六西格马——过程能力分析

（2）给出了规格限和目标值，但规 格限相对目标值不对称。
Cpm =
USL - LSL
∑∑(xij - T)2
( ) ∑ Toler * i j ni - 1
min(USL - T,T - LSL)
Cpm =
∑∑(xij - T)2
( ) ∑ Toler * i j ni - 1
（3）仅给出了规格上限和目标值， 望小特性值。
规格中心与过程 LSL
USL
中心重合
规格中心与过程 LSL 中心发生偏移
发生偏移 USL
出现很多不良！
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实际过程能力指数
当过程中心与规格中心发生偏移时，我们可以把规格限[USL，LSL]分为两 个区间，分别为[USL，μ]和[μ，LSL]，它们与3σ的比值能反映过程在左端和 右端满足顾客要求的程度，今后我们称：
d2
3.407 3.472 3.532 3.588 3.640 3.689 3.735 3.778 3.819 3.858 3.895 3.931
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Cpk的估计
例1 某清洁剂的清洁度是愈小愈好的特性。顾客对此向生产厂提出规范上限的 要求：清洁度不能超过96mg，在生产线上抽样测得均值和标准差估计分别为48 mg和12mg，请计算此种部件在清洁度方面的过程能力指数为多少？（假设过程 稳定且服从正态分布）
=
1 N
k i =1
ni j=1
xij
=
1 N
k i =1
xi
为总平均值
∑∑( ) k ni
2
Q=
xij - x
为总平方和
i=1 j=1
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总平方和分解
对上面的总平方和Q进行分解，可以得出著名的总平方和分解式。
∑∑( ) k ni
2
Q=
xij - x
i=1 j=1
∑∑ ( ) ( ) k
时间推移
组内波动 6σ’
总波动：6σ 东菱六西格玛推行委员会
过程性能指数标准差的估计
样本
样本均值
x11 , x12 ...x1n1
x1
x21 , x22 ...x2n1
x2
.......
xk1 , xk2 ...xknk
xk
批内平方和
∑( ) n1
2
Q1 = x1j - x1
j=1
∑( ) n2
2
d2
1.128 1.693 2.059 2.326 2.534 2.704 2.847 2.970 3.078 3.173 3.258 3.336
n
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
C4
0.9810 0.9823 0.9835 0.9845 0.9854 0.9862 0.9869 0.9876 0.9882 0.9887 0.9892 0.9896
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过程性能指数的计算
过程性能指数的计算基本与过程能力指数计算相似，只是反映的是总的波动。
潜在过程性能指数Pp 单侧过程性能指数
USL - LSL Pp = 6σowerall
PPL
=
μ - LSL 3σoverrall
为单侧下限过程性能指数
PPU
=
USL - μ 3σoverall
∑∑( ) ∑ ∑ k
Qwithin =
ni
xij - xi
2
=
k
Qi =
k
(ni - 1)si2
i=1 j=1
i=1
i =1
∑∑ ∑ ( ) ( ) k
Qbetween =
ni
k
xi - x 2 = ni xi - x 2
i=1 j=1
i =1
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总平方和分解
著名的总平方和分解式
起，这时的过程特性服从某个正态分布N（μ，σ2）。
稳定的过程
异常的过程
• 规格限LSL和USL能准确的表达顾客的需求或者行业标准要求等，使计算的 结果具有意义和说服力。
顾客的要求 LSL
USL
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过程能力
过程能力（process cabability PC）是指过程加工质量方面（注意：不是数量 方面）的能力。此种能力表现在过程的稳定的程度上。在过程稳定时，质量特 性X服从正态分布N（μ，σ2），其中标准差σ表示过程稳定的程度，σ愈小过 程就越稳定。
USL - X 96 - 48
CPU =
3σˆ
=
= 1.33
3 × 12
