一元二次方程花边有多宽教学设计
2.1《花边有多宽》教案 (北师大版九年级上)(8套)-花边有多宽 教案 (2)doc
§2．1 花边有多宽课时安排2课时从容说课方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，随着数学应用的日趋广泛，方程的工具作用显得愈发重要.一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位．本节“花边有多宽”是一元二次方程的基础，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念，进而通过夹逼思想估算方程的解．本节的重、难点是一元二次方程的概念及其近似解．第一课时课题§2．1．1 花边有多宽(一)教学目标(一)教学知识点1．一元二次方程的概念2．一元二次方程的有关概念．(二)能力训练要求1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．2．理解一元二次方程的概念(三)情感与价值观要求从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识．教学重点一元二次方程的概念a≠0教学难点一元二次方程的概念:a≠0教学方法启发诱导式教具准备投影片四张第一张：花边有多宽(记作投影片§2．1．1 A)第二张：数学问题(记作投影片§2．1．1 B)第三张：实际问题(记作投影片§2．1．1 C)第四张：想一想(记作投影片§2．1．1 D)教学过程Ⅰ．创设现实情景、引入新课[师]前面我们学过黄金分割，知道黄金比是多少吗?[生]黄金比是0.618．[师]很好，你知道黄金比为什么是0．618吗?……[师]好，经济时代的今天，你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?……从今天开始，我们来学习能解决这些问题的知识：第二章：一元二次方程．与一次方程和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型．下面我们来学习第一节：花边有多宽．Ⅱ．讲授新课[师]我们来看一个实际问题(出示投影片§2．1．1 A)；大家来讨论讨论．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?[生]我们可以利用列方程来求解．[师]很好，那如何列方程来求解实际问题呢?想一想，前面我们学习的列一元一次方程的思路和方法．[生]要从题中，找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系．这个题已知：这块地毯的长为8 m，宽为5 m，它中央长方形图案的面积为18m2．这个题所要求的是；地毯的花边有多宽．本题是以面积为等量关系．[师]这位同学分析得很好，下面我们共同来利用这些数量关系列出方程．[师生共析]如果设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m，根据题意，可得方程(8-2x)(5-2x)＝18注意：1．利用列方程解实际问题时，关键是要找到等量关系，如本题中的面积等于长乘以宽． 2．用一个含有未知数的代数式表示一个量，并且这个量有单位时，需要把这个代数式用括号括起来，如本题中的地毯中央长方形图案的长、宽等．[师]好，下面我们来看一个数学问题(出示投影片§ 2．1．1 B)：观察下面等式102+112+122＝132+142．你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?[生]这个题我们也可以利用数量关系列方程．[师]很好，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面的四个数该如何表示呢? [生甲]因为任何两个连续整数的差为1.所以，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1，x+2，x+3，x+4．[生乙]根据题意，则可得到方程x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2．[生丙]老师，我觉得这个题也可以设中间的那个数为x，那么其余四个数依次为x-2，x-1，x+1，x+2，由此也可得方程(x-2)2+(x-1)2+x2＝(x+1)2+(x+2)2．这样行吗?[师]丙同学的思路很好，这个问题可以有不同的设未知数的方法，同学们可灵活设未知数，即可设这五个数中的任意一个，其他四个数可随之变化．下面我们来看一个实际问题(出示投影片§2．1．1 C)：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米?[师]同学们分组讨论，列出方程．[生甲]墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形．已知梯子的长为10 m，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，所以由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有6 m．[生乙]设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m，根据题意，利用勾股定理，可得方程．(x+6)2+(8-1)2＝102，即(x+6)2+72＝102．[师]同学们讨论得很完整，接下来想一想，议一议(出示投影片§ 2．1．1 D)：由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(8-2x)(5-2x)＝18，x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2，(x+6)2+72＝102．这三个方程有什么共同特点?[生甲]这三个方程的每个方程的左、右两边都是整式．[生乙]我把这三个方程进行了化简，即(1)(8-2x)(5-2x)＝18，40-26x+4x2＝18，4x2-26x+22＝0．(2)x2+(x+1)2+(x+2)2＝(x+3)2+(x+4)2，x2+x2+2x+1+x2+4x+4=x2+6x+9+x2+8x+16，x2-8x-20＝0．(3)(x+6)2+72=102，x2+12x+36+49=100，x2+12x-15=0．由此可以知道：这三个方程可以化简为三项的和．[生丙]把这三个方程经过化简后，最高次数是二次．[生丁]这三个方程的每一个方程中只含有一个未知数．[师]同学们总结得很好．上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程,等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程，如：我们学习过的一元一次方程，二元一次方程等都是整式方程．这三个方程还都可以化为ax2+bx+c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的形式，这样的方程我们叫做一元二次方程(quadratic equatton with one unknown)，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．注意：1．一元二次方程必须同时满足以下三点；(1)方程是整式方程．(2)它只含有一个未知数．