2016~2019年考研农学门类联考《数学》真题及详解【圣才出品】
2016-2019年全国硕士研究生入学考试数学(数二)真题及答案解析精编
（B）1
（C）2
（D）3
【解析】由于 AX 0 的基础解系有只有两个解向量，则由4 R( A) 2可得R( A) 2 3，
故R( A*) 0.
（8）设 A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，若 A2 A 2E ,且| A | 4 ,则二次型 xT Ax
的规范形为
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
数学二（3）
2
(9)
lim
x0
(x
2
x
)
x
______
.
【答案】 4e2
2
【解析】 lim( x 2x ) x
lim 2( x2x 1)
ex0
x
2 lim ( x 2x 1)
e x0 x x
y '(t) x '(t)
t 3 2
sin t 1 cos t
t 3 2
1
则曲线在 t 3 对应点处的切线方程为 y 1 (x 3 1)
2
2
令x 0得 y 3 2 2
(11)设函数 f (u) 可导， z yf ( y2 ) ，则 2x z y z =__________.
lim
xa
f
(x) g(x) (x a)2
0 的（
）
（A）充分非必要条件
（B）充分必要条件
（C）必要非充分条件
（D）既非充分也非必要条件
【答案】（C）
【解析】因 lim xa
f
(x) g(x) (x a)2
2016年全国硕士研究生招生考试数学(一)真题(含解析)
Cov(x,y)
PXY
VD(X) - VD(Y)
二、填空题
2
---------- X
一9
=----1
94
2'
（9）【答案】
【解】
Zln(l + Zsin t)dt
lim 0
■r f 0
i
1
―
COS
X
2
t ln( 1 + /sin / )dt
lim 0
工f 0
14
—X
2
（10）［答案】_/ +（》一1）4
x ln( 1 + j? sin x )_ 1
lim
j--*0
2工3
【解】rot A
a
a
=j + (y — 1)R.
xyz
N
(11) 【答案】 一djr +2d』・
【解】将x =Q ,y =1代入得n 1.
(工l)z — y2 =x2f (x —nq)两边关于jc求偏导得
n + («z +1)n： = 2jc f Jjc 一 z
:
*:
*
9
)9
)
99
)) 99
))
8
(8
(
:
*
9
)
99
))
8
(
2016年数学（一）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（O.
「+°°
【解】
0
dx ( 1 + j? )6
1
cLz
*
o j?"(l +工)"
1
djr
1+ 壬“（
2016年考研数学(一、二、三)真题与答案解析
2016考研数学（一）真题及答案解析考研复习最重要的就是真题，所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析，希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺，快速有效的备考。
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设{}n x 是数列下列命题中不正确的是（ ） （A ）若lim n n x a →∞=，则221lim lim n n n n x x a +→∞→∞==（B ）若221lim lim n n n n x x a +→∞→∞==，则lim n n x a →∞=（C ）若lim n n x a →∞=，则321lim lim n n n n x x a -→∞→∞==（D ）若331lim lim n n n n x x a -→∞→∞==，则lim n n x a →∞=【答案】（D ）（2）设211()23x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则 （A ）3,2,1a b c =-==-（B ）3,2,1a b c ===- （C ）3,2,1a b c =-== （D ）3,2,1a b c === 【答案】（A ）【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出3,2,1a b c =-==-。
故选A 。
（3）若级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，则x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的（ ）（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】（A ） 【解析】因为级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，所以2R =，有幂级数的性质，1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛半径也为2R =，即13x -<，收敛区间为13x -<<，则收敛域为13x -<≤，进而x =3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，收敛点，故选A 。
