数学(理工农医类)诊断性检测题
四川凉山州2014届高中毕业班第一次诊断性测试 理科数学答案
故 C1C 2 C 3 C n 取得最大值时， n 的值为 6； ………………………………12 分 21.解： （1）a=2 时 g（x）=
2 x
'
h(x)=lnx+
2 x
（x＞0） h (x)=
'
1 2 x2 = 2 …………………………1 分 x x2 x
'
当 0＜x＜2 时 h ( x) 0 ，当 x＞2, h ( x) 0
凉山州 2014 届高中毕业班第一次诊断性检测 数学（理工农医类）参考答案及评分标准
一、选择题
1.B 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7. B 8. A 9.D 10.A
二、填空题.
11. —10 12.
1 2
13. 1
14.
6 7
15.①
三、解答题
16 解： f ( x) a b 2 cos x 3 sin 2 x 1 cos 2 x 3 sin 2 x
………………………………………9 分
当 a 0 时， g ( x 2 ) [11a, a ] ， 2 g ( x 2 ) [ 2 a,2 11a ]
2 a 5 2 11a 0 a a 0
当 a 0 时，显然不合题意； 综上所述， a 的取值范围是 [
2
4
1 16
3 8
9 16
∴随机变量 X 的数学期望 E ( X ) 0
1 3 9 ………………………6 分 2 4 3 ； 16 8 16
(2)事件 AB 为如下两个互斥事件的和事件： 事件 C：甲校总得分为 4 分且乙校总得分为 0 分； 事件 D：甲校总得分为 2 分且乙校总得分为 2 分；
精品解析：四川省德阳市2018届高三第二次诊断性考试数学(理工农医类)试题(解析版)
四川省德阳市高中2016级高三第二次诊断性考试数学(理工农医类)试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，，则A∪B=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在全集U下，先由集合A的补集求出集合A，再与集合B进行并集运算。
【详解】故选：C．【点睛】考查描述法的定义，以及并集、补集的运算．在解题过程中，正确求出补集和交集是关键。
2.复数z满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则复数z=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对复数进行化简，在由共轭复数的性质即可求出。
【详解】复数可变形为则复数。
故选A.【点睛】在对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”。
3.展开式中项的系数是（）A. 270B. 180C. 90D. 45【答案】A【解析】【分析】把按照二项式定理展开，可得展开式中项的系数．【详解】∵，∴展开式中项的系数为 270，故选：A．【点睛】本题可用二项式定理展开，即可得出所求系数。
4.运行如图程序框图，输出m的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【详解】a=16，a≤0否，a=4，a≤0否，a=2，a≤0否，a=1，a≤0否，a=0，a≤0是，输出m=4，故选：D．【点睛】本题主要考查程序框图识别和判断，解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义。
5.已知α为锐角，且tan ，则cos （2）=（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 用诱导公式对进行化简，按二倍角公式展开，对进行适当变形，结合即可得出答案。
【详解】【点睛】本题的关键是对的变形的处理，结合平方关系即可得出，利用化弦为切简化运算量。
6.已知双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y=，则此双曲线方程为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 由焦距为8可得,利用渐近线方程得出的关系，再结合即可得出双曲线方程。
四川省资阳市2013届高三第二次诊断性考试 理
资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试数 学（理工农医类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．全卷共150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束时，监考人将第Ⅰ卷的机读答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k k n kn n P k C P P -=-一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，3}，B ={3，5}，则()U A B = ð （A ）{3} （B ）{4，5} （C ）{3，4，5} （D ）{1，4，5}2．函数12()1f x x =-的图象大致是3．下列命题是真命题的是（A ）a b >是22ac bc >的充要条件 （B ）1a >，1b >是1ab >的充分条件 （C ）x ∀∈R ，22x x > （D ）0x ∃∈R ，0e 0x ≤ 4．已知直线l ，m 和平面α， 则下列命题正确的是 （A ）若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α （B ）若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m （C ）若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m （D ）若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α5．若双曲线2214xy -=的渐近线与圆222(5)x y r -+=（0r >）相切，则r =（A ）5 （B （C ）2 （D 6．下列不等式成立的是（A ）9tan()tan()86ππ> （B ）3sin()sin()105ππ->-（C ）sin sin 1810ππ> （D ）723cos()cos()45ππ->-7. 执行右图所示的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为 （A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）48．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料l 千克、B 原料2千克；生产乙产品l 桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 （A ）2200元 （B ）2400元（C ）2600元（D ）2800元9．由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是（D ）存在实数0x ，使得不等式00()6x f x >成立第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项： 1．第Ⅱ卷共2页，请用0.5mm 的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，不能直接答在此试题卷上．2．答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案直接填在题目中的横线上．11．已知i 是虚数单位，x ，y ∈R ，若3i(8)i x x y -=-，则x y +=___________．12．若二项式7()x a +的展开式中含5x 项的系数为7，则实数a =． 13．已知右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 .14．椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为F ，直线y =与椭圆C 交于A 、B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为 ．15．如图，在平面斜坐标系xOy 中，xOy θ∠=，平面上任意一点P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若12OP xe ye =+uu u r u r u r （其中1e u r ，2e u r分别是x 轴，y 轴同方向的单位向量），则P 点的斜坐标为(x ，y )，向量OP uu u r的斜坐标为(x ，y )．给出以下结论：①若60θ=，P (2,－1)，则||OP =uu u r ；②若11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1212(,)OP OQ x x y y +=++uu u r r；③若11(,)OP x y =uu u r ，22(,)OQ x y =uuu r ，则1212OP OQ x x y y ⋅=+uu u r uuu r ；④若60θ= ，以O 为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为2210x y xy ++-=． 其中所有正确的结论的序号是______________．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且2sin 0c A -=． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若2c =，求a ＋b 的最大值. 17．（本小题满分12分）某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷调査，并在已被问卷调查的居民中随机抽选部分居民参加“幸福职业”或“幸福愿景”的座谈会，被邀请的居民只能选择其中一场座谈会参加．已知A 小区有1人，B 小区有3人收到邀请并将参加一场座谈会，若A 小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是34， B小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是12．（Ⅰ）求A 、B 两个小区已收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等的概率； （Ⅱ）在参加“幸福愿景”座谈会的人中，记A 、B 两个小区参会人数的和为ξ，试求ξ的分布列和数学期望．18．（本小题满分12分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝CA ＝AA 1＝2，侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =． （Ⅰ）求证：EF ∥平面BDC 1；（Ⅱ）求二面角E －BC 1－D 的余弦值． 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a t =（1t ≠），12334n n a S n ++=+（其中*n ∈N ）． （Ⅰ）当t 为何值时，数列{1}n a -是等比数列？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设2n n b a n λλ=--，若在数列{}n b 中，有12b b >，34b b >，…，212n n b b ->，…成立，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分13分）若抛物线C 的顶点在坐标原点O ，其图象关于x 轴对称，且经过点(1,2)M ．（Ⅰ）若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在该抛物线上，求该等边三角形的边长；（Ⅱ）过点M 作抛物线C 的两条弦,MA MB ，设,MA MB 所在直线的斜率分别为12k k ,, 当12k k ,变化且满足121k k +=-时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点坐标．21．（本小题满分14分）已知函数211()2f x x =，2()ln f x a x =（其中0a >）．（Ⅰ）求函数12()()()f x f x f x =⋅的极值；（Ⅱ）若函数12()()()(1)g x f x f x a x =-+-在区间1(,e)e内有两个零点，求正实数a 的取值范围；（Ⅲ）求证：当0x >时，231ln 04ex x x +->．（说明：e 是自然对数的底数，e=2.71828…）资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试数学（理工农医类）参考答案及评分意见一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．1－5. CABCB ；6－10.DADCC.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．11．3； 12．； 13．16123π+；141-；15．①②④． 三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．解析 （Ⅰ2sin 0c A -=及正弦定理，得2sin sin 0A C A -=（sin 0A ≠），∴sin C =，∵△ABC 是锐角三角形， ∴3C π=． ···················································································································· 6分（Ⅱ）∵2c =，3C π=，由余弦定理，222cos43a b ab π+-=，即224a b ab +-=．······································································································································ 8分 ∴22()4343()2a b a b ab ++=+≤+⋅，即2()16a b +≤， ∴4a b +≤，当且仅当2a b ==取“=”，故a b +的最大值是4． ······························· 12分 17．解析 （Ⅰ）记“A 、B 两小区已经收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等”为事件A ，则03133331315()(1)()()424216P A C C =-⨯+⨯=． ······················································ 4分 （Ⅱ）随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4．3311(0)(1)(1)4232P ξ==-⨯-=； 313331316(1)(1)(1)()424232P C ξ==⨯-+-⨯=； 132333313112(2)()(1)()424232P C C ξ==⨯+-⨯=； 2333313110(3)()(1)()424232P C ξ==⨯+-⨯=； 3313(4)()4232P ξ==⨯=．（每对一个给1分） ··························································· 9分 ξ的分布列如下：分∴ξ的数学期望161210390123432323232324E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ···························· 12分18．（Ⅰ）证明：取AB 的中点M ，14AF AB = ，F ∴为AM 的中点，又E 为1AA 的中点，∴1//EF A M ， 在三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为11,A B AB 的中点， 1//A D BM ∴，且1A D BM =，则四边形A 1DBM 为平行四边形，1//A M BD ∴， //EF BD ∴，又BD ⊆ 平面1BC D ，EF ⊄平面1BC D ，//EF ∴平面1BC D ． ···································································································· 6分 （Ⅱ）连接DM ，分别以MB 、MC 、MD所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，(1,0,1)E -，(0,0,2)D，1C ， ∴(1,0,2)BD =- ，(2,0,1)BE =-，1(BC =-． 设面BC 1D 的一个法向量为111(,,)x y z =m ，面BC 1E 的一个法向量为222(,,)x y z =n ， 则由10,0,BD BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得1111120,20,x z x z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取(2,0,1)=m ， 又由10,0,BE BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得2222220,20,x z x z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取(1,=n ，则cos ,||||⋅<>===m n m n m n ，故二面角E －BC 1－D． ··································································· 12分 19．解析 （Ⅰ）由12334n n a S n ++=+，得12331n n a S n -+=+（2n ≥）， 两式相减得11223()3n n n n a a S S +--+-=，即123n n a a ++=， ····································· 2分∴11322n n a a +=-+，则111(1)2n n a a +-=--（2n ≥）， ················································································ 4分由1a t =，又21237a S +=，则23722a t =-+，又∵数列{1}n a -是等比数列，∴只需要213711122112t a a t -+--==---，∴2t =． 