安徽省滁州市定远县育才学校2021届高三3月月考数学(理)试题含答案
安徽狮远县育才学校2021届高三数学上学期第一次月考试题理【含答案】
.
20.（1） m 1， a 1 ；（2）奇函数. 2
解析：
（1）把 A2, 4 ，
B
1,
1 2
的坐标代入
f
x
m ax
，
得{
m a2
4,
，解得 m 1，
a1.
m a 1
1 2
2
（2） g x 是奇函数.
理由如下：
”是真命题，即不等式
由（1）知
f
x 2x ，所以 g x
f f
求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为
实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 S
1 4
c 2a 2
c2
a2 2
b2
2
．现有
周长为 2 2 5 的 ABC 满足
sinA : sinB : sinC 2 1 : 5 : 2 1 ,试用“三斜求积术”求得 ABC 的面积为
B
1,
1 2
.
（1）求实数 m, a 的值；
（2）若函数 g x
f f
x x
1 1
，试判断函数
g
x
的奇偶性，并说明理由.
21.（12 分）已知函数 f x x3 6x2 3x t ex ， t R ．
（1）若函数 y f x 有三个不同的极值点，求 t 的值；
（2）若存在实数 t 0, 2 ，使对任意的 x 1, m ，不等式 f x x 恒成立，求正整数 m 的最大值．
x x
1 1
2x 1
.
2x 1
所以函数 g x 的定义域为 R .
又 g
x
2021-2022学年安徽省滁州市育才学校高三(上)第一次月考数学试卷(理科)(附答案详解) (1)
2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R||2−x|>2}，则A∩B=()A. {0,5,6}B. {5,6}C. {4,6}D. {x|4<x≤6}2.下列判断正确的是()A. “x<−2”是“ln(x+3)<0”的充分不必要条件B. 函数f(x)=√x2+9+1√x2+9的最小值为2C. 当α，β∈R时，命题“若sinα≠sinβ，则α≠β”为真命题D. 命题“∀x>0，2019x+2019>0”的否定是“∃x0≤0，2019x0+2019≤0”3.已知向量a⃗，b⃗ 满足2a⃗+b⃗ =(1,2m)，b⃗ =(1,m)，且a⃗在b⃗ 方向上的投影是2√55，则实数m=()A. √5B. ±√5C. 2D. ±24.函数f(x)=(21+e x−1)sinx图象的大致形状是()A. B.C. D.5.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+2)=f(2−x)，当x∈[−2,0]时，f(x)=(√22)x−1，若在区间(−2,6)内关于x的方程f(x)−log a(x+2)=0(a>0且a≠1)有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是()A. (14,1) B. (1,4) C. (1,8) D. (8,+∞)6.已知f(x)=(sinθ)x，θ∈(0,π2)，设a=f(12log2√7)，b=f(log43)，c=f(log165)，则a，b，c的大小关系是()7. 已知函数f(x)=x 22+(m +1)e x +2(m ∈R)有两个极值点，则实数m 的取值范围为( )A. [−1e ,0]B. (−1−1e ,−1)C. (−∞,−1e )D. (0,+∞)8. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB.射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为A(35,45)，C(−1,0).若∠BOC =π6，则cos(β−α)的值是( )A. 3−4√310 B. 3+4√310 C. 4−3√310 D. 4+3√3109. 若z =3+4i 1−i+iz(i 是虚数单位)，则|z|=( )A. 32B. 2C. 52D. 310. 在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2−√3bc =a 2，bc =√3a 2，则角C 的大小是( )A. π6或2π3B. π3C. 2π3D. π611. 我们把D(X)={1,x 为有理数0,x 为无理数称作狄里克莱函数，它是高等数学中一个很有名的函数．已知命题p ：D(X)的值域是[0,1]；命题q ：存在无数个非零常数T ，使得f(x +T)=f(x)对任意x ∈R 恒成立．则下列命题中的真命题是( )A. p ∧qB. p ∧(￢q)C. (￢p)∧qD. (￢p)∧(￢q)12. 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)，满足(1)f(x)>0；(2)f(x)<f′(x)<2f(x)(其中f′(x)是f(x)的导函数，e 是自然对数的底数)，则f(2)f(3)的范围为( )A. (1e 2,e)B. (1e 2,1e )C. (0,1e )D. (1e 3,1e )二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若(1−2ai)i =1+bi ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a −bi|=______ 14. 已知平面向量a ⃗ =(sinx,1)，b ⃗ =(√3,cosx)，若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ 在[−m,m]上是单15.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为π3，|a⃗|=|b⃗ |=1，且a⃗⊥(a⃗−λb⃗ )，则实数λ=______．16.已知函y=f(x+1)−2是奇函数，g(x)=2x−1x−1，且f(x)与g(x)的图象的交点为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x6,y6)，则x1+x2+⋯+x6+y1+y2+⋯+y6=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设p：A={x|a+1≤x≤2a−1}，B={x|x≤3或x>5}，A⊆B；q：函数f(x)=x2−2ax+1在(12,+∞)上为增函数，若p∧q”为假，且“p∨q”为真，求实数a的取值范围．18.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cb−a +sinBsinC+sinA=−1．(1)求∠A的大小；(2)若a=4√13,c=12，求△ABC的面积S．19.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为120°，|a⃗|=2，|b⃗ |=3，m⃗⃗⃗ =3a⃗−2b⃗ ，n⃗=2a⃗+k b⃗ ．(1)若m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，求实数k的值；(2)是否存在实数k，使得m⃗⃗⃗ //n⃗？说明理由．20.函数f(x)=ax−b4−x2是定义在(−2,2)上的奇函数，且f(1)=13．(1)求f(x)的解析式；(2)判断并证明f(x)的单调性；(3)解不等式f(t−1)+f(t)<0．21.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M.已知HM=5m，BC=10m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH=θ(0<θ<π4)．(1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式；(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6m的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？(a∈R)在x=1处的切线与直线x−2y+1=0平行．22.已知函数f(x)=lnx+1ax(Ⅰ)求实数a的值，并判断函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)=m有两个零点x1，x2，且x1<x2，求证：x1+x2>1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A={x∈N|x≤6}={0,1,2,3,4,5,6}，B={x∈R||2−x|>2}={x∈R|x<0或x>4}，所以A∩B={5,6}．故选：B．先化简集合A、B，再求出A∩B的值．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.【答案】C【解析】解：A：x<−2时，有可能x+3<0，使ln(x+3)无意义，所以不是充分条件，A不正确；B：因为√x2+9≥3，所以函数f(x)的最小值不是2，B不正确；C：命题“若sinα≠sinβ，则α≠β的逆否命题是：若α=β，则sinα=sinβ是真命题，所以C正确；D：“∀x>0，2019x+2019>0”的否定是：∃x0>0，2019x0+2019≤0，所以D不正确．故选：C．逐个对所给命题进行分析判断真假，即可得出备选答案．考查本题考查了命题的真假判断与应用，属于简单题．3.【答案】D【解析】解：向量a⃗，b⃗ 满足2a⃗+b⃗ =(1,2m)，b⃗ =(1,m)，可得a⃗=(0,12m).a⃗在b⃗ 方向上的投影是2√55，可得：12m22=2√55，解得m=±2．利用向量的和与差求出向量a⃗，然后利用a⃗在b⃗ 方向上的投影是2√55，列出方程求解m即可．本题考查平面向量的数量积的应用，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：f(x)=(21+e x −1)sinx=1−e x1+e x⋅sinx，则f(−x)=1−e −x1+e−x ⋅sin(−x)=e x−1e x+1⋅(−sinx)=1−e x1+e x⋅sinx=f(x)，则f(x)是偶函数，则图象关于y轴对称，排除B，D，当x=1时，f(1)=1−e1+e⋅sin1<0，排除A，故选：C．根据条件先判断函数的奇偶性，和对称性，利用f(1)的值的符号是否对应进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．由已知中可以得到函数f(x)是一个周期函数，且周期为4，将方程f(x)−log a(x+2)=0恰有4个不同的实数解，转化为函数f(x)的与函数y=log a(x+2)的图象恰有4个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵对于任意的x∈R，都有f(x−2)=f(2+x)，∴f(x+4)=f[2+(x+2)]=f[(x+2)−2]=f(x)，又∵当x∈[−2,0]时，f(x)=(√22)x−1，且函数f(x)是定义在R上的偶函数，若在区间(−2,6)内关于x的方程f(x)−log a(x+2)=0恰有4个不同的实数解，则函数y=f(x)与y=log a(x+2)(a>1)在区间(−2,6)上有四个不同的交点，如下图所示：又f(−2)=f(2)=f(6)=1，则对于函数y=log a(x+2)，由题意可得，当x=6时的函数值小于1，即log a8<1，由此解得：a>8，∴a的范围是(8,+∞)故选D．6.【答案】A【解析】解：根据题意，f(x)=(sinθ)x，θ∈(0,π2)，则0<sinθ<1，则函数f(x)= (sinθ)x为减函数，又由12log2√7=log4√7=log167，log43=log169，则有log165<12log2√7<log43，则c>a>b，故选：A．根据题意，分析可得f(x)=(sinθ)x为减函数，由对数的运算性质分析可得log165<12log2√7<log43，结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数单调性的判断以及应用，涉及指数函数的性质，注意分析函数f(x)= (sinθ)x的单调性，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：函数f(x)的定义域为R，f′(x)=x+(m+1)e x．因为函数f(x)有两个极值点，所以f′(x)=x+(m+1)e x有两个不同的零点，故关于x的方程−m−1=xe x有两个不同的解，令g(x)=xe x ，则g′(x)=1−xe x，当x ∈(,1+∞)时，g′(x)<0，所以函数g(x)=xe x 在区间(−∞,1)上单调递增， 在区间(1.+∞)上单调递减， 又当x →−∞时，g(x)→−∞；当x →+∞时，g(x)→0，且g(1)=1e ，故0<−m −1<1e ， 所以−1−1e <m <−1， 故选：B ．求出函数的定义域，函数的导数，求出函数的极值点，以及函数的单调性，结合函数的最值，求解m 的范围即可．本题考查函数的导数以及函数的极值，函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．8.【答案】C【解析】解：由三角函数的定义可知，cosα=35，sinα=45，β=5π6，∴cos(β−α)=cos5π6cosα+sin 5π6sinα=−√32×35+12×45=4−3√310故选：C ．由三角函数的定义可知，cosα=35，sinα=45，β=5π6，然后结合两角差的余弦公式即可求解本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦公式的简单应用，属于基础试题9.【答案】C【解析】解：∵z =3+4i 1−i+iz ，∴z(1−i)=3+4i 1−i，则z =3+4i(1−i)2=3+4i −2i，∴|z|=|3+4i −2i |=|3+4i||−2i|=52．故选：C ．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由商的模等于模的商求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．10.【答案】A【解析】解：由b 2+c 2−√3bc =a 2，得b 2+c 2−a 2=√3bc ， 则cosA =b 2+c 2−a 22bc=√3bc 2bc=√32， 则A =π6，由bc =√3a 2，得sinBsinC =√3sin 2A =√3×14=√34，即4sin(π−C −A)sinC =√3，即4sin(C +A)sinC =4sin(C +π6)sinC =√3，即4(√32sinC +12cosC)sinC =2√3sin 2C +2sinCcosC =√3，即√3(1−cos2C)+sin2C =√3−√3cos2C +sin2C =√3， 则−√3cos2C +sin2C =0， 则√3cos2C =sin2C ， 则tan2C =√3， 即2C =π3或4π3， 即C =π6或2π3， 故选：A ．由余弦定理先求出A 的大小，结合正弦定理以及两角和的正弦公式、二倍角公式进行转化求解即可．本题主要考查解三角形，根据余弦定理以及正弦定理进行转化求解是解决本题的关键．考查学生的计算能力．11.【答案】C【解析】解：∵D(X)={1,x 为有理数0,x 为无理数称作狄里克莱函数，∴D(X)的值域是{0,1}， ∵命题p ：D(X)的值域是[0,1]， ∴p 是假命题，￢P 是真命题，∴(￢p)∧q 是真命题． 故选：C ．D(X)的值域是{0,1}，从而p 是假命题，￢P 是真命题，当T 为非零有理数时，D(x +T)=D(x)对任意x ∈R 恒成立，q 是真命题．由此能求出结果．本题考查命题真假的判断与求法，考查复合命题的真假等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】B【解析】解：根据题意，设g(x)=f(x)e x，(x >0)，ℎ(x)=f(x)e 2x，(x >0)对于g(x)=f(x)e x，其导数g′(x)=f′(x)⋅e x −f(x)⋅e xe 2x=f′(x)−f(x)e x>0，则有g(x)=f(x)e x在区间(0,+∞)上单调递增；所以g(2)<g(3)，即f(2)e 2<f(3)e 3，变形可得f(2)f(3)<1e ；对于ℎ(x)=f(x)e 2x，其导数ℎ′(x)=f′(x)⋅e 2x −f(x)(e 2x )′e 4x=f′(x)−2f(x)e 2x<0，则ℎ(x)=f(x)e 2x在区间(0,+∞)上单调递减；则有ℎ(2)>ℎ(3)，即f(2)e 4>f(3)e 6，变形可得f(2)f(3)>1e 2，综合可得：1e 2<f(2)f(3)<1e ，即f(2)f(3)的范围为(1e 2,1e )； 故选：B ．根据题意，构造函数g(x)=f(x)e x和ℎ(x)=f(x)e 2x，对于g(x)=f(x)e x，利用导数分析可得g(x)=f(x)e x在区间(0,+∞)上单调递增，进而有g(2)<g(3)，对其变形可得f(2)f(3)<1e ，同理分析ℎ(x)的单调性可得f(2)f(3)>1e ，综合即可得答案．本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，关键是构造新函数，并分析其单调性．13.【答案】√52【解析】解：由(1−2ai)i =2a +i =1+bi ， 得2a =1，b =1． ∴a =12，b =1．则|a−bi|=|12−i|=√14+1=√52．故答案为：√52．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，训练了复数模的求法，是基础题．14.【答案】[1,2]【解析】解：由平面向量a⃗=(sinx,1)，b⃗ =(√3,cosx)，得f(x)=a⃗⋅b⃗ =√3sinx+cosx=2sin(2x+π6)，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，又函数f(x)在[−m,m]上是单调递增函数，则0<m≤π6，则0<2m≤π3，则π6<4m+π6≤5π6，即1≤f(2m)≤2，故答案为：[1,2]．由三角恒等变换中的辅助角公式得：由平面向量a⃗=(sinx,1)，b⃗ =(√3,cosx)，得f(x)= a⃗⋅b⃗ =√3sinx+cosx=2sin(2x+π6)，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，又函数f(x)在[−m,m]上是单调递增函数，则0<m≤π6，则0<2m≤π3，则π6<4m+π6≤5π6，即1≤f(2m)≤2，得解．本题考查了三角恒等变换中的辅助角公式及三角函数的值域问题，属中档题．15.【答案】2【解析】解：∵向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，|a ⃗ |=|b ⃗ |=1，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −λb ⃗ )； ∴a ⃗ ⋅(a ⃗ −λb ⃗ )=a ⃗ 2−λa ⃗ ⋅b ⃗ =1−λ2=0； ∴λ=2． 故答案为：2．根据条件即可得出a ⃗ ⋅b ⃗ =12,a ⃗ 2=1，由a ⃗ ⊥(a ⃗ −λb ⃗ )即可得出a ⃗ ⋅(a ⃗ −λb ⃗ )=0，进行数量积的运算即可求出λ．考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件．16.【答案】18【解析】解：因为函数y =f(x +1)−2为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)对称， g(x)=2x−1x−1=1x−1+2关于点(1,2)对称，所以两个函数图象的交点也关于点(1,2)对称，则(x 1+x 2+⋯+x 6)+(y 1+y 2+⋯+y 6)=2×3+4×3=18． 故答案为：18．由题意首先确定所给函数的对称性，然后结合函数的对称性整理计算即可求得最终结果． 本题主要考查函数的对称性，整体对称的数学思想等知识，属于基础题．17.【答案】解：当命题p 为真时，即A ⊆B ，则由下列两种情况：①A =⌀，即2a −1<a +1，即a <2时满足A ⊆B ， ②A ≠⌀，即{2a −1≤32a−1≥a+1或{a +1>52a−1≥a+1满足A ⊆B ， 即a =2或a >4， 综合①②得：实数a 的取值范围为：a ≤2或a >4，当命题q 为真时，即函数f(x)=x 2−2ax +1在(12,+∞)上为增函数， 则a ≤12，又“p ∧q ”为假，且“p ∨q ”为真， 则命题p ，q 一真一假，即{2<a ≤4a ≤12或{a ≤2或a >4a >12，即12<a≤2或a>4故答案为：12<a≤2或a>4【解析】讨论A=⌀，A≠⌀两种情况，利用两集合的包含关系求解可得：当命题p为真时，实数a的取值范围为：a≤2或a>4，由二次函数的单调性可得：当命题q为真时，则a≤12，由“p∧q”为假，且“p∨q”为真，则命题p，q一真一假，列不等式组求解即可．本题考查了集合的包含关系及空集的概念、复合命题的真假，属中档题．18.【答案】解：(1)因为cb−a +sinBsinC+sinA=−1所以由正弦定理得cb−a +bc+a=−1(2分)整理得b2+c2−a2=−bc，所以cosA=b2+c2−a22bc =−12(5分)因为0<A<π，所以A=2π3(6分)(2)因为a=4√13,c=12，A=2π3所以由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA得208=b2+144−2×12bcos2π3解得b=4或b=−16(舍)(10分)所以S=12bcsinA=12×12×4×sin2π3=12√3(12分)【解析】(1)由cb−a +sinBsinC+sinA=−1，利用正弦定理可得cb−a+bc+a=−1，整理再利用余弦定理即可得出．