(3)未知数的最高次数是2，即化简为ax2+bx+c=0时，a≠0．2．任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx++c=0(a≠0)的形式,其中a≠0是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了．因为任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0《a≠0》的形式，所以我们把ax2+bx+c＝O(a、b、c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．注意：(1)当a＝0，b≠0时，方程就是一元一次方程，当一个方程是一元二次方程时，则隐含了条件：a≠0.(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式．Ⅲ．应用、深化课本P43随堂练习1．从前有一天，二个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程．解：设竹竿长为x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺，根据题意，得x2＝(x-4)2+(x-2)2，即x2-12x+20=02．把方程(3x+2)2＝4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.解：方程(3x+2)2＝4(x-3)2的一般形式是5x2+36x-32＝0．方程的二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是-32．Ⅳ．课时小结本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元二次方程的概念．1．一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的形式．2．一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝O(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．3．在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性．Ⅴ.课后作业(一)课本P44习题2．1 1、2(二)1．预习内容：P44-P462．预习提纲探索一元二次方程的解或近似解，Ⅵ．活动与探究1．当d、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元一次方程?[过程]让学生通过讨论、总结，知道：对于方程ax2+bx+c＝0，当a≠0时．是一元二次方程；当a＝0且b≠0时，方程为bx+c=0，是一元一次方程．[结果]当a≠1时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元二次方程，这时，方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b．当a=1且b≠0时，方程是一元一次方程．板书设计§2．1．1 花边有多宽(一)一、1．设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m．根据题意，可得(8-2x)(5-2x)＝18．2．设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1、x+2、x+3、x+4．根据题意，可得x2+(x+1)2+(x+2)2＝(x+3)2+(x+4)2．3．设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙(x+6)m．根据题意，可得(x+6)2+72＝102．二、议一议三个方程的共同特点：(1)只含有一个未知数．(2)整式方程．(3)可化为ax2+bx+c＝0．三、1．一元二次方程的定义．2．一元二次方程的一般形式；ax2+bx+c＝0(a≠0)ax2是二次项，a是系数bx是一次项，b是系数c是常数项四、练习五、小结六、课后作业。
北师大版数学九上2-1花边有多宽教学设计
如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的 学 的 过 程 中 总 顶端距地面的垂直距离为 8m．如果梯子的顶端下滑 结 出 一 元 二 次 1m.那么梯子的底端滑动多少米？ 方程的概念。 二 是通过不同的
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由勾股定理可得，滑动前梯子底端
情境， 让学生先 独立思考， 然后
m
距墙________m, 如果设梯子底端滑动 x m, 那么滑动 合作学习， 最后 后梯子底端距墙_________________________m_.根据 是 师 生 共 同 分 题意，可得方程________________. 议一议： 上述三个方程有什么共同特点？ 一元二次方程定义： 三、随堂练习，巩固所学 1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理 由。 （1）x2-y=1 (2) 1/x2-3=2 (3)2x+x2=3 (4)(x-1)(x2+x+1)=(x2-2x+1)(x-1) (5)(a-1)x2+x=1 (6)3x-1=0 (7) (5x+2)(3x-7)=15x
如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那 过 设 置 生 活 中 么 后 面 四 个 数 一 次 可 表 示 为 的情境， 提高学
________,________,________,_________. 根 据 题 生的兴趣， 从而 意，可得方程_________________________. 情境问题三： 使学生愿意学， 乐于学， 并且在
2
析得出一元二 次方程的概念
本环节严抠方 程的概念， 通过 学生的判断， 加 深对一元二次 方程概念的理 解，其次，通过 动手， 加强学生
2、 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并 写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
花边有多宽-教案
课题
2.1花边有多宽
主备人
教学目标
知识
1．探索一元二次方程的解或近似解
能力
2．培养学生的估算意识和能力．
情感
经历方程解的探索过程，增进对方解的认识，发展估算意识和能力．
重点
探索一元二次方程的解或近似解．
难点
培养学生的估算意识和能力．
教具
实物模型 彩粉笔
教法
学法
分组讨论法
板
书
设
计
一、地毯花边的宽x(m)，满足方程(8―2x)(5―2x)=18
课后作业
(一)课本P46习题2．2 l、2
(二)1．预习内容：P47—P48
15
10
8—2x＞o，
5—2x＞0．
从左至右分别11，4.75，0，―4，―7，―9
地毯花边1米，另，因8―2x比5―2x多3，将18分解为6×3，8―2x=6，x=1
学生先独立思考，后小组内充分交流，师引导学生发言，说出多种合理理由
要求学生在这些具体情境中寻找方程的解或近似解.一方面可以促进学生对方程解的理解，发展学生估算意识和能力；另一方面又为方程精确解的研究做了铺垫.