此时，数列{1}n a -是以111a -=为首项，12-为公比的等比数列． ························· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，111111(1)()()22n n n a a ---=-⋅-=-，∴11()12n n a -=-+，·············· 8分121211[()1]()22n n n b n n λλλ--=-+--=--，由题意得212n n b b ->，则有22221211()(21)()(2)22n n n n λλ----->--，即222211()[1()](21)(2)22n n n λ---->--，∴(41)46nn λ-⋅>-， ···································································································· 10分而(41)46n n -⋅-对于*n ∈N 时单调递减，则(41)46n n -⋅-的最大值为(41)426-⨯-=-，故2λ>-． ··················································································································· 12分 20．解析 （Ⅰ）根据题意，设抛物线C 的方程为2(0)y ax a =≠，点(1,2)M 的坐标代入该方程，得4a =，故抛物线C 的方程为24y x =． 2分设这个等边三角形OEF 的顶点E ，F 在抛物线上，且坐标为(,)E E x y ，(,)F F x y ．则24E E y x =，24F F y x =，又||||OE OF =， ∴2222E E F F x y x y +=+，即22440E F E F x x x x -+-=， ∴()(4)0E F E F x x x x -++=，因0E x >，0F x >， ∴E F x x =，即线段EF 关于x 轴对称．则30EOx ∠=，所以tan 30E E y x == ，即E E x =，代入24E E y x =得E y =，故等边三角形的边长为． ····················································································· 6分 （Ⅱ）设11,)A x y （、22,)B x y （，则直线MA 方程1(1)2y k x =-+，MB 方程2(1)2y k x =-+，联立直线MA 方程与抛物线方程，得12(1)2,4,y k x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩消去x ，得2114840k y y k -+-=，∴1142y k =-， ①同理2242y k =-， ②而AB 直线方程为211121()y y y y x x x x --=--，消去x 1，x 2，得221112221()444y y y y y x y y --=--， 化简得即1212124y y y x y y y y =+++ ③ 由①、②，得y 1+y 2＝1212124444k k k k k k +-⋅-=-，12121212122()464[1]4(1)k k y y k k k k k k +=-+=+， 代入③，整理得12(1)60k k x y y ++++=． 由10,60,x y y ++=⎧⎨+=⎩得5,6.x y =⎧⎨=-⎩故直线AB 经过定点(5，－6). ········································ 13分21．解析 （Ⅰ）2121()()()ln 2f x f x f x ax x =⋅=⋅，∴11()ln (2ln 1)22f x ax x ax ax x '=+=+（0x >，0a >），由()0f x '>，得12ex ->，由()0f x '<，得120e x -<<，故函数()f x 在12(0,e )-上单调递减，在12(e ,)-+∞上单调递增， 所以函数()f x 的极小值为12(e )4eaf -=-，无极大值． ·············································· 4分 （Ⅱ）函数21()ln (1)2g x x a x a x =-+-， 则2(1)()(1)a x a x a g x x a x x +--'=-+-=()(1)x a x x+-=，令()0g x '=，∵0a >，解得1x =，或x a =-（舍去）， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减； 当1x >时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增．函数()g x 在区间1(,e)e内有两个零点，只需1()0,e (1)0,(e)0,g g g ⎧>⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩即22110,2e e 110,2e (1)e 0,2a a a a a -⎧++>⎪⎪⎪+-<⎨⎪⎪+-->⎪⎩∴222e 1,2e 2e 1,22e e ,2e 2a a a -⎧>⎪+⎪⎪<⎨⎪⎪->⎪-⎩故实数a 的取值范围是22e 11(,)2e 2e 2-+． ······································································· 9分 （Ⅲ）问题等价于223ln e 4x x x x >-．由（Ⅰ）知2()ln f x x x =的最小值为12e-．设23()e 4x x h x =-，(2)()e xx x h x -'=-得()h x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减．∴max 243()(2)e 4h x h ==-，∵2143()2e e 4---231442e e=--=2223e 2e 16(3e 8)(e 2)04e 4e ---+==>， ∴min max ()()f x h x >，∴223ln e 4x x x x >-，故当0x >时，231ln 04e x x x +->． ··········· 14分。
2020-2021学年高考数学理科诊断检测题及答案解析
最新高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5}C．{x|x＜﹣1或x＞4} D．{x|﹣2＜x＜5}2．（1﹣2x）10的展开式中，各项系数的和是（）A．1 B．210C．﹣1 D．1或﹣13．要得到y=3cos（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度4．下列说法错误的是（）A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分不必要条件B．若p∨q是假命题，则p∧q是假命题C．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0”D．命题“对任意的x∈R”，2x＞x2”是真命题5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．56．六个人从左到右排成一列，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法总数有（）A．48种 B．384种C．432种D．288种7．（中数量积）已知向量，，x，y满足||=||=1，•=0，且，则等于（）A．B．C．2 D．58．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若M是线段A1C1上的动点，则下列结论不正确的是（）A．三棱锥M﹣ABD的主视图面积不变B．三棱锥M﹣ABD的侧视图面积不变C．异面直线CM，BD所成的角恒为D．异面直线CM，AB所成的角可为9．已知函数f（x）=x﹣4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）=a|x+b|的图象为（）A．B．C．D．10．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e）（其中e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的最大值与最小值之和为（）A．0 B．+3 C．e2﹣1 D．e2+二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．复数的虚部是．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+）=﹣，当x∈[﹣，0]时，f（x）=x （x+），则f（2016）= ．13．函数y=（a≠1）在区间（0，1]是减函数，则a的取值范围是．14．如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为千米/时．15．若函数f（x）具有性质：，则称f（x）是满足“倒负”变换的函数．下列四个函数：①f（x）=log a x（a＞0且a≠1）；②f（x）=a x（a＞0且a≠1）；③；④．其中，满足“倒负”变换的所有函数的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤. 16．已知向量=（sinA，cosA），=（，﹣1），•=1，且A为锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．17．某著名大学向大一贫困新生提供A，B，C三个类型的助学金，要求每位申请人只能申请其中一个类型，且申请任何一个类型是等可能的，在该校的任意4位申请人中．（1）求恰有3人申请A类奖助学金的概率；（2）被申请的助学金类型的个数ξ的分布列与数学期望．18．如图1，在矩形ABCD中，AB=，BC=4，E是边AD上一点，且AE=3，把△ABE沿BE翻折，使得点A到A′，满足平面A′BE与平面BCDE垂直（如图2）．（1）若点P在棱A′C上，且CP=3PA′，求证：DP∥平面A′BE；（2）求二面角B﹣A′E﹣D的余弦值的大小．19．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足8S n=a+4a n+3（∈N*），且a1＜3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=，设{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．20．已知圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3=0关于直线4x+2y﹣5=0．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点P（2，0），M（0，2），设Q为圆C上一个动点．①求△QPM面积的最大值，并求出最大值时对应点Q的坐标；②在①的结论下，过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线QA，QB的倾斜角互补，问直线AB与直线PM是否垂直？请说明理由．21．已知函数f（x）=xlnx+ax﹣x2（a∈R）．（1）若函数f（x）在[e，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，求正整数k的值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5}C．{x|x＜﹣1或x＞4} D．{x|﹣2＜x＜5}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】先求出集合A，再由交集定义求解．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（1﹣2x）10的展开式中，各项系数的和是（）A．1 B．210C．﹣1 D．1或﹣1【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理．【分析】给二项式中的x赋值1，得到展开式中各项的系数的和．【解答】解：令二项式（1﹣2x）10中的x=1，得到展开式中各项的系数的和为1．∴展开式中各项的系数的和为1．故选：A．【点评】求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察给二项式中的x赋值求得．3．要得到y=3cos（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将y=3cos2x的图象向左平移个单位长度，可得y=3cos2（x+）=3cos（2x+）的图象，故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．下列说法错误的是（）A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分不必要条件B．若p∨q是假命题，则p∧q是假命题C．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0”D．命题“对任意的x∈R”，2x＞x2”是真命题【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】A．根据不等式的基本性质，“a＞b”不一定“ac2＞bc2”结论，因为必须有c2＞0这一条件；反过来若“ac2＞bc2”，说明c2＞0一定成立，一定可以得出“a＞b”，即可得出答案；B．利用复合命题的真假关系进行判断；C．根据特称命题的否定是全称命题．即可得到结论．D．x=2，4时，命题不正确．【解答】解：当c=0时，a＞b⇏ac2＞bc2；当ac2＞bc2时，说明c≠0，由c2＞0，得ac2＞bc2⇒a＞b，故“ac2＞bc2”是“a＞b”成立的充分不必要条件，正确．若命题p∨q是假命题，则p，q都是假命题，所以命题p∧q是假命题，正确；∵命题是特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题．得到命题的否定是：对任意的x∈R，2x＞0，x=2，4时，命题不正确．故选：D．【点评】本题考查不等式的性质和充要条件的判断，考查复合命题，考查命题的否定与真假判断，是一道好题，本题是基本概念题．5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：按照程序框图依次执行为k=1，S=1；S=2×1﹣1=1，k=2；S=2×1﹣2=0，k=3；S=2×0﹣3=﹣3，k=4；S=2×（﹣3）﹣4=﹣10，k=4≥5，退出循环，输出S=﹣10．故选A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．6．六个人从左到右排成一列，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法总数有（）A．48种 B．384种C．432种D．288种【考点】计数原理的应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；排列组合．【分析】首先分析题目甲、乙两人至少有一人在两端的排法，此题适合从反面考虑，然后求出甲、乙两人没有一人在两端的排法，进而用总的排法减去它即可得到答案．【解答】解：此题可以从反面入手：甲、乙两人没有一人在两端，即甲、乙排在中间4个位置，故有A42种，剩下4人随便排即可，则有A44种排法，因为6个人排成一排一共有A66种排法，所以甲、乙两人至少有一人在两端的排法有A66﹣A42A44=432．故选：C．【点评】此题主要考查排列组合及简单的计数原理的问题，象这种见到至少、至多字眼时一般利用正难则反的思想．此类排队或者排数问题在高考中属于重点考查内容，希望同学们多多掌握．7．（中数量积）已知向量，，x，y满足||=||=1，•=0，且，则等于（）A．B．C．2 D．5【考点】平面向量的综合题．【专题】计算题．【分析】求向量的模，先求它们的平方，这里求平方，利用向量的完全平方公式即可．【解答】解：由所给的方程组解得，，，∴=．故选B．【点评】本题中的方程组是关于向量的方程，这与一般的关于实数的方程在解法上没有本质区别，方法与实数的方程组的解法相似．8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若M是线段A1C1上的动点，则下列结论不正确的是（）A．三棱锥M﹣ABD的主视图面积不变B．三棱锥M﹣ABD的侧视图面积不变C．异面直线CM，BD所成的角恒为D．异面直线CM，AB所成的角可为【考点】棱柱的结构特征．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】判断主视图和侧视图的底与高是否发生变化来判断A，B，建立空间坐标系求出数量积来判断C和D．【解答】解：对于A，三棱锥M﹣ABD的主视图为三角形，底边为AB的长，高为正方体的高，故棱锥的主视图面积不变，故A正确；对于B，侧视图为三角形的底边为AD的长，高为正方体的高，故棱锥侧视图的面积不变，故B正确；对于C，连结AC，BD，A1C，则BD⊥AC，∵AC∥A1C1，∴BD⊥A1C1，又∵BD⊥CC1，于是BD⊥平面A1C1C，∵CM⊂平面A1C1C，∴BD⊥CM，故C正确；对于D，分别以AB，AD，AA1为坐标轴，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，M（a，a，1），B（1，0，0），A（0，0，0），C（1，1，0）．∴=（a﹣1，a﹣1，1），=（1，0，0），∴cos＜＞=≠±，∴异面直线CM，AB所成的角不可能是．故D错误．故选：D．【点评】本题考查了棱锥的三视图，异面直线所成的角，使用向量法可快速计算空间角的问题．9．已知函数f（x）=x﹣4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）=a|x+b|的图象为（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象变换．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求【解答】解：∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）=x﹣4+=x+1+﹣5≥2﹣5=1，当且仅当x=2时取等号，此时函数有最小值1∴a=2，b=1，此时g（x）=2|x+1|=，此函数可以看着函数y=的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A正确故选A【点评】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键10．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e）（其中e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的最大值与最小值之和为（）A．0 B．+3 C．e2﹣1 D．e2+【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在≤x≤e上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可得到最值的和．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在≤x≤e上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），故方程﹣a=2lnx﹣x2在[，e]上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．