全国硕士研究生考试农学门类联考数学题库(章节题库-矩阵的特征值和特征向量)【圣才出品】
0 0
1 0
01
【答案】D
【解析】设 是矩阵 A 的特征值，由
2 0 0 E A 0 1 ( 2)( 1)( 1) 0 ，
0 1
2 0 0
可得
A
的特征值为 1
2, 2
1, 3
1 ，则
A
的对角化矩阵为
0
1
0
D．上述结论都不正确 【答案】B
【解析】特征值 0 只需满足 0E A 0 即可，可以是数 0 也可以不是数 0，但特征
向量一定不能是零向量．
0 1 1
2．关于矩阵
A
1 1
0 0
1 0
的特征值和特征向量，下面哪一个结论是正确的（）．
A． 2 ，对应的特征向量为 (1,1, 1)T
．
0 0 1
6．下面结论正确的是（）．
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A．实对称矩阵一定可以对角化，但对称矩阵不可以对角化 B．实对称矩阵一定可以对角化 C．非对称矩阵一定不能对角化 D．对称矩阵一定可以对角化 【答案】B 【解析】n 阶实对称矩阵一定有 n 个线性无关的特征向量，所以一定可以对角化．
3
0
，
得
A
的特征值为
1
1
，
2
3
，对应的特征值向量分别为
p1
1, 2
1 T 2
，
p2
1, 2
1 2
T
．
令
P
2016年考研农学门类联考《数学》真题及详解【圣才出品】
2016年考研农学门类联考《数学》真题及详解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1．设函数，则x＝0为()f x 的（）。
A．可去间断点B．跳跃间断点C．振荡间断点D．无穷间断点【答案】D 【解析】，而所以x＝0为()f x 的无穷间断点。
2．设函数()f x 在0x =处可导，且，则（）。
A．－2B．2C．－6D．6【答案】C 【解析】由于函数()f x 在0x =处可导，则所以3．设，则（）。
A．B．C．D．【答案】B 【解析】令，则所以4．设函数，则的值依次为（）。
A．2，－4B．2，4C．－2，－4D．－2，4【答案】A【解析】由已知条件，计算得5．多项式中与的系数依次为（）。
A．－1，－1B．1，－1C．－1，1D．1，1【答案】B【解析】根据行列式定义，行列式是不同行不同列元素乘积的代数和其一般项是本题的项出现意味着每行元素中都有x项出现，因此只能是，又，则项系数为1；对于项，一定不含，也一定没有，那只有是；又，则系数为－1。
6．设A为4×5阶矩阵，若为线性方程组的基础解析，则（）。
A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】A是4×5矩阵，则是5×4矩阵，是5个方程4个未知数的齐次方程组，其基础解系为3个解向量，故，所以，即。
X Y的概率分布为7．设二维随机变量(,)则（）。
A．0.1B．0.18C．0.8D．0.9【答案】C【解析】根据题意可得8．设为来自总体的简单随机样本。
如果服从t分布，则C＝（）。
B．1C．2 2D．1 2【答案】A【解析】t 分布的典型模式为，其中，且X 和Y 相互独立，则，。
而，所以。
根据()2n χ的典型模式，其中均服从标准正态分布且相互独立，所以。
总之，即，因此，。
二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分。
）9．【答案】【解析】由于由洛必达法则得所以。
10．曲线的凹区间是______.【答案】(0,1)【解析】函数的定义域为，而解不等式0y ⅱ<，得(0,1)x Î，所以曲线的凹区间是(0,1)。
农学数学考研真题答案
农学数学考研真题答案考研是许多农学专业学生的重要里程碑，数学作为考试的一部分，对于很多人来说是一块难啃的硬骨头。
本文将为大家提供农学数学考研真题的详细答案，希望能够帮助大家更好地理解和应对这一考试内容。
1、选择题1. 解方程 (x+2)(x-3)=0 的解是:a) x=2, x=3b) x=-2, x=3c) x=-3, x=2d) x=-3, x=-2答案：c) x=-3, x=2解析：根据零乘积法则，当两个因数相乘等于零时，至少有一个因数为零。
所以，(x+2)=0 或者 (x-3)=0，解得 x=-2 和 x=3。
2. 若 log2^8=a, 则 a 的值是:a) 2b) 4c) 8d) 16答案：b) 4解析：根据 log2^8=a 的定义，可转化为 2^a=8。
由于 2^3=8，所以a=3。
2、填空题3. 若 a=3，b=4，c=5，那么 a^2+b^2-c^2 的值是________。
答案：a^2+b^2-c^2 = 3^2+4^2-5^2 = 9+16-25 = 0解析：根据勾股定理，直角三角形的两个边的平方和等于斜边的平方，所以 a^2+b^2-c^2 = 0。