10
5
环节
教师活动
学生活动
设计意图，学情分析
估时
巩
固
跨
越
三、梯子底端滑动的距离x(m)满足方程
(x+6)2+72=102
也就是x2+12x―15=0
（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？
（2）x的整数部分是几？十分位是几？
(x十6) 十7 ＝10 ，即x 十12x一15＝0．
所以1＜x＜2．
x的整数部分是1，
2.11花边有多宽学案
2.1花边有多宽主备人：王军 审核人： 姓名 班级学习目标：1、要求学生会根据具体问题列出一元二次方程。
通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的提出，让学生列出方程，体会方程的模型思想。
2、通过教师的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念，培养学生归纳分析的能力。
重点：一元二次方程的概念难点：如何把实际问题转化为数学方程预习导学：1、（1）x +5=0, x =__ __ （2）10x +3=8 x =_ ___ （3）6x －21=1, x =__ ___（4）某村有一块200 m 2的长方形空地，已知宽为8 m, 设长为x m ，求x 。
2.用两根长为12cm 的铁丝分别围成一个正方形和一个长和宽之比为2:1的长方形,则正方形面积为 , 长方形面积为 .3.当m= 时,方程3(x+1)=5m -2的解为x=-5. 合作探求：自学课本46-48页内容完成下列各题1、只含有一个未知数x 的_________方程，并且都可以转化成______________（a 、b 、c 为常数，a ______0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
2、相关概念：二次项是______，一次项是______，c 叫做_________。
3、反思：(1) 由于一元二次方程的最高次数为______，所以必须满足a ______0；(2) 由于一元二次方程的一般形式是_____________________，所以在化为一般形式时，一定要使得方程的右边是_______。
只有把方程转化为一般形式后，才可确定是否是一元二次方程。
例1：下列方程哪个是关于x 的一元二次方程 ( )A. ax 2+bx+c ＝0B.k 2+5k+6＝0C. 3x 3+2x －1＝0D. (m 2 +3)x 2+4x －2＝0 例2：指出下列方程中,是一元二次方程的是 .(填入序号即可)①5x 2+1=0 ②3x 2+x1+1=0 ③4x 2=ax (其中a 为常数) ④2x 3+3x =0 ⑤2315x + =2x ⑥22()x x +=2x ⑦｜x 2+2x ｜=4. ⑧ x 2+3x+1= x 2[点拨]一元二次方程是只含有一个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程 例3：按要求填写下表:已知方程 一般形式二次项 二次项系数 一次项 一次项系数常数项(1) x 2+5x=50 (2) ３y 2=18 (3)(2y －1) (3y +2)=2－y 2(4) (x －1) (x －５)＝９ (5)(2x +3)2=4(3x －1)2(6) －ax 2+ax+bx 2－mx ＝７（其中a 、m 、b 为常数，且a ≠b ）当堂检测：（必做题）一、选择题1．(兰州)下列方程中是一元二次方程的是（ ）Ａ.2x+1=0 Ｂ．21y x +=Ｃ．210x +=Ｄ．211x x+=2. 一元二次方程7x 2－2x =0的二次项、一次项、常数项依次是 ( )A. 7x 2,2x ,0B. 7x 2,－2x ，无常数项C. 7x 2,0,2xD. 7x 2,－2x ,0. 3. 若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是( ) A. 2 B. －2 C. 0 D. 不等于2二、填空题4. 将方程(x +1)2=2x 化成一般形式为 .5. 方程5x 2=2(x +2)的二次项是__________，一次项是__________，常数项是 .6.（三明）若关于x 的方程x 2＋mx －6=0有一个根是2，则m 的值为 . 三、解答题（本大题共2小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）7. 判定下列方程是否一元二次方程,并说明理由.①x 2+2xy －y 2=0 ②3x +x1=0 ③x 2=1 ④ (3+ x )2=4⑤5132+x =－9x ⑥(x 2－3)x +1= x 3+3x ⑦ x 2－x +1= x 28. 把方程(4－x )2=6x －5化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数及常数项.能力提升(选做题)1． 已知x 2+3x+5的值为9，则代数式3x 2+9x-2 的值为( )A.4B.6C.8D.102. 方程x m -1-3mx +m -2=0是关于x 的一元二次方程，则此一元二次方程是 .3. 大连某小区准备在每两幢楼房之间，开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，设长方形绿地的宽为x 米，则可列方程为 ．4. 一元二次方程2 x 2+(a +8)x-(2a -3)＝０的二次项系数，一次项系数及常数项之和为5，则a= .5.一个面积为60m 2的矩形花园，它的长比宽多11m ，花园的长和宽各是多少？设宽为x 米，请列出方程并化为一般式。
九年级数学上册《2.1 花边有多宽》教学设计（2）