即有a的最大值和最小值的和为e2﹣2+1=e2﹣1．故选C．【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围，关键是将已知转化为方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在[，e]上有解．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．复数的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数==，它的虚部为：，故答案为：．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力，常考题型．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+）=﹣，当x∈[﹣，0]时，f（x）=x （x+），则f（2016）= ．【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先求出f（x+5）=﹣=f（x），从而f（2016）=f（1）=﹣f（﹣1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+）=﹣，∴f（x+5）=﹣=f（x），即函数的周期是5，∵x∈[﹣，0]时，f（x）=x（x+），∴f（2016）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣[﹣1×（﹣1+）]=．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，则基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．13．函数y=（a≠1）在区间（0，1]是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，3] ．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】先求导数，根据题意便可得到，从而解出a＜0，或a ＞1①，还需满足3﹣ax≥0在x∈（0，1]上恒成立，这样便得到在x∈（0，1]上恒成立，从而得出a≤3②，这样由①②便可得出a的取值范围．【解答】解：；原函数在（0，1]上是减函数；∴y′＜0；∴；解得a＜0，或a＞1；且3﹣ax≥0在x∈（0，1]上恒成立；即在x∈（0，1]上恒成立；在（0，1]上的最小值为3；∴a≤3，又a＜0，或a＞1；∴a＜0，或1＜a≤3；∴a的取值范围为（﹣∞，0）∪（1，3]．故答案为：（﹣∞，0）∪（1，3]．【点评】考查函数单调性和函数导数符号的关系，分式不等式的解法，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值．14．如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为千米/时．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】在Rt△PAB、Rt△PAC中确定AB、AC的长，进而求得，∠CAB=20°+40°=60°，利用余弦定理求得BC，用里程除以时间即为船的速度．【解答】解：在Rt△PAB中，∠APB=30°，PA=，∴AB=1．在Rt△PAC中，∠APC=60°，∴AC=3．在△ACB中，∠CAB=20°+40°=60°，∴BC==．则船的航行速度÷=．故答案为：．【点评】本题主要考查考生运用数学知识解决实际问题的能力，考查学生的计算能力，比较基础．15．若函数f（x）具有性质：，则称f（x）是满足“倒负”变换的函数．下列四个函数：①f（x）=log a x（a＞0且a≠1）；②f（x）=a x（a＞0且a≠1）；③；④．其中，满足“倒负”变换的所有函数的序号是①③④．【考点】抽象函数及其应用；对数的运算性质．【专题】压轴题；新定义．【分析】利用题中的新定义，对各个函数进行判断是否具有，判断出是否满足“倒负”变换，即可得答案．【解答】解：对于f（x）=log a x，，所以①是“倒负”变换的函数．对于f（x）=a x，，所以②不是“倒负”变换的函数．对于函数，，所以③是“倒负”变换的函数．对于④，当0＜x＜1时，＞1，f（x）=x，f（）=﹣x=﹣f（x）；当x＞1时，0＜＜1，f（x）=，；当x=1时，=1，f（x）=0，，④是满足“倒负”变换的函数．综上：①③④是符合要求的函数．故答案为：①③④【点评】本题考查理解题中的新定义，并利用定义解题；新定义题是近几年常考的题型，解答此类问题的关键是灵活利用题目中的定义三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤. 16．已知向量=（sinA，cosA），=（，﹣1），•=1，且A为锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．【考点】平面向量的坐标运算；函数的值域；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）利用向量数量积计算•，得到A 的三角函数式，即可求出A．（2）把A代入函数f（x）并化简，利用三角函数的有界性，求得值域．【解答】解：（1）由题意得•=sinA﹣cosA=1，2sin（A﹣）=1，sin（A﹣）=，由A为锐角得A﹣=，A=．（2）由（1）知cosA=，所以f（x）=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=﹣2（sinx﹣）2+，因为x∈R，所以sinx∈[﹣1，1]，因此，当sinx=时，f（x）有最大值．当sinx=﹣1时，f（x）有最小值﹣3，所以所求函数f（x）的值域是[﹣3，]．【点评】本题考查平面向量的数量积，两角和与两角差的三角函数，以及函数值域问题，是中档题．17．某著名大学向大一贫困新生提供A，B，C三个类型的助学金，要求每位申请人只能申请其中一个类型，且申请任何一个类型是等可能的，在该校的任意4位申请人中．（1）求恰有3人申请A类奖助学金的概率；（2）被申请的助学金类型的个数ξ的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）所有可能的申请方式有34种，再求出恰有3人申请A类助学金的申请方式有多少种，由此能求出恰有3人申请A类奖助学金的概率．（Ⅱ）ξ的所有可能取值为1、2、3，分别求出相应的概率，由此能示出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）所有可能的申请方式有34种，恰有3人申请A类助学金的申请方式有种，所以，所求概率为；…（Ⅱ）ξ的所有可能取值为1、2、3…，，，…综上知：ξ的分布列为：ξ 1 2 3P所以：…【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．如图1，在矩形ABCD中，AB=，BC=4，E是边AD上一点，且AE=3，把△ABE沿BE翻折，使得点A到A′，满足平面A′BE与平面BCDE垂直（如图2）．（1）若点P在棱A′C上，且CP=3PA′，求证：DP∥平面A′BE；（2）求二面角B﹣A′E﹣D的余弦值的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）若点P在棱A′C上，且CP=3PA′，根据线面平行的判定定理即可证明DP∥平面A′BE；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B﹣A′E﹣D的余弦值的大小．【解答】解：（1）在图2中，过P作PQ∥BC交A'B于Q．…∵CP=3PA'，∴，∵BC=4，∴PQ=1，…∵DE∥BC．DE=1，∴，得DE∥QP．∴DP∥EQ…∵DP⊄平面A'BE，EQ⊂平面A'BE∴DP∥平面A'BE．…（2）在图2中，过A'作A'F⊥BE于F．∵平面A'BE⊥平面BCDE，∴A'F⊥平面BCDE …∵∠BA′E=90°，A′B=，A′E=3，∴∠A'EB=30°，A′F=，EF=，过F作FG⊥DE交DE延长线于G，则FG=，EG=…如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz，，=（，，0），=（1，0，0）…设平面A'BE的法向量，则，可取…设平面A'DE的法向量，则，可取…，∴…∵二面角B﹣A'E﹣D为钝角，∴二面角B﹣A'E﹣D的余弦的大小为．…【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定以及二面角的求解，利用线面平行的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．19．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足8S n=a+4a n+3（∈N*），且a1＜3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=，设{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得T n，对n分类讨论即可得出．【解答】解：（1）∵，∴8S n﹣1=+4a n﹣1+3 （n≥2），∴，∴，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=4（n≥2）．∴数列{a n}是以4为公差的等差数列，又∵，∴而a1＜3，∴a1=1，∴a n=4n﹣3 （n∈N*）．（2），，=+…++n×，两式相减得，∴，∴．若n为偶数，则．若n为奇数，则，∴﹣λ＜2，∴λ＞﹣2．∴﹣2＜λ＜3．【点评】本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3=0关于直线4x+2y﹣5=0．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点P（2，0），M（0，2），设Q为圆C上一个动点．①求△QPM面积的最大值，并求出最大值时对应点Q的坐标；②在①的结论下，过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线QA，QB的倾斜角互补，问直线AB与直线PM是否垂直？请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）求出圆心坐标，即可求圆C的方程；（Ⅱ）①设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，所以．△QPM 面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直；②证明k PM•k AB=﹣1，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）∵x2+y2﹣4x﹣2y+3=0，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．…设圆C的圆心为C（a，b），又因为圆C与圆D关于直线4x+2y﹣5=0对称，即圆心D（2，1）与（a，b）关于直线4x+2y﹣5=0对称．∴，…∴．∴圆C的方程为x2+y2=2．…（Ⅱ）①因为点P（2，0），M（0，2），所以，…设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，所以．△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直，故有最大值，最大面积，…此时点Q坐标为点（﹣1，﹣1）．…②直线AB与直线PM垂直，理由如下：…因为过点Q（﹣1，﹣1）作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点，直线QA、QB的倾斜角互补，所以直线QA、QB斜率都存在．设直线QA的斜率为k，则直线QB斜率为﹣k，所以直线QA的方程：y+1=k（x+1）⇒（1+k2）x2+2k（k﹣1）x+k2﹣2k﹣1=0，…又因为点Q（﹣1，﹣1）在圆C上，故有，所以，同理，…，…又，所以有k PM•k AB=﹣1，故直线AB与直线PM垂直．…【点评】本题考查求一个圆关于直线的对称圆的方程的方法，直线和圆相交的性质，判断两直线垂直的方法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=xlnx+ax﹣x2（a∈R）．（1）若函数f（x）在[e，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，求正整数k的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；构造法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，利用函数f（x）在区间[e，+∞）上为减函数，f′（x）≤0，即lnx+1+a﹣2x≤0在区间[e，+∞）上恒成立，推出a≤2x﹣lnx﹣1在x∈[e，+∞）上恒成立．构造新函数求出新函数的最小值，推出结果．（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，转化为k（x﹣1）＜xlnx+x 恒成立．法一：问题转化为对任意x∈（1，+∞）恒成立，构造新函数，求解新函数的最小值，然后求解k的值为1，2，3．…法二，令g（x）=f（x）﹣[（k+a﹣1）x﹣k]，求出函数的导数，通过当2﹣k≥0时，导数的符号，求解k．当2﹣k＜0时，即k＞2时，求解k．即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax﹣x2（a∈R）可知x＞0，有：f′（x）=lnx+1+a﹣2x，∵函数f（x）在区间[e，+∞）上为减函数，∴当x∈[e，+∞）时，f′（x）≤0，即lnx+1+a﹣2x≤0在区间[e，+∞）上恒成立，…∴a≤2x﹣lnx﹣1在x∈[e，+∞）上恒成立．令g（x）=2x﹣lnx﹣1，，当时，g′（x）≥0，g（x）单增；时，g′（x）≤0，g（x）单减．∴x∈[e，+∞）时，g（x）min=g（e）=2e﹣2∴a≤2e﹣2．…（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+x恒成立．法一：∵x∈（1，+∞），∴x﹣1＞0．则问题转化为对任意x∈（1，+∞）恒成立，…设函数，则，再设m（x）=x﹣lnx﹣2，则．∵x∈（1，+∞），∴m'（x）＞0，则m（x）=x﹣lnx﹣2在x∈（1，+∞）上为增函数，∵m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，∴∃x0∈（3，4），使m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0．∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h（x）＞0 …∴在x∈（1，x0）上递减，在x∈（x0，+∞）上递增．∴h（x）的最小值为．∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴ln（x0）+1=x0﹣1，代入函数，得h（x0）=x0，∵x0∈（3，4），且k＜h（x），对任意x∈（1，+∞）恒成立，∴k＜h（x）min=x0，∴k≤3，∴k的值为1，2，3．…法二（同比例给分）：令g（x）=f（x）﹣[（k+a﹣1）x﹣k]=xlnx﹣（k﹣1）x+k（x＞1），∴g′（x）=lnx+1﹣（k﹣1）=lnx+2﹣k，当2﹣k≥0时，即k≤2时，g′（x）＞0，g（x）在（1，2）上单调递增，∴g（x）＞g（1）=1＞0恒成立，而k∈N*∴k=1或k=2．当2﹣k＜0时，即k＞2时，g′（x）=0⇒x=e k﹣2，∴g（x）在（1，e k﹣2）上单调递减，在（e k﹣2，+∞）上单调递增，∴恒成立，∴k＞e k﹣2，而k∈N*，∴k=3．综上可得，k=1或k=2或k=3时成立．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，构造法以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．。
成都市2012届三诊数学(理)
成都市2012届高中毕业班第三次诊断性检测数学（理工农医类）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，有 且只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列{}n a 中，362,4a a ==-，则该数列的公差d =（ ） A.3 B.2 C.3- D.2-2.复数11i i+-（i 是虚数单位)的虚部为（ ）A.0B.iC.1D.2i3.若抛物线24y x =上一点M 到其焦点的距离为3，则M 到直线2x =-的距离为（ ） A.5 B.4 C.3 D.24.设()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()f x x =-，则()y f x =的反函 数的大致图象是（ ）5.为了得到函数sin(2)16y x π=+-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ）A.按向量(,1)12a π=-- 平移B.按向量(,1)12a π=- 平移 C.按向量(,1)6a π=- 平移 D.按向量(,1)6a π=- 平移6.已知,,l m n 是三条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，且,m n αβ⊂⊂，则下列命题 中正确的是（ ）A.//,//,////m n m n βααβ⇒B.,////l m n m l αβ=⇒C.,//l m l n m β⇒⊥⊥D.,,l m l n l m αβ=⇒ ⊥⊥⊥n7.已知随机变量ε服从标准正态分布(0,1)N ，以()x Φ表示标准正态总体在区间 (,)x -∞内取值的概率，即()()x P x εΦ=< ，则下列结论不正确的是（ ）A.1(0)2Φ=B.(1)(1)1Φ+Φ-=C.(12)(2)(1)1P ε-<<=Φ-Φ+D.(21)(2)(1)P ε-<<-=Φ-Φ8.某校开设A 类选修课4门，B 类选修课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，且A 类中的甲门课和B 类中的乙门课不能同时选，则不同的选法共有（ ） A.60种 B.63种 C.70种 D.76种9.某工厂用U 、T 两种型号的配件生产甲、乙两种产品.每生产一个甲产品使用4个U 型配件，耗时1小时，获利1万元；每生产一个乙产品使用4个T 型配件，耗时2小时，获利4万元.已知该厂每天工作不超过8小时，且一天最多可以从配件厂获得20个U 型配件和12个T 型配件，如果该厂想获利最大，则一天的生产安排应是（ ）A.生产甲产品2个，乙产品3个B.生产甲产品3个，乙产品2个C.生产甲产品3个，乙产品3个D.生产甲产品4个，乙产品3个10.已知ΔA B C 中，1,3A B A C ==,若O 是该三角形内的一点，满足()0O A O B AB +⋅=，||||O B O C = ,则AO BC ⋅，等于（ ）A.52B.3 C.4 D.511.小张和小王两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、 乙、丙，甲柱上有(3)n n ≥个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不 等，大的在下，小的在上(如图)。
