同济大学结构力学
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同济大学结构力学
目前，加拿大多伦多电视塔高554米，但这一高度算上了天线。台北101大楼高508米，但屋顶高度仅 480米。此外，东京的胜美达通讯大楼即将动工，设计高度610米。迪拜塔2008年9月1日已达688米， 设计高度700米，传言812米，科威特打算建造1001米的标志性建筑。
金茂大厦421m
西尔斯大厦 442m
同济大学结构力学
学习方法 1、采用课堂讲课和自学教材相结合的方法，以讲课为主，有部分内容给大家自学，目的是培养大家自学的能 力。在自学过程中，不能理解的内容，大家可以相互讨论，当然也可将看不懂的问题和我一起探讨。 2、希望同学们应以讲课内容为主，作简单笔记，在学习理论、概念的同时，一定要作相当数量的习题，通过 手算的方法和技巧来掌握力学的概念以及分析和计算的方法。
几何特征：其横截面上两个方向的尺寸远小于长度。 典型形式：梁、刚架、拱和珩架。 （b）板壳结构——也称薄壁结构。 几何特征：其厚度远小于其余两个方向上的尺度。 典型形式：房屋建筑中的楼板、壳体屋盖及飞机和轮船的外 壳等。 （c）实体结构——也称三维连续体结构。 几何特征：结构的长、宽、高三个方向的尺寸大小相仿。 典型形式：重力式挡土墙、水工建筑中的重力坝等。
人类建筑师总想将摩天大楼越盖越高，美国有527米高的芝加哥西尔斯大厦，加拿大有553米高的多 伦多CN电视塔，阿联酋迪拜市正在建造一座高达807米的世界最高楼。然而这些摩天大楼和日本大成 建筑公司蓝图中的“X-Seed 4000”摩天巨塔相比，却全都是“小巫见大巫”。
美国“高层建筑及城市居住委员会”设定了4个衡量标准：最高一层地板的高度、最高一层屋顶的高度、 大厦尖顶的高度及大厦最高点的高度。
吉隆坡的双子塔452m
台北市的101大楼508m
芝加哥“螺旋之尖”摩天大楼的建设方案获得了政府批 准，“螺旋之尖”摩天大楼全高610米，建成后将是全 美最高的大楼，它也将是世界各大城市里高楼建筑的一 个典范。
金茂大厦421m
西尔斯大厦 442m
同济大学结构力学
学习方法 1、采用课堂讲课和自学教材相结合的方法，以讲课为主，有部分内容给大家自学，目的是培养大家自学的能 力。在自学过程中，不能理解的内容，大家可以相互讨论，当然也可将看不懂的问题和我一起探讨。 2、希望同学们应以讲课内容为主，作简单笔记，在学习理论、概念的同时，一定要作相当数量的习题，通过 手算的方法和技巧来掌握力学的概念以及分析和计算的方法。
几何特征：其横截面上两个方向的尺寸远小于长度。 典型形式：梁、刚架、拱和珩架。 （b）板壳结构——也称薄壁结构。 几何特征：其厚度远小于其余两个方向上的尺度。 典型形式：房屋建筑中的楼板、壳体屋盖及飞机和轮船的外 壳等。 （c）实体结构——也称三维连续体结构。 几何特征：结构的长、宽、高三个方向的尺寸大小相仿。 典型形式：重力式挡土墙、水工建筑中的重力坝等。
人类建筑师总想将摩天大楼越盖越高，美国有527米高的芝加哥西尔斯大厦，加拿大有553米高的多 伦多CN电视塔，阿联酋迪拜市正在建造一座高达807米的世界最高楼。然而这些摩天大楼和日本大成 建筑公司蓝图中的“X-Seed 4000”摩天巨塔相比，却全都是“小巫见大巫”。
美国“高层建筑及城市居住委员会”设定了4个衡量标准：最高一层地板的高度、最高一层屋顶的高度、 大厦尖顶的高度及大厦最高点的高度。
吉隆坡的双子塔452m
台北市的101大楼508m
芝加哥“螺旋之尖”摩天大楼的建设方案获得了政府批 准，“螺旋之尖”摩天大楼全高610米，建成后将是全 美最高的大楼，它也将是世界各大城市里高楼建筑的一 个典范。
同济大学结构力学课程第一章
实验
结构动力计算
结构稳定计算**
结构极限荷载**
第一章 绪论
1～1 结构力学的研究对象和基本任务 1.工程结构的概念
指建筑物、构筑物和其它工程对象中支承和传递荷载而起骨架作用 的部分。 2.工程结构的受力特性和承载能力与结构的几何特征有着密切的联系。 3.结构分类： 按照几何特征分： （a）杆系结构——由若干个杆件相互联接组成的结构。
环球金融中心的多个“第一”
■ 屋顶高度世界第一：492米，超过 了目前屋顶高度世界第一的台北101大 楼（480米）。 ■ 人可达到高度世界第一：474米， 大楼100层的观光天阁是世界上人能到 达的最高观景平台。
■ 世界最高中餐厅：416米，设在93 层的中餐厅，将成为全球最高中餐厅。
■ 世界最高游泳池：366米，设在85 层的游泳池，将夺得“世界最高游泳 池”称号。
•1～2 结构的计算简图
一、结构计算简图
1. 概念：在计算中把实际结构中的一些次要因素加以忽略，
但又反映出实际结构主要受力特征的经过简化的结构图形。
2. 计算简图的选择原则：
（1）存本去末原则：保留主要因素，略去次要因素，使 计算简图能反应出施加架构的主要受力特征。 （2）计算简便原则：根据需要和可能，并从实际出发， 力求使计算简图便于计算。 （3）据不同的要求与具体情况，对同一实际结构可选择 不同的计算简图。
斜拉桥
拱桥
1999年1月4日，我国重庆市綦江县 彩虹桥发生垮塌，造成：
40人死亡； 14人受伤； 直接经济损失631万元。
垮塌前的彩虹桥
垮塌后的彩虹桥
简单力学问题－ 大部队过桥时不能齐步走
高等力学问题－ 冲击载荷的概念： 人跑步时脚上的力量有多大？ 损伤累积与结构寿命 与跑步的次数有关
结构动力计算
结构稳定计算**
结构极限荷载**
第一章 绪论
1～1 结构力学的研究对象和基本任务 1.工程结构的概念
指建筑物、构筑物和其它工程对象中支承和传递荷载而起骨架作用 的部分。 2.工程结构的受力特性和承载能力与结构的几何特征有着密切的联系。 3.结构分类： 按照几何特征分： （a）杆系结构——由若干个杆件相互联接组成的结构。
环球金融中心的多个“第一”
■ 屋顶高度世界第一：492米，超过 了目前屋顶高度世界第一的台北101大 楼（480米）。 ■ 人可达到高度世界第一：474米， 大楼100层的观光天阁是世界上人能到 达的最高观景平台。
■ 世界最高中餐厅：416米，设在93 层的中餐厅，将成为全球最高中餐厅。
■ 世界最高游泳池：366米，设在85 层的游泳池，将夺得“世界最高游泳 池”称号。
•1～2 结构的计算简图
