四川省成都石室中学高三数学8月月考理旧人教版【会员独享】

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四川省成都市石室中学高三数学模拟(理科)

四川省成都市石室中学高三数学模拟试卷（理科）一、选择题：只有唯一正确答案，每小题5分，共50分2．（5分）复数的虚部是（）解：复数==i3．（5分）已知，则的值为（）．．．）﹣﹣﹣）﹣（﹣）4．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）6．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）．．D，由=3，T=．x+∴×．2=≥﹣8．（5分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（），由条件可得2，故⊥∵∴﹣2∴•，∴⊥9．（5分）反复抛掷一枚质地均匀的骰子，每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数，当记录10．（5分）已知关于x的方程﹣2x2+bx+c=0，若b、c∈{0，1，2，3，4}，记“该方程有实数．．．．二、填空题：每小题5分，共25分11．（5分）已知数列{a n}的前n项和，则a n=﹣3×2n﹣1（n∈N*）．，得（12．（5分）（1+2x）n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n等于8．（•，4=4，=2×，解得13．（5分）如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为．高为的正四棱锥，，高为的正四棱锥V==故答案为：14．（5分）设向量与的夹角为θ，，，则cosθ等于．先求出解：∵∴=∴==故答案为：15．（5分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（﹣1，1），恒成立．有下列结论：①f（0）=0；②函数f（x）为（﹣1，1）上的奇函数；③函数f（x）是定义域内的增函数；④若，且a n∈（﹣1，0）∪（0，1），则数列{f（a n）}为等比数列．其中你认为正确的所有结论的序号是①②④．，可证出，当，，则，则，所以，，，则=f三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知△ABC的面积S满足，的夹角为θ．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的最大值．）由题意知=3tan∵∴，∴，∴．，∴，即时，，）的最大值为17．（12分）三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC，∠ACB=90°，AC=CB=2．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABC；（Ⅱ）若，且异面直线PC与AD的夹角为60°时，求二面角P﹣CD﹣A的余弦值．中，∴∵为正三角形，解得，，，∵，∴，∵，取的法向量为∴18．（12分）设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈R，有f（sinx）=﹣cos2x+cos2x+2sinx ﹣3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若方程有解，求实数a的取值范围．先验证当时方程2a=的值域即可，分类讨论：①当时，当时，时，，则，因为函数时，，则，，+3（19．（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千年时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）﹣﹣取最大值，且时，当且仅当x=x=21．（13分）设数列{a n}为单调递增的等差数列，a1=1，且a3，a6，a12依次成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）若，求证：．∴，）证明：22．（14分）已知函数．（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．时，恒成立，即）知：）解：由题恒成立，即，则，则，知：∴=高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801。

四川省成都石室中学2014届高三8月月考数学(理)试题

四川省成都石室中学2014届高三8月月考数学（理）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知幂函数)(x f y =的图象经过点(16,4)，则)641(f 的值为( ) A ．3 B ．13C ．18D ．142．集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤,B ={}0x x <,则A B = （）A ．(,0-∞）B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞3．函数1x 11y --=（） A ．在),1(∞+ 内单调递增 B ．在),1(∞+ 内单调递减C ．在),1(∞+- 内单调递增D ．在),1(∞+- 内单调递减4．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A ．()x f x x=B ．())lgf x x =C ．()x xx x e e f x e e --+=-D ．()2211x f x x-=+5．“22ab >”是 “22log log a b >”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<7．设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=，若实数a 、b 满足()0,()0f a g b ==, 则（）A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<8．若函数()()1x f x x e =+，则下列命题正确的是（）A ．对任意21m e >-，都存在x R ∈，使得()f x m <； B ．对任意21m e <-，都存在x R ∈，使得()f x m <；C ．对任意21m e <-，方程()f x m =只有一个实根；D ．对任意21m e>-，方程()f x m =总有两个实根．9．直线l ：30x y +-=分别与函数3xy =和3log y x =的交点为11(,)A x y 、22(,)B x y ，则122()y y +=（）A ．4B ．6C ．8D ．不确定10．已知函数()lg f x x =.若0a b <<，且()()f a f b =，则23a b +的取值范围是（）A ．()+∞ B ．)⎡+∞⎣Ｃ．[)5,+∞ D ．()5,+∞二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共25分．11．计算121(lg lg 25)100=4--÷ _.12．设函数()()x xf x x e ae -=-()x R ∈是偶函数，则实数a = _______.13．已知函数22, 0(), 0x a x f x x ax a x ⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____ .14.设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x=++,若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为________.15．设)(x f y =为R 上的奇函数，)(x g y =为R 上的偶函数，且)1()(+=x f x g ，则(2014)f = ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分)设数列{}n a 满足11a =,13n n a a +=,n N +∈. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；(Ⅱ)已知{}n b 是等差数列,n T 为前n 项和,且12b a =，3123b a a a =++,求20T . 17．（本小题满分12分)已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+= （Ⅰ）判断函数()x f 的奇偶性；（Ⅱ）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin sin sin sin cos 21A B B C B ++=. (Ⅰ)求证 a 、b 、c 成等差数列； (Ⅱ) 若23C π=，求错误！未找到引用源。

