第五章整数规划

第五章 整数规划
主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。

重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。

要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。

§1 问题的提出
要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。

如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。

例1 求解下列整数规划问题
211020m ax x x z +=
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≤+≤+为整数2
1212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为：
96m ax ,0,8.421===z x x 。

用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点
方向移动，当第一次遇到“+”号点（1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ，
最优值为z=90。

由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。

下面介绍几种常用解法。

§2 分枝定界法
分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。

基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是
A 的最优值
*
z
的上界，记为
z ；而A 的任意可行解的目标函数值是*
z
的一个下界
z ，采
取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最终求得*z 。

现举例说明： 例2 求解A
219040m ax x x z +=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤+≤+为整数
21212121,0
,7020756
79x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解
=1x 4.81, =2x 1.82,
①
② ③ ④ ⑤
=0z 356（见下图）。

显然，它不符合整数条件⑤。

这时，0z 为问题A 的最优值*z 的上界，记0z z =，而=1x 0, =2x 0显然是问题A 的一个整数可行解，这时z=0，是*z 的一个下界，记0=z ，即2560*≤≤z 。

分枝定界法的解法，首先注意其中一个非整数变量的解，如1x ，在B 中1x =4.81，于是对原问题增
加两个约束条件：5411≥≤x x 、，可将原问题分解为两个子问题21B B 、（即两枝），给每枝增加一
个约束条件，如图。

8不考虑整数条件解问题21B B 、得到最优解：
显然未得到全部变量是整数解，
21z z > ，∴将z
改为349（z =349），
3490*≤≤z 。

继续对问题21B B 、
进行分解，21z z > ，∴先分解1B 为两枝，增加条件22≤x 的问题称为
3B ；增加条件32≥x 的问题称为4B 。

在上图中再去掉22>x 与32<x 之
间的可行域，再求解问题43
B B 、，其结果列在下图中，可见问题3B 的解已都是整数，它的目
标函数值
3403=z ，取z
=340，而它大于327
4
=z ，所以再分解4B 已无必要，而问题2
B 的3412=z ，所以*
z
可能在341340*≤≤
z 之间有整数解，于是再对2B 分解，得问
题
65,B B ，5B 为非整数解，且35308z z <=，问题6B 为无可行解，于是可断定：
340*3===z z z ，2,421==x x 为最优整数解。

356=z
349,0==z z
由以上解题过程可得到分枝定界法的求解步骤：
1. 给定原问题的初始上界z
解与原问题A 相应的线性规划问题B ，可能出现以下情况之一：
①B 没有可行解，这时A 也没有可行解，则停止；
②B 有最优解，并符合A 的整数条件，B 的最优解即为A 的最优解，则停止； ③B 有最优解，但不符合A 的整数条件，记它的目标函数值0z 为z 。

2. 给定原问题的初始下界z
用观察法找出问题A 的一整数可行解，一般取n j x j ,,2,1,0 ==。

求得其目标函数值，记作z 。

这样，就有z z z ≤≤*。

3. 分枝
在B 的最优解中任选一个不符合整数条件的变量j x ，其值为j b ，以[j b ]表示小于j b 的最大整数，构造两个约束条件:
][j j b x ≤和1][+≥j j b x
并将其分别加入问题B ，求两个后继规划问题21B B 、
，不考虑整数条件，解这两个后继问题。

4. 定界（修改上、下界）
以每个后继问题为一分枝标明求解的结果，与其它问题的解的结果中，找出最优目标函数值最大者作为新的上界z ，从已符合整数条件的各分支中，找出目标函数值的最大者作为新的下界z 。

5. 比较与剪枝
各分枝的最优目标函数值中若有小于z 者，则剪掉这枝，以后不再考虑了，若大于z ，且不符
②
③ ④ ⑤
合整数条件，则继续分枝直到得到z z =*为止，求得最优整数解),,2,1(*n j x j =。

§3 割平面法
这个方法的基础仍是用解线性规划的方法去解整数规划问题，首先不考虑变量j x 是整数这个条件，但增加线性约束条件（用几何术语，称为割平面）使得由原可行域中切割掉一部分，这部分只包含非整数解，但没有切割掉任何整数可行解。

这个方法就是指出怎样找到适当的割平面（不见得一次就找到），使切割后最终得到这样的可行域，它的一个有整数坐标的极点恰好是问题的最优解。

例3 求解
21m ax x x z += ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤+≤+-整数
21212
121,0,431
x x x x x x x x 如不考虑条件⑤，求得相应的线性规划的最优解：
就是图中可行域R 的极点A ，不符合整数条件。