一、结构计算简图
1. 概念：在计算中把实际结构中的一些次要因素加以忽略，
但又反映出实际结构主要受力特征的经过简化的结构图形。
2. 计算简图的选择原则：
（1）存本去末原则：保留主要因素，略去次要因素，使 计算简图能反应出施加架构的主要受力特征。 （2）计算简便原则：根据需要和可能，并从实际出发， 力求使计算简图便于计算。 （3）据不同的要求与具体情况，对同一实际结构可选择 不同的计算简图。
斜拉桥
拱桥
1999年1月4日，我国重庆市綦江县 彩虹桥发生垮塌，造成：
40人死亡； 14人受伤； 直接经济损失631万元。
垮塌前的彩虹桥
垮塌后的彩虹桥
简单力学问题－ 大部队过桥时不能齐步走
高等力学问题－ 冲击载荷的概念： 人跑步时脚上的力量有多大？ 损伤累积与结构寿命 与跑步的次数有关
同济大学推荐结构力学习题集 含答案
《结构力学》习题集 （上册）
第一章 平面体系的几何组成分析
一、判断题：
1、在任意荷载下，仅用静力平衡方程即可确定全部反力和内力的体系是几何不变 体系。 2、图中链杆 1 和 2 的交点 O 可视为虚铰。
1
O
2
二、分析题：对下列平面体系进行几何组成分析。
3、
4、
C
B
D
C
B
D
A
5、
A
6、
A
B
A
B
C
D
E
7、
5
1
2
3
25、
26、
27、
28、
—— 3 ——
29、
《结构力学》习题集 （上册）
30、
31、
32、
33、
A
B
C
F D
E
三、在下列体系中添加支承链杆，使之成为无多余约束的几何不变体系。
34、
35、
第二章 静定结构内力计算
—— 4 ——
《结构力学》习题集 （上册）
一、判断题：
1、静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。
P
44、
ql
l
a
q
l
l
l
45、
46、
—— 9 ——
ql 2 l
《结构力学》习题集 （上册）
ql
3m
3m 10kN
3m
3m
47、
20kN 4× 2m=8m
48、
2m 2m
m C
EB 4m
D
2m A
4m
2m
49、
16kN . m
50、
第一章 平面体系的几何组成分析
一、判断题：
1、在任意荷载下，仅用静力平衡方程即可确定全部反力和内力的体系是几何不变 体系。 2、图中链杆 1 和 2 的交点 O 可视为虚铰。
1
O
2
二、分析题：对下列平面体系进行几何组成分析。
3、
4、
C
B
D
C
B
D
A
5、
A
6、
A
B
A
B
C
D
E
7、
5
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2
3
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26、
27、
28、
—— 3 ——
29、
《结构力学》习题集 （上册）
30、
31、
32、
33、
A
B
C
F D
E
三、在下列体系中添加支承链杆，使之成为无多余约束的几何不变体系。
34、
35、
第二章 静定结构内力计算
—— 4 ——
《结构力学》习题集 （上册）
一、判断题：
1、静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。
P
44、
ql
l
a
q
l
l
l
45、
46、
—— 9 ——
ql 2 l
《结构力学》习题集 （上册）
ql
3m
3m 10kN
3m
3m
47、
20kN 4× 2m=8m
48、
2m 2m
m C
EB 4m
D
2m A
4m
2m
49、
16kN . m
50、
同济大学朱慈勉 结构力学第11章_结构的稳定计算
§11-2 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法
P
即 : P 3klP k l 0
2 2 2
A 1.618
1
2.618kl 3 5 特征值: P kl 2 0.382kl
B C
k
Pcr 0.382kl ---临界荷载
y1 1 ---失稳形式 y2 1.618
P A
EI
y1
k k
y2
ky1
l
B
EI
ky2
l
C
(2lk P ) y1 kly2 0 整理得 ：(kl P ) y Py 0 1 2
为使y1、y2 不同时为零，令：
HB’
P
A’ B’
VB’
ky1 ky2
2kl P kl 0 ----稳定方程 kl P P
y
y(l ) l
y(l ) tanl
经试算： (l )min 4.493
2 Pcr min EI 4.493 2 EI ( ) EI 20.19 2 l l
2
3 2
5 2
l
§11-3 无限自由度体系的稳定——静力法
例11.8 求体系的临界荷载Pcr 。 P P
第十一两类稳定问题概述 §11-2 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法
§11-3 无限自由度体系的稳定 ——静力法 §11-4 无限自由度体系的稳定 ——能量法
§11-1 概述
强度验算 薄壁结构 刚度验算 结构设计 高强材料结构 稳定验算——某些时候是必须的 （如钢结构） 主要受压的结构等 强度验算与刚度验算是在结构静力平衡的状态下、采用未变形的 结构的计算简图来分析的； 而稳定验算是在结构产生大变形后的几何形状和位置上进行计算 的，其方法已经属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用。
同济大学结构力学第五章-3(图乘法)
FP
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FPl/2 FPl/2 FPl/2 FP FPl/4
MP 图
EI 2EI
M 图
FPl/4
在
M
图求面积， 图取竖标， 图求面积，在 MP图取竖标，有：
ωyc
1 l FPl 1 3l FPl Ay = ∑ = × ×l × ×l × × EI EI 2 2 2EI 2 4 FPl 3 = ( ↓) 16EI
2
B
l 1 1 l 3ql 1 l ql 3 l × × + × × × × ) Cy = ( × EI 2 8 2 2 3 2 8 4 2 1 ql 4 3ql 4 5ql 4 = ( + ( ↓) )= EI 64 128 128EI ?
