高斯光束

C 2L
1 2 C 4L
p p 1lq plq q
பைடு நூலகம்
l pl 1q plq q
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C 2L
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圆形球面镜共焦腔的行波场 知道了腔镜面上的场分布之后，利用菲涅耳—基尔 霍夫衍射积分可以求出共焦腔内或腔外任意一点的 场分布。
激光原理
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方形球面镜共焦腔的行波场
知道了腔镜面上的场分布之后，利用菲涅耳—基尔霍夫衍射积分可以求 出共焦腔内或腔外任意一点的场分布，在镜面上的场能用厄米—高斯函 数描述的条件下：
共焦腔场的解析式：
坐标原点选在腔轴线的中心
2 w0 Emn x, y, z Amn E0 Hm w( z ) w( z )
wz
2 2
在共焦镜面上： wz w f w
L

f
在z=0处有最小值
基模高斯光束的束腰半径 ： w0 w0
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振幅分布和光斑尺寸
、 共焦腔中，基模光斑随着坐标按双 曲线规律变化：
w 2 z z 2 2 1 2 w0 f
圆形镜共焦腔的行波场分布与方形镜完全类似， 对圆形镜共焦腔的行波场特性的分析可以按照方 形镜同样的方法进行。两者的基模光束的振幅分 布、光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散 角都完全相同。
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一般稳定球面镜腔
一般球面镜腔：
由两个曲率半径不同的球面镜按照任意间距组成的腔
一般稳定球面镜腔： 当它们满足条件 0 g1 g 2 1 时。 一般稳定球面镜腔的模式理论： 可以从光腔的衍射积分方程出发严格建立，以共焦腔 的模式理论为基础，等价共焦腔的方法
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一般稳定球面腔与共焦腔的等价性
根据共焦腔模式理论：任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价；而任 何一个稳定球面镜腔唯一地等价于一个共焦腔。 一般稳定球面腔与共焦腔的等价性:指它们具有相同的行波场
共焦腔与稳定球面腔的等价性
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任一共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价
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方形镜共焦腔的行波场
TEMmn模在腔内或腔外任意点(x,y,z) 处的电场强度：
2 w0 Emn x, y, z Amn E0 Hm w( z ) w( z ) 2 x H n w( z ) x2 y 2 exp ix, y, z y exp 2 w ( z)
2wz 2 lim lim 2 z z w 例：某共焦腔氦氖激光器，L=30cm, 0.638m
0 z z 0
z 2w 1 ( ) f
2
f
2 2.3 10 rad f 某共焦腔二氧化碳激光器， L=1m, 10.6m
2 2
：行波场横向振幅分布因子
x, y, z [kf (1 )
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k r ] ( m n 1 )( ) 2 1 2 f 2
2
附加相移因子
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振幅分布和光斑尺寸
共焦场的振幅分布为：
2 w0 Emn x, y, z Amn E0 Hm w( z ) w( z ) 2 x H n w( z ) x2 y2 y exp w2 ( z )
3
5.2 103 rad 一般激光器的远场发散角都很小，约为10－3弧度，也就是 表明激光具有很好的方向性。
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远场发散角
不同的腰半径的激光光束的远场发散角对比图
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远场发散角
高阶横模的光束发散角 m 光斑和发散角求出来： 和
根据曲率半径R的符号规定：曲面凸向z轴正向为正，放置在c1、c2处的反 射镜，由共焦腔中与腔的轴线相交于任意一点z的等相位面的曲率半径， 则有：
2 f , R1 R( z1) z1 z1
f2 R2 R( z2 ) z2 , z2 L z2 z1
pl p 2l 0 s
E pl (r,为实函数)
1 2
圆形共焦镜面本身也是等相位面。
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圆形镜共焦腔横截面场强度分布
TEM00
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圆形镜共焦腔横截面场强度分布
TEM02
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圆形镜共焦腔横截面场强度分布
TEM01
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w0 s
L

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圆形镜对称共焦腔镜面模的振幅和相位分布
对于高阶模 TEM pl ，在沿辐角方向有节线，数目为p；沿半 径方向有节圆，节圆数为l；p、l增加，模的光斑半径增大， 并且光斑半径随着l的增大比随着 p增大来的更快；
高阶模的光斑半径：振幅降低至最外面的极大值的1/e处 的点与镜面中心的距离；
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单程相移和谐振频率
自再现模在腔内一次渡越的总相移为 :
2 pl arg 1 2[( p 2l 1)

