3_2_2向量组线性相关性的判定案例
线性代数课件--第二节向量组的线性相关性-讲义
解 考 虑 向 量 方 程 k 1 1 k 22 k 3 3 k 44 0 ，
比 较 两 端 分 量 ， 得 齐 次 线 性 方 程 组
k1 2k2 3k3 4k4 0,
由 定 理 5 知 ， m 可 由 2 ,,m 1 线 性 表 示 ，
即 存 在 数 k2, ,km 1 ， 使 得
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定理 1 m个 n维向量 i (ai1,ai2, ,ain), i 1,2,,m
线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
a11x1 a21x2 am1xm 0,
a12x1
a22x2 am2xm
0,
a1nx1 a2nx2 amnxm 0
(3.2)
有非零解．
精品
线性代数课件--第二节向量组的线性相 关性
特例： (1) 包 含 零 向 量 的 向 量 组 必 线 性 相 关 ．
(2 ) 单 独 一 个 向 量 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 0．
(3) 两 个 向 量 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 它 们 的 对 应 分 量
充 分 必 要 条 件 是 其 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由 其 余m1个 向 量
线 性 表 示 ．
证明
推 论1 m个n维 向 量1,2, ,m（m2） 线 性 无 关 的
充 分 必 要 条 件 是 其 中 任 一 向 量 都 不 能 由 其 余m1个 向 量 线
性 表 示 ． 推 论 2 任 何 n 1 个 n 维 向 量 必 线 性 相 关 ． 证明 从而向量个数大于向3
3-2向量的线性相关性-精选文档
任意n维向量可由n维基 则 本单位向量组“线性表 a a a 1 1 22 nn示”.
( a , a , , a ), 1 2 n
T k ( ka , ka , , ka ) 1 2 n .
1 12 2
T n n
可以根据向量加法定义向量 与 的差: ( ) , 即
(a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )T .
这两种运算满足以下八条运算规律: 设
a1j b 1 b2 a2j j 1 ,n ; 若 令 j , , 2, b a m mj
x11 x2 2 xn n .
——方程组的向量形式
向 量 与 矩 阵
向量加法、数乘两种运算,称为向量的线性运算.
向 对一般的线性方程组： 量 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 与 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 方 程 am1 x1 am2 x2 amn xn bm 组
k k ... k
11 22 ss
例2 线性表示 、线性组合的例： 0 0 (1) o0 1 2 s 零向量是任意向量组的 “线性组合”. (2)
1 0 0 1 1 2 s 向量组中任意向量可以
(3) 若
a 1 1 a 1 2 a 2 1 a 2 2 A 设 a m 1 a m 2 a x 1 n 1 a x 2 n , 2 , x a x m n n b 1 b 2 . b m
向量组线性相关性判定
安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作者院〔系〕数学与统计学院专业数学与应用数学年级2011级学号指导教师郭亚梅论文成绩日期2015年月日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何奉献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.作者签名：日期：导师签名：日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法〔安阳师范学院 数学与统计学院 河南 安阳 455002〕摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。
所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的假设干方法.关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法 1 引言线性相关性的内容是线性代数课总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法.2.1 n 维向量的定义〔一维、二维、三维向量，推广到n 维向量〕 定义： n 个有次序的数12,a ,,a n a 所组成的数组12(a ,a ,)n a 或12(a ,a ,)T n a 分别称为n n个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律.全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间〔或线性空间〕.例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间.有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ⨯矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组112212122212(a )(a )(a )n n m m mn a a a a a a 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎦⎣111122122212,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎛⎛⎫⎫⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎭⎭⎭⎝⎝⎝3.2.1 线性组合与线性表示设12:a ,a ,,a m A 是一向量组, 表达式1122m m k a k a k a +++称为向量组A 的一个线性组合, 其中12,k ,,k m k 是一组实数, 称为这个线性组合的系数.如果向量b 是向量组A 的线性组合1122m m b a a a λλλ=+++则称向量b 能由向量组A线性表示.例如，任一n 维向量，都可以由n 维基向量线性表示.例1. 设向量组)()()()(12341,0,1,b 1,1,1,b 3,1,1,b 5,3,1,T T T Tb =-==-=试判断4b 是否可由123,b ,b b 线性表示？如果可以的话，求出一个线性表示式.解 设一组数123,k ,k ,k 使4112233,b k b k b k b =++即有())(123231235,3,13,k ,k .TTk k k k k k =+++-+-由向量相等的定义可得线性方程组1232312335,k 3,k 1.k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪-+-=⎩该方程组的一个解为1232,k 3,k 0.k === 于是41223,b b b =+即4b 由123,b ,b b 线性表示. 定理1 向量b 能由向量组12:a ,a ,,a m A 线性表示的充分必要条件是矩阵12(a ,a ,)m A a =与矩阵12(a ,a ,,b)m B a =的秩相等, 即(A)R(B)R =..向量组线性相关的定义 定义 1 向量组12:a ,a ,,a (m 2)m A ≥线性相关⇔在向量组A 中至少有一个向量能由其余1m -个向量线性表示.定义2 给定向量组12:a ,a ,,a m A ，m 个数12,k ,,k ,m k 构造11220,m m k a k a k a +++= ()*如果存在不全为零的数12,k ,,k ,m k 使()*式成立，称向量组A 是线性相关的, 否则称它线性无关. 这两个定义是等价的. 证明如下：如果向量组A 中有某个向量(不妨设m a )能由其余1m -个向量线性表示, 即有121,,,,m λλλ-使112211,m m m a a a a λλλ--=++于是112211(1)a 0.m m m a a a λλλ--+++-=因为121,,,,1m λλλ--不全为0, 所以向量组A 线性相关.反过来，如果向量组A 线性相关，则有11220,m m k a k a k a +++=其中12,k ,,k m k 不全为0, 不妨设10k ≠, 于是12211()(k ),m m a a k a k =-++即1a 能由2,,a m a 线性表示.例2 判断向量组123(2,1,3,1),(4,2,5,4),(2,1,4,1)ααα=-=-=--是否线性相关.解：可取123,,χχχ为未知数，建立以下方程式 1122330,χαχαχα++=看它是否有123,,χχχ的不全为零的解.这是向量等式，按各个分量分别写出方程，就成为以下方程组1231231231232420,20,3540,40.χχχχχχχχχχχχ++=⎧⎪---=⎪⎨++=⎪⎪+-=⎩ 前面的含向量的方程组有无非零解等价于这个方程组有无非零解.可以用消元法解这个方程组.它有无线多解，当然有非零解，故123,,ααα线性相关.特别的一组解，可取为123(,,)(3,1,1),χχχ=--即12330ααα--=或3123.ααα=- 定理2向量组12a ,a ,,a m 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵12(a ,a ,)m A a =的秩小于向量个数m ; 向量组线性无关的充分必要条件是(A)m R = 这是因为,向量组12:a ,a ,,a m A 线性相关11220m m x a x a x a ⇔+++= 即A x =0有非零解(A)m.R ⇔<向量组12a ,a ,,a m 线性无关12(a ,a ,,a )m.m R ⇔=例3 证明n 维单位坐标向量组12(1,0,,0),e (0,1,,0),,e (0,0,,1)T T T n e ===线性无关.12,k ,,k ,n k 使得11220,n n k e k e k e +++=根据向量线性运算的定义可以得到 12(k ,k ,,k )(0,0,,0),T T n =从而120.n k k k ====所以12,e ,,e n e 是线性无关的.另证 我们利用定理，设向量组12,e ,,e n e 构成的矩阵为12(,e ,,e ),n I e =I 是n (I)n,R =即(I)R 等于向量组中向量的个数，所以由定理2知向量组I 是线性无关的.例 4 已知向量123(1,1,1),a (0,2,5),a (2,4,7)T T T a ===讨论向量组123,a ,a a 及向量组12a ,a 的线性相关性.