四川省成都市石室阳安中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学(理)试题含答案解析

成都石室阳安高三数学（理科）入学考试一、单选题1.设集合1{|}2S x x =>-，31{|21}x T x -=<，则S T Ç=A.∅B.1{|}2x x <- C.1{|}3x x > D.11{|}23x x -<<2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标为()2,1--，则iz=（）A.12i-- B.2i -- C.12i-+ D.2i-3.走路是最简单优良的锻炼方式，它可以增强心肺功能，血管弹性，肌肉力量等，甲、乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（）A.甲走路里程的极差等于10B.乙走路里程的中位数是26C.甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数D.甲下半年每月走路里程的标准差小于乙下半年每月走路里程的标准差4.若实数x ，y 满足约束条件10240230y x y x y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z y x =-的最大值为（）A.－12B.2C.5D.85.下列命题正确的是（）A.命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题B.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题C.若0x 使得函数()f x 的导函数()00f x '=，则0x 为函数()f x 的极值点；D.命题“0x ∃∈R ，使得20010x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++<”6.已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（）A.2y x =±B.52y x =±C.12y x =±D.y =7.把一个铁制的底面半径为4，侧面积为16π3的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为（）A.16πB.12πC.24πD.9π8.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A.25B.35C.12D.139.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足()()20f x f x ++=，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.1- B.1- C.1 D.1-10.已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A.72B.132C.D.11.设38a =，0.5log 0.2b =，4log 24c =，则（）A.a c b<< B.a b c<< C.b a c<< D.<<b c a12.过点()1,2可作三条直线与曲线3()3f x x x a =-+相切，则实数a 的取值范围为（）A.()1,2 B.()2,3 C.()3,4 D.()4,5二、填空题13.若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280+---=x y x y 的周长，则12a b+的最小值为．14.已知直线1:10l x my -+=过定点A ，直线2:30l mx y m +-+=过定点B ，1l 与2l 相交于点P ，则22PA PB +=________．15.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：cm ）服从正态分布()2100,10N ，若测量10000株水稻，株高在()80,90的约有_______．（若()2~,X N μσ，()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈）16.现有如下命题：①若()3nx n*⎛∈ ⎝N 的展开式中含有常数项，且n 的最小值为10；②1π2x -=⎰；③若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取一个，取后放回，连续取三次，设随机变量ζ表示取出白球的次数，则()2E ζ=；④若定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=-+，则()f x 的最小正周期为8．则正确论断有__________．（填写序号）三、解答题17.为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，已知所有学生的成绩均位于区间[]60,100，从中随机抽取1000名学生的竞赛成绩作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图．（1）若此次活动中获奖的学生占参赛总人数30%，试估计获奖分数线；（2）采用比例分配分层随机抽样的方法，从成绩不低于80的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，记成绩在[]90,100的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，E 为AB 的中点，,1,3,PD CE AE PD PC ⊥===（1）证明：AD ⊥平面PCD.（2）求DA 与平面PCE 所成角的正弦值.19.已知函数()22ln f x x ax b =++在1x =处取得极值1.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在1,e e -⎡⎤⎣⎦上的最大值和最小值.20.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()2,0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，5MF =．（1）求C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一定点Q ，使得_________？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．从①点N 关于x 轴的对称点N '与M ，Q 三点共线；②x 轴平分MQN ∠这两个条件中选一个，补充在题目中“__________”处并作答．注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．21.已知函数()ln x af x x x+=-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当0x >时，1ln(1)11x x x+<<+22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x C y ϕϕ=⎧⎨=-+⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）写出曲线1C 的极坐标方程，曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(2,0)M ，射线0,04πθααρ⎛⎫=-<<≥ ⎪⎝⎭与曲线1C 、2C 分别交于A 、B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求线段AB 的长．23.设()34f x x x =-+-．（1）解不等式()2f x ≤；（2）已知实数x 、y 、z 满足222236(0)x y z a a ++=>，且x y z ++的最大值是1，求a 的值．成都石室阳安高三数学（理科）入学考试一、单选题1.设集合1{|}2S x x =>-，31{|21}x T x -=<，则S T Ç=A.∅ B.1{|}2x x <- C.1{|}3x x > D.11{|}23x x -<<【答案】D 【解析】【分析】先解出集合T,然后集合T 与集合S 取交集即可.【详解】{}{}{}313101|21|22|310|3x x T x x x x x x --⎧⎫=<=<=-<=<⎨⎬⎩⎭,集合12S x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则11{|}23S T x x ⋂=-<<故选D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标为()2,1--，则iz =（）A.12i --B.2i -- C.12i-+ D.2i-【答案】C 【解析】【分析】根据复数对应点坐标得z 的值，再利用复数的除法可得结果.【详解】复数z 对应的点的坐标为()2,1--，则2i z =--，所以222i 2i i12i i i iz ----===-+.故选：C.3.走路是最简单优良的锻炼方式，它可以增强心肺功能，血管弹性，肌肉力量等，甲、乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（）A.甲走路里程的极差等于10B.乙走路里程的中位数是26C.甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数D.甲下半年每月走路里程的标准差小于乙下半年每月走路里程的标准差【答案】C【解析】【分析】根据折线图，得到甲、乙下半年的走路历程数据，根据极差、中位数、平均数以及标准差与数据稳定性之间的关系求解.【详解】对于A选项，712-月甲走路的里程为：31、25、21、24、20、30，甲走路里程的极差为312011-=公里，A错；对于B选项，712-月乙走路的里程为：29、28、26、28、25、26，由小到大排列分别为：25、26、26、28、28、29，所以，乙走路里程的中位数是2628272+=，B对；对于C选项，甲下半年每月走路里程的平均数31252124203015166 +++++=，乙下半年每月走路里程的平均数为2928262825261622766+++++==，所以，甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数，C对；对于D选项，由图可知，甲下半年走路里程数据波动性大于乙下半年走路里程数据，所以甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差，D错.故选：C.4.若实数x ，y 满足约束条件10240230y x y x y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z y x =-的最大值为（）A.－12 B.2 C.5 D.8【答案】C 【解析】【分析】作出可行域，根据目标函数的几何意义，平移目标函数即可求解.【详解】画出可行域如图所示，由230240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，设A (1,2)，则目标函数3z y x =-，经过点A (1,2)时在y 轴上的截距最大，所以在点A (1,2)处z 取得最大值最大值为3215z =⨯-=.故选：C.5.下列命题正确的是（）A.命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题B.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题C.若0x 使得函数()f x 的导函数()00f x '=，则0x 为函数()f x 的极值点；D.命题“0x ∃∈R ，使得20010x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++<”【答案】B 【解析】【分析】根据复合命题的真假判断A ，根据四种命题的关系判断B ，根据极值的定义判断C ，根据命题的否定判断D ．【详解】对于A ：命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 至少有一个假命题，故A 错误；对于B ：命题“若x y =，则sin sin x y =”显然为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，故B 正确；对于C ：若0x 使得函数()f x 的导函数()00f x '=，如果两侧的导函数的符号相反，则0x 为函数()f x 的极值点；否则，0x 不是函数()f x 的极值点，故C 错误；对于D ：命题“存在0R x ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是：“对任意R x ∀∈，均有210x x ++≥”．故D错误.故选：B ．6.已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（）A.2y x =±B.52y x =±C.12y x =±D.y =【答案】C 【解析】【分析】根据离心率求出ba，再根据双曲线的渐近线方程即可得解.【详解】设双曲线的方程为()222210,0y x a b a b -=>>，因为c a ==224b a =，则2b a =，所以渐近线方程为12a y x xb =±=±.故选：C .7.把一个铁制的底面半径为4，侧面积为16π3的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为（）A.16πB.12πC.24πD.9π【答案】A 【解析】【分析】先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积相等即可得出球的半径，再利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】设实心圆柱的高为h ，因为实心圆柱的底面半径为4，侧面积为162π4π3h ⨯⨯=，解得23h =，则圆柱的体积为2232π4π33V =⨯⨯=，设球的半径为R ，则3432ππ33R =，解得2R =，因此，该铁球的表面积为224π4π216πR =⨯=.故选：A.8.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A.25B.35C.12D.13【答案】A 【解析】【分析】利用树图列举基本事件总数，再找出第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数，代入古典概型的公式求解.【详解】从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，故所求概率102255P ==.故选：A.9.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足()()20f x f x ++=，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则112f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A.1- B.1- C.1 D.1-【答案】C 【解析】【分析】结合已知条件()()20f x f x ++=，可以得到函数的周期性，再结合奇偶性可以将112缩小到[]0,1的区间内，从而求出函数值【详解】因为()()20f x f x ++=，所以()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()y f x =是周期为4的函数，所以11113142222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()y f x =是奇函数，所以11122f f ⎛⎫⎛⎫--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故选：C10.已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A.72B.132C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.11.设38a =，0.5log 0.2b =，4log 24c =，则（）A.a c b <<B.a b c<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】A 【解析】【分析】利用指对互算、对数的运算性质和对数函数的单调性即可比较大小.【详解】33log 8log 92a =<=，20.52442log 5log 0.2log 5log 25log 24log 2b c ====>=，而44log 24log 162>=，则a c b <<，故选：A.12.过点()1,2可作三条直线与曲线3()3f x x x a =-+相切，则实数a 的取值范围为（）A.()1,2B.()2,3 C.()3,4 D.()4,5【答案】D 【解析】【分析】求导得到导函数，设切点为()3000,3x x x a -+，得到切线方程，代入点坐标得到3200235a x x =-+，设32()235g x x x =-+，计算函数的极值，得到答案.【详解】3()3f x x x a =-+，2()33f x x '=-，设切点为()3000,3x x x a -+，则切线方程为()())320000333(y x x a x x x --+=--，切线过点(1,2)，()()()32000023331x x a x x --+=--，整理得到3200235a x x =-+，方程有三个不等根.令32()235g x x x =-+，则2()66g x x x '=-，令()0g x '=，则0x =或1x =，当0x <或1x >时，()0g x '>，函数单调递增；当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，极大值(0)5g =，极小值4(1)g =，函数y a =与3200235y x x =-+有三个交点，则45a <<，a 的取值范围为(4,5).故选：D二、填空题13.若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280+---=x y x y 的周长，则12a b+的最小值为．【答案】【解析】【详解】由题意()1,0a b a b +=>，所以()12122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭当且仅当1,2a b ==时等号成立.14.已知直线1:10l x my -+=过定点A ，直线2:30l mx y m +-+=过定点B ，1l 与2l 相交于点P ，则22PA PB +=________．【答案】13【解析】【分析】根据题意求点,A B 的坐标，再结合垂直关系运算求解.【详解】对于直线1:10l x my -+=，即()10x my +-=，令0y =，则10x +=，则10x y =-⎧⎨=⎩，可得直线1l 过定点()1,0A -，对于直线2:30l mx y m +-+=，即()()130m x y -++=，令10x -=，则30y +=，则13x y =⎧⎨=-⎩，可得直线2l 过定点()1,3B -，因为()110m m ⨯+-⨯=，则12l l ⊥，即PA PB ⊥，所以()()22222113013PA PB AB ⎡⎤+==++--=⎣⎦.故答案为：13.15.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：cm ）服从正态分布()2100,10N ，若测量10000株水稻，株高在()80,90的约有_______．（若()2~,X N μσ，()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈）【答案】1359株【解析】【分析】由正态分布及其对称性求得(8090)P X ≤≤，即可求得结果.【详解】由题意，100,10μσ==，由正态分布的对称性可得[]10.95450.6827(8090)(1002010020)(1001010010)0.139522P X P X P X -≤≤=⋅-≤≤+--≤≤+≈=故株高在()80,90的约有10000(8090)1395P X ⋅≤≤=株.故答案为：1359株.16.现有如下命题：①若()3nx n*⎛∈ ⎝N 的展开式中含有常数项，且n 的最小值为10；②1π2x -=⎰；③若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取一个，取后放回，连续取三次，设随机变量ζ表示取出白球的次数，则()2E ζ=；④若定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=-+，则()f x 的最小正周期为8．则正确论断有__________．（填写序号）【答案】②③【解析】【分析】①根据二项式的通项公式得到通项为523rn r n r nx--C ，根据展开式中含有常数项得到52n r =，即可得到n 的最小值；②根据积分的几何意义计算即可；③根据二项分布求期望的公式计算即可；④根据()()22f x f x +=-+得到()()4f x f x +=即可得到4是()f x 的一个周期，即8不是最小正周期.【详解】①二项式3nx⎛+ ⎝的通项为()5233rr n n r r r n r n n x x---=C C ，因为展开式中含有常数项，所以502n r -=，即52n r =，所以当2r =时，n 最小，最小为5，故①错；②函数y =根据1x -⎰的几何意义可得21122x -⋅==⎰ππ，故②正确；③由题意得2~3,3B ζ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2323E ζ=⨯=，故③正确；④由()()22f x f x +=-+可得()()()()42222f x f x f x f x +=-++=-+=，所以4是()f x 的一个周期，则()f x 的最小正周期不是8，故④错.故答案为：②③.三、解答题17.为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，已知所有学生的成绩均位于区间[]60,100，从中随机抽取1000名学生的竞赛成绩作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图．（1）若此次活动中获奖的学生占参赛总人数30%，试估计获奖分数线；（2）采用比例分配分层随机抽样的方法，从成绩不低于80的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，记成绩在[]90,100的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）82（2）分布列见解析，47【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图先判断出获奖的分数线所在的区间，设为x ，则成绩在[],100x 的概率为0.3，列出方程即可得解；（2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，从而可得分布列，再根据期望的计算公式计算期望即可.【小问1详解】根据直方图可知，成绩在[]80,100的频率为()0.0250.010100.35+⨯=，大于0.3，成绩[]90,100的频率为0.1，小于0.2，因此获奖的分数线应该介于[)80,90之间，设分数线为[)80,90x ∈，使得成绩在[],100x 的概率为0.3，即()900.0250.010100.3x -⨯+⨯=，可得82x =，所以获奖分数线划定为82；【小问2详解】成绩在[)80,90的人数有0.025750.0250.010⨯=+人，成绩在[]90,100的人数为752-=人，则ξ的可能取值为0，1，2，205227C C 10(0)C 21P ξ===，115227C C 101C 21()P ξ===，025227C C 1(2)C 21P ξ===，ξ的分布列为ξ012P10211021121∴数学期望1010140122121217()E ξ=⨯+⨯+⨯=．18.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，E 为AB 的中点，,1,3,13PD CE AE PD PC ⊥===（1）证明：AD ⊥平面PCD.（2）求DA 与平面PCE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）61【解析】【分析】（1）通过证明PD AD ⊥，AD CD ⊥即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法求解线面角的正弦值.【详解】（1）证明：因为E 为AB 的中点，1AE =，所以2CD AB ==，所以222CD PD PC +=，从而PD CD ⊥.又PD CE ⊥，CD CE C = ，所以PD⊥底面ABCD ，所以PD AD ⊥.因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥.又CD PD D = ，所以AD ⊥平面PCD.（2）解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()2,0,0A ，()0,0,3P ，()2,1,0E ，()0,2,0C ，所以()2,1,3PE =- ，()2,1,0EC =- ，()2,0,0DA =.设平面PCE 的法向量为(),,n x y z =，则0PE n EC n ⋅=⋅= ，即23020x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令3x =，得()3,6,4n = .cos ,61||||n DA n DA n DA ⋅==，故DA 与平面PCE【点睛】此题考查证明线面垂直，求直线与平面所成角的正弦值，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，熟记向量法求线面角的方法.19.已知函数()22ln f x x ax b =++在1x =处取得极值1.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在1,e e -⎡⎤⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）1a =-，2b =；（2）最大值为1，最小值为24e -【解析】【分析】（1）求导后，根据()10f '=，()11f =，可得1a =-，2b =，再检验所求值即可；（2）根据当x 在1,e e -⎡⎤⎣⎦上变化时，()f x ，()f x '的变化情况表可得结果.【详解】（1）因为()22ln f x x ax b =++，所以()22f x ax x'=+.依题意得()10f '=，()11f =，即2201a a b +=⎧⎨+=⎩.解得1a =-，2b =，经检验，1a =-，2b =符合题意.所以1a =-，2b =（2）由（1）可知()22ln 2f x x x =-+，所以()()()21122x x f x x x x+-'=-=.令()0f x '=，得=1x -，1x =.当x 在1,e e -⎡⎤⎣⎦上变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表：x1e -()1,1e -1()1,e e()f x '＋0－()f x 2e --单调递增极大值1单调递减24e -又224e e --<-，所以()f x 在1,e e -⎡⎤⎣⎦上的最大值为1，最小值为24e -.【点睛】本题考查了根据函数的极值求参数，要注意检验所求参数是否符合题意，考查了利用导数求函数的最大、最小值，属于基础题.20.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()2,0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD垂直于x 轴时，5MF =．（1）求C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一定点Q ，使得_________？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．从①点N 关于x 轴的对称点N '与M ，Q 三点共线；②x 轴平分MQN ∠这两个条件中选一个，补充在题目中“__________”处并作答．注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】（1）24y x =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）当直线MD 垂直于x 轴时，点M 的横坐标为2p ，根据抛物线的定义，252pMF p =+=，则C 的方程可求；（2）若选①，设直线MN 的方程为：1x my =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理求得直线MN '的斜率，得直线MN '的方程即可判断；若选②，设直线MN 的方程为：1x my =+，与抛物线方程联立，设(),0Q t ，由题意0MQ NQ k k +=，结合韦达定理得()410m t +=对任意的R m ∈恒成立，则1t =-，得出答案．【小问1详解】当直线MD 垂直于x 轴时，点M 的横坐标为2p 根据抛物线的定义，252pMF p =+=，2p ∴=则抛物线方程为：24y x =．【小问2详解】若选①，若直线MN y ⊥轴，则该直线与曲线C 只有一个交点，不合题意，()1,0F ，设直线MN 的方程为：1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，()22,N x y '-联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，2Δ16160m =+>恒成立得124y y m +=，124y y =-直线MN '的斜率()1212121212111444444MN y y y m m k x x x x m y y y y y '+=====---++∴直线MN '的方程为()1112144y y y x x y -=-+由2114y x =，化简得()121414y y x y =++∴直线MN '过定点()1,0-，∴存在()1,0Q -若选②，若直线MN y ⊥轴，则该直线与曲线C 只有一个交点，不合题意，()1,0F ，设直线MN 的方程为：1x my =+设()11,M x y ，()22,N x y ，设(),0Q t 联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，2Δ16160m =+>恒成立得124y y m +=，124y y =-x 轴平分MQN∠1212121211MQ NQ y y y y k k x t x t my t my t∴+=+=+--+-+-()()()()()()()122112*********(1)1111y my t y my t my y t y y my t my t my t my t +-++-+-+==+-+-+-+-()()1284(1)11m m t my t my t -+-==+-+-84(1)0m m t ∴-+-=，即()410m t +=对任意的R m ∈恒成立，则1t =-．∴存在()1,0Q -．21.已知函数()ln x af x x x+=-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当0x >时，1ln(1)11x x x+<<+【答案】（1）当0a ≥时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当a<0时，函数()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后，分类讨论a ，根据导数的符号可得结果；（2）将所证不等式等价变形后，利用（1）中的单调性可证1ln(1)1x x x+<+成立；作差构造函数，利用导数可证ln(1)1x x+<成立.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，因为221()()x x a x af x x x x-++'=-=，当0a ≥时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当a<0时，由()0f x '<得0x a <<-，由()0f x '>得x a >-，所以函数()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增.【小问2详解】①因为0x >，不等式1ln(1)1x x x +<+等价于ln(1)1x x x +>+，令1t x =+，则1x t =-，由0x >，得1t >，所以不等式ln(1)1x x x +>+（0x >）等价于：1ln t t t->，即：1ln 0t t t -->（1t >），由（1）得：函数1()ln t g t t t-=-在()1,+∞上单调递增，所以()(1)0g t g >=，即：ln(1)1xx x +>+．②因为0x >，不等式ln(1)1x x+<等价于ln(1)x x +<，令()ln(1)h x x x =+-，则1()111x h x x x -=-=++'，所以()0h x '<，所以函数()ln(1)h x x x =+-在()0,∞+上为减函数，所以()(0)0h x h <=，即ln(1)x x +<．由①②得：0x >时，1ln(1)11x x x+<<+.【点睛】关键点睛：第（2）问将所证不等式进行等价变形，再作差构造函数，利用导数证明是本题解题关键.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x C y ϕϕ=⎧⎨=-+⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）写出曲线1C 的极坐标方程，曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(2,0)M ，射线0,04πθααρ⎛⎫=-<<≥ ⎪⎝⎭与曲线1C 、2C 分别交于A 、B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求线段AB 的长．【答案】（1）2sin ρθ=-，22(1)1x y -+=（2）5【解析】【分析】（1）消去参数得1C 直角坐标方程，由公式法求解（2）联立方程得,A B 的极坐标，由极坐标的概念与几何关系求解【小问1详解】221:(1)1C x y ++=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得：1C 的极坐标方程为2sin ρθ=-曲线2C ：由2cos ρθ=得22cos ρρθ=∴222x y x+=∴曲线2C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=【小问2详解】将θα=代入曲线1C 、曲线2C 的极坐标方程可得||2sin ,||2cos A B OA OB ραρα==-==∵04πα-<<∴由题意得||||||B A AB OB OA ρρ=-=-2cos 2sin αα=+∵OM 为曲线2C 的直径∴2OBM π∠=，又4AMB π∠=，∴4BAM AMB π∠=∠=∴||||2sin 2sin()2sin AB MB BOM αα==∠=-=-∴2cos 2sin 2sin ααα+=-，即1tan 2α=-∵04πα-<<∴sin α=∴25||||2sin 5AB MB α==-=23.设()34f x x x =-+-．（1）解不等式()2f x ≤；（2）已知实数x 、y 、z 满足222236(0)x y z a a ++=>，且x y z ++的最大值是1，求a 的值．【答案】（1）{|2.5 4.5}x x ≤≤（2）1【解析】【分析】（1）分类讨论，脱掉绝对值符号，解不等式可得答案；（2）利用柯西不等式即可求得答案.【小问1详解】当3x <时，不等式即342x x -+-+≤，解得 2.5 2.53,x x ≥∴≤<；当34x ≤≤时，不等式即342x x --+≤恒成立，则34x ≤≤；当>4x 时，不等式即342x x -+-≤，解得.54 4.54,x x ∴<≤≤；综合上述，不等式的解集为{|2.5 4.5}x x ≤≤.【小问2详解】由柯西不等式可得：)))()2222222x y z ⎛⎡⎤++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦≥++ ⎢⎥⎣⎦⎝，因为()2222360x y z a a ++=>，故()2a x y z ≥++，而x y z ++的最大值是1，故1a =，当且仅当2361x y z ===时等号成立，故1a =.。

成都石室中学2024届高考数学试题模拟卷(4)

成都石室中学2024届高考数学试题模拟卷（4）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 是虚数单位，a R ∈，532ai i a i +=-+，则a =（） A ．2-B ．1-C ．1D ．22．若1n x ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（） A ．85 B ．84 C ．57 D ．563．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a ∥(a b -)D ．a ⊥( a b -)4．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a b ⨯为a 与b 的“向量积”，且a b ⨯是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=，若()2,0u =，(1,3u v -=-，则()u u v ⨯+=（）A ．BC ．6D ．5．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 6．tan570°=（）A B ．C D 7． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）A ．75B ．65C ．55D ．458．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( )A ．1B ．2C ．3D ．410．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加11．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（）A ．43πB ．4πC ．42πD ．3π12．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．12 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学试题(含解析)

四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．．已知实数,x y 满足x a ，则下列关系式恒成立的是（．221111x y >++ln 2(1)x +＞ln 2(yA ．14B ．128．已知函数()sin(4)(0f x A x ϕ=+<于直线π24x =-对称，将()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，得到函数()g x 的图象，则()g x 在区间A ．12B ．1二、填空题三、解答题(1)求证：AP CP ⊥；(2)求三棱锥P ADE -的体积．19．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在究温度x （℃）与绿豆新品种发芽数其中24y =，71()()70i i i x x y y =--=∑(1)运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合参考答案：8．C【分析】根据已知条件求得求法求得正确答案.sin πA ϕ⎧=⎪因为M 为双曲线右支上一点，设12,MF m MF n ==，则m -故222224,m n mn a m +-=∴+在12F MF △中，2121|||F F MF =15．0【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线方程可得积的坐标运算公式求MA MB ⋅的值【详解】解：如图，设()11,,A x y B y y -317．（1）见解析（2）n T =【详解】试题分析：(1)题中所给的递推关系整理可得：{}n a n -是首项为2，公比为19．(1)可以用线性回归方程模型拟合(2)5722ˆyx =-，种子的发芽颗数为【分析】（1）根据已知数据代入相关系数公式计算即可作出判断；。

