江苏省南京市高二上学期期末数学试卷
江苏省南京市高二上学期期末数学试题(解析版)
高二上学期期末数学试题一、单选题1．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为()f x ()y f x =()y f x '=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据()f x ()f x ()f x '此可判断的图象.()f x '【详解】由的图象可知，在上为增函数，()f x ()f x (),0∞-且在上存在正数，使得在上为增函数， ()0,∞+,m n ()f x ()()0,,,m n +∞在为减函数，(),m n 故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化， ()f x '()0,∞+()f x '故排除A ，B.由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C. ()f x (),0∞-()0f x '≥(),0∞-故选：D.【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.2．函数的单调递增区间（ ）()(31)x f x x e =-A ．B ．C ．D ．1(,3-∞2(,3-∞-2(,)3-+∞1(,)3+∞【答案】C【分析】求导，令求解. ()0f x '>【详解】解：因为， ()(31)x f x x e =-所以，()(32)x f x x e =+'令，解得，()0f x '>23x >-所以函数的单调递增区间是，()f x 2(,)3-+∞故选：C3．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在1111ABCD A B C D -AB a = AD b = 1AA c =E 1DDF 上，且，则等于（ ）BD 3BF FD =EFA ．B ．111332a b c --111442a b c --C ．D ．111442a b c -+ 111233a b c -+ 【答案】B【分析】利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解. 【详解】，11142=-=-EF DF DE DB DD ， ()11111142442=--=--AB AD DD a b c 故选：B4．直线与圆相交于点，点是坐标原点，若是正三角x y +=2222(1)x y a a +=+-,A B O AOB A 形，则实数的值为 a A ．1B ．-1C ．D ．1212-【答案】C【详解】由题意得，直线被圆截得的弦长等于半径．圆的圆心坐标，设圆半径为，圆心到(0,0)O r 直线的距离为，则d d 由条件得，整理得． r =2243d r =所以，解得．选C ． 222633(1)a a a =+-12a =5．已知函数有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）()2ln xf x ax ax x e =--A ．B ．C ．D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,e 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(),e +∞【答案】D【分析】令，再参变分离得到，再求导分析的单调性，进()0f x =2ln x e a x x x =-()2ln xe g x x x x=-而得到函数图象，数形结合即可得实数a 的取值范围【详解】函数有两个零点，即有两根，又()2ln x f x ax ax x e =--()2ln 0xa x x x e --=，故可转换为有两根，令， 则()2ln ln 0x x x x x x -=->2ln x e a x x x =-()2ln xe g x x x x =-，令，则，故()()()()()()22222ln 2ln 111ln ln ln x x e x x x x x e x x x g x xx x xx x --++---'==--()1ln h x x x =--()1x h x x-'=在上单调递减，在上单调递增，故，当且仅当时等号成立，故()h x ()0,1()1,+∞()()10h x h ≥=1x =在上，单调递减；在上，单调递增，所以()0,1()0g x '<()g x ()1,+∞()0g x '>()g x ，又当与时，故实数a 的取值范围为 ()()min 1g x g e ==0x +→x →+∞()g x ∞→+(),e +∞故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数解决函数的零点个数问题，需要根据题意参变分离，再求导分析单调性与最值，属于难题6．在平面直角坐标系中，已知点，若是抛物线上一动点，则到轴的距离xOy (1,2)A P 22y x =P y 与到点的距离之和的最小值为（ ） P A AB C ．D【答案】D【分析】根据题意画出图形，利用抛物线定义与三角形三边关系即可求解. 【详解】依题意，可得出如下图形：抛物线的方程为，22y x =抛物线的焦点为，，准线方程为，∴1(2F 0)l 12x =-设点在轴上的射影为点，延长交准线于点，连结， P y Q PQ l B PF 则长即为点到轴的距离，可得，PQ P y 12PB PQ =+根据抛物线的定义，得，||||PB PF =， 1122PQ PA PB PA PF PA ∴+=+-=+-根据平面几何知识，可得，得. PF PA AF +≥12PQ PA AF +≥-当且仅当､､三点共线时等号成立，P A F1122==当､､三点共线时，的最小值为∴P A F PQ PA +即到轴的距离与到点P y P A 故选：D.7．已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为R ()f x ()()0xf x f x '+>()12f =()2e e xxf >（ ） A ． B ． C ．D ．()0,+∞()ln2,+∞()1,+∞()0,1【答案】A【分析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式. ()()g x xf x =()2e e xxf >【详解】设，则， ()()g x xf x =()()()0g x xf x f x ''=+>故为上的增函数，()g x R 而可化为即， ()2e exx f >()()e e 211x x f f >=⨯()()g e 1x g >故即，所以不等式的解集为， e 1x >0x >()2e e xxf >()0,+∞故选：A.8．