人大附中2016-2017学年度第二学期期末高二年级数学试卷(理科)

人大附中2016-2017学年度第二学期期末高二年级数学（理科）

一、选择题（共8道小题，每道小题5分，共40分，请将正确答案填涂在答题纸上．） 1．设i 是虚数单位，则

3

1

1i =-（）． A ．11

i 22-

B ．11

i 22

+

C ．1i -

D ．1i +

【答案】A 【解析】

33

21111i 11

i 1i 1i i 1i 1i 22

-====---?+-． 故选A ．

2．在极坐标系中，点π1,4?? ???与点3π1,4??

???

的距离为（）．

A ．1

B

C

D

【答案】B

【解析】将极坐标中π1,4?? ???与31,π4??

???点化成直角坐标中的点坐标??与? ??

两点

的距离d == 故选B ．

3．已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为（）． A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-

【答案】B

【解析】∵曲线ln()y x a =+的斜率1

k x a

=+，当1k =时， ∴1x a =-①，

且两者相交于同一点，即1ln()x x a +-+②， 联立①②可得2a =． 故选B ．

4．圆1

1x y θθ?=-??=??

，（θ为参数）被直线0y =截得的劣弧长为（）．

A

B ．π

C ．

D ．4π

【答案】A

【解析】将圆的参数方程化成一般方程为22(1)(1)2x y ++-=， 圆心(1,1)-到直线0y =的距离1d =，

所截得弦长2l =，

∴劣弧所对的圆心角θ有sin

2

θ

=

∴

π

2

4

θ

=

，π2θ=，

∴劣弧弧长为周长的14，即为12π4r ?． 故选A ．

5．直线πsin 44ρθ??+= ???与圆π4sin 4ρθ?

?=+ ??

?的位置关系是（）．

A ．相交但不过圆心

B ．相交且过圆心

C ．相切

D ．相离

【答案】C

【解析】直线πsin 44ρθ?

?+= ???可化成0y x +-，

圆π4sin 4ρθ?

?=+ ??

?可化成22((4x y +=，

圆心

到直线的距离2d r ==，

说明圆与直线相切． 故选C ．

6．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（）． A ．0.378 B ．0.3 C ．0.58 D ．0.958

【答案】D

【解析】第一次落地打破的概率为10.3P =， 第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =?=， 第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =??=，

∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=． 故选D ．

7．若函数2

1()ln 2

f x x x =

-在其定义域的一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（）． A ．(1,2)

B ．[1,2)

C ．[0,2)

D ．(0,2)

【答案】A

【解析】∵21()ln 2f x x x =-，2

11

()(0)x f x x x x x

-'=-=

>， 令()0f x '>，有1x >， 令()0f x '<，有01x <<，

当()f x 在(1,1)k k -+上不是单调函数，则有011k <-<， 解得12k <<． 故选A ．

8．几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知 （1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A ，B ，C ； （2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D ，E ，F ； （3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G ，A ，C ； （4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B ，D ，H ； （5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I ，C ，E ．

倒霉和李华在下落的过程中撞到了从A 到I 的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这9根树枝不同的撞击次序有（）种． A ．23

B ．24

C ．32

D ．33

【答案】D

【解析】由题可判断出树枝部分顺序GABCEF ，还剩下D ，H ，I ， 先看树枝I 在C 之前，有4种可能，而树枝D 在BE 之间，H 在D 之后， 若I 在BC 之间，D 有3种可能： ①若D 在BI 之间，H 有5种可能， ②若D 在IC 之间，H 有4种可能， ③若D 在CE 之间，H 有3种可能．

若I 不在BC 之间，则I 有3种可能，此时D 有2种可能，

D 可能在BC 之间，H 有4种可能，D 可能在C

E 之间，H 有3种可能，

综上共有5433(43)122133++++=+=． 故选D ．

二、填空题（共6道小题，每道小题5分，共30分．将正确答案填写在答题卡要求的空格中．） 9．若5()x a -的展开式中2x 项的系数是10，则实数a 的值是__________． 【答案】1-

【解析】5()x a -展开式中2x 系数为2

335

C ()1010a a -=-=， 可得1a =-．

10．在复平面上，一个正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，则该正方形的第四个顶点对应的复数是__________． 【答案】(1,3)-

【解析】正方形三个顶点对应的坐标为(0,0)，(1,2)，(2,1)-， 设第4个顶点为(,)a b ，

则(1,2)(20,10)(2,1)a b --=---=-， ∴1a =-，3b =，即第4个顶点为(1,3)-．

11．设随机变量~(2,)B p ξ，~(4,)B p η，若5

(1)9

p ξ=≥，则(2)p η≥的值为__________． 【答案】

1127

【解析】∵随机变量~(2,)B p ξ，5(1)9

p ξ=

≥， ∴02

251C 9p -=，

∴23

p =

， ∴2~4,3B η??

???

，

∴2223

2

344

441212211(2)C C C 3333327p η????????=+?+= ? ? ? ?????????