四川省成都市石室中学2023届高三高考模拟测试数学(理科)试题

四川省成都市石室中学2023届高三高考模拟测试数学
（理科）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
．甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数
．设zÎC，则在复平面内35
££所表示的区域的面积是（）
z
．B．C．D．
．
13
B ．
23
C ．
43
二、填空题
13．“五一”假期期间，小明和小红两位同学计划去卷上的圆锥曲线大题.如图，小红在街道E 处，小明14．已知点C 的坐标为()2,0，点,A B 是圆0AC BC ×=uuu r uuu r
，设P 为线段AB 的中点，则15．已知函数()()2e R x f x ax a =-Î有两个极值点围为___________．
三、双空题
信基站核心部件，下表统计了该科技集团近几年来在A部件上的研发投入x（亿元）与收益y（亿元）的数据，结果如下：。

2024届四川省成都市石室中学高三零诊模拟考试地理试卷(解析版)

成都石室中学22022～32023学年度下期高224024届零诊模拟考试地理注意事项:1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题。

本大题共40小题，每小题1.5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

某中学地理研学小组到华北某地进行研学。

该地正在打造“太阳山”工程——建设大型山坡集中式光伏发电站，下图示意该地等高线分布。

据此完成下面小题。

1.研学小组发现大面积集中式光伏发电站主要分布在（）A.甲B.乙C.丙D.丁2.图中桥梁与山峰的高差可能是（）A.500米B.540米C.570米D.590米【答案】1.B 2.B【解析】【1题详解】在山区建设光伏发电站，要求地形坡度较小，土地面积较大，同时要光照条件好。

根据图片分析可知甲位于山脊的阴坡，太阳辐射不足，A错误；乙地位于山地的南坡，太阳辐射能强度大，阳光受阻挡较小，等高线稀疏坡度小，土地面积较大，B正确。

丙地位于河谷，地势较低太阳辐射不足，且受河流影响，不利于大面积铺设太阳能设备，C错误；丁地位于山脊，且南侧海拔较高，遮挡阳光，光照条件较差，D错误。

故选B。

【2题详解】读图可知，根据瀑布的高差约为52m，而等高距为100米，则可计算出桥梁的海拔在352-400米之间，山峰海拔为915米，交叉相减可知，桥梁和山峰的高差应当为515-567米，B符合该范围，B正确，ACD均错误。

本题选B。

【点睛】光伏发电站选址原则：应建设在光照充足且光照时间较长，地形平坦且土地面积较大的地区，有利于发电量的稳定，也有利于大量布置光伏发电设备，使设备正常运转。

2022-2023学年四川省成都市青羊区石室中学高三(上)期中数学试卷(理科)+答案解析(附后)

2022-2023学年四川省成都市青羊区石室中学高三（上）期中数学试卷（理科）1. 已知复数z满足，则在复平面内复数z对应的点在( )A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限2.已知数列的前n项和是，则( )A. 20B. 18C. 16D. 143. 设全集，集合，，则( )A. B. C. D.4. 函数在区间的图象大致为( )A. B.C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.6.已知命题p：在中，若，则；命题q：向量与向量相等的充要条件是且在下列四个命题中，是真命题的是( )A. B. C. D.7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. 直线是函数的图象的一条对称轴B. 函数的图象的对称中心为，C. 函数在上单调递增D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象8. 数列中，，对任意m，，，若，则( )A. 2B. 3C. 4D. 59. 2020年，由新型冠状病毒感染引起的新型冠状病毒肺炎在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量法以其高灵敏度与强特异性，被认为是的确诊方法，实时荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某样本的扩增效率，则被测标本的DNA大约扩增次后，数量会变为原来的125倍．参考数据：( )A. 10B. 11C. 12D. 1310. 设，，其中e是自然对数的底数，则( )A. B. C. D.11. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为，则正三棱柱的体积的最大值为( )A. B. C. D.12. 已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线AB 经过该抛物线的焦点，则线段AB的长为( )A. 8B. 6C. 5D.13.已知向量满足，则______.14. 在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为______.15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，若，且的面积为3，则双曲线C的焦距为______. 16. 已知函数，若关于x的方程有8个不同的实数解，则整数m的值为______其中e是自然对数的底数17. 已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量，且求角C；若，，D为BC的中点，，求的面积．18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数；在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；19. 如图，四棱柱中，底面ABCD是矩形，且，，，若O为AD的中点，且求证：平面ABCD；线段BC上是否存在一点P，使得二面角的大小为？若存在，求出BP的长；若不存在，说明理由．20. 已知曲线C上的任意一点到点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，过点F作不与x轴重合的直线与曲线C相交于A，B两点，过点A作AP垂直于直线l，交直线l于点P，直线PB与x轴相交于点求曲线C的方程；求面积的最大值．21.已知函数在处的切线方程为求实数m和n的值；已知，是函数的图象上两点，且，求证：22. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴取相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；若点P的极坐标为，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．23. 已知函数，M为不等式的解集．求集合M；设a，，求证：答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，所以，所以复数z对应的点为，故在复平面内复数z对应的点在第三象限．故选：结合复数的除法运算化简z，由复数与复平面的对应关系即可求解．本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：设数列的前n项和为，则，故故选：由直接代值运算即可．本题主要考查了等车数列的和与项的递推关系，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：因为全集，集合，所以，又因为，所以，故选：解一元二次不等式进而确定全集中的元素，根据集合A，求得，根据集合的交集运算即可求得答案．本题考查集合的运算性质，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：函数，，所以为奇函数，排除B，D；当时，，排除故选：由函数的奇偶性及函数值的大小进行排除即可求得结论．本题主要考查函数的图象的判断，考查函数的性质，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一正方体，从上面去掉一个圆锥，且圆锥的底面直半径、高都与正方体边长相等；该几何体的体积为故选：根据几何体的三视图，得出该几何体是一正方体，中间去掉一个圆锥的组合体，由此求出它的体积．本题利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征是什么．6.【答案】D【解析】解：命题q：向量与向量相等的充要条件是向量与向量大小相等，方向相同，故命题q是假命题，命题p：在中，若，由于余弦函数在上单调递减，则，故命题p为真命题；因此，为假命题，为假命题，为假命题，为真命题．故选：结合余弦三角函数单调性可判断p正确，由向量相等的条件可判断q错误．本题考查复合命题的真假，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由函数图象可知，，最小正周期为，所以，将点代入函数解析式中，得，又因为，所以，故，对于选项A，令，，即，，令，则，故选项A错误；对于选项B ，令，则，，所以，，即函数的图象的对称中心为，，故选项B 正确；对于选项C ，令，解得，因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故选项C 错误；对于选项D ，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，该函数不是偶函数，故选项D 错误．故选：先根据函数图象，求出函数的解析式，然后根据三角函数的周期，对称轴，单调区间，奇偶性逐项进行检验即可求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：由，令，则，即，数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，，，则，解得，故选：取，可得出数列是等比数列，可得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，即可得出答案．本题考查构造法和等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：因为，所以由题意知，得，故被测标本的DNA 大约扩增12次后，数量会变为原来的125倍．故选：根据题意，化简，得，可得，利用参考数据，可得答案．本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查运算求解能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：设，得令，解得当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，即，则，，所以最小．又因为，且，所以，所以综上所述，故选：构造，利用导数证明的的单调性，赋值，可大致估计a，b 大小，，通过放缩可比较a，b大小，进而得出答案．本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：如图，设正三棱柱上、下底面的中心分别为H，，连接，根据对称性可知，线段的中点O即为正三棱柱外接球的球心，线段OA即为该外接球的半径，又由已知得，，设正三棱柱的底面边长为x，则，在中，，，正三棱柱的体积，令，则，，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以故选：结合正三棱柱和外接球关系先求出外接球半径，令正三棱柱底面边长为x，由函数关系表示出体积V与x函数关系，利用导数可求最值．本题考查正三棱柱的最值的求解，函数思想的应用，利用导数研究函数的单调性，属中档题．12.【答案】B【解析】解：设抛物线的焦点为F，则，根据题意可知，点为的重心，若直线AB的斜率不存在，则不妨取，，则结合重心可得C为，不合题意；故直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，，，，，则有，，，联立方程得，，则，，因为点为的重心，所以，即，所以，，即，解得，则，故线段AB的长为6，故选：判断直线AB的斜率存在，设出直线方程，联立抛物线方程可得根与系数的关系式，利用三角形的重心即可求得参数k的值，根据抛物线的弦长公式即可求得答案．本题考查直线和圆锥曲线相交时的弦长问题，联立圆锥曲线方程，利用根与系数的关系去化简求值，三角形重心的坐标公式，抛物线的几何性质，属中档题．13.【答案】【解析】解：由两边平方得故答案为：通过平方的方法化简已知条件，从而求得本题主要考查平面向量数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】135【解析】解：因为二项式的展开式中，各项的系数之和为512，所以令，得，解得又因为的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中常数项为故答案为：根据各项的系数之和为512得到，解得，然后利用通项公式求常数项即可．本题考查二项式定理，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设双曲线C：的半虚轴为b，半焦距为c，，，又，两式相减可得，则，又的面积为3，，，解得，，，，即，又，，，，得，又，且，，双曲线C的焦距为故答案为：根据双曲线定义结合余弦定理可推得，结合三角形面积可推得，由可得，继而推得，，再利用勾股定理结合即可求得本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．16.【答案】5【解析】解：因为，所以当时，，当时，，即满足，则是偶函数．当时，则，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，作出函数的图象，如图所示：设，因为有8个不同的实数解，所以由图象可得，关于t的方程有2个不同的实数解，且都大于e，所以有，解得，又因为，所以整数m的值为5，故答案为：判断函数的奇偶性，利用导数判断其单调性，继而作出其图象，数形结合，将关于x的方程有8个不同的实数解，转化为关于t的方程有2个不同的实数解，列出不等式组，即可求得答案．本题主要考查函数的零点与方程根的关系，解决此类比较复杂的方程的根的个数问题，一般方法是采用换元法，数形结合，将根的个数问题转化为函数图象的交点问题，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，，所以，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因为，所以在三角形ADC中，，即，解得或，即或，因为，故，因为，所以，故，所以，所以【解析】本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及正弦定理、余弦定理，即可求解．根据已知条件，结合余弦定理，以及三角面积公式，即可求解．18.【答案】解：由频率分布直方图的性质可得，，解得，设中位数为a，则，解得，故估计这50名学生成绩的中位数为的三组频率之比为：：：3：1，从中分别抽取7人，3人，1人，故所有可能取值为0，1，2，3，，，，，故的分布列为：0123P故【解析】根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，结合中位数公式，即可求解．根据已知条件，结合分层抽样的定义，求得从中分别抽取7人，3人，1人，推得所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，再结合期望公式的公式，即可求解．本题主要考查随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．19.【答案】解：证明：，且，为等边三角形，为AD的中点，，又，且，平面ABCD；如图，过O作，以O为原点，建立空间直角坐标系，则，，设，，设平面的法向量为，又，，则，取，又平面的一个法向量为，，解得或舍去，，当BP的长为时，二面角的值为【解析】由已知得为等边三角形，，再由，能证明平面建系，利用向量法及方程思想即可求解．本题考查线面垂直的判定定理，向量法求解二面角问题，方程思想，属中档题．20.【答案】解：设曲线C上的任意一点的坐标为，由题意，得，即，所以曲线C的方程为；由题意，设直线AB的方程为，，，则联立方程得，则，所以，，所以又因为，所以直接PB的方程为令，则，所以，因为，所以令，，则又因为在上单调递减，所以当时，，故面积的最大值为【解析】由题意列出曲线方程化简即可求解；设直线AB的方程为，，，表示出P，联立直线与椭圆方程消去x，表示出关于y的韦达定理，结合B，P求出直接PB的方程，令，求出M坐标，进而得到，由求出面积，结合换元法和对勾函数性质可求面积的最大值．本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查函数思想和运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：由，得因为函数在处的切线方程为，所以，，则；证明：由可得，，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．因为，是函数的图象上两点，且，不妨设，且，所以由，得，即设，设，则，所以，即，故要证，只需证，即证，即证，即证，即证，即证令，，则，证明不等式；设，则，所以当时，；当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，故，所以成立．由上述不等式可得，当时，，故恒成立，故在上为减函数，则，所以成立，即成立．综上所述，【解析】先求导，由，可求对应的m和n的值；设，由可判断，由得，设，，，得，代换整理得，原不等式要证，只需证，全部代换为关于t 的不等式得，设，，由导数得，再证，放缩得，进而得证．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：因为直线l的参数方程为为参数，所以直线l的普通方程为，因为，即，所以，得，所以曲线C的直角坐标方程为；因为点P的极坐标为，所以点P的直角坐标为，所以点P在直线l上，将直线l的参数方程为参数，代入，化简得，设A，B两点所对应的参数分别为，，则，，故，，所以，，所以【解析】利用消元法将参数方程化为普通方程即可得到直线l的普通方程；利用极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得到曲线C的直角坐标方程；将点P的极坐标化为直角坐标判断得P在直线l上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线l代入曲线C的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：①当时，不等式可化为，解得，则；②当，不等式可化为，解得，则；③当时，不等式可化为，解得，则综上所述，；证明：因为当且仅当时取等号，所以要证，只需证，即证，即证，即证，即证由可知，因为a，，所以，，所以成立．综上所述，【解析】采用零点讨论法去绝对值可直接求解；结合绝对值三角不等式得，要证，即证，即证，去平方结合因式分解即可求证．本题考查不等式的解法及其证明，考查分类讨论思想以及推理论证能力，运算求解能力，属于中档题．。

2025届四川省成都市石室成飞中学高三上学期8月月考语文试卷

2025届四川省成都市石室成飞中学高三上学期8月月考语文试卷名校联考联合体2025届高三第一次联考（暨入学检测）语文一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。

材料一宋韵美学具有非唐的大国韵度。

如果说唐代诗人的大量边塞诗彰显了中华民族的大国气度和多民族文化交融，那么，宋代艺术就不免刻意调低了此一音高，而以相对纯粹的中国品格凸显出来，它以婉约风格的宋词和经典色彩的天青色宋瓷为代表。

又如果说唐人以气胜，那么宋人以韵胜。

气更偏于自然，韵则偏于人化。

不妨说，宋代文化终于脱胎换骨，形成了中华文明传统的新内核，它具有某些内敛又优美的品格，这些品格具有向内搜求的特点。

似乎，近世感的获得是不需要历史连续性的，这就使得向历史回溯失去了必要性和动力。

质言之，唐宋之际发生了文化的创造性转化，在基础性的意义上，我们说它的大国韵度在某种程度上是“非唐”的。

（摘编自张节末《论“宋韵”的美学向度》）材料二∶关于宋代文化的特点，有不少学者做过探讨。

著名宋史专家刘子健具体论证了宋代尤其是南宋文化的“内省”特点。

傅乐成教授总结唐、宋文化“最大的不同点”在于：“唐代文化以接受外来文化为主，其文化精神及动态是复杂而进取的”，宋代文化则在“民族本位”的基础上，转向“单纯与收敛”，到了南宋，由于道统思想的确立，其“民族本位文化益形坚固，其排拒外来文化的成见，也日益加深”。