例2 某种金属材料的抗拉强度是愈大愈好的特性。顾客对此提出的规范下限要 求：抗拉强度不得低于32kg/cm2，在生产线上测得均值和标准差估计分别为38 kg/cm2和1.8kg/cm2，请计算此种部件在清洁度方面的过程能力指数为多少？ （假设过程稳定且服从正态分布）
X - LSL 38 - 32
CPL =
3σˆ
=
= 1.11
3 × 1.8
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过程性能指数
过程性能指数是针对过程总的波动来考虑的，在过程输出的总波动中，既 包含了过程固有的波动，也包含了过程受到其它异常因素影响而产生的波动。
过程性能指数的计算与过程能力指数的方法类似，所不同的是规范限与总 的波动的比较，也就是说关键为总的波动或标准差的计算。
过程能力指数
过程能力指数（process cabability index PCI）是用来度量一个过程满足顾客
要求的程度。
顾客要求体现在规格限（LSL，USL）上，其中点M=（LSL+USL）/2成为
规格中心。规格限的宽度T=LSL-USL称为公差或容差。在规范中心M与过程中
心μ重合时，过程能力指数的定义为公差与过程能力的比值：
②
T M-μ Cpk = 6σ - 3σ
若对上式得第二项的分子分母分别乘以T/2，可得Cpk的第三种形式：
③ CPK
= (1 - k )Cp ,k =
M-μ T/2
=
2 M-μ T
其中，k＞0称为偏离度。
由上面的三种形式可看出：提高Cpk的三个途径为
1. 较少偏离度k，即减少|M-μ|，
2. 减少标准偏差σ，
总平方和=批内平方和+批间平方和
∑∑( ) ∑ ∑ ( ) k
Q=
ni
2
xij - x =
k
(ni - 1)si2 +
k
ni
xi - x 2
i=1 j=1
i =1
i =1
其中批内平方和表示批内产品品质量的波动或者说组内波动，而批间平方 和表示批与批之间质量波动的大小或者说组间波动。
在minitab的过程能力分析计算中，过程性能指数Ppk反映的就是过程总的 波动（记为σoverall），而过程能力指数Cpk反映的就是组内的波动，通过比较， 可以发现是否有特殊原因的存在。
=
ni
⎡⎣ xij - xi
+
xi - x ⎤⎦2
i=1 j=1
∑∑ ( ) ( ) =
k
ni
⎡ ⎢⎣
xij - xi
2 + ( xi - x)2 + 2
xij - xi
( xi - x)⎤⎥⎦
i=1 j=1
其中乘积项之和为0，另两项分别记为批内平方和（within lot）和批间平 方和（between lot）。
特别指出的是，稳定过程的99.73%的产品质量特性值散布在区间[μ-3σ， μ+3σ]内，此区间的宽度6σ越小，过程就越稳定，过程能力就越大。如把过 程能力记为PC，则过程能力的定义为：
PC=6σ
99.73% 95.46% 68.26%
μ-3σ μ-2σ μ-σ
Μ+σ Μ+2σ Μ+3σ
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由Cpk的定义立即可以看出其第一种形式： ①
min{USL - μ,μ - LSL}
Cpk =
3σ
若利用一下恒等式：min(a,b) = 1 ( a + b - a - b )
2
( ) 可把Cpk的分子改写为： 1 USL - LSL - USL + LSL - 2μ
2
利用前面的符号，T=USL-LSL，M=（USL+LSL）/2，可得Cpk的第二种形式：
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Cpm能力指数
质量特性y偏离目标值m导致的损失，通常被认为近似于对称的平方误差损 失函数，即质量损失函数。Cpm就是针对这一特点来设计的一个能力指数，有时 也称为第二代能力指数。它反映了过程输出均值μ与目标值m之间的偏差。其计 算公式为：
（1）给出了规格限和目标值，且规 格限相对目标值对称。
LSL
6σ
6σ
USL
12σ 东菱六西格玛推行委员会
Cp的缺陷
需要注意的是，Cp的计算没有考虑过程的均值μ，它假定了顾客需求的规 格中心M与过程中心μ是重合的。因此Cp只是潜在的过程能力，当我们设法将过 程中心μ向规格中心M靠拢时，这种潜力就会得到充分体现。所以一般场合下， 我们称Cp为潜在过程能力指数。这就造成了虽然Cp值很大，但仍有很高不良率 的结果，因此需要引入一个新的实际过程能力指数。
过程能力分析
Process Capability Analysis
东菱六西格玛推委会 主讲：肖晨
六西格玛的六大主题
真正的关注顾客 以数据和事实驱动程序 以流程为基础采取行动 预防为主的管理模式 组织内部的无边界合作 追求完美，容忍失败 东菱六西格玛推行委员会