≥．

12．设1a >，1b >，若ln 2ln 3a a b b -=-，则a ，b 的大小关系为__________． 【答案】b a <

【解析】∵ln 2ln 2a a b b b -=--，

令()ln 2(1)f x x x x =->， ∴()()f a f b b =-， ∴()()1f b f a b -=>， ∴()()f b f a >， ∵1

()20f x x

'=

-<，即()f x 在(1,)+∞单调递减， ∴b a <．

13．抛物线2:4C x y =与经过其焦点F 的直线l 相交于A ，B 两点，若||5AF =，则||AB = __________，抛物线C 与直线l 围成的封闭图形的面积为__________． 【答案】

254

；12524 【解析】∵抛物线24x y =的焦点为(0,1)，

||5AF =，由抛物线性质可知，A 点到准线1y =-距离为5，

∴A 的纵坐标4A y =， ∴(4,4)A ±， 当A 为(4,4)时，413

404

AB k -==-， ∴直线AB 为3

14

y x =

+， 联立直线与抛物线，解得另一交点B 坐标为11,4?

?- ??

?，

∴254AB =，

所围成的封闭面积42

1311251d 44

24S x x x -??=+-= ????．

14．对于有n 个数的序列01:A a ，2a ，L ，(*)n a n ∈N ，实施变换T 得新序列112:A a a +，23a a +，

L ，1n n a a -+，记作10()A T A =；对1A 继续实施变换T 得新序列210()(())A T A T T A ==，记作220()A T A =；L ，110()n n A T A --=．最后得到的序列1n A -只有一个数，记作0()S A ．

（1）若序列0A 为1，2，3，4，则序列2A 为__________． （2）若序列0A 为1，2，L ，n ，则序列0()S A =__________． 【答案】（1）8，12（2）1(2)2n n -+? 【解析】（1）由题意1:12A +，23+，34+，

2:1223A +++，2334+++，即2A 为8，12．

（2）1n =时，0()123S A =+=，

2n =时，0()1223233412333420S A =+++++++=+?+?+=，

L L

联1n -时，01221

011111()C 1C 2C 3C (1)C n n n n n n n S A n n -------=?+?+?+-+?L ， 联n 时，01210111()C 1C 2C 3C C (1)n n n n n n n S A n n ----=?+?+?+?+?+L ，

利用倒序相加可得：

102()2(2)22

n

n n S A n -+=?=+?．

三、解答题（共六道小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分12分）

一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个小球，以X 表示取出的3个球中最小的号码数，求X 的分布列和期望． 【答案】 【解析】

16．（本小题满分12分）

已知函数2()f x ax bx c =++，[0,6]x ∈的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数()f x 的值域为[0,9]，过动点(,())P t f t 作x 轴的垂线，垂足为A ，连接OP ． （1）求函数()f x 的解析式．

（2）记OAP △的面积为S ，求S 的最大值．

【答案】见解析． 【解析】（2）211

||||(6)22

OAP S OA AP t t t =

?=-△，(0.6)t ∈，

21

()(6)2S t t t t =-，

23

()62

S t t t '=-，

当4t =时，2

max ()(4)4(644)162S t S ==??-=，

即AOP △面积最大值为16．

17．（本题满分14分）

某保险公司开设的某险种的基本保费为1万元，今年参加该保险的人来年继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的下一年度的保费与其与本年度的出险次数的关联如下：

分布列如下：

（1（2）若现如此续保人来年的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率． （3）求该续保人来年的平均保费与基本保费的比值． 【答案】（1）0.55．（2）

3

11

．（3）1.23． 【解析】（1）设出险次数为事件X ，一续保人本年度的保费为事件A ， 则续保人本年度保费高于基本保费为事件C ， 则()()P C P A a =>，

()(2)(3)(4)(5)P C P x P x P x P x ==+=+=+≥

0.200.200.100.050.55=+++=．

（2）设保费比基本保费高出60%为事件B ， ()(4)(5)0.10.053

(/)()()0.5511

P BC P x P x P B C P C P C =+=+=

===． （3）平均保费()0.850.30.150.2 1.250.2 1.50.1 1.7520.05E A =?++?+?+++?

1.23=，

∴平均保费与基本保费比值为1.23

1.231

=．

18．（本题满分14分）

设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间．

（2）当02a <<时，求函数2()()1g x f x x ax =---在区间[0,3]的最小值． 【答案】 【解析】

19．（本题满分14分）

某校准备举办一次体操比赛，邀请三位评委（编号分别为1，2，3）打分，比赛采用10分制，评委的打分只能为正整数，据赛前了解，参赛选手均为中上水平，并无顶级选手参赛，已知各评委打分互不影响，并且评委(1,2,3)i i =一次打分与选手真实水平差异i X 服从分布如下：

现有两个给分方案：

方案一：从三位评委给分中随机抽一个分数作为选手分数．

方案二：从三位评委给分中分别去掉最高分，去掉最低分，将剩下那个分数作为选手分数． （1）1p =__________，2p =__________，3p =__________，评委__________水平最高． （2）用随机变量X 表示使用方案一时选手得分与其真实水平差异，用随机变量Y 表示使用方案二时选手得分与其真实水平差异，分别求出X ，Y 的分布列． （3）如果请你来决策，你会选哪种方案？请说明理由． 【答案】 【解析】

20．（本题满分14分）

设函数3

()2f x x =，1

3

()g x x x =+．

（1）令()()()h x f x g x =-，求证：函数()h x 只有1-，0，1三个零点． （2）若数列{}(*)n a n ∈N 满足：1a a =，1()()n n f a g a +=． 求证：存在常数M ，使得*n ?∈N ，都有n a M ≤． 【答案】 【解析】