也就是说，宋代文化具有既单纯内敛又具有排他性的特点，这与刘子健的“内省说”有相同之处。

宋代文化的确具有“内省”或“内敛”等特征，但如果作深入观察，也许可以发现生于忧患、长于忧患的宋人在“祖宗家法”引导下，通过内省创造的所谓“宋型文化”，与“开放性”“复杂性”等特征并非对立。

与“四夷既服”、雄踞东亚的唐代不同，宋代版图狭小；而在五代十国的近一个世纪，北方少数民族的实力也得到了长足的发展。

北宋就经常遭到西夏的侵扰；南渡后，更是只剩半壁江山。

2019届四川省成都石室中学高三适应性考试数学理科试题

成都石室中学高2021届高考适应性测试〔、选择题1 .集合 A= x|0 x2 ,B={ 1,0,1,2},那么 A B=〔〕 A. 0,2 B. 0,1,2C. -1,2【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义,即可求解.【详解】由于 A {x|0 x 2}, B 1,0,1,2 ,那么 AI B 0,1,2 , 应选：B . 【点睛】此题考查集合间的运算,属于根底题.. .. ...... ....... . (2)2.设i 为虚数单位,那么复数 z ——在复平面内对应的点位于〔〕1 iA.第一象限B.第二象限C.第三象限【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简 z,求得z 对应的坐标,由此判断对应点所在象限2 2 1 i【详解】Q z —— ------------------- 1 i, 对应的点的坐标为 1,1 ,1 i 1 i 1 i应选：A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算,考查复数对应点所在象限,属于根底题、一,,5 …3 .计算log 2 sin —cos ——等于〔〕4 3利用诱导公式、特殊角的三角函数值,结合对数运算,求得所求表达式的值A.3 B.— 2C.2 D.—3〕数学试卷〔文科〕D. —1,0,1D.第四象限位于第一象限【详解】原式 log 2 -- cos 2— log 2 cos - 23 23应选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式,考查对数运算,属于根底题4 .党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能社会化平台与他人共享,进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活泼度的影响,在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济比照试验,根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图,最【答案】D 【解析】根据四个列联表中的等高条形图可知,图中D 中共享与不共享的企业经济活泼度的差异最大, 它最能表达共享经济对该部门的开展有显著效果,应选5 .在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中,AB 1, AD亚,AA J 3,那么直线DD 1与平面ABC 1所成角的余弦值为〔〕能表达共享经济对该部门的开展有显著效果的图形是〔1O KK QiUa ¥«*布事声串D.3血2 2.共享经济是公众将闲置资源通过D.D.【解在长方体中AB / /C 1D 1,得DD i 与平面ABC i 交于D 1,过D 做DO A 〕于O ,可证DO 平面ABCR , 可得 DD i A 为所求解的角,解 Rt ADD/即可求出结论.【详解】在长方体中 AB//C 1D 1,平面ABC 1即为平面ABC 1D 1, 过 D 做 DO AD i 于 O , Q AB 平面 AA i D i D ,DO 平面 AAD i D, AB DO, AB I AD i D,DO 平面ABC i D i , DD i A 为DD i 与平面ABC i 所成角,在 Rt ADD i ,DD i AA V 3, AD V 2, AD i 展,DD i 「3 .i5cos DD i A ---------- -=. ------------AD i .5 5【点睛】此题考查直线与平面所成的角,定义法求空间角要表达“做〞 “证〞 “算〞,三步骤缺一不可, 属于根底题6 .执行下面的程序框图,假设输出的 S 的值为63,那么判断框中可以填入的关于 i 的判断条件是〔直线DD i 与平面ABC i 所成角的余弦值为应选：C.B. iC. i 7D. i 8【解析】【分析】根据程序框图,逐步执行,直到S的值为63,结束循环,即可得出判断条件【详解】执行框图如下:初始值: 0,i 1,第一步: 1,i 2 ,此时不能输出,继续循环;第二步: 3,i 3,此时不能输出,继续循环;第三步: 7,i 4 ,此时不能输出,继续循环;第四步: 15,i 5,此时不能输出,继续循环;第五步: 15 16 31, i 1 6 ,此时不能输出,继续循环;第六步: 31 32 63, i 1 7 ,此时要输出, 结束循环;故,判断条件为i6.应选B【点睛】此题主要考查完善程序框图,只需逐步执行框图,结合输出结果, 即可确定判断条件,属于常考题型.7. r r 一一…’•平面向量a,b满足a=2,b=1,a与b 夹角为2 「,r一,且(a+3b) (2a— b),那么实数的值为()A. 7B. 3C. 2D. 3【解析】【分析】由可得r2a 0 ,结合向量数量积的运算律,建立方程,求解即可.【详解】依题意得2 cos一r2a 0,r2得2a3r2b 3.应选：D .【点睛】此题考查向量数量积运算,向量垂直的应用, 考查计算求解水平,属于根底题8.三棱柱ABC AB1c l的6个顶点都在球O的球面上.假设AB3, AC 4, AB AC,A. X 一24 B.37x —24 C. x1724D. X1324【分析】定正确选项【详解】由题可知2sin 2 -0,12人 5令 2x - - k ,k Z , 12 2 /口 k 倚 x — —, k Z24 237令k 3,得x 3— 24应选：B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数,考查三角恒等变换,考查三角函数对称轴的求法,属于中档题.10.F 为抛物线C : y 2 8x 的焦点,点A 1,m 在C 上,假设直线 AF 与C 的另一个交点为 B ,那么AB ()【答案】C 【解析】【分析】求得A 点坐标,由此求得直线 AF 的方程,联立直线 AF 的方程和抛物线的方程,求得 B 点坐标,进而求得AB【详解】抛物线焦点为 F 2,0,令x 1 , y 28 ,解得y2%/2 ,不妨设A 1,2行,那么直线AF 的方程为 y 2 x 22V2 x 2,由,2 2石*x 2 ,解得 A 1,2^2 , B 4, 4 V 2 ,所以1 2y 28xAB J 4 1 24& 2& 29.应选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法,属于根底题^由点—,0求得12的值,化简f x 解析式,根据三角函数对称轴的求法,求得f x 的对称轴,由此确所以 f x sin 2x cos 2x 一6 672 sin 2x 一 —6 4\ 2 sin 2x12A. 12B. 10C. 9D. 811.过点P〔2强276〕的直线l与曲线y 713 x2交于A,B两点,假设uur uuu2PA 5AB ,那么直线l的斜率为A. 2 3B. 2 .3C. 2 .,3或2 .3D. 2【解析】【分析】利用切割线定理求得PA , AB,利用勾股定理求得圆心到弦AB的距离,从而求得APO 30 ,结合POx 45°,求得直线l的倾斜角为15°,进而求得l的斜率.【详解】曲线y .,桁口为圆X213的上半局部,圆心为0,0 ,半径为而.设PQ与曲线y J13~X2相切于点Q,_ 2那么PQ PA PB PA PA 所以|PA 5, AB| 2, AB7一PA5PO OQ 35.到弦AB的距离为.3 1 2.3, sin APO 2、3 2,3OP广厂一,所以APO 30 ,由于2.6 2 2POx 45°,所以直线l的倾斜角为45°30°15°,斜率为tan15°tan 45°30°tan 45°tan30°1 tan 45°tan30°2 3.应选：A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题 12.假设函数f x mx 2 e x 〔e 2.71828…为自然对数的底数〕在区间1,2上不是单调函数,那么实数m 的取值范围是 A. 一,2 5 10B. 5 10 2, 3C.2130c 10 D. 2,一3求得f x 的导函数f ,由此构造函数 2 m x 2 m,根据题意可知g x 在〔1,2〕上有变号零点.由此令g 0 ,利用别离常数法结合换元法, 求得 m 的取值范围.2 m, x 在区间1,2上不是单调函数, 在〔1,2〕上有变号零点,令 0, 那么 x 22x2,3 ,那么问题即m1 _在t1t 2,3上有零点,由于t -在2,3上递增,所以m 的取值t范围是52应选：B【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查方程零点问题的求解策略,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题 .二、填空题6 4 2 313.在1 x 1 y 的展开式中,x2y3的系数为 .【答案】60【解析】【分析】根据二项展开式定理,求出(1 x)6含x2的系数和(1 y)4含y3的系数,相乘即可.6 4【详解】1 x 1 y的展开式中,所求项为：c2x2C：y3.4x2y360x2y3,2x2y3的系数为60.故答案为：60.【点睛】此题考查二项展开式定理的应用,属于根底题^14.矩形ABCD , AB= 4 , BC =3 ,以A, B为焦点,且过C, D两点的双曲线的离心率为【答案】2【解析】【分析】根据A,B为焦点,得c 2；又AC| |BC 2a求得a ,从而得到离心率.【详解】A, B为焦点2c 4 c 2C在双曲线上,那么AC BC 2a又AC J AB2 BC25 2a 2 a 1e c 2a此题正确结果：2【点睛】此题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题,属于根底题^15 .函数f(x) e x e x1,那么关于x的不等式f (2x) f (x 1) 2的解集为…1【答案】(,) 3【解析】【分析】判断g x f x 1的奇偶性和单调性, 原不等式转化为g 2x > 0 x 1 g x 1 ,运用单调性, 可得到所求解集. 【详解】令g x f x 1 ,易知函数g x 为奇函数,在 R 上单调递增,f 2x f x 12 f 2x 1 f x 1 1 >0,即 g 2x g x 1 >0,. . g 2x > g x 1 g x 112x> x 1 ,即 x> 一3,1故答案为一,3【点睛】此题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式,考查转化思想和运算水平,属于中档题. __ ____ ,一 1 .16 .数列 a n 满足a 1 1,a 2—对任意n 2,n N * ,假设a na n1 2a n13a nd 〔,那么数列 a n 的3通项公式a n .【解析】【分析】 ,八八1 1〜11、 …生——一由a n a n 1 2a n 13a n 1a n 1可得 ------ ---- 2( ------------- ),利用等比数列的通项公式可得a n 1 a n a n a n 11 1 1 1——2,数列｛—— —｝是等比数列,首项为 2,公比为2, a 2 a 1 a n 1 a na n 11 a n2n ,再利用累加法求和与等比数列的求和公式, 即可得出结论【详解】由1a n a n 1 2a n 13a n 1a n 1 ,得一 a n 1a n2(i—)a n 1【点睛】此题考查数列的通项公式,递推公式转化为等比数列是解题的关键,利用累加法求通项公式,属于中档题.三、解做题17.在国家“群众创业,万众创新〞战略下,某企业决定加大对某种产品的研发投入 .为了对新研发的产品进变量x,y 且有线性负相关关系,现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为：甲y 4X 53 ；乙$ 4x 105；丙§ 4.6X 104,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.(1)试判断谁的计算结果正确？(2)假设由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过 1,那么称该检测数据是“理想数据〞,现从检测数据中随机抽取 3个,求“理想数据〞的个数 X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)乙同学正确3(2)分布列见解析, E X -2a no n2, n 2,— a na n 1n n 12,1 a n 1) a n 11 1 ( ------------- )a n 1 a n 2 a 2 a 12n 12n 21 2n2nn 1,— 1 ,满足上式, a 11 2n 1故答案为1 2n 1【分析】〔1〕由可得甲不正确,求出样本中央点〔X,］〕代入验证,即可得出结论；〔2〕根据〔1〕中得到的回归方程,求出估值,得到“理想数据〞的个数,确定“理想数据〞的个数X 的可能值,并求出概率,得到分布列,即可求解 ^【详解】〔1〕变量x,y 具有线性负相关关系,故甲不正确,Q X 6.5,y 79,代入两个回归方程,验证乙同学正确,故回归方程为：$ 4x 105〔2〕由〔1〕得到的回归方程,计算估计数据如下表:“理想数据〞有3个,故“理想数据〞的个数X 的取值为：0,1,2,3 .c °C 31C 2斗工P X 1CC 3旦C 6320 'C 3 2021 3 0P X 2 外—P X 1 瞪C 3 20 'C 3于是“理想数据〞的个数 X 的分布列,以及离散型随机变量的分布列和期望,意在考查逻辑推理、数学计算水平,属于中档题1 202092020 20.................................... . ― 3 — — — ____ 1 18 .在平面四边形 ABCD 中, ABC ——,AB AD, AB 1,VABC 的面积为一.42(1)求AC 的长;(2)CD 画, ADC 为锐角,求tan ADC . 2【答案】(1)有；(2) 4. 【解析】【分析】tan ADC 4(1)利用三角形的面积公式求得BC ,利用余弦定理求得 AC .(2)利用余弦定理求得 cos CAB,由此求得sin DAC ,进而求得sinADC,利用同角三角函数的基本关系式求得tan ADC .(1)在V ABC 中,由面积公式:S V ABCAB BC sin ABC BCBC在V ABC 中,由余弦定理可得:AC AB BC22 AB BC cos ABC 5AC 75(2)在VABC 中,由余弦定理可得:cos CABABAC |2 |BC2|AB | |BC |2.5 5sin DAC sin( DAB CAB)sinCAB2sin DAC〜r 2 -5 cos CAB----------------------5在VADC 中, 由正弦定理可得：ACCDsin ADC sin DAC 'sin ADC4<17 17Q ADC 为锐角cos ADC .1 sin 2ADC.17 17【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形面积公式,考查同角三角函数的根本关系式,属于中档题.19 .如图,在四面体DABC中,AB BC, DA DC DB.〔1〕求证：平面ABC 平面ACD ；〔2〕假设CAD 30 ,二面角C AB D为60°,求异面直线AD与BC所成角的余弦值.【答案】〔1〕证实见解析⑵31 6 【解析】【分析】〔1〕取AC 中点F,连接FD,FB ,得DF AC, AB BC ,可得FA FB FC, 可证VDFA^VDFB ,可得DF FB ,进而DF 平面ABC ,即可证实结论；〔2〕设E,G,H 分别为边AB,CD,BD 的中点,连DE,EF ,GF , FH ,HG ,可得GF//AD ,GH //BC,EF//BC ,可得FGH 〔或补角〕是异面直线AD与BC所成的角,BC AB ,可得EF AB, DEF为二面角C AB D的平面角,即DEF 60°,设AD a,求解FGH ,即可得出结论.【详解】〔1〕证实：取AC中点F,连接FD,FB ,由DA DC,那么DF AC,Q AB BC,那么FA FB FC ,故VDFA^VDFB, DFB DFA 一,2Q DF AC, DF FB, AC FB F 二• DF 平面ABC ,又DF 平面ACD ,故平面ABC 平面ACD(2)解法一：设G,H 分别为边CD, BD 的中点,那么 FG //AD,GH //BC ,FGH (或补角)是异面直线 AD 与BC 所成的角.设E 为边AB 的中点,那么EF//BC, 由 AB BC,知 EF AB . 又由〔1〕有DF 平面ABC, DF AB,EFI DF F,AB 平面 DEF, DE AB.,所以 DEF 为二面角C AB D 的平面角, DEF设 DA DC DB a,那么 DF AD CAD -2在RtADEF 中,EF a 旦旦a2 36从而 GH -BC EF —a 26「 1又 FG -AD2从而在VFGH 中,因FG FH ,12GH 近 FG 6在 RtVBDF 中,FH -BD60°,cos FGH因此,异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为解法二：过点F 作FM AC 交AB 于点M ,8A,C,D 的坐标分别为A(0, 73,0),C(0,73,0), D 0,0,1二面角C AB设B m, n,0 ,那么muur3,AB (m,n 、.3,0) r设平面ABD的法向量为n x,y,z , uuiv v 皿AD n 那么uuiv vAB n mx n二1一3r r cosk,n uur r ik nl -r-r-k n由上式整理得9n22、3n 解之得n 囱〔舍〕或n4.6 7.3 八----- , ------ ,09 9cos juuruurrAD,CBHJLTAD41321 0 ,uuuCBJJJCBjuir uurAD CB4.692,30----- ,0 ,92—3-c 2 32 -------由〔1〕易知FC,FD,FM两两垂直,以F为原点,射线FM , FC,FD分别为x轴,y轴, z轴的正半轴,建立空间直角坐标系 F xyz. 不妨设AD 2,由CD AD, CAD易知点juur那么AD(0, ,3,1)r显然向量k 0,0,1 是平面ABC的法向量因此,异面直线 AD 与BC 所成角的余弦值为 31.【点睛】此题考查空间点、线、面位置关系,证实平面与平面垂直,考查空间角,涉及到二面角、异面直线所成的角,做出空间角对应的平面角是解题的关键,或用空间向量法求角,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算水平,属于中档题2 - 、1(a> b>0)的左,右焦点,点P( 1,—)在椭圆E 上,且抛物线b 222y 4x 的焦点是椭圆E 的一个焦点.(1)求a , b 的值：uuuv uuuvD 两点,当F 1A F 1B 1时,求^ F i CD 的面积.【解析】【分析】(1)由根据抛物线和椭圆的定义和性质,可求出(2)设直线i 方程为x ty 1,联立直线与圆的方程可以求出t 2,再联立直线和椭圆的方程化简,由根与系数的关系得到结论,继而求出面积.【详解】(1) y 2= 4x 焦点为 F (1, 0),那么 F 1 (1 , 0), F 2 (1, 0),2a= PF 1 + PF 2 =2五,解得 a 衣,c=1, b = 1,(n)由,可设直线l 方程为x ty 1, A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)2X20.F i, F 2分别是椭圆E ： -2 a (2)过点F 2作不与x 轴重合的直线l ,设l 与圆x 222_ 2 .y a b 相交于A, B 两点,且与椭圆 E 相交于C,【答案】(1) a夜,b 1 ； (2)迤 7x= ty 1 联立 x 22 ,得(t 2+2) y 2+2ty-1 =0 , △= 8(t 2+1) >0—y =1 21,8 3 _ 4 . 6 ----------- ------- 77 3【点睛】此题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用,同时考查利用根与系数的关系,解决直线与圆, 直线与椭圆的位置关系问题.意在考查学生的数学运算水平.a 2 _ ____21.函数f x xlnx - x x, a R, e 2.71828 是自然对数的底数2(1)假设a e,讨论f x 的单调性；(2)假设f x 有两个极值点x,x 2,求a 的取值范围,并证实：x 1x 2 x 1 x 2. 公一 ,、口 c 1 2 、口 1 -1…【答案】(1)减区间是 0,-,增区间是一,；(2)0,-,证实见解析.eee【解析】【分析】'''(1)当a e 时,求得函数f x 的导函数f x 以及二阶导函数 f x ,由此求得f x 的单调区间2t x ty 122联立 22 得(t 1)y 2ty 2 0 ,易知△> 0,那么x y 3 y i y 2 t 2+iy 〔y 22 p+1uuuz uuv F i A F i B=(x i1)(x 21) y 1y 2= (ty i +2)(ty 2+2)+y 1y 2=(t 2 +1)/ 、 2-2t 2y 1y 2 + 2t (y i +y 2)+4=- t +1uuu uuu 由于F 1A F 1B1,所以孕_ = 1,t 2+ 1解得t 2= 13设C9芈),B(x 4, y 4),那么丫3+丫42t t 2+2 y 3 y 4=i t 22S F 1CDIn xIn x ……,,,---,构造函数g x -利用导数求得 g x 的单调区间、极值和最值,结合f x 有两个极值点,求得 a 的取值范围.将x,x 2代入f x lnx ax 列方程组,由0,一一 1又f" x - e 0 ,所以f x 在〔0,〕单增, x 一, 「一从而当x 0,-时,f ' x 0, f x 递减,e,1 , .............当x -, 时,f x 递增.e1 ln x2x故g x 在0,e 递增,在〔e,〕递减,1所以g x m g e —.注意到当x 1时g x 0 , e 所以当a 0时,f x 有一个极值点,1 .当0 a -时,f x 有两个极值点,.. 1 , • ............ 当a —时,f x 没有极值点, C 1综上a 0,- e由于x,x 2是f x 的两个极值点,不妨设x x 2,得1x 1e x 2,(2)令 f (x )= 0求得 a ln x i x 2 lnx 2 ------------- --------- a ln x 1x 2 x x 2 x 2x 1 x 2证彳x x 1 x 2 x 1 x 2.【详解】〔1〕 Q f' xlnx ax lnx ex,(2) f x lnx ax .令 f ' x 0ln xln x 所以ln 斗 ln x 2 a% 0 ax 2 0ln % a4 ln x 2 ax 2由于g x 在(e,)递减,且X i X 2 X 2,m 、Jn x i X 2lnx 2 In X i X 2所以 ---------- ------ 2------------------------aX 1 X 2X 2X 1 X 2In x 1 x 2 In x 1x 2 所以 ---------- ----------- X 1X 2X 1 x 2X i X 2X iX 2【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间,考查利用导数研究函数的极值点,考查利用导数证实不等式,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题^22.在平面直角坐标系 xOy 中,直线I i 的倾斜角为30°,且经过点A 2,1 .以坐标原点.为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线I 2： cos 3,从原点.作射线交I 2于点M 点N 为射线OMk 的点,满足OM ON i2,记点N 的轨迹为曲线C.(I)求出直线Ii 参数方程和曲线 C的直角坐标方程;又 In % In X 2a X 1 X 2In x 1x 2 x 1 x 2(n)设直线I i与曲线C交于P, Q两点,求AP AQ值.21t24x(I)直接由写出直线即p= 4cos 0,然后化为普通方(n)将Ii的参数方程代入|AP|?|AQ| 的值.【详解】(I )直线Ii的参数数方程,直角坐标万程得到关于t的o30°, (t为参数)工可得0 x 0 . ； ( n) 3.,小(P1, 91),P1>0)t的几2y为y 1(t为参数),X2,t i t 2=-3 , |AP|?|AQ|=|t i t 2|=|-3|=3 .【点睛】此题考查简单曲线的极坐标方程,考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化,练习了直线参数方程中参数t 的几何意义的应用,是中档题.的范围.当2 x 4时,原不等式等价于 x 2 x 4 3x,解得x 2,所以2 x 4综上所述,不等式解集为 2,Jt21 t2 (t 为参数).设 N (p, 9) , M (p 1,.1), (p > 0, p 1>0),P1P 12那么9 01,即P 3 一一 ------ 12 ,即 p =4cos 0 , cos 0,曲线C 的直角坐标方程为 x 2-4x+y 2=0 (xw 0).(D) 将l i 的参数方程代入 C 的直角坐标方程中,得(2 餐 2 4 2 “1 卡..即t 2 —t 3 0, t 1, t 2为方程的两个根, 223.函数 f(x) |X 2| |x 4|.(1)求不等式 f(x) 3x 的解集;(2)假设 f(x) 1|对任意x R 恒成立, k 的取值范围.【答案】(1) 2, ；(2) ,2(1)通过讨论x 的范围,分为x 4, 2, x 4三种情形,分别求出不等式的解集即可;(2)通过别离参数思想问题转化为 ,根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到 k【详解】(1)当x 4时,原不等式等价于 4 3x, 解得x 2 ,所以x 4,当x 2时,原不等式等价于 x 2 x 4 3x, 解得x 2 ,所以此时不等式无解, 5(2)由f X由于1时, 1时, 1x31当且仅当1所以k 2 ；0恒成立,所以4或XW 2时,等号成立,综上k的取值范围是,2 .【点睛】此题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值不等式性质以及分类讨论思想,转化思想,属于中档题.。

