公开课：直线的参数方程
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2.3直线的参数方程课件人教新课标1
＝54(t＋2)2＋20. 当 t＝－2 时，|PM|2 取最小值，此时|PM|等于点 P 与直线
的距离，则|PM|＝ 20＝2 5. 解法二：由点 P 向直线作垂线，垂足记为 P0，如图所示，
它对应参数 t＝－2.代入直线的参数方程，可得点 P0 的坐标： x＝2，y＝1，即垂足 P0(2,1)，显然有|PP0|＝ 2＋22＋1＋12 ＝2 5.
2,6)的距离．
分析：由直线的方程可知，直线的斜率为34，即直线的倾 斜角(设为 α)的正切值 tan α＝34，则 sin α＝35，cos α＝45.因为 点 P 在直线 l 上，为了方便运算，选择点 P 作为直线上的定 点，到点 M 和点 N 的距离可以根据参数方程的特点及几何意 义或者两点之间的距离公式来求．
k＝ .
解析：(1)由题意可知直线的点斜式方程为 y－3＝－24(x－1)．
设 y－3＝－24(x－1)＝t，则xy＝＝13－＋2tt.，
∴该直线的参数方程为x＝1－2t ， y＝3＋t.
(2)解法一：如图所示，在直线上任取一点 M(x，y)，则 |PM|2＝(x＋2)2＋(y＋1)2
＝1－2t ＋22＋(3＋t＋1)2 ＝54t2＋5t＋25
线l的参数方程是 x＝ 22t， (t为参数)，
y＝－4＋
2 2t
点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求|PQ|的最
小值．
解析：曲线C的极坐标方程ρ＝4sin θ可化为ρ2＝4ρsin θ，其 直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4.
直线l的方程为x－y－4＝0. 所以，圆心到直线l的距离d＝|－2－2 4|＝3 2. 所以，|PQ|的最小值为3 2－2.
5．直线 y＝－1－t (t为参数)与曲线 的交点个数为________．
的距离，则|PM|＝ 20＝2 5. 解法二：由点 P 向直线作垂线，垂足记为 P0，如图所示，
它对应参数 t＝－2.代入直线的参数方程，可得点 P0 的坐标： x＝2，y＝1，即垂足 P0(2,1)，显然有|PP0|＝ 2＋22＋1＋12 ＝2 5.
2,6)的距离．
分析：由直线的方程可知，直线的斜率为34，即直线的倾 斜角(设为 α)的正切值 tan α＝34，则 sin α＝35，cos α＝45.因为 点 P 在直线 l 上，为了方便运算，选择点 P 作为直线上的定 点，到点 M 和点 N 的距离可以根据参数方程的特点及几何意 义或者两点之间的距离公式来求．
k＝ .
解析：(1)由题意可知直线的点斜式方程为 y－3＝－24(x－1)．
设 y－3＝－24(x－1)＝t，则xy＝＝13－＋2tt.，
∴该直线的参数方程为x＝1－2t ， y＝3＋t.
(2)解法一：如图所示，在直线上任取一点 M(x，y)，则 |PM|2＝(x＋2)2＋(y＋1)2
＝1－2t ＋22＋(3＋t＋1)2 ＝54t2＋5t＋25
线l的参数方程是 x＝ 22t， (t为参数)，
y＝－4＋
2 2t
点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求|PQ|的最
小值．
解析：曲线C的极坐标方程ρ＝4sin θ可化为ρ2＝4ρsin θ，其 直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4.
直线l的方程为x－y－4＝0. 所以，圆心到直线l的距离d＝|－2－2 4|＝3 2. 所以，|PQ|的最小值为3 2－2.
5．直线 y＝－1－t (t为参数)与曲线 的交点个数为________．
2.3直线的参数方程课件新人教A版选修4_4(优秀经典公开课比赛课件)
三 直线的参数方程
学习目标
思维脉络
1.掌握直线参数方程的标准式,理解参数 t 的几何 直线的参数方程
意义.
直线的参数方程
2.能利用直线的参数方程 直线的参数方程的应用
解决简单的实际问题.
探究
直线参数方程的标准形式主要用来解决过定点的直线与圆锥
曲线相交时的弦长或距离问题.它可以避免求交点时解方程组的烦
4 5 3 5
������,
(t ������
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,
所以点 M 在直线 l 上. 由 1+45t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
直线参数方程的应用
【例2】
已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=
������ ������
= =
1 3
+ +
1223������,������(t
为参数)和方程
������ ������
= =
1+ 3+
������, 3������(t
为参数)是否为直线
l
的参数方程.如果是直线 l 的参数方程,那么请指出方程中的参数 t
是否具有标准形式中参数的几何意义. ������ = ������0 + ������������,
所以两个参数方程都是直线 l 的参数方程.
因为
������ ������
= =
1 3
+ +
1223������,������(t
为参数)可化为
������ ������
= =
1 3
+ +
������cos ������sin
学习目标
思维脉络
1.掌握直线参数方程的标准式,理解参数 t 的几何 直线的参数方程
意义.