4. 已知函数 f(x) = x^2+2x+1，求 f(2) 的值是________。
答案：f(2) = 2^2+2*2+1 = 4+4+1 = 9解析：将 x=2 代入函数 f(x) 中，得到 f(2) = 2^2+2*2+1 = 9。
3、解答题5. 解微分方程 dy/dx = 2x，y(0)=1。
答案：对方程两边同时积分得到 y = x^2 + C，其中 C 为常数。
将初始条件 y(0)=1 带入方程，解得 C=1。
因此，原微分方程的解为 y = x^2 + 1。
6. 求极限 lim(x->0) x*sin(1/x)。
答案：根据极限的定义，先分别求 lim(x->0) x 和 lim(x->0) sin(1/x) 的极限。
全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题模拟题及详解【圣才出品】
14．设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，则 【答案】 【解析】
三、解答题（15～23 小题，共 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分 10 分）
求
．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：利用等价无穷小和洛必达法则有
16．（本题满分 10 分）
求函数
的极值．
解：当
D．
【答案】C
【解析】
．则 Y 的概率密度
（ ）．
8．设 （ ）．
A． B．
为来自总体
的简单随机样本， 分别为样本均值和样本标准差，则
C． D． 【答案】B 【解析】
二、填空题（9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分）
9． 【答案】
________ .
【解析】
10．曲线 【答案】 【解析】
11．函数 【答案】 【解析】令 令
第 1 部分 历年真题及详解
2017 年全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要
求．）
1．当
时，下列变量中与 x 等价的无穷小量是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以当
时，x 的等价的无穷小量是
．
在点（0，1）处的切线方程为 ________ .
，所以切线方程为
．
的单调递减且其图形为凹的区间为 ________ .
得 ，得
； ．所以
单调递减且其图形为凹的区间为
12．曲线 【答案】 【解析】令
2016年考研数学二真题与详解详析
1
(−
x2
+
2x
+ 1)dx
5 20
0
3
14 ． 设 二 次 型
f
( x1 , x2 , x3 )
=
x12
−
x
2 2
+
2ax1 x3
+
4x2 x3
的负惯性
指数是
1，则 a 的取值范围
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是
．
【详解】由配方法可知
f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 − x22 + 2ax1 x3 + 4 x2 x3 = ( x1 + ax3 )2 − ( x2 − 2 x3 )2 + (4 − a 2 ) x32
(1 + y'2 )3
K
dx
本题中
dt
= 2t, dy dt
= 2t + 4 ，所以 dy dx
=
2t + 4
2 d2y
2t = 1+ t ， dx 2
=
−
2 t2
2t
1 = − t3
，
对应于 t = 1的点处 y'= 3, y"= −1，所以 K =
y" = 1 ，曲率半径 R = 1 = 10 10 ．
∂u ∂u
∂2u
∂2u
∂2u ∂2u
内部存在驻点 ( x0 , y0 ) ，也就是 ∂x = ∂y = 0 ，在这个点处 A = ∂x 2 ,C = ∂y 2 , B = ∂x∂y = ∂y∂x ，由
条件，显然 AC − B 2 < 0 ，显然 u( x, y) 不是极值点，当然也不是最值点，所以 u( x, y) 的最大值点和最
2016考研数学一真题及答案解析(完整版)
2016考研数学（一）真题完整版一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分11badx x x收敛，则（）（2）已知函数21,1ln ,1x x f xx x ，则f x 的一个原函数是（）（3）若22222211,11y x x yxx 是微分方程yp x y q x 的两个解，则q x（）（4）已知函数,0111,,1,2,1x xf xxn n n n，则（）（A ）0x 是f x 的第一类间断点（B ）0x 是f x 的第二类间断点（C ）f x 在0x 处连续但不可导（D ）f x 在0x 处可导（5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（）（A ）T A 与TB 相似（B ）1A与1B 相似（C ）TA A 与TBB 相似（D ）1A A 与1B B 相似（6）设二次型222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x ，则123,,2f x x x 在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）（A ）单叶双曲面（B ）双叶双曲面（C ）椭球面（C ）柱面（7）设随机变量0,~2N X ，记2XP p，则（）（A ）p 随着的增加而增加（B ）p 随着的增加而增加（C ）p 随着的增加而减少（D ）p 随着的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（）二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）__________cos 1sin 1ln lim2xdt t t t xx（10）向量场zk xyjiz yxz y x A ,,的旋度_________rotA（11）设函数v u f ,可微，y x z z,由方程y z xf x y zx ,122确定，则_________1,0dz（12）设函数21arctan axxx xf ，且10''f ，则________a （13）行列式1000100014321____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体2,N的简单随机样本，样本均值9.5x ，参数的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域,221cos ,22Dr r ，计算二重积分Dxdxdy .（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,yyky 其中01k .证明：反常积分0()y x dx 收敛；若'(0)1,(0)1,y y 求()y x dx 的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x yf x y x ex且(0,)1,tf y y L 是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy xy，并求()I t 的最小值（18）设有界区域由平面222z y x 与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分zdxdyydzdx dydz xI 3212（19）（本题满分10分）已知函数()fx 可导，且(0)1f ，10'()2f x ，设数列nx 满足1()(1,2...)nn x f x n，证明：（I ）级数11()nn n x x 绝对收敛；（II ）lim n nx 存在，且0lim 2nnx .（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112Aa B a aa 当a 为何值时，方程AX B 无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵112300A（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B 满足2BBA ，记100123(,,)B将123,,分别表示为123,,的线性组合。