成都石室中学高2024-2025学年度上期高2025届10月月考物理试卷

成都石室中学2024-2025学年度上期高2025届10月月考物理试卷考试时间：75分钟一、单项选择题：本题共7个小题，每小题4分，共28分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求1．通过对α粒子散射实验的研究，卢瑟福提出了原子的核式结构模型。

如图为实验的示意图，显微镜前端带有荧光屏，实验时，若将显微镜分别放在位置1、2、3、4，则能观察到α粒子出现最多的位置为（）A．位置1B．位置2C．位置3D．位置42．为了节能减排绿色环保，新能源汽车成为未来汽车发展的方向。

为测试某款电动汽车的制动性能，使该电动汽车在平直公路上以10m/s的速度行驶，t=0时刻撤去牵引力并踩下刹车，其速度v随时间t变化的关系图像如图所示，不计空气阻力，则在0~5s内，下列说法正确的是（）A．电动汽车的位移大小大于25mB．电动汽车的位移大小等于25mC．电动汽车受到的制动阻力越来越小D．电动汽车受到的制动阻力保持不变3．如图所示是光线由空气射入半圆形或矩形玻璃砖，再由玻璃砖射入空气中的部分光路图，O点是半圆形玻璃砖的圆心。

关于下列图说法不正确．．．的是（）A．甲图中入射角大于折射角B．乙图中光的传播路线不发生偏折C．丙图中折射光线在玻璃砖的下界面发生全反射D．丁图中入射光线和出射光线平行4．某国宇航局发射行星探测卫星，由于没有把部分资料中实际使用的单位制转换为国际单位制，造成重大损失。

国际单位制中力学有三个基本单位，用这三个基本单位导出功率单位—瓦特(W)的表达形式为（）A．kg∙m2∙s−3B．kg∙m3∙s−2C．kg2∙m3∙s−1D．kg2∙m∙s−35．如图所示，手机平面与水平面夹角为θ(θ为锐角)，手机仅有两个侧面与手机夹接触，竖直面内缓慢转动手机夹过程中，手机始终静止在手机支架上。

下列说法正确的是（）A．顺时针缓慢转动手机夹，手机所受静摩擦力变小B．顺时针缓慢转动手机夹，手机所受静摩擦力变大C．逆时针缓慢转动手机夹，手机所受静摩擦力与cosθ成正比D．逆时针缓慢转动手机夹，手机所受静摩擦力与θ无关6．如图甲，MN 是倾角θθ=370传送带的两个端点，一个质量m =5kg 的物块(可看作质点)以4m/s 的初速度自M 点沿传送带向下运动。