解 对矩阵123(a ,a ,a )施行初等行变换使它变成行阶梯形矩阵，就可以同时看出矩阵123(a ,a ,a )及12(a ,a )的秩，再利用定理2就可以得出结论.易知123(a ,a ,a )23,R =<向量组123a ,a ,a 线性相关；12(a ,a )2,R =向量组12a ,a 线性无关.〔1〕含零向量的向量组必线性相关.线性无关的向量组中一定不含零向量. 〔2〕一个向量α线性相关0.α⇔=一个向量α线性无关⇔0α≠.(3)两个非零向量12,αα线性相关12.k αα⇔=两个向量12,αα线性无关⇔它们不成比例. (4)向量组有一部分线性相关，则全体线性相关. 向量组全体线性无关，则每一部分线性无关. 假设向量组12:a ,a ,,a m A 线性相关, 则向量组121B:a ,a ,,a ,a m m +也线性相关. 反之, 假设向量组B 线性无关, 则向量组A 也线性无关.结论可表达为: 一个向量组假设有线性相关的部分组, 则该向量组线性相关. 一个向量组假设线性无关, 则它的任何部分组都线性无关. 性质〔4〕说明：这是因为, 记12(a ,a ,,a )m A =,121(a ,a ,,a ,a )m m B +=,有(B)R(A)1R ≤+.假设向量组A 线性相关, 则有(A)R m <，从而(B)R(A)1 1.R m ≤+<+ 因此向量组B 线性相关. (5) 个数大于维数时，必线性相关.个数等于维数时，看行列式.m 个n 维向量组成的向量组, 当维数n 小于向量个数m 时一定线性相关. 特别地, 1n +个n 维向量一定线性相关. 这是因为, m 个n 维向量12a ,a ,,a m 构成矩阵12(a ,a ,,a ),n m m A ⨯= 有R(A)n.≤假设n m <则R(A)n m,≤< 故m 个向量12a ,a ,,a m 线性相关.(6)设向量组12:a ,a ,,a m A 线性无关, 而向量组12B:a ,a ,,a ,m b 线性相关, 则向量b 必能由向量组A 线性表示, 且表示式是唯一的. 这是因为, 记12(a ,a ,,a )m A =,12(a ,a ,,a ,b)m B =,有(A)(B)m 1,m R R =≤<+即有(B)R(A).R m ==因此方程组有唯一解12(a ,a ,,a )x m b =即向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一.给定向量组123:,,,,,m A a a a a 如果存在不全为零的数123,,,,,m k k k k 使得11220m m k a k a k a +++=成立，则称向量组A 是线性相关的.否则，如果不存在不全为零的数123,,,,,m k k k k 使得11220m m k a k a k a +++=成立，也就是说，只有当123,,,,m k k k k 全部为0时，11220m m k a k a k a +++=才成立，则称向量组A 是线性无关的.例5 设向量组123,,a a a 线性无关，判断向量组112223331,,b a a b a a b a a =+=+=+的线性相关性.解 设一组数123,,,k k k 使1122330,k b k b k b ++=则有 112223331()()()0,k a a k a a k a a +++++= 即131122233()()()0.k k a k k a k k a +++++= 因为向量组123,,a a a 线性无关，所以1312230,0,0.k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 该方程组的系数行列式20,D =≠故方程组只有零解1230,k k k ===所以向量组123,,b b b 线性无关.例6 判断向量组)()()()(12341,0,1,b 1,1,1,b 3,1,1,b 5,3,1TTTTb =-==-=的线性相关性. 解 设一组数1234,,,,k k k k 使112233440,k b k b k b k b +++=比较上式两端向量的对应分量，可得齐次线性方程组12342341234350,30,0.k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪++=⎨⎪-+-+=⎩该方程组的一个非零解为12342,3,0,1,k k k k ====-故向量组1234,,,b b b b 线性相关. 5.2 利用向量组内向量之间的线性关系判定 定理3 向量组123:,,,,m A a a a a 线性相关的充要条件是向量组A 中至少有一个向量可以由其余1m -个向量线性表示. 定理4 向量组12,,,m a a a 线性无关，而12,,,,m a a a β线性相关β⇒可由12,,,m a a a 线性表示且表达方式唯一. 定理 5 假设向量组12,,,m a a a 有一部分向量组线性相关⇒向量组12,,,m a a a 线性相关.与此等价的一个说法为：向量组12,,,m a a a 线性无关⇒向量组12,,,m a a a 的任一部分向量组线性无关.例7 已知123,,ααα线性无关，234,,ααα线性相关，问：〔1〕4α能否由123,,ααα线性表示？ 〔2〕1α能否由234,,ααα线性表示？解 〔1〕由123,,ααα线性无关23,αα⇒线性无关，又由234,,ααα线性相关4α⇒能由23,αα线性表示且表达方式唯一，所以存在数23,k k 使得422334122330k k k k ααααααα=+⇔=++，故4α能由123,,ααα线性表示.1α能由234,,ααα表示，则存在数123,,λλλ，使得1122334,αλαλαλα=++又由〔1〕4α能由23,αα线性表示，所以1α能由23,αα线性表示，所以123,,ααα线性相关，与已知矛盾，故1α不能由234,,ααα线性表示. 5.3 利用向量组的秩进行判定12,,,,m ααα其秩记为12(,,,)m R ααα，由极大无关组的定义和秩的定义可得：假设向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；假设向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的.例8 判断向量组123(2,2,1,1,4),(2,1,2,0,3),(1,2,2,4,2)T T T ααα=-=-=--的线性相关性. 解 构造35⨯矩阵并作初等行变换 可见3rankA =，故123,,ααα线性无关.5.4 利用反证法进行判定在有些题目中，直接证明结论有时候比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知定义、定理、公理相矛盾的结果，从而结论的反面不成立，则结论成立.例9 设向量组12,,,m ααα中任一向量i α不是它前面1i -个向量的线性组合，且0i α≠，证明向量组12,,,m ααα线性无关.证明 〔反证法〕假设向量组12,,,m ααα线性相关，则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得：11220m m k k k ααα+++=， (1)由此可知0m k ≠，由上式可得1122111()m m m mk k k k αααα--=-+++即m α可以由它前面1m -个向量线性表示，这与题设矛盾，因此0m k =，于是(1)式转化为1122110m m k k k ααα--+++=.类似于上面的证明可得1220,m m k k k --====(1)式转化为110k α=.但10α≠，所以10k =这与12,,,m k k k 不全为零的假设相矛盾，因此向量组线性无关.例10 设A 为n 阶矩阵，α为n 维列向量，假设0A α≠，但20A α=. 证明：向量组,A αα线性无关. 证明：用反证法.假设向量组,A αα线性相关，由于0A α≠，从而0α≠，则A α可由α线性表出，设为(0)A k k αα=≠否则0α=，于是22()()0A A A A k kA k ααααα====≠，这与已知20A α=矛盾，因此向量组,A αα线性无关. 例11 设12,,,n ααα是一组n 维向量，已知单位坐标向量12,,,n εεε可被它们线性表出，证明：12,,,n ααα线性无关.证明：法1 〔反证法〕假设12,,,n ααα线性相关，则至少有一i α可由其他j α线性表示〔不妨设n α可由121,,,n ααα-线性表示 〕.由题设，12,,,n εεε可由12,,,n ααα线性表示，从而可由121,,,n ααα-线性表示，而任一n 维向量均可由12,,,n εεε线性表示，因而也可由121,,,n ααα-n 维向量构成的向量集合n R 的秩小于n ，这与nR 的秩等于n 矛盾，故12,,,n ααα线性无关.法 2 设12,,,n ααα的秩为r ，则,r n ≤而12,,,n εεε的秩为.n 由题设，12,,,n εεε可由12,,,n ααα线性表出，因此n r ≤，故.r n =5.5 利用齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组，需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性.即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定.对于各分量都给出的向量组12,,,m ααα，假设以12[,,,]m A ααα=为系数矩阵的齐次线性方程组0AX =只有零解向量，则此向量组12:,,,m A ααα是线性相关的.例12 证明向量组123(2,1,0,5),(7,5,4,1),(3,7,4,11)T T T ααα==--=--线性相关.证明 ：以123,,ααα为系数向量的齐次线性方程组是 1122330,x x x ααα++= 即1231232312327305704405110x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎪⎨+=⎪⎪--=⎩ 利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵A 化为行阶梯型矩阵，由行阶梯型矩阵可知，()23,R A =<即齐次线性方程组有非零解，所以向量组123,,ααα线性相关.例13 12(,,,),1,2,,.i i i in a a a i n α==证明：如果0ij a ≠，那么12,,,n ααα线性无关.证明：设11220,n n k k k ααα+++=得到线性方程组111212112122221122000n n n n n n nn n a k a k a k a k a k a k a k a k a k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩由于系数行列式的转置行列式0ij a ≠，故齐次线性方程组只有零解，从而12,,,n ααα线性无关.5.6 利用矩阵的秩进行判定设向量组12:,,,m A ααα是由m 个n 维列向量所组成的向量组，则向量组A 的线性相关性可由向量组A 所构成的矩阵12(,,,)m A ααα=（1） 当()R A m =时，则向量组12:,,,m A ααα是线性无关的. （2） 当()R A m <时，则向量组12:,,,m A ααα是线性相关的.