(2)由a=4√13,c=12，A=2π3，利用余弦定理可得b，再利用三角形面积计算公式即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)∵向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos120°=2×3×(−12)=−3，∵m ⃗⃗⃗ =3a ⃗ −2b ⃗ ，n ⃗ =2a ⃗ +k b ⃗ ，m⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， ∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =(3a ⃗ −2b ⃗ )(2a ⃗ +k b ⃗ )=6a ⃗ 2+(3k −4)a ⃗ ⋅b ⃗ −2k b ⃗ 2=0， ∴6×22+(3k −4)⋅(−3)−2k ×32=0， 解得k =43．(Ⅱ)∵m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，∴∃λ∈R ，使m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，∴3a ⃗ −2b ⃗ =λ(2a ⃗ +k b ⃗ )=2λa ⃗ +λk b ⃗ ，(3−2λ)a ⃗ =(2+λk)b ⃗ ， 又向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线，∴{3−2λ=02+λk =0，解得λ=32,k =−43，∴存在实数k =−43时，有m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ．【解析】(Ⅰ)推导出a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos120°=−3，由向量垂直得m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =(3a ⃗ −2b ⃗ )(2a ⃗ +k b ⃗ )=6a ⃗ 2+(3k −4)a ⃗ ⋅b ⃗ −2k b ⃗ 2=0，由此能求出实数k ．(Ⅱ)由m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，得∃λ∈R ，使m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，从而(3−2λ)a ⃗ =(2+λk)b ⃗ ，由向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线，列方程组求出存在实数k =−43时，有m⃗⃗⃗ //n ⃗ ． 本题考查实数值的求法，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=ax−b4−x 2是定义在(−2,2)上的奇函数，则f(0)=−b 4=0，解可得b =0；又由f(1)=13，则有f(1)=a3=13，解可得a =1； 则f(x)=x4−x 2；(2)由(1)的结论，f(x)=x4−x 2，在区间(−2,2)上为增函数； 证明：设−2<x 1<x 2<2， 则f(x 1)−f(x 1)=(4−x 1x 2)(x 1−x 2)(4−x 12)(4−x 22)，又由−2<x 1<x 2<2，则(4−x 1x 2)>0，(x 1−x 2)<0，(4−x 12)>0，(4−x 22)>0，则f(x 1)−f(x 1)<0，则函数f(x)在(−2,2)上为增函数；(3)根据题意，f(t −1)+f(t)<0⇒f(t −1)<−f(t)⇒f(t −1)<f(−t)⇒{−1<t −1<1−1<t <1t −1<−t， 解可得：−1<t <12， 即不等式的解集为(−1,12).【解析】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出函数的解析式． (1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=−b 4=0，解可得b 的值，又由f(1)=a3=13，解可得a 的值，将a 、b 的值代入函数解析式即可得答案； (2)根据题意，设−2<x 1<x 2<2，由作差法分析可得结论；(3)由函数的奇偶性与单调性分析可得f(t −1)+f(t)<0⇒f(t −1)<−f(t) ⇒f(t −1)<f(−t)⇒{−1<t −1<1−1<t <1t −1<−t ，解可得t 的取值范围，即可得答案．21.【答案】解：(1)由题意FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ， 又因为HM ⊂平面ABCD ，得FH ⊥HM ． 在Rt △FHM 中，HM =5，∠FMH =θ， 所以FM =5cosθ．因此△FBC 的面积为12×10×5cosθ=25cosθ．从而屋顶面积S =2S △FBC +2S 梯形ABFE =2×25cosθ+2×25cosθ×2.2=160cosθ． 所以S 关于θ的函数关系式为S =160cosθ(0<θ<π4).(2)在Rt △FHM 中，FH =5tanθ，所以主体高度为ℎ=6−5tanθ． 所以别墅总造价为y =kS +ℎ⋅16k =160cosθ⋅k +(6−5tanθ)⋅16k =160kcosθ−80k⋅sinθcosθ+96k =80k ⋅(2−sinθcosθ)+96k ，记f(θ)=2−sinθcosθ，0<θ<π4，所以f′(θ)=2sinθ−1cos 2θ，令f′(θ)=0，得sinθ=12，又0<θ<π4，所以θ=π6． 列表：θ (0 , π6)π6 (π6 , π4) f′(θ) − 0 + f(θ)↘√3↗所以当θ=π6时，f(θ)有最小值． 答：当θ为π6时该别墅总造价最低．【解析】(1)用θ表示出FM ，得出三角形FBC 的面积关于θ的式子，从而可得屋顶面积S 关于θ的函数；(2)求出屋顶高度FH ，得出造价y 关于θ的函数，利用导数判断函数单调性，再计算最小值及对应的θ的值．本题考查了函数解析式的求法，函数单调性判断与函数最值的计算，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域：(0,+∞)，因为f ′(x)=1x −1ax 2所以f′(1)=1−1a =12,解得a =2， ∴f(x)=lnx +12x ，∴f′(x)=1x −12x 2=2x−12x 2令f ′(x)<0，解得0<x <12，故上单调递减， 令f ′(x)>0，解得x >12，故上单调递增．(Ⅱ)由x 1，x 2为函数f(x)=m 的两个零点， 得lnx 1+12x 1=m,lnx 2+12x 2=m ，两式相减，可得lnx 1−lnx 2+12x 1−12x 2=0，即ln x 1x 2=x 1−x 22x 1x 2，x 1x 2=x 1−x 22lnx 1x 2，因此x1=x1x2−12ln x1x2，x2=1−x2x12ln x1x2，令，则x1+x2=t−12lnt+1−1t2lnt=t−1t2lnt，构造函数ℎ(t)=t−1t−2lnt(0<t<1)，则ℎ′(t)=1+1t2−2t=(t−1)2t2>0，所以函数ℎ(t)在(0,1)上单调递增，故ℎ(t)<ℎ(1)=0，即t−1t −2lnt<0，又0<t<1,所以lnt<0，所以t−1t2lnt>1，故x1+x2>1.命题得证．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及换元思想，转化思想，是一道综合题．(Ⅰ)求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)求出x1=x1x2−12ln x1x2，x2=1−x2x12ln x1x2，令t=x1x2，则x1+x2=t−12lnt+1−1t2lnt=t−1t2lnt，构造函数ℎ(t)=t−1t−2lnt(0<t<1)，根据函数的单调性证明即可．。
安徽滁州市定远县育才学校高三上学期第三次月考数学(理)试题含答案
育才学校2020-2021学年第一学期第三次月考高三数学（理）试题第I 卷（选择题60分）一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分 )1.已知集合，集合，则A.B.C.D.2.在中，角、、的对应边分别为，，，条件：，条件：，那么条件是条件成立的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3.已知实数满足，则下列关系式中恒成立的是（ ）A.B.C. D.4.两等差数列，的前n 项和分别为，，且，则）A. B.C.D. 25.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在上的最小值为（ ） A. B.C.D. 0 6.已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为A. B. 2 C.D.7.函数()ln sin f x x x =+（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象大致是（ ）A.B. C. D.8.在ABC ∆中，点是边BC 上任意一点， M 是线段的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A.12 B. 12- C. 2 D. 2-9.函数，图象恒过定点A ，若点A 在一次函数的图象上，其中，则的最小值是A. 6B. 7C. 8D. 910.已知函数()21,0,{ ,0.x x f x cosx x +>=≤，则下列结论正确的是 ( )A. ()f x 是偶函数B. ()f x 在(),-∞+∞上是增函数C. ()f x 是周期函数D. ()f x 的值域为[)1,-+∞ 11.定义在上的偶函数在上递增,,则满足的的取值范围是( ) A. B.C.D.12.已知函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（ ） A. 要得到函数的图象只将的图象向右平移个单位B. 函数的图象关于直线对称C. 当时，函数的最小值为D. 函数在上单调递增第II 卷（非选择题 90分）二、填空题(共4小题，每小题5分,共20分 )13.已知实数满足则的最大值为__________．14.函数在上的单调递减区间为________．15.数列{}n a 满足： ()()211211n n n na n a n a ++++=+-， 11a =， 26a =，令•cos2n n n c a π=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，则4n S =__________． 16.某市家庭煤气的使用量和煤气费(元)满足关系()(),0{,C x Af x C B x A x A<≤=+-> 已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了320m 的煤气，则其煤气费为____元.三、解答题（共6小题，共70分）17.（10分）在中，角所对的边分别为，且．1求角的值； 2若的面积为，且，求的周长．18.（12分）已知，函数，（是自然对数的底数）.（Ⅰ）讨论函数极值点的个数； （Ⅱ）若，且命题“，”是假命题，求实数的取值范围. 19.（12分）已知数列为等比数列，首项，数列满足，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.20.（12分）若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．(1) 判断函数g(x)=2x 是否为“依赖函数”，并说明理由；(2) 若函数f(x)=(x –1)2在定义域[m ，n](m>1)上为“依赖函数”，求实数m 、n 乘积mn 的取值范围；(3) 已知函数f(x)=(x –a)2 (a<43)在定义域[43，4]上为“依赖函数”．若存在实数x ∈[43，4]，使得对任意的t ∈R ，有不等式f(x)≥–t2+(s –t)x+4都成立，求实数s 的最大值． 21.（12分）已知函数()2π2cos sin 26f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若ABC ∆的边角满足()32f A =，2b c +=，求边长a 的取值范围． 22.（12分）已知函数．（1）讨论函数 的单调性；（2）若曲线上存在唯一的点，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的取值范围．参考答案1.A2.A3.D4.C5.A6.B7.C8.B9.C 10.D 11.B 12.A13.5 14.15.216.11.5;n n16617.（1）；（2）．【解析】()由正弦定理：，可得又因为，所以，，因为，所以．2因为，所以，中，由余弦定理，，则，故，所以的周长为．18.（1）当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.（2）解析：（Ⅰ）因为，所以，当时，对，，所以在是减函数，此时函数不存在极值，所以函数没有极值点；当时，，令，解得，若，则，所以在上是减函数，若，则，所以在上是增函数，当时，取得极小值为，函数有且仅有一个极小值点，所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.（Ⅱ）命题“，”是假命题，则“，”是真命题，即不等式在区间内有解.若，则设，所以，设，则，且是增函数，所以当时，，所以在上是增函数，，即，所以在上是增函数，所以，即在上恒成立.当时，因为在是增函数，因为，，所以在上存在唯一零点，当时，，在上单调递减，从而，即，所以在上单调递减，所以当时，，即.所以不等式在区间内有解综上所述，实数的取值范围为.19.（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由和得，∴. 设等比数列的公比为，∵∴，计算得出∴（Ⅱ）由（1）得，设数列的前项和为，则设数列的前项和为，则，∴20.（1）g(x)=2x 是“依赖函数”（2）()4,mn ∈+∞（3）14解析：(1) 对于函数g(x)=2x 的定义域R 内任意的x1，取x2= –x1，则g(x1)g(x2)=1， 且由g(x)=2x 在R 上单调递增，可知x2的取值唯一， 故g(x)=2x 是“依赖函数”；(2) 因为m>1，f(x)=(x –1)2在[m ，n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m –1)2(n –1)2=1， 由n>m>1，得(m –1) (n –1) =1，故1mn m =-， 由n>m>1，得1<m<2，从而211211m mn m m m ==-++--在()1,2m ∈上单调递减，故()4,mn ∈+∞， (3) 因43a <，故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 从而()4413f f ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，即()224413a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，进而()4413a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得1a =或133a =(舍)， 从而，存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t ∈R ，有不等式()()2214x t s t x -≥-+-+都成立，即()22230t xt x s x ++-+-≥恒成立，由()224230x x s x ⎡⎤∆=--+-≤⎣⎦，得()242312s x x +≤-，由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()12423s x x +≤-，又123y x x =-在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，故当4x =时， max1239x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而()429s +≤，解得14s ≤，故实数s 的最大值为14． 21.（1）最小正周期为π；（2）[)1,2. 【解析】（1）()1πcos 212cos 2sin 2126f x x x x x ⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为π． （2）由题意，()π3sin 2162f A A ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，化简得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．因为()0,πA ∈，所以ππ13π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π5π266A +=，所以π3A =．在ABC ∆中，()2222π2cos33a b c bc b c bc =+-=+-． 由2b c +=，知212b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，即21a ≥，当且仅当1b c ==时取等号． 因为b c a +>，所以2a <， 所以a 的取值范围是[)1,2． 22.【解析】（1），设 ①当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在单调递减； ② 当时，(当且仅当时)，所以在上单调递增； ③ 当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在单调递减； ④当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减.（2）曲线在点处的切线方程为，切线方程和联立可得：，现讨论该方程根的个数：设， 所以. ，设，则.①当时，，所以在上单调递减，又，所以在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以只有唯一的零点，由的任意性，所以不符合题意；② 当时，在上小于零，在上大于零，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上小于或等于零，且有唯一的零点.函数开口向上，若其判别式不大于零，则对任意，有；若其判别式大于零，设其右侧的零点为，则对任意的，有，所以在区间上，存在零点，综上的零点不唯一；当时，可得，所以在上单调递增，所以其只有唯一的零点；当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上大于或等于零，且有唯一的零点.函数在区间上一定存在最大值，设为，若，则在上小于零.若，当时，，所以在区间上，存在零点，综上的零点不唯一.综上，当时，曲线上存在唯一的点，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.。
2021届安徽省定远县育才学校高三上学期第二次月考数学(理)试卷
绝密★启用前2021届安徽省定远县育才学校高三上学期第二次月考数学（理）试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．已知集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2m <x <1－m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫13，＋∞B.⎣⎡⎭⎫0，13 C ．(－∞，0] D ．[0，＋∞)2．若函数f (x )＝2sin x (x ∈[0，π])的图象在点P 处的切线平行于函数g (x )＝2x ⎝⎛⎭⎫x 3＋1的图象在点Q 处的切线，则直线PQ 的斜率为( )A.83B ．2 C.73 D.333．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则PA 2＋PB 2PC 2等于( ) A ．2B ．4C ．5D ．104．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元5.平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( )A ．13＋6 2B ．2 5 C.30 D.346．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( )A ．d >875 B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤3257．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( ) A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]8.函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )9．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝f (－x )恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－310.设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a11．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．012．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin2α的值为( ) A ．－118B.118C ．－1718D.1718第II 卷非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x ＜0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．14．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )＋y (y －2x ＋1)，且f (－1)＝3，则函数f (x )的解析式为________．15．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是____________． 16．函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为________．三、解答题(本大题共6小题,共70分。