2
pl
kL]
圆形镜共焦腔模的谐振频率为 :
plq
C 1 q p 2 l 1 2L 2
q plq1 plq
旋转抛物面方程
可以证明，在近轴情况下，共焦场的在z处的等相位面近似为 2 球面，其曲率半径为： / 1 2 f 0 R (z) 2f L z0 2 0 z0
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等相位面的分布
当 z 0 时， R(z 0 ) 当 z 时，R(z 0 ) 当 z 0 f 时，R ( z ) L
(r,) ：为镜面上的极坐标，
Llp ( x) ：缔合拉盖尔多项式
Ll0 ( x) 1
l L1 ( ) 1 l x
Ll2 ( )
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1 2 1 x (2) x (1 l )( 2 l ) 2 2
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圆形镜对称共焦腔镜面光场分布
镜面上对基模及高阶模的场振幅分布：
代入 ws1、ws 2 ：
V00
1 2 Lw0 s (2 2
g1 g2
g2 1 ) g1 4 1 g1g 2
0 V00 (2
g1 g2
g2 1 ) g1 4 1 g1g 2
对于一般稳定球面腔，TEMmn模体积可：
Vmn V00 (2m 1)( 2n 1)
1 2
w w( z ) ：振幅衰减因子
0
3 exp i x, y, z ：位相因子，决定了共焦腔的位相分布
传播因子 位相弯曲因子
2 H w( z )
m
x H
n
2 w( z )
r y exp w ( z)
E 00 (r, ) c 00 e
E10 (r, ) c10
r2
2 w0 s
w0s
L

2 w 0s

r2
2 w0 s
re
cos
r2
2 w0 s
E 01 (r, ) c 01 (1 2
r )e w 0s
2
2 2 r E11 (r, ) c11 r (1 )e 2 w 0s w 0s
n
可以通过基模的
m 2m 1 0 n 2n 1 0
0为基模光束的发散角
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圆形球面镜共焦腔自再现模积分方程
在近轴范围内，当 N 时，圆形镜共焦腔积分方程的本征 函数的近似解：
E pl (r , ) C pl (
2 cos l 2 l l 2 2 r) L p ( r ) exp( r ) L L L sin l
w0s 2 w0
共焦腔基模高斯光束腰斑半径
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模体积
模体积是指模式在腔内空间扩展的范围。模体积越大，对该模有贡献的激发态
粒子数就越多，因而，也就可能获得大的功率输出。 由于实际上光频电磁场是存在于无限大的范围之内，但是又由于它的能量的绝 大部分分布于中心附近，所以一般定义模体积是指光斑半径以内的那部分体积。 对于基模，由于其光斑尺寸随z变化，比较严格的计算应该进行积分运算，但 是通常用下式估算：
zz 0
0
z 0
0
zz 0
0
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一般情况下，共焦腔 的等相面凹面向着腔 的中心的球面 10
等相位面的分布
共焦腔等相位面的一个重要的性质： 若在等相位面处放置一个具有相应曲率的反射镜片， 不影响共焦腔的场分布。
共焦场等相面的分布
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远场发散角
基模远场发散角：双曲线两根渐近线之间的夹角：
2

r2
2 w0 s
cos
．．．．．．．．．．．．．．．．． exp[ ikL i ( p 2 l 1 ) ] 本征值的近似解： pl
2
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圆形镜对称共焦腔镜面模的振幅和相位分布
E 00 (r, ) c 00 e

r2
2 w0 s
基模在镜面上的振幅分布是高斯型的， 整个镜面上没有节线在镜面中心处（r=0） 处，振幅最大。 基模在镜面上的光斑半径(当基模振 幅下降到中心值的1/e处与镜面中心 的距离)：


2
2
k r2 x, y, z [kf (1 ) ] ( m n 1 )( ) 2 1 2 2f z 2z z ( L / 2) L f
0 L / 2
r 2 x 2 y2 1 arctan 1
2 x H n w( z )
x2 y 2 exp ix, y, z y exp w2 ( z )
L
：共焦腔的腔长
f L / 2 ：镜的焦距
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方形球面镜共焦腔的行波场
w z w L z z 2 1 0s 1 w 0 1 2 2 f f
基模模体积通常用下式估算：
V00 1 1 2 2 Lw0 L s 2 2
高阶模模体积通常用下式估算： 1 L V Lw w (2m 1)( 2n 1) 2 2
2 2 mn ms ns
2
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模体积
一般稳定球面腔的基模模体积可定义为：
ws1 ws 2 2 1 V00 L ( ) 2 2
0
腔中点或距腔中点无限 远处，等相面为平面 共焦腔的反射镜面是 两个等相位面，与场 的两个等相位面重合 ，且曲率半径最小。
z 0 时， R(z) 0 当 z 0 时， R(z) 0 x y zz 2 R( z )
当
2 2 0
z 0
0
R ( z0 ) 0 R ( z0 ) 0
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等相位面的分布
与腔的轴线交于z0点的等相位面方程可以写成：
x, y, z 0,0, z0
忽略附加相移因子， 在近轴情况下，z0点的等相位面方程为：
0 2 2 z z0 2 2 L L 1 1 0
2 2 1 z f 0 0 抛物面焦距： f L 4 0 2 2z 0 /
对基模：
x2 y2 w0 E00 x, y, z A00 E0 exp 2 wz w z
w0 s z z 1 w0 1 f f 2
0s
基模光斑尺寸(场振幅衰减到中心最大值的1/e处对应的横向距离) ：