直线的参数方程
2.能利用直线的参数方程 直线的参数方程的应用
解决简单的实际问题.
探究
直线参数方程的标准形式主要用来解决过定点的直线与圆锥
曲线相交时的弦长或距离问题.它可以避免求交点时解方程组的烦
4 5 3 5
������,
(t ������
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,
所以点 M 在直线 l 上. 由 1+45t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
直线参数方程的应用
【例2】
已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=
������ ������
= =
1 3
+ +
1223������,������(t
为参数)和方程
������ ������
= =
1+ 3+
������, 3������(t
为参数)是否为直线
l
的参数方程.如果是直线 l 的参数方程,那么请指出方程中的参数 t
是否具有标准形式中参数的几何意义. ������ = ������0 + ������������,
所以两个参数方程都是直线 l 的参数方程.
因为
������ ������
= =
1 3
+ +
1223������,������(t
为参数)可化为
������ ������
= =
1 3
+ +
������cos ������sin
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)是直线上的一个固定点，a和b是表示直线方向的参数。
参数t的取值范围根据实际问题的情况来确定，可以是实数、整数或者其他范围。
1.直线与平面的交点在三维空间中，直线与平面的交点可以通过参数方程求解。
假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线的参数方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct将直线的参数方程代入平面的方程，可以得到一个关于参数t的二次方程：A(x0+at) + B(y0+bt) + C(z0+ct) + D = 0通过求解这个二次方程，可以得到直线与平面的交点坐标。
2.直线的斜率直线的斜率是表示直线的倾斜程度的一个重要指标，可以通过直线的参数方程求得。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的斜率可以表示为：m=(y2-y1)/(x2-x1)=(y0+b*t2-y0-b*t1)/(x0+a*t2-x0-a*t1)=b/a因此，直线的斜率可以通过参数a和b的比值得到。
当a=0时，直线是垂直于x轴的；当b=0时，直线是垂直于y轴的。
3.直线的长度直线的长度可以通过参数方程和积分来求解。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的长度可以表示为：L = ∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt (t=t1到t2)其中 dx/dt 和 dy/dt 分别是直线参数方程关于 t 的导数。
将直线的参数方程代入到上式中，化简可得：L = ∫√(a²+b²) dt (t=t1到t2)=√(a²+b²)*(t2-t1)因此，直线的长度可以通过直线参数方程中的参数a和b计算得到。
4.直线的切线和法线y = y0 + (dy/dt) * (t-t0)其中 dy/dt 是直线参数方程关于 t 的导数。
直线的参数方程ppt课件
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5．化直线l的参数方程
x＝－3＋t， y＝1＋ 3t
(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，
说明|t|的几何意义．
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【解】 由xy＝ ＝－ 1＋3＋3tt， 消去参数t，得
直线l的普通方程为 3x－y＋3 3＋1＝0.
故k＝ 3＝tan α，即α＝π3，
几何意义为|
→ M0M
|＝4，且
→ M0M
与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下
方)．
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1．一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上
的动点M(x，y)的参数方程为
x＝x0＋tcos y＝y0＋tsin
α， α
(t为参数)，这是直线参数方程的
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【解析】 将xy＝ ＝12－ ＋23tt 化为y＝－32x＋72， ∴斜率k1＝－32， 显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直， ∴k≠0，从而直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－4k. 依题意k1k2＝－1，即－4k×－32＝－1， ∴k＝－6. 【答案】 －6
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θ， θ
(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
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【解】 (1)直线l的参数方程为
x＝－3＋tcos56π＝－3－ 23t， y＝3＋tsin56π＝3＋2t
(t为参数)．
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(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0. 把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得 4－3－ 23t2＋3＋12t2－16＝0， 即13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0. 由t的几何意义，知 |PA|·|PB|＝|t1·t2|， 故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝11136.
直线的参数方程 课件
当 θ＝π2时，|AB|min＝ 2，当 θ＝0 时，|AB|max＝2 2.
(2)∵t1t2＝－cos2θ＋12sin2θ＜0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴y1＝t1sin θ，y2＝t2sin θ，S△AOB＝12|OF|·(|y1|＋|y2|)＝12×1·|t1－t2|·sin θ＝1＋2ssiinn2θθ＝
【例题 1】 (1)化直线 l1：x＋ 3y－1＝0 的方程为标准形式的参数方程(参数为 t)，
并说明 t 和t的几何意义；
(2)化直线 l2的参数方程xy＝＝－1＋3＋3tt， (t 为参数)为普通方程，并说明t的几何意义．
• 思维导引：求直线的参数方程首先确定定点， 再确定倾斜角．化参数方程为普通方程关键 在于消参．
解析：(1)令
y＝0，得
x＝1，所以直线
l1
过定点(1,0)，斜率
k＝－
1 ＝－ 3
33，设倾
斜角为 α，tan α＝－ 33，α＝56π，∴cos α＝－ 23，sin α＝12.所以 l1 的参数方程为
x＝1－ 23t， y＝12t
(t 为参数)．t 是直线 l1 上定点 M0(1,0)到直线上任意一点 M(x，y)的有
(2)∵P 在 C1 上，将xy＝＝－3＋1＋tsintcαo.s α， 代入方程 x2＋y2－2x－2y＝0 得 t2－4(cos α
－sin α)t＋6＝0， 设点 B，D 对应的参数分别为 t1，t2. 则|PB|＝|t1|，|PD|＝|t2|，又 t1t2＝6，∴|PB|·|PD|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝6.