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系：{}n a {}n b ，数列的前项和为，则的值为（ ） 312123112n n n a a a a b b b b +++⋯+=-{}n b n n S 5S A ．454 B ．450 C ．446 D ．442【答案】A【分析】由已知可得，进而根据已知可推出当时，.进而得出21n a n =-2n ≥12n n n a b =()212n n b n =-⋅，求出前5项，相加即可得出答案.【详解】由题意可得：. 12(1)21n a n n =+-=-又①， 312123112n nn a a a a b b b b +++⋯+=-当时，②， 2n ≥311211231112n n n a a a a b b b b ---+++⋯⋯+=-①-②可得：， 111111222n n n n n a b -⎛⎫=---= ⎪⎝⎭所以.()2212n nn n b a n ==-⋅又时，，可得，显然满足， 1n =11112a b =-12b =()212n n b n =-⋅所以.()212nn b n =-⋅所以. 512345S b b b b b =++++2345232527292454=+⨯+⨯+⨯+⨯=故选：A.二、多选题9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有，则P ，A ，B ，C 四点共面111632OP OA OB OC =++C ．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底{},,a b c m a c =+{},,a b m D ．若，则是钝角 0a b ⋅<,a b 【答案】ABC【分析】对于A ，根据共线向量的概念理解判断；对于B ：根据且OP xOA yOB zOC =++u u u r u u r u u u r u u u rP ，A ，B ，C 四点共面，分析判断；对于C ：基底向量的定义是空间的一个1x y z ++=⇔{},,a b c基底不共面，分析判断；对于D ：根据数量积的定义可得，结合向量夹角的,,a b c ⇔cos ,0a b < 范围分析判断．【详解】对于A ，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线， 则这三个向量一定共面，所以A 正确；对于B ，若对空间中任意一点O ，有因为，111632OP OA OB OC =++ 1111632++=根据空间向量的基本定理，可得P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以B 正确；对于C ，由于是空间的一个基底，则向量不共面{},,a b c ,,a b c∵，则共面m a c =+,,a c m ∴可得向量不共面，所以也是空间的一个基底，所以C 正确；,,a b m{},,a b m 对于D ，若，即，又，所以，所以Dcos ,0⋅=< a b a b a b cos ,0a b <[],0,π∈ a b π,,π2a b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 不正确． 故选：ABC ．三、单选题10．函数，下列对函数的性质描述正确的是（ ） 3()32()f x x ax a R -+∈=()f x A ．函数的图象关于点对称 ()f x ()0,2B ．若，则函数f （x ）有极值点0a ≤C ．若，函数在区间单调递减0a >()f x (,-∞D ．若函数有且只有3个零点，则a 的取值范围是 ()f x ()1,+∞【答案】AD【分析】利用函数的对称性即可判断选项A 是否正确；对函数求导，分别就和进行()f x 0a ≤0a >讨论，即可判断选项B 、C 是否正确；函数有三个不同的零点，根据函数3()32()f x x ax a R -+∈=的单调性，可知函数的极小值小于0，极大值大于0，列出不等式组，求出a 的取值范围，由()f x 此即可判断选项D 是否正确．【详解】对于选项A ，因为，所以，所以3()32()f x x ax a R -+∈=3()32()f x x ax a R --++∈=，所以函数的图象关于点对称，故选项A 正确；()()4f x f x +-=()f x ()0,2对于选项B ，由，当时，，函数在定义域内为增函()()22333f x x a x a '=-=-0a ≤()0f x '≥()f x 数，此时函数没有极值点，故选项B 错误；()f x 对于选项C ，当时，由，解得又∵时，，所以函0a>()0f x '=x =(x ∈-∞()0f x >′数在区间单调递增，故选项C 错误；()f x (,-∞对于选项D ，由，()()22333f x x a x a '=-=-当时，，函数在定义域内为增函数，故不存在三个零点，不符合题意； 0a ≤()0f x '≥()f x当时，由，解得0a >()0f x '=x =又∵时，，时，，时，，(x∈-∞，()0f x >′(x ∈()0f x <′)x ∈+∞()0f x >′∴函数单调递增区间为和，单调递减区间为，()f x (,-∞)+∞(∴函数的极小值和极大值．22f=-+(22f =+∵函数有三个不同的零点，3()32()f x x axa R -+∈=∴，即 ， 解得，故选项D 正确． 000a f f⎧>⎪⎪>⎨⎪⎪<⎩01010a >⎧⎪>⎨⎪>⎩1a >故选：AD.【点睛】方法点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．四、多选题11．在平面直角坐标系中，三点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，7)，动点P 满足，则以下结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹方程为(x －3)2+y 2=8B ．△PAB 面积最大时，PA=C ．∠PAB 最大时，PA=D ．P 到直线AC 距离最小值为【答案】ACD【分析】根据可求得点轨迹方程为，A 正确；PA =P ()2238x y -+=根据直线过圆心可知点到直线的距离最大值为AB P AB (3,P ±，由此可确定B 不正确；当最大时，为圆的切线，利用切线长的求法可知C 错误； ∠PAB PA 求得方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可确定D 正确.AC【详解】解：对于A ：设，由得：，即(),P x y PA =222PA PB =()()2222121x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简可得：，即点轨迹方程为，故A 正确； ()2238x y -+=P ()2238x y -+=对于B ：直线过圆的圆心，点到直线的距离的最大值为圆AB ()2238x y -+=∴P AB的半径，即为，()2238x y -+=r，面积最大为，2AB = PAB ∴A 122⨯⨯=(3,P ±B 不正确；PA ∴==对于C ：当最大时，则为圆的切线，∠PAB PA ()2238x y -+=，故C 正确；∴PA ==对于D ：直线的方程为，则圆心到直线， AC 770x y -+=()3,0AC =点到直线D 正确.