四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题含解析

成都石室中学2022-2023年度下期高2024届零诊模拟数学试题（理科）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则||z =（）A.2B.C.D.32.在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A.甲得分的极差是18B.乙得分的中位数是16.5C.甲得分更稳定D.甲的单场平均得分比乙低3.某老师为了了解数学学习成绩得分y （单位：分）与每天数学学习时间x （单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了100组数据100100115600,11200i i i i x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑，并据此求得y 关于x 的线性回归方程为 56y bx=+ .若一位同学每天数学学习时间约80分钟，则可估计这位同学数学成绩为（）A.106B.122C.136D.1404.利用随机模拟方法可估计无理数π的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand 表示产生区间(0,1)上的随机数,P 是s 与n 的比值，执行此程序框图，输出结果P 的值趋近于A.πB.4π C.2π D.225.已知命题p ：1k <，命题q ：直线10kx y -+=与抛物线24y x =有两个公共点，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是A.甲B.乙C.丙D.丁7.已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图像大致为（）A. B. C. D.8.某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为A.22B.23C.4D.269.若过点()1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线290x y +-=的距离为()A.655B.5C.455D.25510.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 的渐近线上，120⋅=PF PF ，60MPN ︒∠=，则双曲线的C 的渐近线方程为（）A.22y x =±B.32y x =±C.2y =D.233y x =±11.若函数321()4(0)3f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x 和2x ，则12()()f x f x +取值范围为（）A.16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.1623⎛-∞ ⎝C.16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1623⎛-∞ ⎝12.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为棱111,,AB CC C D 的中点，动点Q ∈平面MNP ，2DQ AB ==，则下列说法错误的是（）A.1B MBC -的外接球面积为9πB.直线//PQ 平面11A BCC.正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D.点Q 的轨迹长度为3π第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设命题2:0,p x x a x∀>+>，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是__________.14.在同一平面直角坐标系xOy 中，曲线22:1C x y +=所对应的图形经过伸缩变换23x xy =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到图形C '.点P 在曲线C '上，则点P 到直线:60l y +-=的距离的最小值为____________.15.已知函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭，其导函数是()f x '.有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式π()2cos 3f x f x ⎛⎫>⎪⎝⎭的解集为_________.16.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，经过抛物线上一点P ，作斜率为34的直线交C 的准线于点Q ，R 为准线上异于Q 的一点，当PQR PQF ∠∠=时，PF =______．三、解答题（本题共6道小题，22题10分，其余各题12分，共70分）17.已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-？若存在，求出求a 的值，若不存在，请说明理由.18.今年是中国共青团建团100周年，我校组织了1000名高中同学进行团的知识竞赛.成绩分成6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400.（1）求出直方图中a ，b ，c 的值；（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）在区间[]80,100内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答辩，求抽取两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内的事件概率.19.如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以,AB CD 为底边的等腰梯形，且124,60,AB AD DAB AD D D ︒==∠=⊥.（I ）求证：平面11D DBB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若112D D D B ==，求直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.20.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.以点F 、E 所在的直线为x 轴，线段EF 中点为原点建立平面直角坐标系.（1）求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21.设函数()()2cos 102x f x x x =-+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i i iA g i n n ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =-，证明：1217 (6)n k k k n -+++>-.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为()11x my k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，直线2l 的参数方程2x nn y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数).若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C .（1）求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点,A B 是曲线C 两动点，60AOB ∠=︒，求AOB 面积的最大值.成都石室中学2022-2023年度下期高2024届零诊模拟数学试题（理科）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则||z =（）A.2B.C.D.3【答案】C 【解析】【分析】设复数(,)z x yi x y R =+∈，利用相等，求得1,1x y ==-，进而可求复数的模.【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22233z z x yi x yi x yi i +=++-=+=-，则1,1x y ==-，所以1z i =-，所以z =，故选：C.【点睛】本题考查了复数相等的概念和复数模的求解，着重考查了学生的推理与运算能力.2.在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A.甲得分的极差是18B.乙得分的中位数是16.5C.甲得分更稳定D.甲的单场平均得分比乙低【答案】B 【解析】【分析】根据图一中甲的得分情况可判断ABC 的正误，结合图二可判断图一丢失的数据，计算两者的均值后可判断D 的正误.【详解】对于甲，其得分的极差大于或等于28919-=，故A 错误；从折线图看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分数有3个，故其得分不稳定，故C 错误；乙的数据由小到大依次为：9,14,15,16,17,18,19,20乙得分的中位数为161716.52+=，故B 正确.乙得分的平均数为914151819171620168+++++++=，从折线图上，茎叶图中甲的得分中丢失的数据为一个为15，另一个可设为m ，其中1015m <<，故其平均数为912131520262812313316888m m ++++++++=>>，故D 错误.故选：B.3.某老师为了了解数学学习成绩得分y （单位：分）与每天数学学习时间x （单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了100组数据100100115600,11200i i i i x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑，并据此求得y 关于x 的线性回归方程为 56y bx =+ .若一位同学每天数学学习时间约80分钟，则可估计这位同学数学成绩为（）A.106 B.122C.136D.140【答案】C 【解析】【分析】利用回归方程经过样本中心可求b ，故可估计这位同学每天数学学习时间约80分钟后的数学成绩.【详解】由题设可得56001120056,112100100x y ====，故1125656b =⨯+ ，故1b = ，故 56y x =+，故当80x =时，8056136y =+=，故选：C.4.利用随机模拟方法可估计无理数π的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand 表示产生区间(0,1)上的随机数,P 是s 与n 的比值，执行此程序框图，输出结果P 的值趋近于A.πB.4π C.2π D.22π【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图可知由几何概型计算出x ，y 任取（0，1）上的数时落在221x y +<内的频率，结合随机模拟实验的频率约为概率，即可得到答案．【详解】解:根据程序框图可知P 为频率，它趋近于在边长为1的正方形中随机取一点落在扇形内的的概率21414πππ⨯⨯=故选B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，根据已知中的程序框图分析出程序的功能，并将问题转化为几何概型问题是解答本题的关键，属于基础题.5.已知命题p ：1k <，命题q ：直线10kx y -+=与抛物线24y x =有两个公共点，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】联立直线方程和抛物线方程，消元后利用判别式为正可求k 的范围，故可得正确的选项.【详解】由10kx y -+=和24y x =可得()214kx x +=，整理得到：()222410k x k x +-+=，因为直线与抛物线有两个不同的交点，故()22Δ2440k k k ≠⎧⎪⎨=-->⎪⎩，故1,0k k <≠，故命题q 成立能推出命题p 成立；反之，若1k <，取0k =，此时()222410k x k x +-+=仅有一个实数根14x =，故此时直线与抛物线仅有一个不同的交点，故命题p 成立不能推出命题q 成立，故p 是q 的必要不充分条件，故选：B .6.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是A.甲 B.乙C.丙D.丁【答案】D 【解析】【详解】若甲对,则乙也对,所以甲错;若甲错乙对,则丙也对,所以乙错,即3道的选手得第一名,此时只有丁对,因此选D.7.已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【详解】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f xg x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B.考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.8.某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为A. B. C.4 D.【答案】B 【解析】【详解】解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥-P ABC ，其中面积最大的面为：122PBC S =⨯= .本题选择B 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．9.若过点()1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线290x y +-=的距离为() A.655B.C.455D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得圆在第一象限，根据几何关系可设圆的方程为222()()x a y a a -+-=，a >0，代入()1,2即可求出a ，根据点到直线距离公式即可求出答案．【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为(),a a ，则半径为a ，0a >．故圆的方程为222()()x a y a a -+-=，再把点(2,1）代入，222(2)(1)a a a -+-=，解得5a =或1，故要求的圆的方程为22(5)(5)25x y -+-=或22(1)(1)1x y -+-=．故所求圆的圆心为()5,5或()1,1；故圆心到直线290x y +-=的距离655d ==或655d ==；故选：A ．10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 的渐近线上，120⋅=PF PF ，60MPN ︒∠=，则双曲线的C 的渐近线方程为（）A.2y x =± B.32y x =±C.y =D.233y x =±【答案】D【解析】【分析】由题可得12PF F △是直角三角形，则可得121||2OP F F c ==.又在OPN 中，由余弦定理可求得||PN b =，根据勾股定理可知PN ON ⊥，则在Rt PMN 中，利用||tan ||MN MPN PN ∠=可得3b a =，即渐近线方程为3y x =±.【详解】连接OP ，则由120PF PF ⋅=可知12PF PF ⊥，则在12Rt PF F 中，121||2OP F F c ==，在OPN 中，tan b PON a ∠=，则cos aPON c∠=，又||ON a =，则由余弦定理得：222||||||2||||cos PN OP ON OP ON PON =+-⋅⋅∠，解得||PN b =，由222||||||OP ON PN +=知PN ON ⊥，即PN MN ⊥，所以在Rt PMN 中，||tan ||MN MPN PN ∠=，即2ab =233b a =，所以所求渐近线方程为：233y x =±.故选D .【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，利用余弦定理解三角形，属于中档题.11.若函数321()4(0)3f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x 和2x ，则12()()f x f x +取值范围为（）A.16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.⎛-∞ ⎝C.16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.⎛-∞ ⎝【答案】C 【解析】【分析】求出函数的导数，根据原函数有两个极值点可求2a >，再根据零点的性质可得()3222448x a x a =--、()3211448x a x a =--，据此可用a 表示12()()f x f x +，利用导数可求其范围.【详解】2()24f x x ax '=-+，因为()f x 存在两个极值点1x 和2x ，故1x 和2x 为2240x ax -+=的两个不同的根，故24160a ∆=->且211240x ax -+=，222240x ax -+=，122x x a +=，故2a <-（舍）或2a >且21124x ax =-，所以()()322111111242244448x ax x a ax x a x a =-=--=--，同理()3222448x a x a =--，故()()()()2121212121()()44162843f x f x a x x a a a x x x x ⎡⎤+=-+--+-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212441622883a a a a a a a ⎡⎤=---⨯-+⎣⎦3338448833a a a a a =-+=-+，设()348,23a s a a a =-+>，故()2480s a a '=-+<，故()s a 在()2,+∞上为减函数，故()()321621633s a s <=-=，故12()()f x f x +的取值范围为：16,3⎛⎫-∞⎪⎝⎭，故选：C.12.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为棱111,,AB CC C D 的中点，动点Q ∈平面MNP ，2DQ AB ==，则下列说法错误的是（）A.1B MBC -的外接球面积为9πB.直线//PQ 平面11A BCC.正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D.点Q 的轨迹长度为3π【答案】D 【解析】【分析】可证明正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形，故可判断C 的正误，利用面面平行的判定定理可判断B 的正误，利用补体法可求1B MBC -的外接球的直径后可判断A 的正误，利用向量的方法可求D到平面MNP 的距离，从而可求点Q 的轨迹长度，故可判断D 的正误.【详解】如图，设111,,A D A A BC 的中点分别为,,S R T ，连接,,,,PS SR RM MT TN .由正方体的性质可得11//A C RN ，而SP 为三角形111A D C 的中位线，故11//SP A C ，故//SP RN ，故,,,S P R N 四点共面，同理，,,,S P T N 也四点共面，故,,,,S P R N T 五点共面，同理,,,R N T M 也四点共面，故,,,,,S P R N T M 六点共面.正方体被平面MNP 截得的截面为六边形，SP PN NT TM MT RS SP =======，因为平面MNP I 平面11B BCC NT =，平面MNP I 平面1A DDA SR =，而平面11//B BCC 平面1A DDA ，故//NT SR ，而NT 为三角形1BCC 的中位线，故1//NT BC ，故1//SR BC ，但PSR ∠与11AC B ∠方向相反，故PSR ∠与11AC B ∠互补，而11A C B △为等边三角形，故1160A C B ∠=︒，故120PSR ∠=︒，同理120SRM RMT MTN TNP NPS ∠=∠=∠=∠=∠=︒，故正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形，故C 正确.由11//A C RN ，RN ⊄平面11A B C ，11AC ⊂平面11A B C ，故//RN 平面11A B C ，同理故//RS 平面11A B C ，而,,RN RS R RN RS =⊂ 平面MNP ，故平面11//A B C 平面MNP ，而PQ ⊂平面MNP ，故//PQ 平面11A B C ，故B 正确.对于A ，将三棱锥1B MBC -补成如图所示的长方体11MBCG HB C P -，其中,H G 分别为11A B 、DC 的中点，则其外接球的直径即为11MBCG HB C P -3=，故三棱锥1B MBC -的外接球的表面积为2π39π⨯=，故A 正确.建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2D M N P ，故()()2,1,1,2,0,2MN MP =-=-，设平面MNP 的法向量为(),,m x y z = ，则00m MN m MP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，故20220x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则1,1z y ==，故()1,1,1m = ，而()0,1,2DP =，故D 到平面MNP的距离为DP md m⋅== 而2DQ =，故点Q 的轨迹为平面MNP 与球面的截面（圆），1=，故圆的周长为2π12π⨯=，故D 错误.故选：D.【点睛】思路点睛：空间几何题外接球的半径的求法，可先根据几何性质确定球心的位置，然后把球的半径放置在可解的图形中求解，也可以通过补体转化为规则几何体的外接球的半径，而与球的截面的计算问题，则需计算球心到截面的距离.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设命题2:0,p x x a x∀>+>，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是__________.【答案】a <【解析】【分析】根据原命题为真结合基本不等式可求参数的取值范围.【详解】因为p ⌝是假命题，故p 为真命题，因为0x >，故2x x+≥x =时，等号成立，故a <.故答案为：a <.14.在同一平面直角坐标系xOy 中，曲线22:1C x y +=所对应的图形经过伸缩变换2x xy =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到图形C '.点P 在曲线C '上，则点P到直线:60l y +-=的距离的最小值为____________.【答案】6152【解析】【分析】通过2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，然后代入到曲线C 的方程即可得到曲线C '的方程，再设()2cos P θθ利用点到直线的距离公式、辅助角公式及三角函数的性质计算可得.【详解】由2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入到221x y +=中得22()()143x y ''+=．即22143x y +=为曲线C '的直角坐标方程，设()2cos P θθ，则点P到直线60l y +-=的距离d ==其中（25sin 5ϕ=，5cos 5ϕ=），所以当sin()1θϕ+=时min d =，即点P 到直线l 的距离最小值为6152-.故答案为：615215.已知函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭，其导函数是()f x '.有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式π()2cos 3f x f x ⎛⎫>⎪⎝⎭的解集为_________.【答案】ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】构造函数()()cos f x F x x=，利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】依题意令()()cos f x F x x =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则2()cos ()sin ()cos f x x f x xF x x'+'=，因为当ππ22x -<<时，()()cos sin 0f x x f x x '+<，所以当2,ππ2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0F x '<，∴()F x 在ππ,22⎛⎫⎪⎝⎭-上单调递减，则π()2cos 3f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭ 等价于π()3πcos cos 3f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭>，即π()3F x F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴π3ππ22x x ⎧<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得ππ23x -<<，所以所求不等式的解集为ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭16.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，经过抛物线上一点P ，作斜率为34的直线交C 的准线于点Q ，R 为准线上异于Q 的一点，当PQR PQF ∠∠=时，PF =______．【答案】259##729【解析】【分析】根据题设条件确定P 在第一象限内，且PF QF ⊥，设2(,)4m P m 且0m >，结合0FP FQ ⋅= 得到关于m 的方程并求值，又214m PR PF ==+即可得结果.【详解】不妨令R 为过P 点垂直于准线的垂足，又PQR PQF ∠∠=，即QF 为FQR ∠角平分线，Q 是斜率为34的直线与抛物线准线的交点，则P 在第一象限内，而PR QR ⊥，且||||PR PF =，根据角平分线性质知：PF QF ⊥，如上图示，令2(,)4m P m 且0m >，则直线PQ 为23()44m y m x -=-，令=1x -，则21631216Q m m y --=，由222231*********(1,)(2,)20416216m m m m m m mFP FQ m ----⋅=-⋅-=-+= ，整理可得322381232(4)(38)0m m m m m -+-=+-=，则83m =，故225149m PR PF ==+=.故答案为：259三、解答题（本题共6道小题，22题10分，其余各题12分，共70分）17.已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-？若存在，求出求a 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）1y =-（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；（2）假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，利用导数可得11e a -<<-，再利用导数求出函数()f x 在区间()1,e 上的最大值，结合已知最大值列式，解得2e a =-，不满足11ea -<<-，从而可得结论.【小问1详解】当1a =-时，()ln f x x x =-+，0x >，(1)1f =-，1()1f x x'=-+，()01f '=，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10y +=，即1y =-.【小问2详解】假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，因为()ln f x ax x =+，0x >，1()f x a x '=+，若0a ≥，则()0f x '>在区间()1,e 上恒成立，()f x 在区间()1,e 上单调递增，此时()f x 在区间()1,e 上无最大值；故a<0，令()0f x '>，得10x a<<-，令()0f x '<，得1x a >-，则函数()f x 在1(0,a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减，因为函数()f x 在开区间()1,e 上有最大值为3-，所以11e a <-<，即11e a -<<-，所以函数()f x 在1(1,a -上单调递增，在1(,e)a -上单调递减，所以max 1()f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭11(ln a a a ⎛⎫⋅-+- ⎪⎝⎭11ln a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭3=-，得2e a =-，又11ea -<<-，所以2e a =-不成立，故不存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-.18.今年是中国共青团建团100周年，我校组织了1000名高中同学进行团的知识竞赛.成绩分成6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400.（1）求出直方图中a ，b ，c 的值；（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）在区间[]80,100内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答辩，求抽取两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内的事件概率.【答案】（1）0.01,0.015,0.02a b c ===,（2）平均数为70.5，中位数为71.7.（3）35【解析】【分析】（1）根据频率之和为1、,,a b c 成等差数列以及成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400可得关于,,a b c 的方程，求出其解即可.（2）利用组中值可求均值，利用公式可求中位数.（3）根据频率之比可得抽取人数之比，再用列举法求出基本事件的总数和随机事件中的基本事件的个数，故可求对应的概率.【小问1详解】因为,,a b c 为等差数列，故2b a c =+，又()220.03101a b c +++⨯=，故220.07a b c ++=，因为成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400，故()4000.03101000a +⨯=，故0.01a =，故0.015,0.02b c ==.【小问2详解】由频率分布直方图可得平均数为：450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前3组的频率之和为0.10.150.20.45++=，前4组的频率之和为0.10.150.20.30.75+++=，故中位数在区间[)70,80中，设该数为x ，则700.50.451100.36x --==，故57071.73x =+≈.【小问3详解】区间[)80,90、[]90,100上的频率之比为0.15:0.13:2=，故5人中在分数在[)80,90内的人数为3人，记为,,a b c ，分数在[]90,100内的人数为2人，记为,A B ，从5人中随机抽取两人进行现场知识答辩，共有10种取法：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a A b A a B b B c A c B ，{}{}{}{},,,,,,,a b a c c b A B .设C 为“两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内”，则C 中的基本事件为：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a A b A a B b B c A c B ，共6个，故()63105P A ==.19.如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以,AB CD 为底边的等腰梯形，且124,60,AB AD DAB AD D D ︒==∠=⊥.（I ）求证：平面11D DBB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若112D D D B ==，求直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）217.【解析】【分析】（Ⅰ）要证明平面11D DBB ⊥平面ABCD ，只需证明AD ⊥平面11D DBB 即可；（Ⅱ）取BD 的中点O ，易得1D O ⊥面ABCD ，以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 的非负半轴建立空间直角坐标系，计算平面1B BC 的法向量为n 与AB ，再利用公式||sin |cos ,|||||n AB n AB n AB θ⋅=<>=⋅ 计算即可.【详解】（Ⅰ）ABD △中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，由余弦定理得222cos603BD AB AD AB AD =+-⋅= ，则222AD BD AB +=，即AD BD ⊥，而11,AD D D BD D D D ⊥⋂=，故AD ⊥平面11D DBB ，又AD ⊂面ABCD ，所以平面11D DBB ⊥平面ABCD .（Ⅱ）取BD 的中点O ，由于11D D D B =，所以1D O BD =，由（Ⅰ）可知平面11D DBB ⊥面ABCD ，故1D O ⊥面ABCD .由等腰梯形知识可得DC CB =，则CO BD ⊥，2211431D O DD DO =-=-，以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 的非负半轴建立空间直角坐标系，则1(3,2,0),(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,0,1)A B C D D ---，则11(23,2,0),(3,0,1),(3,1,0)AB BB DD BC ====-设平面1B BC 的法向量为(,,)n x y z =，则1110000z n BB n BC y ⎧+=⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，令1x =，则y z ==n = ，所以，||sin |cos ,|7||||n AB n AB n AB θ⋅=<>===⋅ ，即直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值为217.【点晴】本题考查面面垂直的证明、向量法求线面角，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.20.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.以点F 、E 所在的直线为x 轴，线段EF 中点为原点建立平面直角坐标系.（1）求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22195x y +=（2）存在，()3,0T ，109-【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义对照折纸的方法求出,,a b c ；（2）设直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理再结合斜率的两点公式求解即可.【小问1详解】如图以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系，设(),P x y 为椭圆上一点，由题意可知，64PF PE PA PE AE EF +=+==>=，所以P 点轨迹是以F ，E 为焦点，长轴长26a =的椭圆，所以2c =，3a =，则2225b a c =-=，所以椭圆方程为22195x y +=；【小问2详解】由已知：直线l 过()1,0Q ，设l 的方程为1x my =+，由题意m 必定是存在的联立两个方程得221951x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()225910400m y my ++-=，()22Δ100160590m m =++>得R m ∈，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1221059m y y m -+=+，1224059y y m -=+（*）所以()()1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t ⋅=⋅=--+-+-()()()1222121211y y m y y m t y y t =+-++-，将（*）代入上式，可得()()222405991TM TN k k t m t -⋅=-+-，要使TM TN k k ⋅为定值，则有290t -=，29t =，又∵0t >∴3t =，此时109TM TN k k ⋅=-，∴存在点()3,0T ，使得直线TM 与TN 斜率之积为定值109-.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.设函数()()2cos 102x f x x x =-+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i i i A g i n n ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =-，证明：1217 (6)n k k k n -+++>-.【答案】（1）()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.（2）见解析【解析】【分析】（1）求出原函数的二阶导数后可判断二阶导数非负，故可判断导数非负，据此可求原函数的最值.（2）根据（1）可得3sin (0)6x x x x ≥-≥，结合二倍角的正弦可证：2271162i i k +>-⨯，结合等比数列的求和公式可证题设中的不等式.【小问1详解】()sin f x x x '=-+，设()sin s x x x =-+，则()cos 10s x x '=-+≥（不恒为零），故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=，所以()0f x ¢>，故()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.【小问2详解】先证明一个不等式：3sin (0)6x x x x ≥-≥，证明：设()3sin ,06x u x x x x =-+≥，则()2cos 1()02x u x x f x '=-+=≥（不恒为零），故()u x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00u x u ≥=即3sin (0)6x x x x ≥-≥恒成立.当*N i ∈时，11111111222sin sin 112222i i i i i i i i g g k ++++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==- ⎪⎝⎭-11111111111122sin cos sin 2sin 2cos 122222i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫=-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（1）可得()2cos 102x x x ≥->，故12311cos 1022i i ++≥->，故111112311112sin 2cos 12sin 2112222i i i i i i ++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-≥-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112213322111112sin121222622i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-≥-- ⎪ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222224422117111711111622626262i i i i i +++++⎛⎫⎛⎫=--=-⨯+⨯>-⨯ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭,故1214627111...16222n n k k k n -⎛⎫+++>--+++ ⎪⎝⎭ 41111771112411166123414n n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--⨯=--⨯ ⎪⎝⎭-771797172184726n n n n =--+⨯>->-.【点睛】思路点睛：导数背景下数列不等式的证明，需根据题设中函数的特征构成对应的函数不等式，从而得到相应的数列不等式，再结合不等式的性质结合数列的求和公式、求和方法等去证明目标不等式.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为()11x m y k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数).若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C .（1）求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点,A B 是曲线C 两动点，60AOB ∠=︒，求AOB 面积的最大值.【答案】（1）22(1)1(0)x y x +-=≠（2）334【解析】【分析】（1）首先将直线方程化为普通方程，再联立消去k ，即可得到曲线C 的普通方程；（2）由cos x ρθ=、sin y ρθ=得到曲线C 的极坐标方程，设()1,A ρθ，2,3πB ρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，（π2θ≠），即可表示OA 、OB ，则1sin 2AOB S OA OB AOB =⋅∠△，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】直线1l 的参数方程为()11x m y k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，则直线1l 的普通方程为y kx =-，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数)，则直线2l 的普通方程为2x y k -=，依题意0k ≠，由2y kx x y k =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去k 得2(2)y y x -=-，整理得22(1)1(0)x y x +-=≠，所以曲线C 的普通方程为22(1)1(0)x y x +-=≠.【小问2详解】因为曲线C 的普通方程为22(1)1(0)x y x +-=≠，cos x ρθ= ，sin y ρθ=，∴曲线C 的极坐标方程为()()22cos sin 11ρθρθ+-=（π2θ≠），故曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=（π2θ≠）．设()1,A ρθ，2,3πB ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（π2θ≠），则12sin OA ρθ==，2π2sin 3OB ρθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，1sin 2AOB S OA OB AOB ∴=⋅∠ 1ππ2sin 2sin sin 233θθ⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭πsin 3θθ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33θθθ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭23sin cos 22θθθ=+1cos 23sin 2222θθ-=+⨯12cos22224θθ⎫=-+⎪⎪⎝⎭π2264θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当πsin 216θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，AOB S 有最大值334．。

