应用统计-第05章-参数估计

n -1
2237.02 = = 93.21 25 - 1
(25 − 1) × 93.21 (25 − 1) × 93.21 2 ≤σ ≤ 39.364 12.401
即56.83≤σ2≤ 180.39。相应地，总体标准差的置信区间 为：(7.54,13.43)。该企业生产的食品总体重量标准差 为95%的置信区间为(7.45,13.43)。
应 用 统 计 第 五 章
14
解：已知σ=10，n=25，置信水平为1-α =95%，查标准正态分布表得zα/2=1.96 根据样本数据计算的样本均值为：
x=
∑x
i =1
n
i
n
2634 = = 105.36 25
x ± zα / 2
σ
10 = 105.36 ± 1.96 × = 105.36 ± 3.92 n 25
例5.1
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一家食品生产企业以生产袋装食品为主，每天的产量 为8000袋左右。按规定每袋的重量应为100g。为对产 品质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以 分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食 品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如表5.4所示。 表5.4 25袋食品的重量（单位：g）
5.2 一个总体参数的区间估计
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5.2.1 总体均值的区间估计 大样本的估计方法 当总体服从正态分布且σ2已知时，或者总体 不是正态分布但为大样本时，样本均值x-bar 的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总 体均值μ，方差为σ2/n。而样本均值经过标准 化以后的随机变量则服从标准正态分布，即
χ 1-α / 2
χα / 2
2
χ2
第 五 章
27
5.2.3 总体方差的区间估计 总体方差σ2在(1-α)置信水平下的置信区间为：
(n − 1) s 2
2 χα / 2
≤σ 2 ≤
(n − 1) s 2
χ12−α / 2
例5.5
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根据例5.1的数据，以95%的置信水平建立该种食品 重量方差的置信区间。 解：根据样本数据计算的样本标准差为：
s =
2 2 （xi - x ） ∑ i =1 n
根据显著水平α=0.05和自由度(n-1)=25-1=24，查χ2分布 表的χ2 α/2(n-1)= χ2 0.025(25-1)=39.364， χ2 1-α/2(n-1)= χ2 2 0.975(25-1)=12.401。总体方差σ 的置信区间为：
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5.2.2 总体比率的区间估计 当样本容量足够大时，样本比率p的抽样分布 可用正态分布近似。p的数学期望等于总体的 比率，即E(p)=π；p的方差为σ2p=π(1-π)/n。而 样本比率经标准化后的随机变量则服从标准 正态分布，即 p -π z= ~ N (0,1) π (1 − π ) / n 在样本比率p的基础上允许误差zα/2σp，即得 总体比率p在(1-α)置信水平下的置信区间：
第五章 参数估计
主要内容
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2
5.1 参数估计的一般问题 5.2 一个总体参数的区间估计 本章小结
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参数估计是推断统计的重要内容之一，就是 在抽样及抽样分布的基础上，根据样本统计 量来推断我们所关心的总体参数。 讨论参数估计的基本方法 一个总体参数的估计，如总体均值的估计、 总体比率的估计、总体方差的估计。 讨论参数估计中样本容量的确定问题。
x=
∑ xi
i =1
n
n
x ± zα / 2
n -1 s 7.77 = 39.5 ± 1.645 × = 39.5 ± 2.13 n 36
= 39.5
s=
2 （xi - x ） ∑ i =1
n
= 7.77
即(37.37,41.63)，投保人平均年龄90%的置信 区间为(37.37,41.63)。
课堂练习
5.1 参数估计的一般问题
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4
5.1.1 估计量与估计值 所谓参数估计(parameter estimation)也就是用 样本统计量去估计总体的参数。
样本均值 x 总体均值μ 总体方差σ2
样本方差 s2
估计
样本比率p 总体比率π 总体参数θ 样本统计量
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σ已知
σ未知
大样本(n≥30) 正态分布 小样本(n<30)
x ± zα / 2
σ
n
x ± zα / 2
s n
x ± tα/2
σ
n
x ± tα / 2
s n
s n
非正态分布
大样本(n≥30)
x ± zα / 2
σ
n
x ± zα / 2
课堂练习
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从班上随机调查10名同学的月支出。 要求以95％的把握程度，估计全班同学的平 均月支出的区间范围及其允许误差。
10
5.1.3 评价估计量的标准 无偏性(unbiasedness) 无偏性是指估计量抽样分布的数学期望等 于被估计的总体参数。 有效性(effciency) 一个无偏的估计量并不意味着它非常接近 被估计的参数，它还必须与总体参数的离 散程度比较小。对同一总体参数的两个无 偏点估计量，标准差越小的估计量越有效。 相合性(consistency) 相合性是指随着样本容量的增大，点估计 量的值越来越接近被估总体的参数。
x ± tα / 2 s 24.77 = 1490 ± 2.131× = 1490 ± 13.2 n 16
即(1476.8,1503.2)，该种灯泡平均使用寿命95% 的置信区间为(1476.8,1503.2)小时。
表5.6 不同情况总体均值的区间估计
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总体分布 样本容量
即(101.44,109.28)，该批食品平均重量95%的 置信区间为(101.44,109.28)。
例5.2
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一家保险公司收集到由36个投保个人组成的随机样 本，得到每个投保人的年龄（周岁）数据如表5.5所 示。 表5.5 36个投保人年龄的数据
23 36 重量 42 34 39 34 35 42 53 28 49 39 39 46 45 39 38 45 27 43 54 36 34 48
p ± zα / 2 p (1 − p) n
例5.4
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某城市想要估计下岗职工中女性所占的比率， 随机抽取了100个下岗职工，其中65人为女性 职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职 工中女性比率的置信区间。 解：已知n=100，zα/2=1.96，根据抽样结果计算的 样本比率为p=65/100=65%。 根据公式得：