例14 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,),T T T t ααα=== 问当t 为何值时，向量组123,,ααα线性相关，并将3α表示为1α和2α的线性组合. 解：利用矩阵的秩有[]123111111111,,12301201213021005A t t t ααα==→→--可见，当5t =时，向量组123,,ααα线性相关，并且有111101012012,000000A =→所以3122ααα=-+.利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同，但实质上是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵，从而求出向量组的秩，即系数矩阵的秩，然后再作出判定.例15 断向量组123(2,1,3,1),(3,1,2,0),(1,3,4,2)ααα=-=-=-的线性相关性. 解：以123,,ααα为行向量构成矩阵A ，并进行初等行变换化为行阶梯形2131134213421342312031200101060101061342213105530000A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则()23R A =<向量的个数，故向量组线性相关.例16 向量组1234,,,αααα线性无关，则以下线性无关的向量组是〔〕12233441122334411223344112233441(),,,;(),,,;(),,,;(),,,.A B C D αααααααααααααααααααααααααααααααα+++++++-----++--分析 对于抽象给出的向量组，判断或证明其线性相关与线性无关常采用以下方法： 〔1〕定义法 先设11220,s s k k k ααα+++=然后对其作恒等变形，即用某个矩阵同乘该式，或对该式拆项重新组合等12,,,s k k k 能够不全为零还是必须全是0，从而得知12,,,s ααα是线性相关还是线性无关.〔2〕利用矩阵的秩. 要论证12,,,s ααα线性相关或线性无关，可将其构造成矩阵A ，利用rankA s <或rankA s =来说明.〔3〕利用有关结论，特别是等价向量组有相同秩的结论.〔4〕反证法.解 法1 观察可知12233441()()()()0αααααααα+-+++-+=，()A 线性相关. 12233441()()()()0αααααααα-+-+-+-=，()C 线性相关；12233441()()()()0αααααααα+-++-+-=，()D 线性相关. 由排除法可知应选()B .法2 对()B ，设112223334441()()()()0k k k k αααααααα++++++-=，拆项重组为 141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα-++++++=由1234,,,αααα线性无关知 1412233400k k k k k k k k -=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ ，由于系数行列式100111002,01100011-=所以方程组只有零解12340,k k k k ====从而()B (),(),()A C D 均线性相关. 5.7 利用行列式的值进行判定 假设向量组12:,,,m A ααα是由m 个n 维列向量所组成的向量组，且向量组A 所构成的矩阵12(,,,)m A ααα=，即A 为m 阶方阵，则（1） 当0A =时，则向量组12:,,,m A ααα是线性相关的. （2） 当0A ≠时，则向量组12:,,,m A ααα是线性无关的.假设向量组12:,,,m A ααα的个数m 与维数n 不同时，则（1） 当m n >时，则向量组12:,,,m A ααα是线性相关的.（2） 当m n =时，转化为上述来进行判定，即选取m 个向量组成的m 维向量组，假设此m维向量组是线性相关的，则添加分量后，得到的向量组也是线性相关的. 例17 已知123(1,1,1),(0,2,5),(2,4,7)ααα===试讨论123,,ααα的线性相关性. 证明：令123(,,)A ααα=则1021240157A ==，所以123,,ααα线性相关.行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定，所以能应用行列式值进行判定的向量组，也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定.例18 已知向量组123:,,A ααα是线性无关的，且有112223331,,b b b αααααα=+=+=+，证明向量组123,,b b b 线性无关.证明：设有123,,,x x x 使得1122330x b x b x b ++=即 112223331()()()0x x x αααααα+++++= 整理为 131122233()()()0x x x x x x ααα+++++=因123,,ααα是线性无关的，所以131223000x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩由于此方程组的系数行列式10111020011=≠故方程组只有零解1230x x x ===，所以向量组123,,b b b 线性无关.例19 已知向量组1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,9)t t αααα===-+=+线性相关，试求t 的值.分析 对于具体给出的向量组，判断其线性相关与线性无关常采用以下方法：（1） 先由定义写出11220s s x x x ααα+++=，再根据向量组相当写出齐次线性方程组；假设该齐次线性方程组有非零解〔即无穷多解〕，则向量组线性相关；假设该齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关.（2） 排成矩阵12(,,,)s A ααα=〔列向量时〕或12s A ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭〔行向量时〕，求A 的秩； 假设rankA s <时，向量组线性相关；假设rankA s =时，向量组线性无关.（3） 对于n 个n 维向量，可同上将其排成矩阵A ，用0A =是否成立来判断12,,,n ααα是否线性相关.（4） 利用线性相关的有关结论，如“部分相关，则整体相关”等来判定. 解 1t =-或2-.法1 123410231023102311350112011211210120010124902260002A t t t t t t αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--+ ⎪ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1t =-或2t =-时，123434,,,,rankA αααα=<线性相关.法2 10231135(1)(2)11211249t t t t =++-++ 1t =-或2t =-时行列式为0.6.结论通过以上讨论，我们了解到向量组的线性相关与线性无关的判定较难理解.实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了向量组的线性相关的判定，线性无关的判定也就没有问题了.由以上可以看出，在熟练地理解和掌握了向量组线性相关的定义、定理的基础上，灵活地应用上述几种方法，证明向量组线性相关与线性无关的难点即可获得突破.参考文献[1] 王鄂芳,石生明.高等代数[M].高等教育出版社,2003.[2] 徐仲,陆全.高等代数[M].西北工业大学出版社,2009.[3]蓝以中.高等代数简明教程[M].北京大学出版社，2002.[4]肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法[J].伊犁师范学院学报〔自然科学版〕，3〔2008〕:58-59[5]罗秀芹，董福安，郑铁军，关于向量组的线性相关性的学习探讨[J].高等代数研究，9〔2005〕：18-19[6]杨燕新，王文斌.关于向量组线性相关的几种判定[J].山西农业大学学报〔自然科学版〕，3〔2005〕[7][J].广东石油化工学院学报，2〔2012〕:68-69[8][J].考试周刊，33〔2013〕:57-58[9]牛少彰，刘吉佑，线性代数[M].北京：北京邮电大学出版社，2004.[10]钱吉林，高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002.[11]杨子胥，高等代数习题集〔上〕〔修订版〕[M].济南：山东科学技术出版社，2001[12]钱志强，线性代数教与学参考[M].北京：中国致公出版社，2002.Methods to determine the correlation between the linear vector groupHou xuling(School of Mathematics and Statistics, Anyang Normal University,Anyang,Henan,455002) Abstract:Correlation between linear vector is a cornerstone in linear algebra, in which on the basis of derivation and derived from our many other theories. So skillfully master the method to determine the linear dependence of vector group, so that we can have a better understanding of other theoretical knowledge. In this paper, the linear relationship between the homogeneous solution of linear equations, the matrix rank, determinant between vectors in vector value and known conclusions knowledge in vector group by determining the linear correlation, and then sum up some methods of determination of linear vector correlationKey words:Vector group The linear correlation Linear independence Judging method。
32向量组的线性相关与线性无关(二)详解
解: (4) 由定理3.2.3知,5个四维向量必定线性相关.