∴P AC -=故选：ACD.12．“已知函数，对于上的任意，，若______，则必有2()cos f x x x =-,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1x 2x ()()12f x f x >恒成立.”在横线中填上下列选项中的某个条件，使得上述说法正确的可以是（ ） A ． B ．C ．D ．12x x >120x x +>2212x x >121x x >【答案】CD【分析】确定函数的奇偶性和单调性后再判断．【详解】，是偶函数，22()()cos()cos ()f x x x x x f x -=---=-=()f x在上，是增函数，是减函数，因此是增函数， 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2y x =cos y x =()f x 因此，四个选项中只有CD 能得出． 12x x >12()()f x f x ⇔>12x x >故选：CD ．五、填空题13．已知数列为等差数列，.若数列也为等差数列，则___________.{}n a 13a =2{}n a n a =【答案】3【分析】根据等差数列的通项公式与中项公式即可求解. 【详解】依题意，由数列为等差数列，设其公差为，且， {}n a d 13a =得，， 23a d =+332a d =+又数列也为等差数列，2{}n a 则，即，2222132a a a =+()()2223932d d +=++解得：. 0d =.3n a ∴=故答案为：3.14．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为____()sin cos f x x x =+[]0,a a 【答案】0,4π⎛⎤⎥⎝⎦【解析】利用辅助角公式进行化简解析式，再借助正弦函数的单调递增区间进行求解即可.【详解】由题意知，，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以，22,242k x k k z πππππ-+≤+≤+∈解得， 322,44k x k k z ππππ-+≤≤+∈令可得，， 0k =344x ππ-≤≤所以为函数的一个单调递增区间，3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x 因为函数在上单调递增，所以.()f x []0,a 04a π<≤故答案为：0,4π⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查利用辅助角公式进行化简、利用正弦函数的单调区间求参数的取值范围；考查运算求解能力和整体代换的思想；熟练掌握辅助角公式和正弦函数的单调区间是求解本题的关键；属于中档题.六、双空题15．已知数列的各项均为正数，其前n 项和为，且，n ，则＝_______；{}n a n S 12n n n S a a +=N *∈4a 若＝2，则＝_______． 1a 20S 【答案】 4 220【分析】当时，利用， 即可得到 ，取即可.2n ≥1n n n a S S -=-n a 4n =利用已知递推公式，结合首项可以求得，进一步做差可以得出的奇数项和偶数项分别成22a ={}n a 等差数列，分组后利用等差数列求和公式即可. 【详解】根据①，得②， 12n n n S a a +=112n n n S a a --=①﹣②得， 112n n a a +--=()2n ≥又时，，可得 1n =1122a a a =⋅22a =故；4224a a =+=当＝2，，可得 ， 1a 22a =,1n n n a n n ⎧=⎨+⎩为偶数，为奇数即可求得201351924620=(++++)+(++++)S a a a a a a a a L L ． (220)10(2+20)10=22022+⨯⨯=+故答案为：4；220【点睛】本题主要考查了与的关系，数列的递推关系式，以及等差数列的定义和通项，属于n a n S 中档题.七、填空题16．已知函数为定义在R 上的增函数，且对，若不等式()f x ()()R,2x f x f x ∀∈+-=对恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 1()2ln 2f ax f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭()0,x ∀∈+∞【答案】 2,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由，可得，则不等式可转化为()()R,2x f x f x ∀∈+-=12ln (2ln )2(2ln )f f x f x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对恒成立，根据函数为定义在R 上的增函数，可得，通()(2ln )f ax f x ≥()0,x ∀∈+∞()f x 2ln ax x ≥过分离参数，利用导数研究函数的单调性极值即可求得结果【详解】因为，()()R,2x f x f x ∀∈+-=所以，12ln (2ln )2(2ln )f f x f x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭因为不等式对恒成立，1()2ln 2f ax f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭()0,x ∀∈+∞所以对恒成立，()(2ln )f ax f x ≥()0,x ∀∈+∞因为函数为定义在R 上的增函数，()f x 所以，得在上恒成立，2ln ax x ≥2ln xa x ≥()0,x ∀∈+∞令，，则，2ln ()xg x x =()0,x ∈+∞22(1ln )()x g x x -'=当时，，当时，，0e x <<()0g x '>e x >()0g x '<所以 在上递增，在上递减，2ln ()xg x x =()0,e ()e,+∞所以当时，取得最大值，，e x =()g x max 2()(e)=e g x g =所以， 2e a ≥所以实数a 的取值范围是，2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭八、解答题17．