432100m ax x x x x z +++=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==≥=++=++-4,,2,14,,2,104
31421
321 j x j x x x x x x x j j
为整数 不考虑整数条件，用单纯形法求解相应线性规划的最优解。

4
10max ,47,4321=
==z x x
2
5max ,47,4321===
∴z x x 由最终表中得到变量间的关系式：
4741434
3
4141432431=
++=+-
x x x x x x
将系数和常数项都分解为整数和非负真分数之和，并移项变为
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=-43243314143431414343x x x x x x x
现考虑整数条件，21,x x 为非负整数，那么43,x x 也是非负整数。

对上式，从等式左边看是整数，等式右边的（）是正数，所以等式右边定一为负数，即041434343≤⎪⎭
⎫
⎝⎛+-x x 。

整理得：3343-≤--x x ------切割方程
将新的约束方程，引入松驰变量，得到33543-=+--x x x ，将其列入最终表
∴最优解T
X )0,0,1,1,1(*=，最优值z=2
一、割平面法的解题步骤：
1. 若i ij b a ,中有分数，先全部整数化，而后引入松驰变量，暂不考虑整数约束条件，用单纯形法求出相应线性规划的最优解。

2. 求切割方程
①令i x 是相应线性规划最优解中为分数值的一个基变量，由最终单纯形表得到
i k
k ik i b x a x =+∑ （1）
其中：Q i ∈（Q 指构成基变量下标的集合）
K k ∈（K 指构成非基变量下标的集合）
②将i b 和ik a 都分解成整数部分N 与真分数f 之和，即
i i i f N b +=，其中10<<i f （2） ik ik ik f N a +=，其中10<≤ik f
而N 表示不超过b 的最大整数，如：
若 b=2.35，则N=2 f=0.35
b=–0.45,则N=–1 f=0.55
将（2）代入（1）得
∑∑-=-+k
k ik i i k
k ik i x f f N x N x
③现在提出变量为整数的条件，上式由左边看必是整数，由右边看，因为10<<i f 所以不能为正，即
0≤-∑k
k ik i x f f -------- 割线方程
3. 把切割方程作为新的约束条件，并入单纯形最优表。

继续换算，取得最优解。

二．割平面法的性质
1. 割平面法割去了整数规划原问题相应的线性规划问题的最优解。

2. 割平面未割去整数规划原问题的任一可行解，即未割去其相应的线性规划问题的任一整数可行解。

§4 0–1规划
一、0-1变量及其应用
0-1型整数规划是整数规划的特殊情形，它的变量i x 仅取值0或1，这时i x 称为0-1变量，或称二进制变量。

0-1变量作为逻辑变量（logical variable ）,常用来表示系统是否处于某个特定状态，或者决策时是否取某个特定方案。

例如
⎩⎨
⎧=时）
时（即取当决策不取方案时
当决策取方案P P P x 0
1
当问题含有多项要素，而每项要素皆有两种选择时，可用一组0-1变量来描述。

一般地，设
问题有有限项要素n E E E ,,,21 ，每项i E 有两种选择i A 和),,2,1(n i A i =，则可令
),,2,1(0
1n i A E A E x i
i i i i =⎪⎩⎪⎨
⎧=选择若选择若
那么，向量T n x x x ),,,(21 就描述了问题的特定状态或方案，即
⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧=----T n n T T n n T T n n T T
n n T T n A A A A A A A A A A A A A A A A x x x ),,,,(,)0,0,,0,0(),,,,(,)0,0,,0,1(),,,,(,)0,1,,1,1(),,,,(,)1,1,,1,1(),,,(12112112112121 若选择若选择若选择若选择
1、选址问题----相互排斥的计划
例4 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，拟议中有7个位置A i )7,,2,1( =i 可供选择，规定
在东区，由321,,A A A 三个点中至多选两个； 在西区，由54,A A 两个点中至少选一个； 在西区，由76,A A 二个点中至少选一个。

如选用i A 点，设备投资估计为i b 元，每年可获利润估计为i C 元，但投资总额不能超过B 元，问应选择哪几个点可使利润为最大？ 解：先引入0–1变量i x )7,,2,1( =i
令 ⎩⎨⎧=点未被选用当点被选用
当i i i A A x ,0,1 )7,,2,1( =i
于是问题可列成： ∑==7
1max i i i x c z
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧=≥+≥+≤++≤∑=101
1
27
6
543217
1
或i i i i x x x x x x x x B x b 2、相互排斥的约束条件
例5. 某厂决定生产两种产品，有两种加工方法可供选用，已知设备供应情况：
问选用哪种加工方法收益最大。

