高斯光束
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高斯光束 通俗
高斯光束通俗
（最新版）
目录
1.高斯光束的定义和特点
2.高斯光束的生成原理
3.高斯光束的应用领域
正文
一、高斯光束的定义和特点
高斯光束，又称高斯光束束腰，是指在传播过程中，光束的横截面上光强分布呈现高斯分布的光束。
高斯光束具有很多特点，例如，光束的束腰位置光强分布最为集中，呈高斯分布，离束腰越远，光强分布逐渐减弱。
此外，高斯光束的光学传输特性较好，光束的指向性和稳定性都相对较高。
二、高斯光束的生成原理
高斯光束的生成原理主要基于光的传播规律和高斯光束的聚焦特性。
一般来说，高斯光束可以通过两种方法生成：一种是通过透镜或反射镜等光学元件对光束进行调制，使得光束在传播过程中满足高斯分布；另一种是通过激光器等光源产生的光束，在传播过程中自然形成高斯分布。
三、高斯光束的应用领域
高斯光束在许多领域都有广泛的应用，例如在光通信、光学测量、激光加工、光学成像等方面。
高斯光束的光强分布特点使其在光通信领域具有很高的信噪比和传输速率；在光学测量领域，高斯光束的聚焦性能和指向稳定性使其成为理想的测量工具；在激光加工领域，高斯光束的优异光学性能使其在激光切割、打标等方面具有很高的加工精度和效率；在光学成像领域，高斯光束的成像质量高，可以提高成像系统的分辨率和成像质量。
综上所述，高斯光束以其独特的光学性能和广泛的应用领域，在光学领域具有重要的研究价值和实用意义。
第8章高斯光束
l2 f 2
f
2
1
l f
(3) F 1 R(l) 1 (l f 2 )时,
2
2l
(4)F
时，
w0 w0
1
lim w0 lim
F
w F 0
F (l F )2 f 2
lim F
1
1
(l
- F)2 F
f F
2 2
w0 1 w0
w0 w0
1
l f
2
1
RR
2
F
25
结论
只有 F 1 R(l) ,才有聚焦作用
F15 q
五、透镜对高斯光束的变换规律
q=l+if q=-l+if
q Fq Fq
q、q:透镜处物、像高斯光束q参数
l、l :物、像高斯光束腰到透镜距离
f、f :物像高斯光束焦参数
q q
f(w0)
O
f(w0) Z
O
l F l
16
例1 某高斯光束焦参数为f=1m,将焦距F=1m 的凸透镜置於其腰右方l=2m处,求经透镜变换 后的像光束的焦参数f及其腰距透镜的距离l
解 (1)
0
f
f
02
3.14 106 3.14 106
1m
z=0.5m
q(z) பைடு நூலகம் if 0.5 i(m)
(2)
w(z) w0
1
z2 f2
w0
1
0.52 12
1.12mm
f2
12
R(z) z 0.5 2.5m
z
0.5
8
例8-2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相
第三章--高斯光束及其特性
qM
AqM B 1 CqM D qM
D Ai 2B
1 (D A)2 4 B
§3.2 高斯光束与球面谐振腔的自再现模式
1 D A 1 (D A)2 4
i
qM 2B
B
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
R(z) 2B (D A)
(z) (
)1 2
B12
1
D
2
A
2
2
0 (z)
z
R(z
)
1
1
2(z) R(z)
R(z) 2
2
(
z
)
§3.1 基模高斯光束
3）基模高斯光束的特征参数：
➢ 用q参数表征高斯光束
u00
(
x
,
y
,
z
)
c00
0 (z
)
exp[
x2
2(
y2 z)
]exp{
i[k
(
z
x2 y2 ) arctg 2R(z)
1 11
q2 q1 F
q2
Aq1 Cq1
B D
复曲率半径q
§3.1 基模高斯光束
出射光束的束腰位置和尺寸： 入射高斯光束的光腰在l处， 出射高斯光束的光腰在l ’处
q q0
if
02
q
q0
if
02
等和式实两部端对的应虚相部等
f l
(l
F2 f F )2
l(l F ) f (l F )2 f
z f
]}
u00 ( x,
y, z) c00
0 exp{ik (z)
x2
高斯光束
为光波波前的曲率半径 ；
束宽： 对于在自由空间传播的高斯光束，其腰斑位置的半径在光轴方向总大于一个 最小值 ，这个最小值被称为束腰。波长为 的光波的腰斑位置在轴上的分 布为 这里将 定为束腰位置。 被称为瑞利长度。
瑞利距离和共Байду номын сангаас参数：与束腰轴向距离等于瑞利距离 处的束宽为 这两点之间的距离称作是共焦参数或光束的焦深
高斯光束
钱朝阳
在光学中，高斯光束（Gaussian beam）是 横向电场以及辐照度分布近似满足高斯函数 的电磁波光束，所以称为高斯光束。是激光 在光学谐振腔里基模条件下发出的光，许多 激光都近似满足高斯光束的条件。
麦克斯韦方程组 （1）
物质方程 （5）
（2）
（3） （4）
（6）
（7）
对光频电磁场, 主要关心电场E,我们所讲的光场均指电 磁场的电场分量。
谢谢观赏
曲率半径： 光束偏移：当
是光束波前的曲率半径，它是轴向距离的函数 ，参数 趋于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为 光束的偏移，即远场发散角。
综上所述，可知高斯光束在其轴线附近可以看做是一种非均匀高 斯球面波，周期传输过程中曲率中心不断改变，其振幅在横截面 内为一高斯函数，强度集中在轴线及其附近，且等相面为球面 （特殊范围内为平面）。
（13）
式（13）为在近轴近似下的波动方程，高斯光束就是缓变振幅 近似下的一个特解。
高斯光束作为电磁波，其电场的振幅为：
r为场点距离光轴中的径向距离；z为光轴上光波最狭窄位置束腰的位置坐标 为激光的束腰宽度 为波数 ； 为电磁场振幅降到轴向的1/e、强度降到轴向的1/e2的点的半径 为轴对称光波的Gouy相位，对高斯光束的相位 也有影响，在近轴条件下可以忽略。
光学谐振腔理论-第8节-高斯光束的传输
05 高斯光束的未来发展与应 用
高斯光束在光学通信中的应用
高速光通信
高斯光束在光学通信中具有较高的传输速度和较低的信号衰减，有助于实现高 速、大容量的光通信系统。
远程通信
高斯光束具有较好的光束质量和传输稳定性，适用于长距离的光纤通信，有助 于实现远程、稳定的通信连接。
高斯光束在光学传感中的应用
03 高斯光束的调制与控制
高斯光束的相位调制