解法一、 解法一、
ql 2 2
A
q
ql 2 8
. 已知 EI 为常数，求刚架 、D两点 距离的改变 CD 。
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
p117
2
yc = h
1 2 ql 2 = × × ×l ×h CD = ∑ EI EI 3 8 qhl 3 = (→←) 12EI
ωyc
为常数，求刚架A点的竖向位 例 3. 已知 EI 为常数，求刚架 点的竖向位 并绘出刚架的变形曲线。 移 Ay ，并绘出刚架的变形曲线。
b c 取 负 值
(4) 阶梯形截面杆
ωj yj Mi MK ω1 y1 ω2 y2 ω3 y3 dx = + + =∑ ∫ EI E1I1 E2I2 E3I3 Ej I j
四、应用举例 为常数， 例 1. 设 EI 为常数，求 Cy 和 θB 。
l
2
l
同济大学朱慈勉 结构力学12章
p
2
p2 3
Mu a
Mu
Mu
Mu 依 上 限 定 理 ： pu 2.27 a
机构（2）
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。 (1)分析弯矩与曲率的关系 : p 1.1 p
A D B E
C
1
y
M EI
(a )当M为 正 值 时 ， 曲 率 为 负 ； 值
2a
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。 p 1.1 p
解：
2a
a
1.1 p
Mu
a
a
p
机构（ 1） 1.1p1 2a M u 3 M u 2 p1 2.27 Mu a
2
Mu
3
机构（ 2） p2 a M u M u 2
机构（1）
1.1 p
Mu
塑性极限弯矩 仅与截面形状有关
截面形状
矩形 圆
截面形状 系数 1.5 16/3p=1.7
进入塑性流动区后，截面抵抗内力不在增加，但变 形继续发展，相当与承受一个极限弯矩作用的铰
塑性铰与普通铰的相同之处： 铰两侧的截面可以产生有限的相对转角
工字型
圆环
1.10～1.17
1.27～1.40
塑性铰与普通铰的不同之处： (1) 普通铰不能承受弯矩作用，而塑性铰两侧必有大小等于极限弯矩Mu的弯矩 作用。 (2) 普通铰是双向铰，可以绕着铰的两个方向自由转动，而塑性铰是单向铰， 只能沿着弯矩增大的方向自由转动，若方向转动则恢复刚性链接的特性。
三、破坏机构 由于足够多的塑性铰的出现，使原结构成为机构（几何可变体系）， 失去继续承载的能力，该几何可变体系称为“机构”。 1、不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。
同济大学结构力学第二章-2
第二章平面体系的几何构造分析(2) 第二章平面体系的几何构造分析(2)
Construction Analysis of Structures
§4 分析举例
加、减二元体
无多几何不变
瞬变体系 去支座后再分析
加、减 二元体
无多几何不变
找虚铰 无多几何不变
无多几何不变
Ⅱ
O12
找 刚 片 O 、 找 虚 铰
三刚片虚铰在无穷远处的讨论
(a) 一铰无穷远情况
几何不变体系
不平行
平行
几何瞬变体系
平 行 等 长
几何常变体系
(b) 两铰无穷远情况
四 杆 不 全 平 行
几何不变体系
四 杆 全 平 行
几何瞬变体系
四 杆 平 行 等 长
几何常变体系
三铰无穷远 如何? 如何?请大家 自行分析 !
其它分析方法： 其它分析方法： 速度图法：参见《结构力学》 1. 速度图法：参见《结构力学》，河海大 学结构力学教研室编， 学结构力学教研室编， 水利水电出版社出版，1983年 水利水电出版社出版，1983年 计算机分析：参见《程序结构力学》 2. 计算机分析：参见《程序结构力学》， 袁驷编著， 袁驷编著，高等教育出版社出版 零载法： 3. 零载法：在第三章第七节中介绍
23
Ⅰ
Ⅲ O13
行吗？ 行吗？
瞬变体系
它可 变吗？ 变吗？
F
G E
D
找刚片 无多几何不变
F
G E
D
如何变静定？ 如何变静定？
C 无多几何不变 F
D
找刚片 E
A B
A
C
DD
E
E
如何才能不变？ 如何才能不变？
Construction Analysis of Structures
§4 分析举例
加、减二元体
无多几何不变
瞬变体系 去支座后再分析
加、减 二元体
无多几何不变
找虚铰 无多几何不变
无多几何不变
Ⅱ
O12
找 刚 片 O 、 找 虚 铰
三刚片虚铰在无穷远处的讨论
(a) 一铰无穷远情况
几何不变体系
不平行
平行
几何瞬变体系
平 行 等 长
几何常变体系
(b) 两铰无穷远情况
四 杆 不 全 平 行
几何不变体系
四 杆 全 平 行
几何瞬变体系
四 杆 平 行 等 长
几何常变体系
三铰无穷远 如何? 如何?请大家 自行分析 !