2016年考研数学一真题及详细解析
2016年考研数学一真题及详细解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且【答案】（C ） 【解析】1(1)a bdx x x +∞+⎰1111(1)(1)a ba b dx dx x x x x +∞=+++⎰⎰ 11p dx x⎰在（1p <时收敛），可知1a <，而此时(1)bx +不影响 同理，1111(1)11ba ba b dx dx x x x x +∞+∞+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰11p dx x +∞⎰（1p >时收敛），而此时11bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭不影响 （2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩【答案】（D ）【解析】由已知可得，()()(ln )x C x F x x x C x ⎧-+<=⎨-++≥⎩21111111，取C =10，故选D（3）若()()222211y xy x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++【答案】（A ）【解析】y y -=-12是一阶齐次微分方程()y p x y '+=0的解，代入得()(p x -+-=0，所以()xp x x =-+21，根据解的性质得，y y +122是()()y p x y f x '+=的解。
2019年全国硕士入学统考数学(一)试题及解析
2019年全国硕士入学统考数学（一）试题及解析一、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上〕〔1〕)1ln(12)(cos lim x x x +→=e1.【分析】∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】)1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故原式=.121ee=-【详解2】因为2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x ， 因此原式=.121ee=-〔2〕曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x . 【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可依照曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】令22),,(y x z z y x F --=，那么x F x 2-='，y F y 2-='，1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，那么切平面的法矢量为}1,2,2{00y x --，其与平面042=-+z y x 平行，因此有 11422200-=-=-y x ， 可解得2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即542=-+z y x .〔3〕设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，那么2a =1.【分析】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】依照余弦级数的定义，有x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.〔4〕从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】依照定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 〔5〕设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=那么=≤+}1{Y X P 41. 【分析】二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】由题设，有=≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x y 1 D O211x 〔6〕)1,(μ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，那么μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行可能，可依照)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】由题设，95.01=-α，可见.05.0=α因此查标准正态分布表知.96.12=αu 此题n=16,40=x ,因此，依照95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.【二】选择题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内〕〔1〕设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如下图，那么f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx【分析共4.【3个，而x=0那么是导数不存在的点.一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).〔2〕设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,那么必有(A)n n b a <对任意n 成立.(B)n n c b <对任意n 成立. (C)极限n n n c a ∞→lim 不存在.(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在.[D]【分析】此题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可马上排除(A),(B)；而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，那么可马上排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).〔3〕函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，那么 (A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)依照所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.[A]【分析】由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零依旧变号.【详解】由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0,且222)(),(y x xy y x f +≈-y x ,(充分小时〕，因此.