01
相位调制是指通过改变高斯光束的相位分布来改变其波前的状 态。
02
常见的相位调制方法包括利用液晶空间光调制器、光栅或其他
光学元件对高斯光束进行相位调制。
相位调制在光学通信、光学传感和光学计算等领域有广泛应用，
03
可以实现光束的聚焦、散焦、波形转换等功能。
高斯光束的波前测量
波前测量概述
波前是描述光束相位变化的物理量，高斯光束的波前测量有助于 了解光束的传播特性和干涉、衍射等光学现象。
波前测量方法
常用的波前测量方法有干涉法、散斑法、剪切干涉法等，可以根据 高斯光束的特点和测量精度要求选择合适的方法。
测量误差来源
波前测量误差主要来源于光束的聚焦、光束截面分布、光学元件的 误差等因素。
高斯光束的聚焦特性
聚焦原理
高斯光束经过透镜聚焦后，其横截面 上的强度分布会发生变化，形成明暗 相间的干涉条纹。
干涉条纹
干涉条纹的形状取决于透镜的焦距和 光束的束腰半径。当透镜焦距一定时 ，束腰半径越小，干涉条纹越密集； 反之，则越稀疏。
02 高斯光束在光学谐振腔中 的应用
光学谐振腔对高斯光束的影响
偏振态调制是指通过改变高斯光 束的偏振状态来改变其电磁场分
布。
常见的偏振态调制方法包括利用 偏振片、电光晶体或液晶等对高
激光原理-(9)-高斯光束
−
1 F
0
1
R2
=
AR1 CR1
+ +
B D
（遵循ABCD变换法则） NJUPT
高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式
在自由空间的传播
束腰处：
=z 0，q(0=) if=
1 Z
自由空间变换矩阵： TL = 0
1
i πω02 λ
由ABCD法则： q(z=) if + z
11
iλ
z − if
高斯光束的聚焦
F 一定时，ω0′与 l′ 随 l 的变化情况
l
′
F 2(l − F ) = F + (F − l )2 + f 2 ,
ω ′2 0
F 2ω 2
= (F − l )2 0+ f 2
（1） l < F
ω0′随 l 的减小而减小
当 l = 0 时：ω0′(min) =
ω0 =l′
1 + ( f )2 F
i
πω
2 2
=( 1 R1
λ − i πω12 ) −
1 F
=
1 q1
−
1 F
结论：高斯光束q参数经薄透镜的变换规律满足ABCD法则
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
ω0
ω0′ ωc
A B l′
C
l
lC
q0
qA qB
qC
求：ωC、RC
方法一： z=0 处：q0 = i πω02 λ
A处： q=A q0 + l
ω ( z )
ω0，z
⇒
R(
z)
θ0
2. 任一 坐标 z处的光斑半径 ω (z)及等相面曲率半径 R(z)
2.6 高斯光束基本性质及特征参数详解
a、光腰半径
x方向：m2 2m 102 02 y方向：n2 2n 102 02
b、z处光斑半径
x方向： m2z 2m 1z2 z2 y方向： n2z 2n 1z2 z2
(5) 远场发散角
x方向： m
lim
z
2m z
z
y方向：
n
lim
z
2n z
z
2m 1 2 0
2n 1 2 0
1
2
z
R
z 1
R z w2 z
2
1
00 x,
y, z
c
wz
exp
ik
r2 2
1
Rz
i w2 z
e
i
kztg
1
z f
1
qz
1
Rz
i
2 z
1/q(z) —高斯光束的复曲率半径
知道q(z)可以求R (z)和 z
1
Rz
Re q1z
1
2 z
Im
q
1
z
特例：
自由空间为例
r2 Ar1 B1 近轴光 ,
2 Cr1 D1 r2 R22 r1 R11
R2
r2
2
AR1 B CR1 D
—ABCD公式
二、高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式 1、高斯光束与普通球面波参数与传输规律的对应
描述 传播
普通球面波 曲率半径
R2
AR 1 CR 1
B D
高斯光束
2.9 高斯光束基本性质和特征参数
在高斯近似下，稳定腔和共焦腔都输出高斯光束，对方形镜和 圆形镜腔，分别是厄米—高斯(高阶或基模)和拉盖尔—高斯(高 阶或基模)光束。
高斯光束的聚焦和准直课件
高斯光束的参数如束腰半径、波长等 也会影响准直效果。
光学元件质量
透镜、反射镜等光学元件的质量对准 直效果有重要影响，如光学元件的加 工精度、表面质量等。
04
高斯光束聚焦和准直的应用
光学通信
总结词
高斯光束的聚焦和准直技术在光学通信领域具有广泛应用，能够实现高速、高效 、远距离的光信号传输。
详细描述
实时处理能力
对于动态变化的光束，需要具备实 时处理能力，以便快速响应和调整 。
研究方向
新型光学元件研究
研究新型的光学元件，以提高光 束的聚焦和准直精度。
光束质量提升技术
研究提高光束质量的方法和技术 ，以满足各种应用需求。
实时控制系统
研究实时的光学控制系统，以快 速响应和调整光束。
发展前景
应用领域拓展
比较不同聚焦透镜和不同输入光束参 数对聚焦效果的影响，得出结论和建 议。
06
高斯光束聚焦和准直的未来 发展
技术挑战
高精度控制
高斯光束的聚焦和准直需要高精 度的光学元件和控制系统，以实
现光束的稳定和精确控制。
光束质量提高
目前的高斯光束聚焦和准直技术受 到光束质量的限制，如何提高光束 质量是未来的一个重要挑战。
减小。
高斯光束的应用
1 2
3
激光加工
高斯光束可被用于激光切割、打标和焊接等加工领域。
光学测量
高斯光束可被用于光学测量领域，如干涉仪、光谱仪和全息 术等。
光学通信
高斯光束在光纤通信中用作信号传输的光源，具有传输损耗 低、信号稳定等优点。
02
高斯光束的聚焦
聚焦原理
高斯光束的聚焦是指将发散的高 斯光束通过透镜或反射镜系统， 使其在空间上形成一个能量集中
第5讲 高斯光束
13
5.2 类透镜介质中的高斯光束
类透镜介质中k2 0，此时的简化波动方程为：
2 k 1 1 2 0 q z q z k i p z q z
S z 1 仍引入函数S z ： ，可以得到： q z S z
2 k 1 1 2 0 q z q z k 可得到简化的波动方程： i p z q z
2
5.1 均匀介质中的高斯光束
均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即k2 0时的类透镜介质， 此时简化波动方程为：
Johann Carl Friedrich Gauss (1777 ?