13
例.证明：若 , , 线性无关, 则 , , 也线性无关
证:设 k1( ) k2( ) k3( ) O (*) (目标: ki = 0)
则
(k1 k3 ) (k1 k2 ) (k2 k3 ) O
7
3.2.3向量组的线性相关性的判定
1.向量组线性相关的条件: 设向量组
α1
a11 a21
an1
,
α2
a12 a22
an2
,
, αm
a1m a2m
anm
,
它线性相关还是线性无关,取决于齐次线性方程组
k1α1 k2α2 kmαm 0
a11x1 a12x2 a1m xm 0
(3-14)
只有零解. 考虑 β1, β2, β3相对应的齐次线性方程组
a11x1 a21x2 a31x3 0
aa1123
x1 x1
a22 x2 a23x2
a32 x3 a33 x3
0 0
(3-15)
aa1154
x1 x1
a24 x2 a25 x2
a34 x3 a35 x3
0 0
方程组(3-14)的每一个解都是方程组(3-15)的解.而方程组(3-14)
(3) α1 1, a, a2, a3 T , α2 (1,b,b2,b3)T , α3 (1, c, c2, c3)T ,
α4 (1, d, d 2, d 3)T,其中a,b,c,d各不相同. (4) α1 ( 2, 3, 4, 1)T , α2 ( 2, 1, 4, 0)T , α3 ( 1, 3, 0, 1)T ,
即： a1, a2 ,, am 线性无关
线性代数 向量组的线性相关性应用案例1-刘杨
案例一：在系统能控性判断及结构分解中的应用O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC中国大学MO O C中国大学M OO COO C 中国大学M O O C 中国大学M OO C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C 中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C⚫能控性是从控制角度表征系统结构的一个基本特性，对于系统控制问题的研究具有基本的重要作用。
⚫给定飞行器、车辆等系统，在基于期望性能指标进行控制器的设计分析之前，必须对其内在的能控性进行判断，进而对不完全能控系统进行结构分解以判断其不能控子空间的稳定性。
O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C◼系统能控性定义及判据◼能控性的系统结构分解O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C➢直观讨论考虑一个系统, 输入和输出构成系统的外部变量, 状态属于反映运动行为的系统内部变量。
最新2019-3-2向量组的线性相关与线性无关-PPT课件
1 (1,0 , ,0 ),
2
( 0 ,1 , , 0
),
n ( 0 , 0 , ,1 ),
线表性示无成关1；,并2将, 任,意nn维的向线量性(组a1合,a2,
,an)T
解 设存在一组数 k1, k2, ,kn，使得
k 11 k 22 k nn 0
§3.2 向量组的线性相关与 线性无关
一、线性组合的概念
定义１ 给定向 A:量 1,2, 组 ,m ，对于任
组实 k1， 数 k2， ,km ， 向量
k11k22kmm
称为向量线组 性组的 合， 一 k1， k 个 2， ,km 称为 个线性组 . 合的系数
线性方程组的向量表示
若向量组A线性无关，则向量组B也线性无关。
说明 增加方程个数相当于向量 j (j1,2, m)
增加分量，但向量组所含向量的个数不变
由于线性方程组的解与方程组中方程的次 序无关，由此我们得到如下命题
命题2 设有两个向量组
A : j ( a 1 j,a 2 j, a n j) T(j 1 ,2 , m ) ,
B : j ( a p 1 j,a p 2 j, ,a p n j) T(j 1 ,2 , m ) ,
其中 p1 p2 pn 是1, 2, , n这n个自然数的某个确 定的排列，则向量组A与B的线性相关性相同。
说明 改变方程的次序相当于改变向量j (j1,2, m)
的各分量的次序。
例 1 证明 n 维单位坐标向量组
有非零.其 解中 A(1,2,m).
显然，如果齐次线性方程只有零解，则对 该方程增加若干方程后仍有零解，由此我们得 到如下命题
3-2-2向量组的线性相关性的判定
即, 表示式是唯一的.
设
a11 a21 as1 a12 a22 as 2 1 , 2 , , s a1n a2 n asn
a s1 a11 a21 a a a 12 22 s2 1 , 2 , , s asn a1n a2 n b b b 1 2 s
证明 由已知, 存在不全为零的数k1,k2 , …,kr, l ,使
k11+k22+ …+krr+l =0 若l =0, 则k11+k22+ …+krr=0, 矛盾. 所以l 0, 于是
β α1 α2 αr
k1 l k2 l kr l
若有: =k11+k22+ …+krr=l11+l22+ …+lrr 则有: 所以: (k1 l1)1+(k2 l2)2+ …+(krl1)r=0 k1 l1=k2 l2= …=k+ …+kss=0, 故 k1=k2= …=kr=0 所以1, 2,…, s 线性无关.
不妨设k10, 则有: α1
k2 k1
α2 α3 αs
k3 k1 ks k1
充分性:不妨设1可由2, …,s线性表示, 即存在一组 数k2,,…,ks使: 1=k22+ …+kss , 于是有 1+k22+ …+kss =0
3-2向量组的线性相关性
向量组a1 a2 am线性无关R(a1 a2 am)m
例3 试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵为
是n阶单位矩阵
E(e1 e2 en)
由|E|10 知R(E)n 即R(E)等于向量组中向量个数 所
以此向量组是线性无关的
Henan Agricultural University
(1) a1能由a2 a3线性表示 (2) a4不能由a1 a2 a3线性表示
证明 (1)因为a2 a3 a4线性无关 所以a2 a3也线性无关
又a1 a2 a3线性相关 所以a1能由a2 a3线性表示
(2) 用反证法 假设a4能由a1 a2 a3线性表示 而由(1)知a1能由a2 a3线性 表示 因此a4能由a2 a3线性表示 这与a2 a3 a4线性无关矛盾
所以R(a1 a2 b1)R(a1 2) 从而方程组有解 即b1可由a1 a2线
性表示 且存在x12 x21 使2a1a2b1 ❖定理1
向量b能由向量组A a1 a2 am线性表示的充分必要条 件是矩阵A(a1 a2 am)与矩阵B(a1 a2 am b)的秩相等 即R(A)R(B)
Henan Agricultural University
反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关
这是因为 记A(a1 a2 am) B( a1 a2 am am1) 有 R(B)R(A)1
若向量组A线性相关 则有R(A)m 从而 R(B)R(A)1m1
因此向量组B线性相关
Henan Agricultural University
(5)m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时 一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关
线性代数2-3 向量组的线性相关性
第二章 矩阵与向量
定理2.3.2：设向量组 α1,α2， ,αm 线性无关，而 向量组β, α1, α2， , αm 线性相关，则β 可由α1， α2， , αm线性表示且表示式唯一. 证： 向量组β, α1, α2， , αm线性相关，则一定存在
一组不全为零的数 k, k1, k2， , km ,使 kβ + k1α1 + k2α2 + + kmαm = 0
1 1, 2 1, 3 1
于是可表示为 1 2 3
第二章 矩阵与向量
一般地， 与1 ,2 ,…, m 必为且仅为以下
三种情形之一：
10 可由1,2 ,…,m 的线性表示，且表达式唯一； 20 可由1,2 ,…,m 的线性表示，但表达式不唯一；
则称是1,2 ,…,m 的线性组合， 或称向量能用向量组1 ,2 ,…,m线性表示 .