花边有多宽一、内容与分析内容：本节课要紧学习用夹逼法解一元二次方程，在相关知识的学习进程中，学生已经初步感受到了方程的模型作用，并积存了一些利用方程解决实际问题的体会，解决了一些实际问题。
同时通过上一节课的学习，学生发觉，一元二次方程在生活中也有着普遍的应用，而列方程、解方程和应用方程是一体的。
在学生已有的估算能力的基础上，引导学生在具体的问题情境中，经历估量近似解的进程，寻觅方程的解。
二、目标与分析教学目标：一、结合上一节课的实际问题中所成立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识。
二、经历探讨知足一元二次方程解或近似解的进程，增进学生对方程解的明白得，进展学生的估算意识和能力。
三、问题诊断分析本节课学生碰着的困难可能是在求解一元二次方程的进程中，可不能明白得夹逼法思想求解。
四、教学进程分析 第一环节：温习回忆在上一节课中，咱们取得了如下的两个一元二次方程：()()182x 52x 8=--，即：0111322=+-x x ；()2221076x =++，即：01512x x 2=-+。
发觉一元二次方程在现实生活中具有一样普遍的应用。
上一节课的两个问题是不是已经得以完全解决？你能求出各方程中的x 吗？活动目的：上述两个问题是承上一节课的现实问题，通过对这两个问题情境的回忆，学生自然会产生求解的欲望，符合学生的学习心理。
适当的回忆也是引导学生不仅要学会将现实问题转化为数学问题，而且还应该关注对该数学问题进行解答。
学生能够意识到上一节课只是找到了解决问题的途径，即列方程，但并无将方程的解求出来，也确实是说并无最终找到问题的答案，因此产生了完全解决这些问题的欲望，因此十分自然地引出了本节课的要紧内容：探讨一元二次方程的解。
第二环节：情境引入问题1：有一根外带有塑料皮长为100m 的电线，不知什么缘故中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是不是通）进行检查，你如何快速的找到这一处断裂处？与同伴进行交流。
花边有多宽(一)教学设计(师)
第二章 一元二次方程--花边有多宽（一）师本节课需要掌握的内容：理解一元二次方程概念，理解一元二次方程中的二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。
一、问题引入：问题1：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m ，宽为5m 。
如果地毯中央长方形图案的面积为18m 2，那么花边有多宽？问题2：观察等式：102＋112＋122＝132＋142你还能找到其它的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？问题3：梯子移动如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m 。
如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少由上面三个问题，我们可以得到三个方程：（8－2x ）(5－2x)=18 即2x 2 － 13x ＋ 11 = 0 x 2＋(x ＋1) 2＋(x ＋2) 2=(x ＋3) 2＋(x ＋4) 2 即x 2 － 8x － 20＝0(x ＋6) 2＋72=10 2 即x 2 ＋12 x －15 ＝0引导学生观察上述三个方程有什么共同特点？（提示：我们曾经学习了—元一次方程，同学们可以类比着它的要点，看看这些方程有什么特点。
）对学生所说的各个情况进行总结，尤其注意学生容易漏掉的二次项系数不为0的要点，给出一元二次方程的要点和定义：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
（1）强调三个特征：整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数是2且其系数不为0。
（2）几种不同的表示形式：①ax 2+bx+c=0 (a ≠0,b ≠0,c ≠0)②ax 2+bx=0 (a ≠0,b ≠0,c=0)③ax 2+c=0 (a ≠0,b=0,c ≠0)④ax 2=0 (a ≠0,b=0,c=0)(3)相关概念：一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c=0(a,b,c 为常数，a 不等于0)一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为：ax 2、bx 、c二次项系数为：a 一次项系数为：b概念巩固：1、判一判，下列方程哪些是一元二次方程?(1)7x 2－6x ＝0 (2)2x 2－5xy ＋6y ＝0 (3)2x 2-31x-1=0 （4）21y 2=0 (5)x 2＋21x ＝0 (6)ax 2+bx+c=0 2、把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：3、把方程（3x+2）2=4（x-3）2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
花边有多宽(二)教学案例
第二章 一元二次方程1．花边有多宽（二）一、教学目标知识技能:结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识。
数学思考:经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。
问题解决:进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，提高学生解决问题的能力。
情感态度:培养学生的合作学习意识，学会在合作学习中相互交流。