安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高一上学期第三次月考数学(理)试题 含答案
定远育才学校2020--2021学年第一学期第三次月考高一理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合M={x|0<x<1}，N={x|−2<x<1}，那么“a∈N”是“a∈M”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知集合A={x|a+1≤x≤3a−5}，B={x|3<x<22}，且A∩B=A，则实数a的取值范围是()A. (−∞,9]B. (−∞,9)C. [2,9]D. (2,9)3.已知命题p：“∀x∈[1,2],x2−a≥0”.若命题p是真命题，则实数a的取值范围是()A. a≤1B. a≤−2或1≤a≤2C. a≥1D. −2≤a≤14.已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()A. 若ac2>bc2，则a>bB. 若ac >bc，则a>bC. 若a3>b3，且ab<0，则1a <1bD. 若a2>b2，且ab>0则1a<1b5.为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2，绿化带的宽分别为2 m和5m(如图所示).当整个项目占地A1B1C1D1面积最小时，则核心喷泉区BC的边长为()A. 20 mB. 50 mC. 10√10mD. 100 m6. 二次方程ax 2+bx +c =0(a >0)的两根为2，−3，那么关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为( )A. {x|x >3或x <−2}B. {x|x >2或x <−3}C. {x|−2<x <3}D. {x|−3<x <2}7. 已知函数f(x)=√x 2−2ax +3在(−1,1)上是单调递增的，则a 的取值范围是( )A. [−2,−1]B. (−∞,−1]C. [1,2]D. [1,+∞)8. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(−∞,0)时，f (x )=x 3−2x 2，则f (3)=( )A. 9B. −9C. 45D. −459. 已知f(x)=3x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A. f(a)<f(b)<f(1a )<f(1b ) B. f(1a )<f(1b )<f(b)<f(a) C. f(a)<f(b)<f(1b )<f(1a )D. f(1a )<f(a)<f(1b )<f(b)10. 已知函数f (x)={log 2x,x >0,2x ,x ≤0,且关于x 的方程f (x)−a =0有两个实根，则实数a的取值范围为( )A. (0,1]B. (0,1)C. [0,1]D. (0,+∞)11. 流行病学基本参数：基本再生数R 0指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T 指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：I(t)=N 0e r×t (其中N 0是开始确诊病例数)描述累计感染病例I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 满足R 0=1+rT ，有学者估计出R 0=3.4,T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当I(t)=2N 0时，t 的值为(ln2≈0.69)( )A. 1.2B. 1.7C. 2.0D. 2.512. 函数y =a x 与y =−log a x(a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象可能是( )A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若函数f(x)=log a(a−x)(a>0且a≠1)在区间[2,3]上单调递减，则实数a的取值范围是________．14.lg2+lg5−lg12lg12+lg8×(lg32−lg2)=．15.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上单调递增，f(1)=0，则不等式f(x)+f(−x)x≤0的解集为________．16.设U=R，集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+(m+1)x+m=0}，若，则m=______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知集合A={x|x2−4x−5≥0}，集合B={x|2a≤x≤a+2}．(1)若a=−1，求A∩B和A∪B；(2)若A∩B=B，求实数a的取值范围．18.（12分）已知p：−x2−2x+8≥0，q：x2−2x+1−m2≤0(m>0)．(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(2)若“￢p”是“￢q”的充分条件，求实数m的取值范围．19.（12分）⑴已知不等式ax2+bx−1>0解集为{x|3<x<4}，解关于x的不等式bx−1ax−1≥0；⑵已知函数f(x)=x+16x−2,x≠2，求f(x)的值域．20.（12分）已知函数f(x)=log2(1+x1−x)．(1)用定义证明函数f(x)的奇偶性，并指出该函数f(x)的单调性；(2)若存在x∈[−13,13],使得f(x)≤m2−2am−1对任意a∈[−1,1]恒成立，求实数m的取值范围．21.（12分）函数f(x)=ax−b9−x2是定义在(−3,3)上的奇函数，且f(1)=18．(1)求f(x)的解析式；(2)判断并证明f(x)的单调性；(3)解不等式f(t−1)+f(t)<022.（12分）已知幂函数f(x)=x(m2+m)−1(m∈N∗).(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若该函数的图象经过点(2,√2)，试确定m的值，并求满足条件f(2−a)>f(a−1)的实数a的取值范围．答案1.B2.B3. A4.A5.B6.B7.A8. C9.C 10.A 11.B 12.A13.(3,+∞)14.415.(−∞,−1]⋃(0,1]．16.1或217.解：(1)当a=−1时，集合A={x|x2−4x−5≥0}={x|x≤−1或x≥5}，集合B={x|2a≤x≤a+2}={x|−2≤x≤1}，∴A∩B={x|−2≤x≤−1}，A∪B={x|x≤1或x≥5}，(2)∵A∩B=B，∴B⊆A，当B=⌀时，2a>a+2，解得a>2；当B≠⌀时，{a≤2a+2≤−1或{a≤22a≥5，解得a≤−3，综上，a>2或a≤−3．即实数a的取值范围是(−∞,−3]∪(2，+∞)．18.解：(1)p ：−x 2−2x +8≥0，q ：x 2−2x +1−m 2≤0(m >0)．故p ：−4≤x ≤2，q ：1−m ≤x ≤1+m ， 若p 是q 的充分条件， 则[−4,2]⊆[1−m,1+m]， 故{−4≥1−m 2≤1+m ,解得：m ≥5；(2)若“￢p ”是“￢q ”的充分条件， 即q 是p 的充分条件， 则[1−m,1+m]⊆[−4,2]， ∴{1−m ≥−41+m ≤2m >0， 解得：0<m ≤1．19.解：(1)因为不等式ax 2+bx −1>0解集为{x|3<x <4}，即得关于x 的一元二次方程ax 2+bx −1=0的解为x 1=3，x 2=4，利用韦达定理，得{−ba =7−1a =12，解得{a =−112b =712, 故不等式bx−1ax−1⩾0可化为7x−12x+12⩽0，即(7x −12)(x +12)⩽0且x ≠−12，解得x ∈(−12,127],故x 的取值范围是(−12,127]．(2)因为x ≠2 ，下面分两种情况考虑： ①当x >2时，利用基本不等式有 f(x)=x +16x−2=x −2+16x−2+2⩾2√(x −2)·16x−2+2⩾10，等号当且仅当x −2=16x−2(x >2)，即x =6时成立；②当x <2时，有2−x >0，利用基本不等式有 f(x)=x +16x−2=2−(2−x +162−x)⩽2−2√(2−x )·162−x⩽−6，等号当且仅当2−x =162−x(x <2)，即x =−2时成立．故f(x)的值域为(−∞,−6]∪[10,+∞)．20.解：(1)定义域为{x|−1<x <1}，，∴f(x)是奇函数，在(−1,1)上是单调递增;(2)由(1)得f(x)在[−13,13]单调递增，所以f(x)min =f(−13)=−1，即−1⩽m 2−2am −1⇒m 2−2am ⩾0对任意a ∈[−1,1]恒成立，所以{m 2−2m ⩾0m 2+2m ⩾0，得m =0或m ⩾2或m ⩽−2．故实数m 的取值范围为(−∞,−2]∪{0}∪[2,+∞)．21.解：(1)∵函数f(x)=ax−b 9−x 2是定义在(−3,3)上的奇函数，∴f(−x)=−f(x)，即−ax−b 9−x 2=−ax−b 9−x 2，∴−ax −b =−ax +b ，∴b =0， ∵f(1)=18，∴a 9−1=18，解得a =1，∴f(x)=x 9−x .(2)f(x)在区间(−3,3)上是增函数．证明如下：在区间(−3,3)上任取x 1，x 2，令−3<x 1<x 2<3， ∴f(x 1)−f(x 2)=x 19−x 12−x 29−x 22=(x 1−x 2)(9+x 1x 2)(9−x 12)(9−x 22)；∵−3<x 1<x 2<3，∴x 1−x 2<0，，9+x 1x 2>0，9−x 12>0，9−x 22>0，∴f(x 1)−f(x 2)<0即f(x 1)<f(x 2)， 故函数f(x)在区间(−3,3)上是增函数． (3)∵f(x)是奇函数，∴不等式f(t −1)+f(t)<0等价为f(t −1)<−f(t)=f(−t)，∵函数f(x)在区间(−3,3)上是增函数，，解得−2<t<12，即不等式的解集为(−2,12).22.解：(1)m2+m=m(m+1)，m∈N∗，而m与m+1中必有一个为偶数，∴m(m+1)为正偶数．∴函数f(x)=x(m2+m)−1(m∈N∗)的定义域为[0,+∞)，且f(x)在其定义域上为增函数．(2)∵函数f(x)的图象经过点(2,√2)，∴√2=2(m2+m)−1，即212=2(m2+m)−1，∴m2+m=2，解得m=1或m=−2．又m∈N∗，∴m=1，f(x)=x 1 2．由f(2−a)>f(a−1)，得{2−a≥0a−1≥02−a>a−1，解得1≤a<32．∴实数a的取值范围为[1,32).。
2021届安徽省滁州市定远县育才学校高三上学期第一次月考数学(理)试题解析
2021届安徽省滁州市定远县育才学校高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题 1．已知集合2{|2,}A x x x x R ==-∈，{}1,B m =，若A B ⊆，则m 的值为（） A ．2 B ．1-C ．1-或2D ．2或2答案：A解题思路：解：由题意可知：{}2A =，则满足题意时，2m =. 本题选择C 选项.2．命题p ：0x R ∃∈，()02f x ≥，则p ⌝为（） A ．x R ∀∈，()2f x < B ．x R ∀∈，()2f x ≥ C ．0x R ∃∈，()2f x ≤ D ．0x R ∃∈，()2f x <答案：A解题思路：根据特称命题的否定是全称命题得出正确选项． 解：根据特称命题的否定，易知原命题的否定为：(),2x R f x ∀∈<，故选A ． 点评：全称命题与特称命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．（2）“p 或q ”的否定为：“非p 且非q ”；“p 且q ”的否定为：“非p 或非q ”． （3）含有一个量词的命题的否定 命题命题的否定,()x M p x ∀∈,()x M p x ∀∈⌝3．方程22123x y m m +=+-表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A ．30m -<<B ．13m -<<C ．34-<<mD ．23m -<<答案：B解题思路：根据充分不必要条件的定义，结合双曲线方程的性质进行判断即可． 解：方程22123x y m m +=+-表示双曲线()()23023m m m ⇔+-<⇔-<<，选项是23m -<<的充分不必要条件，∴选项范围是23m -<<的真子集，只有选项B 符合题意， 故选：B ． 点评：本题主要考查充分不必要条件的判断，以及双曲线的标准方程，属于简单题．4．已知函数2()2x f x e x x =-+，1()ln 2g x x x =-+，1()2h x x x=--，且13x ，若()()()0f a g b h c ===，则实数,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c b a <<答案：C解题思路：a 是2,2xy e y x x ==-图像交点的横坐标；b 是1ln ,2y x y x==-图像交点的横坐标；c 是12,y y x x=-=图像交点的横坐标；利用数形结合即可得到结果. 解：在同一坐标系内，分别作出函数21,2,ln ,2,x y e y x x y x y y x x==-==-=的图像， 如图：可得a 是2,2xy e y x x ==-图像交点的横坐标；b 是1ln ,2y x y x==-图像交点的横坐标；c 是12,y y x x=-=图像交点的横坐标；即,,a b c 分别是图中点,,A C B 的横坐标. 由图像可得：a c b <<. 故选：C. 点评：本题主要考查了函数的性质问题以及函数的零点问题.属于中档题.5．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于y 轴对称，且函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，则不等式()(21)f x f x <-的解集为（） A ．1(,)(1,)3-∞⋃+∞B ．1(,1)(,)3-∞--+∞ C ．1(,1)3D ．1(1,)3--答案：A解题思路：函数图像关于y 轴对称，故函数在[)0,+∞上递增，由此得到21x x <-，两边平方后可解得这个不等式. 解：依题意，函数()f x 是偶函数，且()f x 在[)0,+∞上单调递增， 故()()()()()22212121f x f x f x f x x x <-⇔<-⇔<-23410x x ⇔-+>13x ⇔<1x >或，故选A. 点评：本小题主要考查函数的对称性，考查函数的单调性以及绝对值不等式的解法，属于中档题.6．函数11()ln(1)1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，若函数()()g x f x x a =-+只一个零点，则a 的取值范围是（） A ．(,0]{2}-∞⋃ B ．[0,){2}+∞-C ．(,0]-∞D ．[0,)+∞答案：A解题思路：将函数()()g x f x x a =-+只一个零点，等价于函数11()ln(1)1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩与函数y x a =-只有一个交点，作出函数11()ln(1)1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，利用数形结合法求解.解：作出函数11()ln(1)1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，如图所示：若函数()()g x f x x a =-+只一个零点，则函数11()ln(1)1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩与函数y x a =-只有一个交点， y x a =-与1x y e -=只有一个交点，则0a -≥，即0a ≤； y x a =-与ln(1)y x =-只有一个交点，则两图象相切，11y x '=-，令111y x '==-，解得2x =，所以切点为()2,0， 所以02a =-，解得2a =， 综上：a 的取值范围是{}(,0]2-∞⋃ 故选：A 点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系以及导数的几何意义应用，还考查了数形结合的思想方法，属于较难题.7．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断正确的是（）A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2y x =的图象向右平移6π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线512x π=对称C ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为D ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 答案：A解题思路：首先根据函数性质求函数的解析式()26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据平移规律判断选项A ，根据整体代入的方法和函数性质判断BCD 选项. 解：由函数的最大值可知A =T π=，则2ππω=，解得：2ω=，又函数关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则212k πϕπ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭， 解得：6k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ，所以函数()26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A.2y x =向右平移6π个单位后得到2263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222233266x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以A 正确； B.当512x π=时，52126πππ⨯+=，不是函数的对称轴，所以不正确； C.当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以函数在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，所以当6x π=-时，函数取得最小值22-，所以不正确； D.当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,622x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以应是函数的单调递减区间，所以不正确.故选：A 点评：本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，以及判断函数的性质，重点考查整体代入的方法，属于基础题型，本题的关键是正确求出函数的解析式. 8．已知2παπ<<，且3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（）A ．43310-- B ．43310+ C ．433- D ．33410- 答案：D 解题思路：2274,,cos 1sin 2366665ππππππαπααα⎛⎫⎛⎫<<∴<+<∴+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos cos cos cos sin sin 6636363πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4133433525210-+⎛⎫=-⋅+⋅=⎪⎝⎭选D9．