电动力学二章答案

习题二

1．将一个位于真空中的带电导体球切成两半，求它们之间的排斥力．设球的半径为

0R ，球的电势为0V ．

答案： .ˆ2

2

00z e V F πε= 解：0

004R q V πε=

，

0004V R q πε=，.0

0R V εσ=

z z e

V e R F ˆ2

ˆ22002

002πεπεσ=⋅= ２．内外半径分别为a 和b 的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为f λ，板间填充

电导率为σ的非磁性物质．

⑴证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消．因此内部无磁场．

⑵求f λ随时间的衰减规律．

⑶求与轴相距为r 的地方的能量耗散功率密度．

⑷求长度为l 的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率． ⑵;0t

f e

ε

σλλ-=

⑶2

2⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛r f πελσ；

⑷.ln 22

2a b

l f πε

λσ 解：⑴r f e r D ˆ2πλ= ，.ˆ2r f

e r

D E πελε==

.ˆ2r f f e r E J πεσλσ=

= .ˆ21r f

D e t

r t D J ∂∂=∂∂=λπ

对两式求散度，并且由

f D ρ=⋅∇ ，0=∂∂+⋅∇t

J f

f ρ

得

f f t

λε

σ

λ-

=∂∂，所以 0=∂∂+t

D

J f 。 因为介质是非磁性的，即H B

μ=，故任意一点，任意时刻有 000=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+=⨯∇=⨯∇t D J H B f

μμ

⑵由

f f t

λε

σ

λ-

=∂∂，解这个微分方程得 ()t

f e t ε

σ

λλ-=0

⑶()2

22/r E E J p f f πελσσ==⋅=

⑷长度为l 的一段介质耗散的功率为

.ln 222222

a b l rldr r f b

a

f πελσππελσ=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎰ 能量密度()2

2/,

21r t

w D E w f πελσ-=∂∂⋅= 长度为l 的一段介质内能量减少率为

.ln 2222a

b l rldr t w

f b

a

πελσπ⎰

=∂∂-

３．一很长的直圆筒，半径为R ，表面上带有一层均匀电荷，电荷量的面密度为σ．在

外力矩的作用下，从0=t 时刻开始，以匀角加速度α绕它的几何轴转动，如图所示．

⑴试求筒内的磁感应强度B

；

⑵试求筒内接近内表面处的电场强度E

和玻印廷矢量S ；

⑶试证明：进入这圆筒长为l 一段的S 的通量为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛2022B l R dt d μπ． 答案： ⑴ωσμ

R B 0=；

⑵ωασμe e

Rr E r ˆˆ21

0⨯= ；

r e r R S ˆ2

1

2320ασμ-= ．

解：⑴单位面电流ωσσ

πR lT

Rl i ==

2 ωσμμ

R e

i B z 00ˆ== ⑵在圆筒的横截面内，以轴线为心，r 为半径作一圆，通过这圆面积的磁通量为

ωσμπR r S d B s

02

=⋅=Φ⎰

由法拉第定律，得 .21210dt

d Rr dt d r E ω

σμπ-=Φ-=

因为 t αω=

所以

ασμrR E 02

1

-

= 考虑到方向，则有

z r e e

rR E ˆˆ2

1

0⨯=ασμ 在筒内接近表面处，

z r e e

R E ˆˆ2

12

0⨯=ασμ 该处的能流密度为

()()z z r R R R e R e e

R H E S ˆˆˆ2

12

0ωσασμ⨯⨯=⨯= r e

t R ˆ2

12

320ασμ-= 负号表明，S 垂直于筒表面指向筒内。 ⑶进入这圆筒长为l 一段的S 的通量为 lt R Rl S R s 24

2

02ασπμπ=⋅=Φ

而

lt R dt dB B l R B l R dt d 2

420022022ασπμμπμπ==⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛ 所以

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=Φ2022B l R dt d S μπ 讨论：此结果表明，筒内磁场增加的能量等于S 流入的能量。由于筒未转动时，筒

内磁场为零，磁场能量为零，磁场能都是经过玻印廷矢量由表面输入的。

４．已知太阳光正入射时，地面上每平方厘米每分钟接收太阳光的能量为cal 94.1，

J cal 1868.41=．设射到地面上的太阳光全部被吸收．已知地球的半径为km 3104.6⨯，试

求太阳光作用在整个地球上的力．