记S n 为等比数列的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.{}n a （1）求的通项公式；{}n a （2）求Sn ，并判断Sn +1，Sn ，Sn +2是否成等差数列．【答案】（1）；（2）见解析.(2)n n a =-【详解】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得，即可求解；（2）利2q =-12a =-用等差中项证明Sn +1，Sn ，Sn +2成等差数列．试题解析：（1）设的公比为.由题设可得 ，解得，. {}n a q ()()1211216a q a q q ⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩2q =-12a =-故的通项公式为.{}n a ()2n n a =-（2）由（1）可得. ()()111221133nn n n a q S q +-==-+--由于， ()()321214222212123333n n n n n n n n S S S +++++⎡⎤-+=-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦故，，成等差数列.1n S +n S 2n S +点睛:等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．18．已知E ，F 分别是正方体的棱BC 和CD 的中点．1111ABCD A B CD -(1)求与所成角的大小；1A D EF (2)求与平面所成角的余弦值．1A E 1B FB 【答案】(1)60°； (2).23【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果；【详解】（1）以AB ，AD ，所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，1AA设正方体的棱长为，则，，，，1111ABCD A B C D -2a 1(0,0,2)A a (0,2,0)D a ()2,,0E a a (),2,0F a a 所以，，设与EF 所成角的大小为，1(0,2,2)A D a a =- (,,0)EF a a =- 1A D α则， 1111cos cos ,2A D EF A D EF A D EF α⋅====⋅ 因为异面直线成角的范围是，所以与所成角的大小为60°．(0,90⎤⎦ 1A D EF （2）设平面的法向量为，与平面所成角为，． 1B FB ()0000,,n x y z = 1A E 1B FB β0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ因为，，所以，，(2,0,0)B a 1(2,0,2)B a a (,2,0)BF a a =- 1(0,0,2)BB a = 所以，令，得为平面的一个法向量，又因为0000102020n BF ax ay n BB az ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 02x =0(2,1,0)n = 1B FB ，1(2,,2)A E a a a =- 所以101010sin cos ,A E n A E n AE n β⋅====⋅ 所以． 2cos 3β==19．已知公差大于0的等差数列满足． {}n a 122311111+++⋅⋅⋅+=+n n n a a a a a a n (1)求的通项公式； {}n a (2)若，求数列的前21项和．1(1)n n n n b a a +=-{}n b 21S 【答案】(1)；n a n =(2).242-【分析】（1）利用等差数列的通项公式结合条件列方程组解得，，即得；1a d （2）由题可得，然后分组求和法可得，结合条件进而即得.n b 2n S 【详解】（1）根据题意，当时，，即①，1n =12112a a =122a a =当时，，所以②， 2n =12231123a a a a +=236a a =设等差数列的公差为，{}n a (0)d d >由①②得，解得， 1111()2()(2)6a a d a d a d +=⎧⎨++=⎩111a d =⎧⎨=⎩所以；11n a n n =+-=（2）因为，则，1(1)n n a a n n +=+1(1)(1)(1)n n n n n b a a n n +=-=-+所以，212(21)22(21)4n n b b n n n n n -+=--⋅++=所以, 22122124(1)4(12)222n n n n n S b b b b n n n -+=++++=⨯+++==+ 所以，又，20210020220S =⨯+=212122462b =-⨯=-故.21220462242S =-=-20．已知函数.2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>（1）当时，求曲线在点处的切线方程；1a =()y f x =(1, (1))f （2）求的单调区间；()f x 【答案】（1）（2）详见解析=3y -【解析】（1）分别求得和，从而得到切线方程；()1f ()1f '（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负()0f x '=01a <<1a =1a >得到函数的单调区间.【详解】（1），，， 1a = ()242ln f x x x x ∴=-+()224f x x x'∴=-+，又，()10f '∴=()1143f =-=-在处的切线方程为.()f x \()()1,1f =3y -（2）， ()()()()()()222122122210x a x a x a x a f x x a x x x x-++--'=-++==>令，解得：，.()0f x '=1x a =21x =①当时，若和时，；若时，；01a <<()0,x a ∈()1,+∞()0f x ¢>(),1x a ∈()0f x '<的单调递增区间为，；单调递减区间为；()f x \()0,a ()1,+∞(),1a ②当时，在上恒成立，1a =()0f x '≥()0,∞+的单调递增区间为，无单调递减区间；()f x \()0,∞+③当时，若和时，；若时，；1a >()0,1x ∈(),a +∞()0f x ¢>()1,x a ∈()0f x '<的单调递增区间为，；单调递减区间为；()f x \()0,1(),a +∞()1,a 综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为； 01a <<()f x ()0,a ()1,+∞(),1a 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；1a =()f x ()0,∞+当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.1a >()f x ()0,1(),a +∞()1,a 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.21．