二、教学重、难点重点:探究一元二次方程的解或者近似解，发展学生估算意识和能力 难点：用估算的方法寻求一元二次方程的解三、教法学生合作交流教师引导四、教具准备小黑板五、教学过程1、情境创设在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：()()182x 52x 8=--，即：0111322=+-x x ；()2221076x =++，即：01512x x 2=-+。
发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。
上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的x 吗？2、探索新知(1)、有一根外带有塑料皮长为100m 的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速的找到这一处断裂处？与同伴进行交流。
(2)、在前一节课的问题中，我们若设地毯花边的宽为x(m)，得到方程：()()182x 52x 8=--，即：0111322=+-x x ；（1）x 可能小于0吗?说说你的理由．（2）x 可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由，并与同伴进行交流．（3）完成下表： x0 0.5 1 1.5 2 2.5 2x 2-13x+11（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流．由于方程的解是整数解，学生都能通过列表计算直接找到方程的解，这就使学生从这种求解的方法中体验到了方便和巧妙，从而增强了学生学习的积极性，同时培养学生善于观察分析问题、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。
2.1 花边有多宽 学案
第二章一元二次方程学案1、花边有多宽（1）【学习目标】1、知识与技能：理解一元二次方程的定义，会判断满足一元二次方程的条件。
2、能力培养：能根据具体情景应用知识。
3、情感与态度：体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性。
【学习重点】1、一元二次方程的定义；2、一元二次方程的一般形式。
【学习过程】一、前置准备：1、什么是方程？什么样的方程是一元一次方程？2、多项式2x2－3x+1是几次几项式？每项的系数和次数分别是几？二、自学探究：理解一元二次方程的概念并会把一元二次方程化为一般形式。
自学教材42－43页，回答：（1）如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为m，宽为m根据题意，可得方程（2）试再找出其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：；如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为、、、，根据题意可得方程：（3）根据图2－2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙m，如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙m，梯子顶端距地面的垂直距离为m，根据题意，可得方程：三、合作交流：观察上述三个方程，它们的共同点为：①；②；象这样的方程叫做。
其中我们把称为一元二次方程的一般形式，ax2，bx，c 分别称为、、，a、b分别称为、。
分别把上述三个方程化为ax2+bx+c=0的形式并说明每个方程的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）（2）（3）四、归纳总结：通过本节课的学习你学到了哪些知识？与同学交流一下。
1.一元二次方程的定义；2、一元二次方程的一般形式。
五、当堂训练：1、判断下列方程是否为一元二次方程，如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项：（1）2x2+3x+5 （2）（x+5）（x+2）=x2+3x+1（3）（2x－1）（3x+5）=－5 （4）（3x+1）（x－2）=－5x2、把方程(3x+2)2=4(x －3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
北师大版九年级(初三)数学上册教案教案 2、一元二次方程 2.1.1 花边有多宽
第1课时§2.1.1 花边有多宽教学目标1、 经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型2、 了解和掌握一元二次方程的一般形式教学重点和难点重点：引导学生列出方程并抽象出一元二次方程的概念 难点：引导学生列出方程并抽象出一元二次方程的概念教学过程设计一、 从学生原有的认知结构提出问题在七年级的时候，我们学习了一元一次方程；八年级的时候，我们学习了分式方程；这一章，我们将会学习另一种方程。
二、 师生共同研究形成概念1、 整式方程和分式方程方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程。
如：532=+x 分母中含有未知数的方程叫分式方程。
如：322=+x 一元一次方程：元：所含的未知数的个数；次：未知数的最高次数2、 引导出二元一次方程的定义根据题意，列出方程：1） 一个数的平方与1的和等于50，求这个数: 5012=-x2） 两个连续整数的各是240，求这两个数: 240)1(=+x x ， 即2402=+x x3） 一个长比宽多4的矩形的面积为60，求这个矩形的宽: 60)4(=+x x ， 即6042=+x x☆ 想一想 书本P 42 具体实例 通过“花边有多宽”、“梯子下滑”等丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。
