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定积分练习题

定积分练习题定积分练习题在微积分学习中，定积分是一个重要的概念和工具。

它不仅可以用来计算曲线下的面积，还可以解决各种实际问题。

为了更好地理解和应用定积分，下面将给出一些练习题，通过解题的过程来加深对定积分的理解。

1. 计算定积分∫[0, 2] x^2 dx。

解析：根据定积分的定义，我们可以将曲线y = x^2与x轴所围成的面积表示为∫[0, 2] x^2 dx。

为了计算这个积分，我们可以使用定积分的基本性质，即将曲线下的面积分成若干个小矩形，然后将这些矩形的面积相加。

将区间[0, 2]均匀分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (2-0)/n = 2/n。

在每个小区间中，选择一个任意点xi，然后计算该点处的函数值f(xi) = (xi)^2。

然后将每个小矩形的面积f(xi)Δx相加，即可得到曲线下的面积。

当n趋向于无穷大时，这个和式就可以表示为定积分∫[0, 2] x^2 dx。

通过计算这个和式，我们可以得到∫[0, 2] x^2 dx = 8/3。

2. 计算定积分∫[1, 3] (2x+1) dx。

解析：这个定积分的计算与上一个例子类似。

我们可以将曲线y = 2x+1与x轴所围成的面积表示为∫[1, 3] (2x+1) dx。

同样地，我们可以将区间[1, 3]均匀分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (3-1)/n = 2/n。

在每个小区间中，选择一个任意点xi，然后计算该点处的函数值f(xi) = 2xi+1。

然后将每个小矩形的面积f(xi)Δx相加，即可得到曲线下的面积。

当n趋向于无穷大时，这个和式就可以表示为定积分∫[1, 3] (2x+1) dx。

通过计算这个和式，我们可以得到∫[1, 3] (2x+1) dx = 12。

3. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。

解析：这个定积分的计算稍微复杂一些，因为它涉及到三角函数。

我们可以将曲线y = sin(x)与x轴所围成的面积表示为∫[0, π/2] sin(x) dx。

定积分练习题(打印版)

定积分练习题（打印版）一、基础计算题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} x^2 dx$。

2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$。

3. 计算定积分 $\int_{0}^{2} (3x - 2) dx$。

二、换元积分题1. 计算定积分 $\int e^{2x} dx$，其中上下限为 $0$ 到 $\ln 2$。

2. 计算定积分 $\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx$，其中上下限为 $0$ 到 $1$。

三、分部积分题1. 计算定积分 $\int x e^x dx$，上下限为 $0$ 到 $1$。

2. 计算定积分 $\int \sin x \cos x dx$，上下限为 $0$ 到$\pi$。

四、几何应用题1. 利用定积分计算圆 $x^2 + y^2 = 1$ 在第一象限内围成的面积。

2. 利用定积分计算抛物线 $y = x^2$ 与直线 $y = 4$ 所围成的面积。

五、物理应用题1. 假设一物体的加速度 $a(t) = 2t$，计算从 $0$ 到 $1$ 秒内物体的位移。

2. 假设一物体的力 $F(x) = 3x + 1$，计算从 $0$ 到 $2$ 米内物体所做的功。

六、综合题1. 利用定积分计算函数 $y = \sqrt{x}$ 与 $x$ 轴，以及直线$x = 1$ 所围成的面积。

2. 利用定积分计算函数 $y = \ln x$ 与 $x$ 轴，以及直线 $x = e$ 所围成的面积。

七、挑战题1. 计算定积分 $\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx$。

2. 计算定积分 $\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x} dx$。

答案提示：- 对于基础计算题，可以直接应用定积分的基本公式进行计算。

专升本高数定积分练习题

专升本高数定积分练习题### 专升本高数定积分练习题#### 一、基础题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} x^2 dx$。

2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$。

3. 计算定积分 $\int_{-2}^{2} x dx$。

4. 计算定积分 $\int_{0}^{\pi/2} \sin x dx$。

#### 二、提高题5. 计算定积分 $\int_{0}^{1} e^x dx$。

6. 计算定积分 $\int_{-1}^{1} \cos x dx$。

7. 计算定积分 $\int_{0}^{1} \ln x dx$。

8. 计算定积分 $\int_{0}^{\pi} \tan x dx$。

#### 三、应用题9. 计算定积分 $\int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$，其中 $a > 0$。

10. 计算定积分 $\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x dx$。

#### 四、挑战题11. 计算定积分 $\int_{0}^{1} x^3 \ln x dx$。

12. 计算定积分 $\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} dx$。

#### 答案解析1. $\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$2. $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx = [\ln x]_{1}^{2} = \ln 2 -\ln 1 = \ln 2$3. $\int_{-2}^{2} x dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_{-2}^{2} = 2 - (-2) = 4$4. $\int_{0}^{\pi/2} \sin x dx = [-\cos x]_{0}^{\pi/2} = -\cos(\pi/2) + \cos(0) = 1$5. $\int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_{0}^{1} = e - 1$6. $\int_{-1}^{1} \cos x dx = [\sin x]_{-1}^{1} = \sin(1) -\sin(-1) = 2\sin(1)$7. $\int_{0}^{1} \ln x dx = \left[x\ln x - x\right]_{0}^{1}= (1\ln 1 - 1) - (0\ln 0 - 0) = -1$8. $\int_{0}^{\pi} \tan x dx$ 此积分发散，因为 $\tan x$在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处无界。

(完整版)定积分练习题

一、选择题1. 设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的符号( ) A ．一定是正的 B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的，当a <b <0时是负的D ．以上结论都不对解析：由⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义及f (x )>0，可知⎠⎛a b f (x )d x 表示x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积．∴⎠⎛ab f (x )d x >0.答案：A 2. 若22223,,sin a x dx b x dx c xdx ===⎰⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：a ＝13x 3 |20＝83，b ＝14x 4 |20＝4，c ＝－cos x |20＝1－cos2，∴c <a <b . 答案：D3. 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4.11(sin 1)x dx -+⎰的值为( )A. 2B.0C.22cos1+D. 22cos1- 【答案】A 【解析】[][]1111(sin 1)cos (cos11)cos(1)12x dx x x --+=-+=-+----=⎰5. 由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（）A ．16B ．13C ．56D ．23【答案】 A由22,x x x +=解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0），利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:23201111111((2)()|().32326S x x x dx x x --=-+=--=--=⎰ 二、填空题6. 已知f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ，则当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为________．解析： f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ＝(t 2－4t )| x 0＝x 2－4x ＝(x －2)2－4(－1≤x ≤3)，∴当x ＝2时，f (x )min ＝－4.答案：－47. 一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，在前30 s 内的平均速度为________．解析：由定积分的物理意义有：s ＝3020(38)t t dt -+⎰＝(13t 3－32t 2＋8t )|300＝7890(m)．∴v ＝s t ＝789030＝263(m/s)．答案：263 m/s 三、解答题8.求下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ；(2)(cos e )d x x x π-⎰＋；(3)⎠⎛49x (1＋x )d x ；(4)⎠⎛0πcos 2x 2d x .解析： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121x d x ＝x 22| 21－x 33| 21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)(cos e )d x x x π-⎰＋＝00cosxd e d x x x ππ--+⎰⎰＝sin x ||0－π＋e x 0－π＝1－1eπ. (3)⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x 12＋x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32＋12x 249＝23×932－23×432＋12×92－12×42＝4516. (4)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |0π＋12sin x |0π＝π2.9. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图：直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f (x )．解：由f (0)＝0得c ＝0， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 由f ′(0)＝0得b ＝0， ∴f (x )＝x 3＋ax 2＝x 2(x ＋a )，由∫－a 0[－f (x )]d x ＝274得a ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x 2.10.已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．解析： (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0.∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x | 10＝2－23a ＝－2， ∴a ＝6，∴c ＝－4. 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.B 卷：5+2+2一、选择题1. 已知f (x )为偶函数且61(),2f x dx =⎰则66()f x dx -⎰等于( )A ．2B ．4C ．1D ．-1解析：∵f (x )为偶函数，∴661()(),2f x dx f x dx -==⎰⎰∴6660()2() 1.f x dx f x dx -==⎰⎰答案：C2. (改编题)A ． 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 【答案】C【解析】2220202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,02232 3.5.2x x x x f x x f x dx x dx x dx x x x x ----≥⎧=-=∴=++-=++-⎨+<⎩=+=⎰⎰⎰3. 已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx 消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为 ∫k 0(kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3) |k 0＝92. 即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3. 4. 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )作的功为( )A ．44B ．46C ．48D ．50解析： W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42＝46.答案：B5. 函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的A ．31 B ．34 C ．2 D ．38 【答案】B【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴为1,x =-开口方向向上，设函数2()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2()2f x x x ∴=+，则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为232032-22114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--⨯+-=⎰（- 二、填空题6.（改编题）设20lg ,0(),3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1,f f =则a 为。

定积分典型例题及习题答案

04 定积分习题答案及解析
习题一答案及解析
要点一
答案
$frac{1}{2}$
要点二
解析
根据定积分的几何意义，该积分表示一个半圆的面积，半径为1，因此结果为半圆的面积，即$frac{1}{2}$。
习题二答案及解析
答案：$0$
解析：由于函数$f(x) = x$在区间$[-1, 1]$上为奇函数，根据定积分的性质，奇函数在对称区间上的积分为0。
定积分的分部积分法
总结词
分Hale Waihona Puke 积分法是一种通过将两个函数的乘积进行求导来计算定积分的方法。
详细描述
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行求导来找到一个函数的定积分。具体来说，对于两个函数u(x)和v'(x)，其乘积的导数为u'v+uv'，其中u'表示u对x的导数。分部积分法可以表示为∫bau(x)v'(x)dx=∫bau'(x)v(x)dx+∫bau(x)v(x)dx，其中u'(x)和u(x)分别是u对x的导数和函
定积分典型例题及习题答案
目录
• 定积分的基本概念 • 定积分的计算方法 • 定积分典型例题解析 • 定积分习题答案及解析
01 定积分的基本概念
定积分的定义
总结词
定积分的定义是通过对函数进行分割、近似、求和、取极限等步骤来得到的。
详细描述
定积分定义为对于一个给定的函数f(x)，选择一个区间[a,b]，并将其分割为n个小区间，在每个小区间上选择一个代表点，并求出函数在这些点的近似值，然后将这些近似值进行求和，最后取这个和的极限。
数值。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转换为更简单的形式进行计算。