显然，零向量是任何一组向量的线性组合 .
例1 设n维向量
1 (1, 0,, 0) 2 (0,1,, 0)
第二章 矩阵与向量
n (0, 0,,1) (a1, a2 ,, an )是任意一个n维向量，由于
a2n xn b2 ,
A
a21
a12 a22
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
am1 am2
令
a1 j
jΒιβλιοθήκη a2 j
j 1, 2,
,n
amj
b1
b2
bm
(2) 设1 1 2， 2 2 3， 3 3 4， 4 4 1， 证明：向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关.
3-2 向量组的线性相关性
5.对于含有两个向量的向量组,它线性相关的 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 是两向量共线；三个向量线性相关的几何意义是 三向量共面.
例6
已知
1 0 2 1 1 ， 2 2 ， 3 4 ， 1 5 7
, ks
是齐次线性方程组
xα + x α + L + xs α s = ，即
Ax=0的一组非零解.
定理 2 向量组 α , α ,L , αm 线性相关 的充分必要条件是
A = (α , α ,L , αm )
为系数阵的齐次线性方程组 Ax=0 有非 零解.且其任一非零解就是不全为零的 组合系数.也就是说，向量组线性无关 的充分必要条件是齐次方程组只有零解.
表格
营养 成分 每100g食物所含营养 （g） 减肥所要求 的每日营养 量 脱脂牛 大豆粉 乳清 奶
蛋 质
白
36
52 0
51
34 7
13
45 1.1
33
45 3
碳 水 化 合物 脂肪
设脱脂牛奶、大豆粉和乳清用量 分别为 x , x , x 个单位（100g）
三种食物所含营养的列向量分别为
α = (, , ) ,
继续做行初等变换化为简化阶梯形
骣 - 骣 鼢 珑 鼢 珑 珑 - 鼢 鼢 r+r 珑 鼢 珑 鼢 揪 井 珑 鼢 珑 鼢 鼢 珑 鼢 珑 鼢 珑 珑 鼢 桫 桫 -
r + r - r 揪r - r 井
证明 充分性 设 1 , 2 ,, m 中有一个向量（比如 a m） 能由其余向量线性表出. 即有
[精品]线性代数线性相关性判定定理
![[精品]线性代数线性相关性判定定理](https://img.taocdn.com/s3/m/3efe73d79b89680203d82592.png)
例1 向量组 1 , 2 , 要条件是 （A）1 , 2 ,
am）
am 1 1 2 2 m1 m1
故
1 1 2 2 m1 m1 1am 0
1 , 2 , , m1 , 1 这 m 个数不全为0，
因
故 1 , 2 , , m线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
k1 0, k2 0,
即 1 , 2 ,
,m 线性无关
所以此命题为真命题
若向量组 1 , 2 , , r 线性相 2 , , r 若干个向量后所得的向量组 1 关 也线性相关。
定理3
, 则增加 , r 1 , , m
证
,r 线性相关 故存在一组不全为零的数 k1 , k2 , 使 k11 k22 krr 0
例6 命题：设 可由 1 , 2 , , m 线性表示， 且表示法唯一，则 1 , 2 , , m 线性无关。是 否为真命题？ 证 由已知 可由 1 , 2 ,
,m 线性表示
存在一组数 l1 , l2 ,
, lm 使得
l11 l22
设 k11 k22
2 1 1 1 1 1 9 7
4 2 2 9
是A的一个二阶子式
k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C m Cn 个.
定理4
1T ,2T , 设n维行向量组A： r × n型矩阵
关于向量组线性相关性的几种判定毕业设计论文
关于向量组线性相关性的几种判定摘要向量组线性相关性在线性代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。
所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识。
本文从介绍向量组线性相关性的定义着手，然后论述了若干种判定向量组线性相关的方法，例如利用线性相关的定义、行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解、克莱姆法则等知识运用于向量组的线性相关性的判定，并比较了不同判定方法的适用条件及范围。
正是为了研究线性方程组解的存在性与唯一性，才引入诸如线性相关性、秩、极大线性无关组等基本概念。
使用了这些概念，不仅可以圆满地解决线性方程组的问题，还使我们更深刻地认识了线性方程组。
同时构建了一座通向向量组线性相关性判定方法的桥梁，使二者之间可以相互转化。
在判定向量组线性相关性的问题上，我们可以通过构造线性方程组，在解线性方程组的过程中便可以得到向量组线性相关与否的结论。
向量组线性相关性的判定理论作为数学知识中的基础理论，在现实世界中，有着深入的广泛应用。
三角网格自适应loop细分方法就是根据线性相关的三个向量在同一个平面的原理，提出了一种新的三维表面自适应loop细分算法，即对网格模型过同一顶点1邻域上的所有三个紧邻边组成的三个向量判断其是否线性相关来断定该顶点的1邻域是否平坦，从而进一步判断该顶点是否参与细分。
但是三角网格模型上的三条边不可能都严格地在同一个平面上，当这些向量组成的行列式值趋于零时，便认为它们在同一平面上。
实验表明，该方法减少了细分的数据量和处理速度。
关键词：向量组；线性相关；行列式；判定方法；矩阵；克莱姆法则；线性方程组等。
Several Methods for Judging the Related Linearity of VectorsGroupAbstractThe Related Linearity of Vectors Group in Linear Algebra is one cornstone,the basis of its derivation and derived from our many other theories.So skilled master linear vector to determine the relevance of the method allows us to better understand the other theories.This article from the Vector Group,introduced the definition of a linear correlation to proceed,and then discussed a number of Vector Group to determine the method of linear correlation.For example,the definition of the use of linear correlation,the value of the determinant,rank of matrix,homogeneous solution of linear equations,Cramer's rule applied to vector groups,such as knowledge of the linear correlation found.And compare different methods to determine the conditions and scope of the application.Is to study solutions of linear equations existence and uniqueness of before the introduction of such a linear correlation,rank,and so a great group of linearly independent basic concepts.The use of these concepts can not only complete solution to the problem of linear equations,but also gives us a deeper understanding of the system of linear equations.At the same time,a way to build a linear vector method to determine the relevance of the bridge,so that conversion between each other.Linear vector in the determination of the relevance of the issue,we can structure the linear equations,solving linear equations in the process of vector can be linear or not the conclusions of the relevant.Vector Group to determine the linear correlation of theoretical knowledge as the basis of mathematical theory,in the real world, with extensive use of depth.A new adaptive subdivision scheme is presented based on the principle which is that three composed of every three adjacent vectors from a vertex of triangle mesh is computed to verify whether they are coplanar.If the determinate value is approximately equal to zero,the surface surrounding that vertex can be considered as fairly flat and the corresponding triangle needn’t be subdivided. Such an approach can cut down the amount of subdivisions during refining a mesh model and effectively accelerate the processing speed.Key words:Vectors group;Related dependence;Determinant;Judging method;Matrix;Cramer rule;Solution of system of linear equations毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。
向量组的线性相关性的判定