梯子下滑可借助教具讲解。
书本所列举的例子较难，讲解时，可通过其它实例让学生抽象出方程模型。
✧ 花边有多宽实例得出方程：18)25)(28(=--x x ，即：0111322=+-x x ✧ 五个连续整数实例得出方程：22222)4()3()2()1(+++=++++x x x x x ，即： ✧ 梯子下滑得出方程：222107)6(=++x ，即：015122=-+x x☆ 议一议 书本P 44 议一议 通过对所列三个方程共性的分析，抽象出一元二次方程的概念。
可先让学生进行观察与思考，并用自己的语言进行描。
花边有多宽说课稿
花边有多宽（一元二次方程的概念）说课稿白银区强湾中学王花香一、教材分析：1、教材的地位与作用：《花边有多宽》是北师大版数学教材九年级上册第二章第一节的内容。
一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。
本节课是一元二次方程的概念，通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念。
通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。
此外，学习一元二次方程对其它学科也有重要意义。
2、教学目标：根据数学课程标准的要求、本节教材的内容和学生的好奇心、求知欲及已有的知识经验，本节课的三维目标主要体现在：知识与技能目标：要求学生会根据具体问题列出一元二次方程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，从而理解一元二次方程的有关概念，培养学生归纳、分析的能力。
过程与方法目标：引导学生分析实际问题中的数量关系，回顾一元一次方程的概念，组织学生讨论，让学生自己抽象出一元二次方程的概念。
情感、态度与价值观目标：通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识。
3、教学重点与难点：重点：由实际问题列出一元二次方程，从而理解一元二次方程的有关概念。
难点：把实际问题转化成一元二次方程，进而理解一元二次方程的概念以及a的取值范围：a≠04、设计理念：本课以《数学课程标准》为指导，教学设计努力体现以下3个方面：（1）改进学生的学习方式。
体现动手实践、自主探索、合作交流。
（2）改善数学教学的功能。
发挥现代教学多媒体组合的优势，在模式三下教学，有效的实现了人机互动，把静态的课本教材变成动态的教学内容。
让学生在动手中思维，在观察中分析，培养学生的逻辑思维能力，发展数学建模意识，从而提高解决问题的能力和创新能力，增加对一元二次方程的感性认识。
2019-2020学年九年级数学下册 花边有多宽教案1 新人教版.doc
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
（8－2x）(5－2x)=18即2x2－13x＋11 = 0
x2＋ (x＋1)2＋(x＋2)2=(x＋3)2＋(x＋4)2即x2－8x－20＝0
(x＋6)2＋72=102 即x2＋12 x－15＝0
（1）引导学生观察上述三个方程有什么共同特点？（提示：我们曾经学习了—元一次方程，同学们可以类比着它的要点，看看这些方程有什么特点。）
⑵当m取何值时，方程(m-1) +2mx+3=0是关于x的一元二次方程？
四、布置作业
《新课堂》的相关练习题
教后感
2．通过教师的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念，培养学生归纳分析的能力。
重点
难点
关键
1、一元二次方程的概念
2、如何 把实际问题转化为数学方程
教学构想
（教学板块和问题情景）
导学创设
（各板块达标练习设计）
学生活动
（活动预设及效果评价）
第一环节：创设情景，引入新课
1、艺术设计
一块四周 镶有宽度相等的花边的地毯
（2）你如何定义一元二次方程及定义的注意事项
第三环节：巩固应用，形成技能
1、判一判，下列方程哪些3)2x2-1/3x-1=0（4）y2/2=0
(5)x2＋2x－3＝1＋ x2(6)ax2+bx+c=0
2、想一想：⑴关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0,当k时，是一元二次方程．
问题②如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为， ，，。根据题意，可得方程。
3、梯子移动
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的
顶端距地面的垂直距离为8m。如果梯子的顶端下滑
一元二次方程“花边有多宽”教学设计
(x＋6)2＋72=102
上述三个方程有什么共同特点？
表述：上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c=0(a,b,c为常数，a不等于0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c=0(a,b,c为常数，a不等于0)
教学流程
(内容概要)
师生互动(问题创设、情景创设)
复习回顾
问题情境
方程的概念分类
一元一次方程的概念
1、一块四周有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8米，宽为5米。如果地毯中央长方形图案的面积为18平方米，那么花边有多宽？
如果设花边的宽为x米，那么地
毯中央长方形图案的长为5m
米，宽为米。根据题意，
课题名称
花边有多宽(1)
NO：
新授
教材分析
德育点