定积分典型例题

定积分典型例题11198(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--定积分典型例题例1 求3321lim)n n n →∞+．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ∆=，然后把2111n n n=⋅的一个因子1n乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即3321lim)n n n →∞+=31lim )n n n n →∞+=34=⎰．例2 0⎰=_________．解法1 由定积分的几何意义知，0⎰等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)与x 轴所围成的图形的面积．故0⎰=2π．例18 计算21||x dx -⎰．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -⎰＝0210()x dx xdx --+⎰⎰＝220210[][]22x x --+＝52．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如33222111[]6dx x x --=-=⎰，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算220max{,}x x dx ⎰．分析被积函数在积分区间上实际是分段函数212()01x x f x x x ⎧<≤=⎨≤≤⎩．解 232122212010011717max{,}[][]23236x x x x dx xdx x dx =+=+=+=⎰⎰⎰例20 设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+⎰，则()________f x =．分析本题只需要注意到定积分()ba f x dx ⎰是常数（,ab 为常数）．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而10()f t dt ⎰是常数，记10()f t dt a =⎰，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==⎰⎰．所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=，从而14a =-，所以 3()4f x x =-．例21 设23, 01()52,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，02x ≤≤，求()F x , 并讨论()F x 的连续性．分析由于()f x 是分段函数, 故对()F x 也要分段讨论．解（1）求()F x 的表达式．()F x 的定义域为[0,2]．当[0,1]x ∈时，[0,][0,1]x ⊂, 因此23300()()3[]xxxF x f t dt t dt t x ====⎰⎰．当(1,2]x ∈时，[0,][0,1][1,]x x =, 因此, 则1201()3(52)xF x t dt t dt =+-⎰⎰=31201[][5]xt t t +-=235x x -+-，故32, 01()35,12x x F x x x x ⎧≤<⎪=⎨-+-≤≤⎪⎩． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于211lim ()lim(35)1x x F x x x ++→→=-+-=, 311lim ()lim 1x x F x x --→→==, (1)1F =．因此, ()F x 在1x =处连续, 从而()F x 在[0,2]上连xu例22 计算21-⎰．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解 21-⎰=211--+⎰⎰2是偶函是奇函数，有10-=⎰, 于是21-⎰=214⎰=04⎰=1044dx -⎰⎰由定积分的几何意义可知4π=⎰, 故2114444dx ππ-=-⋅=-⎰⎰．例23 计算3412e e ⎰．分析被积函数中含有1x及ln x ，考虑凑微分．解 3412e e ⎰=34e 3412e e⎰=⎰=3412e e =6π．例24 计算40sin 1sin xdx xπ+⎰．解 40sin 1sin x dx xπ+⎰=420sin (1sin )1sin x x dx x π--⎰=244200sin tan cos xdx xdx x ππ-⎰⎰ =244200cos (sec 1)cos d xx dx xππ---⎰⎰ =44001[][tan ]cos x x x ππ--=24π-例26 计算0a ⎰，其中0a >．解法1 令sin x a t =，则a⎰2cos sin cos tdt t tπ=+⎰201(sin cos )(cos sin )2sin cos t t t t dt t tπ++-=+⎰ 201(sin cos )[1]2sin cos t t dt t tπ'+=++⎰ []201ln |sin cos |2t t t π=++=4π．注如果先计算不定积分，再利用牛顿-莱布尼兹公式求解,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．例27 计算ln 0⎰．分析被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．解设u 2ln(1)x u =+，221udx du u =+，则ln 0⎰=22220(1)241u u u du u u +⋅=++⎰22222200442244u u du du u u +-=++⎰⎰ 22201284du du u =-=+⎰⎰4π-．例29 计算30sin x xdx π⎰．分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解 30sin x xdx π⎰30(cos )xd x π=-⎰3300[(cos )](cos )x x x dx ππ=⋅---⎰30cos 6xdx ππ=-+⎰6π=-．例30 计算12ln(1)(3)x dx x +-⎰．分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-⎰=101ln(1)()3x d x+-⎰=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-⋅--+⎰ =101111ln 2()2413dx x x-++-⎰ 11ln 2ln324=-．例31 计算20sin x e xdx π⎰．分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解由于2sin xe xdx π⎰20sin xxde π=⎰2200[sin ]cos xx e x e xdx ππ=-⎰220cos x e e xdx ππ=-⎰，（1）而20cos xe xdx π⎰20cos xxde π=⎰220[cos ](sin )xx e x e x dx ππ=-⋅-⎰20sin 1x e xdx π=-⎰，（2）将（2）式代入（1）式可得20sin xe xdx π⎰220[sin 1]x e e xdx ππ=--⎰,故20sin xe xdx π⎰21(1)2e π=+．例32 计算10arcsin x xdx ⎰．分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解 10arcsin x xdx ⎰210arcsin ()2x xd =⎰221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =⋅-⎰21142π=-⎰．（1）令sin x t =，则21⎰220sin t π=⎰220sin cos cos ttdt tπ=⋅⎰220sin tdt π=⎰201cos 22t dt π-==⎰20sin 2[]24t t π-4π=．（2）将（2）式代入（1）式中得1arcsin x xdx =⎰8π．例33 设()f x 在[0,]π上具有二阶连续导数，()3f π'=且[()()]cos 2f x f x xdx π''+=⎰，求(0)f '．分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解由于0[()()]cos f x f x xdx π''+⎰00()sin cos ()f x d x xdf x ππ'=+⎰⎰[]000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππππ'''=-++⎰⎰()(0)2f f π''=--=．故 (0)f '=2()235f π'--=--=-．，例35（00研）设函数()f x 在[0,]π上连续，且()0f x dx π=⎰，0()cos 0f x xdx π=⎰．试证在(0,)π内至少存在两个不同的点12,ξξ使得12()()0f f ξξ==．分析本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数0()()xF x f t dt =⎰，找出()F x的三个零点，由已知条件易知(0)()0F F π==，0x =，x π=为()F x 的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明()f x 在(0,)π之间存在两个零点．证法1 令0()(),0xF x f t dt x π=≤≤⎰，则有(0)0,()0F F π==．又00()cos cos ()[cos ()]()sin f x xdx xdF x xF x F x xdx ππππ==+⎰⎰⎰()sin 0F x xdx π==⎰，由积分中值定理知，必有(0,)ξπ∈，使得()sin F x xdx π⎰=()sin (0)F ξξπ⋅-．故()sin 0F ξξ=．又当(0,),sin 0ξπξ∈≠，故必有()0F ξ=．于是在区间[0,],[,]ξξπ上对()F x 分别应用罗尔定理，知至少存在1(0,)ξξ∈，2(,)ξξπ∈，使得12()()0F F ξξ''==，即12()()0f f ξξ==．例36 计算243dxx x +∞++⎰．分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解 2043dx x x +∞++⎰=20lim 43t t dx x x →+∞++⎰=0111lim ()213t t dx x x →+∞-++⎰ =011lim [ln ]23t t x x →+∞++=111lim (ln ln )233t t t →+∞+-+ =ln 32．例37计算3+∞⎰．解3+∞⎰2233sec tan sec tan d ππθθθθθ+∞=⎰⎰23cos 1d ππθθ==⎰ 例38计算42⎰分析该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当32⎰43⎰均收敛时，原反常积分才是收敛的．解由于32⎰32lim aa +→⎰32lim aa +→⎰=32lim[arcsin(3)]aa x +→-=2π．43⎰=34lim bb -→⎰34lim bb -→⎰=34lim[arcsin(3)]b b x -→-=2π．所以42⎰22πππ=+=．例39计算0+∞⎰．分析此题为混合型反常积分，积分上限为+∞，下限0为被积函数的瑕点．解t =，则有+∞⎰＝50222(1)tdt t t +∞+⎰＝50222(1)dt t +∞+⎰，再令tan t θ=，于是可得 5022(1)dt t +∞+⎰＝25022tan (tan 1)d πθθ+⎰＝2250sec sec d πθθθ⎰＝230sec d πθθ⎰ ＝320cos d πθθ⎰＝220(1sin )cos d πθθθ-⎰ ＝220(1sin )sin d πθθ-⎰＝3/21[sin sin ]3πθθ-＝23．例40计算21⎰．解由于221114222222111()1112()d x x x dx dx x x x x x ---+-==+++-⎰⎰⎰，可令1t x x=-，则当2x =-时，2t =-；当0x -→时，t →+∞；当0x +→时，t →-∞；当1x =时，0t =；故有210142202211()()1112()2()d x d x x x dx x x x x x----=+++-+-⎰⎰⎰0222()22d t dt t t +∞--∞=+++⎰⎰ 21(arctan )2π=+ ．注有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．例41 求由曲线12y x =，3y x =，2y =，1y =所围成的图形的面积．分析若选x 为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以y 为积分变量．解选取y 为积分变量，其变化范围为[1,2]y ∈，则面积元素为dA =1|2|3y y dy -=1(2)3y y dy -．于是所求面积为211(2)3A y y dy =-⎰=52．例42 抛物线22y x =把圆228x y +=分成两部分，求这两部分面积之比．解抛物线22y x =与圆228x y +=的交点分别为(2,2)与(2,2)-，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分1A ，2A ，记它们的面积分别为1S ，2S ，则有1S =2222(8)2y y dy ---⎰=24488cos 3d ππθθ--⎰=423π+，218S A π=-=463π-，于是12S S =423463ππ+-=3292ππ+-．2x y =1y =3y x=o 1-3-321211-2-xy2y =图5－1342-2A 1A 12(2,2)-oxy22y x=228x y +=2-1-121-2-例43 求心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积．分析心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．解求得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的交点为(,)ρθ=3(,)23π±，由图形的对称性得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积为A =223203112[(1cos )(3cos )]22d d πππθθθθ++⎰⎰=54π．例44 求曲线ln y x =在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．分析要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式．解设所求切线与曲线ln y x =相切于点(,ln )c c ，则切线方程为1ln ()y c x c c-=-．又切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成的平面图形的面积为图5－4A =621[()ln ln ]x c c x dx c -+-⎰=44(1)4ln 46ln62ln 2c c-++-+．由于dA dc =2164c c-+=24(4)c c --，令0dA dc =，解得驻点4c =．当4c <时0dAdc<，而当4c >时0dA dc >．故当4c =时，A 取得极小值．由于驻点唯一．故当4c =时，A 取得最小值．此时切线方程为：11ln 44y x =-+．例45 求圆域222()x y b a +-≤（其中b a >）绕x 轴旋转而成的立体的体积．解如图5－5所示，选取x 为积分变量，得上半圆周的方程为222y b a x =+-，下半圆周的方程为221y b a x =--．则体积元素为dV=2221()y y dx ππ-=224b a x dx π-．于是所求旋转体的体积为 3πθ=3cos ρθ=3211-xoy121-1xo y23121-45673ln y x=2x =6x =(,ln )c c (0,)b o222()(0)x y b a b a +-=>>xy1cos ρθ=+11V=4a b π-⎰=08b π⎰=284a b ππ⋅=222a b π．注可考虑选取y 为积分变量，请读者自行完成．例46 过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D ．（1）求D 的面积A ；图5－6计算，如图5－6所示．解（1）设切点横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点00(,ln )x x 处的切线方程是0001ln ()y x x x x =+-．由该切线过原点知0ln 10x -=，从而0x e =，所以该切线的方程是1y x e=．从而D 的面积10()12y eA e ey dy =-=-⎰．例47 有一立体以抛物线22y x =与直线2x =所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图5－7所示．求其体积．解选x 为积分变量且[0,2]x ∈．过x 轴上坐标为x 的点作垂直于x轴的平面，与立体相截的截面为等边三角形，其底边长为()A x 2=．于是所求体积为 V =20()A x dx ⎰=20⎰=。