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y=-x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f .故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).〔4〕设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，那么 (A)当s r <时，向量组II 必线性相关.(B)当s r >时，向量组II 必线性相关. (C)当s r <时，向量组I 必线性相关.(D)当s r >时，向量组I 必线性相关. [D]【分析】此题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：假设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，那么当s r >时，向量组I 必线性相关.或其逆否命题：假设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，那么必有s r ≤.可见正确选项为(D).此题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，那么21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，那么21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C).故正确选项为(D).〔5〕设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ①假设Ax=0的解均是Bx=0的解，那么秩(A)≥秩(B)； ②假设秩(A)≥秩(B)，那么Ax=0的解均是Bx=0的解； ③假设Ax=0与Bx=0同解，那么秩(A)=秩(B)； ④假设秩(A)=秩(B)，那么Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的选项是 (A)①②.(B)①③. (C)②④.(D)③④.[B]【分析】此题也可找反例用排除法进行分析，但①②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③与④，迅速排除不正确的选项.【详解】假设Ax=0与Bx=0同解，那么n-秩(A)=n-秩(B),即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，假设秩(A)=秩(B)，那么不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，那么秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).〔6〕设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，那么 (A))(~2n Y χ.(B))1(~2-n Y χ. (C))1,(~n F Y .(D)),1(~n F Y .[C] 【分析】先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21XY =，然后利用F 分布的定义即可. 【详解】由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，因此21XY ==122U n V U n V =，那个地方)1(~22χU ，依照F 分布的定义知).1,(~12n F X Y =故应选(C). 三、〔此题总分值10分〕过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A;旋转体体积可用一大立体〔圆锥〕体积减去一小立体体积进行计算，为了关心理解，可画一草图.【详解】(1)设切点的横坐标为0x ，那么曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知01ln 0=-x ，从而.0e x =因此该切线的方程为.1x ey =平面图形D 的面积⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y 〔2〕切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为.3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为dy e e V y 212)(⎰-=π，因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππy1 D O1ex四、将函数x x f 21arctan )(+=∑∞=+-012)1(n n n 的和.【分析】幂级数展开有直截了当法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用幂级数展开的情形。
2019年考研农学门类联考《数学》真题及详解【圣才出品】
所以 B 项等式是错误的，答案应选 B。
8．设随机变量 X～N（0，9），Y～N（0，4），且 X 与 Y 相互独立，则 D（2X－Y） ＝（ ）。
A．14 B．22 C．32 D．40 【答案】D
5 / 16
【
解
析
】
1
lim(1 sin 2x) x
lim(1
sin
2
x)
1 sin
sin 2x x
2
x
,
而
lim
sin
2
x
2
，所以
x0
x0
x0
x
1
lim(1 sin 2x) x e2 。
x0
10．曲线 y 1 2x 的水平渐近线方程是______。 x2
【答案】y＝－2
【解析】 lim 1 2x x x 2
2
，所以曲线
y
1 2x x2
的水平渐近线方程式
y＝－2。
11．设函数
f
(x)
x sin
1 x
，则
f
2
______。
【答案】－π3/8
【解析】
f
'( x)
sin
1 x
1 x
cos
1 x
,
f
''( x)
1 x3
sin
1 x
，所以
f
''(2 )
3 8
。
6 / 16
x2
12．设平面区域 D {(x, y∣) 0 x 2, 0 y x} ， e 2 dxdy ______。
2016 年全国硕士研究生入学统一考试(数学)真题及答案解析
11
(B)
dx .
1 1 x2
(D)
1 0
1 x2
1
e x dx
.
()
(5) 函数 f x，g x 都有二阶连续导数且满足 f 0 0, g 0 0, f 0 g0 0 ，则
函数 z f x g y 在 0, 0 处取得极小值的一个充分条件是
()
(A) f 0 0, g0 0 .
(B) x 2 是 y f (x) 的极小值点.
(C) 2, f (2) 是 y f (x) 的拐点.
(D) x 2 不是 y f (x) 的极值点，且 2, f (2) 也不是 y f (x) 的拐点.
(4) 下列积分中发散的是
(A) ex2 dx . 0
(C) 1 ln xdx . 0x
向量组线性无关，则 r(B* ) ________.
(14)
设 X1, X 2,, X n 为 来 自 总 体 X
~ N(, 2) 的简单随机样本，记 X
1n n i1 X i
，
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
，则 E(S 4)
.
三、解答题:15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定的位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 10 分)
数学（一）试题 第 2 页 （共 4 页）
1
已知 lxim01
x2 f x esin x ex
ln cos x
e12 ，求 lim x0
fx x3
.