其它分析方法： 其它分析方法： 速度图法：参见《结构力学》 1. 速度图法：参见《结构力学》，河海大 学结构力学教研室编， 学结构力学教研室编， 水利水电出版社出版，1983年 水利水电出版社出版，1983年 计算机分析：参见《程序结构力学》 2. 计算机分析：参见《程序结构力学》， 袁驷编著， 袁驷编著，高等教育出版社出版 零载法： 3. 零载法：在第三章第七节中介绍
23
Ⅰ
Ⅲ O13
行吗？ 行吗？
瞬变体系
它可 变吗？ 变吗？
F
G E
D
找刚片 无多几何不变
F
G E
D
如何变静定？ 如何变静定？
C 无多几何不变 F
D
找刚片 E
A B
A
C
DD
E
E
如何才能不变？ 如何才能不变？
同济大学-结构力学课件
• 加里莱·伽利略 （Galileo·Galilei 1564—
1642年）是意大利伟大的物理学家、力 学家、天文学家。他推翻了当时最权威 的 亚里斯多德 的学说， 1582年，他先 后发明了“摆锤摆动等时性定律、落体 定律、惯性定律”。伽利略的成就被公 认为——近代科学的起源。
牛顿（1642-1727年、英国）使力学 成为一门较完整与系统的学科。
2008年5月底，上海新的“第一高”方案确定——580米的 “上海中心”，被设计成盘旋上升的龙形。
截止到2009年1月23日， 迪拜塔封顶，高达818米。
在“迪拜塔”之前，纽 约帝国大厦(381米)、中国 上海金茂大厦(420.5米)、 美国芝加哥希尔斯大厦 (442.3米)、马来西亚双子 星塔(451.9米)、中国台北 101大楼(508米)都曾是享誉 世界的著名高楼。
■ 世界最高酒店：设在大楼79至93层 的柏悦酒店，将成为世界最高酒店。
■ 燃气输送至93层416米的高度，生 活用水最高处在434米的97层观光天 桥上，而消防用水则通过4节系统送至 楼顶，均创下了新高。
被誉为“江苏省 第一高楼”的南京绿地广场紫峰大厦2008 年6月封顶。该大厦位于南京中心鼓楼广场西北角，总高88 层，主体高度最高达381米、天线顶高450米，因其高度超 过420米的上海金茂大厦，而成为中国第二高楼
• 建筑是在力学基础上发展起来的，古
人根据经验设想来构造结构，直到18 世纪有了系统力学分析后，以受力状
态为依据的结构设计才逐渐代替经验 设想。
建筑历史
• 1、历代建筑的演变 • 穴居 巢居 棚居 房屋（人类生活逐步
稳定和发明工具）
• 2、建筑三要素 • 公元前32-22年间，古罗马奥古斯都时代的
同济大学结构力学线弹性结构的互等定理
（Reciprocal Theory in Linear Structures)
一、线性杆系结构的变形能 根据能量守恒，对线弹性、小变形结构， 根据能量守恒，对线弹性、小变形结构， 外力所做的功恒等于储存于体内的应变能。 外力所做的功恒等于储存于体内的应变能。 由第一节所复习的材料力学知识可知 2 2 kFQ FN M2 ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ ds Vε = ∑ ∫ 2 EA 2GA 2 EI 2 Mx +∑∫ ds 2GI P
P112 = P2 21
2. 位移互等定理 位移互等定理: 由功的互等定理， 由功的互等定理，等式两边同除广义力乘 积 P1 P2 ，则可得
12
P2 P1 上式表明，第二个单位广义力引起， 上式表明，第二个单位广义力引起，第一个 单位广义力作用处沿第一广义力方向的位移， 单位广义力作用处沿第一广义力方向的位移， 恒等于第一个单位广义力引起， 恒等于第一个单位广义力引起，第二个单位广 义力作用处沿第二广义力方向的位移。 义力作用处沿第二广义力方向的位移。 若记 12 21 则 δ 12 = δ 21 δ 12 = δ 21 = P2 P1
B
第 I 状态
θB
2
第 II 状态
fC
δ 21
数值、量纲都相等 2 数值、 l l =θB = δ 12 = f c = 16 EI 16 EI
互等定理中的数 值和量纲问题是 否已得到解决? 否已得到解决?
是 否
国家有关部门最近规定， 国家有关部门最近规定，对新近出版的教 要求在对公式进行数值运算时， 材，要求在对公式进行数值运算时，必须带 物理量的单位。 物理量的单位。 若上例简支梁受的是广义力， 若上例简支梁受的是广义力，而不是单位广 义力， 义力，则 2 P2 l 2 P1l 12 = f c = 21 = θ B = 16 EI 16 EI P 1的量纲为 的量纲为MLT-2， P 2的量纲为 的量纲为ML2T-2 根据功的互等定理， 根据功的互等定理，有： P1 f c = P2 θ B P1 2 两边同除以P 两边同除以 1 P 2得： P2 l 2 l
一、线性杆系结构的变形能 根据能量守恒，对线弹性、小变形结构， 根据能量守恒，对线弹性、小变形结构， 外力所做的功恒等于储存于体内的应变能。 外力所做的功恒等于储存于体内的应变能。 由第一节所复习的材料力学知识可知 2 2 kFQ FN M2 ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ ds Vε = ∑ ∫ 2 EA 2GA 2 EI 2 Mx +∑∫ ds 2GI P
P112 = P2 21
2. 位移互等定理 位移互等定理: 由功的互等定理， 由功的互等定理，等式两边同除广义力乘 积 P1 P2 ，则可得
12
P2 P1 上式表明，第二个单位广义力引起， 上式表明，第二个单位广义力引起，第一个 单位广义力作用处沿第一广义力方向的位移， 单位广义力作用处沿第一广义力方向的位移， 恒等于第一个单位广义力引起， 恒等于第一个单位广义力引起，第二个单位广 义力作用处沿第二广义力方向的位移。 义力作用处沿第二广义力方向的位移。 若记 12 21 则 δ 12 = δ 21 δ 12 = δ 21 = P2 P1
B
第 I 状态
θB
2
第 II 状态
fC
δ 21
数值、量纲都相等 2 数值、 l l =θB = δ 12 = f c = 16 EI 16 EI
互等定理中的数 值和量纲问题是 否已得到解决? 否已得到解决?