定积分练习题

定积分练习题一、基本概念题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$。

2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} (x^3 2x) \, dx$。

3. 设函数 $f(x) = x^2 3x + 2$，求 $\int_{1}^{3} f(x) \,dx$。

4. 已知函数 $g(x) = \sqrt{1 x^2}$，求 $\int_{1}^{1} g(x) \, dx$。

5. 计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。

二、定积分的性质题6. 利用定积分的性质，计算 $\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x) \,dx$。

7. 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$，求 $\int_{1}^{2}f(x) \, dx$。

8. 设 $f(x)$ 是奇函数，证明 $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$。

9. 已知 $\int_{0}^{1} (f(x) + g(x)) \, dx = 5$，$\int_{0}^{1} (f(x) g(x)) \, dx = 3$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 和 $\int_{0}^{1} g(x) \, dx$。

三、定积分的计算题10. 计算 $\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx$。

11. 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。

12. 计算 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$。

13. 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 x^2}} \, dx$。

14. 计算 $\int_{0}^{2} |x 1| \, dx$。

四、定积分的应用题15. 计算由曲线 $y = x^2$，直线 $x = 2$ 和 $y = 0$ 所围成的图形的面积。

定积分应用题附答案(可编辑修改word版)

⎩ y ⎨ ⎩ 2 《定积分的应用》复习题一．填空：1. 曲线 y = ln x , y = ln a , y = ln b (0 < a < b )及y 轴所围成的平面图形的面积为 A =ln be y dy =b-aln a2. 曲线y = x 2和y = x 所围成的平面图形的面积是 1 3二．计算题：1. 求由抛物线 y 2= 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。

解：（1）确定积分变量为 y ，解方程组⎧ y 2 = 2x ⎧x 1 = 1/ 2 ⎧ x 2 = 2 ⎨y = -2x + 2 得 ⎩ y 1 = 11 , ⎨ = -2 即抛物线与直线的交点为（，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线 y = 1 和 y 2= - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。

（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近 1 1似于高为［(１－ y ）- y 2 ］,底为 dy 的矩形面积，从而得到面积元素22 11dA = [(１－ y)-y 2 ]dy22(3)所求图形面积 A =1[（1- 11 y ）- y2 ]dy = [y - 1 y 2 – 1 y3 ]1 =9⎰ - 22246-242. 求抛物线 y = - x 2+ 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。

解：由 y = - x 2 + 4x – 3 得y ' = -2x + 4 , y '(0) = 4, y '(3) = -2 。

抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 3 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为（，3 ）。

2故面积 A =⎰⎰2=⎰2⎪ ⎰ ⎰ ⎰ =3 (1+ 2 c os + )d + 2 (1+ cos 2)d = 3392 [(4x - 3) - (x + 4x - 3)] dx +3 [(-2x + 6) - (x + 4x - 3)] dx = 023. 求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（ 0 ≤ t ≤ 2）与横轴所围成的图形的面积。

(完整word版)定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案例1 求33322321lim(2)n n n n n →∞+++．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ∆=，然后把2111n n n=⋅的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim(2)n n n n n →∞+++=333112lim ()n n n n nn →∞+++=13034xdx =⎰．例2 2202x x dx -⎰=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -⎰等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -⎰=2π．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t ππ-≤≤），则222x x dx -⎰=2221sin cos t tdt ππ--⎰=2221sin cos t tdt π-⎰=2202cos tdt π⎰=2π 例3 （1）若22()x t xf x e dt -=⎰，则()f x '=___；（2）若0()()xf x xf t dt =⎰，求()f x '=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-⎰．解（1）()f x '=422x x xe e ---；（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =⎰，则可得()f x '=0()()xf t dt xf x +⎰．例4 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=⎰，则(26)f =_________．解对等式310()x f t dt x -=⎰两边关于x 求导得32(1)31f x x -⋅=，故321(1)3f x x -=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =．例5 函数11()(3)(0)x F x dt x t =->⎰的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x'=-，令()0F x '<得13x >，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．例6 求0()(1)arctan xf x t tdt =-⎰的极值点．解由题意先求驻点．于是()f x '=(1)arctan x x -．令()f x '=0，得1x =，0x =．列表如下：故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=⎰，[1,1]x ∈-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n→∞．分析两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ''=．解由已知条件得2(0)(0)0t f g e dt -===⎰，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x -=''===-．故所求切线方程为y x =．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n→∞→∞-'=⋅==-．例8 求 22000sin lim(sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰；分析该极限属于型未定式，可用洛必达法则．解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰=2202(sin )lim (1)(sin )x x x x x x →-⋅⋅-=220()(2)lim sin x x x x →-⋅-=304(2)lim 1cos x x x→-⋅-x(,0)-∞0 (0,1)1 (1,)+∞()f x '-＋－=2012(2)lim sin x x x→-⋅=0．注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例9 试求正数a 与b ，使等式2201lim1sin x x t dt x b x a t→=-+⎰成立．分析易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则．解 20201lim sin x x t dt x b x a t →-+⎰=220lim 1cos x x a x b x →+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x→→⋅-+201lim 11cos x x b x a →==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x →-=，得1b =．又由2012lim 11cos x x x a a→==-，得4a =．即4a =，1b =为所求．例10 设sin 20()sin x f x t dt =⎰，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的（）．A ．等价无穷小．B ．同阶但非等价的无穷小．C ．高阶无穷小．D ．低阶无穷小．解法1 由于 22300()sin(sin )cos lim lim()34x x f x x xg x x x →→⋅=+ 2200cos sin(sin )lim lim34x x x x x x →→=⋅+ 22011lim 33x x x →==．故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到sin 223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+⎰，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f x g x x x x→→→-+-+===++．例11 计算21||x dx -⎰．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -⎰＝0210()x dx xdx --+⎰⎰＝220210[][]22x x --+＝52．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=⎰，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界.例12 设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+⎰，则()________f x =．分析本题只需要注意到定积分()baf x dx ⎰是常数（,a b 为常数）．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而10()f t dt ⎰是常数，记1()f t dt a =⎰，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==⎰⎰．所以2101[3]2x ax a+=，即132a a +=，从而14a =-，所以 3()4f x x =-．例13 计算2112211x x dx x-++-⎰．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解 2112211x x dx x-++-⎰=211112221111x x dx dx x x--++-+-⎰⎰．由于22211x x+-是偶函数，而211x x+-是奇函数，有112011xdx x-=+-⎰, 于是2112211x x dx x -++-⎰=2102411x dx x +-⎰=22120(11)4x x dx x--⎰=11200441dx x dx --⎰⎰ 由定积分的几何意义可知12014x dx π-=⎰, 故211122444411x x dx dx xππ-+=-⋅=-+-⎰⎰．例14 计算220()xd tf x t dt dx -⎰，其中()f x 连续．分析要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．解由于220()xtf x t dt -⎰=2221()2x f x t dt-⎰．故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以220()x tf x t dt -⎰=201()()2x f u du -⎰=201()2x f u du ⎰，故220()x d tf x t dt dx -⎰=201[()]2x d f u du dx ⎰=21()22f x x⋅=2()xf x ．错误解答220()x d tf x t dt dx -⎰22()(0)xf x x xf =-=．错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xad x f t dt f x dx 'Φ==⎰中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．例15 计算30sin x xdx π⎰．分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解30s i n x x d x π⎰30(c o s )x d x π=-⎰33[(c o s )](c o s )x x x d x ππ=⋅---⎰ 30cos 6xdx ππ=-+⎰326π=-．例16 计算120ln(1)(3)x dx x +-⎰．分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-⎰=101ln(1)()3x d x +-⎰=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-⋅--+⎰ =101111ln 2()2413dx x x-++-⎰11ln 2ln324=-．例17 计算20sin x e xdx π⎰．分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解由于2sin xe xdx π⎰20sin xxde π=⎰220[sin ]cos xx e x e xdx ππ=-⎰220cos x e e xdx ππ=-⎰，（1）而20cos xe xdx π⎰20cos xxde π=⎰220[cos ](sin )xx e x e x dx ππ=-⋅-⎰20sin 1x e xdx π=-⎰，（2）将（2）式代入（1）式可得20sin xe xdx π⎰220[sin 1]x e e xdx ππ=--⎰,故20sin xe xdx π⎰21(1)2e π=+．例18 计算1arcsin x xdx ⎰．分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解 10arcsin x xdx ⎰210arcsin ()2x xd =⎰221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =⋅-⎰21021421x dx x π=--⎰．（1）令sin x t =，则2121x dx x-⎰222sin sin 1sin td t tπ=-⎰220sin cos cos ttdt t π=⋅⎰220sin tdt π=⎰201cos22t dt π-==⎰20sin 2[]24t t π-4π=．（2）将（2）式代入（1）式中得1arcsin x xdx =⎰8π．例19设()f x [0,]π上具有二阶连续导数，()3f π'=且0[()()]cos 2f x f x xdx π''+=⎰，求(0)f '．分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解由于0[()()]cos f x f x xdx π''+⎰00()sin cos ()f x d x xdf x ππ'=+⎰⎰[]000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππππ'''=-++⎰⎰()(0)2f f π''=--=．故 (0)f '=2()235f π'--=--=-．例20 计算243dxx x +∞++⎰．分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解2043dx x x +∞++⎰=20lim 43t t dx x x →+∞++⎰=0111lim ()213t t dx x x →+∞-++⎰ =011lim [ln ]23t t x x →+∞++=111lim (ln ln )233t t t →+∞+-+ =ln 32．。

定积分练习题(含答案)

2
π
π
P =∫
π
2
( x 2 sin 3 x cos 4 x ) dx ,则有 ( 则有 π
2
).
(A) N < P < M (C ) N < M < P
(B ) M < P < N (D) P < M < N
答案: 答案 D.
π
2
因为根据奇偶函数的性质有因为根据奇偶函数的性质有: 奇偶函数的性质
( D) 4
答案: 答案 C .
1 1 因为平均值因为平均值 2 = ∫ 1 f ( x )dx 1 ( 1)
则
∫
1 1
f ( x )dx = 4
2
d x sin t 2dt =( ). 3. dx ∫ a 2 2 ( A ) sin x sin a 2 ( C ) sin x
答案: 答案 C .
( B ) a f (a )
2
(C ) 0
( D ) 不存在
答案: 答案 B.
因为
lim
x→ a →
∫
x a
f ( t )dt
xa
f ( x) = lim = f (a ) x →a 1
2 所以 lim F ( x ) ＝ a f ( a ) .
x →a
8
9.
1 cos x ( A) 1 (B) 2
π
.
∫
1
0
1 + cos πx dx =
2
∫
1 0
2 cos
π x
2
dx
17
=( 2
π
sin
πx
2
1
) =

（完整版）定积分习题及答案

第五章定积分(A 层次)1．203cos sin xdx x ；2．a dx x ax222；3．31221xxdx ；4．1145x xdx ；5．411xdx ；6．14311xdx ；7．21ln 1e xx dx ；8．02222xxdx ；9．dx x 02cos 1；10．dx x x sin 4；11．dx x 224cos 4；12．55242312sin dx xxx x ；13．342sin dx xx ；14．41ln dx xx ；15．1xarctgxdx ；16．202cosxdx e x ；17．dx x x 02sin ；18．dx x e 1ln sin ；19．243cos cos dx x x ；20．40sin 1sin dx x x ；21．dx xxx 02cos 1sin ；22．2111lndx xx x ；23．dx xx 4211；24．20sin ln xdx ；25．211dx xxdx0。