加强学生的数学感知，发展学习态度பைடு நூலகம்
创新点
经历抽象一元二次方程的概念的过程
能力点
发展学生的抽象概括能力
知识点
了解一元二次方程的概念，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型
学情分析
本课通过丰富的实例：花边有多宽、梯子的底端滑动多少米，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效学生模型。
可得方程。
8m
教学流程
（内容概要）
师生互动（问题创设、情景创设）
归纳总结
练一练
小结
花边有多宽教学设计.doc
1.花边有多宽（一）一、教学目标：知识与技能：1.一元二次方程的概念2.一元二次方程的有关概念.过程与方法：1.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型.2.理解一元二次方程的概念。
情感态度价值观：从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.二、教学重点：一元二次方程的概念a#0及其近似解教学难点：一元二次方程的概念:a#0及其近似解三、教学方法：启发式四、教学过程自主探究问题一活动内容：出示问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为8 m,宽为5 m.地毯中央长方形图案的面积为1 8m2o 让学生根据这一问题情境提出问题：根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？活动目的：提出了半开放性的问题：根据这一情境，结合这些已知量，你想求哪些量？旨在培养学生的问题意识；要求学生根据条件列出关系式，旨在提高学生分析问题的能力、提高学生抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料。
自主探究问题二活动内容：在学生的疑问处提出问题：你能找到关于10\ 11\ 12\ 13\ 1妒这五个数之间的等式吗？得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
在难以找到的情况下，归结为方程去解决。
活动目的：上述问题直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想。
学生得到的猜想是：是否还存在五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数，在难以找到的情况下，促使学生想办法归结为方程去解决。
教学要求与效果：找到等式102+112+122=132+142之后的猜想不同。
再找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和，部分学生有困难，寻找的方式也有不同。
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教学流程
（内容概要）
师生互动（问题创设、情景创设）
归纳总结
练一练
小结
作业
2、如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米
10m
8m
由构股定理可知，滑动前梯子底端距墙m,如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙m。根据题意，可得方程。
一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为：ax2、bx、c
二次项系数为：a一次项系数为：b
1、随堂练习2、习题2
收获与困惑
习题1目标预习
3、先观察下面等式：
102＋112＋122＝132＋142
你还能找到其它的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗（问：怎样设法找）
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为，，，。根据题意，可得方程。
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
（8－2x）(5－2x)=18
x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2=(x＋3)2＋(x＋4)2
(x＋6)2＋72=102
上述三个方程有什么共同特点
表述：上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c=0(a,b,c为常数，a不等于0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c=0(a,b,c为常数，a不等于0)
课题名称
花边有多宽(1)
NO：
新授
教材分析
德育点
加强学生的数学感知，发展学习态度
创新概括能力
知识点
了解一元二次方程的概念，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型
学情分析
本课通过丰富的实例：花边有多宽、梯子的底端滑动多少米，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效学生模型。
教学流程
(内容概要)
师生互动(问题创设、情景创设)
复习回顾
问题情境
方程的概念分类
一元一次方程的概念
1、一块四周有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8米，宽为5米。如果地毯中央长方形图案的面积为18平方米，那么花边有多宽
如果设花边的宽为x米，那么地
毯中央长方形图案的长为5m
米，宽为米。根据题意，
可得方程。