是 否
国家有关部门最近规定， 国家有关部门最近规定，对新近出版的教 要求在对公式进行数值运算时， 材，要求在对公式进行数值运算时，必须带 物理量的单位。 物理量的单位。 若上例简支梁受的是广义力， 若上例简支梁受的是广义力，而不是单位广 义力， 义力，则 2 P2 l 2 P1l 12 = f c = 21 = θ B = 16 EI 16 EI P 1的量纲为 的量纲为MLT-2， P 2的量纲为 的量纲为ML2T-2 根据功的互等定理， 根据功的互等定理，有： P1 f c = P2 θ B P1 2 两边同除以P 两边同除以 1 P 2得： P2 l 2 l
同济大学 结构力学课后习题及答案解析(完整版)
R=2m
4m
A O
M ( ) 1 (R sin )2 1 2 R(1 cos ) 2
M ( ) 1
B
1 EI
2 1 [1 (R sin )2 1 2 R(1 cos )]Rd 02
= (8-3 ) -1.42 (逆时针)
EI
EI
(d) A q
R EI=常数
O
B
5-7 试用图乘法计算图示梁和刚架的位移：（a） ΔyC ；（b） ΔyD ；（c） ΔxC ；（d） ΔxE ；（e） D ；（f） ΔyE 。 (a)
5-5 已知桁架各杆的 EA 相同，求 AB、BC 两杆之间的相对转角 ΔB 。 5-6 试用积分法计算图示结构的位移：（a） ΔyB ；（b） ΔyC ；（c） B ；（d） ΔxB 。
(a)
q2 q1
A
EI
B
l
以B点为原点，向左为正方向建立坐标。
q( x)
q2
l
q1
x
q1
M
p(x)
1 2
52.17
M
248.49
104.37 52.14
6-6 试用力法求解图示超静定桁架，并计算 1、2 杆的内力。设各杆的 EA 均相同。
(a)
(b)
1
1
2
FP
FP
a
a
a
2m
题 6-6 图
6-7 试用力法计算图示组合结构，求出链杆轴力并绘出 M 图。
2
30kN 2m
(a)
a 1.5m
l
A
kθ=
12EI l
2 3
2 3
6 1 20 62 8
3 2
1 6180 3 2
同济大学结构力学第三章-8(桁架)
因为
FN=±M0/r ±
其中：M0为同样跨度的简支梁相应位置的弯矩， 其中： 为同样跨度的简支梁相应位置的弯矩， 其中 为弦杆内力对矩心的力臂。 r 为弦杆内力对矩心的力臂。
平行弦杆的竖杆内力及斜杆的竖向 分力等于简支梁相应位置的剪力， 简支梁相应位置的剪力， 简支梁相应位置的剪力 由中间向两端递增。 由中间向两端递增。
I
12 G E 4m
M图(kN . m)
B 2m 4m
C -6
D 4m 2m 2m
I
3 kN
一般情况下应先计算链杆的轴力 取隔离体时宜尽量避免截断受弯杆件返Leabharlann 回§3-7 静定结构的一般性质
在线性弹性范围内，静定结构满足平衡 条件的反力和内力解答是唯一的。 非荷载因素不引起静定结构的反力和内 力。 非荷载因素：温度变化、支座位移、材
§3-5 静定组合结构
特点 既有桁架杆， 既有桁架杆，又有弯曲杆 一般有一些关键的联系杆 求解的关键点 选择恰当方法解决关键杆内力计算 选择截面时， 选择截面时，必须注意区分两类杆
组合结构的计算
组合结构——由链杆和受弯杆件混合组成的结构。 由链杆和受弯杆件混合组成的结构。 组合结构 由链杆和受弯杆件混合组成的结构 8 kN A FN图(kN) 5 kN 4 -6 F 6 12
抛物线形弦杆的上弦符合合理 抛物线形弦杆的上弦符合合理 拱轴线，腹杆内力为零。 拱轴线，腹杆内力为零。
三角形桁架的腹杆内力由中间向两 三角形桁架的腹杆内力由中间向两 端递减。 端递减。
小 结
熟练掌握 计算桁架内力的基 本方法： 结点法和截面法 本方法： 采取最简捷 最简捷的途径计算桁架 采取最简捷的途径计算桁架 内力
§3-4 静定平面桁架-续 静定平面桁架-
同济大学朱慈勉-结构力学第10章-结构动力学
机动力荷载).
分析过程：
第1阶段:位移时间历史 y y(x)
第2阶段: 应力、应变及内力 （如何求？）
已知荷载的类型
周期荷载: 简谐荷载
复杂荷载
F
t
F
t
建筑物上的偏心电机
内燃机连杆
任意复杂周期荷载可以用傅里叶级数展开为简谐荷载
非周期荷载:
F
t
F
t
爆破
地震
§10-2 体系振动的自由度
（动力）自由度：确定体系上全部质量位置所需的独立参 数的数目
确定体系阻尼比的一种方法
▪ 阻尼体系动力反应：
y(t) et sin(dt )
▪ 体系的阻尼比可以通过测试体 系运动的衰减规律得到：
▪ 体系从任一时刻经几个周期后 的振幅比为：
y (t)
e tk
e (tk nT )
t
0 tk
t k + nT
e t
T 2/d
y e tk
tk
n T
2nπ d
my cy ky 0
（3-2）
▪ 特征方程：
s c
c
2
2
2m 2m
▪ 如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有c/2m< ，这时，特 征方程根式中的值必然为负值，则s 值成为：
s c i 2 c 2
2m
2m
▪ 引入符号： c c cc 2m
c 2m
▪ 其中 表示体系阻尼与临界阻尼的比值，称为阻尼比，则：
y3 y2
y1
忽略楼板变形
3个自由度
y1 y2
2个自由度
1个自由度
y1
忽略杆件轴向变形
4个自由度
y1
分析过程：
第1阶段:位移时间历史 y y(x)
第2阶段: 应力、应变及内力 （如何求？）
已知荷载的类型
周期荷载: 简谐荷载
复杂荷载
F
t
F
t
建筑物上的偏心电机
内燃机连杆
任意复杂周期荷载可以用傅里叶级数展开为简谐荷载
非周期荷载:
F
t
F
t
爆破
地震
§10-2 体系振动的自由度
（动力）自由度：确定体系上全部质量位置所需的独立参 数的数目
确定体系阻尼比的一种方法
▪ 阻尼体系动力反应：
y(t) et sin(dt )
▪ 体系的阻尼比可以通过测试体 系运动的衰减规律得到：
▪ 体系从任一时刻经几个周期后 的振幅比为：
y (t)
e tk
e (tk nT )
t
0 tk
t k + nT
e t
T 2/d
y e tk
tk
n T
2nπ d
my cy ky 0
（3-2）
▪ 特征方程：
s c
c
2
2
2m 2m