(B 层次)1．求由0cos 0x y ttdtdte 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。

2．当x 为何值时，函数x tdt tex I 02有极值？3．x xdt t dxd cos sin 2cos 。

4．设1,211,12xx x x xf ，求20dx x f 。

5．1lim22xdtarctgt xx 。

6．设其它,00,sin 21xx xf ，求x dt t f x。

7．设时当时当0,110,11xex xxf x，求201dx xf 。

8．2221limnn nnn。

9．求nk nknknnen e 12lim 。

10．设x f 是连续函数，且12dt t f x x f ，求x f 。

11．若2ln 261xtedt ，求x 。

12．证明：212121222dxeex。

13．已知axxx dx ex axa x 224lim，求常数a 。

(完整版)定积分测试题及答案.doc

定积分测试题及答案班级：姓名：分数：一、选择题：（每小题 5 分）1 1-x 2dx （）1.A.0B.1C.D 42(2010 ·山东日照模考 )a ＝ 2xdx ，b ＝ 2e xdx ，c ＝2sinxdx ，则 a 、b 、c的大小关系是 ()A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b3.(2010 山·东理，由曲线y ＝ 2，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为 ()7) x1 11 7 A. 12B.4C.3D.124．由三条直线 x ＝0、x ＝2、y ＝0 和曲线 y ＝ x 3所围成的图形的面积为()418A ．4B.3C. 5D ．65.(2010 湖·南师大附中 )设点 P 在曲线 y ＝ x 2 上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线 OP ，直线 y ＝x 2 及直线 x ＝2 所围成的面积分别记作 S 1，S 2.如图所示，当 S 1＝S 2 时，点 P 的坐标是 ()4 164 16 4 15 4 13 A.3，9B.5，9C.3，7D.5，76．(2010 ·湖南省考试院调研 )1 -1(sinx ＋1)dx 的值为 ( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos17．曲线 y ＝cosx(0≤x ≤2π)与直线 y ＝1 所围成的图形面积是 ()3πA ．2πB ． 3πC. 2D ．π8．函数 F(x)＝ xt(t －4)dt 在[－1,5]上 ()A ．有最大值 0，无最小值B ．有最大值 0 和最小值－ 32332C ．有最小值－ 3 ，无最大值D．既无最大值也无最小值S n ＝2n 2＋n ，函数 f(x)＝ x1 9．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和 t dt ，若13，则 x 的取值范围是 ()f(x)<a3－A. 6 ，＋∞B ．(0，e 21)C ．(e 11，e)D ．(0，e 11)10．(2010 ·福建厦门一中 )如图所示，在一个长为 π，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y ＝sinx(0≤x ≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC 内随机投一点 (该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的 )，则所投的点落在阴影部分的概率是 ()123πA. D.4．·吉林质检函数x ＋2 －2≤x<0的图象与 x 轴所围 ) f(x) ＝π 11 (20102cosx 0≤x ≤2成的图形面积 S 为()31A. 2B ．1C ．4D.212．(2010 ·吉林省调研 )已知正方形四个顶点分别为 O(0,0)，A(1,0)， B(1,1)，C(0,1)，曲线 y ＝x 2(x ≥0)与 x 轴，直线 x ＝1 构成区域 M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域 M 内的概率是 () 11 1 2A. 2B. 4C.3D.5二、填空题：（每小题 5 分）13.sinxdx= ______________14.物体在力 F(x)=3x+4 的作用下，沿着与 F 相同的方向，从 x=0 处运动到 x=4 处，力 F 所做的功为 ______________21x )dx15. (x______________116. 1e x )dx(e x ______________17.(2010 芜·湖十二中 )已知函数 f(x)＝3x 2 1＋2x ＋1，若 -1 f(x)dx ＝2f(a)成立，则 a ＝________.18．(2010 ·安徽合肥质检 )抛物线 y2＝ax(a>0)与直线 x＝1 围成的封闭4图形的面积为3，若直线 l 与抛物线相切且平行于直线2x－y＋6＝0，则 l 的方程为 ______．19．(2010 ·福建福州市 )已知函数 f(x)＝－ x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与 x 轴在原点处相切，且 x 轴与函数图象所围成区域 (图1中阴影部分 )的面积为12，则 a 的值为 ________．20．如图所示，在区间 [0,1] 上给定曲线 y＝x2，试在此区间内确定 t 的值，使图中阴影部分的面积 S1＋S2最小为 ________．答案1.D 2D 3A 4A 5A 6B 7A 8B 9D 10A 11C 12 C 13.2 14.40 15 23 + ln 2 16.e- 1e 17.-1 或31 18.16x-8y+1=0 19.-1 20. 41。

定积分例题

定积分例题“定积分”是数学中非常重要的概念，它有着极强的实用价值。

定积分关于求解复杂函数的积分问题具有重要的意义，因此研究它所背后的科学原理是十分有必要的。

此外，理解定积分的知识点也是有可能出现在考试中的数学科目重要的一部分。

本章将以几道定积分的例题来讲解它的性质和原理。

（一）例题1：计算下列定积分：∫0πsin xdx解：该定积分是典型的定积分，由于函数可以写成原函数的积分，积分区间为[0,π]，因此可以根据定积分的定义来求解，即∫0πsin xdx =cosπ+cos0=cosπ（二）例题2：计算下列定积分：∫2π^2cos^4x dx解：该定积分是一类特殊的定积分，具体来说，它是多项式函数的积分，由于函数可以写成原函数的积分，积分区间为[2,π^2]，因此可以用定积分的定义来求解，即∫2π^2cos^4x dx = 1/5 [cos^5(2π^2)cos^5(2)]（三）例题3：计算下列定积分：∫lnxsinx dx解：该定积分是单变量函数的积分，由于函数可以写成原函数的积分，积分区间为[0,+∞]，结合高斯积分公式，可以求解，即∫lnxsinx dx =[ln(tanx)+lnx+x]/2（四）例题4：计算下列定积分：∫atanxdx解：该定积分是多项式函数的积分，由于函数可以写成原函数的积分，积分区间为[0,+∞]，因此可以根据定积分的定义来求解，即∫atanxdx = xatanx1/2 ln(x^2+1)第二章积分的性质和原理（一）定积分的性质1．定积分的性质：在某一区间上连续可导的函数的积分，称为定积分2．定积分的计算公式：定积分的一般计算公式如下：∫f(x)dx=F(b)F(a)，其中F(x)表示原函数f(x)的积分，a, b为积分区间。

3．定积分的应用：定积分可以用来求解复杂函数的积分问题，例如求解积分在一定区间的定积分，求解不可导的函数的积分等。

此外，定积分也可以用来解决一些几何上的问题，例如求得曲线的面积，求得曲线两端点之间的距离等。

定积分习题及答案

定积分习题及答案定积分习题及答案定积分是微积分中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

掌握定积分的计算方法和应用是学习微积分的关键。

在本文中，我们将介绍一些常见的定积分习题，并给出详细的解答。

1. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。

解答：根据定积分的定义，我们可以先求出x^2的不定积分，然后再进行定积分的计算。

x^2的不定积分为(1/3)x^3，所以∫(0 to 1) x^2 dx = (1/3)x^3 |(0 to1) = (1/3)(1^3 - 0^3) = 1/3。

2. 计算定积分∫(1 to 2) (2x + 1) dx。

解答：根据定积分的性质，我们可以将定积分拆分为两个部分：∫(1 to 2) 2x dx + ∫(1 to 2) 1 dx。

第一个部分的不定积分为x^2，第二个部分的不定积分为x。

所以∫(1 to 2) (2x + 1) dx = (x^2) |(1 to 2) + (x) |(1 to 2) = (2^2 - 1^2) + (2 - 1)= 4 - 1 + 1 = 4。

3. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。

解答：sin(x)的不定积分为-cos(x)，所以∫(0 to π) sin(x) dx = (-cos(x)) |(0 to π) = -cos(π) - (-cos(0)) = 1 - (-1) = 2。

4. 计算定积分∫(0 to 1) e^x dx。

解答：e^x的不定积分为e^x，所以∫(0 to 1) e^x dx = (e^x) |(0 to 1) = e^1 -e^0 = e - 1。

5. 计算定积分∫(0 to 2π) cos(x) dx。

解答：cos(x)的不定积分为sin(x)，所以∫(0 to 2π) cos(x) dx = (sin(x)) |(0 to 2π)= sin(2π) - sin(0) = 0。

经济数学(定积分习题及答案)