已知函数，.()ln f x kx x x =-R k ∈(1)当时，求函数的单调区间；2k =()f x (2)当时，恒成立，求的取值范围；01x <≤()f x k ≤k 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为()f x (0,e)(e,)+∞(2)，[1)∞+【分析】（1）直接对函数求导，利用导函数的正负即可求出单调区间.()f x （2）求出导函数，对参数进行分类讨论即可.k 【详解】（1）当时，，，，2k =()2ln f x x x x =-0x >()1ln f x x '=-由，解得；由，解得，()0f x ¢>0e x <<()0f x '<e x >所以函数单调递增区间为，单调递减区间为.()f x (0,e)(e,)+∞（2），故，()ln f x kx x x =-()1ln f x k x '=--当时，因为，所以，因此恒成立，1k ≥01x <≤10ln k x -≥≥()0f x '≥即在，上单调递增，所以（1）恒成立，()f x (01]()f x f ≤k =当时，令，解得，1k <()0f x '=1e (0,1)k x -=∈当，，单调递增；1(0,e )k x -∈()0f x ¢>()f x当，，单调递减，1(e ,)k x -∈+∞()0f x '<()f x 于是，与恒成立相矛盾，()1(e )1k f f k ->=()f x k ≤综上，的取值范围为，.k [1)∞+22．已知分别是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，面12,F F ()2222:10x y C a b a b+=>>M C 12MF F △积最大值为，离心率2e =（1）求椭圆的标准方程；C （2）若过点的直线与椭圆交于两点，问:是否存在实数，使得恒1F l C ,A B 1111AF BF t AF BF +=成立.如果存在.求出的值.如果不存在，说明理由.t 【答案】（1）；（2）存在实数． 22142x y +=2t =【分析】（1）根据离心率公式，三角形面积公式以及关系列方程组求解即可求出方程；,,ab c （2）讨论直线斜率是否存在，从而设直线方程代入椭圆方程，结合韦达定理得出两根关系，利用弦长公式代入条件化简求解即可求出结果．【详解】(1）由题意可得222122,2c e a c b a b c ⎧==⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得.2224,2,2a b c ===故椭圆的标准方程为； C 22142x y +=如图，由可知.()2()1())12,F F 当直线的斜率不存在时，l ，则 2111b AF BF a +==11112AF BF t AF BF +==当直线的斜率存在时，设其斜率为，l k 则直线的方程为， l (y k x =+()()1122,,.A x y B x y 联立 (22142y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩整理得， ()222221440k x x k +++-=则2121224421k x x x x k +=-=+从而1x -=故212214+421k AF BF AB x k ===++则())()221112122211221k AF BF k x x x x k +=++++=+因为， 1111+AF BF t AF BF =所以 ()221121124++421==22121k AF BF k t AF BF k k +=++综上，存在实数，使得恒成立．2t =1111AF BF t AF BF =+【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
江苏省南京市高二上册期末数学试题与答案
江苏省南京市高二上册期末数学试题与答案一、填空题。
请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知命题，，写出命题的否定：__.【答案】，“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x＞0，e x≥ex，的否定是：∃x＞0，e x＜ex．故答案为：，．本小题主要考查命题的否定．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．本小题主要考查命题的否定．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．2.在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程为__.【答案】利用抛物线方程求出p，即可得到结果．解：抛物线y2＝2x的焦点到其准线的距离为：p＝1．抛物线的准线方程为：x．故答案为：本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.已知，则的值为___.【答案】1【解析】因为，所以(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.4.已知复数满足 (为虚数单位)，则的实部为__.【答案】3利用复数的除法运算法则得到z，结合实部定义得到答案.解：由（z﹣2）i＝1+i得，z3﹣i，所以复数的实部为：3．故答案为：3．本题考查复数代数形式的乘除运算，实部的概念，考查计算能力，是基础题．5.在平面直角坐标系中，是椭圆上一点．若点到椭圆的右焦点的距离为2，则它到椭圆的右准线的距离为__.【答案】求出椭圆的离心率，利用椭圆的第二定义，求解即可．椭圆C：y2＝1，可得e，由椭圆的第二定义可得：它到椭圆C的右准线的距离为d，d．故答案为：．本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的第二定义，考查转化思想以及计算能力．6.已知实数，满足则的最小值为___.【答案】1由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得B（3，﹣1）．化z＝x+2y为y x，由图可知，当直线y x过B（3，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝3+2×（﹣1）＝1．故答案为：1．