α，
(t 为参数，0≤α≤π)，
以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝
(2)∵t1t2＝－cos2θ＋12sin2θ＜0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴y1＝t1sin θ，y2＝t2sin θ，S△AOB＝12|OF|·(|y1|＋|y2|)＝12×1·|t1－t2|·sin θ＝1＋2ssiinn2θθ＝
【例题 1】 (1)化直线 l1：x＋ 3y－1＝0 的方程为标准形式的参数方程(参数为 t)，
并说明 t 和t的几何意义；
(2)化直线 l2的参数方程xy＝＝－1＋3＋3tt， (t 为参数)为普通方程，并说明t的几何意义．
• 思维导引：求直线的参数方程首先确定定点， 再确定倾斜角．化参数方程为普通方程关键 在于消参．
解析：(1)令
y＝0，得
x＝1，所以直线
l1
过定点(1,0)，斜率
k＝－
1 ＝－ 3
33，设倾
斜角为 α，tan α＝－ 33，α＝56π，∴cos α＝－ 23，sin α＝12.所以 l1 的参数方程为
x＝1－ 23t， y＝12t
(t 为参数)．t 是直线 l1 上定点 M0(1,0)到直线上任意一点 M(x，y)的有
(2)∵P 在 C1 上，将xy＝＝－3＋1＋tsintcαo.s α， 代入方程 x2＋y2－2x－2y＝0 得 t2－4(cos α
－sin α)t＋6＝0， 设点 B，D 对应的参数分别为 t1，t2. 则|PB|＝|t1|，|PD|＝|t2|，又 t1t2＝6，∴|PB|·|PD|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝6.
α，
(t 为参数，0≤α≤π)，
以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝
高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
§2 直线和圆锥曲线的参数方程
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
直线的参数方程 课件
在直线参数方程的标准形式下,直线上两点之间的距离可用|t1-t2|来求.直线的
参数方程和普通方程可以进行互化.特别是要求直线上某一定点到直线与曲线的
交点的距离和直线与曲线相交的弦长时,通常要使用参数的几何意义,宜用参数方
程形式.
典例提升2
已知直线的参数方程为ቊ
= 1 + 2,
(t为参数),求该直线被圆x2+y2=9截得的弦
5 1 2
64
12 5
+
16
=
.
5
5
2
1
+ 2 + ′ =9,
5
探究三错辨析
易错点:错用参数的几何意义而致误
典例提升3
= 2− 2 ,
2+y2=4交于A,B两点,求
已知过点M(2,-1)的直线l:൞
(t为参数),l与圆x
= −1 + 2
|AB|及|AM|·|BM|.
错解:把直线方程代入圆的方程,化简得t2-6t+2=0.设A,B两点对应的参数分别为
其中t'是点M(2,-1)到直线l上的一点P(x,y)的有向线段的数量,将其代入圆的方程
x2+y2=4,化简得t'2-3 2t'+1=0.因为Δ>0,可设t1',t2'是方程的两个根,由根与系数的
关系,得t1'+t2'=3 2,t1't2'=1.由参数t'的几何意义得|MA|=|t1'|,|MB|=|t2'|,
数).
1
= 3− 2 ,
(2)把൞
代入x-y+1=0,
参数方程和普通方程可以进行互化.特别是要求直线上某一定点到直线与曲线的
交点的距离和直线与曲线相交的弦长时,通常要使用参数的几何意义,宜用参数方
程形式.
典例提升2
已知直线的参数方程为ቊ
= 1 + 2,
(t为参数),求该直线被圆x2+y2=9截得的弦
5 1 2
64
12 5
+
16
=
.
5
5
2
1
+ 2 + ′ =9,
5
探究三错辨析
易错点:错用参数的几何意义而致误
典例提升3
= 2− 2 ,
2+y2=4交于A,B两点,求
已知过点M(2,-1)的直线l:൞
(t为参数),l与圆x
= −1 + 2
|AB|及|AM|·|BM|.
错解:把直线方程代入圆的方程,化简得t2-6t+2=0.设A,B两点对应的参数分别为
其中t'是点M(2,-1)到直线l上的一点P(x,y)的有向线段的数量,将其代入圆的方程
x2+y2=4,化简得t'2-3 2t'+1=0.因为Δ>0,可设t1',t2'是方程的两个根,由根与系数的
关系,得t1'+t2'=3 2,t1't2'=1.由参数t'的几何意义得|MA|=|t1'|,|MB|=|t2'|,
数).