第六章定积分习题 6－11.利用定积分的定义，计算由抛物线2y x =、直线x = a , x = b 及x 轴所围的图形的面积(0)S a b ≤≤.解将区间[],a b n 等分，则每个小区间的长均为i b ax n -∆=于是第i 个小区间为 (1),b a b a a i a i n n --⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦,取小区间的右端点为i ξ，即ib a a i n ξ-=+，则2()()(1,2,,)i b a f a i i n n ξ-=+=因为222211()()()(2)nnn i i i i a b a b a b aS f x a i i n n n ξ==---=∆=++∑∑ 2222111()2n n ni i i b a b a b a a a i i n n n ===⎡⎤---=++⎢⎥⎣⎦∑∑∑222(1)()(1)(21)226n n b a n n n b a b a na a n n n ⎡⎤+-++--=++⎢⎥⎣⎦222()(1)()(1)(21)()6a b a n b a n n b a a n n ⎡⎤-+-++=-++⎢⎥⎣⎦ 而222()(1)()(1)(21)lim ()6lim n n n a b a n b a n S n b a a n n →∞→∞⎡⎤-+-++=-++⎢⎣=⎥⎦()22()()3b a b a a a b a ⎡⎤-=-+-+⎢⎥⎣⎦223311()()()33b a a ab b b a =-++=-所以 2331d ().3b a x x b a =-⎰2.利用定积分的定义，计算下列积分：(1)1d x x⎰ (2)10d x e x ⎰解 (1) 将区间[]0,1n 等分，则每个小区间的长均为1i x n ∆=，于是第i 个小区间为1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 取小区间的右端点i x 为i ξ，即i i n ξ=，则()(1,2,,)i i f i n n ξ== 因为()11221()1112nn i i i nni i n n S f x i i n n n n ξ===+⋅=∆=∑∑∑ = ＝两端取极限，得2(1)1li l 22m m i n n n n n n S →→∞∞+== 所以11d 2x x =⎰.(2) 将区间[]0,1n 等分，则每个小区间的长均为1i x n ∆=，于是第i 个小区间为1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 取小区间的右端点i x 为i ξ，即iin ξ=，则 ()(1,2,,)i n i f e i n ξ==因为111112111(()()())nn i i i n n n n n n i i e e e e n S f x n ξ==⎡⎤===+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦∆∑∑111(1)1nn e e n e -=-两端取极限，得1111(1)(1l )1lim lim111imnnn n n nn ne e e e S e ne e n∞→∞→→∞--===---所以 10d 1x e x e =-⎰.2.利用定积分的几何意义，说明下列等式：(1)4π=⎰ (2)⎰-232cos ππx d x = 0(3)22sin 0xdx ππ-=⎰ (4)⎰-22cos ππxd x =2⎰20cos πxd x解 (1) 因为单位圆221x y +=在第一象限的方程为y =所以根据定积分的几何意义知0x⎰为单位园在第一象限的面积.故4x π=⎰.(2) 因为当322x ππ-≤≤时，曲线cos y x =在x 轴的上方和下方的曲边梯形的面积相等.所以根据定积分的几何意义知，322cos d 0x x ππ-=⎰.(3) 因为当22x ππ-≤≤时，函数sin y x =在x 轴上方和下方的曲边梯形的面积相等，所以根据定积分的几何意义知，22sin d 0x x ππ-=⎰.(4) 因为 cos y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为偶函数，其图形关于y 轴对称且都在x轴的上方，所以根据定积分的几何意义知，222cos d2cos dx x x x πππ-=⎰⎰.4.将下列极限表示成定积分：(1)2111 lim()14n n n n nn n n →∞++++++(2)1 lim n n →∞解（1）因为211114nn n nn n n++++++222211111121()1()1() 111()ninnn n ninn=⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦=+∑所以21lim)(1114n nn n nn n n→∞++++++1221111lim d11()nnixi n xn→∞===++∑⎰.（2）令1yn=[]1ln ln(1)ln(2)ln(2)lny n n n n n=⋅+++++-[] 1ln(1)ln(2)ln(2)lnn n n n n n=⋅+++++-112ln(1)ln(1)ln(1)nn n n n⎡⎤=⋅++++++⎢⎥⎣⎦111ln(1)nin n==+⋅∑因为lim lnny→∞＝11lim ln(1)nniin n→∞=+⋅∑＝1ln(1)dx x+⎰而yey ln=，所以1lim ln ln(1)dlim ny x xny e e→∞+→∞⎰==.习题6－2 1.确定下列定积分的符号：(1)21ln d x x x⎰ (2)4401cos d 2xx π-⎰(3)10sin cos d cos sin x x x x x x x -+⎰ (4)11||d x x-⎰解 (1) 因为被积函数()ln f x x x =在[1,2]上连续，且()0f x ≥，但()f x 不恒等于0，所以由性质6知,21ln d 0.x x x >⎰(2) 因为被积函数41cos ()2x f x -=在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，且()0f x ≥，但()f x 不恒等于0，所以由性质6知, 4401cos d 0.2x x π->⎰(3) 因为被积函数sin cos ()cos sin x x x f x x x x -=+在[]0,1上连续，且()0f x ≤，但()f x 不恒等于0，所以由性质6知, 10sin cos d 0.cos sin x x xx x x x -<+⎰(4) 因为被积函数()||f x x =在[-1,1]上连续，且()0f x ≥，但()f x 不恒等于0，所以由性质6知 11||d 0.x x ->⎰2.不计算定积分，比较下列各组定积分值的大小.(1)120d x x⎰与130d x x⎰ (2)320d x x⎰与330d x x ⎰(3)21ln d x x⎰与221ln d x x⎰ (4)43ln d x x⎰与423ln d x x⎰解 (1) 因为在[]0,1上，232(1)0x x x x -=-≥，即 23x x ≥ 所以 11230d d .x x x x ≥⎰⎰(2) 因为在[]1,3上，232(1)0x x x x -=-≤，即 23x x ≤所以 1123d d x x x x≤⎰⎰.(3) 因为在[]1,2上，20ln 1,ln ln ln (1ln )0x x x x x ≤<-=-≥即 2ln ln x x ≥所以 22211ln d ln d .x x x x ≥⎰⎰(4)因为在[3,4]上，1ln x <，()2ln ln ln 1ln 0x x x x -=-< 即 2ln ln x x <所以 44233ln d ln d .x x x x <⎰⎰3.估计下列积分值： (1)()4211d xx+⎰ (2)()52441sin d x x ππ+⎰(3)arctan d x x(4)202d x xe x -⎰解 (1) 因为被积函数2()1f x x =+在区间[]1,4上单调递增,所以在区间[]1,4上有22117x ≤+≤，14x ≤≤即故由定积分的估值定理，得()42161d 51xx ≤+≤⎰(2) 设被积函数()21sin f x x =+，则由()'sin20f x x ==，得驻点为 12,2x x ππ==.且()3532,1,,24242f f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 211sin 2x ≤+≤故由定积分的估值定理，得()52441s i n d 2x x ππππ≤+≤⎰.(3) 设被积函数()arctan f x x x =，x ∈⎣ 因为'2()a r c t a n 01x f x x x =+>+，则()f x在⎣上单调递增，所以当x ∈⎣时，arctan f x x f ≤≤即arctan x x ≤故由定积分的估值定理，得2a r c t a n d.93x x ππ≤≤(4) 因为22022d d x x xxe x e x--=-⎰⎰，设被积函数2()x xf x e-=，[]0,2x ∈令()2'()210x xf x x e-=-=，得驻点为1411,(),(0)1,22x f e f -===且2(2)f e =，所以当[]0,2x ∈时， 2124xxee e --≤≤ 故由定积分的估值定理，得 212242d 2xxee x e --≤≤⎰即2102422d 2.x x e e x e---≤≤-⎰4.证明下列不等式：(1)2x π≤≤(2) 1126x π≤≤⎰证（1）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦而 20cos 1x ≤≤所以10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 故由定积分的估值定理，得2x π≤≤（2）令()f x =()f x 在[]0,1上连续，且'()f x =令'()0f x =，得驻点23x =，且12(0)(1),()23f f f ===所以1[0,1]2x ∈故由定积分的估值定理，得1126x π≤⎰5.求下列极限：（1）10limd 1n xxn x e xe →∞+⎰（2）120lim d 1nn xxx→∞+⎰解 (1) 设被积函数()1n xx x e f x e =+，则[]()0,1f x 在上连续，由积分中值定理知，在区间（0，1）内，至少存在一点ξ，使得10d (0,1)11n x n x x e e x e e ξξξξ=∈++⎰ 故 10lim lim 01d 1n x n x n n x e e x e e ξξξ→∞→∞==++⎰.(2) 设被积函数1()1,()0,12n x f x f x x ⎡⎤=≤⎢⎥+⎣⎦则在上连续，由积分中值定理知，在区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，至少存在一点ξ，使得1201d (0,)112n n x x x ξξξ=∈++⎰故120d l 1im lim 01n n n nx x x ξξ→∞→∞=++=⎰.6*. 设f (x ), g (x )在[a ,b ]上连续，求证：(1) 若在[a , b ]上，f (x )≥0且()d baf x x⎰=0，则在[a , b ]上, f (x )≡0;(2) (2) 若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ) 且()d ()d bbaaf x xg x x=⎰⎰，则在[a , b ]上，必有 f (x )≡ g (x )解（1）用反证法.若)(x f 不恒等于为零，则至少存在一点] ,[0b a x ∈，使得)(0x f 0≠.不妨假设)(0x f ＞0，且) ,(0b a x ∈，则由)(x f 在]b , [a 的连续性知，0lim ()()0x x f x f x →=>，根据定理 2.3得推论2知，在点0x 的某个邻域内，就必有0)(21)(0>>x f x f .于是由性质4，得0000()d ()d ()d ()d bx x baax x f x x f x x f x x f x xδδδδ-+-+=++⎰⎰⎰⎰0000001()d ()d ()02x x x x f x x f x x f x δδδδδ++--≥>⋅=⋅>⎰⎰由此与已知⎰=bax x f 0d )(矛盾，反证法之假设不成立，即()0f x ≡.（2）令)()()(x f x g x F -=，则在]b , [a 上就必有0)(≥x F ，且d )(=⎰x x F ba.由（1）的结论可知，在]b , [a 上就必有0)(≡x F ，即)()(x g x f ≡.7*. 设f (x )在区间[a , b ]上连续，g(x)在区间[a , b ]上连续且不变号，求证至少存在一点ξ∈(a , b)，使得⎰⎰=ba b a x x g f x x g x f d )()(d )()(ξ.证因为)(x f 在]b , [a 上连续，必有最大值M 和最小值m ，所以 ] , [b a x ∈∀，有()m f x M ≤≤.设0)(>x g ，则有 )()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤由定积分的性质5，得⎰⎰⎰≤≤bababaxx g M x x g x f x x g m d )(d )()(d )(于是，有Mxx g xx g x f m baba≤≤⎰⎰d )(d )()(又由介值定理知，在( , )a b 内，必存在一点ξ，使得()()d ()()d baba f x g x xf g x xξ=⎰⎰故⎰⎰=b abaxx g f x x g x f d )()(d )()(ξ (,)a b ξ∈.习题 6－31. 1. 已知函数sin d xy t t=⎰，求当x = 0及4x π=时, 此函数的导数.解因为'sin d )'si (n xy x x x==⎰所以 00'|sin |sin 00x x y x =====44'|sin |sin4x x y x πππ====2. 2. 求由00d cos d 0y xt e t t t +=⎰⎰决定的隐函数y （x ）对x 的导数. 解将方程两边对x 求导并注意到y 为x 得函数，得'cos 0y e y x ⋅+=解出'y ，得 'c o s yy e x -=-.3. 3. 当x 为何值时，2()d x t I x te t-=⎰有极值？此极值是极大值还是极小值？解由2'()0xI x xe -==，得驻点0x =，而当0x <时，'()0I x <，当0x >时，'()0I x >所以，当0x =时，()I x 有极值，此极值是极小值(0)0I =.4. 