(16) (本题满分 10 分）
(I)证明柯西中值定理：设函数 f ( x), g ( x) 在闭区间[a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可 导，且 g ( x) 0 ，则至少存在一点 (a,b) ，使得
2018年考研农学门类联考《数学》真题及详解【圣才出品】
x3
2 12
。
10．∫（2x＋cos2x）dx＝______。
【答案】2x/ln2＋sin2x/2＋C
【解析】
2x cos 2x
dx
2xdx
cos
2xdx
2x ln 2
1 2
sin
2x
C
z
x 11．已知函数 z＝xesin（x－y）＋ylnx，则
＝______。
1,1
【答案】3
【解析】求 x 的偏导，可以先将 y＝1 代入 z（x，1）＝xesin（x－1）＋lnx
10
Xi 2
i2
所以 Q 不是统计量且服从分布 t（9）。答案选 D。
二、填空题（9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。）
9．已知函数 y arctan
x2
1 ，则
dy dx
x3
＝______。
6 / 17
【答案】 2 12
【解析】
dy dx
1
1 x2 1
x x2 1
dy ，所以 dx
2018 年考研农学门类联考《数学》真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有 一个选项符合题目要求。）
1．函数 f（x）＝sinx/x 是（ ）。 A．有界的奇函数 B．有界的偶函数 C．无界的奇函数 D．无界的偶函数 【答案】B 【解析】f（－x）＝sin（－x）/（－x）＝sinx/x＝f（x），所以 f（x）是偶函数。因为 |sinx|≤|x|，x∈（－∞，＋∞），所以|f（x）|≤1，即 f（x）为有界函数。
Xi ～ N （ μ ， σ 2 ）， i ＝ 1 ， 2 ，．．．， 10. （ Xi － μ ） / σ ～ N （ 0 ， 1 ）， 所 以
2016年考研数学一真题及答案解析
2
观察选项，排除 B, C 。一元函数可导必连续，排除 A 。较易。 （3）考察非齐次方程解的性质 非齐次方程的两个解作减法是对应齐次方程的解， 即 2 1 x 是齐次解， 去系数 2 依 选 A。
2
旧是齐次解，代入齐次方程，记作方程①；非齐次方程的两个解取平均值，仍是非齐次方程 的解，即 1 x
1 1 1
1 上无定义， n 1
P AT P 1 P AT PT
T
T
T
1
P
T
1 1
AT PT BT ，符合；
1
同理，式①两边同时取逆得 P A P B ，记作式②，符合； 式①+②，即得 P 1 A A1 P B B 1 ， D 亦符合。难度持平。 （6）考察二次型之惯性定理与二次曲面的方程 选B。
'
3、若 y (1 x ) 1 x ， y (1 x ) 1 x 是微分方程 y p ( x) y q ( x) 的两 个解，则 q ( x ) （A） 3 x (1 x ) .
2
（B） 3 x(1 x ) .
2
（ C）
x . 1 x2
（ D）
1 .设数列 xn 满足 xn 1 f ( xn )( n 1, 2) . 2
证明： （1） 级数
(x
n 1
n 1
xn ) 绝对收敛；
（2） lim xn 存在，且 0 lim xn 2.
n n
20、 （本题满分 11 分）
2 1 1 1 2 a 1 ，B 1 a . 设矩形 A 2 1 1 a a 1 2
2019年全国硕士研究生招生考试考研数学一真题及详解【圣才出品】
2019年全国硕士研究生招生考试考研数学一真题及详解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1．当x→0时，若x－tanx与x k是同阶无穷小，则k＝（）。
A．1B．2C．3D．4【答案】C【考点】无穷小的比较，泰勒展开式【解析】tanx在x＝0处的泰勒展开式为：tanx＝x＋（1/3）x3＋o（x3）。
因此当x→0时有x－tanx～－（1/3）x3，即x－tanx与－（1/3）x3是x→0时的等价无穷小，进一步可得x－tanx与x3是同阶无穷小，所以k＝3。
故选C。
2．设函数则x＝0是f（x）的（）。
A．可导点，极值点B．不可导点，极值点C．可导点，非极值点D．不可导点，非极值点【答案】B【考点】函数在一点处的性质【解析】由于因此f＋′（0）不存在，因此x＝0是f（x）不可导点。
又当－1＜x＜0时，f（x）＝x|x|＜0＝f（0），当0＜x＜1时，f（x）＝xlnx＜0＝f（0）。
因此x＝0是f（x）的极大值点。
故选B。
3．设{u n}是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（）。
A．B．C．D．【答案】D【考点】数项级数的收敛性判别【解析】由单调有界定理，数列{u n}的极限存在。
令级数的部分和S n＝（u n＋12－u n2）＋（u n2－u n－12）＋…＋（u22－u12）＝u n＋12－u12。
因此故部分和S n的极限也存在，从而级数收敛。
故选D。
4．设函数Q（x，y）＝x/y2，如果对上半平面（y＞0）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有那么函数P（x，y）可取为（）。
A．y－x2/y3B．1/y－x2/y3C．1/x－1/yD．x－1/y【答案】D【考点】曲线积分与路径无关的等价条件【解析】由题意可知，y＞0时积分与路径无关，因而∂Q/∂x＝∂P/∂y＝1/y2，排除选项A和B。
虽然C选项满足上述条件，但其在y轴正半轴无意义，故选D。
考研数农真题及解析