四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期开学考试物理 (含解析)

成都石室中学2024-2025学年度上期高2025届定时练习物理试卷考试时间：75分钟一、单项选择题：本题共7个小题，每小题4分，共28分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．关于光现象，下列说法正确的是A ．为了增加光的透射，通常在摄像机的镜头表面镀一层特定厚度的薄膜，这是利用了光的干涉B ．光照射到不透明圆盘后，在圆盘阴影中心出现一个亮斑，这是光的偏振现象C ．在观看立体电影时，观众要戴上特制的眼镜，银幕上的图像才清晰，这副眼镜利用了光的全反射D ．用光导纤维传输载有声音、图像以及各种数字信号的信息，这是利用了光的衍射2．常见的气压式水枪玩具内部原理如图所示。

从储水罐充气口充入气体，达到一定压强后，关闭充气口。

现将阀门M 打开，水立即从枪口喷出。

若在水快速喷出的过程中，罐内气体来不及与外界进行热交换，则喷水时A ．气体压强变大B ．外界对气体做正功C ．气体内能不变D ．气体内能减少3．医学中常用某些放射性元素治疗疾病。

假设质量为m 0的放射性元素Y 经过时间t 后剩余Y 的质量为m ，对应的mm 0-t 图线如图所示。

则Y 的半衰期为A ．16d B ．12d C ．8dD ．6d4．如图所示为氢原子的能级示意图，根据玻尔理论，下列说法正确的是A ．基态的氢原子吸收13eV 的能量可以跃迁到n =4的激发态B ．处于n =4能级的大量氢原子向低能级跃迁时，最多可辐射出6种不同频率的光C ．大量氢原子处于n =4的激发态时，从n =4能级跃迁到n =3能级辐射的光子频率最高D ．氢原子从n =2能级跃迁到n =4能级的过程中能量减小5．如图所示，电阻为r 的单匝金属直角线框abcd 放置在磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，a 、d 两点连线与磁场垂直，ab 、cd 长均为l ，bc 长为2l ，定值电阻阻值为R 。

线框绕ad 连线以角速度ω匀速转动，从图示位置开始计时，则A ．线框每转一圈，回路电流方向改变一次B ．回路中产生的感应电动势有效值为2B l 2ωC ．a 、d 两点间的电压的有效值为2B l 2ωD ．14周期内通过R 的电荷量为2Bl 2R +r6．如图所示是一种自动测定水箱高度变化的传感器装置。

四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期10月月考化学试题

成都石室中学2025届2024—2025学年度上期十月考试化学试卷试卷说明：满分100分，考试时间75分钟可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 F 19 Cl 35.5 Co 59 Ag 1081．在一定条件下，动植物油脂与醇反应可制备生物柴油，化学方程式如下:下列叙述错误的是（）A．生物柴油由可由再生资源制得B．生物柴油是不同酯组成的混合物C．动植物油脂是高分子化合物D．“地沟油”可用于制备生物柴油2．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是A．标准状况下，33.6L氟化氢中含有氟原子的数目为1.5N AB．常温常压下，7.0g乙烯与丙烯的混合物中含有氢原子的数目为N AC．50mL 18.4mol/L浓硫酸与足量铜微热反应，生成SO2分子数目为0.46N AD．某密闭容器盛有0.1mol I2和0.1mol H2，在一定条件下充分反应，转移电子的数目为0.2N A 3．用下列仪器或装置进行相应实验，操作规范且能达到实验目的的是A．配制一定物质的量浓度的NaOH溶液B．除去SO2中的SO3C．滤纸过滤，分离Fe(OH)3胶体中的NaCl D．蒸干AlCl3溶液得到无水AlCl34．下列方程式书写错误是35l2↑+3H2O A．用氯酸钾与浓盐酸制氯气：K37ClO3+6H35Cl=K37Cl+3CB．硫酸四氨合铜溶液加入乙醇：[Cu(NH3)4]2++SO42−+H2O=[Cu(NH3)4]SO4⋅H2O↓C．0.01mol/LNH4Al(SO4)2溶液与0.02mol/LBa(OH)2溶液等体积混合：NH4＋+Al3＋+ 2SO42－+ 2Ba2＋+ 4OH-= 2BaSO4↓ + Al(OH)3↓ + NH3·H2OD．由1,6-己二胺和己二酸制备尼龙66：5．组成核酸的基本单元是核苷酸，下图是核酸的某一结构片段，下列说法正确的是A．DNA和RNA结构中的碱基相同，戊糖不同B．核酸的单体是核苷酸，彻底水解的产物是核苷C．核苷酸在一定条件下，既可以与酸反应，又可以与碱反应D．核酸分子中碱基通过磷酸酯键实现互补配对6．路易斯酸碱电子理论认为，凡是可以接受电子对的物质是酸，凡是可以给出电子对的物质是碱。

四川省成都石室中学2020学年度高三数学月考试卷人教版

四川省成都石室中学2020学年度高三数学月考试卷一、选择题：只有唯一正确答案，每小题5分，共60分。

1．设集合M = {a ，b ，c }，N = {0，1}，映射f ：M →N 满足f (a ) + f (b ) = f (c )，则映射f ： M →N 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．函数)1(21)(x x x f --=的最大值是（）A ．49B ．94C ．47D ．743．（理科）函数x x g x f )21()()(=与的图象关于y = x 对称，则f (4x －x 2)的单调递增区间为（）A ．（－∞，2）B ．（0，2）C ．（2，4）D ．（2，+∞）（文科）为得到函数100lg xy =的图象，可以把函数y = lg x 的图象（）A ．向上平移两个单位B ．按向量)2,0(-=平移C ．向左平移两个单位D ．按向量)0,2(=a 平移4．如果2log |3|log 2121ππ≥-x ，那么sin x 的取值范围是（）A ．]21,21[-B ．]1,21[-C ．]1,21()21,21[Y -D ．]1,23()23,21[Y -5．已知yxy x y x y x 则,lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-的值为（）A ．－1B ．2C ．21 D ．－1或26．设全集U 是实数集R ，}11|{},4|{2≥-=>=x x N x x M ，则图中阴影部分所表示的集合是（）A ．}12|{<≤-x x xB ．}22|{≤≤-x x xC ．}21|{≤<x xD ．}2|{<x x7．若方程0122=--x ax 在区间（0，1）内恰有一解，则实数a 的取值范围是（）A ．a <－1B ．a >1C ．－1< a < 1D ．0≤a ＜18．（理科）若函数)0,(2)1(log )(223-∞++++=在x x b ax x f 上有最小值－5，（a ，b 为常数），则函数),0()(+∞在x f 上（）A ．有最大值5B ．有最小值5C ．有最大值3D ．有最大值9（文科）若函数f (x )的图象关于直线x =1对称，且当x >1时，x x x f -=32)(，则当x <1时，f (x )的表达式为（）A ．2)2(2)(3-+-=x x x fB ．x x x f --=3)2(2)(C ．1)1(2)(3-+-=x x x fD ．x x x f +=32)(9．定义在R 上的函数y = f (x + 1)的图象如图所示，且在定义域上，是减函数，给出如下命题：①f (0) =1；②f (－1) =1；③若x >0，则f (x ) <0；④若x <0，则f (x ) >0，其中正确的是（）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③10．（理科）已知定义在R 上的偶函数f (x )满足)3()3(x f x f -=+，且当]4,3[∈x 时，x x f )21()(=，求当]2,3[--∈x 时，则函数f (x )的表达式为（）A ．6)21()(+=x x fB ．6)21()(-=x x f C ．x x f )21()(=D ．62)(+=x x f（文科）设f (x )是定义在实数集R 上以2为周期的奇函数，已知x x f x )21()(,)1,0(=∈时，则)12(log 2f 的值为（）A ．43 B ．43-C ．34-D ．34 11．设偶函数)0,(||log )(-∞-=在b x x f a 上递增，则)2()1(++b f a f 与的大小关系是（） A ．)2()1(+≥+b f a f B ．)2()1(+≤+b f a fC ．)2()1(+<+b f a fD ．)2()1(+>+b f a f12．（理科）设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=1,11,|1|1)(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解x 1、x 2、x 3，则232221x x x ++等于（）A ．5B ．2222bb + C ．13 D ．2223c c +（文科）在正实数集上定义一种运算*，规则是：当a ≥b 时，a *b =b 3，当a ＜b 时，a *b =b 2，根据这一规则，方程a *b = b 3的解为（）A ．3B ．33C ．3或33D ．3或9二、填空题：每小题4分，共16分。