4. 计算下列导数：(1)20d d x t x ⎰(2)32d d x x t x ⎰202d (3)cos d d x t t t x ⎰解(1) 22'0d ()2d xt x x ==⎰323'2'd (2))()d x x t x x x =-⎰2=20224234d (3)cos d cos ()'2cos .d x t t t x x x x x x =-⋅=-⎰5. 5. 计算下列定积分：(1) 2214()d x t x x ++⎰(2) 220()d x a x +(3) 1⎰ (4) 42021331d 1x x xx -+++⎰(5)52032d x x x-+⎰ (6)101d x x -⎰| (7)(1)d xt t t-⎰ (8)d ()bax x a b <⎰(9) 21(1)()1(1)2x x f x xx ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩, 求20()d f x x ⎰.解 (1)23221147()d (4ln )4ln 233x x t x x tx tx ++=++=++⎰.00222d()d 11(2)1 1 (().033)x x a a x x a aa aa ππ===-=++(3) 1110012d()11arcsin 222x xπ===⎰⎰.420222113013311(4)d (3)d 11(arctan )| 1.4x x x x xx x x x π---++=+++=+=+⎰⎰(5) 因为被积函数22232,01,2532(32),12x x x x x x x x x ⎧-+≤≤≤≤⎪-+=⎨--+<<⎪⎩或所以122201520(32)32d (32d d )x x x x x x xx x =-+--++-⎰⎰⎰5221(32)d 14.2x x x +-+=⎰ (6) 因为在本题中，变量为x 且01x ≤≤，t 为参数，但是可以取任意实数，即本题结果应为t 的函数. 所以设1()d I t x t x=-⎰，则当0t ≤时，得111()d ()d 2I t x t x x t x t =-=-=-⎰⎰当01t <<时, 得11201()d ()d ()d 2ttI t x t x t x x x t x t t =-=-+-=-+⎰⎰⎰当1t ≥时, 得111()d ()d 2I t x t x t x x t =-=-=-⎰⎰故 21, 021(), 0121, 12t t I t t t t t t ⎧-≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩.(7) 因为被积函数(1), 0(1)(1),01(1), 1t t t t t t t t t t t -≤⎧⎪-=--<≤⎨⎪-≥⎩，且x 为参数可取一切实数，所以应分下列情况讨论：当0x ≤时，有320()(1)d 32xx x I x t t t =-=-⎰当01x <<时，有320()(1)d 32xx x I x t t t =-=-+⎰ 当1x ≥时，有320111()(1)d (1)d 323xx x I x t t t t t t =-+-=-+⎰⎰故 323232,032(),01321,1323x x x x x I x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩.(8) 令被积函数0x =,得0x =，按数0在区间[],a b 的不同位置状况，可分为下列几种情况：① 当0a b <<时，得221d d ()2b b a a I x x x x b a ==-=--⎰⎰② 当0a b <<时，得02201d d ()2b a I x x x x b a =-+=+⎰⎰ ③ 当0a b <<时，得221d ()2b a I x x b a ==-⎰故综上所述，有2222221(), 021(), 21(), 002bab a a b b a b a I x dx a bb a --<<+⎧⎪⎪⎪==<<⎨⎪-<<⎪⎪⎩⎰.(9) 因为21(1)()1(1)2x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩所以 212120101208()d ()d (1)d ()d 23d f x x f x x f x x x x x x +=++==⎰⎰⎰⎰⎰.6. 6. 求下列极限：(1)001lim (1sin 2)d xx t tx →+⎰(2) 2001lim arctan d x x t t x →⎰(3)22limcos d x x x t t → (4)* 2220lim d xx t x e t e t x-→∞⎰解 (1) 0001lim(1sin lim(1sin 2) 1.2)d xx x t x t x →→+==+⎰(2)202000arctan 1lim arc 21lim lim 222(1tan )d x x x x x x x t t x →→→==+=⎰.(3)2222400cos dlim4cos0d.xx xxxtxtxt t→→→===222222222222dlim lim(12)1(4)lim dlim.2(12)x txx xx xtx x xxt e t x exe e xxxet e tx-*→→∞→∞→∞∞=+==+=⎰⎰7*. 设23,[0,1)(),[1,2]x xf xx x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，求()()dxx f t tΦ=⎰在[0，2]的表达式，并讨论Φ(x)在[0, 2]上的连续性与可导性.解因为当10<≤x时，⎰==Φxxttx323d)(当21≤≤x时，4123011()d d124x xx t t t tΦ=+=+⎰⎰所以)(xΦ的表达式为34, 013()1, 12412xxxxx⎧≤<⎪⎪Φ=⎨⎪+≤≤⎪⎩又因为)(xf在区间)1,0[与]2,1(上为初等函数，显然为连续函数.2311111lim()lim1,lim()lim1lim()1x x x xxf x x f x xf x--++→→→→→=====而即由1lim()(1)1xf x f→==知，)(xf在1=x处连续. 所以)(xf在区间]2,0[上连续. 故由定理6.5知，函数)(xΦ在区间]2,0[上可导.8*.设f(x)在[a, b]上可积，求证：当x∈(a, b)时，Φ(x)=0()dxf t t⎰在[a, b]上连续(提示: 注意可积函数的有界性).证因为设对任意的x, x x+∆∈(a, b)时,有()()()()d()d()dx x x x xa a xx x x x f t t f t t f t t+∆+∆Φ=Φ+∆-Φ=-=⎰⎰⎰又由f(x)在[a, b]上可积知,存在常数M>0, 使得()f x M≤所以()()d dx x x xx xx f t t M t M x+∆+∆∆Φ=≤≤∆⎰⎰而00lim0,lim()0x xx x∆→∆→∆=∆Φ=则故()xΦ在[a, b] 上任意一点x处连续, 即()xΦ在[a, b]上连续.习题6－41. 计算下列定积分：(1)30(1sin )d x xπ-⎰(2) 1x(3)x(4)2120d t tet-⎰(5)21ex⎰ (6)22cos cos 2d x x x ππ-⎰(7)22xππ-⎰(8)xπ⎰解 (1) 330(1sin )d d sin d x x x x xπππ-=-⎰⎰⎰20d (1cos )d cos x x xππ=+-⎰⎰3014(cos cos )33x x x ππ=+-=-12242222224422244cos (2)sin d sin sin cos 1sin d d sin sin 1 d d 1.4sin t x x t txtt t t tt tt t tπππππππππππ=-===-=-⎰⎰⎰⎰⎰令202201(3)21 13).()2x x a a x =-==--(4)222120112122200d()1.2d t t t te e t e et ------=-=-=⎰⎰2221211121(5)(1ln )d(1ln )2(1ln)1).e e e x x x x -=++=+=⎰⎰22202222032200(6)cos cos 2d 2(12sin )d sin 2d sin 4sin d sin 42 2sinsin .33x x x x xx x xx x πππππππ-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰22(7)2x xππ-=⎰11222203222sin(cos )d 2(cos )d cos 24 2(cos ).33x x xx x x πππ==-=-⋅=⎰⎰2202(8)d d d x x xx x x xxx πππππππ==-=-=⎰⎰⎰2. 2. 利用函数的奇偶性计算下列定积分：(1)sin d x x ππ-⎰ (2)422sin d x xππ-⎰(3)12x⎰(4)323423tan d 21x xx x x -++⎰解（1）因为sin x 在[],ππ-上为奇函数，所以sin d 0x x ππ-=⎰.（2）因为4sin x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是偶函数，所以 22202422222000122111 sin 21cos 2sin d ()d (12cos 2cos 2)d 21cos 4d 2113 sin 4.4422826212x x x x x x x xx x x πππππππππππ---++===⋅-=⋅++⋅+⋅=⎰⎰⎰⎰（3）因为221)(arcsin x x -在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是偶函数，所以1122202x x=⎰⎰11323220022(arcsin )d(arcsin )(arcsin )|.3324x x x π===⎰（4）因为3242tan 21x x x x ++在[]3,3-上是奇函数，所以323423tan d 021x xx x x -=++⎰.3. 证明下列各题：(1) 1122111d d 11x x t tt t =++⎰⎰(2)11(1)d (1)d mn n m x x x x x x-=-⎰⎰(3) 20sin d 2sin d nn x x x x ππ=⎰⎰证 (1) 令211,d d t t y y y ==-，则11112222111d d 1d d 1111xxxx y y t t ty yt =-===++++⎰⎰⎰⎰左端 = 右端.10111(1)d 1(1)d (1)d (1)d m n m n n m n m x x x x u u u uu u u x x x =-=---=-=-=⎰⎰⎰⎰(2)左端令右端.2022202(3)sin d sin ()d()222cos d 2cos d n n nn x x x u u u u u u uπππππππππ--==+++==⎰⎰⎰⎰左端令2022sin d 2sin d 2nn u y y y x x πππ===--⎰⎰令右端.4.* 设()f x 在[0,1]上连续且单调减少，求证：对任给()0,1α∈，均有1()d ()d f x x f x xαα>⎰⎰证由于1()d ()d f x x x t f t tαααα=⎰⎰令, 则当01,0t α<<<<时，01,0t t t αα<<<<<且又由已知()f x 在[0,1]上单调减少，所以()()f x f x α≥于是11()d ()d ()d f x t f t t f t tαααα=>⎰⎰⎰即 10()()f x dx f x dxαα>⎰⎰.5. 5. 计算下列积分：(1)1d x xe x -⎰ (2)1ln d ex x x⎰(3)41x⎰ (4)1arctan d x x x⎰ (5) 220cos d x e x x π⎰ (6)2(sin )d x x xπ⎰ (7)1ln d e ex x⎰(8)1(1)3d xx x-⎰(9)21cos ln d e x x xπ⎰解 (1)1111100002d d 1.x x x x xe x xe e x e e e -----=-+=--=-⎰⎰(2)22221111111ln d (1).2224l 4n d eee ex e x x x x x x e x -==-=+⎰⎰(3)44112ln x x =⎰⎰411422112ln 2d 8ln 244(2ln 21)x x x x-=-=-=-⎰.221011020101arctan |d 221111 ( 4)arcta (arctan ).24d 22n 4x x x x x x xx x x ππ-+=⋅--=-=⎰⎰222222022220220sin 2sin d 2cos 4cos d 24(5)c c s o o s d d xxx xx x exe x xe exe x xe e x x xex ππππππππ-=-=+=--⎰⎰⎰⎰移项解得 22c o sd 1(2)5.xe x x e ππ=-⎰22003203230301 si 1(6)(sin n 2642)d (1cos 2)d 21 cos 2d 62si 1 co n s 2.644642d cos 2d x x x x x xx x x x x x x x x x x x xππππππππππππ=-+=-+=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰ (7) 令 ln 0x =，则1x =1111111111ln d ln d ln d 1 ln d ln |d 2(1).eeeee eeex x x x x xx x x x x x e =-+=-++-=-⎰⎰⎰⎰⎰111101221(8)(1)3d (1)3ln 3(1)1 33ln 3ln 311ln 32 3.ln 3(ln 3)ln 3x x xxxx x x d x dx -=--=--=-=⎰⎰⎰222211121(cos(ln)|sin(ln )d9)cos ln 1cos(ln d d )e e e e x x x x x xe x xπππππ+=--=⎰⎰⎰移项解得 212co 1(1s ln d ).2e x x e x ππ=-⎰6. 已知20cos d (2)x x x π+⎰= m , 求20sin cos d 1x x x x π+⎰.解2200sin cos sin 2d d 2122x x x x x t x x x ππ==++⎰⎰01sin d 22t t t π+⎰ 02011d(cos )221cos 1cos 111d ().0222222(2)t t t t t m t t ππππ=-+=-⋅+=+-+++⎰⎰ 7. 