第五章整数规划

第五章 整数规划

主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。

重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。

要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。

§1 问题的提出

要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。

例1 求解下列整数规划问题

211020m ax x x z +=

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨

⎧≥≤+≤+为整数2

1212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为：

96m ax ,0,8.421===z x x 。

用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点

方向移动，当第一次遇到“+”号点（1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ，

最优值为z=90。

由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。下面介绍几种常用解法。

§2 分枝定界法

分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是

A 的最优值

*

z

的上界，记为

z ；而A 的任意可行解的目标函数值是*

z

的一个下界

z ，采

取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最终求得*z 。现举例说明： 例2 求解A

219040m ax x x z +=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤+≤+为整数

21212121,0

,7020756

79x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解

=1x 4.81, =2x 1.82,

①

② ③ ④ ⑤

=0z 356（见下图）。

显然，它不符合整数条件⑤。

这时，0z 为问题A 的最优值*z 的上界，记0z z =，而=1x 0, =2x 0显然是问题A 的一个整数可行解，这时z=0，是*z 的一个下界，记0=z ，即2560*≤≤z 。

分枝定界法的解法，首先注意其中一个非整数变量的解，如1x ，在B 中1x =4.81，于是对原问题增

加两个约束条件：5411≥≤x x 、，可将原问题分解为两个子问题21B B 、（即两枝），给每枝增加一

个约束条件，如图。

8不考虑整数条件解问题21B B 、得到最优解：

显然未得到全部变量是整数解，

21z z > ，∴将z

改为349（z =349），

3490*≤≤z 。

继续对问题21B B 、

进行分解，21z z > ，∴先分解1B 为两枝，增加条件22≤x 的问题称为

3B ；增加条件32≥x 的问题称为4B 。在上图中再去掉22>x 与32

间的可行域，再求解问题43

B B 、，其结果列在下图中，可见问题3B 的解已都是整数，它的目

标函数值

3403=z ，取z

=340，而它大于327

4

=z ，所以再分解4B 已无必要，而问题2

B 的3412=z ，所以*

z

可能在341340*≤≤

z 之间有整数解，于是再对2B 分解，得问

题

65,B B ，5B 为非整数解，且35308z z <=，问题6B 为无可行解，于是可断定：

340*3===z z z ，2,421==x x 为最优整数解。

356=z

349,0==z z

由以上解题过程可得到分枝定界法的求解步骤：

1. 给定原问题的初始上界z

解与原问题A 相应的线性规划问题B ，可能出现以下情况之一：

①B 没有可行解，这时A 也没有可行解，则停止；

②B 有最优解，并符合A 的整数条件，B 的最优解即为A 的最优解，则停止； ③B 有最优解，但不符合A 的整数条件，记它的目标函数值0z 为z 。 2. 给定原问题的初始下界z

用观察法找出问题A 的一整数可行解，一般取n j x j ,,2,1,0 ==。求得其目标函数值，记作z 。这样，就有z z z ≤≤*。

3. 分枝

在B 的最优解中任选一个不符合整数条件的变量j x ，其值为j b ，以[j b ]表示小于j b 的最大整数，构造两个约束条件:

][j j b x ≤和1][+≥j j b x

并将其分别加入问题B ，求两个后继规划问题21B B 、

，不考虑整数条件，解这两个后继问题。 4. 定界（修改上、下界）

以每个后继问题为一分枝标明求解的结果，与其它问题的解的结果中，找出最优目标函数值最大者作为新的上界z ，从已符合整数条件的各分支中，找出目标函数值的最大者作为新的下界z 。

5. 比较与剪枝

各分枝的最优目标函数值中若有小于z 者，则剪掉这枝，以后不再考虑了，若大于z ，且不符