四川省成都市2009届高三第二次诊断性考试(数学理)
成都市2009届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷至2页，第Ⅱ卷3至8页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
全卷满分为150分，完成时间为120钟。
第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A B 、互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24S R π=如果事件A B 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式 如果事件A 在依次实验中发生的概率是p ， 34V 3R π=那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率 ()(1)(0,1,2,k knkn n P k C P Pk n -=-=…,) 其中R 表示球的半径一、选择题：（1）已知集合2{|210,}P x x x x R =-+=∈，则集合P 的子集个数是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 （2）化简复数31+i i -1-i的结果是A ．-2iB ．2iC ．0D ．-1-i（3）已知函数()f x 的定义域为[0，1﴿，则函数(1)f x -的定义域为A ．[0,1)B ．(0,1]C ．[1,1]-D ．[1,0)(0,1]-（4）函数||1(0)()(0)x x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩的图象为（5）在ΔABC 中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、所对边的长，若sin A sin ,b a C =则ΔA B C 的形状A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形（6）已直数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)n a n N *=∈，则2009S 的值为A B 1 C D 1（7）已知过原点的动圆C 与直线:40l x y --=相切,切当动圆C 面积最小时,圆的方程是 A ．22(1)(1)4x y -++= B ．22(1)(1)2x y -++= C ．22(1)(1)4x y ++-= D ．22(1)(1)2x y ++-=（8）已知三棱锥P A B C -中，P A P B P C 、、两两垂直，22P A P B P C a ===，且三棱锥外接球的秒面积为9S π=，则实数a 的值为A ．1B ．2CD ．12（9）为支援地震灾区的灾后重建工作，四川某公司决定分四天每天各运送一批物资到A B C D E 、、、、五个受灾点，由于A 地距离该公司较近，安排在第一天或最后一天送达；B C 、两地相邻，安排在同一天上、下午分别送达（B 在上午、C 在下午与B 在下午、C 在上午为不同运送顺序），且运往这两地的物资算作一批；D E 、两地可随意安排在其余两天送达。
高三数学诊断性测试
解题思路：根据质量守恒定律，整个变化前后镁元素的质量是相等的，即氯化镁和硫酸镁中镁元素的总质量等于氧化镁中镁元素的质量，从而根据元素的质量相等去处理。
课堂反馈
阳光牌小包装“脱氧剂”成分为Fe粉、活性炭及少量NaCl、水。使用一段时间后，其中的Fe粉会转变成Fe2O3而变质。某化学兴趣小组欲探究使用过的阳光牌“脱氧剂”的变质程度(已变质的Fe粉占变质前Fe粉的质量分数)，设计并进行如下探究过程。 步骤（1）取食品包装袋中的阳光牌“脱氧剂”一袋，将里面的固体溶于水，过滤、洗涤、干燥滤渣。 步骤（2）取步骤（1）中的滤渣8.0 g，加入足量的稀H2SO4与滤渣充分反应，过滤、洗涤、干燥得固体1.2 g。 步骤（3）取步骤（2）中的滤液，加入足量的NaOH溶液，得到的固体经洗涤后转移到坩埚中，充分加热、冷却、称量，得到8.0 g Fe2O3（注：滤液中的Fe元素已全部转化为Fe2O3）。 求：（1）8.0 g滤渣中Fe和Fe2O3两种物质的总质量。 （2）该“脱氧剂”在未变质时，Fe粉和活性炭的质量之比。 （3）该“脱氧剂”的变质程度。
01
解题思路：本题涉及到锌和稀硫酸的反应、氯酸钾制取氧气的反应以及氢气与氧气的反应，氧气、氢气是纽带，解题时先求出氯酸钾分解生成的氧气质量，再求出与氧气反应的氢气的质量，进而根据氢气的质量求出所需锌的质量。
02
课堂反馈
例2：将20 g碳酸钙粉末投入一定量的盐酸中恰好完全反应，所得溶液中溶质的质量分数为20%。试求： 生成CO2的质量为多少克? 反应后所得溶液的质量为多少克? 原盐酸溶液中溶质的质量分数为多少?(计算结果精确到0.01%)
1
2
课堂反馈
有一种只含SiO２杂质(SiO２不溶于水，也不与盐酸反应)的石灰石样品。某学生想测定该样品中碳酸钙的质量分数，他取用2g样品，把16g稀盐酸平均分4次加入，充分反应后剩余固体的质量依次记录于下表： 计算：(1)样品中碳酸钙的质量分数。 2g样品与稀盐酸充分反应时，恰好用去稀盐酸的质量为多少克?此时，所得溶液溶质的质量分数为多少?(小数点后保留两位数字)
高中级高三数学理工农医类第一次诊断性考试卷课标试题
保密★启用前【考试时间是是：2021年11月1日下午3：00—5；00】本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
高中2021级高三数学理工农医类第一次诊断性考试卷第1卷〔选择题，一共60分〕考前须知：1．答第1卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、考试科目用4B 或者5B 铅笔填写上在答题卡上。
2．每一小题在选出答案以后，用4B 或者5B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答萎，不能答在试卷上。
3.参考公式：假如事件A 、B 互斥，那么 P(A ＋B)＝P(A)＋P(B) ； 假如事件A 、B 互相HY ，那么 P(A ·B)＝P(A)· P(B) ；假如事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次HY 重复试验中恰好发生k 次的概率：Pn(k)＝C kn ·Pk ·(1－P)n －k球的体积公式 V ＝43πR3 其中R 表示球 的半径0 < a m ≠ 1 N > 0 对数换底公式:一、选择题:本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每个小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上。
1、右图中阴影局部表示的集合是：2、用反证法证明命题：假设P 那么q ，其第一步是反设命题的结论不成立，这个正确的反设是： A 、假设P 那么非q B 、假设非P 那么q C 、非P D 、非q3、数列｛αn ｝的通项公式为 那么｛αn ｝的最大项是： A 、α1 B 、α2 C 、α3 D 、α44、右图是一个样本容量为50的样本频率分布直方图，据此估计数据落在[15.5，24.5]的概率约为： A 、36% B 、46% C 、56% D 、66%5、在点 x = a 处连续的是6、设α> 0 α≠ 1 假设y = αx的反函数的图象经过点 ， 那么α= ：A 、 16B 、2C 、D 、 4 7、假设函数f (x)的图象经过点 A，B 、〔1，0〕， C 、〔2，-1〕，那么不能作为函数f(x)的解析式的是：8、：计算：A、不存在B、8C、-8D、189、函数的图象大致是：10、对数函数的图象如下图，那么a 、b的取值范围是：A、a > b > 1B、b > a > 1C、1 > a > b > 0D、1 > b > a > 011、复数z ，条件P：“z2 = - i 〞是条件q：“〞的：A 充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件12、函数y = a x ( a > 1 ) 及其反函数的图象与函数y = ( 1/x) 的图象交于A、B两点，假设∣AB∣= 2√2，那么实数≈0.3827 lg 8.392 ≈0.9293 lg 8.41 ≈0.9247 〕A、3.8B、4.8C、8.4D、9.2第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分，把答案填在答题卡相应位置上。
高三数学诊断测试试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校新都区2021届高三数学诊断测试试题理〔含解析〕本卷须知：2．答选择题时，必须使需要用2B 铅笔将答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上答题，在试题卷上答题无效． 5．在在考试完毕之后以后，只将答题卡交回．一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．每一小题有且只有一个正确选项．〕U ＝R ，集合{}202,{0}A x x B x xx =≤≤=->，那么图中的阴影局部表示的集合为()A.(1](2,)-∞⋃+∞，B.(0)(12)-∞⋃，，C.[1)2，D.(12]， 【答案】A 【解析】B={x|x 2﹣x ＞0}={x|x ＞1或者x ＜0}，由题意可知阴影局部对应的集合为∁U 〔A∩B〕∩〔A∪B〕， ∴A∩B={x|1＜x≤2}，A∪B=R， 即∁U 〔A∩B〕={x|x≤1或者x ＞2}，∴∁U 〔A∩B〕∩〔A∪B〕={x|x≤1或者x ＞2}， 即〔﹣∞，1]U 〔2，+∞〕 应选：A121i z i i-=++，那么z z +=—〔〕A.1i --B.1i +C.1i -D.1i -+【答案】B 【解析】 【分析】对复数z 进展运算得zi ，从而求得||1z z i +=+.【详解】因为21(1)22221(1)(1)2i i iz i i i i i i i ---=+=+=+=++-，所以||1z =，所以||1z z i +=+.应选：B.【点睛】此题考察复数的四那么运算、一共轭复数和模的概念，考察根本运算求解才能.{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，那么72S =〔〕A.2B.7C.14D.28【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式，将等式5632a a a +=+化成42a =，再由等差数列的前n项和公式得742S 2728a =⋅=.【详解】因为5632a a a +=+，所以111142452322a d a d a d a d a ++=+++⇒+=⇒=，所以742S 2728a =⋅=.应选：D.【点睛】此题考察等差数列通项公式、前n 项和公式，考察根本运算求解才能.4.sin cos 3αα+=，那么sin 2α=〔〕A.79-B.29-C.29D.79【答案】A 【解析】 【分析】直接对等式两边平方，利用倍角公式得sin 2α的值.【详解】因为sin cos αα+=，所以2227(sin cos )12sin cos 99sin 2ααααα+=⇒+=-=⇒. 应选：A.【点睛】此题考察同角三角函数的根本关系、倍角公式，考察根本运算求解才能.()f x 满足：①对任意1x 、()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-；②对定义域内的任意x ，都有()()0f x f x --=，那么符合上述条件的函数是〔〕A.()21f x x x =++B.x1()2f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()ln 1f x x =+D.()cos f x x =【答案】B 【解析】 【分析】由题设条件判断增减性和奇偶性，再结合所给详细函数判断即可 【详解】由题可知，()f x 为定义域在()0,+∞的减函数，且函数具有偶函数特征；对A ，当()0,x ∈+∞，()21f x x x =++，()f x 的对称轴为12x =-，在()0,+∞为增函数，与题不符，排除；对B ，x1()2f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,x ∈+∞，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，为减函数，又()-xx11()22f x f x ⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故B 符合； 对C ，()ln 1f x x =+，函数显然不具备偶函数特征，排除；对D ，函数为周期函数，在()0,x ∈+∞不是减函数，排除；应选：B【点睛】此题考察函数解析式的辨析，函数增减性与奇偶性的应用，属于根底题R 上的函数()f x 满足(3)(3)f x f x -=+，且函数()f x 在()0,3上为单调递减函数，假设3ln422,log 3,a b c e -===，那么下面结论正确的选项是〔〕A.()()()f a f b f c <<B.()()()f c f a f b <<C.()()()f c f b f a <<D.()()()f a f c f b <<【答案】C 【解析】 【分析】由题判断函数对称轴为3x =，结合()f x 在()0,3上为单调递减可知，判断函数值大小关系，即判断对应数值与3的绝对值的大小关系，可画出拟合图形加以求解 【详解】由(3)(3)f x f x -=+得3x =，又()f x 在()0,3上为单调递减，画出拟合图形，如图：()()3ln 4220,1,log 31,2,4a b c e -=∈=∈==，在图上的对应关系如下列图：，显然()()()f c f b f a <<【点睛】此题考察根据函数的对称性比较函数值大小，解题关键在于确定对称轴和函数与对称轴的关系，属于根底题 7.0,0a b >>，假设不等式313na b a b+≥+恒成立，那么n 的最大值为〔〕 A.9 B.12C.16D.20【答案】C 【解析】 【分析】可左右同乘3a b +，再结合根本不等式求解即可【详解】0,0a b >>，()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭，()31333339110216b a b a a b a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤ 应选：C【点睛】此题考察根本不等式求最值，属于根底题3cos xy x e=-的图象可能是〔〕A. B. C.D.【答案】B【分析】考察该函数的奇偶性，在0x =处的取值以及该函数在()0,∞+上的单调性可区分出图象。
高中级数学理工农医类第二次教学质量诊断性考试试题
卜人入州八九几市潮王学校高中2021级数学理工农医类第二次教学质量诊断性考试本套试卷分第I 〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部.第I 卷1至2页，第II 卷3至8页.一共150分.考试时间是是120分钟. 第I 卷〔选择题一共60分〕参考公式：假设事件A 、B 互斥，那么假设事件A 在一次试验中发生的P (A +B )=P (A )+P (B )概率是p ，那么n 次HY 重复试验假设事件A 、B 互相HY ，那么中恰好发生k 次的概率P (A ·B )=P (A )·P (B )k n kk nn p p C k P --=)1()( 一．选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
(1)全集U =R ，集合A ={x |(x +2)(x -1)<0},B ={x |-1≤x <2}，那么A ∩(C U B )为 (A){x |x <-2,或者x >1} (B){x |x <-2,或者x ≥0} (C){x |-2<x <-1}(D){x |x <-1,或者x >1}(2)抛物线y 2=12x 的准线方程为(A)x =3 (B)x =-3 (C)y =3 (D)y =-3(3)设向量a =(-1,2),b =(1,-1),c =(3,-2)，假设c =λ1a +λ2b ，那么实数λ1,λ2的值是 (A)λ1=4,λ2=1 (B)λ1=1,λ2=4 (C)λ1=0,λ2=4(D)λ1=1,λ2=-4(4)假设a >1时，那么14-+a a 的最小值为 (A)2(B)3(C)4(D)5(5)设z =a +bi ,),(R b a bi a z ∈-=且i z z =+2，那么zz -124的值是(A)i (B)–i (C)1-i (D)1+i(6)在等比数列}{n a 中，5,6111111=+=a a a a ，那么=1020a a (A)32 (B)23 (C)2332或 (D)2332--或 (7)设正态函数)),((221)(8)10(2∞+-∞∈⋅=-x e x f x π，不正确的选项是．．．．．．．(A)总体的平均数为10(B)函数f (x )的曲线是关于直线x =10对称 (C)函数f (x )的曲线与x 轴有交点 (D)总体的HY 差为2(8)变量x 、y 满足以下条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤11x y x xy ，那么目的函数z =2x +y 的最小值为(A)3(B)23 (C)2 (D)21 (9)假设sin 33)3(=-x π那么cos )32(π+x =(A)31-(B)91-(C)33-(D)93-(10)F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，假设∆ABF 2是正三角形，那么这个椭圆的离心率是(A)32 (B)33 (C)22 (D)23 (11)称集合A 的非空真子集的真子集叫做集合A 的“孙子集〞，那么集合A ={a ,b ,c ,d ,e }的孙子集一共有 (A)11个(B)39个(C)26个(D)10个(12)设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)0(0)0(|1|1||)(x x x x f ，那么关于x 的方程f 2(x )+bf (x )+c =0有7个不同实数解的充要条件是(A)-1<b <0且c >0 (B)b >0且c >0 (C)-1<b <0且c =0(B)b ≥0且c =0二．填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分，把答案填在题中横线上。
高中级高三数学理工农医类第三次诊断性考试卷试题
高中2021级高三数学理工农医类第三次诊断性考试卷一.选择题〔此题包括12小题。
每一小题5分，一共60分。