0 r2 E E0 exp 2 z z
8
5.1 均匀介质中的高斯光束
高斯光束基本特性
振幅分布特性
0 r2 exp 2 由高斯光束的表达式可以得到： E E0 z z
5.1 均匀介质中的高斯光束
E x, y, z
上面最后一个表达式中的两项，前一项是振幅项，后一项是相位项。
为什么是这个解？还有其他解吗？
7
5.1 均匀介质中的高斯光束
高斯分布：
在统计学中更多的被称为正态分布， 它指的是服从以下概率密度函数的分布：
2 x 1 f x, , exp 2 2 2
1/ e
2
Z
Z
即光束半径随传输距离的变化规律 为双曲线，在z 0时有最小值0 ， 这个位置被称为高斯光束的束腰位置。
9
5.1 均匀介质中的高斯光束
等相位面特性
高斯光束光斑大小
高斯光束光斑大小
摘要：
一、高斯光束的基本概念
二、高斯光束的传输特性
三、高斯光束的光斑大小与能量分布
四、高斯光束在光学系统中的应用
五、测量高斯光束束腰宽度的方法
正文：
一、高斯光束的基本概念
高斯光束是一种常见的光学光束，它的形状呈高斯分布。
在高斯光束中，光斑大小、能量分布等参数都是重要的特性。
二、高斯光束的传输特性
高斯光束的传输特性表现为，在远离光源的地方，光束会沿着传播方向呈特定角度扩散。
这个特定角度即为我们所称的远场发散角。
远场发散角与光束的波长成正比，与光束的束腰半径成反比。
因此，束腰半径越小，远场发散角越大。
三、高斯光束的光斑大小与能量分布
高斯光束的光斑大小与能量分布紧密相关。
光斑大小决定了光束在空间中的覆盖范围，而能量分布则影响了光束的亮度。
高斯光束的光斑大小与其束腰半径有关，束腰半径越小，光斑大小越小。
四、高斯光束在光学系统中的应用
高斯光束在光学系统中有着广泛的应用，如激光加工、激光通信、光学成像等。
在光学系统设计中，我们需要根据高斯光束的特性来优化系统的性能。
五、测量高斯光束束腰宽度的方法
测量高斯光束的束腰宽度一般通过测量不同位置处光束的宽度，再进行双曲线拟合求解。
但需要注意的是，激光器的束腰半径意义不大，可以通过后续光束的准直聚焦改变其束腰半径。
高斯光束的传播特性课件
加精准，能够实现更高的光束质量和更稳定的传输。
动态调控
02
通过实时监测和反馈系统，实现对高斯光束的动态调控，以满
足不同应用场景的需求。
多光束控制
03
未来将实现多光束的独立控制和协同操作，提高光束的灵活性
和应用范围。
高斯光束在量子通信中的应用
1 2 3
安全性增强 高斯光束在量子通信中能够提供更强的安全性保 障，通过量子纠缠和量子密钥分发等技术，实现 更加安全的通信传输。
传输距离提升 随着量子通信技术的发展，高斯光束的应用将有 助于提高量子通信的传输距离和稳定性。
网络架构优化 高斯光束在量子通信网络架构中能够提供更灵活 和高效的光路设计，优化网络性能和扩展性。
高斯光束在其他领域的应用
生物医学成像
高斯光束在生物医学领域可用于光学显微镜、光谱仪等设备的成像 技术，提高成像质量和分辨率。
在生物医学成像中的应用
光学成像
高斯光束作为照明光源，能够提高光学成像的分辨率和对比度。
荧光成像
利用高斯光束激发荧光标记物，实现生物组织的荧光成像。
光声成像
结合高斯光束与光声效应，实现生物组织的高分辨率、高对比度 的光声成像。
05
高斯光束的未来展
高斯光束控制技术的发展
高精度控制
01
随着光学技术和计算机技术的发展，未来高斯光束的控制将更
高斯光束的强度分布和相位分 布都可以用高斯函数描述，这 使得高斯光束在许多领域都有 广泛的应用。
02
高斯光束的播特性
传播过程中的光强分布变化
01 02
光强分布变化规律
高斯光束在传播过程中，光强分布呈现中间高、两侧低的形态，类似于 钟形曲线。随着传播距离的增加，光强分布逐渐展宽，但中心峰值保持 不变。
10第二章-5 高斯光束的基本性质及特征参数
0
§2.11 高斯光束的聚焦和准直
一、高斯光束的聚焦
•目的：单透镜对高斯光束的聚焦，使0<0 F一定时， 0随l变化的情况
l<F，
0随l的减小而减小；当l=0时， 0达到最小值，
1
2 0 1 F 2
0 k 0
1 f 1 F
由振幅降落到中心值的按双曲线规律扩展远场发散角farfieldbeamangle因子kr2rz表示与横向坐标有关的相位移动表明说明球心在共焦腔腔外说明球心在共焦腔腔内高斯光束在其传输轴线附近可近似看作是一种非均匀球面波其曲率中心随着传输过程而不断改变但其振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性且其等相位面始终保持为球面
• 参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知 道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下 式求出该位置处(z)和R(z)的数值
1 1 Re[ ] R( z ) q( z ) 1 1 Im[ ] 2 ( z) q( z )
1 1 1 i q0 q (0) R (0) 2 (0)
研究对象
普通球面波
高斯球面波
特点
曲率中心固定的 曲率中心变化的
q2=q1+L
1 1 1 q2 q1 F
在自由空间的传 R2=R1+L 输规律 通过薄透镜的变 换 总的变换规律
1 1 1 R2 R1 F
AR1 B R2 CR1 D
Aq1 B q2 Cq1 D
曲率半径R
2 0 q0 i if
用q0=q(0)表示z=0处 的参数值，得出
q0 is purely imaginary
例1 某高斯光束波长为=3.14m,腰斑半径为 w0=1mm,求腰右方距离腰50cm处的 斑半径w 与等相位面曲率半径R 解 2 6
高斯光束
•基本定律/概念o几何光学基本理论o概念与完善成像o光路计算/近轴系统o球面光学成像系统•理想光学系统o共线成像理论o基点与基面o物像关系o放大率o系统的组合o透镜•平面系统o平面镜成像o平行平板o反射棱镜o折射棱镜与光楔o光学材料•OS的光束限制o照相系统和光阑o望远镜的光束的选择o显微镜的光束限制o光学系统的景深•光度学/色度学o辐射量/光学量o传播中光学量的变化o系统像面的光照度o颜色分类/表现特征o颜色混合定律o颜色匹配o色度学中的几个概念o颜色相加原理o CIE标准色度学系统o均匀颜色空间•光路计算/像差o概述o光线的光路计算o轴上点球差•典型光学系统o眼睛系统o放大镜o显微镜系统o望远镜系统o目镜o摄影系统o显外形尺寸计算•现代光学系统o激光光学系统o傅里叶变换光学§8.1 激光光学系统激光自60年代初问世以来，由于其亮度高、单色性好、方向性强等优点，在许多领域得到了广泛应用。
例如激光加工、激光精密测量与定位、光学信息处理和全息术、模式识别和光计算、光通信等。
但无论激光在哪方面的应用，都离不开激光束的传输，因此研究激光束在各种不同介质中的传输形式和传输规律，并设计出实用的激光光学系统，是激光技术应用的一个重要问题。
一、高斯光束的特性在研究普通光学系统的成像时，我们都假定点光源发出的球面波在各个方向上的光强度是相同的，即光束波面上各点的振幅是相等的。
而激光作为一种光源，其光束截面内的光强分布是不均匀的，即光束波面上各点的振幅是不相等的，其振幅A与光束截面半径r的函数关系为其中A0为光束截面中心的振幅,w为一个与光束截面半径有关的参数,r为光束截面半径。