.2010 年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数 学一、选择题： 1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上 .e x e 3 ( )(1) 设函数 f x，则x 3x e(A) x 3 及 x e 都是 f x 的第一类间断点(B) x 3 及 x e 都是 f x 的第二类间断点 (C) x 3 是 f x 的第一类间断点， x e 都是 f x 的第二类间断点(D)x 3 是 f x 的第二类间断点，x e 都是 f x 的第一类间断点x (2) 曲线 yx42 的凸弧区间是( )(A), 8(B)8, 4(C)4,4(D)4,(3) 设函数 f x ， g x 具有二阶导数，g x 0a, g x 00, g x0 ，则 fg x 在x 0 取极大值的一个充分条件是( )(A)f a 0(B)f a(C)f a 0(D)f a 0设 函 数 fx0,1 上连续，0f x1 ， 且1 x dx1(4) 在 区 间 f， 记21 11 1I 10 f x 1 f ydxdy ， I 20 f x1 f ydxdy ，0 01 1I 30 f x f y dxdy ，则()(A) I 1 I 2 I 3(B) I 1 I 3 I 2(C) I 2 I 1 I 3 (D) I 3 I 2 I 1(5)设向量组I :1,,L 可由向量组II : 1 ,,L 线性表示，下列命题正确的是.() (A) 若向量组I 线性无关，则r s(B) 若向量组I线性相关，则r s (C) 若向量组II 线性无关，则r s(D) 若向量组II线性相关，则r s(6) 设A为 4 阶实对称矩阵，且A2 A 0，若A的秩为3，则A相似于( )1111(A)(B)11001111(C)(D)1100X1,1 上的均匀分布，事件 A0 X11，则( )4(A)P AB0(B)P AB P A(C)P A P B1(D)P AB P A P B(8)设 X1 ,K , X n使来自总体N, 20 的简单随机样本，记统计量T 1 n X i2，则n i 1 ET()(A)2(B)2(C)22(D)22二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .．．．x x.(9) limx x a(10)曲线 y2x2sin x的水平渐近线的方程为y.cos x x2(11)已知一个长方形的长x 以0.2m/s的速率增加，宽y以0.3m/s的速率增加，当x12m ，y 5m时，其面积增加的速率为..函数 zy x1的全微分 dz(12)y 在点 1,e1,e.(13) 设 A1 1 1 ， A T 为 A 的转置矩阵，则行列式 A T A.1 23(14) 设随机变量 X 的概率分布为 P X kk 1, k 1,2,L ，其中 01，若1P X25，则PX 3.9三、解答题： 15－ 23 小题，共 94 分 .请将解答写在答题纸 指定的位置上 .解答应写出文字说．．．明、证明过程或演算步骤 .(15)( 本题满分 10 分)设函数 f ( )ln tanxexcos2x ，求 f ( )22(16)( 本题满分 10 分)2计算定积分x cos xdx(17)( 本题满分 11 分 )设某农作物长高到0.1 m 后，高度的增长速率与现有高度y 及 1 y 之积成比例 (比例系数 k 0)，求此农作物生长高度的变化规律 (高度以 m 为单位 ).(18)( 本题满分 11 分 )计算二重积分sin( ) ，其中区域（ ） 22.Ixxy dxdy Dx, y xy 2, x 1D(19)( 本题满分10 分)1x1证明： 1e( x 0) .x(20)( 本题满分 10 分)a 1 1 2设 A 0 a 10 ， 1 11a1已知线性方程组 Ax有 2 个不同的解，求 a 的值和方程组 Ax的通解 ..(21)( 本题满分 11 分 )111设 A24a， 6 是A的一个特征值，335(I) 求a的值； (II) 求A的全部特征值和特征向量 .(22)( 本题满分 10分)设二维随机变量(X , Y) 的概率分布为Y101X010a 311b1 4121且 p X Y 1|X0求.3(I)常数 a, b ；(II) C ov( X ,Y) .(23)(本题满分11 分 )X x , 1 x 1,2，求设随机变量的概率密度为令f x Y X 10,其他。
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7．设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率分布为
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则
（ ）。
A．0.1
B．0.18
C．0.8
D．0.9
【答案】C
【解析】根据题意可得
8．设
A． 2
B．1
C． 2 2
设
，求
。 解：因为
故有
又因为
所以
16．（本题满分 10 分）
过点（0，0）作曲线
的切线 l，求该曲线与切线 l 及 y 轴所围有界图形的面
积。 解：设切点坐标（x0，y0），则切线 l 的方程为
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而点（0，0）点在直线上，故
总之
，所以 ，其中
。 ，即
。 均
，因
此，
。
二、填空题（9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。） 9． 【答案】 【解析】由于
由洛必达法则得
所以
。
10．曲线
【答案】 (0,1)
的凹区间是 ______ .