每一小题只有一个选项符合题意〕{7}I =小于的正整数，{1,2,5}A =，3{|10}2B x x N x=+≤∈-，那么()I A C B ＝〔 〕A.{1} B.{2} C.{1,2} D.{1,2,5}x y ln (10+1)＝的反函数是〔 〕 A.x y lg (e -1)＝〔0x >〕B.xy lg (e -1)＝ 〔x R ∈〕 C.xy lg (e +1)＝ 〔0x >〕 D.xy lg (e +1)＝ 〔x R ∈〕{}n a 中，243573()2()36a a a a a ++++=，那么{}n a 的前7项之和是〔 〕 A.21 B.14C4. ,m n 是异面直线，给出以下四个命题：①.必存在平面α，过m 且与n 平行； ②.必存在平面β，过m 且与n 垂直； ③.必存在平面γ，与m 、n 都平行； ④必存在平面δ，与m 、n 都垂直. 其中真命题是〔 〕 A.①② B.①③④ C.②③④ D.①③(sin ,2)a θ=，(cos ,1)b θ= ，假设a 与b 一共线，那么tan()4πθ-＝〔 〕A.3B.－3C.13D.13-a ，A 、B 是其圆周上的两个三等分点，那么OA AB ⋅＝〔 〕A.232a -B.232a C.22 1y kx =-与曲线1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩〔θ为参数，0θπ<≤〕有公一共点，那么实数k 的取值范围是〔 〕 A.12k ≥B.12k > C.2k < D.2k ≥ 8. 抛物线24y ax =〔0a >〕上的点0(,2)A x 到焦点的间隔 等于3，那么a ＝〔 〕 A.4 B.16 C.14 D.116()|21|x f x =-，a b c <<，且()()()f a f b f c >>，那么必有〔 〕A.222a c +<B.0,0,0a b c <<<C.22a c -<D.0,0,0a b c <≥< 10.正三棱锥P －ABC 内接半球O ，底面ABC 在大圆面上，那么它相邻的两侧面所成二面角的余弦值是〔 〕 A.415 B.13 C.14 D.1511.为支持旅游业的开展，有6名志愿者〔其中4名男生，2名女生〕 义务参加某项宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，两名女生不能单独成组，那么不同成组的工作安排方式有〔 〕 A.40种 B.48种 C.60种 D.68种()f x 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且在区间(,0)-∞上单调递减，假设(1)0f =，△ABC的内角A 满足(sin cos )0f A A +<，那么A 的取值范围是〔 〕 A.(0,)2πB.3(,)44ππC.3(0,)(,)24πππD.3(,)(,)424ππππ 二.填空题〔本大题一一共有4小题，每一小题4分，一共16分〕1z i =-，那么21z z i++＝_____________； x 、y 满足约束条件222(2)(2)2x y y x y ⎧≤⎪≥⎨⎪-+-≤⎩，那么22x y +的最大值为________；15.,ab R +∈，且2a b +=，那么22a b ++______________________；16.右图是杨辉三角的一局部，以下关于杨辉三角的几个论断〔其中3k r ≥≥，,k r N *∈〕①.第k 行的第r 个数是rk C ； ②.第k 行的所有数之和是第1k -行所有数之和的2倍；③.前k 行所有数之和是2k；1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1… … … … … … … … … … …第1行 第2行 第3行 第4行第5行 第6行④.从第k 行起，每行的第r 个数与第1r -个数之比顺次排列，那么构成一个等差数列. 其中正确结论的编号是_________ 〔写出所有正确的编号〕.三.解答题题〔本大题一一共6小题，每一小题74分，解答题写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕等比数列n ｛a ｝中，22a =，516a = 〔1〕求数列n ｛a ｝的通项公式 〔2〕设数列n ｛a ｝的前n 项和为n S ，21(1)log (1)n n b n S =++，求12lim()n n b b b →∞++…+.18.有甲、乙、丙、丁四支球队进展单循环比赛，最后据各队积分决知名次.规定每场比赛必须决出胜负，其中胜方积2分，负方积1分，球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为25，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为12，且各场次胜负情况彼此没有影响. 〔1〕甲队至少胜一场的概率； 〔2〕求球队甲赛后积分ξ的概率分布和数学期望.19.△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，且222()S c a b =--，求tan C 的值.20.如图，四棱柱P-ABCD 的底面是直角梯形，090ABC BAD ∠=∠=，ABCD PA ⊥底面，1PA=AB=AD=12BC =，M 是BC 的中点，连结BD〔1〕求证： PM BD ⊥；〔2〕求异面直线PM 与CD 所成角的大小； 〔3〕求点C 到平面PMD 的间隔 .PABCD M22221x y a b -=〔0,0a b >>〕的离心率为2，右焦点F 到它的一条渐近线的间隔 . 〔1〕求双曲线的HY 方程；〔2〕是否存在过点F 且与双曲线的右支交于不同的点P 、Q 两点的直线l ，当点M 满足1()2OM OP OQ =+时，使得点M 在直线上2x =-的射影点N 满足0PN NQ ⋅=？假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，请说明理由.21()ln()2f x x a ax =+〔,0a R a ∈≠〕. 〔1〕求()f x 的单调区间；〔2〕当1a =时，证明在区间[1,)+∞上，函数()f x 的图像在函数32()3g x x =的图像的下方；〔3〕当1a >时，求证：2[()]()(22)n nnnf x f x a ''-≥-⋅ 〔n N *∈〕[参考答案]1－5 CAADC 6－10 ABDAD 11－12 BC 13.12i + 14.18 15.33[3,]816.②④ 17.〔1〕12n n a -= 〔2〕12lim()1n n b b b →∞++=…+18.〔1〕1720〔2〕32713456 4.42052010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 19.4tan 3C =20.〔2〕〔321.〔1〕2213y x -= 〔2〕360x y --=或者360x y +-= 22.〔1〕当0a >时，递增区间(0,)∞+当0a <时，递减区间(,-∞递增区间(〔2〕令2312()ln()23F x x a ax x =+-，再证在[1,)+∞上，()0F x <恒成立. 〔3〕利用二项式张开并放缩可证.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高三数学上学期诊断性考试试题一理含解析 试题
创作人：历恰面日期：2020年1月1日2021届高三数学上学期诊断性考试试题〔一〕理〔含解析〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.集合0，1，2，，，那么A. 2，B. 1，2，C.D.2.i为虚数单位，假设，那么A. B. C. D.3.设，那么“〞是“〞的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.m，n，p，q成等差数列，且函数且的图象过定点，那么A. B. C. D. 15.，，，那么a，b，c的大小关系是A. B. C. D.6.假设变量x，y满足约束条件，那么目的函数的最小值为A. 1B.C.D.7.执行如下图的程序框图，假如输出，那么A. 6B. 7创作人：历恰面日期：2020年1月1日C. 8D. 98.某商店决定在国庆期间举行特大优惠活动，凡消费到达一定数量以上者，可获得一次抽奖时机．抽奖工具是如下图的圆形转盘，区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的面积成公比为2的等比数列，指针箭头指在区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ时，分别表示中一等奖、二等奖、三等奖和不中奖，那么一次抽奖中奖的概率是A. B. C. D.9.据九章算术记载，“鳖臑〞为四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一个“鳖臑〞如图，底面ABC，，且，那么异面直线PB与AC所成角的大小为A. B. C. D.10.向量，，假设，那么向量与的夹角为A. B. C. D.创作人：历恰面日期：2020年1月1日11.抛物线C：的焦点为F，Q为抛物线上一点，连接F并延长交抛物线的准线于点P，且点P的纵坐标为负数，假设，那么直线PF的方程为A.B.C. 或者D.12.，，那么方程的实数根个数为A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题〔本大题一一共4小题〕13.的展开式中的系数为5，那么______．14.设数列满足，那么______．15.关于函数有以下命题，其中正确的选项是______．的表达式可改写为；是以为最小正周期的周期函数；的图象关于点对称的图象关于直线对称16.圆C：上有且仅有三个点到双曲线的一条渐近线的间隔为1，那么该双曲线的离心率为______．三、解答题〔本大题一一共7小题〕17.某随机抽取局部企业调查年上缴税收情况，将所得数据绘制成如图的频率分布直方图．Ⅰ根据频率分布直方图，估计该企业年上缴税收的平均值；创作人：历恰面日期：2020年1月1日Ⅱ以直方图中的频率作为概率，从该企业中任选4个，这4个企业年上缴税收位于单位：万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，，，．Ⅰ求a；Ⅱ设D为BC边上一点，且，求的面积创作人：历恰面日期：2020年1月1日19.四棱锥的底面ABCD是菱形，且，是等边三角形．Ⅰ证明：；Ⅱ假设平面平面ABCD，求二面角的余弦值．20.函数．Ⅰ求函数的极值；Ⅱ假设关于x的不等式在上有解，求a的取值范围．创作人：历恰面日期：2020年1月1日21.椭圆的离心率为，左、右顶点分别为B、A，，是椭圆内一点，直线AM、BM分别与椭圆C交于P、Q两点．Ⅰ求椭圆C的HY方程；Ⅱ假设的面积是的面积的5倍，务实数m的值．22.将圆上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C．写出曲线C的参数方程；Ⅱ设直线与曲线C的交点为，，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求线段的垂直平分线的极坐标方程．创作人：历恰面日期：2020年1月1日23.Ⅰ解不等式．Ⅱ，，且，求的最小值．创作人：历恰面日期：2020年1月1日答案和解析1.【答案】D【解析】解：0，1，2，，，．应选：D．可以求出集合B，然后进展交集的运算即可．此题考察了列举法、描绘法的定义，交集的定义及运算，考察了计算才能，属于根底题．2.【答案】A【解析】解：由，得．应选：A．把等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．此题考察复数代数形式的乘除运算，是根底的计算题．3.【答案】A【解析】解：，得，，得，，故“〞是“〞的充分不必要条件，创作人：历恰面日期：2020年1月1日应选：A．根据充分条件和必要条件的定义，结合解不等式进展判断即可．此题主要考察充分条件和必要条件的判断，根底题．4.【答案】B【解析】解：，n，p，q成等差数列，，函数且的图象过定点，而令，求得，，可得的图象经过定点，，，那么，应选：B．令幂指数等于零，求得x、的值，可得函数的图象经过定点的坐标，从而得到n、p的值，再利用等差数列的性质，求出的值．此题主要考察等差数列的性质，指数函数的图象经过定点问题，属于根底题．5.【答案】C【解析】解：，，，那么．应选：C．利用对数函数和指数函数的性质分别确定a，b，c的范围即可求解．此题考察三个数的大小的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用创作人：历恰面日期：2020年1月1日6.【答案】C【解析】解：由得作出不等式组对应的平面区域如图阴影局部：平移直线，由图象可知当直线，过点A时，直线的截距最大，此时z最小，由，解得．代入目的函数，得，目的函数的最小值是，应选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用目的函数的几何意义，进展求最值即可．此题主要考察线性规划的根本应用，利用目的函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的根本方法．7.【答案】B【解析】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 3第二次循环 4第三次循环 5创作人：历恰面日期：2020年1月1日第四次循环 6第五次循环7第六次循环8故假如输出，那么只能进展六次循环，故判断框内应填入的条件是？即a的值是7．应选：B．根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是，可得判断框内应填入的条件．此题考察程序框图，尤其考察循环构造．对循环体每次循环需要进展分析并找出内在规律．此题属于根底题．8.【答案】A【解析】解：设区域Ⅰ的面积为a，那么：圆盘总面积，一次抽奖中奖的概率，应选：A．设出区域Ⅰ的面积，根据题意写出其他区域面积，求出总面积，再利用几何概型概率公式算出结果即可．此题主要考察了几何概型，是根底题．9.【答案】C【解析】解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，创作人：历恰面日期：2020年1月1日设，那么1，，0，，1，，0，，，，设异面直线PB与AC所成角的大小为，那么．．应选：C．以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB与AC所成角的大小．此题考察异面直线所成角的大小的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系，是根底题．10.【答案】D【解析】解：由于向量，，所以向量；；；设向量与的夹角为那么；，向量与的夹角．应选：D．根据向量的夹角公式，向量，，所以向量，由，可求出a的值，即可得的坐标，代入公式可求出向量与的夹角．创作人：历恰面日期：2020年1月1日此题考察了向量的数量积运算，向量的夹角公式，属于根底题．11.【答案】D【解析】解：由题意，，准线方程为：，过点Q作准线的垂线，垂足为M，由点P的纵坐标为负数可知点Q在第一象限，由抛物线的定义可得，，，，从而直线PF的倾斜角为，斜率为，直线PF的方程为：，即．应选：D．过点Q作准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义得，从而可求出直线PF的斜率，根据点斜式写出直线方程．此题主要考察抛物线的定义的运用，属于根底题．创作人：历恰面日期：2020年1月1日12.【答案】B【解析】解：当时，，，，解得；当时，，，即有或者，所以，当时，或者，由图可知与有一个交点，所以当时，有一个根．与有一个交点，所以当时，有一个根．当时，或者，与的图象相切于，所以当时，没有根．与的图象没有交点，所以当时，没有根．综上，方程的实数根个数为3个．应选：B．根据自变量的范围讨论，得出的解析式，解出方程，直接求解或者再将方程的根的个数转化为图象之间的交点个数即可求出．此题主要考察方程的根与函数零点，以及图象之间交点的个数关系应用，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：当第一式子为2时，第二个式子为，当第一式子为mx时，第二个式子为，那么的系数为，的系数为5，创作人：历恰面日期：2020年1月1日，得，，故答案为：1根据多项式乘积的关系进展讨论求解即可．此题主要考察二项式定理的应用，结合多项式乘法关系进展讨论是解决此题的关键．比拟根底．14.【答案】【解析】解：，，得，，那么，．故答案为：．由题意，，进而得到，由此得解．此题考察利用递推数列求通项，考察运算求解才能，属于根底题．15.【答案】【解析】解：，所以不正确；函数有最小正周期为，所以正确；又，所以函数关于对称，所以不正确；正确；故答案为：．创作人：历恰面日期：2020年1月1日利用三角函数的图象和性质分别判断即可．此题主要考察三角函数的图象和性质，要求纯熟掌握三角函数的对称性，属于根底题．16.【答案】【解析】解：圆C：可化为，可得圆心为，半径，圆C：上有且仅有三个点到双曲线的一条渐近线的间隔为1，圆心到双曲线渐近线的间隔为2，由对称性不妨取双曲线的一条渐近线为，，即为，那么，故答案为：．由圆的方程求出圆心坐标与半径，写出双曲线的一条渐近线方程，由题意可得圆心到双曲线渐近线的间隔等于2，由此列式求解双曲线离心率的取值．此题考察双曲线的离心率e的取值，考察直线与圆的位置关系，考察点到直线的间隔公式，属于中档题．17.【答案】解：Ⅰ根据频率分布直方图得：该企业年上缴税收平均值估计为：．Ⅱ由题意X的可能取为0，1，2，3，4，且，，，，创作人：历恰面日期：2020年1月1日，的分布列为：，．【解析】Ⅰ根据频率分布直方图求出，由此能求出该企业年上缴税收平均值．Ⅱ由题意X的可能取为0，1，2，3，4，，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．此题考察平均数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考察频率分布直方图、二项分布的性质等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．18.【答案】解：Ⅰ得，，，又，，由于，解得，由余弦定理得，整理得．Ⅱ由题设可得，所以，故面积与面积的比值为．又的面积为．创作人：历恰面日期：2020年1月1日所以的面积为．【解析】Ⅰ直接利用三角函数关系式的恒等变换和平面向量数量积的应用和余弦定理的应用求出结果．Ⅱ直接利用三角形的面积之比进一步求出结果．此题考察的知识要点：平面向量的数量积的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考察学生的运算才能和转换才能及思维才能，属于根底题型．19.【答案】Ⅰ证明：取AB的中点O，连接OP，OD，BD，是等边三角形，，又四边形ABCD是菱形，，是等边三角形，，，PO，平面POD，平面POD，平面POD，．Ⅱ平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，创作人：历恰面日期：2020年1月1日以O为原点，建立如下图的空间直角坐标系，设，平面PAB的一个法向量为，，0，，，，，设平面PBC的一个法向量为，那么，令，得，，，设二面角的平面角为，为钝角，．【解析】Ⅰ取AB的中点O，连接OP，OD，BD，证明，，推出平面POD，然后证明．Ⅱ以O为原点，建立如下图的空间直角坐标系，设，求出平面PAB的一个法向量，平面PBC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦函数值即可．此题考察直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考察空间想象才能以及计算才能，是中档题．20.【答案】解：Ⅰ函数的定义域为，，当时， 0'/>恒成立，在上为增函数，此时无极值，当时，令得，创作人：历恰面日期：2020年1月1日令得，在是增函数，在是减函数．的极大值为，无极小值．Ⅱ由得，，在上有解，令，，令得，令得，在上是增函数，在上是减函数，，．【解析】Ⅰ求出，通过a与0的大小讨论，判断函数的单调性，求解函数的极值即可．Ⅱ由得，推出在上有解，令，利用导函数判断单调性求解函数的最大值推出结果即可．此题考察函数的导数的应用，单调性以及函数的极值的求法，构造法的应用，考察转化思想以及计算才能，是难题．21.【答案】解：Ⅰ由，得，又因为，得，所以，所以椭圆的HY方程为．Ⅱ因为，，，所以，所以，由，解得，同理可得，同理可得，又因为，即，所以，创作人：历恰面日期：2020年1月1日所以，因为，所以，因为点M在椭圆内，所以，所以．【解析】Ⅰ求出，通过，得，求出，即可得到椭圆的HY方程．Ⅱ求出，得到，联立直线与椭圆方程，求出Q、P的横坐标，通过，即转化求解m即可．此题考察直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的简单性质的应用，考察转化思想以及计算才能，是中档题．22.【答案】解：Ⅰ圆上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，即整理得转换为参数方程为为参数．Ⅱ由于曲线与直线与曲线C的交点为，，故：，解得或者，所以中点的坐标为，，即，线段的斜率，它的垂直平分线的斜率，所以，转换为极坐标方程为，整理得．【解析】Ⅰ直接利用变换关系求出曲线的方程，进一步利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进展转换．Ⅱ利用直线和曲线的位置关系式的应用求出交点的坐标，进一步求出直线的方程，最后求出直线的极坐标式．1此题考察的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线位置关系的应用，直线的方程确实定，主要考察学生的运算才能和转换才能及思维才能，属于根底题型．23.【答案】解：Ⅰ，创作人：历恰面日期：2020年1月1日由，得或者或者，或者或者，，不等式的解集为；Ⅱ由，得，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值是．【解析】Ⅰ由，然后根据分别解不等式即可；Ⅱ由，可得，然后根据利用根本不等式求出的最小值．此题考察了绝对值不等式的解法和利用根本不等式求最值，考察了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