光束波面的振幅A呈高斯(Guass)型函数分布所以激光光束又称为高斯光束。
高斯光束的光斑延伸到无限远，其光束截面的中心处振幅最大，随着r的增大，振幅越来越小，因此我们常以r=w时的光束截面半径作为激光束的名义截面半径，并以w来表示，即当r=w时说明高斯光束的名义截面半径w是当振幅A下降到中心振幅A0的1/e时所对应的光束截面半径。
《高斯光束》课件
02
高斯光束的数学模型
高斯光束的电场分布
描述高斯光束的电场分布通常使用高 斯函数，其形式为$E(r,z)=E_{0} frac{omega_{0}}{w(z)} exp(frac{r^{2}}{w(z)^{2}}) exp(ifrac{kr^{2}}{2R(z)}+ivarphi(z))$， 其中$E_{0}$是光束中心电场强度， $omega_{0}$是束腰半径，$w(z)$ 是光束半径，$R(z)$是光束的波前曲 率半径，$varphi(z)$是相位。
VS
高斯光束的电场分布具有中心强度高 、向外逐渐减小的特点，这种分布有 利于在一定范围内实现较高的能量集 中度。
高斯光束的能量分布
高斯光束的能量分布与电场分布类似，也呈现出中心强 度高、向外逐渐减小的特点。
在实际应用中，高斯光束的能量分布可以通过控制激光 器的参数和光束传输过程中的光学元件进行调整，以满 足不同应用需求。
高斯光束的特性
总结词
高斯光束具有许多独特的性质，包括光束宽度随传播距离增加、中心光强为零、能量集中于光束的腰斑等。
详细描述
高斯光束的一个重要特性是它的光束宽度随着传播距离的增加而增加，这是由于光束在传播过程中不断发生衍射 。此外，高斯光束的中心光强为零，即光束的最小值点位于中心。高斯光束的能量主要集中在腰斑处，即光束宽 度最小的地方，这使得高斯光束在远场具有很好的汇聚性能。
总结词
高斯光束在光学无损检测中能够穿透物质并检测其内部 结构和缺陷。
详细描述
高斯光束具有较好的穿透性和方向性，能够深入物质内 部并检测其结构和缺陷。在无损检测中，高斯光束被用 来检测材料内部的裂纹、气孔、夹杂物等缺陷，为产品 质量控制和安全性评估提供可靠的依据。这种检测方法 具有非破坏性和高灵敏度等优点，广泛应用于航空航天 、核工业等领域的安全监测和质量控制。
高斯光束
r2 r2 A0 A0 E ( x , y ,0 ) exp 2 exp ik (0 0) i 0 exp 2 W0 W0 W0 W0
图2-4
A0 推导：令r=0，则E（0，0，0）= W0
W02 1 A0 1 A0 E (0,0,0) 令r=W0，则E（x0，y0，0）= exp 2 W0 W0 e W0 e
二、高斯光束通过—孔径光栏时，能量的讨论 由基尔霍夫公式；在光束传播方向上任一点z处的电矢量 振幅为：
A0 r2 E exp 2 W ( z) W ( z)
而其光强ρ∝E2 计算高斯光束通过某一孔径的能量，即计算高斯光束通过 某一半径为ρ的光孔时，高斯能量包的体积。 其光强为：
对稳定球面腔：
通用公式：
l ( R1 l )( R2 l )( R1 R2 l ) W04 ( R1 R2 2l ) 2
2
图2-3
特例：若对平凹稳定腔（氪氖激光器多采用），令R1=R，R2=∝ 1/ 4 代入上式 2 2
W0 2 ( Rl l ) （2 6）
等效于 0 2 ( Rl l 2 )
2 1/ 4
结论：1．高斯光束的发散角随传播距离的增大而非线性增大 2．在束腰处，发散角为0o在无穷远，发散角最大，其远 场发散角为:
W02 3．通常将 0 Z 区域定义为光束准直区 4．W0越大，则远场发散角愈小。因此为了减小光束的远
dW ( z ) 2 z 2 4 W0 Z 2 2 即 dz W0
1 2
2 1 W0 2W04
z2
图2-4
A0 推导：令r=0，则E（0，0，0）= W0
W02 1 A0 1 A0 E (0,0,0) 令r=W0，则E（x0，y0，0）= exp 2 W0 W0 e W0 e
二、高斯光束通过—孔径光栏时，能量的讨论 由基尔霍夫公式；在光束传播方向上任一点z处的电矢量 振幅为：
A0 r2 E exp 2 W ( z) W ( z)
而其光强ρ∝E2 计算高斯光束通过某一孔径的能量，即计算高斯光束通过 某一半径为ρ的光孔时，高斯能量包的体积。 其光强为：
对稳定球面腔：
通用公式：
l ( R1 l )( R2 l )( R1 R2 l ) W04 ( R1 R2 2l ) 2
2
图2-3
特例：若对平凹稳定腔（氪氖激光器多采用），令R1=R，R2=∝ 1/ 4 代入上式 2 2
W0 2 ( Rl l ) （2 6）
等效于 0 2 ( Rl l 2 )
2 1/ 4
结论：1．高斯光束的发散角随传播距离的增大而非线性增大 2．在束腰处，发散角为0o在无穷远，发散角最大，其远 场发散角为:
W02 3．通常将 0 Z 区域定义为光束准直区 4．W0越大，则远场发散角愈小。因此为了减小光束的远
dW ( z ) 2 z 2 4 W0 Z 2 2 即 dz W0
1 2
2 1 W0 2W04
z2
cst定义高斯光束
高斯光束（Gaussian Beam）引言在现代光学研究中，高斯光束是一种非常重要且常见的光束。
它具有很多独特的特性和应用，因此深入了解高斯光束的特性和产生机制对于理解光的传播和聚焦非常重要。
高斯光束的定义高斯光束（Gaussian Beam），也称为基模光束（Fundamental Mode Beam），是一种由光学器件（如激光器）或自然光（如太阳光）产生的光束。
它的横向和纵向的分布遵循高斯函数的形式，因此得名。
高斯光束具有以下几个特点：1.横向分布：光强随着距离光轴的增加而呈高斯分布，形如钟形曲线。
2.纵向分布：光强在纵向上也呈高斯分布，但随着传播距离的增加，高斯光束的横向尺寸会逐渐增大。
3.聚焦能力：高斯光束具有良好的聚焦能力，是由于高斯光束在传播过程中会自身调整，以满足折射定律，从而实现相对较好的聚焦效果。
高斯光束的产生高斯光束的产生可以通过多种方式实现，下面介绍其中两种常见的方法：1. 光学器件产生激光器是高斯光束产生的一种常见方式。
激光器内部的光通常由增强反射和部分透射组成，通过光学谐振腔的构造来增强和放大光的强度。
在激光器中，往往使用激光介质（如半导体材料）和光学元件（如反射镜）来实现。
光在激光器腔内的传播过程中，会逐渐形成高斯光束。
2. 自然光产生除了通过激光器产生的高斯光束外，自然光也可以通过一些光学系统来转化为高斯光束。
其中一种常见的方法是使用透镜来改变光的传播方向和聚焦效果。
透过透镜的光会经过折射和散焦，从而形成高斯光束。
当然，在这个过程中可能还需要使用其他光学元件来调整和控制光的传播路径。
高斯光束的应用高斯光束由于其独特的特性，被广泛应用于各个领域。
下面介绍其中一些重要的应用：1. 激光切割和打孔在工业制造中，高斯光束被用于激光切割和打孔。
高斯光束的聚焦能力使其能够非常精确地在材料上进行切割和打孔。
这一特性在微电子制造、金属加工和医学领域等都有广泛的应用。
2. 激光雷达和光通信高斯光束在激光雷达和光通信领域也有重要应用。
第六章高斯光束详解
4.高斯光束的远场发散角
基模远场发散角: Z为无穷大时，强度为中心的 1/e2点所夹角的全宽度。双曲线的两条渐近线之间 的夹角。