已知函数()sin ,,03f x A x x R A πϕ⎛⎫=+∈>⎪⎝⎭，02πϕ<<，()y f x =的部分图像如图所示，,P Q 分别为该图像的最高点和最低点，点PR 垂x 轴于R ，R 的坐标为()1,0，若23PRQ π∠=，则()0f =（）A ．12B 3C ．3D 2答案：B 解题思路：解： 过Q 作QHx ⊥轴，设(1,),(,)P A Q a A -，由图象，得2π21)6π3a -==，即|1|3a -=，因为23PRQ π∠=，所以6HRQ π∠=，则3tan 3A QRH ∠==，即3A =，又(1,3)P 是图象的最高点，所以ππ12π32k ϕ⨯+=+，又因为02πϕ<<，所以π6ϕ=，则π3(0)3sin6f ==.故选B.10．《数学九章》中对“已知三角形三边长求三角形面积”的求法，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，具体求法是“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开平方得积”.若把这段文字写成公式，即2222221,42c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦现有周长225的ABC ∆满足)sin :sin :sin (21)521A B C =，用上面给出的公式求得ABC ∆的面积为（） A 3B 3C ．5 D 5答案：A解题思路：根据sinA ：sinB ：)21sinC =：5：()21，可得：a ：b ：)21c =：5：)21，周长为4225222a =，25b =222c =，带入S ，可得答案.解：由题意，sinA ：sinB ：)sinC 21=：5：()21，根据正弦定理：可得a ：b ：()21c =-：()5：()21+，周长为4225+，即4225a b c ++=+， 可得222a =-，25b =，222c =+，由2222221[)342c a b S c a ⎛⎤+-=-= ⎥⎝⎦， 故选A 点评：本题考查三角形的正弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题． 11．函数1ln sin 1ln xy x x-=⋅+的图象大致为()A ．B ．C ．D ．答案：A解题思路：设1ln ()sin 1ln xf x x x -=⋅+，由1ln 0x +≠得1x e≠±，则函数的定义域为1111(,)(,)(,)e e e e-∞-⋃-⋃+∞．∵1ln 1ln ()sin()sin ()1ln 1ln x x f x x x f x xx----=⋅-=-⋅=-+-+，∴函数()f x 为奇函数，排除D ． 又11e>，且(1)sin1>0f =，故可排除B ． 211e e<，且2222211ln11(2)11()sin sin 3sin 01121ln e f x e e e e---=⋅=⋅=-⋅<-+，故可排除C ．选A ．12．函数()log 11(0,1)a y x a a =-+>≠，图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0m >，0.n >则12m n+的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案：C解题思路：令对数的真数等于1，求得,x y 的值，可得函数的图象恒过定点A 的坐标，根据点A 在一次函数y mx n =+的图象上，可得12m n =+，再利用基本不等式求得12m n+的最小值． 解：解：对于函数()log 11(0,1)a y x a a =-+>≠，令11x -=，求得2x =，1y =，可得函数的图象恒过定点()2,1A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0m >，0.n >则有12m n =+，则122424448m n m n n m m n m n m n +++=+=++≥+=， 当且仅当4n mm n=时，取等号， 故12m n+的最小值是8， 故选C ． 点评：本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，以及基本不等式的应用，属于中档题． 二、填空题 13．若22cos ()422παβ--13sin()αβ=+-，,(0,)2παβ∈，则tan tan αβ=__________． 答案：2解题思路：因为22cos 422παβ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()13sin αβ=+-，所以1αβ2cos π⎛⎫+-- ⎪⎝⎭()13sin αβ=+-，()αβsin +()3sin αβ=-，αβsin cos 2cos sin αβ=，α2tan βtan =，即tan 2tan αβ=.14．在Rt ABC ∆中，2A π=，2AB =，AC =EF 在斜边BC 上运动，且1EF =，设EAF θ∠=，则tan θ的取值范围是__________．答案：解题思路：∵Rt ABC ∆中，2A π=，2AB =,23,4AC BC ==，∴tan 3ACB AB==∴3B π=．如图，建立平面直角坐标系，设BF m =,则[0,3]m ∈， ∴点,F E 的坐标分别为333(1)(2),(222m m m m +--， ∴3(1)3tan tan m mEAB FAB +∠=∠=, ∴2tan tan 3tan tan()1tan tan 3EAB FAB EAB FAB EAB FAB m m θ∠-∠=∠-∠==+∠∠-+， ∵[0,3]m ∈， ∴211394m m ≤-+≤， 3343≤≤tan θ的范围为343]．答案：343,911点睛：本题运用了解析法解题，通过代数运算求得所要的结果．解题时建立恰当的直角坐标系是解题的基础，在此基础上得到相关点的坐标，将tan θ转化为两角差的正切值是解题的关键，然后根据所得的结果，借助函数的知识求得tan θ的取值范围，本题的解法体现了转化思想在解题中的应用．15．已知函数229,1,()4,1,x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的取值范围是_________ 答案：2a ≥解题思路：1x >，可得()f x 在2x =时，最小值为4a +，1x ≤时，要使得最小值为()1f ，则()f x 对称轴x a =在1的右边，且()14f a ≤+，求解出a 即满足()f x 最小值为()1f . 解：当1x >，()44f x x a a x=++≥+，当且仅当2x =时，等号成立. 当1x ≤时，()229f x x ax =-+为二次函数，要想在1x =处取最小，则对称轴要满足1x a =≥并且()14+f a ≤，即1294a a -+≤+，解得2a ≥. 点评：本题考查分段函数的最值问题，对每段函数先进行分类讨论，找到每段的最小值，然后再对两段函数的最小值进行比较，得到结果，题目较综合，属于中档题. 16．已知函数()2xxf x e ex -=--，则不等式()()2430f x f x -+>的解集为________.答案：{}|14x x x ><-或解题思路：首先明确函数的单调性与奇偶性，然后借助性质把抽象不等式转化为具体不等式. 解：()'220x x f x e e -=+-≥=,∴函数()f x 在R 上位增函数， ∵()()2xx f x ee xf x --=-+=-，∴函数()f x 为奇函数，由()()2430f x f x -+>可得()()()2433f x f x f x ->-=-又函数()f x 在R 上为增函数， ∴243x x --＞，23x 4x ＞+-∴不等式()()2430f x f x -+>的解集为{}14x x x 或<-故答案为{}14x x x 或<- 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的奇偶性的应用，考查转化思想，属于中档题． 三、解答题17．设集合1242xA x⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭∣，{}2()0B x x b a x ab =+--≤∣. （1）若A B =且0a b +<，求实数,a b 的值；（2）若B 是A 的子集，且2a b +=，求实数b 的取值范围. 答案：（1）1a =-，2b =-，（2）01b ≤≤.解题思路：（1）求得集合,A B ,根据A B =，计算即可得出结果；（2）由2a b +=，可解得{}2B b x b =-≤≤-，由B 是A 的子集，根据集合关系列出不等式即可得出结果. 解： （1）{}124122x A xx x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭∣， ∵0a b +<，∴a b <-，∴()(){}{}|0 | B x x a x b x a x b =-+≤=≤≤-， ∵A B =，1a ∴=-，2b =-.（2）∵2a b +=，∴{}2B x b x b =-≤≤-， ∵B 是A 的真子集，∴1b -≥-且22b -≤， 解得01b ≤≤. 点评：本题考查集合相等和包含关系，考查不等式的求解集问题，属于基础题.18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos sin a A B=. ()1求角A 的值； ()2若ABC 的面积为a =ABC 的周长.答案：（1）3π；（2解题思路：(1)由cos a A =利用正弦定理得tan A ，再结合()0,A π∈得出A ；(2)由三角形面积公式可得12bc =，ABC 中，由余弦定理得b c +，从而可得结果． 解：(1)由正弦定理：sin sin a b A B =，可得sin sin a B b A=又因为cos a A =，所以cos a A =tan A =()0,A π∈，所以3A π=．(2)因为1sin 2ABCSbc A ===12bc =， ABC 中，由余弦定理，222222cos12143a b c bc b c π=+-=+-=，则2226b c +=，故222()226b c b c bc +=+-=，b c +=所以ABC 的周长为a b c ++= 点评：本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c aA bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19．已知R a ∈，函数()1xf x ae x =--，()()ln 1g x x x =-+（ 2.71828e =是自然对数的底数）.（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数；（Ⅱ）若1a =，且命题“[)0,x ∀∈+∞，()()f x kg x ≥”是假命题，求实数k 的取值范围.答案：（1）当0a ≤时，()f x 没有极值点，当0a >时，()f x 有一个极小值点.（2）1,解题思路：试题分析：（1）()xf x ae 1'=-，分a 0≤，a 0>讨论，当a 0≤时，对x R ∀∈，()x f x ae 10'=-<，当a 0>时()f x 0'=，解得x lna =-，()f x 在(),lna ∞--上是减函数，在()lna,∞-+上是增函数．所以，当a 0≤时，()f x 没有极值点，当a 0>时，()f x 有一个极小值点.（2）原命题为假命题，则逆否命题为真命题．即不等式()()f x kg x <在区间[)0,∞+内有解．设()()()F x f x kg x =-=()x e kln x 1++()k 1x 1-+-，所以()x k F x e x 1=++'()k 1-+，设()x k h x e x 1=++()k 1-+，则()()x 2k h x e x 1=-+'，且()h x '是增函数，所以()()h x h 0'≥'1k =-．所以分k 1≤和k>1讨论． 试题解析：（Ⅰ）因为()xf x ae x 1=--，所以()xf x ae 1'=-，当a 0≤时，对x R ∀∈，()xf x ae 10'=-<，所以()f x 在(),∞∞-+是减函数，此时函数不存在极值， 所以函数()f x 没有极值点；当a 0>时，()xf x ae 1'=-，令()f x 0'=，解得x lna =-，若()x ,lna ∞∈--，则()f x 0'<，所以()f x 在(),lna ∞--上是减函数， 若()x lna,∞∈-+，则()f x 0'>，所以()f x 在()lna,∞-+上是增函数， 当x lna =-时，()f x 取得极小值为()f lna lna -=， 函数()f x 有且仅有一个极小值点x lna =-，所以当a 0≤时，()f x 没有极值点，当a 0>时，()f x 有一个极小值点.（Ⅱ）命题“[)x 0,∞∀∈+，()()f x kg x ≥”是假命题，则“[)x 0,∞∃∈+，()()f x kg x <”是真命题，即不等式()()f x kg x <在区间[)0,∞+内有解.若a 1=，则设()()()F x f x kg x =-=()xe kln x 1++()k 1x 1-+-，所以()xk F x e x 1=++'()k 1-+，设()x kh x e x 1=++()k 1-+， 则()()x2kh x e x 1=-+'，且()h x '是增函数，所以()()h x h 0'≥'1k =-当k 1≤时，()h x 0'≥，所以()h x 在[)0,∞+上是增函数， ()()h x h 00≥=，即()F x 0'≥，所以()F x 在[)0,∞+上是增函数，所以()()F x F 00≥=，即()()f x kg x ≥在[)x 0,∞∈+上恒成立.当k 1>时，因为()()x2kh x e x 1=-+'在[)0,∞+是增函数， 因为()h 01k 0='-<，()h k 1'-=k 11e0k-->， 所以()h x '在()0,k 1-上存在唯一零点0x ，当[)0x 0,x ∈时，()()0h x h x 0''<=，()h x 在[)00,x 上单调递减， 从而()()h x h 00≤=，即()F x 0'≤，所以()F x 在[)00,x 上单调递减， 所以当()0x 0,x ∈时，()()F x F 00<=，即()()f x kg x <. 所以不等式()()f x kg x <在区间[)0,∞+内有解 综上所述，实数k 的取值范围为()1,∞+. 20．已知函数()x m f x a =（,m a 为常数，0a >且1a ≠）的图象过点()2,4A ，11,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求实数,m a 的值； （2）若函数()()()11f xg x f x -=+，试判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由.答案：（1）1m =，12a =；（2）奇函数，理由见解析. 解题思路：（1）代入两个点的坐标，解方程组可得结果.（2）根据（1）的条件可得()g x ，结合函数的定义域以及判断()g x -与()g x 的关系，简单判断即可. 解：（1）把()2,4A ，11,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入()xm f x a =， 得214,12ma m a -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1m =，12a =.（2）()g x 是奇函数. 理由如下：由（1）知()2xf x =，所以()()()121121x x f x g x f x --==++.所以函数()g x 的定义域为R .又()2122221222x x x x x x x xg x -----⋅--==+⋅+()2121x x g x -=-=-+， 所以函数()g x 为奇函数. 点评：本题考查函数解析式的求法以及函数奇偶性的判断，重在计算以及概念的考查，属基础题.21．已知函数32()(63)xf x x x x t e =-++，t R ∈． （1）若函数()y f x =有三个不同的极值点，求t 的值；（2）若存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，求正整数m 的最大值．答案：（Ⅰ）t 的取值范围是()8,24-；（Ⅱ）正整数m 的最大值为5．解题思路：试题分析：（Ⅰ）求出()y f x =的导函数，()f x 有3个极值点等价于方程323930x x x t --++=有3个根；令()32393g x x x x t =--++，根据()g x 的单调性可知()g x 有3个零点，则()()10{30g g -><，解出t 的取值范围即可；（Ⅱ）不等式()f x x ≤，即()3263x x x x t e x -++≤，分离参数得3263x t xe x x x -≤-+-．转化为存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式3263x t xe x x x -≤-+-恒成立；构造新函数，确定单调性，计算相应函数值的正负，即可求正整数m 的最大值． 试题解析：（Ⅰ）()()()()23232312363393x x x f x x x e x x x t e x x x t e =-++-++=--++'∵()f x 有3个极值点，∴323930x x x t --++=有3个根 令()()()()322393,369313g x x x x t g x x x x x =--++=--=+-'()g x 在()(),1,3,-∞-+∞上递增，()1,3-上递减．∴()g x 有3个零点，∴()()10{30g g -><，∴824t -<<（Ⅱ）不等式()f x x ≤，即()3263xx x x t e x -++≤，即3263x t xe x x x -≤-+-．转化为存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈， 不等式3263x t xe x x x -≤-+-恒成立．即不等式32063x xe x x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立． 即不等式2063x e x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立 设()263xx ex x ϕ-=-+-，则()26x x e x ϕ--'=-+．设()()26xr x x ex ϕ-==--+'，则，因为1x m ≤≤，有()0r x '<．故()r x 在区间[]1,m 上是减函数； 又()()()123140,220,30r er e r e ---=->=->=-<故存在()02,3x ∈，使得()()000r x x ϕ'==．当01x x ≤≤时，有()0x ϕ'>，当0x x >时，有()0x ϕ'<． 从而()y x ϕ=在区间[]01,x 上递增，在区间[)0,x +∞上递减 又()()()123140,250,360e e e ϕϕϕ---=+>=+>=+<，()()()456450,520,630e e e ϕϕϕ---=+>=+>=-<．所以当15x ≤≤时，恒有()0x ϕ>；当6x ≥时，恒有()0x ϕ<； 故使命题成立的正整数m 的最大值为5.【考点】1、导数的运算；2、利用导数研究闭区间上函数的极值和最值．【思路点晴】本题主要考查的是零点问题、实数的取值范围的求法、转化化归、函数与方程的数学思想方法，属于难题；利用导数知识把零点及实数的取值范围问题转化为闭区间上函数的极值和最值问题，此类问题的难点在于构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，得出极值与最值，从而达到解决问题的目的．22．已知某工厂每天的固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入为()21R 5004x x x =-+（元），()P x 为每天生产x 件产品的平均利润（平均利润=总利润/总产量）.销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售，()b a c a λ=+-，其中c 为最高限价()a b c <<，λ为该产品畅销系数.据市场调查，λ由当b a -是,c b c a --的比例中项时来确定.（1）每天生产量x 为多少时，平均利润()P x 取得最大值？并求出()P x 的最大值；（2）求畅销系数λ的值；（3）若600c =，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值.答案：（1）每天生产量为400件时平均利润最大，最大值为200元；（2）12λ-=；（3）400a =，3)b =. 解题思路：（1）先求出总利润＝21400400004x x -+-，依据（平均利润＝总利润/总产量）可得()1400004004P x x x =--+，利用均值不等式得最大利润； （2）由已知得b a c aλ-=-，结合比例中项的概念可得()()()2b ac b c a -=--，两边同时除以()2b a -将等式化为λ的方程，解出方程即可； （3）利用a =平均成本40000100x ⎛⎫+⎪⎝⎭+平均利润()p x ，结合厂家平均利润最大时（由（1）的结果）可得a 的值，利用()b a c a λ-=-可得b 的值. 解：（1）由题意得，总利润为2211500100400004004000044x x x x x -+--=-+-. 于是21400400001400004()4004x x P x x x x-+-==--+400200400200≤-+=-+= 当且仅当1400004x x=即400x =时等号成立. 故每天生产量为400件时平均利润最大，最大值为200元. （2）由()b a c a λ=+-可得b ac aλ-=-， 由b a -是,c b c a --的比例中项可知2()()()b a c b c a -=--， 即2()()1(1)()c b c a c a a b c a c a c ab a b a b a b a b a---+----==⋅=-⋅-----化简得111(1)λλ=-⋅，解得λ=. （3）厂家平均利润最大，生产量为400x =件.()1150040050040044R x a x x ==-+=-⨯+=.（或者4000040000100()100200400400a P x x =++=++=）代入()b a c a λ=+-可得3)b =+.于是400a =，3)b =. 点评：本题考查了函数与不等式综合的应用问题，均值不等式求最值，还考查了学生的分析理解能力，运算能力，属于中档题.。
