算法分析与设计

例子：[伪定理] 所有马都只有一种颜色。
证明：任何一个马的集合都只有一种颜色
=>所有马只有一种颜色。
设H为任何一个马的集合，对H中马数量n归纳：
1)n=0，H
成立；n=1，显然成立。
2)设H中的马为h1, h2, … hn，由于任意n-1匹马的集合有唯
一的颜色，那么 H1
h2 h3 h4 … hn
方格位置随意
瓷砖材料形状为
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归纳法证明举例-铺砖定理
证明：不妨假设 m 2n
。
1)当n=0时，显然成立；n=1时，也显然成立；
2) n1 m ， 2n
2n1，对2n1
大小的地板显然成立，现四分地板得到4个相同大小的
地板。
也变成存在特殊 方格地板地板
特殊方格地板
[证毕]
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归纳法证明举例-马的颜色
Aho, Hopcroft, Ullman. 数据结构与算法（ 1983年影印本，清华出版社）
Thomas H. Cormen 等4人. 算法导论（MIT第2版 ）, 高教出版社影印本
潘金贵. 现代计算机常用数据结构和算法（南大 出版社），即Cormen等3人书第一版的翻译
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参考书目
的约数
d0
即d可以同时整除X和Y=X+1。
对于
，否可则以Y 同m 时整除o d连 d续1整数
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[欧几里德]证明
矛盾
因此，P为无限集合。 [证毕]
下面衍生出找素数的一个算法：
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派生出算法
function Newprime(P:整数集)
{变量P为一非空有限的素数集} XP中所有元素的乘积; YX+1;
确定性 清晰、无歧义 有限性 指令执行次数、时间
特点：
执行时，不能包含任何主观的决定； 不能有类似直觉/创造力等因素。
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例子：
人们日常生活中做菜的过程，可否用算法 描述？
✓ 如：“咸了”、“放点盐”、“再煮一会”。 ✓ 可否用计算机完成？
算法必须规定明确的量与时间； 不能含糊字眼。
算法分析与设计
陶军 CS dept. 李文正楼北203 Tel: 83790366 juntao@seu.edu.cn
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参考书目
Aho, Hopcroft, Ullman. The Design and Analysis of Computer Algorithms. （1974版 影印版，铁道出版社）
if n<2 then return n;
else retu精r品n课F件ibonacci(n-
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如何选择算法？
当解决一个问题时，存在几种算法可供选择，如 何决定哪个最好？
两种研究方法：
经验(Empirical)：对各种算法编程，用不同实例实 验；
理论(Theoretical)：以数学化的方式确定算法所需 要资源数与实例大小之间函数关系。
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第一章 预备知识
学习要点:
理解算法的概念。 理解什么是程序，程序与算法的区别和内在联
系。 掌握算法的计算复杂性概念。 掌握算法渐近复杂性的数学表述。 掌握用C++语言描述算法的方法。
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什么是算法？
算法(algorithm)
一个（由人或机器进行）关于某种运算规则的集合
输入 规则 输出
即 第1个月买了1对兔子；第2个月仍只有1对；第3 个月有2对…
依此类推，如兔子不死亡，那么各月的兔子数由 Fibonacci序列给出：递归f0形式0; f11
fnfn1fn2, n2
序列以0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Fibonacci序列的算法：
Function Fibonacci(n)
M. H. Alsuwaiyel. Algorithms: Design Techniques and Analysis（电子工业出版社影 印本，方世昌等译）
王晓东. 算法设计与分析.（电子工业出版社） Sara Baase等. 计算机算法：设计与分析导论（
第3版），高教出版社影印本。
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H2 h1
h3 h4 … hn
对两个集合应用归纳假设：
H1一种颜色 H2一种颜色
=>
H1和H2同种颜色
H具有同种颜色。？
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归纳法证明举例-马的颜色
n 0 n 1，
必须 n 3
正确 ，从2=>3，3=>4，…
不能1=>2。
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归纳法证明举例-斐波纳契序列
例子：[Fibonacci序列] 每个月一对繁殖期的兔子 会产生一对后代，而这对后代2个月后又会繁殖。
通常，描述算法用类Pascal的结构化编程语言。
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算法的证明技巧
反证法(proof by contradication)/间接证明(indirect proof)：为了证明命题的正确性，转而证明该命题 的反命题能导致矛盾。
例子：
[欧几里德] 定理：存在无穷多个素数。
证明：假设P为有限素数集，那么显然 P 。
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当然不是所有算法都要明确的选择，有些 概率算法进行选择。
“随机”<>“随意”
有些问题没有实用算法（求解精确解，需 要几百年）。
✓ 去寻找{规则集}
近似算法
启发式算法
可以预测误差， 且误差足够小
误差无法控制， 但可预计误差大小
在可接受的时间内可以算出足够好的近似解
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如何描述算法
简化
function DumpEuclid(P:整数集)
{P为非空有限素数集}
XP中最大的元素;
repeat XX+1 until X是素数;
return d
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源自文库13
算法的证明技巧
归纳法(induction)： 特殊=>一般法则。 例子：[铺砖定理] 铺砖问题总是有解的。
m×m个方格(m为2的幂)
P 且有限， 将P中所有元素相乘，X表
示积
Y=X+1。
对Y分析：d为Y的一个最小的且大于1的约数。
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[欧几里德]证明
Y>1，且不要求d一定不等于Y， d一定存在。
d定为素数，否则存在一个约数z，使得z可整除Y
。
d为Y的一个最小的约数
又=>
矛z<盾d
d P
=>
，且X是P中所有元素的积
d是X
d1; repeat dd+1 until d整除Y;
return d
通过上述证明d定为
素数且 dP
？
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派生出算法
function Newprime(P:整数集) 通过上述证明d定为
XP中所有元素的乘积; YX+1;
素数且 dP
d1;
repeat dd+1 until d整除Y;
return d