lim z
2(z) 2 z 0
1.128
F
腰斑越小， 发散角越大。
z
0 , 0 ,
【例】某共焦腔氦氖激光器，L=30cm,波长 λ =0.6328μ m;某共焦腔二氧化碳激光器， L=1m, 波长λ =10.3μ m,求发散角。
本章讨论高斯激光束的传输和通过光学系 统的变换规律。
§1 高斯光束简介
高斯光束不同于点光源所发出的球面波和平 行光束的平面波，是一种特殊形式的光束。
高斯光束与一般光束比较，具有： 光束截面内的强度分布不均匀
波峰
1.1 均匀平行光束
E( x, y, z) A0eikz
k 2
A0
k
k
光束特点：
共焦腔的反射镜面是两个等 相位面，与场的两个等相位 面重合,且曲率半径达到最小 值。
高斯光束等相位面的分布以及曲率 中心的移动
曲率半径极小 值
在榜轴近似下，高斯光束可看作是一种曲率中 心与曲率半径都随传播过程而不断改变的非均匀 球面波。等相位面是球形的，但等相位面上的光 场振幅分布却是非均匀的高斯分布。
中心处和无穷远处的波阵面是平面，平面上各 点的相位相同，等相面是一个平面。其它地方 波阵面是球面，球面上各点的相位相同。
波阵面上振幅分布不均匀，即每个平面或球面 上的各点振幅呈高斯分布函数。
对于一个共焦腔，其基模高斯光束解析表达为：
E r, z cz e e E r, z
A0
e e
r
2
2
方形镜共焦腔：镜面上的场分布为厄米-高斯函数。 圆形镜共焦腔：镜面上的场分布为拉盖尔-高斯函数。
高斯光束的传播特性课件
高斯光束的未来发展趋势
01 发展现状分析
前景广阔
02 未来趋势探讨
挑战与机遇并存
03 科学研究发展
跨学科交叉
高斯光束在工业应用中的创新
制造工艺
高效精准 节约成本
设备应用
智能控制 自动化生产
材料加工
高质量 快速加工
能源利用
节能环保 绿色生产
● 07
第7章 高斯光束的传播特性 课件
高斯光束的重要性
折射率与热效应
热效应
高斯光束在介质中 传播时会产生热效
应。
折射率变化
热效应会导致折射率 发生变化，影响高斯 光束的传播和聚焦效
果。
总结
高斯光束的传播特性受到折射率、衍射效应、非线性光学和热 效应等因素的影响。理解这些因素对于光学应用和光束传输具 有重要意义。
● 03
第3章 高斯光束的光学系统
高斯光束的聚焦系统
● 04
第四章 高斯光束的传播实验
高斯光束的干涉实验
迈克尔逊干涉仪观测
利用迈克尔逊干涉 仪观测高斯光束的
干涉条纹
分析干涉条纹
分析干涉条纹的形状 和对比度，验证高斯
光束的传播特性
高斯光束的衍射实验
在衍射光栅实验中，观测高斯光束的衍射效 应是探究光栅对高斯光束的光斑形状和光强 分布的影响。通过实验，可以进一步了解光 的衍射现象，验证高斯光束在衍射过程中的 特性。
衍射效应
光束传播中的衍射 现象
散射效应
光束在物质中传播时 的散射现象
折射效应
光束在介质中传播时 的折射规律
高斯光束的调制特性
高斯光束可以通过调制改变其传播特性，例 如调制频率、相位等参数可以实现对光束的 精准控制。调制技术在光通信和激光加工中 有着重要的应用价值。
高斯光束
若有解
( x, y, z) 则为一个正确的波束解，这个解与
x, y有关部分完全含于高斯函数中，其他因子仅为z的函数。
解第一式：
1 f ( z) 2i z k
积分常数
2 f 2 ikf 比较 两式 2 fg ikg
因此，得解
g c f
(c const )
g ( z)
讨论内容：
一、高斯光束的定义 二、高斯光束波函数的解（亥姆霍兹方程的波束解）
1.高斯光束的纵向相位因子
三、高斯光束的传播特性
2.高斯光束的等相面曲率半径
3.高斯光束的束宽与远场发射角
高斯光束
定义：在光学中，高斯光束（Gaussian
分布近似满足高斯函数的电磁波光束。 beam）是横向电场以及辐照度
基本应用：许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况里，激光
在光谐振腔里以TEM00波模传播。当它在镜片发生衍射，高斯光束会变换成 另一种高斯光束，这时若干参数会发生变化。这解释了高斯光束是激光光学 里一种方便、广泛应用的原因。
描述：高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角
近似的一种）。这个解具有高斯函数的形式，表示电磁场的复振幅。电磁波 的传播包括电场和磁场两部分。研究其中任一个场，就可以描述波在传播时 的性质。
2 0
2i (1 z) k
令
4z 2 2z 2 2 ( z ) (1 2 2 ) 0 [1 ( 2 ) ] k k0
2
f ( z)
同理，可得
1 2iz (1 ) 2 2 ( z) k0
g ( z)
0
2z 1 ( 2 ) k0
e
( x, y, z) 则为一个正确的波束解，这个解与
x, y有关部分完全含于高斯函数中，其他因子仅为z的函数。
解第一式：
1 f ( z) 2i z k
积分常数
2 f 2 ikf 比较 两式 2 fg ikg
因此，得解
g c f
(c const )
g ( z)
讨论内容：
一、高斯光束的定义 二、高斯光束波函数的解（亥姆霍兹方程的波束解）
1.高斯光束的纵向相位因子
三、高斯光束的传播特性
2.高斯光束的等相面曲率半径
3.高斯光束的束宽与远场发射角
高斯光束
定义：在光学中，高斯光束（Gaussian
分布近似满足高斯函数的电磁波光束。 beam）是横向电场以及辐照度
基本应用：许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况里，激光
在光谐振腔里以TEM00波模传播。当它在镜片发生衍射，高斯光束会变换成 另一种高斯光束，这时若干参数会发生变化。这解释了高斯光束是激光光学 里一种方便、广泛应用的原因。
描述：高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角
近似的一种）。这个解具有高斯函数的形式，表示电磁场的复振幅。电磁波 的传播包括电场和磁场两部分。研究其中任一个场，就可以描述波在传播时 的性质。
2 0
2i (1 z) k
令
4z 2 2z 2 2 ( z ) (1 2 2 ) 0 [1 ( 2 ) ] k k0
2
f ( z)
同理，可得
1 2iz (1 ) 2 2 ( z) k0
g ( z)
0
2z 1 ( 2 ) k0
e
第八章高斯光束
(3) 在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即 0
综合上三式可以得到 u 2E 2E (4)
t 2
假设折射率n的空间变化很小，即n(r)满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：
E(x,
y,
z,t)
Re
E0(x,
y,
z)eit
代入(4)式
2 E 0 k 2(r)
k 2(r)E0
2u (r)
r
2 z 2
• 我们假设 2 ，其中a为集中大部分能量的横截面半径，这一假设说
明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于单一的横向场分量，其单色平