设2(2),()d .xyba bf x a xe f t t ++=⎰求解设2t x a =+，则222222()d 2(2) d 2d 2d (2).y a y a x b b x y a y a yb a b bbx y a b bf t t f x a x x e xxbe b e x b y a b e b ----+-=+=⋅⎡⎤=⋅-=--⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰8. 设1(2)2f =，'(2)0f =，20()d 1f x x =⎰，求12''0(2)d x f x x⎰. 解 201''2011(2 d )d (2)2x f x x f x x '=⎰⎰习题 6－51. 利用定义判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，试计算其值.(1)411d x x +∞⎰ (2)2d 22xx x +∞-∞++⎰(3)0d axe x +∞⎰(4)0(1)d a x x+∞+⎰(5)21x⎰(6)1e⎰(7)220d (1)x x -⎰(8)2()d (0)aax a xa α->⎰解（1）344111111d limd lim ()3ttt t x x x xx +∞-→+∞→+∞==-⎰⎰3111lim ().333t t -→+∞=-+=（2）02220d d d 222222x x xx x x x x x +∞+∞-∞-∞=+++++++⎰⎰⎰02200220d d lim lim 2222d(1)d(1)lim lim .1(1)1(1)t t t t t t t t x x x x x x x x x x π→-∞→+∞→-∞→+∞=+++++++=+=++++⎰⎰⎰⎰（3）当a < 0时， 01lim d t ax t e x a →+∞=-⎰,所以广义积分收敛于1a -；当a ≥0时，0limd t axt e x→+∞=+∞⎰,所以广义积分发散.（4）当a < -1时，01lim (1)d 1a t x x a +∞→+∞+=-+⎰，所以广义积分收敛于11a -+；当a ≥-1时，0lim (1)d a t x x +∞→+∞+=∞⎰, 所以广义积分发散.（5）因为21210lim lim 1)d t tεεε+++→→+⎰30182lim (33t t ε+→=+=所以广义积分收敛且收敛于83.（6）因为 x = e 为瑕点，且存在ε>0,有0011lim lim e e εεεε++--→→=⎰⎰01lim arcsin(ln )lim[arcsin ln()arcsin(ln1)]e x e εεεε++-→→==--arcsin12π==.所以原瑕积分收敛，且1.2eπ=⎰（7）因为212222001d d d (1)(1)(1)x x xx x x =+---⎰⎰⎰且112(1)1lim lim 1x dxxεεεε++---→→==+∞-⎰即120d (1)x x -⎰发散, 所以原瑕积分发散.(8) 因为212()()d 1aaaax a x a x ααα+--=+⎰,且当 α= -1时，2()d aax a xα-⎰原式发散；当α< -1时，221()d 1(1)()aaaax a x x αααα-==∞--+-⎰发散；当 α> -1时，原式=12()d (1)aaa x a x ααα+-=+⎰收敛.所以当α≤-1时，原式发散；当α> -1时，原式收敛于1(1)a αα++.2. 2. 当k 为何值时，广义积分2d (ln )k xx x +∞⎰收敛？k 为何值时，该广义积分发散？k 为何值时，该广义积分取得最小值？解因为1222(ln )d (ln )d(ln )lim1(ln )bk kkb x x x x kx x -+∞+∞-→∞==-⎰⎰而当1=k 时，广义积分发散；当1<k 时，112d 1lim[ln ln 2]1(ln )k kk b x b k x x +∞--→∞=-=∞-⎰，广义积分发散；当1>k 时，1122d 11lim(ln )(1)(ln )(1)(ln 2)bkk k b x x x k x k +∞--→∞-==--⎰所以当1≤k 时，积分发散；当1>k 时，广义积分收敛于11(1)(ln 2)k k --.又设1(ln 2)()1k F k k -=-，则12(ln 2)[ln(ln 2)ln(ln 2)1]()(1)k k F k k --+'=-由0)(='k F ，得驻点011ln(ln 2)k =-，且当0k k <时0)(<'k F ，当0k k >时0)(>'k F ，故当11ln(ln 2)k =-时，该广义积分取得最小值. 3. 已知0sin d 2x x x π+∞=⎰，求证：（1）0sincos d 4x x x x π+∞=⎰ （2）220sin d 2x x x π+∞=⎰ 证（1）00sin cos 1sin 21d d(2).22224x x x x x x x ππ+∞+∞==⋅=⎰⎰ 222002000sin 1(2)d sin d()sin 2sin cos d 0sin 2sin d 2d .2xx x x x x x x xx xx t x t x t x t π+∞+∞+∞+∞+∞=-+∞=-+===⎰⎰⎰⎰⎰4*.求函数2()(2)dx tf x t e t-=-⎰的最大和最小值.解因f(x)为偶函数，则只需求f(x)在[0，+∞）内的最值.令222'()2(2)0xf x x x e-=-=，则得驻点为x=且当0x<'()f x> 0,当x>, '()f x< 0，故x=f(x)在[0，+∞]的极大值点，也是最大值点，且222200max()(2)d(2)d1t t tf x f t e t t e e t e----==-=--=+⎰⎰－而000()lim()(2)d(2)d1t t txf f x t e t t e e t+∞+∞+∞---→+∞+∞==-=---=⎰⎰(0)0f=所以min()(0)0.f x f==5. 用欧拉函数表示下列积分,并指出它们的收敛范围:（1）0d(0)nxe x n+∞->⎰(2)101(ln)d p xx⎰(3)()d0nm xx e x n+∞-≠⎰(4)1d(1)mnxxx-+∞+⎰解（1）11100111d d() (0)nx un ne x x u e u x nn n n-+∞+∞--==Γ>⎰⎰（2）10(1)10011(ln)d ln d dp p u u px u u e u e u ux x+∞--+-+∞=-=⎰⎰⎰(1) (1)p p=Γ+>-.(3)11001111d d()(0)nmm x n u nm mx e x u x e u un n n n+-+∞+∞--++==Γ>⎰⎰.（4）111()100d, (1)d11(1)mm n mnx x ux u x u u ux ux-+∞---==-+-+⎰⎰(,) (0)m n m n mβ=->>6. 利用欧拉积分计算下列积分：（1）0x⎰（2）642sin cos dx x xπ⎰解（1）331112233(1)d(,)22x x x xβ--=-=⎰⎰311311112(,)(,)22242228πββ-==⋅=.（2）令112221sin,d(1)d2u x x u u u--==-7511164222001sin cos d(1)d2x x x u u uπ--=-⎰⎰1751155133(,)(,).2222222888512ππββ=⋅=⋅=⋅⋅=7*.判别下列广义积分的敛散性：（1）21ln sin d xx x x +∞⎰(2）11d x x +∞⎰（3）0x ⎰ （4）201(1cos )d x x x π-⎰解（1）因为 [)1,,x ∀∈+∞有ln sin ()0x x f x x x =⋅≥而32lim ()limsin 0x x x f x x →+∞==故广义积分21ln sin d xx x x +∞⎰收敛.（2）因为 [)1,,x ∀∈+∞有1arctan 1()0f x x==≥而121sin lim()lim201x x x x f x x→+∞=⋅=>故广义积分11d xx +∞⎰发散.（3）因为 x = 0为瑕点，且(]0,1,x ∀∈恒有()01f x e=≥-且连续.而12sin 0lim ()lim lim 1sin 1x x x x x xx f x x e +++→→→⋅===-故广义积分1sin 0d 1x x e -⎰收敛.（4）因为x = 0为瑕点，且0,2x π⎛⎤∀∈ ⎥⎝⎦，恒有1cos ()0nx f x x -=≥ 而 2000, 21lim ()lim 0, 2 2p n p x x n p x f x n p x ++--→→>-≥⎧=⎨=-<⎩ 所以当1p ≥时,得 12n -≥,即3n ≥时，该积分发散;当0< p < 1时，得n - 1 < 2，即n < 3时，广义积分201(1cos )d x x x π-⎰收敛.综合习题六1.填空: (1) 若1120()d ()d ,a xf x x f x x =⎰⎰则a = .(2)12(2)d ()d ,b xf x x xf x x =⎰⎰若则b = .(3 ) 若2(23)d 0, .kx xx k -==⎰ 则(4 ) 若(1)d ,xy t t =-⎰则y 的极小值为 .解（1）2 ；（2） 4；（3）1 、0；（4）12-.2. 单项选择：（1）下面积分错误的是（）.①22sin d 0x x ππ-=⎰②122x x π-==⎰⎰③1211d 121xx x -=-=--⎰④22(6x x π--=-⎰(2)下列广义积分中，（）不收敛. ①11lnd 1x x -⎰②12()d 112e x x x +∞+-+⎰③42x⎰④e+∞⎰（3）若1(1ln )d e I x x=-⎰，则下列不等式（）是正确的.①10I e <<②1I e -<<③01I e ≤≤- ④1I e <<（4）若011()d ()22xf t t f x =-⎰且f （0）=1，则f （x ）=（）. ①2xe ②12x e ③2x e ④212x e解（1）③; （2）④; （3）③; （4）③.3.计算下列极限：（1）1lim n n i n →∞= （2）112limp p p p n n n +→∞+++（3）lim ()d x ax a x f t t x a →-⎰（其中()f t 为连续函数）(4）2(arctan )d limxx t t 解（1）11lim n n i x n →∞==⎰=1)x +⎰()32122(1)133x =+=|10（2）11121limlim pp p pn p n n i n i n n n +→∞→∞=+++⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 1011d 1p x p x ==+⎰（3）因为f （x ）为连续函数,(()d )'()xaf t t f x =⎰且由积分中值定理有()()d ()xaf t t f x a ξ=-⎰且a x ξ<<所以 ()()l i m ()d l i m x a x a x a x x f x a f t t x a x a ξ→→⋅⋅-=--⎰lim ()().x axf af a ξ→==(4)2(arctan )d limxx t t2(arctan )d limxx t t x ⋅=2220(arctan )d limlim (arctan )4xx x t tx xπ→+∞→+∞===⎰4.计算下列积分：（1）20sin d 1cos x xxx π++⎰ (2)40ln(1tan )d x xπ+⎰(3)20(sin )d x x xπ⎰(4)2201d 1cos xx π+⎰解（1）因为222000sin sin d d d 1cos 1cos 1cos x x x x x x x xx x πππ+=++++⎰⎰⎰而 222200d 1sec d d(tan )1cos 222x x x x x x x x πππ==+⎰⎰⎰ =2200tan tan d ln 2222x x x x πππ⋅-=-⎰2200sin 1d d(1cos )1cos 1cos x x x x x ππ=-+++⎰⎰20ln(1cos )ln 2x π=-+=所以20sin d (ln 2)ln 21cos 22x x x x πππ+=-+=+⎰.（2）因为4ln(1tan )d 4x x x tππ+=-⎰令041tan ln[1] d(-)1tan tt t π-++⎰440[ln 2ln(1tan )] d ln 2ln(1tan )d 4t t x xπππ=-+=-+⎰⎰所以41ln(1tan )d ln 2ln 2248x x πππ+=⋅=⎰.（3）因为222001(sin )d d cos 2 d 22x x x x x x x x πππ=-⋅⎰⎰⎰而 230 d 26x x ππ=⎰220020011cos 2 d d(sin2)2411 sin 2sin 2 d d(cos 2) 424x x x x x x x x x x x x πππππ==-=⎰⎰⎰⎰0cos 2sin 2484x x x πππ⋅=-=所以 32(sin )d 64x x x πππ=-⎰.（4）令 tan x = t, 则x = arctan t,2d d 1t x t =+ 且221cos 1x t =+22200021d 1d 1cos 21t x xt π+∞+∞=+++⎰⎰⎰lim b →+∞=. 5. 计算下列广义积分.（1）221ln d (1)x xxx +∞+⎰(2)3022arctan d (1)x xx +∞+⎰(3) ⎰2d sin ln πxx(4)1x⎰解 (1)22211ln 11d ln d()2(1)1x x x x x x +∞+∞=-++⎰⎰22111ln 111lim ()lim d 2211bb b b x x x x x →+∞→+∞=-+⋅++⎰2111lim ()d 21b b xx x x →+∞=-+⎰20111lim ln ln(1)ln 2224bb x x →+∞⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦.(2) 2arctan , tan , d d sec x t x t x t t ===令则且2223/223/200arctan d sec d (1)(1tan )x t x t t x t π+∞==++⎰⎰2cos d t t tπ⎰222000d(sin )sin sin 1.2t t t ttdt ππππ==-=-⎰⎰(3) 因为1211/2ln sin lim ()lim lim (2)cos 0sin x x x x xx f x x x xx+++-→→→==-=。