过程能力分析 “过程”就是将各项输入资源按一定需求组合起来并转化为产品或质量特性的 活动。任意个产品的制造都可分解为若干个过程通过并联或串联组成。
μ - LSL CPL = 3σ
为单侧下限过程能力
USL - μ CPU = 3σ
为单侧上限过程能力
LSL
M
μ-LSL
USL
USL-μ
3σ
3σ
μ-3σ
μ
μ+3σ
从质量改进的角度我们应关注CPL和CPU中较小的一个，所以： Cpk=min{CPL，CPU}为实际过程能力指数
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Cpk的三种形式
（4）仅给出了规格下限和目标值， 望大特性值。
Cpm =
USL - T
∑∑(xij - T)2
( ) ∑ Toler * i j ni - 1
Cpm =
T - LSL
∑∑(xij - T)2
( ) ∑ Toler * i j ni - 1
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长期能力和短期能力
所谓过程的短期能力是指过程仅受随机因素的影响时其输出特性波动的大 小，是过程的固有能力。而长期能力是指在较长的时间里表现出的过程输出波 动的大小，此时过程不仅受到随机因素的影响，而且受到其它特殊因素的影响。
σR = R/d2 , R = xmax - xmin
∑ σs = S/C4 ,S =
1 n-1
n i=1
(Xi
-
X)2
用极差估计的方法一般适用于样本量n≤10，标准差的方法则无此限制。
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Biblioteka Baidu
13
C4
0.7979 0.8862 0.9213 0.9400 0.9515 0.9594 0.9650 0.9693 0.9727 0.9754 0.9776 0.9794
3. 与顾客协议，能否扩大规格限。
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Cpk的图解 东菱六西格玛推行委员会
Cpk的估计
在Cpk的定义中含有正态均值μ和正态标准差σ，在实际的计算中，将通过 计算来对它们作出估计，并适当做修偏，也就是无偏估计。
n
∑ μ的无偏估计为 μ = X = Xi
i =1
σ的无偏估计有两种方法，其中的d2和C4为修偏系数，取值由样本量n决定。
Thursday Wednesday
Tuesday Monday
过程能力分析是评价过程满足预期要求的能力及其表现的方法。过程能力分 析在DMAIC项目中很重要，它是评价过程基线及改进方向和目标的重要工具。因此 过程能力分析是测量阶段的一项重要工作。
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基本假设
• 过程稳定（或过程受控），即过程的质量特性X的波动仅由正常波动源引
为单侧上限过程性能指数
过程性能指数
min{USL - μ,μ - LSL}
Ppk =
3σoverall
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Cpm能力指数
为了强调质量特性偏离目标值所带来的质量损失，当把目标值m引入过程能 力指数中时，就得到另一个能力指数Cpm。
LSL
M
USL
B A
对于A性质的特性分布，虽然其均值在目标值附近，但离散较大，不合格较 多，Cpk等值将会很低；对于B性质的分布，虽然不合格的情况较少，但均值偏 离目标值较大，质量损失严重，这时Cmk值将会很低。
USL - LSL Cp =
6σ
下规格限 LSL
规格中心M
上规格线 USL
M=μ 6σ
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Cp的意义
Cp是我们描述过程能力的重要指标。
过去我们常称Cp≤1时，过程能力不足， 1＜Cp≤1.33时，过程能力尚可， 1.33＜Cp≤1.67时，过程能力充足。但在经济繁荣、产品规模急剧增大、高科 技蓬勃发展的今天，原来的质量标准已经不适应当前的需求。我们之所以称新 管理方法为6σ，其标志性的要求就是要求Cp≥2，即要求USL-LSL≥12σ。
Q2 = x2j - x2
j=1
∑( ) nk
2
Qk = xkj - xk
j=1
样本标准差
s1 = Q1/ (n1 - 1) s2 = Q2/ (n2 - 1)
sk = Qk/ (nk - 1)
∑∑( ) σˆ =
Q =
N-1
1 k ni
2
N - 1 i=1 j=1 xij - x
∑∑ ∑ 其中： x