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7.在平面直角坐标系中，“”是“方程表示椭圆”的__条件．(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”)【答案】必要不充分由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1表示椭圆”的充要条件为：，再判断“m＞0”与“”的关系解：由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1表示椭圆”的充要条件为：，又“m＞0”是“”的必要不充分条件，所以，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分本题考查了椭圆的性质与充分、必要条件，属简单题．8.在平面直角坐标系中，双曲线的顶点到它的渐近线的距离为___.【答案】根据点到直线的距离公式进行求解即可．解：双曲线y2＝1的一个顶点为A（2，0），双曲线的一条渐近线为y x，即x﹣2y＝0，则点到直线的距离公式d，故答案为：．本题主要考查双曲线性质的应用，根据点到直线的距离公式是解决本题的关键，比较基础．9.在平面直角坐标系中，点，点，平面内点满足，则的最大值是___．【答案】设P（x，y），由•15，得点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆，得PO 的最大值为|OC|+半径．解：设P（x，y），则（4﹣x，﹣y），（﹣x，2﹣y）∵•15，∴x（x﹣4）+y（y﹣2）＝15，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝20，∴点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆，∴PO的最大值为：|OC|+半径＝3．故答案为：3．本题考查了向量的数量积的应用，考查了平面上一定点到圆上各点距离的最值问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点．若为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是_____【答案】由题设知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，），由△是锐角三角形，知tan∠AF1 F2＜1，所以1，由此能求出椭圆的离心率e的取值范围．解：∵点F1、F2分别是椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（c，），B（c，），∵△是锐角三角形，∴∠AF1 F2＜45°，∴tan∠AF1 F2＜1，∴1，整理，得b2＜2ac，∴a2﹣c2＜2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，解得e1，或e1，（舍），∴0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是（1，1）．故答案为：（1，1）．本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11.在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是___．【答案】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得2﹣1≤|C1C2|≤2+1，即1≤（a﹣1）2+（a+2）2≤9，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1，其圆心C1为（a，a+2），半径为r1＝1，圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0，即（x﹣1）2+y2＝4，其圆心C2（1，0），半径r2＝2，若两圆有公共点，则2﹣1≤|C1C2|≤2+1，即1≤（a﹣1）2+（a+2）2≤9，变形可得：a2+a+2≥0且a2+a﹣2≥0，解可得：﹣2≤a≤1，即a的取值范围为[﹣2，1]；故答案为：[﹣2，1]．判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．(2)切线法：根据公切线条数确定．12.如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数_____【答案】4连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝2，则A（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0），（0，﹣2，0），设N（0，b，0），则（0，b，0），∵λ，∴﹣2，∴b，∴N（0，，0），（，，），（，0），∵MN⊥AD，∴10，解得实数λ＝4．故答案为：4．本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.在平面直角坐标系中，圆，点，为抛物线上任意一点（异于原点），过点作圆的切线，为切点，则的最小值是___．【答案】3设P（x，y），可得y2＝2x，求得圆M的圆心和半径，求得切线长|PB|，化简可得|PB|为P到y轴的距离，结合抛物线的定义和三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值．解：设P（x，y），可得y2＝2x，圆M：（x﹣1）2+y2＝1的圆心M（1，0），半径为1，|PB||x|，即|PB|为P到y轴的距离，抛物线的焦点F（，0），准线方程为x，可得|PA|+|PB|＝|PA|+|PK||PA|+|PF|，过A作准线的垂线，垂足为K，可得A，P，K共线时，|PA|+|PK|取得最小值|AK|，即有|PA|+|PB|的最小值为3．故答案为：3．本题考查抛物线的定义和方程的运用，考查直线和圆相切的切线长求法，考查转化思想和三点共线取得最值，考查运算能力，属于中档题．14.已知函数只有一个零点，且这个零点为正数，则实数的取值范围是____．【答案】先运用导数得出函数的单调性和单调区间，再结合函数图象求出a的取值范围．解：令＝3x2﹣3a2＝3（x﹣a）（x+a）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a，其中a＞0，所以函数的单调性和单调区间如下：x∈（﹣∞，﹣a），f（x）递增；x∈（﹣a，a），f（x）递减；x∈（a，+∞），f（x）递增．