面波的表达式为：E (x, y, z)e ikz其中e-ikz表示波数为k的严格平面波， 为了研究修正平面波，我们引入了修正因子 (x, y, z) ，它包含了相位
R(z):等相位面曲率半径(凸向z轴为正)
R(z) z
0
z
二、ABCD定律
若某元件的光学变换矩阵为
A C
B D
，则通过
此元件前、后的球面波R参数和高斯光束q参
数满足关系
R2
=
AR1 CR1
+B +D
q2
Aq1 B Cq1 D
通过元件前的参数 通过元件后的参数
三、球面波R参数的传输规律
1、传播L距离 R=R+L
1
z
R z2 f 2
1 q
1 R
i W 2
z2
z
f
2
i
z2
f
f
2
z if z2 f
2
z2 f 2 (z2 f 2 )(z if )
q
z if
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一般稳定球面腔与共焦腔的等价性
根据共焦腔模式理论：任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价；而任 何一个稳定球面镜腔唯一地等价于一个共焦腔。 一般稳定球面腔与共焦腔的等价性:指它们具有相同的行波场
共焦腔与稳定球面腔的等价性
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任一共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价
w0s 2 w0
共焦腔基模高斯光束腰斑半径
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模体积
模体积是指模式在腔内空间扩展的范围。模体积越大，对该模有贡献的激发态
粒子数就越多，因而，也就可能获得大的功率输出。 由于实际上光频电磁场是存在于无限大的范围之内，但是又由于它的能量的绝 大部分分布于中心附近，所以一般定义模体积是指光斑半径以内的那部分体积。 对于基模，由于其光斑尺寸随z变化，比较严格的计算应该进行积分运算，但 是通常用下式估算：
激光原理
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1
方形球面镜共焦腔的行波场
知道了腔镜面上的场分布之后，利用菲涅耳—基尔霍夫衍射积分可以求 出共焦腔内或腔外任意一点的场分布，在镜面上的场能用厄米—高斯函 数描述的条件下：
共焦腔场的解析式：
坐标原点选在腔轴线的中心
2 w0 Emn x, y, z Amn E0 Hm w( z ) w( z )
根据曲率半径R的符号规定：曲面凸向z轴正向为正，放置在c1、c2处的反 射镜，由共焦腔中与腔的轴线相交于任意一点z的等相位面的曲率半径， 则有：
2 f , R1 R( z1) z1 z1
f2 R2 R( z2 ) z2 , z2 L z2 z1
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3
方形镜共焦腔的行波场
TEMmn模在腔内或腔外任意点(x,y,z) 处的电场强度：
2 w0 Emn x, y, z Amn E0 Hm w( z ) w( z ) 2 x H n w( z ) x2 y 2 exp ix, y, z y exp 2 w ( z)
n
可以通过基模的
m 2m 1 0 n 2n 1 0
0为基模光束的发散角
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圆形球面镜共焦腔自再现模积分方程
在近轴范围内，当 N 时，圆形镜共焦腔积分方程的本征 函数的近似解：
E pl (r , ) C pl (
2 cos l 2 l l 2 2 r) L p ( r ) exp( r ) L L L sin lzz 00z Nhomakorabea00
zz 0
0
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一般情况下，共焦腔 的等相面凹面向着腔 的中心的球面 10
等相位面的分布
共焦腔等相位面的一个重要的性质： 若在等相位面处放置一个具有相应曲率的反射镜片， 不影响共焦腔的场分布。
共焦场等相面的分布
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远场发散角
基模远场发散角：双曲线两根渐近线之间的夹角：
圆形镜共焦腔的行波场分布与方形镜完全类似， 对圆形镜共焦腔的行波场特性的分析可以按照方 形镜同样的方法进行。两者的基模光束的振幅分 布、光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散 角都完全相同。
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23
一般稳定球面镜腔
一般球面镜腔：
由两个曲率半径不同的球面镜按照任意间距组成的腔
一般稳定球面镜腔： 当它们满足条件 0 g1 g 2 1 时。 一般稳定球面镜腔的模式理论： 可以从光腔的衍射积分方程出发严格建立，以共焦腔 的模式理论为基础，等价共焦腔的方法
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21
单程相移和谐振频率
自再现模在腔内一次渡越的总相移为 :
2 pl arg 1 2[( p 2l 1)
2
pl
kL]
圆形镜共焦腔模的谐振频率为 :
plq
C 1 q p 2 l 1 2L 2
q plq1 plq
3
5.2 103 rad 一般激光器的远场发散角都很小，约为10－3弧度，也就是 表明激光具有很好的方向性。
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12
远场发散角
不同的腰半径的激光光束的远场发散角对比图
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远场发散角
高阶横模的光束发散角 m 光斑和发散角求出来： 和
0
腔中点或距腔中点无限 远处，等相面为平面 共焦腔的反射镜面是 两个等相位面，与场 的两个等相位面重合 ，且曲率半径最小。
z 0 时， R(z) 0 当 z 0 时， R(z) 0 x y zz 2 R( z )
当
2 2 0
z 0
0
R ( z0 ) 0 R ( z0 ) 0
2
2
k r2 x, y, z [kf (1 ) ] ( m n 1 )( ) 2 1 2 2f z 2z z ( L / 2) L f
0 L / 2
r 2 x 2 y2 1 arctan 1
旋转抛物面方程
可以证明，在近轴情况下，共焦场的在z处的等相位面近似为 2 球面，其曲率半径为： / 1 2 f 0 R (z) 2f L z0 2 0 z0
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等相位面的分布
当 z 0 时， R(z 0 ) 当 z 时，R(z 0 ) 当 z 0 f 时，R ( z ) L
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w0 s