向量组的线性相关性的判定摘 要：向量组的线性相关性是线性代数中的一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其它许多理论.本文利用线性相关性的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解，弗朗斯基判别法等知识对向量组的线性相关性进行了判定，并比较了几种不同判定方法的适用条件.关键词：向量组；线性相关；行列式引言向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与向量空间(包括基，维数），子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据.向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的.本文参考文献[2]介绍了线性相关的定义及其性质，并给出了证明.文献[1]、[3]、[4]、[5]则是介绍了关于向量组线性相关判定的几种方法，给出了证明并举出了几个例子.本文从线性相关性的定义出发，分别运用了定义法、线性关系、向量空间的性质、矩阵的秩、行列式的值、反证法、线性变换的性质等几种方法对向量组的线性相关性进行了判定.如果向量组是函数，那么可用弗朗斯基判别法判定.特别是反证法，线性变换的性质，弗朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目，是比较方便的.1.向量组线性相关性的相关定义及性质定义 1.1]1[ 定义在P 上的线性空间V ，对于给定的一组向量12,,,n x x x ,如果存在n 个不全为0的数12,,,n λλλ，使得11220n n x x x λλλ+++=.那么称12,,,n x x x 是线性相关的.否则称12,,,n x x x 是线性无关的.性质1.1 若12,,,n x x x 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示.证明 )⇒若这n 个向量线性相关，那么11220n n x x x λλλ+++=，其中i λ不全为0，不妨设0i λ≠，那么可解得11ni n iix x x λλλλ=---. 所以该结论是成立的.)⇐如果其中一个向量可由其余向量线性表示，那么这n 个向量是线性相关的.这是因为如果设11221111i i i i i n n x k x k x k x k x k x --++=+++++，那么移项得11221111()0i i i i n n i k x k x k x k x k x x --+++++++++-=.显然，i x 的系数为-1，那么由线性相关的定义知，这n 个向量是线性相关的. 性质1.2 含有零向量的向量组必是线性相关的.性质1.3 单个向量线性相关的充要条件是这个向量是零向量. 性质1.4 若向量组12,,,n ααα线性无关，12,,,,n αααβ线性相关，那么β可由12,,,n ααα线性表示.性质1.5 如果向量组12,,,m βββ的部分组 线性相关，那么12,,,n βββ也一定是线性相关的.即部分组线性相关，则整体线性相关.向量组的线性相关与线性无关的概念也可应用于线性方程组.当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，那么称方程组是线性相关的.反之，它们是线性无关的.2.向量组线性相关性的判定方法2.1 定义法定义法是判定向量组的线性相关性的最基本的方法.对给定的n 个向量12,,,n x x x ，只需令11220n n x x x λλλ+++=.根据题中的条件去求12,,,n λλλ即可.当12,,,n λλλ不全为0时，12,,,n x x x 是线性相关的.当12,,,n λλλ全为0时，12,,,n x x x 是线性无关的.例1 设123,,ααα线性无关，证明122331,,αααααα+++也线性无关. 证明 设对于任意的123,,k k k ，有112223331()()()0k k k αααααα+++++=.整理得131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=.由于123,,ααα线性无关，得 解得所以122331,,αααααα+++也线性无关.例2 设21,1,1[]n x x P x ++∈，判断它们的线性相关性. 解 设123,,k k k P ∈，令2123(1)(1)0k k x k x ++++=，整理得212323()0k k k k x k x ++++=,所以有 解得1230k k k ===.从而21,1,1x x ++是线性无关的. 2.2 利用向量空间的性质进行判定利用向量组的线性相关性的性质也可以判定很多题目.例3 判断1231010,2,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的相关性.证明 由题意可得31212ααα=+，那么由性质1.1知，123,,ααα是线性相关的.这种判定方法适用于具体的题目，一般不用于理论分析. 定理2.2.2 n 维向量空间中任意1n +个向量是线性相关的. 例4 设V 是P 上的线性空间，σ是V 上的线性变换.证明22,,,n σσσ是线性相关的.证明 设()L V 是V 上所有的线性变换组成的集合，()L V 关于线性变换的加法和数乘运算构成一个向量空间.而()L V 的维数为2n ，又因为22,,,()n L V σσσ∈，所以由定理22,,,n σσσ从上面的例题可以看出，运用线性相关性的性质判断相关性是比较方便的，因此熟练地掌握线性相关性的性质显得尤其重要. 2.3 利用齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组时，需由该方程组的解去判定这个向量组的相关性.即用定义法的同时也应用了齐次线性方程组的解进行了判定.一般地，要判断一个向量组 是否线性相关就是看方程11220n n x x x ααα+++= （1）有无非零解.从这里可以看出，如果向量组线性无关，那么在每一个向量上添加一个分量得到的1n +维的向量组121(,,,,)i i i in in a a a a β+=也是线性无关的.把（1）写出来就是1112121121222211220,0,0.n n n n n n n nn x a x a x a x a x a x a x a x a x a +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2）,因之，（1）线性相关的充要条件是（2）有非零解[2].因此具体判断一个向量组是线性还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.例5 设123(1,1,1),(2,1,2),(1,2,1)x x x =-=-=--,试判断它们是否线性相关. 解 令1122330k x k x k x ++=.即 解得故123,,x x x 是线性无关的.2.4 利用矩阵的秩判定向量组的线性相关性定理2.4.1 设向量组12,,,m ααα是由m 个n 维列向量所组成的向量组，则向量组12,,,m ααα的线性相关性可由该向量组所构成的矩阵的秩来决定[3]. （1）若()R A m =, 12,,,m ααα是无关的;（2）若()R A m <，那么12,,,m ααα就是相关的.定理 2.4.2[4] 设B 是阶梯型矩阵，矩阵A 经过一系列的行消法变换之后得到B ，即12...T T T T m A B ααα⎛⎫⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.那么n 元向量组12,,,m ααα线性相关的充要条件是矩阵B 中出现零行..推论[6] 向量组12,,,m ααα线性无关的充要条件是矩阵B 中不出现零行.对矩阵T A 进行初等行变换化为阶梯型矩阵B 的过程，实质上是对12,,,m ααα进行行向量的线性运算.如果B 中出现零行，那么12,,,m ααα中一定有某个向量能被其余的1m -个向量线性表示，即12,,,m ααα线性相关.相反地，若B 中无零行，那么可知12,,,m ααα是线性无关的.例 6 判断向量组123(1,3,4,6,2),(2,4,5,3,2),(4,6,7,8,3)βββ=-=-=-的相关性.解 将123,,βββ以行排成矩阵，且经过一系列行消法变换，即1231346213462245320229246783003111A βββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由于矩阵A 化为阶梯型之后没有出现零行，所以它们线性无关.例7 设124(2,1,2,2,4),(1,1,1,0,2),(0,1,2,1,1),(1,1,1,1,1),(1,2,1,1,1)ααααα=-=-=-=----=３５，试判断它们的线性相关性并求它们的一个极大无关组.解 将,ααααα１２34５，，，写成列向量，拼成一个矩阵，并进行初等行变换，将此矩阵化为阶梯型.所以,ααααα１２34５，，，是线性相关的，从最后一个矩阵可以看出，123,,ααα为向量组的一个极大无关组.本方法把对向量组相关性的判别方法转化为矩阵的初等行变换，简单易懂.但该方法只适用于对n P 中的向量组进行判定，有很大的局限性. 2.5 利用行列式的值来判定向量组的线性相关性定理2.5.1 如果向量组12,,,n ααα是由n 个n 维列向量所组成的向量组，且向量组所构成的矩阵12,,(),n A ααα=，也就是说，A 为n 阶方阵，那么 （1)若0A =，则向量组12,,,n ααα是线性相关的；（2)若0A ≠，则向量组12,,,n ααα是线性无关的.例8 已知1231211,3,4142ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,试讨论它们的线性相关性.证明 由于1210135005==--，所以123,,ααα线性无关.行列式的值的判定性质实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定.但是该方法的局限性在于只有符合向量组的个数和单个向量的分量个数相等的条件时才用此法. 2.6 反证法在有些题目中，直接的给出证明结论往往比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义，定理，公里相悖的结果，从而说明原结论成立.例9 设向量组12,,,n ααα中任一向量不是它前面向量的线性组合，且10α≠，证明向量组12,,,n ααα是线性无关的.证明 如果此向量组线性相关，则存在不全为0的n 个数，使得11220n n k k k ααα+++=.假设0n k ≠,那么由上式可得112121n n n n nnk k kk k k αααα--=----. 即可由它前面1n -个向量线性表示，.故与题设矛盾，所以 且1122110n n k k k ααα--+++=.同理可得1220n n k k k --====，所以有110k α=.由于10α≠，所以10k =，即120n k k k ====.这与i k 不全为0相矛盾.所以该向量组是线性无关的. 2.7 利用线性变换的性质进行判定引理 2.7.1 设V 是数域P 上的线性空间，σ是V 上的一个线性变换，12,,,n V ααα∈，若12,,,n ααα线性相关，则12(),(),,()n σασασα也是线性相关的.证明 由于12,,,n ααα线性相关，那么存在不全为0的数12,,,n k k k 使得11220n n k k k ααα+++=.由于σ是V 上的线性变换，那么有1122()0n n k k k σααα+++=.即1122()()()0n n k k k σασασα+++=.因此，12(),(),,()n σασασα是线性相关的.但是该定理反过来不一定成立.即12(),(),,()n σασασα线性相关，12,,,n ααα并不一定也是线性相关的.若σ为零变换，假设12,,,n ααα是线性无关的，零变换把12,,,n ααα全部变成零向量，它们是线性相关的，从而满足该条件，但是12,,,n ααα是线性无关的.推论 设V 是数域P 上的线性空间，σ是V 上的一个线性变换，若12(),(),,()n σασασα是线性无关的，那么12,,,n ααα也是线性无关的.