▪ 如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有c/2m< ，这时，特 征方程根式中的值必然为负值，则s 值成为：
s c i 2 c 2
2m
2m
▪ 引入符号： c c cc 2m
c 2m
▪ 其中 表示体系阻尼与临界阻尼的比值，称为阻尼比，则：
y3 y2
y1
忽略楼板变形
3个自由度
y1 y2
2个自由度
1个自由度
y1
忽略杆件轴向变形
4个自由度
y1
结构力学.同济大学_朱慈勉
３、刚片：假想的一个在平面内完全不变形的刚性 物体叫作刚片。在平面杆件体系中，一根直杆、折 杆或曲杆都可以视为刚片，并且由这些构件组成的 几何不变体系也可视为刚片。
刚片中任一两点间的距离保持不变，既由刚片中 任意两点间的一条直线的位置可确定刚片中任一点 的位置。所以可由刚片中的一条直线代表刚片。
精品课件
精品课件
第一部分 静定结构内力计算
静定结构的特性： １、几何组成特性 ２、静力特性
静定结构的内力计算依据静力平衡原理。
第三章 静定梁和静定刚架
§3-1 单 跨 静 定 梁
单跨静定梁的类型：简支梁、伸臂梁、悬臂梁 一、截面法求某一指定截面的内力
精品课件
１、内力概念
内力是结构承受荷载及变形的能力的体现，可理 解为在各种外因用下结构内部材料的一种响应。内 力是看不见的，但可由结构上受有荷载和结构发生 变形（变形体）体现。
１）复链杆：若一个复链杆上连接了Ｎ个结点，则 该复链杆具有(2N-3)个约束，等于(2N-3)个链杆的 作用。 ２）复铰：若一个复铰上连接了Ｎ个刚片，则该复 铰具有2(N-1)个约束，等于(N-1)个单铰的作用。
精品课件
三、多余约束 在体系上加上或撤除某一约束并不改变原体系的
自由度数，则该约束就是多余约束。
拆除约束法：去掉体系的某些约束，使其成为无 多余约束的几何不变体系，则去掉的约束数即是体 系的多余约束数。
１、切断一根链杆或去掉一个支座链杆，相当去 掉一个约束；
２、切开一个单铰或去掉一个固定铰支座，相当 去掉两个约束；
３、切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当 去掉三个约束；
４、在连续杆（梁式杆）上加一个单铰，相当去 掉一个约束。
§1-2 结构计算简图
同济大学 结构力学2～5章习题(填空选择题)
）
[12]图示结构中 AB 杆弯矩为零。 （
）
[13]图示结构
。 （
）
[14]图示结构中 A、B 支座反力均为零。 （
）
[15]图示结构 K 截面弯矩值 MK=Pd,上侧受拉。 （
）
[16]图示结构 支座反力矩值
。 （
）
[17]图示拱的水平推力为 P（以指向内为正） 。
（
）
[18]图示桁架结构杆 1 的轴力
。 （
）
[19]图示桁架结构杆 1 轴力
。
（
）
[20]图示桁架结构杆 1 的轴力
。
（
）
[21]图示结构杆 1 和杆 2 的轴力相同。
（
）
[22]图示结构杆 1 的轴力 N1=－1.414P。
（
）
[23]如图所示多跨静定梁不管 p、q 为何值，其上任一截面的剪力均不为零。(
)
[24]图示桁架 AB 杆的内力为零。(
[29]图示结构支座 A 的反力矩（以右侧受拉为正）是： A.m/4; B.m/2; C.－m/2; D.－m。 [30]图示结构 ABC 柱 B 截面的弯矩（右侧受拉为正）是: A.0; B.4Pd; C.－8Pd; D.8Pd.
[31]图示桁架 C 杆的内力是： A.P; B.－P/2; C.P/2; D.0。
第二章（几何组成分析）习题
一、是非判别
[1]图中链杆 1 和 2 的交点 O 可视为虚铰。 （ ）[2]图示对称体 Nhomakorabea为几何瞬变。
二、选择
[1]图示体系是： A．几何瞬变有多余约束； B．几何不变； C．几何常变； D．几何瞬变无多余约束。
[2]图示体系为： A．几何不变无多余约束； B．几何不变有多余约束； C．几何常变； D．几何瞬变。
同济大学结构力学第四章-(2)
与最大值对应的临界位置就是最不利荷载位置。 • 可以任意布置的均布荷载的最不利位置，是将荷载布满影响线的正号部
分或负号部分，如图4(a)所示。 • 一段可移动的均布荷载的最不利位置按 的条件判断，当影响线为三角
形时，满足下式的荷载位置即最不利荷载位置。
式中各值的意义如图4(b)所示。
P1=P2=P3=P4=P5=90kN（中—活载） P1 P2 P1 P3 P2 P4P3 P5 P4
临界荷载
R1R1
R2R2
的判断条件 P1
P2
P3
P4
Z1右2点))==Z偏上有达R移。一1Zy极R影1，集iy值响i∑中R时2线yR力2，itPa荷cRnr位3α载yy3于i稍必影向变响左号线α、。D2>顶y01
Dy2 y
2
1
α1>0 D x
Dx
Dyi = Dxtgi DZ = RiDyi = Dx Ritgi
Z成为极大值条件：荷载左、右稍移
DZ = Dx Ritgi ≤0
当Δx＞0时(右移) 当Δx＜0时(左移)
Z成为极小值条件：荷载左、右稍移
DZ = Dx Ritgi ≥ 0
当Δx＞0时(右移) 当Δx＜0时(左移)
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
R3R3
P5
P6
α3<0
y
Dy
3
3
Dx
的荷载的合力。向下为正。
1) 当行列荷载移动时,MK按折线规律变化。
影响2线) M顶K点的上极。值b表)将现K行为列尖荷点载P值1自=。P此其向特左点或是P2向=：2右Pa）稍有移一一集点中, M力KP的cr位值于均
减少。
4m
2m x
分或负号部分，如图4(a)所示。 • 一段可移动的均布荷载的最不利位置按 的条件判断，当影响线为三角
形时，满足下式的荷载位置即最不利荷载位置。
式中各值的意义如图4(b)所示。
P1=P2=P3=P4=P5=90kN（中—活载） P1 P2 P1 P3 P2 P4P3 P5 P4
临界荷载
R1R1
R2R2
的判断条件 P1
P2
P3
P4
Z1右2点))==Z偏上有达R移。一1Zy极R影1，集iy值响i∑中R时2线yR力2，itPa荷cRnr位3α载yy3于i稍必影向变响左号线α、。D2>顶y01
Dy2 y
2
1
α1>0 D x
Dx
Dyi = Dxtgi DZ = RiDyi = Dx Ritgi
