材料力学 第八章 复杂应力状态强度问题

强度条件
1 2 3 [ ]
1, 2, 3 － 构件危险点处的工作应力 []= / n－ 材料单向拉伸时的许用应力
r,2 1 2 3
r,2 [ ]
r－相当应力或折算应力
在促使材料破坏或失效 方面，与复杂应力状态 应力等效的单向应力
例2-1 铸铁构件危险点处受力如图, 试校核强度，[]=30 MPa 解：
x 10 MPa
y 20 MPa
2
x 15 MPa
max x y x y 26.2 MPa 2 2 2 x min 16.2 MPa
e 1 e 1u,单拉
时, 材料断裂
e1
1 [ 1 2 3 ] E
单向拉伸断裂时:
1 b 2 3 0 故 e 1u,单拉
b
E
1 2 3 b －材料的断裂条件
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1 2 3 b －材料的断裂条件
r4 3 [ ]
[ ] 3 [ ] [ ] 3

[ ] 0.5 ~ 0.577[ ]
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例 题
例4-1 钢梁, F=210 kN, [] = 160MPa, h = 250 mm, b = 113 mm, t =10mm, d = 13mm, Iz = 5.2510-5 m4, 校核强度
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2
§1 引 言
复杂应力状态强度问题 材料静荷破坏形式与原因
强度理论概说
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3
复杂应力状态强度问题
单向应力与纯剪切 一般复杂应力状态
max
u
n
max
u
n
u , u 由试验测定
每种比值情况下 的极限应力，很 难全由试验测定
本章研究：材料在静态复杂应力状态下的破坏 或失效的规律，及其在构件强度分析中的应用
2 2 b t h 2d 63.1 MPa
max
F max
z
[ bh 8I t
]
如采用第三强度理论
max [ ]
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[ ] 0.5[ ] 80 MPa
3. 腹板翼缘交界处强度校核
M max h a d 119.5 MPa Iz 2 F max b 2 F max bd ( h d ) 2 a h h 2d 46.4 MPa 8I zt 2I zt
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§4 强度理论的应用
强度理论的选用 一种常见应力状态的强度条件
纯剪切许用应力
例题
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强度理论的选用
一般情况
脆性材料：抵抗断裂的能力 < 抵抗滑移的能力 塑性材料：抵抗滑移的能力 < 抵抗断裂的能力
第一与第二强度理论，一般适用于脆性材料 第三与第四强度理论，一般适用于塑性材料 全面考虑
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3. 强度校核 弯扭组合 危险截面－截面B
M B 1.064 kN m TB 1.0 kN m
2 MB 0.75TB2 r4 W
r4
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2 2 32 M B 0.75TB 99.4 MPa [ ] 3 πd
第 8 章 复杂应力状态强度问题
本章主要研究：
关于材料静荷破坏的理论
弯扭组合强度计算
弯拉(压)扭组合强度计算
承压薄壁圆筒强度计算
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§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8
引言 关于断裂的强度理论 关于屈服的强度理论 强度理论的应用 弯扭组合与弯拉(压)扭组合 矩形截面杆组合变形一般情况 承压薄壁圆筒强度计算 含裂纹构件断裂失效概念
2
x , x , y 0
max 0 0 2 2 1 2 2 2 2 2 4 min


1 1 2 2 2 4 3 塑性材料：
r3 2 4 2 [ ]
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2 0
r4 2 3 2 [ ]
20
纯剪切许用应力
r3 2 4 2 [ ]
r4 2 3 2 [ ]
纯剪切情况下（ = 0） 塑性材料:
r3 2 [ ] [ ]
2 [ ] [ ] 2
r4
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 [ ] 2
强度条件
1 , 2 , 3 － 构件危险点处的工作应力
[] － 材料单向拉伸时的许用应力
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试验验证
钢、铝 二向屈 服试验
最大切应力理 论与畸变能理 论与试验结果 均相当接近， 后者符合更好
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材料静荷破坏形式与原因
拉扭破坏现象
塑性材料 脆性材料
断裂
断裂
破坏形式与原因初步分析 屈服或滑移－可能是max 过大所引起 断裂－可能是 t,max 或et,max过大所引起
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强度理论概说
关于材料在静态复杂应力状态下 破坏或失效规律的学说或假说 －强度理论 目前常用的强度理论： 关于断裂的强度理论 最大拉应力理论 最大拉应变理论 关于屈服的强度理论 最大切应力理论 畸变能理论
[
]
如采用第三强度理论
r3 a2 4 a2 151.3 MPa [ ]
4. 讨论
对短而高薄壁截面梁, 除应校核max作用处的强度 外,还应校核max作用处, 及腹板翼缘交界处的强度
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§5 弯扭与弯拉(压)扭组合
弯扭组合强度计算
弯拉(压)扭组合强度计算
材料的失效形式，不仅与材料性质有关，而 且与应力状态形式、温度与加载速率等有关
max ( 1 3 ) / 2 0 ,断裂 低碳钢,三向等拉，
低碳钢, 低温断裂
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一种常见应力状态的强度条件
单向、纯剪切联合作用
max x y x y 2 2 2 x min
理论要点 引起材料屈服的主要因素－最大切应力 max 不论材料处于何种应力状态，当
max s ,单拉
s,单拉
时, 材料屈服 3 max 1
2
s 0
2