1
= 3− 2 ,
(2)把൞
代入x-y+1=0,
直线的参数方程
工程应用
在工程中，直线参数方程被广泛应用于机械设计、土木工程等领域。例如，在机 械设计中，直线参数方程可以用来描述机器的运动轨迹；在土木工程中，直线参 数方程可以用来描述建筑物的轮廓线。
物理应用
在物理学中，直线参数方程也被广泛应用于描述运动轨迹和实验数据。例如，在 研究物体的运动时，直线参数方程可以用来描述物体的位置和速度随时间的变化 。
通过两点确定直线
对于通过两点的直线，参数方程可以表示为 `x = tcosθ + ρcosθ`, `y = tsinθ + ρsinθ`，其中t为参数，θ为角度，ρ为距离。
斜截式
对于斜截式直线，参数方程可以表示为 `x = ty + b`, `y = t`，其中t为参数，b 为截距。
应用直线参数方程解决实际问题
向量推导的应用
利用向量推导直线参数方程，可以直观地理解直线的方向和位置 ，为解决几何问题提供方便。
使用点斜式推导直线参数方程
点斜式的定义
点斜式是直线方程的一种形式，它表示直线通过 某一点且与该直线的斜率有关。
点斜式的推导
通过点斜式的定义，推导出直线参数方程的系数 ，并得到点斜式对应的参数方程。
点斜式的应用
直线参数方程在几何中的应用
直线的平行和垂直判定
利用参数方程求解直线的斜率和 截距
直线的参数方程可以用来表示直 线上的点，其应用包括
直线与圆、椭圆的交点求解
通过引入参数，直线的参数方程 可以将直线上的点坐标表示为参 数的函数，从而简化了直线相关 的几何问题的求解
直线参数方程在物理中的应用
直线的参数方程可以 用于描述物理学中的 波的传播和运动轨迹 ，其应用包括
机械工程中的机构运动学分析
在工程中，直线参数方程被广泛应用于机械设计、土木工程等领域。例如，在机 械设计中，直线参数方程可以用来描述机器的运动轨迹；在土木工程中，直线参 数方程可以用来描述建筑物的轮廓线。
物理应用
在物理学中，直线参数方程也被广泛应用于描述运动轨迹和实验数据。例如，在 研究物体的运动时，直线参数方程可以用来描述物体的位置和速度随时间的变化 。
通过两点确定直线
对于通过两点的直线，参数方程可以表示为 `x = tcosθ + ρcosθ`, `y = tsinθ + ρsinθ`，其中t为参数，θ为角度，ρ为距离。
斜截式
对于斜截式直线，参数方程可以表示为 `x = ty + b`, `y = t`，其中t为参数，b 为截距。
应用直线参数方程解决实际问题
向量推导的应用
利用向量推导直线参数方程，可以直观地理解直线的方向和位置 ，为解决几何问题提供方便。
使用点斜式推导直线参数方程
点斜式的定义
点斜式是直线方程的一种形式，它表示直线通过 某一点且与该直线的斜率有关。
点斜式的推导
通过点斜式的定义，推导出直线参数方程的系数 ，并得到点斜式对应的参数方程。
点斜式的应用
直线参数方程在几何中的应用
直线的平行和垂直判定
利用参数方程求解直线的斜率和 截距
直线的参数方程可以用来表示直 线上的点，其应用包括
直线与圆、椭圆的交点求解
通过引入参数，直线的参数方程 可以将直线上的点坐标表示为参 数的函数，从而简化了直线相关 的几何问题的求解
直线参数方程在物理中的应用
直线的参数方程可以 用于描述物理学中的 波的传播和运动轨迹 ，其应用包括
机械工程中的机构运动学分析
直线的参数方程ppt优秀课件
知识连接（1）
实数λ与向量 a 的积：
a a
定义：λa是一个 向量.
它的长度 |λa| = |λ||a|；
a
它的方向 (1) 当λ>0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！ 坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
2
1 2
t
（2）直线xy3tcotss2in0020（ 0 t为y参数 ）3的倾斜2角 3 是t （B ）
A.200 B.700 C.1100 D.1600
练习
3.直 线 x3y20的 点 角 式 参 数 方 程 为
_________ _ x__ __ 2 ____2_ 3_t.
y 1t 2
e
由 M o M t e及 e 1可 得 ，
M α
M o M t e M o M t M0
o
x
当 M o M 与 e同 向 时 ， t 0； 当 M o M 与 e反 向 时 ， t 0； 当 M与 M 0重 合 时 ， t 0.
L
e
y αM0
o
X
t表 示 参 数 t对 应 的 点 M 到 定 点 M 0 的 距 离 M.