数学理诊断性考试试卷
海门市2011届高三第一次诊断性考试试卷 数学(理) 苏教版2010-12说明：本试卷分填空题和解答题两部分，共160分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．不等式2x x >的解集是 ▲ .2．若,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g = ▲ .3．函数sin cos 1y x x =-的最小正周期与最大值的和为 ▲ .4．已知全集U R =，{|A y y =，{|lg 3||}B y y x ==-（），则U A B （）= ▲ . 5．若,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值是 ▲ . 6．数列{n a }的前n 项和为n s ，若)1(1+=n n a n ，则5s 等于 ▲ .7．已知向量()()()2,1,3,0a b λλ==>，若()2a b b -⊥，则λ= ▲ . 8．用二分法求函数43)(--=x x f x 的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得方程043=--x x的一个近似解（精确到0.01）为 ▲ . 9．等差数列{}n a 中，若18153120a a a ++=，则9102a a -= ▲ . 10．若(,1)a x =-，8(log 3,1)b =，a b ∥，则3322x x -+= ▲ .11．若f （x ）是R 上的减函数，且f （x ）的图象经过点A （0，3）和B （3，－1），则不等 式(1)12f x +-<的解集是 ▲ .12．已知n a n =，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状： 1a2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a……………………………………记(,)A m n 表示第m 行的第n 个数，则(10,12)A = ▲ . 13．已知实数a 、b 满足等式,)31()21(b a =下列五个关系式：①a =b ②a <b <0 ③0<b <a ④b <a <0 ⑤0<a <b 其中不可能．．．成立的关系式有 ▲ . 14．关于函数()4sin(2)()3f x x x R π=-∈，有下列命题：（1）4()3y f x π=+为偶函数，（2）要得到函数()4sin 2g x x =-的图像，只需将()f x 的图像向右平移3π个单位，（3）()y f x =的图像关于直线12x π=-对称。
高三诊断性检测数学理科题目带包括答案
高三诊疗性检测数学理科题目带答案选择题：本大题共 2 小题 , 每题 5分 , 共 60分.1.已知会合 A x x＞－2, B x x 1 ,则 A BA. x x＞－2B.x 2＜ x 1C. x x2D.x x 12.复数 z 2 i (i为虚数单位 ) 在复平面内对应的点位于iA. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.一个三棱锥的正视图和侧视图以下图( 均为真角三角形 ), 则该三棱锥的体积为x14. 设实数x, y知足拘束条件2x y 1 0 ,则z3x y 的最x y 10小值为5.履行以下图的程序框图 , 则输出的n值是6. 设S n为等差数列a n的前 n 项和,且 2 a5a6 a3,则S77.以下判断正确的选项是A.“ x＜－2”是“ln (x3)＜0 ”的充足不用要条件B.函数 f ( x)x291的最小值为 2C. 当,R 时，命题“若x29, 则sin sin”的逆否命题为真命题D. 命题“x＞0, 2019x2019＞0 ”的否认是“x00 , 2019x020190 ”8. 已知函数 f (x)3x 2 cos x ,若a f (3 2 ) ,b f (2), c f (log27) , 则a, b, c的大小关系是A.a＜b＜c＜a＜b＜a＜ c＜c＜a9. 在各棱长均相等的直三棱柱ABC－ A1B1 C1中 , 已知M是棱 BB1的中点 ,N 是棱 AC的中点，则异面直线A1M 与BN所成角的正切值为A.3B. 1C.6D.2 3210. 齐王有上等 , 中等 , 低等马各一匹；田忌也有上等 , 中等 , 低等马各一匹 . 田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的低等马, 劣于齐王的中等马；田忌的低等马劣于齐王的低等 马 . 现从两方的马匹中随机各选一匹进行一场竞赛, 如有优势的马必定获胜 , 则齐王的马获胜的概率为A.4B.5 C.2 D. 7 9 93911. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 的图像对于直线xa(a ＞0) 对称，且当 xa 时, f ( x) e x － 2a。
2022年高三诊断性测试数学参考答案
数学参考答案及评分细则 第1页（共 16页）高 三 诊 断 性 测 试数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分40分。
1．B 2．B 3．D 4．B 5．D 6．C 7．A 8．D二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分20分。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．ABD 10．AC 11．BD 12．ACD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分20分。
13．π2；14．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；15．答案不唯一，如：()()11,1,11,21,1x x f x f x x x x ⎧->⎪=-=⎨⎪-⎩≤ 等； 16．5；54π．四、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和创新性．满分10分．解法一：（1）因为21,,n n n S S S ++成等差数列，所以21n n n n S S S S ++-=-，··················· 1分 所以211n n n a a a +++--=，··········································································· 3分 即212n n a a ++=-，设{}n a 的公比为q ，则2q =-，·········································· 4分 所以()()1222n nn a -=-⨯-=-． ·································································· 6分（2）依题意，()()**21221121,22k k k k b k k b k k --++⎡⎤⎡⎤==∈==∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N N ， ················· 7分 所以()()1011339922441010T a b a b a b a b a b a b =+++++++ ································ 8分 ()()139********a a a a a a =+++++++()()139********a a a a a a =+++-+++ ······································· 9分()13925a a a =-+++39122252=⨯+⨯++⨯ 所以3511104122252T =⨯+⨯++⨯，数学参考答案及评分细则 第2页（共 16页）两式相减得()53591111111021414232222525221433T ⨯--=++++-⨯=-⨯=-⨯--， 所以11101422+318699T =⨯=． ································································· 10分 解法二：（1）因为21,,n n n S S S ++成等差数列，所以122n n n S S S +++=，·········································································································· 1分 设{}n a 的公比为q ， ①若1q =，则2,2n n a S n =-=-，1246,24n n n S S n S n +++=--=-，所以122n n n S S S +++≠，与122n n n S S S +++=矛盾，不合题意； ·························································· 2分 ②若1q ≠，则()111n n a q S q-=-，()()+1+2111211,11n n n n a q a q S S qq++--==--， ··············· 3分 所以()()()+1+21111121111n n n a q a q a q q q q---+=---，整理得，+1+22n n n q q q +=，即220q q +-=，解得1q =（舍去）或2q =-， ·································································· 4分 所以()()1222n nn a -=-⨯-=-． ·································································· 6分（2）依题意，()()**21221121,22k k k k b k k b k k --++⎡⎤⎡⎤==∈==∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N N ， ················· 7分 所以()()()()()101122334455667788991010T a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =+++++++++ ···· 8分 ()()()()()1234567891023+45a a a a a a a a a a =++++++++ ··························· 9分()()()()()()23456122222322⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯-+-+⨯-+-+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()78910422522⎡⎤⎡⎤+-+-+⨯-+-⎣⎦⎣⎦35791222324252=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 21696512+2560=+++ 3186=． ······················································································· 10分解法三：（1）因为21,,n n n S S S ++成等差数列，所以212n n n S S S ++=+， ························· 1分 当1n =时，1322S S S =+，化简得322a a =-， ··············································· 2分设{}n a 的公比为q ，所以2q =-， ····························································· 4分 当2q =-时，()1223n n S +---=，因此()122223n n S +⎡⎤---⎣⎦=，()()()()1322+2+1222222242++==3333n n n n n n S S ++++⎡⎤----------+-⎣⎦=，满足212n n n S S S ++=+，故2q =-符合题意．所以12(2)(2)n n n a -=-⨯-=-． ··································································· 6分数学参考答案及评分细则 第3页（共 16页）（2）依题意，11b =，21b =，32b =，42b =，53b =，63b =，74b =，84b =，95b =，105b =，·········································································································· 7分所以2345678910102(2)2(2)2(2)3(2)3(2)4(2)4(2)5(2)5(2)T =-+-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯- ·········································································································· 8分 2345678910[2(2)]2[(2)(2)]3[(2)(2)]4[(2)(2)]5[(2)(2)]=-+-+⨯-+-+⨯-+-+⨯-+-+⨯-+- ................................................................................................................................................... 9分 457922324252=++⨯+⨯+⨯ 216965122560=++++3186=． ................................................................................................................................. 10分 18．本小题主要考查独立事件的概率、互斥事件的概率，二项分布、数学期望等基础知识；考查数学建模能力，运算求解能力，逻辑推理能力，创新能力以及阅读能力等；考查统计与概率思想、分类与整合思想等；考查数学抽象，数学建模和数学运算等核心素养；体现应用性和创新性．满分12分． 解法一：（1）甲滑雪用时比乙多536180⨯=秒3=分钟，因为前三次射击，甲、乙两人的被罚时间相同，所以在第四次射击中，甲至少要比乙多命中4发子弹．设“甲胜乙”为事件A ，“在第四次射击中，甲有4发子弹命中目标，乙均未命中目标”为事件B ，“在第四次射击中，甲有5发子弹命中目标，乙至多有1发子弹命中目标”为事件C ， ·········································································································· 1分依题意，事件B 和事件C 是互斥事件，A=B+C ， ········································· 2分 ()()4555411551414113B ,C 5545444P C P C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ························ 4分 所以，()()()69A B C 12500P P P =+=.