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2016 年考研农学门类联考《数学》真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 求。）
1．设函数
，则 x＝0 为 f (x) 的（ ）。
A．可去间断点 B．跳跃间断点 C．振荡间断点 D．无穷间断点 【答案】D
，又
，则 项系数为 1；对于 项，一定不含 ，也一定没有 ，
那只有是
；又
，则 系数为－1。
6．设 A 为 4×5 阶矩阵，若 （ ）。
A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】A 是 4×5 矩阵，则
为线性方程组 是 5×4 矩阵，
次方程组，其基础解系为 3 个解向量，故
，即
。
的基础解析，则
解得 x0＝－1，因此切点为 的平面图形的面积为
，所以切线方程 l 为
。所以围成
17．（本题满分 10 分） 求微分方程 解：原微分方程可分离变量为
所以
通解为
将 x＝1，Y＝0 代入上式可得 C＝1。 故通解为
满足条件
的解。
18．（本题满分 10 分）
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13．设矩阵
，则
【答案】 【解析】由行列式的初等变换可得
14 ． 设 随 机 变 量
【答案】17 【解析】计算得
，且 X 与 Y 相互独立，则
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三、解答题（15～23 小题，共 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（本题满分 10 分）
当 a≠－2，b 为任意值时，
，方程组有唯一解，即 能由
线性表示且表示方法唯一
当 a＝－2，b＝－3 时，
，该方程组有无穷多解，即向量 能
由
线性表示且表示方法不唯一。
则
故方程组的通解为 即
，k 为任意常数。 ，k 为任意常数。
21．（本题满分 11 分）
设向量
是矩阵
的特征向量。
（Ⅰ）求常数 a, b 及向量α所对应的特征值λ；
（Ⅱ）求矩阵 A 的全部特征值和特征向量。
解：（Ⅰ）设
，则根据题意可知
即
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D． 1 2
【答案】A
为来自总体
的简单随机样本。如果
服从 t 分布，则 C＝（ ）。
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【解析】t 分布的典型模式为
，其中
，且 X 和 Y 相
互独立，则，
。而
根据 2 n 的典型模式
服从标准正态分布且相互独立，所以
所以
3．设 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令
，则（ ）。 ，则
所以
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4．设函数
，则
A．2，－4 B．2，4 C．－2，－4 D．－2，4 【答案】A 【解析】由已知条件，计算得
的值依次为（ ）。
求函数
的极值。
解：由已知条件计算得
令
解得驻点为（1，1）。 令
点（1，1）代入计算得
所以 f（1，1）＝2 是 f（x，y）的极小值。
19．（本题满分 10 分） 计算二重积分
围成。 解：计算如下
，其中有界区域 D 由直线 x＝0，y＝1 及曲线
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5．多项式
A．－1，－1 B．1，－1 C．－1，1
中 与 的系数依次为（ ）。
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D．1，1
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【答案】B
【解析】根据行列式定义，行列式是不同行不同列元素乘积的代数和其一般项是
本题的 项出现意味着每行元素中都有 x 项出现，因此只能是
【解析】
，而
所以 x＝0 为 f (x) 的无穷间断点。
2．设函数 f (x) 在 x = 0 处可导，且
，则
A．－2 B．2 C．－6 D．6 【答案】C
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（ ）。
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【解析】
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由于函数 f (x) 在 x = 0 处可导，则
20．（本题满分 11 分） 设向量组
当 a, b 为何值时，向量 能由向量组1,2 ,3 线性表示；当表示式不唯一时，求其
一般表示式。 解：设 得
对该方程组的增广矩阵进行初等行变换，得
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【解析】函数
的定义域为
，而
解不等式 yⅱ< 0 ，得 x Î (0,1) ，所以曲线
11．设函数 z = x y ，则 dz (e,1) = ______ . 【答案】 dx + edy
【解析】
，所以
的凹区间是 (0,1) 。
12．反常积分
【答案】 【解析】 则
，记
，
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