解：设A 产品的日产量为1x ，B 产品的日产量为2x 若采用I ，其约束条件：124521≤+x x 若采用II ，其约束条件：
8
212232121≤+≤+x x x x
由于最终只能选用一种方法，我们引入0–1变量和一个任意大的正数M 。

令 ⎩⎨⎧=时选用，时
选用II I y 0,1
于是，上述约束条件可变为：
yM
x x yM x x M y x x +≤++≤+-+≤+821223)1(1245212121
若选用第一种方法生产，则y=1，约束条件就变成124521≤+x x ，其余的约束条件就失去了作用；若选用第二种方法生产，则y=0，第一个约束条件由于右侧多了一个M 成了多余的限制。

注意：引入的变量y 不必出现在目标函数内，即认为在目标函数中y 的系数为0。

3、关于固定费用问题(Fixed cost Problem)
例 6 某厂生产某种产品，有几种生产方式可供选择，如选定的生产方式投资高（自动化程度高的设备），由于产量大，因而分配到每件产品的变动成本就降低，反之，分配到每件产品的变动成本就可能增加，所以应全面考虑。

设有三种方式可供选择，令
j x 表示采用第j 种方式时的产量
j c 表示采用第j 种方式时每件产品的变动成本 j k 表示采用第j 种方式时的固定成本
则采用各种方式的总成本分别为
3,2,100
,=⎪⎩⎪⎨
⎧=>+=j x x x c k P j j j j j j
引入0–1变量和任意大的正数M ，令
⎪⎩⎪⎨⎧=>=0
,00
,1j j i x j x j y 种生产方式，即不采用第种生产方式，即采用第
于是目标函数 )()()(m in 333322221111x c y k x c y k x c y k z +++++=
约束条件 3,2,1,=≤j M y x i j
当0>j x 时，1=i y ；当0=j x 时，0=i y ，才有意义。

二、0–1规划的解法
解0-1规划最容易想到的方法，就是穷举法，即检查变量取值为0或1的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就需要检查变量取值的2n 个组合。

对于变量个数n 较大（如n>10）时，是不可能的。

因此，人们设计一种方法，只检查变量取值的组合的一部分，就能求到问题的最优解，这种方法称为隐举法（Implicit Enumeration ），下面举例说明这种方法。

例7 321523m ax x x x z +-=
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎨⎧=≤+≤+≤++≤-+)
5(1
0,,)4(6
4)3(3)2(44)1(2232131
2131321或x x x x x x x x x x x x x
解题时，先通过试探的方法找一个可行解，容易看出)0,0,1(),,(321=x x x 就适合（1）--（5）条
件，计算出相应的目标函数值z=3。

我们求最优解，对于极大化问题，当然希望3≥z ，于是增加一个约束条件：
3523321≥+-x x x （0）
后加的条件称为过滤条件(Filtering Constraint)，这样，原问题的线性约束条件就变成5个，若用全部枚举的方法，3个变量8个解，原来4个约束条件，共需32次运算；现增加了过滤条件，如按隐枚举法，就可减少运算次数。

将5个约束条件按（0）–（4）顺序排好，对每个解，依次代入约束条件左侧，求出数值，看是否适用不等式条件，如某一条件不适合，同行以下各条件就不必再检查，因而就减少了运算次数。

最优解)1,0,1(),,(321=x x x ，最优值 8max =z
注意：在计算过程中，若遇到Z 值已超过条件（0）右边的值，应改变条件（0），使右边为当前为止最大者，如当检查点(0,0,1)时，因z=5(>3)，所以将条件（0）换成
5523321≥+-x x x (0)’
这样对过滤条件的改进，更可以减少计算量。

§5 指派问题
在实际工作中经常遇到这样的问题：某单位需完成n 项任务，恰好有n 个人可承担这些任务。

由于每人的专长不同，各人完成任务不同（或所费时间），效率也不同。

于是产生应指派哪个人去完成哪项任务，使完成n 项任务的总效率最高（或所需时间最少）的问题，这类问题称为指派问题或分派问题。

一、指派问题的数学模型
例8 有一份说明书，需译成英、日、德、俄四种文字。

现有甲、乙、丙、丁四人，他们将说明书翻译成不同文字所需时间（单位：小时）如下表，问应指派何人去完成何工作，使所需总时间最少？
类似有：有n 项加工任务，怎样指派到n 台机床上分别完成的问题；有n 条航线，怎样指定n 艘船去航行问题等等。