e(cos,sin)
M 0 M ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) ( x x 0 , y y 0 )
又M0M//e
y
L
存在惟一实数t R，e
M α
使得 M0M te M0
o
x
(x x 0 ,y y 0 ) t(c o s,s in)
x x 0 tc o s,y y 0 ts in
直线的参数方程
当a2
b2
1时，
t才具有此几何意义
其它情况不能用。
直线非标准参数方程的标准化
x y
x0 y0
at bt
(t为参数）
x 1t
y
3
3t
x
x0
y
y0
a ( a2 b2t) a2 b2
b ( a2 b2t) a2 b2
x
1
1 12 (
( 12 ( 3)2 t) 3)2
y 3
3 t sin20（0 t为 t cos 200
参
数
）
的
倾
斜
角
是
（B
）
A.200 B.700 C .1100 D.1600
（2） 直 线x
y
1
x
0的 一 个 参 数 方 程 是 y
1 2
2
2 2
t
t （t为参数）
。
思考: 由M0M te,你能得到直线l的参数方
程中参数t的几何意义吗？
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
例2
（1）如何写出直线l的参数方程？
①
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
①
由韦达定理得： t1 t2 2，t1 t2 2
3
( 12 ( 3)2 t)
12 ( 3)2
x
x0
y
y0
a t a2 b2
b t a2 b2
x 1
y
3
1 t 2 3 t 2
b2
1时，
t才具有此几何意义
其它情况不能用。
直线非标准参数方程的标准化
x y
x0 y0
at bt
(t为参数）
x 1t
y
3
3t
x
x0
y
y0
a ( a2 b2t) a2 b2
b ( a2 b2t) a2 b2
x
1
1 12 (
( 12 ( 3)2 t) 3)2
y 3
3 t sin20（0 t为 t cos 200
参
数
）
的
倾
斜
角
是
（B
）
A.200 B.700 C .1100 D.1600
（2） 直 线x
y
1
x
0的 一 个 参 数 方 程 是 y
1 2
2
2 2
t
t （t为参数）
。
思考: 由M0M te,你能得到直线l的参数方
程中参数t的几何意义吗？
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
例2
（1）如何写出直线l的参数方程？
①
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
①
由韦达定理得： t1 t2 2，t1 t2 2
3
( 12 ( 3)2 t)
12 ( 3)2
x
x0
y
y0
a t a2 b2
b t a2 b2
x 1
y
3
1 t 2 3 t 2
直线的参数方程
直线的参数方程直线是平面上的一种线形图形，由无数个点组成。
在平面直角坐标系下，直线通常可以用线段的两个端点来确定，或者可以用点斜式和斜截式来表示。
另外，还有一种常见的表示直线的方法是使用参数方程。
参数方程是一种通过引入一个参数作为自变量来表示一个二维曲线的方法。
x=x₀+a·t,y=y₀+b·t,其中(x₀,y₀)是直线上的一个点，t是参数，a和b是与直线的方向相关的参数。
参数方程的优点之一是可以直接通过给定的参数值来求解直线上的任意一点的坐标。
另外，参数方程还可以方便地描述直线的方向和倾斜角度。
下面将分别介绍直线的参数方程以及如何根据已知信息确定参数值的方法。
1.斜率-截距形式的直线方程假设直线方程为y = mx + c，我们可以将x表示为t的函数：x=t,y = mt + c.这样，我们就得到了直线的参数方程。
其中，t是参数，(x,y)是直线上的任意一点。
参数方程的参数a和b分别为1和m。
2.两点间的直线方程首先，我们可以求出直线的方向向量，即从点A到点B的向量。
该向量的分量为：a=x₂-x₁,b=y₂-y₁.然后，我们可以选择一个点作为原点，例如A点，将该点的坐标作为参数方程中的参数值：x₀=x₁,y₀=y₁.最后x=x₀+a·t=x₁+(x₂-x₁)·t,y=y₀+b·t=y₁+(y₂-y₁)·t.3.一般直线方程的参数方程假设直线方程为Ax+By+C=0，我们可以将x表示为t的函数：x=x₀+a·t,y=y₀+b·t.在这种情况下，参数方程的参数a和b可以表示为：a=-B,b=A.其中，(x₀,y₀)是直线上的一个点，t是参数。
总结起来，直线的参数方程可以用以上三种常见形式表示。
在给定直线的已知信息之后，我们可以根据特定的情况选择合适的参数方程形式，并确定参数值。
通过确定参数值，我们可以方便地求解直线上的任意一点的坐标，也可以直观地描述直线的方向和倾斜角度。
直线的参数方程课件
2 2 2
b x 0a y 0a b
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
b cos a sin
6
b x 0a y 0a b
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
b cos - a sin -
2 2 2 2
b x 0a y 0a b
2 2 2
二、新课讲授
设e是与直线l平行且方向向上（l的倾斜角不为0）
或向右（l的倾斜角为0）的单位方向向量（单位长度 与坐标轴的单位长度相 同）
设直线 l 的倾斜角为 ，定点 M 0、动点 M 的坐标 分别为 ( x 0 , y 0 )、 x , y ) (
y
e
0
M
M
o
x
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量e ？ (2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M 的坐标？
x 2 t cos t为 参 数 代 入 椭 圆 方 程 为 y 1 t s in ,
3 s in 1 t
2
2
4 c o s 2 s in
t
8 0
则 AM
t1 , M B t 2 . M 在 椭 圆 内 所 以 t1 t 2 4 c o s 2 s in 3 s in 1
0
C .1 1 0
0