样本统计量 θˆ 直接作为 总体参数θ
区间估计(interval estimation)通常是由样本统 计量加减抽样误差而得到的。 根据样本统计量的抽样分布，我们能够对 样本统计量与总体参数的接近程度给出一 个概率度量。
图5.1 区间估计示意图
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f (x )
x 的抽样分布
x−μ z= ~ N (0,1) σ/ n
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总体均值μ所在(1-α)置信水平下的置信区间为：
x ± zα / 2
σ
n
如果总体服从正态分布但σ2未知，或总体并不 服从正态分布，只要是在大样本条件下，公 式中的总体方差σ2可以用样本方差s2代替，这 时总体均值μ在(1-α)置信水平下的置信区间可 以写为： s x ± zα / 2 n
t=
这时则需要采用t分布来建立总体均值μ的置 信区间。
s/ n
~ t (n − 1)
图5.6 不同自由度的t分布与标准 正态分布的比较
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f (x)
标准正态分布 自由度为20的t分布 自由度为10的t分布
o
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x
例5.3
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已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一 批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命 （小时）如下： 1510 1450 1480 1460 1520 1480 1490 1460 1480 1510 1530 1470 1500 1520 1510 1470 试确定该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间。
o μ – 2.58σx μ – 1.96σx μ – 1.65σx μ
μ + 1.65σx μ + 1.96σx μ + 2.58σx
x
90%的样本 95%的样本 99%的样本
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由样本统计量所构造的总体参数的区间估 计，称为置信区间(confidence interval)，其中 区间的最小值称为置信下限，最大值称为置 信上限。 将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间 中包含总体参数真值的次数所占的比率称为 置信水平(confidence level) ，或称为置信系数 (confidence coefficient)。
图5.2 置信区间示意图
置信区间
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置信水平=1–α
置信下限
点估计值
置信上限
表5.3 常用置信水平的zα/2值
置信水平 90% 95% 99%
α
0.10 0.05 0.01
α/2
0.05 0.025 0.005
zα/2 1.645 1.96 2.58
应 用 统 计 第 五 章
112.5 102.6 重量 100.0 116.6 136.8 101.0 107.5 123.5 95.4 102.8 103.0 95.0 102.0 97.8 101.5 102.0 108.8 101.6 108.6 98.4 100.5 115.6 102.2 105.0 93.3
已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为 10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水 平为95%。
5
θˆ =θ caret
用来估计总体参数的统计量的名称，称为估 计量(estimator) 。 样本均值、样本比率、样本方差等都可以 是一个估计量。 用来估计总体参数时计算出来的估计量的具 体数值，称为估计值。
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5.1.2 点估计与区间估计 点估计(point estimation)就是用样本估计量的 值直接作为总体参数的估计值。
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P 0.5 0.4~0.6 0.3~0.7 0.2~0.8 0.1~0.9 近似正态分布要求的样本容量 30 50 80 200 600
Professor W.G. Cochran (1909-1980)
图5.7 自由度为(n-1)的χ
应 用 统 计
o
2
2分布
总体方差在 (1–α )的置信区间
应 用 统 计 第 五 章
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某地区抽查64个18周岁的男青年的高度，平 均身高为168cm，标准差为8cm。求该地区18 周岁青年的平均身高95%的置信区间。 答案 166.04cm~169.96cm
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2. 小样本的估计方法 如果总体服从正态分布，则无论样本容量如 何，样本均值的抽样分布都服从正态分布。 这时，只要总体方差σ2已知，即使在小样本 的情况下，也可以按公式建立总体均值的置 信区间。但是，如果总体方差σ2未知，而且 是在小样本的情况下，则需要用样本方差s2代 替σ2 ，这时样本均值经过标准化后的随机变 量则服从自由度为(n-1)的t分布，即 x-μ
（单位：周岁）
36 31 47 44 48 45 44 33 24 40 50 32
试确立投保人年龄90%的置信区间。
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解：已知，n=36，1-α =90%，zα/2=1.645。由 于总体方差未知，但为大样本，可用样本方 差来求总体方差。 根据样本数据计算的样本均值和标准差如下：
p±z
α /2
p(1 − p) 65% × (1 − 65%) = 65% ± 1.96 × = 65% ± 9.35% n 100
即(55.56%,74.35%)，该城市下岗职工中女性比率 95%的置信区间为(55.56%,74.35%)。
表5.7 比率近似正态分布要求的 样本容量
应 用 统 计 第 五 章
应 用 统 计 第 五 章
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解：根据抽样结果计算得：
x=
∑x
i =1
nຫໍສະໝຸດ Baidu
i
n
23840 = = 1490(小时) s = 16
（ ∑ x - x）
2 i =1 i
n
n -1
=
9200 = 24.77(小时) 16 - 1
根据α=0.05查t分布得tα/2(n-1)=t0.025(15)=2.131， 由公式得平均使用寿命的置信区间为：