对应每个指派问题，需有类似上表的数表，称之为效率矩阵或系数矩阵，其元素
),,2,1,(0n j i c ij =>表示指派第i 个人去完成第j 项工作时的效率（或时间、成本）。

我们引入0–1变量，令
⎩⎨
⎧=项任务
人去完成第不指派第项任务
人去完成第指派第j i j i x ij ,0,1 数学模型（当问题要求极小化时）：
∑∑=i
j
ij ij x c z min
()
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=====∑∑30
1)2(,,2,1,1)1(,,2,1,1或ij j ij i ij x n i x n
j x
约束条件（1）说明第j 种任务只能由1人去完成；约束条件（2）说明第i 个人只能完成1项任务。

二、指派问题的解法 1. 指派问题最优解的性质：
若从系数矩阵)(ij c 的一行（列）各元素中分别减去该行（列）的最小元素，得到新矩阵)(ij b ,那么以)(ij b 为系数矩阵求得的最优解和用原系数矩阵求得的最优解相同。

根据这个性质，可使原系数矩阵变换为每行每列中均有0元素的新系数矩阵，并使这几个0元素位于不同行或不同列，则令相应的1=ij x ,其余的ij x 全为0，这样就得到了最优解，这种解法称为匈牙利法。

2. 解指派问题的步骤：
（1）使系数矩阵经变换各行各列中都出现0元素。

①每行各元素减去该行最小元素；
②每列各元素减去该列最小元素。

若某行（列）已有0元素，就不必再减了。

min
24241047501110062111307942911
8713161491514
4101413152min )(⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢
⎣⎡=ij c )()(00102350960607130II b ij =⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡→
（2）用最少的直线划去所有0元素，当所划直线数l=n （矩阵阶数）时，就可得到最优方案。

①初始指派。

用最少的直线画去II 中的所有0元素。

⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡00102350960607130 (III) l =n=4，已得到最优方案。

②若得不到最优方案，需进行改进。

A 、未被划去的所有元素减去其中最小元素，以便得到新的0元素。

B 、横、竖直线交叉处的所有元素增加A 中所减的最小元素（以避免重复指派和消除等不正当指派），得到新矩阵，并以最少直线划去所有0元素。

如：
⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0408241000230400 ⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡0408241000230400
（3）最优方案的确定
① 0元素最少的行（列）先指派（使0元素所在格的1=ij x ） ② 所有行、列只有一个1=ij x ，其余0=ij x 。

对例8，由矩阵III 先指派1,13122==x x ，然后指派1,14314==x x 。

即派甲译俄文、乙译日文、丙译英文、丁译德文，所需总时间最少，
28min 14432231=+++==∑∑c c c c x c z i
j
ij ij （小时）
三、特殊的指派问题 １、极大化的指派问题
∑∑=i
j
ij ij x c z max
令ij ij c M b -=，M 等于ij c 中最大元素，则系数矩阵可变换为)(ij b B =
0≥ij b 符合匈牙利法的条件
∑∑∑∑-==∴i
j
ij ij i
j
ij ij x c nM x b z 'min
这样就将极大化问题化为极小化问题了。

例9 有四台机器分别完成四项任务，完成不同任务的效率见下表，问如何分派任务才能使效率最高？
解：min 372603036
3201
50461128371
41475423
5046min
)()(⎥
⎥
⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎣⎡=-=ij ij c M b ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→4260
003602012046 4==n l
∴先指派113=x ，141=x ，然后指派1,13422==x x ，即最优指派为31B A →，
22B A →，43B A →，14B A →。

最大效率298579m ax 41342213=+++=+++=c c c c z
2、人数和事数不等的指派问题
若人少事多，则添上一些虚拟的“人”。

这些虚拟的“人”做各事的费用系数可取0，理解为这些费用实际上不会发生。

若人多事少，则添上一些虚拟的“事”。

这些虚拟的“事”被各人做的费用系数同样也取0 。

3、一个人可做几件事的指派问题
若某人可做几件事，则可将该人化作相同的几个“人”来接受指派。

这几个“人”做同的一件事的费用系数当然都一样。

4、某事不能由某人做的指派问题
若某事一定不能由某个人做，则可将相应的费用系数取作足够大的数M。