人大附中2016-2017学年度第二学期期末高二年级数学试卷(理科)

人大附中2016-2017学年度第二学期期末高二年级数学（理科）

一、选择题（共8道小题，每道小题5分，共40分，请将正确答案填涂在答题纸上．） 1．设i 是虚数单位，则

3

1

1i =-（）． A ．11

i 22-

B ．11

i 22

+

C ．1i -

D ．1i +

【答案】A 【解析】

33

21111i 11

i 1i 1i i 1i 1i 22

-====---⋅+-． 故选A ．

2．在极坐标系中，点π1,4⎛⎫ ⎪⎝⎭与点3π1,4⎛⎫

⎪⎝⎭

的距离为（）．

A ．1

B

C

D

【答案】B

【解析】将极坐标中π1,4⎛⎫ ⎪⎝⎭与31,π4⎛⎫

⎪⎝⎭点化成直角坐标中的点坐标⎝⎭与⎛ ⎝⎭

两点

的距离d == 故选B ．

3．已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为（）． A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-

【答案】B

【解析】∵曲线ln()y x a =+的斜率1

k x a

=+，当1k =时， ∴1x a =-①，

且两者相交于同一点，即1ln()x x a +-+②， 联立①②可得2a =． 故选B ．

4．圆1

1x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩

，（θ为参数）被直线0y =截得的劣弧长为（）．

A

B ．π

C ．

D ．4π

【答案】A

【解析】将圆的参数方程化成一般方程为22(1)(1)2x y ++-=， 圆心(1,1)-到直线0y =的距离1d =，

所截得弦长2l =，

∴劣弧所对的圆心角θ有sin

2

θ

=

∴

π

2

4

θ

=

，π2θ=，

∴劣弧弧长为周长的14，即为12π4r ⨯． 故选A ．

5．直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与圆π4sin 4ρθ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的位置关系是（）．

A ．相交但不过圆心

B ．相交且过圆心

C ．相切

D ．相离

【答案】C

【解析】直线πsin 44ρθ⎛

⎫+= ⎪⎝⎭可化成0y x +-，

圆π4sin 4ρθ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭可化成22((4x y +=，

圆心

到直线的距离2d r ==，

说明圆与直线相切． 故选C ．

6．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（）． A ．0.378 B ．0.3 C ．0.58 D ．0.958

【答案】D

【解析】第一次落地打破的概率为10.3P =， 第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =⨯=， 第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =⨯⨯=，

∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=． 故选D ．

7．若函数2

1()ln 2

f x x x =

-在其定义域的一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（）． A ．(1,2)

B ．[1,2)

C ．[0,2)

D ．(0,2)

【答案】A

【解析】∵21()ln 2f x x x =-，2

11

()(0)x f x x x x x

-'=-=

>， 令()0f x '>，有1x >， 令()0f x '<，有01x <<，

当()f x 在(1,1)k k -+上不是单调函数，则有011k <-<， 解得12k <<． 故选A ．

8．几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知 （1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A ，B ，C ； （2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D ，E ，F ； （3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G ，A ，C ； （4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B ，D ，H ； （5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I ，C ，E ．

倒霉和李华在下落的过程中撞到了从A 到I 的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这9根树枝不同的撞击次序有（）种． A ．23

B ．24

C ．32

D ．33

【答案】D

【解析】由题可判断出树枝部分顺序GABCEF ，还剩下D ，H ，I ， 先看树枝I 在C 之前，有4种可能，而树枝D 在BE 之间，H 在D 之后， 若I 在BC 之间，D 有3种可能： ①若D 在BI 之间，H 有5种可能， ②若D 在IC 之间，H 有4种可能， ③若D 在CE 之间，H 有3种可能．

若I 不在BC 之间，则I 有3种可能，此时D 有2种可能，

D 可能在BC 之间，H 有4种可能，D 可能在C

E 之间，H 有3种可能，

综上共有5433(43)122133++++=+=． 故选D ．

二、填空题（共6道小题，每道小题5分，共30分．将正确答案填写在答题卡要求的空格中．） 9．若5()x a -的展开式中2x 项的系数是10，则实数a 的值是__________． 【答案】1-

【解析】5()x a -展开式中2x 系数为2

335

C ()1010a a -=-=， 可得1a =-．

10．在复平面上，一个正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，则该正方形的第四个顶点对应的复数是__________． 【答案】(1,3)-

【解析】正方形三个顶点对应的坐标为(0,0)，(1,2)，(2,1)-， 设第4个顶点为(,)a b ，

则(1,2)(20,10)(2,1)a b --=---=-， ∴1a =-，3b =，即第4个顶点为(1,3)-．

11．设随机变量~(2,)B p ξ，~(4,)B p η，若5

(1)9

p ξ=≥，则(2)p η≥的值为__________． 【答案】

1127

【解析】∵随机变量~(2,)B p ξ，5(1)9

p ξ=

≥， ∴02

251C 9p -=，

∴23

p =

， ∴2~4,3B η⎛⎫

⎪⎝⎭

，

∴2223

2

344

441212211(2)C C C 3333327p η⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

≥．

12．设1a >，1b >，若ln 2ln 3a a b b -=-，则a ，b 的大小关系为__________． 【答案】b a <

【解析】∵ln 2ln 2a a b b b -=--，