因此，f（x）在x＝﹣a处取得极大值，在x＝a处取得极小值，结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x0，且x0＞0，只需满足：f（x）极大值＝f（﹣a）＜0，即﹣a3+3a3﹣6a2+4a＜0，整理得a（a﹣1）（a﹣2）＜0，解得，a∈（1，2），故答案为：（1，2）本题主要考查了函数零点的判定，以及运用导数研究函数的单调性和极值，数形结合的解题思想，属于中档题．二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，其离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）已知是椭圆上一点，，为椭圆的焦点，且，求点到轴的距离．【答案】（1） (2)（1）椭圆E经过点A（4，0），可得a＝4．椭圆E的离心率e可得c＝2．即可得椭圆E的方程；（2）由∠F1PF2，所以•0，可得x2+y2＝12，由，得P到y轴的距离．（1）因为椭圆经过点，所以，解得．又椭圆的离心率，所以．所以．因此椭圆的方程为．（2）方法一：由椭圆的方程，知，．设．因为，所以，所以．由解得．所以，即到轴的距离为．方法二：由椭圆的方程，知．设．因为，为的中点，所以，从而．由解得．所以，即到轴的距离为．方法三：由椭圆的方程，知，．设．因为，所以．由椭圆的定义可知，，所以，所以三角形的面积．又，所以，所以．代入得，．所以，即到轴的距离为．本题考查椭圆的几何性质，关键是利用椭圆的定义和向量数量积．属于中档题．16.如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，求：（1）直线与直线所成角的余弦值；（2）平面与平面所成二面角的正弦值．【答案】（1）（2）（1）以 {，，} 为正交基底建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出直线A1C与直线AD1所成角的余弦值；（2）求出平面D1AC的一个法向量和平面ABB1A1的一个法向量，利用向量法能求出平面D1AC 与平面ABB1A1所成二面角的正弦值．(1)如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，故以为正交基底建立空间直角坐标系．则，，，，．（1）因为，，所以，，，从而．又异面直线所成的角的范围是，所以直线与直线所成角的余弦值为．（2），，设平面的一个法向量为，则从而即取，可得，，即．在正四棱柱中，平面，又，所以为平面的一个法向量．因为，且，，所以．因此平面与平面所成二面角的正弦值为．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.在平面直角坐标系中，已知圆经过抛物线与坐标轴的三个交点．（1）求圆的方程；（2）经过点的直线与圆相交于，两点，若圆在，两点处的切线互相垂直，求直线的方程．【答案】（1）（2）和．（1）方法一、求得抛物线与坐标轴的三个交点，设出圆的一般式方程，代入三点坐标，解方程组可得D，E，F，即可得到所求圆方程；方法二、由抛物线方程与圆的一般式方程，可令y ＝0，可得D，F，再由抛物线与y轴的交点，可得E，即可得到所求圆方程；（2）求圆C的圆心和半径，圆C在A，B两点处的切线互相垂直，可得∠ACB，求得C到直线l的距离，讨论直线l的斜率是否存在，由点到直线的距离公式，计算可得所求直线方程．（1）方法一：抛物线与坐标轴的三个交点坐标为，，．设圆的方程为，则 , 解得所以圆的方程为．方法二：设圆的方程为．令，得．因为圆经过抛物线与轴的交点，所以与方程同解，所以，．因此圆．因为抛物线与轴的交点坐标为，又所以点也在圆上，所以，解得．所以圆的方程为．（2）由（1）可得，圆：，故圆心，半径．因为圆在，两点处的切线互相垂直，所以．所以到直线的距离．① 当直线的斜率不存在时，，符合题意；② 当直线的斜率存在时，设，即，所以，解得，所以直线，即．综上，所求直线的方程为和．方法三：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，将直线的方程代入圆的方程得：，即，．因为圆在点，两点处的切线互相垂直，所以，所以，即，所以，即，即，，即，解得，所以直线：，即．②当直线的斜率不存在时，：，符合题意；综上，所求直线的方程为和．本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和方程思想，考查直线和圆的位置关系，注意运用分类讨论思想方法和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．18.如图，从一个面积为的半圆形铁皮上截取两个高度均为的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以，为母线卷成两个高均为的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为．（1）将表示成的函数关系式，并写出的取值范围；（2）求两个圆柱体积之和的最大值．【答案】（1）.（2）（1）设半圆形铁皮的半径为r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1，r2，写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）利用导数判断V（x）的单调性，得出V（x）的最大值．（1）设半圆形铁皮的半径为，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为，．因为半圆形铁皮的面积为，所以，即．因为，所以，同理，即．所以卷成的两个圆柱的体积之和．因为，所以的取值范围是．（2）由，得，令，因为，故当时，；当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，所以当时，取得极大值，也是最大值．因此的最大值为．答：两个圆柱体积之和的最大值为．本题考查了圆柱的结构特征，圆柱与体积计算，用函数单调性求函数最值，属于中档题．19.如图，在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点．动直线过点，且与椭圆相交于，两点（直线与轴不重合）．（1）若点的坐标为，求点坐标；（2）点，设直线，的斜率分别为，，求证：；（3）求面积最大时的直线的方程．【答案】(1) (2)见证明；(3)（1）由已知得到直线l的方程，与椭圆方程联立即可求得点B的坐标；（2）设直线l的方程为x＝ty+1，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式即可证明k1+k2＝0；（3）△AF1B的面积S|F1F2|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|．把（2）中的根与系数的关系代入，可得S．