s
2
1 3 s －材料的屈服条件
强度条件
r,3 1 3 [ ]
应力状态－单向＋纯剪切 强度条件（塑性材料）
2 r3 M N 4 T [ ] 2 2 r4 M N 3 T [ ] 2
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例 题
例5-1 图示钢质传动轴，Fy = 3.64 kN, Fz= 10 kN, F’z =1.82 kN, F’y = 5 kN, D1 = 0.2 m, D2 = 0.4 m, [] = 100 MPa, 轴径 d=52 mm, 试按第四强度理论校核轴的强度
解：1. 问题分析
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危险截面－截面C+
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FS max 140 kN, M max 5.6 104 N m
危险点：横截面上下边缘；中性轴处； 腹板翼缘交界处
2. max与max作用处强度校核
max
M max M max h 133.3 MPa [ ] Wz 2I z
vd 1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 6E
[
]
泊松比, E 弹性模量
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详见单辉祖编著《材料力学》（高等教育出版社）15
畸变能强度理论要点 引起材料屈服的主要因素－畸变能, 其密度为 vd 不论材料处于何种应力状态，当 时, 材料屈服
1 , 3 － 构件危险点处的工作应力 [] － 材料单向拉伸时的许用应力
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畸变能理论（第四强度理论）
应变能与畸变能概念 应变能－弹性体因变形所储存的能量 畸变能－在外力作用下，微体的形状与体积一般均 发生改变。与之对应，应变能又分为形状改变能与 体积改变能，前者又称为畸变能 畸变能密度－ 单位体积内的畸变能
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解：1. 外力分析
F' y D2 Fz D1 M1 M2 1 kN m 2 2
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2. 内力分析 M1 , M2 T 图 Fy , F’y Mz 图
Fz , F’z My 图
2 M My M z2
max M
W
BC段 M 图－ 凹曲线
1 26.2 MPa 2 0 3 16.2 MPa
因 3 1
宜用第一强度理论考虑强度问题
1 [ ]
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§3 关于屈服的强度理论
最大切应力理论
畸变能理论 试验验证
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最大切应力理论（第三强度理论）
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§2 关于断裂的强度理论
最大拉应力理论 最大拉应变理论 试验验证
例题
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最大拉应力理论（第一强度理论）
理论要点 引起材料断裂的主要因素－最大拉应力1 不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应 力1 达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应力 1u（即b），材料即发生断裂
例题
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弯扭组合强度计算
弯扭组合 危险截面: 截面A 危险点: a 与 b
W a T T T Wp 2W
a M M
应力状态－单向＋纯剪切 强度条件（塑性材料, 圆截面）
2 2 r3 M 4 T [ ]
2 2 M T r3 [ ] W
vd vds ,单拉
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 vd 6E
1 2
[
]
vds,单拉
1 2 s 3E
1 2 2 2 3 2 3 1 2 s －屈服条件
r2－第二强度理论的相当应力
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试验验证
铸铁二 向断裂 试验
在二向拉伸、以及压应力 值超过拉应力值不多的二向拉－ 压应力状态下，最大拉应力理论 与试验结果相当接近 当压应力值超过拉应力值 时，最大拉应变理论与试验结果 大致相符
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例 题
1 b －材料的断裂条件
强度条件
1 b
n
1 [ ]
[ ]
b
n
1 － 构件危险点处的最大拉应力 [] － 材料单向拉伸时的许用应力
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最大拉应变理论（第二强度理论）
理论要点 引起材料断裂的主要因素－最大拉应变 e1 不论材料处于何种应力状态，当

2 2 r4 M 3 T [ ]
2 2 M 0 . 75 T r4 [ ] W 单辉祖:材料力学教程
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弯拉(压)扭组合强度计算
弯拉扭组合 危险截面－截面A 危 险 点－ a
a M N M
W a T T T Wp 2W FN A
30
例 5-2 圆弧形圆截面杆，许用应力为[] ，试按第三强 度理论确定杆径
解：
M1 FRsin
M 2 F BC FR(1 cos )
M M1 FRsin T M 2 FR(1 cos )