安徽省滁州市定远县育才学校2021届高三上学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案
5.曲线 在点 处切线为 ，则 等于( )
A. B. C. 4 D. 2
6.函数 有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数 ，与函数 ，若 与 的图象上分别存在点 ，使得 关于直线 对称，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
8.设 均为正数，且 ， ， . 则（ ）
（2）设函数 ，若 在 上存在极值，求 的取值范围，并判断极值的正负.
19.已知定义在区间 上的函数 满足 ，且当 时， .
（1）求 的值；
（2）证明： 为单调增函数；
（3）若 ，求 在 上的最值.
20.已知函数 .
(1)若函数 的图象与 轴无交点，求的取值范围；
(2)若函数 在 上存在零点，求的取值范围.
1.C2.A3.D 4.B 5.C 6.D 7.B 8.D 9.A 10.B 11.A 12.D
13.
14.
15.
16.-2
17.(1) 1≤m≤2.(2) (﹣∞,1)∪(1,2].
解析：
(1)设 ，则 在[0，1]上单调递增，
∴ ．
∵对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立，
∴ ，即 ，
安徽省滁州市定远县育才学校2021届高三上学期第一次月考
数学（理）试题
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.设全集U＝R，集合A＝{x|y＝lgx}，B＝{x|﹣7＜2+3x＜5}，则∁U（A∪B）＝（ ）
A. {x|0＜x＜1}B. {x|x≤0或x≥1} C. {x|x≤﹣3}D. {x|x＞﹣3}
16.已知 是函数f（x）的导函数， ，则 ＝．
安徽省滁州市定远县育才学校2021届高三数学上学期第三次月考试题理
育才学校2021届高三上学期第三次月考试卷理科数学第I 卷 选择题 60分一、选择题(共12小题,每题5分,共60分) 1.全集为R ，集合，B ={x |x 2－6x +8≤0}，那么( )A. {x |x ≤0}B. {x |2≤x ≤4}C. {x |0≤x <2或x >4}D. {x |0<x ≤2或x ≥4}()f x 是概念在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，那么命题:P “12,x x R ∀∈，且12x x ≠， ()()12122017f x f x x x -<-〞是命题Q ：“x R ∀∈， ()2017f x '<〞的〔 〕A. 充分而没必要要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也必要条件()22e ,0{ 1,0e x xax x f x ax x +>=+<,假设函数()f x 有四个零点,那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. 4e ,16∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. (),e ∞-- C. 3e ,9∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D. 2e ,4∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭1F 、2F 别离是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右核心，假设椭圆C 上存在点A ，知足1223AF AF a -=，那么椭圆的离心率取值范围是〔 〕 A. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B. 1,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 2,15⎛⎫⎪⎝⎭D. 2,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ： 22221x y a b-=〔0a >， 0b >〕的两条渐近线彼此垂直， 1F ， 2F 别离为C 的左，右核心， P 点在该双曲线的右支上且到直线22x a =-的距离为32假设128PF PF +=，那么双曲线的标准方程为〔 〕 A. 22144x y -= B. 22188x y -= C. 2211616x y -= D. 以上答案都不对{}n a 中，假设5114a a =， 6128a a =，那么89a a =〔 〕A. 12B. 32C. 62D. 42 7.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边别离为,,a b c ，sin cos 1cos2CC C -=-，假设ABC ∆的面积()13sin 22S a b C =+= ，那么ABC ∆的周长为〔 〕 A. 275+ B. 75+ C. 273+ D. 73+()222sin 33,144x x f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭的图象大致是〔 〕 A. B. C. D.()2,1A -，点(),P x y 知足线性约束条件20,{10, 24,x y x y +≥-≤-≥ O 为坐标原点，那么OA OP ⋅的最小值是〔 〕A. 11B. 0C. 1-D. 5-10.在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度〔单位/mol L ，记作H +⎡⎤⎣⎦)和氢氧根离子的物质的量的浓度〔单位/mol L .，记作OH -⎡⎤⎣⎦〕的乘积等于常数1410-．pH 值的概念为lg pH H +⎡⎤=-⎣⎦，安康人体衄液的pH 值维持在7. 35~7. 45之间，那么安康人体血液中的H OH +-⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦可以为〔 〕(参考数据： lg20.30,lg30.48≈≈)A.12 B. 13 C. 16 D. 110()2x f x e x =+-， ()2ln 3g x x x =+-，假设实数a ， b 知足()0f a =， ()0g b =，那么〔 〕A. ()()0f b g a <<B. ()()0g a f b <<C. ()()0f b g a <<D. ()()0g a f b <<()231cos sin (0,)222wx f x wx w x R =+->∈，假设()f x 在区间(),2ππ内没有零点，那么w 的取值范围是〔 〕 A. 50,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 50,12π⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 50,6⎛⎤⎥⎝⎦D. ][55110,,12612⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦ 第II 卷 非选择题 90分二、填空题(共4小题,每题5分,共20分)2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右核心别离为12,F F ，焦距2c ，以右极点A 为圆心，半径为2a c +的圆过1F 的直线l 相切与点N ，设l 与C 交点为,P Q ，假设2PQ PN =，那么双曲线C 的离心率为__________．x θ=时，函数()3cos sin f x x x =-取得最小值，那么cos θ=________________.13| 24x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭知足()7a b b +⋅=， 3,2a b ==，那么向量1| 1 2A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭与{}|3,0 B x a x a a =<夹角为_________.的概念域为，假设对于任意，当时，恒有，那么称点为函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述概念，可取得的值为__________．三、解答题(共6小题 ,共70分) 17.〔10分〕()3sin cos 3f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 〔1〕求()f x 在[]0π，上的最小值； 〔2〕a ， b ， c 别离为ABC 内角A 、B 、C 的对边， 53b =， 3cos 5A =，且()1fB =，求边a 的长. 18. 〔12分〕在数列{}n a 中， 13a =， ()111n n n a na ++-=， *n N ∈. (1)证明数列{}n a 是等差数列，并求n a 的通项公式； (2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明： 16nT <. 19. 〔12分〕设向量()()()sin ,cos ,sin ,3cos ,3cos ,3sin a x x b x x c x x =-=-=，函数()()f x a c b =+⋅.〔1〕求()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域； 〔2〕0,0,0w k ϕπ，先将()y f x =的图象向右平移ϕ个单位长度，再把取得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1w，纵坐标不变，然后再把取得的图象向上平移k 个单位长度，取得()y g x =的图象，()y g x =的局部图象如下图，求k g w ϕ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 20. 〔12分〕如图，圆C 与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点,M N 〔点M 在点N 的下方〕，且3MN =．〔Ⅰ〕求圆C 的方程；〔Ⅱ〕过点M 任作一条直线与椭圆22184x y +=相交于两点A B 、，连接AN BN 、，求证： ANM BNM ∠=∠． 21. 〔12分〕如图抛物线2:2C y px =的核心坐标为(1,0)F ，过F 的直线交抛物线C 于A B ,两点，直线AO BO ,别离与直线m ：2x =-相交于M N ,两点． (1)求抛物线C 的方程；(2)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值． 22. 〔12分〕.〔1〕讨论的单调性；〔2〕假设有三个不同的零点，求的取值范围.参考答案. 14.31010-15.6π 16.17.(1) 当x π=时， ()min 12f x =-；(2) 8a = 解：〔1〕()sin 33cos cos 22x f x x x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭31sin cos sin 226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ∵7666x πππ≤+≤∴当x π=时， ()min 12f x =-； 〔2〕∵262x k πππ+=+， k Z ∈时， ()f x 有最大值， B 是三角形内角∴3B π=∵3cos 5A =∴4sin 5A = ∵正弦定理sin sin a b A B=∴8a = 18.〔1〕21n a n =+〔2〕观点析【解析】〔1〕由()111n n n a na ++-=，得()()12211n n n a n a +++-+=， 〔2分〕 两式相减，得()()()12221n n n n a n a a +++=++，即122n n n a a a ++=+， 〔4分〕 所以数列{}n a 是等差数列. 〔5分〕 由，得，所以， 〔6分〕故21n a n =+. 〔8分〕〔2〕因为()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，〔10分〕所以〔〕 〔12分〕19.〔1〕[]4,1--；〔2〕2.【解析】〔1〕因为()()f x a c b =+⋅ ()()sin 3cos ,cos 3sin sin ,3cos x x x x b x x =-+⋅=-3sin 2cos222sin 226x x x x π⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭，因为,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 224,16x π⎛⎫-+-∈-- ⎪⎝⎭.〔2〕由题意可知()sin 2226g x wx k πϕ⎛⎫=--+-+ ⎪⎝⎭，由图可知3k =， 由25222424w πππ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可得2w =， 再将点,324π⎛⎫-⎪⎝⎭代入，得2sin 22332466g πππϕ⎛⎫⎛⎫-=---+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得sin22sin 413x πϕ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 所以332sin 12cos 128233k g g w ϕππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 20.〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕详观点析【解析】〔1〕设圆的半径为r 〔0r >〕，依题意，圆心坐标为()2,r .∵3MN =，∴222322r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得2254r =.∴圆的方程为()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.〔2〕把0x =代入方程()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，解得1y =或4y =，即点()()0,1,0,4M N .〔i 〕当AB x ⊥轴时，可知0ANM BNM ∠=∠=.〔ii 〕当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为1y kx =+. 联立方程221{28y kx x y =++=，消去y 得， ()2212460k x kx ++-= 设直线AB 交椭圆于()()1122,,,A x y B x y 两点，那么12122246,1212k kx x x x k k --+==++. ∴∴ANM BNM ∠=∠.21.〔1〕x y 42=；〔2〕证明进程详观点析. 【解析】〔1〕由核心坐标为(1,0) 可知12p= 所以2=p ,所以抛物线C 的方程为x y 42= 5分 〔2〕当直线垂直于x 轴时，ABO ∆与MNO ∆相似，所以21()24ABO MNO OF S S ∆∆==, 7分 当直线与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为(1)y k x =-, 设)y 2,(M -M ，)y 2,(N -N ，),(11y x A ，),(22y x B ，解2(x 1),4,y k y x =-⎧⎨=⎩整理得2222(42)0k x k x k -++=， 9分 所以121=⋅x x , 10分121sin 121224sin 2ABO MNOAO BO AOBS x x AO BO S MO NO MO NO MON ∆∆⋅⋅⋅∠∴==⋅=⋅=⋅⋅⋅∠, 综上14ABO MNO S S ∆∆= 12分 22.(1)观点析(2) 【解析】〔1〕由的定乂域为，又，当时，恒成立； 当时，令得；令得. 综上所述，当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数. 〔2〕由题意，那么，当时，∵，∴在上为增函数，不符合题意.当时，， 令，那么.令的两根别离为且， 那么∵，∴，当时，，∴，∴在上为增函数；当时，，∴，∴在上为减函数；当时，，∴，∴在上为增函数. ∵，∴在上只有一个零点 1，且。
安徽省定远县育才学校2021届高三上学期第二次月考数学(理)试卷 含答案
＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是 sin B＝sin(A－B)．
又 A，B∈(0，π)，故 0＜A－B＜π，
所以 B＝π－(A－B)或 B＝A－B，
因此 A＝π(舍去)或 A＝2B，所以 A＝2B.
(2)解 由 S＝a2，得 1absin C＝a2，
42
4
故有 sin Bsin C＝1sin A＝1sin 2B＝sin Bcos B，
x∈
1 ，1 2a
时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
所以 f(x)在 x＝1 处取得极大值，符合题意 .
| 综上可知，实数 a 的取值范围为 a
a＞1 2
.
21. 解 f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b
＝
2asin
x＋π 4
＋a＋b.
理科数学
一、选择题 1． D 7． A
2． A 8. D
3． D 9． C
4． D 10. B
5. D 11． A
6． D 12． C
二、填空题
13． (0,3)
|a<x<1
15． x
a
14． f(x)＝x2－x＋1 16． 6
三、解答题
17.
(1)证明 由正弦定理得 sin B＋sin C＝2sin Acos B，故 2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B
2021 届高三上学期第二次月考
理科数学
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
安徽省定远育才学校2021届上学期高三年级第二次月考数学试卷(理科)