定理2.7.1 设V 是数域P 上的线性空间，σ是V 上的一个线性变换，且σ是V 中可逆的线性变换,线性空间V 中的向量组12,,,n ααα线性相关的充要条件是它们的象12(),(),,()n σασασα线性相关.证明 )⇒若12,,,n ααα线性相关，则存在不全为0的数12,,n k k k ，使得11220n n k k k ααα+++=.那么1221)))0(((n n k k k σαασσα+++=.所以12),),(,)((n σσσααα是线性相关的.)⇐若12),),(,)((n σσσααα线性相关，则存在不全为0的数12,,n k k k ，使得1221)))0(((n n k k k σαασσα+++=，由于σ是可逆的，那么有1122()0n n k k k σααα+++=，从而11220n n k k k ααα+++=.所以12,,,n ααα也是线性相关的.综上所述，该定理是成立的. 2.8 运用弗朗斯基判别法进行判定如果向量组是由函数组成的话该怎么判定呢？而弗朗斯基判别法主要是判定多项式的相关性的. 定理 设(),(),(),()f x g x h x w x 是n 个1n -次可导的函数，若''''(1)(1)(1)(1)()()()...()()()()...()0...............()()()...()n n n n f x g x h x w x f x g x h x w x f x g x h x w x ----≠，则(),(),(),...()f x g x h x w x 就是线性无关的.例10 判断1,cos ,sin x x 的相关性.解 可以用弗朗斯基判别法进行判别.具体判断如下; 因为1cos sin 0sin cos 100cos sin x xxx x x-=-≠--，所以它们是线性无关的.运用弗朗斯基判别法的一个缺点就是所要判定的函数必须具有高阶的导数才能判定，缺少了这个条件是不能判定的. 结束语本文主要对向量组线性相关性的定义以及性质进行了分析，并且给出了一些判定方法，由于向量组的线性相关性是一个基础和重点问题，仅限于这些讨论是远远不够的，还有待我们作进一步的研究.参考文献[1]杨燕新，王文斌.关于向量组线性相关的几种判定[J].山西农业大学学报， 2005（8151）：292-294.[2]罗秀芹，董福安，郑铁军.关于向量组的线性相关性的学习探讨[J].高等数学研究，2005（9）：18-19.[3]李先富，胡劲松.判断向量组线性相关性的另一种方法[J].四川理工学院学报（自然科学版），2005（9）：94-95.[4]肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法[J].伊犁师范学报（自然科学版），2008（3）：58-59.[5]栾召平.证明向量组线性相关性的几种方法[J].山东电大学报，2002（2）：61-62 [6]张文彬，余建坤.利用初等变换求极大线性无关组[J].云南民族学院学报（自然科学版），2003（1）：12-15.[7]同济大学应用数学系.线性代数[J].北京：高等教育出版社，2004.89：[8]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].（第2版）北京：高等教育出版社，1988,271：[9]王洪林，王春梅.相同的线性相关性在线性代数中的应用[J].河北工程技术高等专科学校学报，2001（1）：43-45.[10]彭立新，将熟练.单参变量向量组线性相关性的一个判定条件[J].荆门职业技术学院学报，2009（1）：92-96.。
3-2向量组的线性相关性
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证明 存在性 ∵ α1,α2, ,αm, β线性相关
∴ 存在不全为 0的k1, k2 , , km , k, 使得 k1α 1+k2α 2+ + kmα m+kβ = 0
3
推论1： 设两个 n 维向量组 A : α1 , , αr ,与B : β1 , , βs , 若向量组A 能由向量组B线性表示, 且 r > s,则向量组 A必线性相关. (如果个数多的向量组能由个数少的向 向量组线性表示，则个数多的向量组必线性相关)
推论2： 设两个 n 维向量组 A : α1 , , αr ,与B : β1 , , βs , 若此两个向量组等价且皆线性无关，则 r = s . (等价的线性无关向量组所含向量个数相同)
⎪⎩ x2 + x3 = 0
由于此方程组的系数行 列式
1 01 1 1 0 =2≠0
011
故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0，
所以
向量Байду номын сангаасβ1
,
β
2
,
β
线性无关
3
.
注 若向量组坐标没给出，则用定义做.
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二、向量组线性相关性的判定
P67例5
定理1（判别法一）
n个n维向量所组成的向量组 α1,α 2,
1
⎥ ⎥
;
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎢⎣−5⎥⎦
⎢⎣ 2 ⎥⎦
解： 因为向量个数等于向量维数，
1 0 −1 1 0 0 ∴ −2 2 1 = −2 2 −1 = 5 ≠ 0
线性代数 向量组的线性相关性应用案例2-刘杨
案例二：D urer 魔方O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M O O CO O C中国大学MOO C中国大学M OO C 中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M O O C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M O O C中国大学M OO C德国著名艺术家Albrecht Dürer(1471-1521年)于1514年曾铸造一枚充满数学符号、数字及几何图形的铜币，这里我们仅研究铜币右上角的数字问题。
O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OOC 中国大学M OO CO O C中国大学MOOC中国大学M OOC 中国大学M OO COOC中国大学M O OC 中国大学M OOC中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C特点：行和= 列和= 对角线之和= 每个小方块之和= 四个角之和=3416321351011896712415141Albrecht Dürer’s Magic SquareO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学M O O C中国大学MO O C中国大学M OO CO OC中国大学MO OC中国大学MO OC中国大学M OOCO O C中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M O O CDürer 魔方定义：一个4×4的数字方，它的每一行，每一列，每一对角线，每一小方块及四个角上的数字和均相等且为一确定数⚫如何构造Dürer 魔方？⚫一共有多少个Dürer 魔方？⚫如何构造所有的Dürer 魔方？——利用向量组的线性相关性O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M O O C中国大学M O O COOC中国大学M O OC 中国大学M O O C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C 中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C记D ={A =[a ij ]4×4|A 为Dürer 魔方}⚫⚫k R A D kA D,,∀∈∀∈∈A B D A B D,,∀∈+∈D 构成向量空间，称为D ürer 魔方空间O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MO O C中国大学M O O C中国大学M O O COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M O O COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M O O COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M O O C令R =行和，C =列和，D =对角线和，S =小方块和利用0和1构造R=C=D=S=1的简单Dürer 魔方可构造出8个基本魔方Q 1, …,Q 8O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M OO C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O COO C中国大学M OO C中国大学M OO C 中国大学M O O COO C中国大学M OO C中国大学M O O C中国大学M O O COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M O O CQ Q Q Q Q Q Q 123456710001000000100010010000110000100====000101000010100001001001000010001001000010100000100100===010*********101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q 801000001=1001010001000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦O O C中国大学M O O C中国大学M O O C中国大学M O O C O O C中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C 中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M O O CO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学M OOCO O C 中国大学MO O C中国大学M O O C中国大学M O O CO O C 中国大学MO O C中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C 中国大学MO O C中国大学M O O C中国大学M O O CO O C 中国大学MO O C中国大学M O O C中国大学M O OCQ Q Q Q Q Q Q Q 123456780−−++−−+=r Q r Q r Q r Q r Q r Q r Q 112233445566770++++++=⇒Q 1, …,Q 7是Dürer 魔方空间的一组基，任意Dürer 魔方可由其线性表示⇒Q 1, …,Q 8线性相关⇒Q 1, …,Q 7线性无关r r r r r r r 1234567======0⇒=O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOO C中国大学M OO C 中国大学M OO CO O C 中国大学MO O C 中国大学M O O C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C⚫构造Dürer 魔方D r Q r Q r Q r Q r Q r Q r Q r r r r r r r d d d d r r r r r