D .1 6 0
0
（ 2） 直 线 x y 1 0的 一 个 参 数 方 程 是
2 x 1 t 2 （t为参数） y 2t 。 2
三、例题讲解
x y 1 0 2 解：由 得： x 1 0 x (*) 2 y x 由韦达定理得： x 1 x 2 1， x 1 x 2 1
b x 0a y 0a b
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
b cos a sin
6
b x 0a y 0a b
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
b cos - a sin -
2 2 2 2
b x 0a y 0a b
2 2 2
二、新课讲授
设e是与直线l平行且方向向上（l的倾斜角不为0）
或向右（l的倾斜角为0）的单位方向向量（单位长度 与坐标轴的单位长度相 同）
设直线 l 的倾斜角为 ，定点 M 0、动点 M 的坐标 分别为 ( x 0 , y 0 )、 x , y ) (
y
e
0
M
M
o
x
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量e ？ (2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M 的坐标？
x 2 t cos t为 参 数 代 入 椭 圆 方 程 为 y 1 t s in ,
3 s in 1 t
2
2
4 c o s 2 s in
t
8 0
则 AM
t1 , M B t 2 . M 在 椭 圆 内 所 以 t1 t 2 4 c o s 2 s in 3 s in 1
0
C .1 1 0
0
D .1 6 0
0
（ 2） 直 线 x y 1 0的 一 个 参 数 方 程 是
2 x 1 t 2 （t为参数） y 2t 。 2
三、例题讲解
x y 1 0 2 解：由 得： x 1 0 x (*) 2 y x 由韦达定理得： x 1 x 2 1， x 1 x 2 1
直线的参数方程 课件
由 ρ＝ 2cosθ－π4得 ρ＝cos θ＋sin θ，
所以 ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 得 x2＋y2＝x＋y， 即圆 C 的直角坐标方程为x－122＋y－122＝12.(5 分)
(2)把yx＝＝112＋＋122t3t，代入x－122＋y－122＝12， 得 t2＋12t－14＝0，(7 分) 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1，t2，
(1)求直线的普通方程； (2)化参数方程为标准形式．
10－y 解：(1)由 y＝10－4t，得 t＝ 4 ，代入 x＝5＋3t，
10－y 得 x＝5＋3× 4 . 化简得普通方程为 4x＋3y－50＝0. (2)把方程变形为 x＝5＋3t＝5－35×（－5t）， y＝10＋45×（－5t）.
令 cos α＝－35，sin α＝45. u＝－5t，则参数方程的标准形式为： x＝5－35u， y＝10＋45u (u 为参数)．
(t 为参数)
y＝y0＋bt
化标准形式的公式，非标准形式中的 a2＋b2t 具有标准
x＝x0＋tcos α，
形式参数方程
(α 为参数)中参数 t 的几何
y＝y0＋tsin α
意义，故可以直接利用非标准形式的参数方程解题．
解：由题意知 F(1，0)，
x＝1－ 22t，
则直线的参数方程为
(t 为参数)，
y＝
2 2t
代入抛物线方程得( 22t)2＝4(1－ 22t)， 整理得 t2＋4 2t－8＝0，由一元二次方程根与系数的 关系可得 t1＋t2＝－4 2，t1t2＝－8，由参数 t 的几何意义 得 |AB|＝|t1－t2|＝ （t1＋t2）2－4t1t2＝ 64＝8.
(t 为参数)是非标准形式，参数 t 不具有上
直线和圆的参数方程名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
即x x0 , y y0 tcos,sin ,
所以 x x0 t cos , y y0 t sin ,
即 x x0 t cos , y y0 t sin ,
所以,经过点 M 0 x0 , y0 ,倾斜角为 的直线
l 的参数 方程是为
x x0 t cos , y y0 t sin .
t2 2
0, 即
cos 2sin 0,于是直线l的斜率为
1
k tan 2 .
因此,
直线l的方程是y
1
1 2
x
2,
即 x 2 y 4 0.
思考 例2的解法对一般圆锥曲线 适用吗?把 "中点"改为"三等分点",直线l的方程怎样求 ?
例5 当前台风中心 P 在某海滨
城市O向东 300km处生成, 并以40
到A，B两点旳距离之积．
解：(1)直线旳参数方程是
x＝1＋
3 2t
y＝1＋12t
(t 是参数)．
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 A1＋ 23t1，1＋12t1，B1＋ 23t2，1＋21t2. 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4， 整理得到 t2＋( 3＋1)t－2＝0.① 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
方向向量 e 的方向总是向上.此时,若 t 0, 则 M 0M 的方向向上;若t 0,则 M 0M 的方 向向下;若 t 0,则点M与点M 0重合.
【基本题型】
例1．直线 l 经过点 M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线
数学(选修4-4)课件2.2直线的参数方程
∴cos
α＝21，sin
α＝
3 2.
x＝1＋21t，
∴直线
l
的参数方程为 y＝
3 2t
(t 为参数)．①
∵直线 l 和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程并
整理，得 5t2＋2t－4＝0.
∴Δ＝4＋4×5×4＞0.
设这个二次方程的两个实根为 t1，t2. 由根与系数的关系，得 t1＋t2＝－25，t1t2＝－54.
直线的参数方程
已知直线l过(3,4)，且它的倾斜
角θ＝120°.