安徽省定远育才学校2021届上学期高三年级第二次月考数学试卷（理科）第I 卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知集合A ＝{|1<<3}，B ＝{|2m <<1－m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是（ ）2．若函数f （）＝2sin （∈）的图象在点⎪⎭⎫ ⎝⎛+132x x 3823733222PC PB PA + 4C3a 2253034251758253758253758253⎩⎨⎧>+-≤+,0,2,0,2x x x x ||||ln 2x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx f ⎪⎭⎫ ⎝⎛8πf 0.40.5⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ418118118171817⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 142a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2x a x 23n S 12a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 121212π2π2π2π4π2π4πa -1a-1xax a xa 223⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 49a ＝h （2）＝2， 所以a >2 19解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝4135=a a 又{a n }不是递减数列且a 1＝23，所以q ＝－21 故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝23×121-⎪⎭⎫⎝⎛-n＝（－1）n －1·n 23当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝23，当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以43＝S 2≤S n <1，所以数列{T n }的最大项的值为65，最小项的值为－127 20解：（1）由f ′（）＝ln －2a ＋2a ， 可得g （）＝ln －2a ＋2a ，∈（0，＋∞）， 所以g ′（）＝x 1－2a ＝xax21- 当a ≤0，∈（0，＋∞）时，g ′（）＞0，函数g （）单调递增； 当a ＞0，∈⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0时，g ′（）＞0，函数g （）单调递增，∈⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21a 时，g ′（）＜0，函数g （）单调递减．所以当a ≤0时，函数g （）的单调递增区间为（0，＋∞）；当a ＞0时，函数g （）的单调递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0， 单调递减区间为⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21a （2）由（1）知，f ′（1）＝0 ①当a ≤0时，f ′（）单调递增，所以当∈（0，1）时，f ′（）＜0，f （）单调递减， 当∈（1，＋∞）时，f ′（）＞0，f （）单调递增， 所以f （）在＝1处取得极小值，不符合题意； ②当0＜a ＜21，即a 21＞1时，由（1）知f ′（）在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0上单调递增．可得当∈（0，1）时，f ′（）＜0， 当∈⎪⎭⎫⎝⎛a 21,1时，f ′（）＞0 所以f （）在（0，1）上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛a 21,1上单调递增． 所以f （）在＝1处取得极小值，不符合题意； ③当a ＝21，即a21＝1时，f ′（）在（0，1）上单调递增， 在（1，＋∞）上单调递减，所以当∈（0，＋∞）时，f ′（）≤0，f （）单调递减，不符合题意； ④当a ＞21，即0＜a21＜1时， 当∈⎪⎭⎫⎝⎛1,21a 时，f ′（）＞0，f （）单调递增， 当∈（1，＋∞）时，f ′（）＜0，f （）单调递减． 所以f （）在＝1处取得极大值，符合题意 综上可知，实数a 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21a a 21解：f （）＝a （1＋cos ＋sin ）＋b ＝2a sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πx ＋a ＋b （1）当a ＝－1时，f （）＝－2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πx ＋b －1， 由2π＋2π≤＋4π≤2π＋23π（∈Z ），得2π＋4π≤≤2π＋45π（∈Z ），22．解：（1）每套丛书售价定为100元时，销售量为15－×100＝5（万套），此时每套供货价格为30＋510＝32（元），书商所获得的总利润为5×（100－32）＝340（万元）．（2）每套丛书售价定为元时，由⎩⎨⎧>>-,0,01.015x x解得0<<150依题意，单套丛书利润因为0<<150，所以150－>0，即＝140时等号成立， 此时，P ma ＝－20＋120＝100所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．。
安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高三下学期适应性考试(最后一卷)数学(理)试题
一、单选题1.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是A ．84B．C．D．2. 已知i 是虚数单位，a 为实数，且，则a ＝（ ）A ．2B ．1C ．-2D ．-13. 函数的图象大致是（ ）A． B．C． D．4. 已知，，，则（参考数据：）（ ）A．B．C．D．5. 如图，椭圆的左焦点为F ，点P 在y 轴上，线段交椭圆于点Q ．若，，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高三下学期适应性考试（最后一卷）数学（理）试题二、多选题三、填空题6. 已知，为平面的单位向量，且其夹角为，若，则的最大值为（ ）A．B．C．D．7.在平行四边形中，，，则（ ）A ．1B ．-1C ．9D ．-98.已知，则（ ）A．B．C．D．9. 已知函数的导函数为，则以下结论中，正确的是（ ）A ．是的对称中心B ．是增函数C．是偶函数D．最大值与最小值的和为210.已知声音是由物体振动产生的声波．其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是（ ）A ．是的一个周期B ．在上有7个零点C．的最大值为3D ．在上是增函数11.如图，正四棱柱中，，动点P 满足，且.则下列说法正确的是（）A ．当时，直线平面B．当时，的最小值为C ．若直线与所成角为，则动点P的轨迹长为D．当时，三棱锥外接球半径的取值范围是12. 中国仓储指数是基于仓储企业快速调查建立的一套指数体系，由相互关联的若干指标构成，它能够反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况.下图是2019年1月至2020年6月中国仓储业务量指数走势图，则下列说法正确的是（）A ．2019年全年仓储业务量指数的极差为24%B ．两年上半年仓储业务量指数均是2月份最低，4月份最高C ．两年上半年仓储业务量指数的方差相比，2019年低于2020年D ．2019年仓储业务量指数的中位数为59%四、解答题13. 已知平面凸四边形ABCD 的对角线分别为AC ，BD ，其中，，则________；若，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．14.已知等比数列满足，，则该数列的前5项的和为______________.15. 若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为________．16. 如图，已知两质点A ，B 同时从点P 出发，绕单位圆逆时针做匀速圆周运动，质点A ，B 运动的角速度分别为3rad/s 和5rad/s ，设两质点运动时这两质点间的距离为．(1)求的解析式；(2)求这两质点从点P 出发后第n次相遇的时间（单位：s ）．17.盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，测定结果整理成频率分布直方图如图所示，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和．(1)估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）(2)用频率估计概率，从这批种子（总数远大于）中选取粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发相互独立）．18.已知函数(1)讨论函数在（，）上极值点的个数；(2)当时，.其中为的导函数，求实数m 的取值范围.19. 已知函数的导函数为，函数.(1)求在上的最小值；(2)若数列满足，且，证明：20. 某集市上有摸彩蛋的游戏，在不透明的盒中装有9个大小､形状相同的彩蛋，其中黄色､红色､蓝色各3个.游戏规则如下：玩游戏者先交10元游戏费，然后随机依次不放回地摸3个彩蛋，根据彩蛋的颜色决定是否得到奖励，若摸到的3个彩蛋颜色都相同，获得奖金100元，若摸到3个彩蛋颜色各不相同，获得奖金10元，其他情况没有奖励.(1)记某游戏者第一次摸到黄色彩蛋为事件，该游戏者这次游戏获奖100元为事件，求，并判断事件是否相互独立；(2)判断是否应该玩这个游戏，并说明理由.21. 2020年12月29日至30日，全国扶贫开发工作会议在北京召开，会议指出经过各方面的共同努力，中国现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部退出，脱贫攻坚目标任务如期全面完成.2021年是“十四五”规划开局之年，是巩固拓展脱贫攻坚成果、实现同乡村振兴有效衔接的起步之年．要按照中共中央国务院新决策新部署，把巩固拓展脱贫攻坚成果摆在头等重要位置来抓，推动脱贫攻坚政策举措和工作体系逐步向乡村振兴平稳过渡，用乡村振兴巩固拓展脱贫攻坚成果，坚决守住脱贫攻坚胜利果实，确保不出现规模性返贫，确保实现同乡村振兴有效衔接，确保乡村振兴有序推进．北方某刚脱贫的贫困地区积极响应，根据本地区土地贫瘠，沙地较多的特点，准备大面积种植一种叫做欧李的奇特的沙漠果树，进行了广泛的宣传．经过一段时间的宣传以后，为了解本地区广大农民对引进这种沙漠水果的理解程度、种植态度及思想观念的转变情况，某机构进行了调查研究，该机构随机在该地区相关人群中抽取了600人做调查，其中45岁及以下的350人中有200人认为这种水果适合本地区，赞成种植，45岁以上的人中赞成种植的占．（1）完成如下的2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“赞成种植与年龄有关”？赞成种植不赞成种植合计45岁及以下45岁以上合计（2）为了解45岁以上的人的想法态度，需要在已抽取45岁以上的人中按种植态度（是否赞成种植）采用分层抽样的方法选取5位45岁以上的人做调查，再从选取的5人中随机抽取2人做深度调查，求2人中恰有1人“不赞成种植”的概率．附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式为：。
安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高三下学期适应性考试(最后一卷)数学(理)试题
一、单选题二、多选题1. 命题“”的否定是（ ）A．B．C．D．2. 复数在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ）A．B．C．D．4.已知集合则=A．B．C．D．5. 下列函数是奇函数的是（ ）A．B．C．D．6.设向量与的夹角为，定义，已知，，则（ ）A．B．C．D．7.已知集合，则集合中的元素个数为A ．5B ．4C ．3D ．28. 已知定点及抛物线：,过点作直线与交于，两点,设抛物线的焦点为,则面积的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59. 已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）A ．当时，曲线为椭圆，其焦距为B ．当时，曲线为双曲线，其离心率为C ．存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线D ．当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切10. 如图，在多面体中，四边形，，均是边长为1的正方形，点在棱上，则（）A．该几何体的体积为B ．点在平面内的射影为的垂心C．的最小值为D ．存在点，使得11. 已知和是定义在上的函数，若存在区间，且，则称与在上同步.则（ ）安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高三下学期适应性考试（最后一卷）数学（理）试题安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高三下学期适应性考试（最后一卷）数学（理）试题三、填空题四、解答题A ．与在上同步B．存在使得与在上同步C ．若存在使得与在上同步，则D ．存在区间使得与在上同步12. 在平面直角坐标系中，，点是圆上的动点，则（ ）A．当的面积最大时，点的坐标为B．C ．若点不在轴上，则平分D ．当直线与圆相切时，13. 设随机变量，则______.14. 方程在区间上的所有解的和等于___________.15. 已知椭圆的左焦点为F ，离心率为，过F 的直线l 交椭圆于A ，B两点，且，则直线l 的斜率为_________________.16. 已知函数（､）．(1)当a =2，b =0时，求函数图象过点的切线方程；(2)当b =1时，既存在极大值，又存在极小值，求实数a 的取值范围；(3)当，b =1时，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数k 的取值范围．17. 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，且AC =AB =AA 1=2．(1)求证A 1B ⊥B 1C ；(2)M 、N 分别为棱CC 1、BC 的中点，点P 在线段A 1B 1上，是否存在点P ，使平面PMN 与平面ABC所成角的余弦值为，若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．18.已知是递增的等差数列，，是方程的根.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.19.记为正项数列的前项积，且.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.20. 如图，在四棱锥中，侧面PAD 是边长为2的正三角形，平面平面PBC ，E 是AD的中点，，，.(1)证明：平面PBC；(2)求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值.21. 全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续天监测空气质量指数，数据统计如下：空气质量指数空气质量等级空气优空气良轻度污染中度污染重度污染天数(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出的值，并完成频率分布直方图：(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；(3)在空气质量指数分别为和的监测数据中，用分层抽样的方法抽取天，从中任意选取天，求事件“两天空气都为良”发生的概率.。
安徽省滁州市定远育才学校2021届上学期高三年级第三次月考数学试卷(理科)
安徽省滁州市定远育才学校2021届上学期高三年级第三次月考数学试卷（理科）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 1.已知集合，集合，则A. B.C.D.2.在中，角、、的对应边分别为，，，条件：，条件：，那么条件是条件成立的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3.已知实数满足，则下列关系式中恒成立的是（ ）A.B.C. D.4.两等差数列，的前n 项和分别为，，且，则）A. B.C.D. 25.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在上的最小值为（ ） A.B.C.D. 06.已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为A.B. 2C.D.7.函数()ln sin f x x x =+（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象大致是（ ）A. B. C. D.8.在ABC ∆中，点是边BC 上任意一点，M 是线段的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A.12 B. 12- C. 2 D. 2- 9.函数，图象恒过定点A ，若点A 在一次函数的图象上，其中，则的最小值是A. 6B. 7C. 8D. 910.已知函数()21,0,{ ,0.x x f x cosx x +>=≤则下列结论正确的是 ( )A. ()f x 是偶函数B. ()f x 在(),-∞+∞上是增函数C. ()f x 是周期函数D. ()f x 的值域为[)1,-+∞ 11.定义在上的偶函数在上递增，，则满足的的取值范围是( ) A.B.C.D.12.已知函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（ ） A. 要得到函数的图象只将的图象向右平移个单位B. 函数的图象关于直线对称C. 当时，函数的最小值为D. 函数在上单调递增二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知实数满足则的最大值为__________．14.函数在上的单调递减区间为________．15.数列{}n a 满足：()()211211n n n na n a n a ++++=+-，11a =，26a =，令•cos 2n n n c a π=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，则4n S =__________．16.某市家庭煤气的使用量和煤气费(元)满足关系()(),0{,C x Af x C B x A x A<≤=+->已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了320m 的煤气，则其煤气费为____元. 三、解答题（共6小题，共70分）17.（10分）在中，角所对的边分别为，且．1求角的值； 2若的面积为，且，求的周长．18.（12分）已知，函数，（是自然对数的底数）. （Ⅰ）讨论函数极值点的个数；（Ⅱ）若，且命题“，”是假命题，求实数的取值范围.19.（12分）已知数列为等比数列，首项，数列满足，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.20.（12分）若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x 1，在其定义域内都存在唯一的x 2，使f(x 1)f(x 2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．(1) 判断函数g(x)=2x 是否为“依赖函数”，并说明理由；(2) 若函数f(x)=(x –1)2在定义域[m ，n](m>1)上为“依赖函数”，求实数m 、n 乘积mn 的取值范围；(3) 已知函数f(x)=(x –a)2 (a<43)在定义域[43，4]上为“依赖函数”．若存在实数x ∈[43，4]，使得对任意的t ∈R ，有不等式f(x)≥–t2+(s –t)x+4都成立，求实数s 的最大值．21.（12分）已知函数()2π2cos sin 26f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若ABC ∆的边角满足()32f A =，2b c +=，求边长a 的取值范围．22.（12分）已知函数．（1）讨论函数 的单调性；（2）若曲线上存在唯一的点，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的取值范围．安徽省滁州市定远育才学校2021届上学期高三年级第三次月考数学试卷（理科）参考答案1.A2.A3.D4.C5.A6.B7.C8.B9.C 10.D 11.B 12.A 13、5 14、15、16n2+6n 16、11.517. 【解】()由正弦定理：，可得又因为，所以，，因为，所以．2因为，所以，中，由余弦定理，，则，故，所以的周长为．18. 解：（Ⅰ）因为，所以，当时，对，，所以在是减函数，此时函数不存在极值，所以函数没有极值点；当时，，令，解得，若，则，所以在上是减函数，若，则，所以在上是增函数，当时，取得极小值为，函数有且仅有一个极小值点，所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.（Ⅱ）命题“，”是假命题，则“，”是真命题，即不等式在区间内有解.若，则设，所以，设，则，且是增函数，所以，当时，，所以在上是增函数，，即，所以在上是增函数，所以，即在上恒成立.当时，因为在是增函数，因为，，所以在上存在唯一零点，当时，，在上单调递减，从而，即，所以在上单调递减，所以当时，，即.所以不等式在区间内有解。
安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高三下学期开学考试数学(理)试题