即甲胜乙的概率为6912500. ········································································ 5分（2）依题意得，甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为X ，乙选手在比赛中未击中目标的子弹数为Y ，则1120,,20,54X B Y B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ··········································· 7分所以甲被罚时间的期望为1112045EX ⨯=⨯⨯=（分钟）， ································ 8分乙被罚时间的期望为1112054EY ⨯=⨯⨯=（分钟）， ······································ 9分又在赛道上甲选手滑行时间慢3分钟， 所以甲最终用时的期望比乙多2分钟. ······················································ 11分 因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高. ············································ 12分 解法二：（1）同解法一． ··············································································· 5分数学参考答案及评分细则 第4页（共 16页）（2）设甲在一次射击中命中目标的子弹数为ξ，则45,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以4545E ξ=⨯=，所以甲在四次射击中命中目标的子弹数的期望为416E ξ=，······························· 7分 设乙在一次射击中命中目标的子弹数为η，则35,4B η⎛⎫⎪⎝⎭，所以315544E η=⨯=，所以乙在四次射击中命中目标的子弹数的期望为415E η=， ······························· 9分 所以在四次射击中，甲命中目标的子弹数的期望比乙多1，所以乙被罚时间的期望比甲多1分钟，又因为在赛道上甲的滑行时间比乙慢3分钟，所以甲最终用时的期望比乙多2分钟，······················································································ 11分 因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高. ·············································· 12分 19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成角、二面角等基础知识；考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性．满分12分．解法一：（1）如图，在△VAC 内过P 作PM VC ⊥，垂足为M ，在△VBC 内过M 作MN VC ⊥交VB 于N ，连结PN ，则直线PN 即为直线l . ··························· 2分 理由如下：因为PM VC ⊥，MN VC ⊥，PM MN M =， 所以VC ⊥平面PMN ， 由于过空间一点与已知直线垂直的平面有且只有一个，所以平面PMN 与平面α重合，因为平面PMN 平面VAB PN =，所以直线PN 即为直线l . ···························· 4分 （2）因为VAB △和ABC △均为等边三角形，所以,VA VB AC BC ==，又因为VC VC =,所以VAC VBC ≌△△，所以PVM NVM ∠=∠，又VM VM =，所以Rt Rt VPM VNM △△≌，所以VP VN =，所以23VN VB =. ······· 5分如图，设AB 的中点为D ，连结,VD CD ，因为VAB △和ABC △均为等边三角形，所以,VA VB AC BC ==，所以,AB VD AB CD ⊥⊥， 又因为VD CD D =，所以AB ⊥平面VCD ，因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面VCD .在△VCD 中，作VO ⊥CD ，垂足为O ，因为平面ABC 平面VCD CD =，VO ⊂平面VCD ， 所以VO ⊥平面ABC ，所以VCD ∠是直线VC 与平面ABC 所成的角，所以π3VCD ∠=. ························ 7分 因为VAB △和ABC △均是边长为4的等边三角形，所以VD DC ==,所以VCD △是等边三角形，所以3VO =，DO OC =. 以O 为原点，分别以,OC OV 的方向为y 轴和z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标数学参考答案及评分细则 第5页（共 16页）系O xyz -，则()()()()2,3,0,2,3,0,0,3,0,0,0,3A B C V ---， ······································· 8分 所以()()()0,3,3,2,23,0,4,0,0,CV CA AB =-=--=124,333CP CV CA ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭,28,0,033⎛⎫== ⎪⎝⎭PN AB . 过l 及点C 的平面为平面CPN ，设平面CPN 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩CP PN n n 即40,380.3⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y z x 取=n ， 即平面CPN 的一个法向量为=n . ·················································· 10分易知，平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m ， ··········································· 11分 所以cos ,⋅<>===⋅m n m n m n ， 所以过l 及点C 的平面与平面ABC ． ············ 12分 解法二：（1）如图，在△VAB 内过P 作PN AB ∥，交VB 于N ，则直线PN 即为直线l . ············································································· 2分 理由如下： 取VC 的中点Q ，连结,AQ BQ ，因为VAB △和ABC △均为等边三角形，所以,VA AC VB BC ==，所以,VC AQ VC BQ ⊥⊥，又因为AQ BQ Q =，所以VC ⊥平面ABQ ， 又因为VC ⊥平面α，所以平面α∥平面ABQ ，又因为平面α平面VAB l =，平面ABQ 平面VAB AB =， 所以AB l ∥，所以直线PN 即为直线l . ························································ 4分（2）由（1）知，PN AB ∥，因为23VP VA =，所以23VN VB =. ····························· 5分设AB 的中点为D ，连结VD ，交PN 于G ，连结CG ， 因为VAB △和ABC △均为等边三角形，所以,VA VB AC BC ==，所以,AB VD AB CD ⊥⊥， 又因为VD CD D =，所以AB ⊥平面VCD ，AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面VCD .在△VCD 中，作VO ⊥CD ，垂足为O ，因为平面ABC 平面VCD CD =，VO ⊂平面VCD ，所以VO ⊥平面ABC ，数学参考答案及评分细则 第6页（共 16页）所以VCD ∠是直线VC 与平面ABC 所成的角，所以π3VCD ∠=， ······················ 7分 因为VAB △和ABC △均是边长为4的等边三角形，所以23VD DC ==,π3VDC ∠=，因为AB PN ∥，所以12333DG DV ==．由（1）知，过l 及点C 的平面为平面CPN ，因为AB ⊄平面CPN ，PN ⊂平面CPN ，所以AB ∥平面CPN ， ····················· 8分 设平面CPN 平面'ABC l =，因为AB ⊂平面ABC ，所以'AB l ∥，因为AB ⊥平面VCD ，CG ⊂平面VCD ，CD ⊂平面VCD ，所以,AB CG AB CD ⊥⊥， 所以','CG l CD l ⊥⊥，又因为CG ⊂平面CPN ，CD ⊂平面ABC ， 所以GCD ∠为平面CPN 与平面ABC 所成的锐二面角的平面角， ···················· 10分在△GCD 中，由余弦定理得，2222cos CG DG DC DG DC GDC =+-⋅⋅∠，221CG =,········································································································ 11分所以22257cos 2CG DC DG GCD CG DC +-∠=⋅， 所以过l 及点C 的平面与平面ABC 57． ············ 12分20．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性．满分12分．解法一：（1）在△ABC 中，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=， ····························· 1分又因为6=a ，12cos 2b B c +=，所以2221222a c b b c ac+-+⋅=， ··································································· 2分 整理得2236b c bc +-=. ··········································································· 3分在△ABC 中，由余弦定理得22362cos b c bc A +-=， 所以2cos bc bc A =，即1cos 2A =. ······························································· 4分 又因为(0,)A ∈π，所以3A π=． ································································ 5分 （2）选③． ······························································································· 6分因为M 为△ABC 的内心，所以1=26π∠=∠∠=BAD CAD BAC ，由ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+， ················································· 7分得111sin sin sin 232626πππ=⋅+⋅bc c AD b AD ， 因为=33AD ，所以3133()22b c =+，即3bcb c +=. ....................................... 8分数学参考答案及评分细则 第7页（共 16页）由（1）可得2236b c bc +-=，即2()336b c bc +-=， ····································· 9分 所以2()33609bc bc --=，即(9)(4)09bcbc +-=， ········································ 10分 又因为0bc >，所以36bc =， ································································· 11分所以113sin 363232∆π==⨯=ABC S bc ················································ 12分解法二：（1）因为6a =，12cos 2b B c +=，所以2cos 2b a B c +=，··········································································· 1分 在△ABC 中，由正弦定理得sin 2sin cos 2sin B A B C +=，即sin 2sin cos 2sin()B A B A B +=+， ························································· 2分 即sin 2sin cos 2sin cos 2cos sin B A B A B A B +=+，即sin 2cos sin B A B =， ·········································································· 3分因为()0,B ∈π，所以sin 0B ≠，故1cos 2A =. ····································································· 4分 又因为(0,)A ∈π，所以3A π=． ································································ 5分（2）选②． ······························································································· 6分因为M 为△ABC 的垂心，所以222BMD MBD ACB ACB πππ⎛⎫∠=-∠=--∠=∠ ⎪⎝⎭，又3MD ，················· 7分 所以在△MBD 中，tan 3BD MD BMD ACB =⋅∠∠，同理可得3CD ABC =∠， ····································· 8分 又因为6BD CD +=3+36ABC ACB ∠∠=，即tan +tan 23ABC ACB ∠∠= ······································ 9分 又因为在△ABC 中，()tan tan 3ABC ACB BAC ∠+∠=-∠=-，所以tan tan 31tan tan ABC ACBABC ACB∠+∠=--∠∠，因此tan tan =3ABC ACB ∠∠．·································································· 10分 故tan tan ABC ACB ∠∠，为方程22330x x -+=两根，即tan =tan =3ABC ACB ∠∠ 因为()0,ABC ACB ∠∠∈π，，所以==ABC ACB π∠∠，所以△ABC 为等边三角形， ··································· 11分 所以2136932ABC S ∆=⨯= ······························································ 12分 解法三：（1）同解法一. ················································································· 5分 （2）选②． ······························································································· 6分因为M 为△ABC 的垂心，。
高三数学诊断性模拟试卷(理科附答案)
高三数学诊断性模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知全集U＝N，集合A＝{x|≥0，x∈N}，则∁U A＝（）A.{2}B.{1, 2}C.{2, 3}D.{0, 1, 2}2. 若复数z满足z(1+i3)＝3+i（i为虚数单位），则z＝（）A.1+2iB.1−2iC.2+iD.2−i3. 若sin，则sin2θ的值为（）A. B. C. D.4. 函数f(x)＝−x的图象大致为（）A. B.C. D.5. 如图，矩形ABCD中，AB＝，正方形ADEF的边长为1，且平面ABCD⊥平面ADEF，则异面直线BD 与FC所成角的余弦值为（）A. B. C. D.6. 已知，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A.3B.C.D.47. 已知a，b∈{−2, −1, 1, 2}，若向量＝(a, b)，＝(1, 1)，则向量与所成的角为锐角的概率是（）A. B. C. D.8. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁，扇面形状较为美观．从半径为r的圆面中剪下扇形OAB，使剪下扇形OAB后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为√5−1，再从扇形OAB中剪下扇环形ABDC2．则一个按上述方法制作的扇环形装饰品制作扇面，使扇环形ABDC的面积与扇形OAB的面积比值为√5−12（如图）的面积与圆面积的比值为（）A.√5−12B.√5−14C.3−√52D.√5−29. 已知圆C：(x−√3)2+(y−3)2=3，过直线√3x−y−6=0上的一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值为（）A.1 3B.√23C.√33D.2310. 已知平面向量，，其中||＝2，向量与-的夹角为150∘，则||的最大值为（）A.2B.3C.4D.11. 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F作倾斜角为45∘的直线交抛物线于A，B两点，点A，B 在抛物线准线上的射影分别是A′，B′，若四边形AA′B′B的面积为32，则该抛物线的方程为（）A.y2＝2xB.y2＝4xC.y2＝4xD.y2＝8x12. 设函数f(x)的定义域为R，满足f(x−1)＝2f(x)．当x∈(−1, 0]时，f(x)＝x(x+1)．若对任意x∈[m, +∞)，都有f(x)≥−，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13. 若曲线y＝2ln(x+1)在x＝1处的切线斜率为a，则二项式（x−）3的展开式中的常数项为________.（用数字作答）14. 已知点A，B，C为球O的球面上的三点，且∠BAC＝60∘，BC＝3，若球O的表面积为48π，则点O到平面ABC的距离为________．15. 已知函数f(x)＝4cosωx⋅sin(ωx−）(ω>0)的最小正周期为4，若存在t∈[0, 2]，使得f(t)−m≤0，则实数m的取值范围为________．16. 给出下列五个命题：①已知随机变量ξ服从正态分布N(μ, 2)，若P(ξ<0)＝P(ξ>2)，则随机变量ξ的期望为1，标准差为2；②两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内；③已知log2a+log2b≥1，则2a+4b的最小值为8；④已知f(n)＝n2+pn+q(p, q∈R, n∈N∗)，则“f(n+1)>f(n)”的充要条件是“p≥−2”；⑤已知定义在R上的偶函数f(x)在(−∞, 0]单调递减，若f(−2)＝1，则满足f(1−x)<1的x的取值范围是(−1, 3)．其中所有真命题的序号为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝3，S6−S3＝27，数列{b n}的前n项和T n满足T n＝2b n−n．(Ⅰ)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n(b n+1)}的前n项和R n．18. 某二手车交易市场对2020年某品牌二手车的交易进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图和散点图．