(1)写出直线l的参数方程．
(解2)：求(直1)线直l线与直l 的线参x－数y方＋程1＝为0的xy＝＝交34＋＋点tt．csions
120°， 120°，
x＝3－21t，
即
y＝4＋
3 2 t.
x＝3－12t，
(2)把 y＝4＋
3 2t
由 M 为 AB 的中点，根据参数 t 的几何意义，
得|PM|＝t1＋2 t2＝51.
(2)|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝
8245＝2
21 5.
1．过定点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)，|t|的几何意义是有向线段P→M的长
代入 x－y＋1＝0，得
3－21t－4－ 23t＋1＝0.解得 t＝0.
x＝3－21t，
把
t＝0
代入 y＝4＋
23t，
得两直线的交点为(3,4)．
【点评】 (1)已知直线经过的定点及直线的倾斜角，求参
数方程可利用xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α，
直线的参数方程用ppt课件
（2）M是AB的中点，求M对应的参
t1 t2 2
练习
1.求直线
x
y
2
t sin20 t cos20
(t为参数)的
倾斜角
2。直线
x y
t sin 20o t cos 20o
3
(t为参数）的倾斜角是
C
A.20o B.70o C.110o D.160o
3.直线 xy
t t
cos
sin a
| M0M | a2 b2 | t | | M1M2 | a2 b2 | t1 t2 |
例题选讲
例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于 A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
两点的距离之积。
分析:
1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
2.分别如何解.
作业
1。求直线l : 4x y 4 0与l1：x 2 y 2 0及直线
l2：4x 3y 12 0所得两交点间的距离。 9 17
2.13如.直直0线相线l过切点xy，P则04b(t这 4,a0条t)(,直 倾 t为线 斜参角 的数为 倾）斜＝ 与角曲 6 等 ，线l于与x2圆3x或y212243y42
普通方程化为参数方程需要引入参数
由于选取的参数不同，曲线有不同的参数 方程；一般地，同一条曲线，可以选取不同的 变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不 同的形式。形式不同的参数方程，它们表示 的曲线可以是相同的。
另外，在建立曲线的参数时，要注明参数及 参数的取值范围。
普通方程化为参数方程需要引入参数
x
x=-1+tcos
3
4
y
2
t
sin
t1 t2 2
练习
1.求直线
x
y
2
t sin20 t cos20
(t为参数)的
倾斜角
2。直线
x y
t sin 20o t cos 20o
3
(t为参数）的倾斜角是
C
A.20o B.70o C.110o D.160o
3.直线 xy
t t
cos
sin a
| M0M | a2 b2 | t | | M1M2 | a2 b2 | t1 t2 |
例题选讲
例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于 A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
两点的距离之积。
分析:
1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
2.分别如何解.
作业
1。求直线l : 4x y 4 0与l1：x 2 y 2 0及直线
l2：4x 3y 12 0所得两交点间的距离。 9 17
2.13如.直直0线相线l过切点xy，P则04b(t这 4,a0条t)(,直 倾 t为线 斜参角 的数为 倾）斜＝ 与角曲 6 等 ，线l于与x2圆3x或y212243y42
普通方程化为参数方程需要引入参数
由于选取的参数不同，曲线有不同的参数 方程；一般地，同一条曲线，可以选取不同的 变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不 同的形式。形式不同的参数方程，它们表示 的曲线可以是相同的。
另外，在建立曲线的参数时，要注明参数及 参数的取值范围。
普通方程化为参数方程需要引入参数
x
x=-1+tcos
3
4
y
2
t
sin
公开课：直线的参数方程
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
（1）如何写出直线l的参数方程？
①
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ? ① （3） AB 、MA MB 与t1，t2有什么关系？
则 AM t1 , MB t2 .M 在椭圆内所以
A
x 4cos 2sin
t1 t2 3sin2 1
因为M 为AB的中点
所以 t1 t2 0, cos 2sin 0, k tan 1
2
2
直线l的方程是：y-1= 1 x 2即 x 2y 4 0
2
思考： 例2还有别的解方法吗？ 思考： 例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中 点”改为“三等分点”，直线的方程怎样求？
例2.经过点M 2,1作直线L,交椭圆 x2 y2 1于A, B两点。
16 4 如果点M 恰好为线段AB的中点，求直线L的方程。
解：设过点M 2,1的直线L的参数方程为
l
y B
O
x
y
2 t cos 1 t sin,
t为参数
代入椭圆方程为
3sin2 1 t2 4cos 2sin t 8 0
x x0 t cos
y
y0
t
sin
(t为参数)
与曲线y=f(x)交于M1,M2两点，对应的参数 分别为t1,t2,
(1)曲线的弦M1M2的长是 |t1 t2 |
(2)线段M1M2的中点M对应的参数t的值
是
t1 t2 2
方程
x 5
3t(t为参数)
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| t | | M 0 M |
(t为参数)
| t || M 0 M |
参数t的几何意义是什么？ y
l
M ( x, y )
若t 0, 则M 0 M 方向向上 若t 0, 则M 0 M 方向向下 若t 0, 则点M与M 0重合
e
0
M 0 ( x0 , y0 )
x
l
例1.设直线l过点A(2,-4),倾斜角为 6 (1)求l的参数方程； (2)设直线l与直线x-y+1=0交于点B，求 线段AB的长. y x y 1 0 y l | t | M ( x, y )
(t为参数)
与曲线y=f(x)交于M1,M2两点，对应的参数 分别为t1,t2, (1)曲线的弦M1M2的长是 |t t |
1 2
(2)线段M1M2的中点M对应的参数t的值 是
t1 t2 2
方程
x 5 3t (t为参数) y 2 t
是直线参数方程吗？它和我们今天所学 的// a(a 0) b a
2.直线l的方向向量是指： 与直线l平行的非零向量
经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的
y y0 tan ( x x0 ) 普通方程是________________________;
如何建立直线l的参数方程呢？
|t1 t2 | t1 t 2 中点P的参数 t 2
弦长|AB|=
1 练习： x 2 2 t (t为参数) 被双曲线 求直线 y 3 t 2
x2-y2=1截得的弦长|AB|.