Z成为极大值条件：荷载左、右稍移
DZ = Dx Ritgi ≤0
当Δx＞0时(右移) 当Δx＜0时(左移)
Z成为极小值条件：荷载左、右稍移
DZ = Dx Ritgi ≥ 0
当Δx＞0时(右移) 当Δx＜0时(左移)
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
R3R3
P5
P6
α3<0
y
Dy
3
3
Dx
的荷载的合力。向下为正。
1) 当行列荷载移动时,MK按折线规律变化。
影响2线) M顶K点的上极。值b表)将现K行为列尖荷点载P值1自=。P此其向特左点或是P2向=：2右Pa）稍有移一一集点中, M力KP的cr位值于均
减少。
4m
2m x
同济大学朱慈勉版结构力学课后答案(下)
第六章 习 题6-1 试确定图示结构的超静定次数。
(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g) 所有结点均为全铰结点2次超静定6次超静定4次超静定3次超静定去掉复铰，可减去2（4-1）=6个约束，沿I-I 截面断开，减去三个约束，故为9次超静定沿图示各截面断开，为21次超静定刚片I 与大地组成静定结构，刚片II 只需通过一根链杆和一个铰与I 连接即可，故为4次超静定(h)6-2 试回答：结构的超静定次数与力法基本结构的选择是否有关？力法方程有何物理意义？ 6-3 试用力法计算图示超静定梁，并绘出M 、F Q 图。
(a) 解：上图=l1M p M01111=∆+p X δ其中：EIl l l l l l l EI l l l l EI 8114232332623232333211311=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯=δEIl F l lF l lF EI l pp p p817332322263231-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯=∆0817*******=-EIl F X EI l p p F X 211=p M X M M +=11l F p 61l F p 61 2l 3l 3 题目有错误，为可变体系。
+ lF 2 1=1M 图p Q X Q Q +=11p F 21p F 2(b) 解：基本结构为：l1Ml l 2Ml F p 21 p Ml F p 31⎪⎩⎪⎨⎧=∆++=∆++0022221211212111p p X X X X δδδδ p M X M X M M ++=2211p Q X Q X Q Q ++=22116-4 试用力法计算图示结构，并绘其内力图。
(a)l2l 2 l2l l 2Q 图12解：基本结构为：1Mp M01111=∆+p X δ p M X M M +=11(b)解：基本结构为：4a 2a4a4a3m6m6m810810计算1M，由对称性知，可考虑半结构。
同济大学结构力学第五章-2(单位荷载法)
设待求的实际广义位移为ΔBX ，与ΔBX对 应的广义力为1。
设仅在广义力1作用下，与之平衡的轴 力、剪力和弯矩分别为FN 、 FQ和M。
实际位移状态
B FP C
虚设的力状态
P=1 B C
Bx ?
A
FN 、 FQ和 M
A
又设与内力FN 、 FQ和M对应的微段实 际变形分别为δε、δγ和δθ。
§5-2 单位荷载法 一、位移计算的一般公式
(General Formula of Displacements)
应用虚功原理计算结构的位移，假设一个 虚拟状态，设置一个单位力1，这就是求 解结构位移的实际协调位移和虚设平衡力 状态间方法——单位荷载法。 下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位移 计算的一般公式。
2 E
G
3
取：
h l
1
10
，E G 2.5 ，有：
, ( Ay )Q ~
4
( Ay ) N ~
1 750
1 500
即： Ay
( Ay )Q ( Ay ) M
5ql
(1
1
1
)
8 EI
0.2%
,
750 500 ( Ay ) N 0.13% ( Ay ) M
A
1 d2
d2
AB AC ?
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1
A
(e)
B
AB ?
P=1
P=1
C
P=1
(f)
C 左右
=？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1
A
(g)
A ?
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曲线（图b），再求出K、E两点的竖标，就是MK影响线C、D两点的值。求K点竖标时将FP=1
作用于K点，用力法解，得到MK＝ 14a (图c)；同理将FP=1 作用于E点，MK＝ 4a (图d)，影
27
27
响线见图e。
二：试求图示行架的支座反力VB 和 H C 。
C
D E
P A
aa
a F
a
B
三：用力法求解图示结构，并绘制弯矩图，仅考虑二力杆的轴向变形，且已知二力杆截面积
(b)
2EI
EI EI
θ
3m
3m
2EI
EI
X1 θ
EI
X2
基本体系
四、试用位移法求解图示结构，并作出弯矩图。已知各杆 EI 相同。
6kN/m
5kN m
A
F
E
D
3kN/m
1m 解：
B
4m
4m
C 2m
6kN/m A
58kN m 12kN
F
EI-36
B
EI-72 r11
z1 =1
6kN/m
58kN m
A
4EI l
− 6EI l2
2EI l
− 12EI l3
− 6EI l2
12EI l3
− 6EI l2
6EI
⎤ l2 ⎥ 2EI l⎥
− 6EI l2
4EI l
⎥ ⎥ ⎥⎦
题6图 7. 求图示结构的自振频率和主振型，验证主振型正交性并绘出振型图。已知弹
簧刚度 k
=
EI l3
。不计杆件的轴向变形。
l
EV= 2EI
3l
5EI
3EI
3EI
4l
3l
2l
题5图
6. 采用先处理法列出图示刚架的结构刚度方程，已知各杆的EI=1800KN·m2弹
簧刚度k=800KN/m。不计杆件的轴向变形。
8KN m
3m 6m
k 10KN 5KN