L
17
圆形镜对称共焦腔镜面模的振幅和相位分布
对于高阶模 TEM pl ，在沿辐角方向有节线，数目为p；沿半 径方向有节圆，节圆数为l；p、l增加，模的光斑半径增大， 并且光斑半径随着l的增大比随着 p增大来的更快；
高阶模的光斑半径：振幅降低至最外面的极大值的1/e处 的点与镜面中心的距离；
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等相位面的分布
与腔的轴线交于z0点的等相位面方程可以写成：
x, y, z 0,0, z0
忽略附加相移因子， 在近轴情况下，z0点的等相位面方程为：
0 2 2 z z0 2 2 L L 1 1 0
2 2 1 z f 0 0 抛物面焦距： f L 4 0 2 2z 0 /
2wz 2 lim lim 2 z z w 例：某共焦腔氦氖激光器，L=30cm, 0.638m
0 z z 0
z 2w 1 ( ) f
2
f
2 2.3 10 rad f 某共焦腔二氧化碳激光器， L=1m, 10.6m
1 2
w w( z ) ：振幅衰减因子
0
3 exp i x, y, z ：位相因子，决定了共焦腔的位相分布
传播因子 位相弯曲因子
2 H w( z )
m
x H
n
2 w( z )
r y exp w ( z)
(r,) ：为镜面上的极坐标，
Llp ( x) ：缔合拉盖尔多项式
Ll0 ( x) 1
l L1 ( ) 1 l x
Ll2 ( )
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1 2 1 x (2) x (1 l )( 2 l ) 2 2
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圆形镜对称共焦腔镜面光场分布
镜面上对基模及高阶模的场振幅分布：
pl p 2l 0 s
E pl (r,为实函数)
1 2
圆形共焦镜面本身也是等相位面。
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圆形镜共焦腔横截面场强度分布
TEM00
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圆形镜共焦腔横截面场强度分布
TEM02
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20
圆形镜共焦腔横截面场强度分布
TEM01
代入 ws1、ws 2 ：
V00
1 2 Lw0 s (2 2
g1 g2
g2 1 ) g1 4 1 g1g 2
0 V00 (2
g1 g2
g2 1 ) g1 4 1 g1g 2
对于一般稳定球面腔，TEMmn模体积可：
Vmn V00 (2m 1)( 2n 1)
wz
2 2
在共焦镜面上： wz w f w
L
f
在z=0处有最小值
基模高斯光束的束腰半径 ： w0 w0
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5
振幅分布和光斑尺寸
、 共焦腔中，基模光斑随着坐标按双 曲线规律变化：
w 2 z z 2 2 1 2 w0 f
2 x H n w( z )
x2 y 2 exp ix, y, z y exp w2 ( z )
L
：共焦腔的腔长
f L / 2 ：镜的焦距
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方形球面镜共焦腔的行波场
w z w L z z 2 1 0s 1 w 0 1 2 2 f f
2
r2
2 w0 s
cos
．．．．．．．．．．．．．．．．． exp[ ikL i ( p 2 l 1 ) ] 本征值的近似解： pl
2
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圆形镜对称共焦腔镜面模的振幅和相位分布
E 00 (r, ) c 00 e
一般稳定球面腔与共焦腔的等价性
根据共焦腔模式理论：任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价；而任 何一个稳定球面镜腔唯一地等价于一个共焦腔。 一般稳定球面腔与共焦腔的等价性:指它们具有相同的行波场
共焦腔与稳定球面腔的等价性
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任一共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价
w0s 2 w0
共焦腔基模高斯光束腰斑半径
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模体积
模体积是指模式在腔内空间扩展的范围。模体积越大，对该模有贡献的激发态
粒子数就越多，因而，也就可能获得大的功率输出。 由于实际上光频电磁场是存在于无限大的范围之内，但是又由于它的能量的绝 大部分分布于中心附近，所以一般定义模体积是指光斑半径以内的那部分体积。 对于基模，由于其光斑尺寸随z变化，比较严格的计算应该进行积分运算，但 是通常用下式估算：
激光原理
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方形球面镜共焦腔的行波场
知道了腔镜面上的场分布之后，利用菲涅耳—基尔霍夫衍射积分可以求 出共焦腔内或腔外任意一点的场分布，在镜面上的场能用厄米—高斯函 数描述的条件下：
共焦腔场的解析式：
坐标原点选在腔轴线的中心
2 w0 Emn x, y, z Amn E0 Hm w( z ) w( z )
根据曲率半径R的符号规定：曲面凸向z轴正向为正，放置在c1、c2处的反 射镜，由共焦腔中与腔的轴线相交于任意一点z的等相位面的曲率半径， 则有：
2 f , R1 R( z1) z1 z1
f2 R2 R( z2 ) z2 , z2 L z2 z1
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方形镜共焦腔的行波场
TEMmn模在腔内或腔外任意点(x,y,z) 处的电场强度：
2 w0 Emn x, y, z Amn E0 Hm w( z ) w( z ) 2 x H n w( z ) x2 y 2 exp ix, y, z y exp 2 w ( z)
n
可以通过基模的
m 2m 1 0 n 2n 1 0
0为基模光束的发散角
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圆形球面镜共焦腔自再现模积分方程
在近轴范围内，当 N 时，圆形镜共焦腔积分方程的本征 函数的近似解：
E pl (r , ) C pl (
2 cos l 2 l l 2 2 r) L p ( r ) exp( r ) L L L sin lzz 00z Nhomakorabea00
zz 0
0
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一般情况下，共焦腔 的等相面凹面向着腔 的中心的球面 10
等相位面的分布