安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高三下学期开学考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．若,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，则函数f (x )的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．点,0π⎛-⎫⎪是函数f （x ）图象的一个对称中心A ．该村2020年总收入是2018年总收入的3倍B ．该村近三年养殖业收入不变A ．tan tan tan tan l αβαβ-B ．(tan tan l D ．(tan tan l 11．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数16，；第五次取5个连续奇数172，4，5，7，9，10，12，14，A ．3976B ．397412．已知P 为抛物线2:2E y =22430x x y -++=上一动点，若A ．5B ．4二、填空题13．已知向量(4,5),(a b =-=- 14．已知函数()f x 满足：当1x ≤当1x >时，()log (1)a f x x =-（至少有3对，有如下四个命题：①值范围为(2,)+∞．④()f x 在区间16．在平面直角坐标系xOy 中，动直线为C ．若直线l 与轨迹C 交于点平方的取值范围为．三、解答题17．已知数列{}n a 中，121,a a =数列.(1)求k 的值和{}n a 的通项公式；(2)设*3212log ,N n n na b n a +=∈，求数列18．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”､“不合格“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，示：等级不合格合格。
安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高一下学期第三次月考数学(理)试题
育才学校2020-2021学年度第二学期第三次月考高一理科数学一．选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.下列说法中正确的个数是( )①单位向量都平行； ②若两个单位向量共线，则这两个向量相等； ③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ④有相同起点的两个非零向量不平行；⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量． A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 2.命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ”( )A ． 总成立B ． 当a ≠0时成立C ． 当b ≠0时成立D ． 当c ≠0时成立3.已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等，方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列命题错误的是( ) A ．C ⊆A B ．A ∩B ＝{a } C ．C ⊆B D ．A ∩B ⊇{a }4.以下选项中，都是向量的是( )A ． 正弦线、海拔B ． 质量、摩擦力C ． △ABC 的三边、体积D ． 余弦线、速度5.设a ，b 为基底向量，已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a －kb ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2a ＋b ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝3a －b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于( ) A ． 2 B ． －2 C ． 10 D ． －106.在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DE ∥BC 且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC 的中点，AM 与DE 相交于点N ，若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋y AC⃗⃗⃗⃗⃗ (x ，y ∈R )，则x ＋y 等于( )A ． 1B ．12C ．14D ．187.如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋k AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ＋k 等于( ) A ． 1＋√2 B ． 2－√2 C ． 2 D ．√2＋28.已知向量a ＝(32，sin α)，b ＝(sin α，16)，若a ∥b ，则锐角α为(A ． 30°B ． 60°C ． 45°D ． 75° 9.与a ＝(12,5)平行的单位向量为( )A ． (1213，－513) B ． (－1213，－513)C ． (1213，513)或(－1213，－513) D ． (±1213，±513) 10.在△ABC 中，若N 是AC 上一点，且CN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝3NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P 在BN 上，并满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝311AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为( ) A ．911 B ．511C ．311 D ．211 11.设O 点是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( ) ①AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ；②DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；③CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；④OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . A ． ①② B ． ①③ C ． ①④ D ． ③④12.设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋MA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋MA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋MA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0成立的点M 的个数为( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 4 二．填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②向量的模一定是正数； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上． 其中真命题的序号是________．14.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝________.(用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示)15.如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋μAF⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.16.在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝2，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝________. 三、解答题(共6小题,合计70分)17.已知向量a ，b .(1)计算：6a －[4a －b －5(2a －3b )]＋(a ＋7b )；(2)把满足3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b 的向量x ，y 用a ，b 表示出来．18.平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题： (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .19.如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |∶|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |∶|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝3∶k ∶1，求实数k 的取值范围．20.已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(4,3)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R )，求λ与y 的值．21.已知向量u ＝(x ，y )与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示． (1)证明：对任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (ma ＋nb )＝mf (a )＋nf (b )成立；(2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )及f (b )的坐标； (3)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 是常数)的向量c 的坐标．22.过原点O 的直线与函数y ＝log 8x 的图象交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴的垂线交函数y ＝log 2x 的图象于C ，D 两点．求证：O ，C ，D 三点在一条直线上．答案解析1.【答案】A【解析】①错误，因为单位向量的方向可以既不相同又不相反；②错误，因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反；③正确，因为零向量与任意向量共线，所以若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；④错误，有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量；⑤正确，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量． 2.【答案】C【解析】当b ＝0时，不一定成立，因为零向量与任何向量都平行． 3.【答案】B【解析】因为A ∩B 是由与a 共线且与a 的模相等的向量构成的集合，即由与a 的模相等且方向相同或相反的向量构成的集合，所以A ∩B ＝{a }是错误的． 4.【答案】D【解析】三角函数都是既有大小又有方向的量，所以正切线、余弦线、正弦线等都是向量．海拔、质量、△ABC 的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，故选D. 5.【答案】A【解析】AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(a －kb )＋(－2a －b )＋(3a －b )＝2a －(k ＋2)b ， ∵A ，B ，D 三点共线，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即a －kb ＝λ[2a －(k ＋2)b ]＝2λa －λ(k ＋2)b . ∵a ，b 为基底向量，∴{2λ=1，k =λ(k ＋2)，解得λ＝12，k ＝2. 6.【答案】C【解析】AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝12(14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝18AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋18AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x ＝y ＝18，即x ＋y ＝18＋18＝14. 7.【答案】A【解析】AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋√22(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝(1＋√22)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋√22AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .又AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋k AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线， ∴k ＝1＋√22，λ＝√22，则λ＋k ＝1＋√2.8.【答案】A【解析】∵a ∥b ，∴sin 2α＝32×16＝14， ∴sin α＝±12.∵α为锐角，∴α＝30°. 9.【答案】C【解析】设所求向量为(x ，y )，由题意得{5x −12y =0，√x 2+y 2=1， 解得x ＝1213，y ＝513或x ＝－1213，y ＝－513. 10.【答案】D【解析】∵CN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝3NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ －AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵点P 在BN 上，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴存在实数λ，使BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ(14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ(14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝(1－λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝311AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，∴{1−λ=311，λ4=m ，∴{λ=811，m =211.11.【答案】B【解析】只要是平面上不共线的两个向量都可以作为基底，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是不共线向量． 12.【答案】B【解析】在平面上任取不共线的四点A 1，A 2，A 3，A 4，如图(1)．根据向量加法的平行四边形法则，要使所给的四个向量的和为零向量，则点M 必须在四边形的两组对边的中点连线上，即点M 是这两条直线的交点，如图(2). 因为两相交直线有且只有一个交点，所以在平面上有且只有一个点满足四个向量的和为零向量，故选B.13.【答案】③【解析】①错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系；②错误.0的模|0|＝0；③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 必须在同一直线上． 14.【答案】(1－t )OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋t OB⃗⃗⃗⃗⃗ 【解析】AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ －OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝t (OB ⃗⃗⃗⃗⃗ －OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋t OB ⃗⃗⃗⃗⃗ －t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－t )OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋t OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 15.【答案】43【解析】设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12a ＋b ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ＋12b ， ∴a ＝43AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ＝43AE ⃗⃗⃗⃗⃗ －23AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴a ＋b ＝23(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AF⃗⃗⃗⃗⃗ )． 又∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ＋b ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝23(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即λ＝μ＝23， ∴λ＋μ＝43.16.【答案】(−√105，3√105)【解析】如图，已知A (0,1)，B (－3,4)，设E (0,5)，D (－3,9)，∴四边形OBDE 为菱形． ∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD . 设C (x 1，y 1)，|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝3√10，∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝3√10⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(x 1，y 1)＝3√10(－3,9)＝(−√105，3√105)， 即OC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−√105，3√105).17.【答案】解 (1)原式＝6a －(4a －b －10a ＋15b )＋a ＋7b ＝6a －(－6a ＋14b )＋a ＋7b ＝6a ＋6a －14b ＋a ＋7b ＝13a －7b . (2){3x －2y ＝a ，①－4x ＋3y ＝b ，①①×4＋②×3，得(12x －8y )＋(－12x ＋9y )＝4a ＋3b ，即y ＝4a ＋3b ，代入①式，得x ＝13(a ＋2y )＝13(a ＋8a ＋6b )＝3a ＋2b ， ∴x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .18.【答案】解 (1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1) ＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝mb ＋nc ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )． ∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89.(3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.【解析】19.【答案】解 (1)∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗ －AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AC ⃗⃗⃗⃗⃗ －AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ －AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ －AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，化为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |∶|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |∶|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |＝3∶k ∶1， ∴不妨取|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝3，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝k ，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |＝1，设∠BAC ＝θ. 