4m
12EI
⎡ l3 ⎢ 6EI
[k]t
=
⎢ l2 ⎢⎢⎢⎣−61lE22lI3EI
6EI l2
a
a
a
a
题3图 4. 用力法求解图示结构，并绘出最终弯矩图。除 AB 杆为刚性杆件外，其余各 杆件的 EI=常数，且不考虑杆件的影响。
2KN/m
EV=
A
B
5KN
6m
2KN/m
6m
6m 3m 3m 6m 8KN m
题4图 5. 写出最简单形式的位移法方程，并求出全部系数和自由项。
P M=2Pl
3EI
A
K
E
4a/27
4/27
F QC左
1
1
D
C
24a/27 14a/27 4a/27
C
D
FQC右 的影响线 1
M 的影响线 6a/27
解：本题下层主梁为超静定结构，上层次梁为静定结构， FQC左 ， FQC右 在次梁上，直
接用机动法画出虚位移图，再作出影响线，见图 e。
MK位于超静定的主梁，影响线的具体做法是先去约束，作出在力偶MK作用下结构的挠
3m
3m
题5图
同济大学 1999
1：求图示行架杆件 1 和杆件 2 的内力 N1 和 N 2 。
A
2
1 P
2P C a a
B aa a a
2：求解图示刚架，并作出 M 图。
2q
P=qa
a qa
a a a a 2a
∞∞∞
3：用力法求解图示结构并作出 M 图，以知在数值上弹簧刚度 k = EI ，支座 B 发生顺 6 × 81
(e)
=
⎢ ⎢ ⎢
l3 6
⎢ l2
⎢⎢− ⎢ ⎢
12
l3 6
6
l2 4
l −6
l2 2
− 12 l3
−6 l2 12
l3 −6
6⎤
l2 2
⎥ ⎥ ⎥
l⎥
−
6
l2 4
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎣ l2
l
l2 l ⎦
q
θ EI l
EI
EI
EI i
e
l
l
l/2
y
x j
同济大学 1997 年试题
1 长 0.5m，0.2m宽，厚度 0.01m的矩形平板放置在固定间距的平行平面之间，板与平面间 空隙为 0.1×10-6m，平板两对边分别受到均匀压力 80KN和均匀拉力 20KN (如题 1 图)。 试求平板对平面施加的压力。已知：平板材料的弹性模量E=2.0×108KN/m2，泊松比μ =0.3。
时针转角ϕ = 2 × 81 。 EI
3kN/m
EA=∞
k
8m
EI
A
Bθ
12m
EI 9m C 18m
4：建立图示 结构的位移法方程，写出所有系数和自由项，以知各杆 EI=常数。
A
B
D
3m
q
4m
C
4m
4m
5：图示结构在杆端 A 处作用一集中力偶 M = M 0 sinθt ，弹簧支座的弹簧刚度常数为 K ，
3 M1
2
M 图形状 六、试求图示桁架 AF、CD 和 DH 杆的轴力。已知各杆 EA＝常数。
1m 1m 1m
30kN F
A 4m
G
D C
1m
H
B 3m
解：这是静定桁架，其内力与杆件的EA无关，由题可得各杆EA＝常数，是多于约束。
∑ ( ) M B = 0 ；VA = 30kN ↑ ；反力VA = 30kN 和荷载 30kN 可视为作用于静定结构的内部几何不
P1 P2 h
l
l
b
题8图 9 已知题 9 图示连续梁各跨 EI 相等，试用力矩分配法求各梁端弯矩（计算两轮），并绘出
弯矩图。
1kN/m
10kN
A
B
C
DE
4m
8m
6m
2m
同济大学 1998 年试题
一 求图示结构的 M，V，N 图，并求结点 B 的水平位移。（20 分）
q=2kN/m
B EI 2m
2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m
二、试作出图示刚架弯矩图，并求斜杆的剪力。已知各杆 EI 相同。
C
4m
4m
4m a a
2kN/m
G
F
D 3kN/m
4m
A 3kN m
3kN B
3m
4m
三、利用给定的基本结构，写出在支座位移 a、θ作用下求解刚架的力法方程，并求系数和自由项。
(a)
D
E
3m 40kN G
3m HA
C
F
4m
B
HB
VB
VA
2m
2m
2m
9：试用力矩分配法计算图示梁，并作 M 图。
20kN/m
100kN
50kN
A EI 6m
B EI 4m 4m
C EI 6m
DE 2m
同济大学一九九八年硕士研究生入学考试试题
考试科目：结构力学与材料力学 1. 已知应力状态如图所示（应力单位N/cm2），试求：（1）图上指定的应力；（2）
Fp F 2 D Fp
B
6m I
44
3
6
A
29
E
29 D
58
B 42
M图
五、不经计算，由定性分析作出图示刚架弯矩图的形状。已知各杆 EI 相同。
M
C FE
D
G B
A
M2
M
M M
M
(a)
M1
M
M
(b)
(c)
解：根据（a）、（b）、（c）可知，0<MEF<M2，且结点E将发生逆时针方向转动，由此可确定传递弯 矩MC的方向，结点G将发生顺时针方向转动。根据结点的转动方向及杆端弯矩平衡条件可得：
l
l
E
六：不经计算，求做图示结构弯矩图的大致轮廓，已知弯曲刚度为 EI， 横梁 EI1 = ∞。
EI1 ∞ EI1 ∞
EI1 ∞
q
七；求图示结构 B 处质点的动位移幅值，并绘制动力弯矩图，已知 P=5kN，θ = 20π ,m=100kg,
截面惯性矩 I = 4 ×103 cm4 ，弹性模量 E = 2 ×107 N / cm 2 。
变部分，即杆 AF 上的一组平衡力系。因此，仅在该部分引起内力，其它部分的内力和反力均为零。
即得 N AF = −30kN , NCD = N DH = 0
同济 2002 年硕士生入学考试试题 一、求图示桁架杆 1 和 2 的轴力N1、N2。
1 E Fp C A
Fp F 2 D Fp
B
2m 2m
1 E Fp C I A
P sinθt
A
m
B
2m
2m
m D
2m
C
八：（仅供单独考试考生选做）
试用力矩分配法计算图示连续梁，绘制 M 图，并求 B 点梁截面转角θ B 。
A
100kN.m
C B
6m
6m
同济 2001 年硕士生入学考试试题
一、求作图示梁在移动荷载FP=1 作用下RA、ME和QC左的影响线。 F P=1
A
B
E
C
q
EI
EA
EI
1 .5a
a
a
a
a
题4图 5 试列出题 5 图示结构的位移法方程的全部系数项和荷载项。
Z1 Z2