例3.经过点M(2,1)作直线l ,交椭圆
x
2
16
y
2
4
1
于A，B两点，如果点M恰好为线段AB的 中点，求直线l的方程. 弦的中点对应的参数为
M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) y ( x x0 , y y0 )
l
M ( x, y )
e (cos , sin )
e
M 0 ( x0 , y0 )
0
x
经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的
x x0 t cos 参数方程： y y0 t sin
t1 t2 2
4
练习：已知经过点P(2,0)，斜率为 3 的直线 和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB 的中点为M，求点M的坐标 .
1.经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的 x x0 t cos (t为参数) 参数方程： y y0 t sin
2.参数t的几何意义:
| t || M 0 M |
3. 直线上的点M与参数t的值是一一对应的.
若t 0, 则M 0 M 方向向上 若t 0, 则M 0 M 方向向下 若t 0, 则点M与M 0重合
4.直线参数方程可解决弦长，中点等问题.
x x0 t cos 若直线l: y y0 t sin
O
5
B
|t |
x
A
0
M 0 ( x0 , y0 )
x
直线上的点M与参数t的值是一一对应的
例2：已知直线 l : x y 1 0 与抛物线 2 y x 交于A,B两点， 点M(-1,2)在直线AB上， （1）求线段AB的长； （2）求点M(-1,2)到A , B两点的距离之积； （3）求AB的中点P的坐标。
(t为参数)
| t || M 0 M |
参数t的几何意义是什么？ y
l
M ( x, y )
若t 0, 则M 0 M 方向向上 若t 0, 则M 0 M 方向向下 若t 0, 则点M与M 0重合
e
0
M 0 ( x0 , y0 )
x
l
例1.设直线l过点A(2,-4),倾斜角为 6 (1)求l的参数方程； (2)设直线l与直线x-y+1=0交于点B，求 线段AB的长. y x y 1 0 y l | t | M ( x, y )
(t为参数)
与曲线y=f(x)交于M1,M2两点，对应的参数 分别为t1,t2, (1)曲线的弦M1M2的长是 |t t |
1 2
(2)线段M1M2的中点M对应的参数t的值 是
t1 t2 2
方程
x 5 3t (t为参数) y 2 t
是直线参数方程吗？它和我们今天所学 的// a(a 0) b a
2.直线l的方向向量是指： 与直线l平行的非零向量
经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的
y y0 tan ( x x0 ) 普通方程是________________________;
如何建立直线l的参数方程呢？
|t1 t2 | t1 t 2 中点P的参数 t 2
弦长|AB|=
1 练习： x 2 2 t (t为参数) 被双曲线 求直线 y 3 t 2
x2-y2=1截得的弦长|AB|.
例3.经过点M(2,1)作直线l ,交椭圆
x
2
16
y
2
4
1
于A，B两点，如果点M恰好为线段AB的 中点，求直线l的方程. 弦的中点对应的参数为
M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) y ( x x0 , y y0 )
l
M ( x, y )
e (cos , sin )
e
M 0 ( x0 , y0 )
0
x
经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的
x x0 t cos 参数方程： y y0 t sin
t1 t2 2
4
练习：已知经过点P(2,0)，斜率为 3 的直线 和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB 的中点为M，求点M的坐标 .
1.经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的 x x0 t cos (t为参数) 参数方程： y y0 t sin
2.参数t的几何意义:
| t || M 0 M |
3. 直线上的点M与参数t的值是一一对应的.
若t 0, 则M 0 M 方向向上 若t 0, 则M 0 M 方向向下 若t 0, 则点M与M 0重合
4.直线参数方程可解决弦长，中点等问题.
x x0 t cos 若直线l: y y0 t sin
O
5
B
|t |
x
A
0
M 0 ( x0 , y0 )
x
直线上的点M与参数t的值是一一对应的
例2：已知直线 l : x y 1 0 与抛物线 2 y x 交于A,B两点， 点M(-1,2)在直线AB上， （1）求线段AB的长； （2）求点M(-1,2)到A , B两点的距离之积； （3）求AB的中点P的坐标。