由(1)可得k 2＝|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2＝19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2＋49AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2＋49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝19＋49×32＋49×1×3cos θ＝37+12cosθ9，∵－1<cos θ<1，∴259<37+12cos ①9<499，解得53<k <73， ∴实数k 的取值范围是(53,73).【解析】20.【答案】解 (1)设B (x 1，y 1)，因为①①⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(4,3)，A (－1，－2)， 所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，所以{①1+1=4，①1+2=3，所以{①1=3，①1=1，所以B (3,1)．同理可得D (－4，－3)．设BD 的中点M (x 2，y 2)， 则x 2＝3−42＝－12，y 2＝1−32＝－1，所以M (－12，－1)．(2)由①①⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )， ①①⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)， 又①①⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ①①⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R )， 所以(1,1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)， 所以{1=−7①，1−①=−4①，所以{①=−17，①=37.【解析】21.【答案】(1)证明 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则ma ＋nb ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，∴f (ma ＋nb )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，mf (a )＋nf (b ) ＝m (a 2,2a 2－a 1)＋n (b 2,2b 2－b 1)， ＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)． ∴f (ma ＋nb )＝mf (a )＋nf (b )成立． (2)解 f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)， f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(3)解 设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )， ∴y ＝p,2y －x ＝q ，∴x ＝2p －q ， 即向量c ＝(2p －q ，p )．- 7 -22.【答案】证明 设A (x 1，log 8x 1)，B (x 2，log 8x 2)， 则①①⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x 1，log 8x 1)，①①⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x 2，log 8x 2)， 根据已知①①⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与①①⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 所以x 1log 8x 2－x 2log 8x 1＝0. 又根据题设条件可知C (x 1，log 2x 1)，D (x 2，log 2x 2)， 所以①①⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x 1，log 2x 1)，①①⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x 2，log 2x 2)． 因为x 1log 2x 2－x 2log 2x 1＝x 1log 23①23－x 2log 23①13 ＝3(x 1log 8x 2－x 2log 8x 1)＝0， 所以①①⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与①①⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，又①①⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与①①⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点O ，所以O ，C ，D 三点在一条直线上．。
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育才学校2021届高三下学期3月月考试卷理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.若全集U=R.集合A={x|−2≤x≤3}，B={x|x<−1或x>4}，则A∩(∁U B)=()A. {x|−2≤x<4}B. {x|x≤3或x≥4}C. {x|−2≤x<−1}D. {x|−1≤x≤3}2.已知复数z满足|z|=1，则|z+1−2i|的最小值为()A. √5−1B. √5C. 3D. 23.若sin(α−π6)=23，则cos(α+π3)的值为()A. 23B. −√53C. 13D. −234.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=−f(x),f(1)=1，则f(1)+f(2)+⋯+f(2019)=()A. −1B. 0C. 1D. 20195.已知F1，F是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A. √7B. 4C. 2√33D. √36.执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是()A. 8；B. 5；C. 3；D. 27.已知l,m,n表示两条不同的直线，α,β,γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；②m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；③m//n,n⊥β,m//α⇒α⊥β；④若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l//γ,，则m//n.其中正确的命题个数有()A. 1B. 2C. 3D. 48.已知a=2−12，b=log1315，c=log314，则（）A. a<b<cB. c<a<bC. a<c<bD. b<a<c9.在(x2−1√x3)n的展开式中，第5项与第7项的二项式系数相等，则n等于（）A. 9B. 10C. 11D. 1210.已知非零向量a⃗,b⃗ ,c⃗满足a⃗+b⃗ +c⃗=0，向量a⃗,b⃗ 的夹角为，且|b⃗ |=2√33|a⃗|，则向量a⃗与c⃗的夹角为()A. 60∘B. 90∘C. 120∘D. 150∘11.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完。
这样，每日剩下的部分都是前一日的一般。
如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么每日剩下的部分所构成的数列的通项公式为()A. a n=12n B. a=(12)n−1 C. a=(12)n D. a=2n12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)，x=−π4为f(x)的零点，x=π4为y=f(x)图象的对称轴，且f(x)在(π18,5π36)上单调，则ω的最大值为( )A. 11B. 9C. 7D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.设x，y满足约束条件{x−y+1≥0x+y+1≥0x−3≤0，则当z=2x+y取得最大值时，y=______．14.若函数f(x)=2ax−bx +4lnx在x=1与x=13处都取得极值，则a+b=________；15.在数列{a n}中，a1=3，a n+1=a n+1n(n+1)，则通项公式a n=______．16.抛物线x2=2py(p>0)上的点到直线y=x−5的最短距离为√2，则正数p的值为_____________________。
三、解答题(本大题共6小题,共70分。
其中22、23为选考题。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)17.（12分）中华人民共和国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数(PMI)为49.8％，反映出中国制造业扩张步伐有所加快．以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等位代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了目前中国制造的飞跃式发展．已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量服从正态分布N(μ,σ2)，并把质量在(μ−σ,μ+σ]内的产品称为优等品，质量在(μ+σ,μ+2σ]内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得产品质量的样本数据统计如下．(1)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，记质量X～N(μ,σ2)，求μ的近似值以及该企业生产的产品为正品的概率P；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(2)假如企业包装时要求把2件优等品和3件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出2件产品进行检验，记摸出2件产品中优等品的件数为Y，求Y的分布列以及数学期望．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+ 2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973．18.（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3sinA=tanB+tanC．cosC(Ⅰ)求角B的余弦值；(Ⅱ)若b=4，当△ABC的周长最大时，求△ABC的面积．19.（12分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D是AC的中点，A1D⊥AC，AC=AA1=A1B，AB=BC．(1)证明：B1C//平面A1BD；(2)若AB=√2，AC=2，求B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值．20.（12分）已知椭圆L：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，点(2,√2)在L上．(Ⅰ)求L的方程；(Ⅱ)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：OM 的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．21.（12分）已知函数f(x)=e x−alnx(a∈R,a>0)．(1)若a=e，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)≥a(2−lna)．22.（10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+cos α,y =2+sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y =√3x.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA|+1|OB|．23.（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x +a|+|x −2|(a ∈R)． (1)当a =0时，解不等式f(x)>3x +4；(2)已知a >0，b >0，f(x)的最小值为m ，且m +b =3，求1a +1b 的最小值．答案1.D2.A3.D4.B5.A6.C7.C8.B9.B 10.B 11.C 12.B 13.4 14.−52 15.4−1n 16.6 17.解:(1)由题意,x =0.010×10×46+562+0.020×10×56+662+0.045×10×66+762+0.020×10×76+862+0.005×10×86+962=70,即μ≈70，样本方差s 2=100,故σ≈√s 2=10,所以X ~N (70,102),所以该企业生产的产品为正品的概率P =P (60< X ≤90)=P (60< X ≤70)+P (70< X ≤90) =12×(0.6827+0.9545)=0.8186.（2）由题意,随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2, 则P (Y =0)=C 20C 32C 52=310,P (Y =1)=C 21C 31C 52=35,P (Y =2)=C 22C 30C 52=110,所以E (Y )=0×310+1×35+2×110=45.18.解：(Ⅰ)依题意，3sinAcosC =tanB +tanC ，所以3sinA−sinCcosC=sinBcosB ，即3sin Acos B =sin Ccos B +sin Bcos C ， 所以3sin Acos B =sin(B +C)=sin A ． 因为A 是三角形的内角，所以sin A ≠0， 所以cosB =13． (Ⅱ)因为b =4，cosB =a 2+c 2−b 22ac =13，即(a +c)2−2ac −16=2ac 3，所以(a +c)2−16=8ac 3≤23(a +c)2，当且仅当a =c 时等号成立，所以a +c ≤4√3，当且仅当a =c =2√3时等号成立． 又cosB =13，所以sinB =2√23，所以当△ABC 的周长最大时，S △ABC =12acsin B =12×2√3×2√3×2√23=4√2．19.(1)证明：连接AB 1，AB 1∩A 1B =E ，再连接DE ．因为侧面ABB 1A 1是平行四边形，所以E 是AB 1的中点．又D 是AC 的中点，故DE // B 1C . 因为DE ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ， 所以B 1C //平面A 1BD ．(2)解：连接A 1C ，由已知AC =AA 1=2，D 是AC 的中点，A 1D ⊥AC ， 可知△A 1AC 是边长为2的等边三角形，故A 1D =√3． 又因为AB =BC =√2，AC =2，因此△ABC 是直角三角形， 所以BD =1.又A 1B =2，故A 1B 2=A 1D 2+BD 2， 所以A 1D ⊥BD ．又AC ∩BD =D ，AC ，BD ⊂平面ABC ， 所以A 1D ⊥平面ABC ．考虑到BD ⊥AC ，故以D 为坐标原点，射线DB 、DC 、DA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ．则A(0,−1,0)，B(1,0，0)，C(0,1，0)，A 1(0,0,√3)， 进而有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√3)， 设平面ABB 1A 1的一个法向量为n ⃗ =(x 0,y 0,z 0)， 由{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{x 0+y 0=0−x 0+√3z 0=0, 令z 0=−1，得n ⃗ =(−√3,√3,−1)．而B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,0)+(0,1,−√3)=(−1,0,−√3)， 设B 1C 与平面ABB 1A 1所成角为α，sin α=|cos <n ⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅B 1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||B 1C|=√3√7×2=√217， 所以B 1C 与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为√217．20.(Ⅰ)解：抛物线y 2=8x 的焦点为(2,0)，由题意可得c =2，即a 2−b 2=4， 又点(2,√2)在L 上，可得4a 2+2b 2=1， 解得a =2√2，b =2， 所以椭圆L 的方程为x 28+y 24=1；(Ⅱ)证明：设直线l 的方程为y =kx +b(k,b ≠0)， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 将直线y =kx +b 代入椭圆方程x 28+y 24=1，可得(1+2k 2)x 2+4kbx +2b 2−8=0，x 1+x 2=−4kb 1+2k ，所以AB 的中点M 的横坐标为−2kb1+2k 2，纵坐标为−k ⋅2kb1+2k 2+b =b1+2k 2，直线OM 的斜率为k OM =y M−0x M−0=−12k ，所以k OM ⋅k =−12，则OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．21.(1)解：a =e 时，函数f(x)=e x −elnx.x ∈(0,+∞)．f′(x)=e x −ex =xe x −e x．令g(x)=xe x ，则g′(x)=(x +1)e x >0， ∴函数g(x)在x ∈(0,+∞)上单调递增． 又g(1)=e ．∴x ∈(0,1)时，f′(x)<0，此时单调递减；x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，此时单调递增． ∴函数f(x)的单调递减为(0,1)；单调递增为(1,+∞)． (2)证明：f′(x)=e x−ax=xe x −a x．由(1)可知：f(x)在x ∈(0,+∞)上必有唯一零点，设为x 0，则x 0e x 0=a ．当x ∈(0,x 0)时，f′(x)<0，此时单调递减；x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，此时单调递增． ∴f(x)≥f(x 0)=e x 0−alnx 0． 由x 0e x 0=a ，可得：e x 0=ax 0，lnx 0+x 0=lna ． ∴f(x)≥f(x 0)=a x 0+ax 0−alna ≥2a −alna ．∴f(x)≥a(2−lna)．22.解：(1)消去参数α，得曲线C 1的普通方程为(x −2)2+(y −2)2=1，则C 1的极坐标方程为ρ2−4ρcos θ−4ρsin θ+7=0． 由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3， 故其极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)； (2)由，得ρ2−(2√3+2)ρ+7=0， 故ρ1+ρ2=2√3+2，ρ1ρ2=7， 所以1|OA|+1|OB|=|OA|+|OB||OA|⋅|OB|=ρ1+ρ2ρ1ρ2=2√3+27．23.解：(1)当a =0时，f(x)=|x|+|x −2|={−2x +2,x ⩽02,0<x <22x −2,x ⩾2,则f(x)>3x +4等价于{−2x +2>3x +4x ⩽0 或{2>3x +40<x <2或{2x −2>3x +4x ⩾2, 解得x <−25，所以不等式f(x)>3x +4的解集为{x|x <−25}； (2)因为f(x)=|x +a|+|x −2| ≥|(x +a)−(x −2)|=|a +2|=a +2， 所以m =a +2，所以m +b =a +2+b =3，即a+b=1，1 a +1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba +ab≥2+2√ba·ab=4，当且仅当a=b=12时等号成立，故1a +1b的最小值为4．。