四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期开学定时练习数学试题

四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期开学定时练习数学试题一、单选题1．已知集合(){|ln 5,N}A x y x x ==-∈，{|e }x B y y ==，则A B ⋂的子集个数为（） A ．4B ．14C ．15D ．162．“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（）A ．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B ．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C ．样本中选择物理学科的人数较多D ．样本中男生人数少于女生人数4．已知{}n a 为等比数列，23746a a a a a =，91027a a =-，则7a =（） A ．3B ．2C ．2-D ．3-5．已知函数()ln f x x =的图像与直线1y ax =+相切，则a 的值为（） A ．1eB ．21e C ．e D ．2e6．已知M ，N 分别是正四面体ABCD 中棱AD ，BC 的中点，若点E 是棱CD 的中点.则MN 与AE 所成角的余弦值为（）A ．BC ．D 7．若12sin 33a =+，11cos 318b =+，则（）A ．1a b >>B ．1a b >>C ．1b a >>D ．1b a >>8．若直线1l 和直线2l 相交于一点，将直线1l 绕该点按逆时针旋方向转到与2l 第一次重合时所转的角为θ，则角θ就叫做1l 到2l 的角，2112tan 1k k k k θ-=+，其中12,k k 分别是12,l l 的斜率，若双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，A 是右顶点，P 是直线2a x c =上的一点，e是双曲线的离心率，APF θ∠=，则tan θ的最大值为（） AB CD二、多选题9．下列命题中，正确的是（）A ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，若()00.3P X ≤=，则(4)0.3P X <=B ．用X 表示n 次伯努利试验中事件A 发生的次数，p 为每次试验中事件A 发生的概率，若()150E X =，()50D X =，则23p =C ．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A =“第一枚正面朝上”，B =“第二枚反面朝上”，则有：()()P BA PB =∣ D ．已知随机变量X 的分布列为()()()1,2,3,,1001aP X i i i i ===+L ，则101100a = 10．设函数()3231f x ax x =-+，则（）A ．当0a <时，0x =是()f x 的极小值点B ．当02a <<时，()f x 有三个零点C ．当1a =时，若()f x 在()1,m -上有最大值，则0m >D ．若()f x 满足()()22f x f x +-=-，则1a =11．已知{}n a 满足11a =，()221110n n n n a n a a na ++---=，记{}1n na +的前n 项和为n T ，{}n T 的前n 项和为n S ，则下列说法中不一定正确的是（）A ．1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列B ．{}n a 的通项公式为()1!n a n =-或()11n n a -=-C ．若0n a >，则()1!1n T n =+-D ．若10n n a a +<，则2n S 为定值三、填空题12．若 ()554325432102x a x a x a x a x a x a +=+++++，则531420a a a a a a ++=++.13．学校从高一、高二、高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为5、6、7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为．14．已知不等式e e x x x ax b -≥+对任意R x ∈恒成立，则当ba取最大值时，a =.四、解答题15．已知集合{|3217}A x x =-<+<，4|02x B x x +⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭＞，{|321}C x a x a =-≤≤+. (1)求()R A B I ð；(2)若“()R :p x A B ÎU ð”是“:q x C ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，π3ABC ∠=，H 为BC的中点，PA PB PH ==E 为PD 上的一点，已知4PD PE =.(1)证明：平面PAB ⊥平面ABCD ； (2)求平面EAC 与平面PAB 夹角的余弦值.17．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x 分钟/每天）和他们的数学成绩（y 分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.(1)请利用散点图说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y 关于x 的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；（参考数据：5221155122820,435,38999,107.411540i i i i i i i x y y y ===∑=∑=∑=≈，i x 的方差为200）(2)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习及成绩是否有进步统计，得到22⨯列联表（表二）.依据表中数据及小概率值0.001α=的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.附：方差：()2211i n i S x x n ==∑-，回归方程$y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑$，$ay bx =-$，22()()()()()n adbc a b c d a c b d χ-=++++.18．经过圆22:5O x y +=上一动点P 作椭圆22:14x C y +=的两条切线，切点分别记为,A B ，直线,PA PB 分别与圆O 相交于异于点P 的,M N 两点.(1)求证：0OM ON +=u u u u r u u u r r； (2)求OAB V 的面积的取值范围.（参考结论：点00P x y （,）是椭圆222210x y a b a b+=>>（）外一点，过P 作该椭圆的两条切线，切点为A,B ，则直线AB 的方程为00221x x y ya b+=.） 19．已知函数()213ln 044f x a x x x a =+-+>（） (1)判断f x 的单调性；(2)若f x 有且仅有一个零点，求a 的取值范围；(3)若a 取第（2）问所求范围的最小值，且数列 a n 满足，12a =，15144n n n n f a a a a ++-=（），求证：*N n ∀∈，1413nk k a =-<∑.。

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石室中学高2011级高三第一次月考数学试卷（理科）（第一卷）一、选择题：（5×12=60分）1.设集合2{|1,},{|1,}M y y x x R N y y x x R ==+∈==+∈，则MN =（）A ．(0,1),(1,2)B ．{(0,1),(1,2)}C ．{|1y y =或2}y =D ．{|1}y y ≥2．在等比数列{}n a 中，201020078a a = ，则公比q 的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 83．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若357=S ，则=4a（）A ．8B ．7C ．6D ． 54．2241lim 42x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭=（） A. —1 B. —14 C. 14D. 1 5.在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =（）A .－223B .223C. －6D.6 6、方程322670(0,2)xx -+=在内根的个数为( )A 、0B 、-1C 、1D 、37. 如图在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（） A.arccos515 B.4π C.arccos510 D.2π8.①若,,a b R a b +∈≠，则3322a b a b ab +>+.②若,,a b R a b +∈<，则a m ab m b+<+. ③若,,,a b c R +∈则bc ac aba b c a b c++≥++.④若31,x y +=则11423x y +≥+.其中正确命题的个数为（） A.1个B.2个C.3个D.4个9、在函数x x y 4613-=的图像上，其切线的倾斜角小于4π的点中，横坐标为整数的点有（）A.7B.5C.4D.210.在数学拓展课上，老师定义了一种运算“※”：对于N n ∈，满足以下运算性质： ①1※1=1 ②（n+1）※1=3（n ※1），则n ※1= （） A ．3n －2 B ．3n+1 C ．3n D ．3n-111．定义在R 上的函数的图像关于点（－34，0）成中心对称且对任意的实数x 都有f （x ）=－f （x+32）且f （－1）=1，f （0）=－2，则f （1）+f （2）+……+f （2010）=（）A ．0B ．－2C ．－1D ．－412.已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()f x 的导函数1()2f x '<，则1()22x f x <+的解集为（）A.{}11x x -<< B.{}1x x <- C.{}11x x x <->或 D.{}1x x > 二、填空题（4×4=16分） 13．函数()11f x x x =+-(x ＞1)的值域是．14、在（x+）20的展开式中，系数为有理数的项共有_______项。

15. 由数字2，3，4，5，6所组成的没有重复数字的四位数中5，6相邻的奇数共有 16．已知函数()f x 满足：()()(),(1)2f m n f m f n f +==，则2(1)(2)(1)f f f +2(2)(4)(3)f f f ++2(3)(6)(5)f f f +++2(1005)(2010)(2009)f f f ++=．2011级石室中学高三第一次月考数学试卷(理)（第二卷）二、填空题：（4×4=16分） 13、 14、 15、16、三、解答题：17. (12分) 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 对边分别为a 、b 、c ，已知B tan =31tan ,21 C ,且最长边为.5 (1)求角A ；(2)求△ABC 最短边的长.18. （12分）从四名男生和三名女生中任选3人参加演讲比赛．（Ⅰ）求所选3人中至少有一名女生的概率；（Ⅱ）ξ表示所选参加演讲比赛的人员中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望.19. （12分）如图,侧棱垂直底面的三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 位于平行四边形ACDE 中,2AE =,14AC AA ==,60E ∠=︒,点B 为DE 中点. （Ⅰ）求证:平面1A BC ⊥平面11A ABB . （Ⅱ）设二面角1A BC A --的大小为α,直线AC 与平面1A BC 所成的角为β,求sin()αβ+的值.20. （12分）已知数列{}n a 的前n 项和2()3nn S n n =+．A EDCBA 1B 1C 1（Ⅰ）求lim nn na S →∞；（Ⅱ）证明：12222312nn a a a n+++…＞．21、（12分）已知函数),2()(31)(,2)1(31)(23+∞-=+-=在区间且x f kx x g x k x x f 上为增函数.（1）求k 的取值范围；（2）若函数)()(x g x f 与的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围. （共12分）22、（14分）我们把()my x m Q =∈叫做幂函数。

幂函数()my x m Q =∈的一个性质是：当0m >时，在(0,)+∞上是增函数；当0m <时，在(0,)+∞上是减函数。

设幂函数()(2,)n f x x n n N =≥∈。

（１）若()()(),(0,)n g x f x f a x x a =+-∈，证明：1()2n n n n a g x a -≤<（２）若()()()n g x f x f x a =--，对任意0n a ≥>，证明：/()!n g n n a ≥（共14分）2011级石室中学高三第一次月考数学试卷(理)答案1——12：DADBD CDBDD AD13、[3,)+∞14、615、1416、402017解：（1）∵21tan =B ＜1∴B ＜45°，同理，C ＜45°，∴B +C ＜90°，∴A 为钝角. （1分）又21tan =B ，∴51sin =B ，52cos =B ；31tan =C ，∴101sin =C ，103cos =C . （4分） ∴221035210151]sin sin cos [cos )cos(cos -=•-•=--=+-=C B C B C B A ，∴A =135°.（6分）（2）∵C ＜B ＜A ，∴△ABC 中最短边为c ，最长边为5=a . （9分）又225101,sin sin ==c A a C c ，∴c =1. （12分） 18答案：（Ⅰ）记事件A 为“所选3人中至少有一名女生”，则其对立事件A 为“所选的3人全是男生”. ∴3447431()1()113535C P A P A C =-=-=-=. ------------6分（Ⅱ）ξ的可能取值为：0,1,2,3. 33371(0)35C P C ξ===，12433712(1)35C C P C ξ===， 21433718(2)35C C P C ξ===，4(3)35P ξ==. ----------8分 ∴ξ的分布列为：012335353535E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯. ------------12分 19.答案：（Ⅰ）法一、在平行四边形ACDE 中, ∵2AE =,4AC =,60E ∠=︒,点B 为DE 中点.∴60ABE ∠=︒,30CBD ∠=︒,从而90ABC ∠=︒,即AB BC ⊥.----------3分又1AA ⊥面ABC ,BC ⊂面ABC ∴1AA BC ⊥,而1AA AB A =, ∴BC ⊥∵BC⊂平面1A BC ∴平面1A BC ⊥平面11A ABB .----6分法二、∵2AE =,4AC =,60E ∠=︒,点B 为DE 中点.AEDCBA 1B 1C 1F∴2AB =,BC =22216AB BC AC +==，∴AB BC ⊥.--3分又1AA ⊥面ABC ,BC ⊂面ABC ，∴1AA BC ⊥,而1AA AB A =,∴BC⊥平面11A ABB ∵BC ⊂平面1A BC ，∴平面1A BC ⊥平面11A ABB .----------6分（Ⅱ）方法一、由（Ⅰ）可知1A B BC ⊥,AB BC ⊥ ∴1A BA ∠为二面角1A BC A --的平面角,即1A BA ∠=α,在1Rt A AB ∆中, 111sin sin 5AA ABA A B α=∠==,1cos 5AB A B α==.----------8分以A 为原点,建立空间直角坐标系A xyz -如图所示,其中1(0,0,4)A ,(3,1,0)B ,(0,4,0)C ,(0,4,0)AC =,1(3,1,4)A B =-,(BC =-,设(,,)nx y z =为平面1A BC 的一个法向量,则100n AB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴4030y z y +-=+=⎪⎩即x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ----------10分令1y =,得平面1A BC 的一个法向量(3,1,1)n =,则||sin 5||||4AC nAC n β⋅===⨯, 又02πβ<<, ∴cos β==, ∴sin()sin cos cos sin 1αβαβαβ+=+==, 即sin()1αβ+=. ----------12分方法二、由（Ⅰ）可知1A B BC ⊥,AB BC ⊥∴1A BA ∠为二面角1A BC A --的平面角,即1A BA ∠=α,在1Rt A AB∆中,112,4,AB AA A B ===111sin sin 5AA A BA A B α=∠==,1cos 5AB A B α==.----8分过点A 在平面11A ABB 内作1AF A B ⊥于F ,连结CF ,则由平面1A BC ⊥平面11A ABB ,且平面1A BC平面111A ABB A B =,得AF ⊥平面1ABC∴ACD ∠为直线AC 与平面1A BC 所成的角,即ACD β∠=. ----------10分在Rt ACF ∆中,11AAAB AF A B ⋅==,sin AFAC β==,cos β==∴sin()sin cos cos sin 1αβαβαβ+=+==, 即sin()1αβ+=. -----12分20.（1）111limlim lim(1)1lim n n n n n n n n n n n n na S S S SS S S S ---→∞→∞→∞→∞-==-=-1111limlim 133n n n nS n S n -→∞→∞-==+,所以limnn na S →∞=23……6分（2）当n=1时，112631a S ==>；当n>1时, 1121212222221212n n n a S S a a S S S n n ---+++=+++=1212222222211111111()()()1223(1)n n n S S S S S n n n n --+-++-+>-2233n n n n n+=> 所以,1n ≥时,12222312nn a a a n +++…＞……12分 21解：（1）由题意x k x x f )1()(2+-='……………………1分因为),2()(+∞在区间x f 上为增函数，所以),2(0)1()(2+∞≥+-='在x k x x f 上恒成立， (3)分即2,1>≤+x x k又恒成立，所以1,21≤≤+k k 故……………………5分当k=1时，),2(1)1(2)(22+∞∈--=-='x x x x x f 在恒大于0，故),2()(+∞在x f 上单增，符合题意.所以k 的取值范围为k ≤1.……………………6分（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ，)1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h令10)(==='x k x x h 或得………………8分由（1）知k ≤1， ①当k=1时，)(,0)1()(2x h x x h ≥-='在R 上递增，显然不合题意………9分②当k<1时，x x h x h 随)(),('的变化情况如下表：……………………11分由于)()(,021x g x f k 与欲使>-图象有三个不同的交点，即方程)()(x g x f =，也即0)(=x h 有三个不同的实根。