共焦腔等相位面的一个重要的性质： 若在等相位面处放置一个具有相应曲率的反射镜片， 不影响共焦腔的场分布。
共焦场等相面的分布
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远场发散角
基模远场发散角：双曲线两根渐近线之间的夹角：
圆形镜共焦腔的行波场分布与方形镜完全类似， 对圆形镜共焦腔的行波场特性的分析可以按照方 形镜同样的方法进行。两者的基模光束的振幅分 布、光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散 角都完全相同。
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一般稳定球面镜腔
一般球面镜腔：
由两个曲率半径不同的球面镜按照任意间距组成的腔
一般稳定球面镜腔： 当它们满足条件 0 g1 g 2 1 时。 一般稳定球面镜腔的模式理论： 可以从光腔的衍射积分方程出发严格建立，以共焦腔 的模式理论为基础，等价共焦腔的方法
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单程相移和谐振频率
自再现模在腔内一次渡越的总相移为 :
2 pl arg 1 2[( p 2l 1)
2
pl
kL]
圆形镜共焦腔模的谐振频率为 :
plq
C 1 q p 2 l 1 2L 2
q plq1 plq
3
5.2 103 rad 一般激光器的远场发散角都很小，约为10－3弧度，也就是 表明激光具有很好的方向性。
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远场发散角
不同的腰半径的激光光束的远场发散角对比图
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远场发散角
高阶横模的光束发散角 m 光斑和发散角求出来： 和
0
腔中点或距腔中点无限 远处，等相面为平面 共焦腔的反射镜面是 两个等相位面，与场 的两个等相位面重合 ，且曲率半径最小。
z 0 时， R(z) 0 当 z 0 时， R(z) 0 x y zz 2 R( z )
当
2 2 0
z 0
0
R ( z0 ) 0 R ( z0 ) 0
2
2
k r2 x, y, z [kf (1 ) ] ( m n 1 )( ) 2 1 2 2f z 2z z ( L / 2) L f
0 L / 2
r 2 x 2 y2 1 arctan 1
旋转抛物面方程
可以证明，在近轴情况下，共焦场的在z处的等相位面近似为 2 球面，其曲率半径为： / 1 2 f 0 R (z) 2f L z0 2 0 z0
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等相位面的分布
当 z 0 时， R(z 0 ) 当 z 时，R(z 0 ) 当 z 0 f 时，R ( z ) L
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w0 s
L
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圆形镜对称共焦腔镜面模的振幅和相位分布
对于高阶模 TEM pl ，在沿辐角方向有节线，数目为p；沿半 径方向有节圆，节圆数为l；p、l增加，模的光斑半径增大， 并且光斑半径随着l的增大比随着 p增大来的更快；
高阶模的光斑半径：振幅降低至最外面的极大值的1/e处 的点与镜面中心的距离；
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等相位面的分布
与腔的轴线交于z0点的等相位面方程可以写成：
x, y, z 0,0, z0
忽略附加相移因子， 在近轴情况下，z0点的等相位面方程为：
0 2 2 z z0 2 2 L L 1 1 0
2 2 1 z f 0 0 抛物面焦距： f L 4 0 2 2z 0 /
2wz 2 lim lim 2 z z w 例：某共焦腔氦氖激光器，L=30cm, 0.638m
0 z z 0
z 2w 1 ( ) f
2
f
2 2.3 10 rad f 某共焦腔二氧化碳激光器， L=1m, 10.6m
1 2
w w( z ) ：振幅衰减因子
0
3 exp i x, y, z ：位相因子，决定了共焦腔的位相分布
传播因子 位相弯曲因子
2 H w( z )
m
x H
n
2 w( z )
r y exp w ( z)
(r,) ：为镜面上的极坐标，
Llp ( x) ：缔合拉盖尔多项式
Ll0 ( x) 1
l L1 ( ) 1 l x
Ll2 ( )
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1 2 1 x (2) x (1 l )( 2 l ) 2 2
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圆形镜对称共焦腔镜面光场分布
镜面上对基模及高阶模的场振幅分布：
pl p 2l 0 s
E pl (r,为实函数)
1 2
圆形共焦镜面本身也是等相位面。
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圆形镜共焦腔横截面场强度分布
TEM00
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圆形镜共焦腔横截面场强度分布
TEM02
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圆形镜共焦腔横截面场强度分布
TEM01
代入 ws1、ws 2 ：
V00
1 2 Lw0 s (2 2
g1 g2
g2 1 ) g1 4 1 g1g 2
0 V00 (2
g1 g2
g2 1 ) g1 4 1 g1g 2
对于一般稳定球面腔，TEMmn模体积可：
Vmn V00 (2m 1)( 2n 1)
wz
2 2
在共焦镜面上： wz w f w
L
f
在z=0处有最小值
基模高斯光束的束腰半径 ： w0 w0
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振幅分布和光斑尺寸
、 共焦腔中，基模光斑随着坐标按双 曲线规律变化：
w 2 z z 2 2 1 2 w0 f
2 x H n w( z )
x2 y 2 exp ix, y, z y exp w2 ( z )
L
：共焦腔的腔长
f L / 2 ：镜的焦距
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方形球面镜共焦腔的行波场
w z w L z z 2 1 0s 1 w 0 1 2 2 f f
2
r2
2 w0 s
cos
．．．．．．．．．．．．．．．．． exp[ ikL i ( p 2 l 1 ) ] 本征值的近似解： pl
2
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圆形镜对称共焦腔镜面模的振幅和相位分布
E 00 (r, ) c 00 e