用x表示该车的使用时间（单位：年），y表示其相应的平均交易价格（单位：万元）(Ⅰ)已知2020年在此交易市场成交的该品牌二手车为100辆，求使用时间在[12, 20]的车辆数；(Ⅱ)由散点图分析后，可用y＝e bx+a作为此交易市场上该种车辆的平均交易价格y关于其使用时间x的回归方程．x i y i x i z i x5.5930080表中z＝ln y，＝z i根据上述相关数据，求y关于x的回归方程；附：对于一组数据(u1, v1)，(u2, v2)，…(u n, v n)，其回归直线＝+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝-．19. 如图，在三棱锥D−ABC中，底面ABC为直角三角形，∠ADB＝∠BDC，且AD＝BD＝CD，∠ADC＝60∘．(Ⅰ)证明：平面ABC⊥平面ACD；(Ⅱ)E为BD上一点，且V D−AEC＝V B−ADC，求二面角C−AE−B的余弦值．20. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点P(2, −1)和点Q（）为椭圆C上两点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)A，B为椭圆C上异于点P的两点，若直线PA与PB的斜率之和为0，求线段AB中点M的轨迹方程．21. 已知函数f(x)＝cos x−ln(1++x)，f′(x)为函数f(x)的导数，证明：(Ⅰ)f′(x)在区间(−1−，0)上存在唯一极大值点；(Ⅱ)f(x)在区间[0, +∞)上有唯一零点．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程])22. 在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+）＝−2．(Ⅰ)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)已知直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，l分别与曲线C1和C2交于点A（异于点O）和点B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲])23. 已知f(x)＝|x−2|−|ax+2|．(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)<1的解集；(Ⅱ)若x∈(0, 2)时，不等式f(x)+x>0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】A 10.【答案】C11.【答案】C 12.【答案】B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】−914.【答案】315.【答案】[−2，+∞)16.【答案】①②③⑤三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】（1）设等差数列的公差为d，首项为a1，由于a2＝3，S6−S3＝27，所以，解得，故a n＝2n−1，数列{b n}的前n项和T n满足T n＝2b n−n．所以当n＝1时，解得b1＝1，当n≥2时，b n＝T n−T n−1＝2b n−1+1，整理得b n+1＝2(b n−1+1)，故（常数），故{b n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列；故，整理得，（2）由(Ⅰ)得：，则：①，②，①-②得：，整理得：．18.【答案】（1）由频率分布直方图可知，使用时间在[12, 20]的频率为4×(0.01+0.03)＝0.16，所以使用时间在[12, 20]的车辆数为100×0.16＝16辆；（2）由题意可得，z＝ln y＝ln e bx+a＝bx+a，所以，所以a＝，所以z关于x的线性回归方程为，故y关于x的回归方程为．19.【答案】（1）证明：由题意可知，△ABD≅△CBD，所以AB＝BC，又△ABC是直角三角形，所以∠ABC＝90∘，取AC的中点O，连结DO，BO，所以BO⊥AC，OB＝OA，又因为AD＝DC，∠ADC＝60∘，所以△ADC为正三角形，所以DO⊥AC，因为AO2+OD2＝AD2，OA＝OB，AD＝BD，故OB2+OD2＝BD2，所以DO⊥OB，因为OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，所以DO⊥平面ABC，又DO⊂平面ADC，所以平面ABC⊥平面ACD；（2）由题设以及（1）可知，OA，OB，OD两两垂直，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，又V D−AEC＝V B−ADC，即V C−AED＝V C−AEB，所以点E时BD的中点，设AC＝2，则A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，C(−1, 0, 0)，D(0，0，），，则，设平面CAE的法向量为，则有，即，令z＝1，则x＝0，y＝，故，设平面BAE的法向量为，则有，即，令c＝1，则，故，故＝，由图可知，二面角C−AE−B是锐二面角，所以二面角C−AE−B的余弦值为．20.【答案】（1）设椭圆的方程为mx2+ny2＝1(m>0, n>0, m≠n)，因为点P(2, −1)和点Q（）为椭圆C上两点，所以，解得，故椭圆C的标准方程为；（2）设PA的斜率为k，所以直线PA的方程为y+1＝k(x−2)，即y＝k(x−2)−1，联立方程组，可得(x−2)[(1+4k2)x−8k2−8k+2]＝0，所以点A的横坐标为，纵坐标为，因为直线PA与PB的斜率之和为0，所以直线PB的斜率为−k，同理可求出点B的坐标为，故点M的坐标为，所以点M的坐标满足x＝2y，由，解得x＝±2，所以−2<x<2，故点M的轨迹方程为x−2y＝0(−2<x<2)．21.【答案】证明：(Ⅰ)f(x)的定义域是(−1−，+∞)，f′(x)＝−sin x−，令g(x)＝f′(x)＝−sin x−，则g′(x)＝−cos x+，令ℎ(x)＝g′(x)＝−cos x+，则ℎ′(x)＝sin x−<0在(−1−，0)恒成立，∴ℎ(x)在(−1−，0)上递减，又∵ℎ(−）＝1>0，ℎ(0)＝−1+<0，由零点存在性定理可知，ℎ(x)在(−1−，0)上存在唯一的零点x0，使得ℎ(x0)＝0，在(−1−，x0)上，g′(x)>0，在(x0, 0)上，g′(x)<0，∴f′(x)在(−1−，x0)上单调递增，在(x0, 0)上单调递减，即f′(x)在区间(−1−，0)上存在唯一的极大值点；（2）∵f′(x)＝−sin x−，当x∈[0，）时，f′(x)＝−sin x−<0恒成立，（注意：区间右端点取法不唯一，如取x∈[0, π）也正确），∴f(x)在[0，）上单调递减，∵f(0)＝1−ln(1+）>1−ln e＝0，f（）＝−ln(1+π)<0，∴f(x)在[0，）上存在唯一零点x1，当x∈[，+∞)时，ln(1++x)≥ln(1++）＝ln(1+π)>ln e＝1，∴f(x)＝cos x−ln(1++x)<0在[，+∞)上恒成立，∴f(x)在[，+∞)上没有零点，综上，f(x)在[0, +∞)上有唯一零点．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【答案】（1）曲线C1的参数方程为（α为参数）．转换为直角坐标方程为(x+1)2+(y+ 2)2＝5，整理得x2+y2+2x+4y＝0，根据，转换为极坐标方程为ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ＝0．曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+）＝−2，根据转换为直角坐标方程为x+ y+4＝0．（2）直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，直线l与曲线C1交于点A，则，解得，直线l与曲线C2交于点B，故，解得．故|AB|＝．[选修4-5：不等式选讲]23.【答案】（1）a＝1时，f(x)＝|x−2|−|x+2|＝，所以不等式f(x)<1，等价于，或，或，解得x≥2，或-<x<2，或x∈⌀，所以不等式f(x)<1的解集为{x|x>−}；（2）x∈(0, 2)时，不等式f(x)+x>0恒成立，等价于2−x−|ax+2|+x>0恒成立，即2>|ax+2|恒成立，两边平方并化简得a2x2+4ax<0，又x∈(0, 2)，所以不等式化为a2x+4a<0，即a(ax+4)<0；等价于，或，解得a∈⌀，或−2<a<0，所以实数a的取值范围是(−2, 0)．。
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成都市高2010届毕业班第三次诊断性检测数学（理工农医类）解析：四川省成都市新都一中 肖宏第一卷一、选择题（每小题5分，12个小题共计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是 题目要求的，将所选答案的编号涂在机读卡相应位置上）1、 不等式201x x -≤+的解集为（ ） (A ){x |－1≤x ≤2}(B ){x |－1＜x ≤2} (C ){x |－1≤x ＜2} (D ){x |－1＜x ＜2} 解析：原不等式等价于(1)(2)010x x x +-≤⎧⎨+≠⎩， 解得－1＜x ≤2答案：B2、 计算2312222lim[1()()()]3333n n -→∞+++++L 的结果是( ) (A )53 (B )3 (C ) 23(D )2 解析：因为23121()2222231()()()3[1()]23333313n n n --+++++==--L 所以2312222lim[1()()()]3333n n -→∞+++++L ＝3 答案：B3、 若复数z ＝(m 2－1)＋(m ＋1)i 为纯虚数，则实数m 的值等于( )(A )1 (B )0 (C )－1 (D )±1解析：由题意21010m m ⎧-=⎨+≠⎩ ⇒ m ＝1答案：A4、 已知向量a ＝(－3,2),b ＝(2,1),则|a ＋2 b |的值为( )(A(B )7 (C(Da ＋2b ＝(1,4) 故|a ＋2 b |＝=答案：C5、 设函数f (x )＝x 2＋2(－2≤x ＜0)，其反函数为f －1(x )，则f －1(3)＝() (A )－1 (B )1 (C )0或1(D )1或－1 解析：令f (t )＝3，则t ＝f －1(3) (－2≤t ＜0)有t 2＋2＝3 ⇒ t ＝±1但－2≤t ＜0，故t ＝－1答案：A6、 计算cot 15°－tan 15︒的结果是( )(A )32 (B ) 62 (C(D解法一：cot 15︒－tan 15︒＝cot (45︒－30︒)－tan (45︒－30︒)＝000000001tan 60tan 45tan 60tan 45tan 60tan 451tan 60tan 45+---+＝(2－(2)＝解法二：cot 15︒－tan 15︒＝0000cos15sin15sin15cos15-＝202000cos 15sin 15sin15cos15-＝0cos301sin 302=答案：D7、 设m 、n 为不重合的两条直线，α、β为不重合的两个平面，下列命题为真命题的是( )(A )如果m 、n 是异面直线，m ⊂α，n ⊄α，那么n ∥α；(B )如果m 、n 是异面直线，m ⊂α，n ⊄α，那么n 与α相交；(C )如果m 、n 共面，m ⊂α，n ∥α，那么m ∥n ；(D )如果m ⊂β，m ∥α，n ⊂α，n ∥β，那么m ∥n .解析：如图，可知(A )不正确对于(B )，当n 与α平行时，也可以满足m 与n 异面的条件，故(B )不正确对于(C )，因为m 、n 共面，可设这个平面为γ，又因为m ⊂α，故m 是平面α与γ的交线根据线面平行的性质定理，当n ∥α时，必定有m ∥n 。
(C )正确对于(D )，当α与β相交时命题正确，但当α∥β时，m 、n 可能是异面直线。
故(D )错误答案：C8、 某物流公司有6辆甲型卡车和4辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送280t 货物的业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为30t ，运输成本费用为0.9千元；每辆乙型卡车每天的运输量为40t ，运输成本为1千元，则当每天运输成本费用最低时，所需甲型卡车的数量是( )(A )6 (B )5 (C )4 (D )3解析：设需要甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆 由题意30402800604x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩且x 、y ∈Z运输成本目标函数z ＝0.9x ＋y画出可行域(如图)可知，当目标函数经过A (4,4)时，z 最小7.6千元及需要甲型卡车和乙型卡车各4辆。
答案：C9、 设数列{a n }是项数为20的等差数列，公差d ∈N *，且关于x 的方程x 2＋2dx －4＝0的两个实根x 1、x 2满足x 1＜1＜x 2，则数列{a n }的偶数项之和减去奇数项之和的结果为( )(A )15 (B )10 (C )5 (D )－20解析：记f (x )＝x 2＋2dx －4则函数f (x )的图象与x 轴的两个交点分别在1的两侧注意到f (x )开口向上，故f (1)＜0 ⇒ d ＜32又d ∈N *，故d ＝1又a 2n －a 2n －1＝d所以(a 20＋a 18＋a 16＋……＋a 2)－(a 19＋a 17＋a 15＋……＋a 1)＝(a 20－a 19)＋(a 18－a 17)－……－(a 2－a 1)＝10d ＝10答案：B10.设A 、B 为双曲线x2a2－y2b2 ＝λ(λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量m ＝(1,0)，|AB |＝6，||AB m m u u u r g ＝3，则双曲线的离心率e 等于( )α m n(A )2 (B(C )2(D )2解析：注意到向量m ＝(1,0)是x 轴上的单位向量，||AB m m u u u r g ＝3表示向量AB u u u r 在x 轴上的射影长为3 而|AB |＝6，因此A 、B 点所在的渐近线与x 轴的夹角为60︒.(1)当λ＞0时，有b a＝tan 60︒ ⇒ b所以c 2＝a 2＋b 2＝4a 2 ⇒ e ＝c a＝2 (2)当λ＜0时，有a b ＝tan 60︒ ⇒ a所以c 2＝a 2＋b 2＝4b 2 ⇒ e3=答案：D11.如图为12个单位正方形组成的长方形图形，若沿格线从左下角顶点A 走到右上角顶点B ，每步只走一个单位长度，则所有最短路线的走法中，经过点C 的走法种数是( )(A )42(B )35 (C )20 (D )15解析：从A 到C 的最短路线只有2种从C 到B 横向有3段路，纵向有2段路，共5段路，其最短路线走法有C 52＝10种，故共有2×10＝20种答案：C 12.设f (x )是定义在R 上的偶函数，对x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x －1，若在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )(A )(1,2) (B )(2，＋∞) (C) (D,2)解析：由f (x －2)＝f (x ＋2)，知f (x )是周期为4的周期函数于是可得f (x )在(－2,6]上的草图如图中实线所示而函数g (x )＝log a (x ＋2)(a ＞1)的图象如图中虚线所示结合图象可知，要使得方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)在区间(－2，6]内恰有3个不同的实数根，必需且只需(2)3(6)3g g <⎧⎨>⎩所以g 4383a a lo log <⎧⎨>⎩解得：＜a ＜2答案：D w二、填空题(本大题共计4个小题，每小题4分，共计16分，把答案填在题中横线上)13.如果直线l 1：3x －4y －3＝0与直线l 2关于直线x ＝1对称，则直线l 2的方程为______________.解法一：l 1与l 2关于直线x ＝1对称，由于x ＝1斜率不存在，故l 1与l 2斜率互为相反数，且它们与x ＝1交于同一点(1,1)可得直线l 2的方程为3x ＋4y －3＝0。
解法二：设P (x ,y )是l 2上任意一点，则点P 关于x ＝1的对称点Q (2－x ,y )在l 1上所以3(2－x )－4y －3＝0整理得：3x ＋4y －3＝0，此即l 2的方程。
答案：3x ＋4y －3＝014.已知sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝，则cos 2β的值为________________. 解析：因为sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin＝sin [(α＋β)－α]＝sin β＝3于是cos 2β＝1－2sin 22β＝1－2133= 答案：1315.如图，ABCD 为菱形，CEFB 为正方形，平面ABCD ⊥平面CEFB ，CE ＝1，∠AED ＝30︒，则异面直线BC 与AE 所成角的大小为__________________.解析：由题意，正方形和菱形变成均为1，又平面ABCD ⊥平面CEFB ，所以CE ⊥平面ABCD于是CE ⊥CD ，从而DE在△ADE 中，AD ＝1, DE,∠AED ＝30︒ 由正弦定理得：sin sin AD DE AED DAE=∠∠ 所以sin ∠DAE ＝sin DE AED AD ∠g＝ 故∠DAE ＝45︒又BC ∥AD ，故异面直线BC 与AE 所成角等于∠DAE答案：45︒16.如果函数f (x )同时满足下列条件：①在闭区间[a ,b ]内连续，②在开区间(a ,b )内可导且其导函数为f '(x )，那么在区间(a ,b )内至少存在一点ξ(a ＜ξ＜b )，使得f (b )－f (a )＝f '(ξ)(b －a )成立，我们把这一规律称为函数f (x )在区间(a ,b )内具有“Lg ”性质，并把其中的ξ称为中值。
有下列命题：①若函数f (x )在(a ,b )具有“Lg ”性质，ξ为中值，点A (a ,f (a )),B (b ,f (b ))，则直线AB 的斜率为f '(ξ)；②函数y ＝222x -在(0,2)内具有“Lg ”性质，且中值ξ＝2,f '(ξ)＝－22; ③函数f (x )＝x 3在(－1,2)内具有“Lg ”性质，但中值ξ不唯一；④若定义在[a ,b ]内的连续函数f (x )对任意的x 1、x 2∈[a ,b ],x 1＜x 2，有12[f (x 1)＋f (x 2)]＜f (122x x +)恒成立，则函数f (x )在(a ,b )内具有“Lg ”性质，且必有中值ξ＝122x x +. 其中你认为正确的所有命题序号是___________________.解析：对于①，根据导函数的几何意义立即可得正确；对于②，函数y 在(0,2)上连续且可导，代值计算可得两端点连线的斜率为－22又y '＝1221(2)()22x x ---，当x ＝2时，y '＝－22，故②正确。
对于③，两端点连线斜率为3而f '(x )＝3x 2，令3x 2＝3 ⇒ x ＝±1，在(－1,2)内只有一个中值ξ＝1，故③错误；对于④，12[f (x 1)＋f (x 2)]＜f (122x x +)只能保证f (x )是上凸函数，不能保证中值一定在中点处。