定积分及其应用练习带详细答案

定积分及其应用题一题面：求由曲线2(2)y x =+与x 轴，直线4y x =-所围成的平面图形的面积．答案：323．变式训练一题面：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)，2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.52 B ．2 C ．3D ．4答案：D. 详解：画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2＋∫π202cos x d x ＝2＋2sin x |π20＝4.变式训练二题面：由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 3 B ．9－2 3 C.353D.323答案：详解：注意到直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2的交点A ，B 的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为⎠⎛－31(3－x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪1－3＝3×1－13×13－12－⎣⎢⎡3×－3－13×－33]－－32＝323，选D.题二题面：如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )．A ．14B ．15C ．16D ．17变式训练一题面：函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为________．答案：π4.详解：设A (x 0,0)，则ωx 0＋φ＝π2，∴x 0＝π2ω－φω. 又y ＝ωcos(ωx ＋φ)的周期为2πω， ∴|AC |＝πω，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω－φω＋πω，0.依题意曲线段ABC 与x 轴围成的面积为 S ＝－∫π2ω－φω＋πωπ2ω－φωωcos(ωx ＋φ)d x ＝2. ∵|AC |＝πω，|y B |＝ω，∴S △ABC ＝π2. ∴满足条件的概率为π4.变式训练二题面：（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（）A ．B ．C ．D ．答案：C. 详解：根据题意，正方形OABC 的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x 与y=围成，其面积为∫01（﹣x ）dx=（﹣）|01=，则正方形OABC 中任取一点P ，点P 取自阴影部分的概率为=；故选C ．金题精讲题一题面：（识图求积分，二星）已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )．A ．2π5B ．43C ．32D ．π2答案：变式训练一题面：如图求由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积．答案：43. 详解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得交点A (－1，－1)，B (1，－1)．由⎩⎨⎧y ＝－14x2，y ＝－1，得交点C (－2，－1)，D (2，－1)．∴所求面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤∫10⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋1d x ＝43.变式训练二题面：例1求在[0,2]π上，由x 轴及正弦曲线sin y x =围成的图形的面积. 答案：4. 详解：作出sin y x =在[0,2]π上的图象如右 sin y x =与x 轴交于0、π、2π，所求积2200sin |sin |(cos )|(cos )|4s xdx xdx x x ππππππ=+=---=⎰⎰题二题面：（作图求积分，四星）求曲线36y x x =-与曲线2y x =所围成的图形的面积．交点的横坐标分别为2,0,3-，12112S =．变式训练一题面：求曲线2y x =，y x =及2y x =所围成的平面图形的面积. 答案：76. 详解：作出2y x =，y x =及2y x =的图如右解方程组22y x y x=⎧⎨=⎩ 得24x y =⎧⎨=⎩0x y =⎧⎨=⎩ 解方程组2y x y x =⎧⎨=⎩得11x y =⎧⎨=⎩ 00x y =⎧⎨=⎩∴所求面积12201(2)(2)s x x dx x x dx =-+-⎰⎰ 12201(2)xdx x x dx =+-⎰⎰212320111|()|23x x x =+- 76=答：此平面图形的面积为76变式训练二题面：求由抛物线28(0)y x y =>与直线6x y +=及0y =所围成图形的面积. 答案：403. 详解：作出28(0)y x y =>及6x y +=的图形如右：解方程组2860y x x y ⎧=⎨+-=⎩得24x y =⎧⎨=⎩解方程组600x y y +-=⎧⎨=⎩ 得60x y =⎧⎨=⎩∴所求图形的面积62(6)s x dx =+-⎰⎰32262022140|(6)|323x x x +-= 题三x题面：（1）由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为_______．（2）由曲线2y x =与直线2y x =-所围成的封闭图形的面积为_______．答案：（1）163；（2）92．变式训练一题面：设f （x ）=，函数图象与x 轴围成封闭区域的面积为（）A ．B ．C ．D ．答案：C.详解：根据题意作出函数的图象：根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=故选C变式训练二题面：已知函数的图象与x 轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2答案：D.详解：由题意图象与x轴所围成图形的面积为102(1)cosx dx xdxπ--++⎰⎰21021()|sin|2x x xπ-=-++112=+32=.故选D．题四题面：（导数与积分结合，二星）设函数()mf x x ax=+的导函数为()21f x x'=+，则21()f x dx-⎰的值等于______．答案：56．变式训练一题面：设函数f(x)＝x m＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则⎠⎛12f(－x)d x的值等于()A.56B.12C.23D.16答案：A. 详解：由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是∫21f (－x )d x＝∫21(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2⎪⎪⎪21＝56.变式训练二题面：设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( )A.56B.12C.23D.16答案：A. 详解：由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12 (x 2－x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 221＝56.题五题面：（化简后求积分，四星）（1）求21sin 2xdx π-20sin cos x x dxπ=-⎰原式4204(cos sin )(sin cos )x x dx x x dx πππ=-+-⎰⎰22 2.=（2）440(sin cos )22x xdx π+⎰变式训练一题面：与定积分∫3π01－cos x d x 相等的是( ) A.2∫3π0sin x 2d x B.2∫3π0⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪2∫3π0sin x 2d x D ．以上结论都不对答案：B. 详解：∵1－cos x ＝2sin 2x2，∴∫3π01－cos x d x ＝∫3π02 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x ＝2∫3π0⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x .变式训练二题面：40cos xdx π=⎰________.答案：22.详解：因为40cos xdx π=⎰sin x ⎪⎪⎪⎪π40＝sin π4＝22，所以∫π40cos x d x ＝22. 题六题面：（定积分的运用，三星）函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．(1)若φ＝π6，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，332，则ω＝________；(2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为________．[解析] (1)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)求导得，f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)，把φ＝π6和点⎝⎛⎭⎫0，332代入得ωcos ⎝⎛⎭⎫0＋π6＝332解得ω＝3．(2)取特殊情况，在(1)的条件下，导函数f ′(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，求得A ⎝⎛⎭⎫π9，0， B ⎝⎛⎭⎫5π18，－3，C ⎝⎛⎭⎫4π9，0，故△ABC 的面积为S △ABC ＝12×3π9×3＝π2，曲线段与x 轴所围成的区域的面积S ＝－⎪⎪⎪f (x ) 4π9π9＝－sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫3π9＋π6＝2，所以该点在△ABC 内的概率为P ＝S △ABC S ＝π4. 同类题一题面：设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．答案：(1) f (x )＝x 2－2x ＋1.(2) 13.详解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －2，所以a ＝1，b ＝－2，即f (x )＝x 2－2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2－2x ＋1.(2)依题意，所求面积为S ＝⎠⎛01(x 2－2x ＋1)d x ＝(13x 3－x 2＋x )|10＝13.同类题二题面：设y =f （x ）是二次函数,方程f （x ）=0有两个相等的实根，且f ′（x ）=2x +2.（1）求y =f （x ）的表达式；（2）求y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x =－t （0＜t ＜1＝把y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.答案：（1）f （x ）=x 2+2x +1.（2）13. （3）t =1－321. 详解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ，又已知f ′（x ）=2x +2∴a =1，b =2.∴f （x ）=x 2+2x +c又方程f （x ）=0有两个相等实根，∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1.故f （x ）=x 2+2x +1.（2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x . （3）依题意，有x x x x x x t t d )12(d )12(2021++=++⎰⎰---， ∴023123|)31(|)31(t t x x x x x x ---++=++，－31t 3+t 2－t +31=31t 3－t 2+t ，2t 3－6t 2+6t －1=0，∴2（t －1）3=－1，于是t =1－321.思维拓展题一题面：（几何法求积分，四星）（1）计算0⎰，121sin x xdx -⎰；（2）求椭圆22221x y a b +=的面积．0044b S a ==⎰⎰，转化为圆的面积．同类题一题面：求定积分11dx -⎰的值. 答案：2π．详解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以11dx -⎰＝2π．同类题二题面：20)ax dx -⎰的值是（） A. 143π- B. 143π+ C. 123π- D. 12π- 答案：A.详解：积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x 2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x 轴和直线x=1围成的图形的面积之差．即20)ax dx-⎰ 1231001|443x dx x ππ=-=-⎰ 143π=-.故答案选A。

定积分练习题

定积分练习题一、选择题：1如图,阴影部分面积等于A ．2错误!B ．2－错误! 2.=-⎰dx x 2024A ．4πB ．2πC ．π3．向平面区域Ω＝{x,y|－错误!≤x≤错误!,0≤y≤1}内随机投掷一点,该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是－14．设fx ＝错误!则20⎰fxdx 等于D ．不存在5．函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形,则该闭合图形的面积是A ．1 D ．26.若y ＝0x⎰sint ＋costsintdt,则y 的最大值是A ．1B ．2C ．－错误!D ．07．2010·惠州模拟()⎰--2012dx x ＝________. A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．2012·太原模拟已知xlnx′＝lnx ＋1,则dx x e⎰1ln ＝ A ．1 B ．e C ．e －1 D ．e ＋19．若函数fx ＝错误!的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a,则a 的值为C ．1 二、填空题：1．已知函数y ＝x 2与y ＝kxk ＞0的图象所围成的阴影部分如图所示的面积为错误!,则k ＝________.2．如图,设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A2,4移动,记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S1,S2,若S1＝S2,则点P 的坐标为________．3.已知函数fx ＝3x 2＋2x ＋1,若()()a f dx x f 211=⎰-成立,则a ＝________. 4．若fx 是一次函数,且10⎰fxdx ＝5,10⎰xfxdx ＝错误!,那么21⎰错误!dx 的值是________．5．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．6．如果()⎰=101x f ,()120-=⎰dx x f ,则()dx x f ⎰21＝________.7．设函数fx ＝ax 2＋ca≠0,若()()010x f dx x f =⎰,0≤x 0≤1,则x 0的值为________． 8．抛物线y 2＝axa>0与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为错误!,若直线l与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0,则l 的方程为______．三、解答题：1．设y ＝fx 是二次函数,方程fx ＝0有两个相等的实根,且f′x＝2x －2.1求y ＝fx 的表达式；2求y ＝fx 的图象与两坐标轴所围成图形的面积．2．已知fx 为二次函数,且f －1＝2,f′0＝0,()=⎰dx x f 10－2.1求fx 的解析式；2求fx 在－1,1上的最大值与最小值．3．设fx ＝10⎰|x 2－a 2|dx.1当0≤a≤1与a ＞1时,分别求fa ；2当a≥0时,求fa 的最小值．4．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点,线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于错误!,求线段AB 的中点P 的轨迹方程．5．如图所示,在区间0,1上给定曲线y＝x2,试在此区间内确定t的值,使图中阴影部分的面积S1＋S2最小．。

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