最主要的有两大类。 一类是直接求出非劣解，然后从中选择较好解。属于这类方 法的如合适等约束法等。另一大类是将多目标优化问题求解 时作适当的处理。处理的方法可分为两种：一种处理方法是 将多目标优化问题重新构造一个函数，即评价函数，从而将 多目标(向量)优化问题转变为求评价函数的单目标(标量)优 化问题。
4)传动效率尽可能高，亦即机械损耗率f4(x)尽可 能低，以节省能源。
此外，该变速箱设计时需满足轮齿不根切、不干 涉等几何约束条件，还需满足轮齿强度等约束条件， 以及有关设计变量的非负约束条件等。
按照上述要求，可分别建立四个目标函数： f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)。这几个目标函数都要 达到最优，且又要满足约束条件，则可归纳为
统一目标法又称综合目标法。它是将原多目标优化 问题，通过一定方法转化为统一目标函数或综合目标函 数作为该多目标优化问题的评价函数，然后用前述的单 目标函数优化方法求解。
1．线性加权和法
线性加权和法又称线性组合法，它是处理多 目标优化问题常用的较简便的一种方法。这种方 法因为有一定理论根据，故已被广泛应用。但这 种方法的成功与否，在很大程度上取决于一个确 定方向的凸性条件。如果缺乏凸性，这种方法将 归于失败。所谓线性加权和法即将多目标函数组 成—综合目标函数，把一个要最小化的函数 F ( x) 规定为有关性质的联合。