r r d d d d r r r r r r r d d d d r r r r r r r d d d d 11223344556677126573411121314354716221222324462531731323334713245641424344+===++++++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⚫取不同的r 1,…,r 7值，可直接构造不同的Dürer 魔方⚫取不同的d 11,…,d 44 值，也可构造不同的Dürer 魔方O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中O O C中国大学M O O C中国大学MO O C 中国大学M O O C中O O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M O O C中O O C中国大学MOOC 中国大学M O O C 中国大学M OO C中OOC 中国大学M OOC 中国大学M O O C 中国大学M OO C中OOC中国大学M OOC中国大学M O O C中国大学M O OC中OO C中国大学M O OC中国大学M O O C中国大学M OO C中OO C 中国大学M OO C 中国大学M O O C中国大学M OO C中向量组的线性相关性应用案例⚫取不同的d 11,…,d 44 值，也可构造不同的Dürer 魔方1265734354716246253177132456110000000000100000101001100000101000001001+1000010010000000010101001000010000100000100000011010000r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⎡⎢⎢⎢⎢⎢++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥⇒⎢⎥+++⎢⎥+++⎣⎦1234567=r r r r Ar r r r ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥()11121314212223241611613132333441424344=ijd d d d d d d d d d d d d d d d d d ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⇒⎢⎥⎢⎥⎣⎦⚫构造Dürer 魔方Ar d ⇒−=OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOO C 中国大学M O O C 中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOO C中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MO O C中国大学MOOC 中国大学MOO C中国大学M OO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学M⚫取不同的d 11,…,d 44 值，也可构造不同的Dürer 魔方1265734354716246253177132456110000000000100000101001100000101000001001+100001001000000001010100100001000010000010000001101000001010000000110r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⎡⎢⎢⎢⎢⎢++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥⇒⎢⎥+++⎢⎥+++⎣⎦⎣1234567=r r r r Ar r r r ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦()11121314212223241611613132333441424344=ijd d d d d d d d d d d d d d d d d d ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⇒⎢⎥⎢⎥⎣⎦()Ar d r A E d 0,0⇒−=⎛⎫⇒−= ⎪⎝⎭中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOO C 中国大学M O O C 中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOO C中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOO C中国大学MOOC 中国大学MOO C中国大学M OO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学M OOC——解线性方程组()A E 1000000000000000001100001000000000000-10000000000100000000000000011100000100000000001000000100000100000000010100000000000100000000-1010000010000001000000000000100000000001000000-100011000,−−−−−−−−−⇒00000000100000-1010000010000000001000010100100000000000001000100011110000000000001001010111000000000000001010000101000000000000001-1010110010000000000000001100001100000000000000000111−−−−−−−−−−−−−−−−−100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭d 24 , d 32 , d 34 , d 41 , d 42 , d 43 , d 44(),0r A E d ⎛⎫−= ⎪⎝⎭中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M O O C 中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MO O C中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M O OC中国大学M OOC中国大学MO O C中国大学MO O C 中国大学MO OC中国大学M OOC中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O C向量组的线性相关性应用案例选取d 24 , d 32 , d 34 , d 41 , d 42 , d 43 , d 44为自由变量，其他量可由其唯一确定16321351011896712415141自由变量的选取不唯一！⚫构造Dürer 魔方中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M 中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M中国大学MO O C 中国大学MOO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M中国大学MO O C中国大学M O OC中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M中国大学MOOC 中国大学M OOC 中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M中国大学M OOC中国大学M OOC 中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M中国大学M OO C中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M。
3.3向量组线性相关性的判别定理-PPT文档
定理4 向量组 r(A )m , A ： , , , 线性相关 1 2 m
其中 A ( , , , ) 1 2 m r(A ) m 向量组 A ： , , , 线性无关 1 2 m
( n 个 n 维向量组成的向量组 A 线性无关 A 0 .)
解 . e 1 , 0 , 0 , e 0 , 1 , 0 , e 0 , 0 , 1 线性无 1 2 3 T T T 1 , 0 , 0 , 2 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 4 线性无 1 2 3
是自然数 1 ， 2 ， n 的某个排列， p p 1 n
齐次方程组（ 1 ）与齐次方程组（ 2 ）同解，
则向量组 A 与向量组 B 相同的线性相关性
定理3向量组 A : a a , 即 j添上一个分量得 j j 1 j a 2 j rj
T T
向量组 B : a a ,( j 1 , 2 , , m ), j 1 j a 2 j rj a r 1 , j
则向量组必线性相关 .
推论1： n 个 n 维向量组成的向量组 A 线性相关 A 0 .
当维数 n 向量个数 m 时 , 推论2： m个n维向量组成的向量组，
例1
讨论下列向量组的线性相关性：
T
1 . 1 , 2 3 , 5 , 1 2 T T T T 2 . 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 4 1 2 3 4
4 . 1 , 0 , 0 , 2 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 4
2-2向量组线性相关性
α 4能由 α 1 , α 2 , α 3线性表示， α 3不能由 α 1 , α 2 , α 4 线性表示。
2 向量组的秩
深化向量组线性相关性的概念, 深化向量组线性相关性的概念, 建立向量组秩的概念 等价向量组 定义
设
( I) α 1 , α 2 ,⋯ , α s
(II) β1 , β 2 ,⋯ , β t
另证
I能由 II线性表示 , 又由例1知 II能 由 I线性表示 ,
故 I和 II 等价 .
∴ 秩 (II) = 秩 (I) = n
∴ n 个向量 α 1 , ⋯ , α n 线性无关 .
3.用初等行变换求秩、极大无关组和线性表示 3.用初等行变换求秩、极大无关组和线性表示
一揽子方法 回忆 阶梯阵： 1. 非零行线性无关 ;
∵ α 1 , α 2 , α 3 线性无关 ,
2 ∴ 0 1 3 5 − 1 − 1 x = 0 1 3
2 3 5 1 1 3 1 1 3 A = 0 − 1 − 1 → 0 - 1 - 1 → 0 1 1 ⇒ x = 0 1 1 3 0 1 - 1 0 0 − 2
线性相关 .
由定义 , n维向量组 α1 ,⋯ , α s 线性相(无 )关 ⇔ n × s齐次方程组 x1α1 + ⋯ + xsα s = 0有非零解 ( 只有零解 ).
例1 证明 n阶单位矩阵 I 的 n 个列向量 e1 , e2 , ⋯ , en 线性 无关，并且任一维向量都能由 e1 , e2 , ⋯ , en 线性表示.
证
由观察知:
α1 = −2β1 + β 2 , α 2 = − β1 + β 2 , α 3 = −3β1 + 2β 2 . β1 = −α1 + α 2 , β 2 = 3α 2 − α 3 (或 β1 = 2α 2 − α 3 , β 2 = 2α 3 − 3α1等)