设函数f（x）＝9x（x≥1），利用导数可得f（x）＝9x在[1，+∞）上单调递增，得到当t2+1＝1，即t＝0时，9（t2+1）取最小值10．由此可得直线l的方程为x＝1．（1）因为直线经过点，，所以直线的方程为．由解得或所以．（2）因为直线与轴不重合，故可设直线的方程为．设，．由得，所以，，因为，在直线上，所以，，所以，，从而．因为，所以．（3）方法一：的面积. 由（2）知，，，故，设函数．因为，所以在上单调递增，所以当，即时，取最小值10．即当时，的面积取最大值，此时直线的方程为．方法二：的面积．由（2）知，，，故，因为，所以，所以，即时，的面积取最大值．因此，的面积取最大值时，直线的方程为．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及导数求函数的最值，考查计算能力，属难题．20.已知函数，．（1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；（3）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．【答案】(1) (2) (3)（1）代入a的值，根据切线方程得到关于x0的方程，求出切点坐标，解出m即可；（2）问题转化为alnx1＞0，记g（x）＝alnx1，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可；（3）法一：求出h（x2）﹣h（x1）的解析式，记m（x）＝2[（x）lnx x]，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可；法二：由h（x）＝f（x）﹣x＝alnx x，x＞0，以及h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），得到x1+x2＝a，x1x2＝1，设t2（t＞1），从而h（x2）﹣h（x1）等价于h（t）＝（t）lnt t，t＞1，记m（x）＝（x）lnx x，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可．（1）当时，，．设直线与曲线相切于点，则，即，解得，即切点为，因为切点在上，所以，解得．（2）不等式可化为．记，则对任意恒成立．考察函数，，．当时，，在上单调递减，又，所以，不合题意；当时，，；，，所以在上单调递减，在上单调递增，若，即时，在上单调递增，所以时，，符合题意；若，即时，在上单调递减，所以当时，，不符合题意；综上所述，实数的取值范围为．（3）方法一：，，．因为有两个极值点，，所以，即的两实数根为，，，所以，，，所以，，从而．记，．则(当且仅当时取等号)，所以在上单调递增，又，不等式可化为，所以．因为，且在上递增，所以，即的取值范围为．方法二：，，．因为有两个极值点，，所以，即的两实数根为，，，所以，，，所以，．设，则，，所以，，，从而等价于，．记，．则(当且仅当时取等号)，所以在上单调递增．又，，所以．因为，且在上递增，所以，即的取值范围为．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，换元思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题．。
2023-2024学年江苏省南京市高二上学期期末数学质量检测试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．设正项等比数列{}n a 满足4336a a -=，26a =，则1a =（）A ．3B ．12C ．2D ．13【正确答案】C【分析】本题可设公比为q ，然后根据4336a a -=得出26q q -=，通过计算求出3q =，最后通过21aa q=即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为4336a a -=，26a =，所以22236a q a q -=，即26636q q -=，26q q -=，解得3q =或2-（舍去），3q =，则21623a a q ===，故选：C.2．“k =是“直线2y kx =+与圆221x y +=相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d =，即214k +=，23k ∴=，即k =，∴“k 是“直线2y kx =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件，故选：A ．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，比较基础．3．如果抛物线2y ax =的准线是直线1x =，那么它的焦点坐标为（）A ．（1，0）B ．（2，0）C ．（3，0）D ．()1,0-【正确答案】D【分析】结合抛物线的知识确定正确答案.【详解】由于抛物线的准线是直线1x =，所以它的焦点为()1,0-.故选：D4．过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点（点A 在第一象限），若直线l 的倾斜角为60，则||||AF BF 的值为（）A ．2B ．3C ．32D ．52【正确答案】B【分析】求出直线方程，联立直线和抛物线方程，解得A ，B 坐标，即可由抛物线定义求得,AF BF ，得出所求.【详解】由题可得()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ，（12x x >），直线l 的倾斜角为60 ，∴则直线l 的方程为)1y x =-，联立)241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得231030x x -+=，解得1213,3x x ==，由抛物线的定义可得12414,13AF x BF x =+==+=，则||3||AF BF =.故选：B.5．已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A ．2π-B ．0C ．1D ．2π【正确答案】A【分析】先利用诱导公式把()f x 化简为()cos f x x x =，再利用常见函数的导数公式和函数乘积的导数的运算法则求出()f x '，代入2π可得所求的导数值.【详解】()sin cos 2f x x x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故()cos sin f x x x x '=-，所以22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.故选：A.本题考查诱导公式及导数的运算，注意函数乘积的导数的运算法则的正确应用，本题属于基础题.6．若2()24ln f x x x x =--,则()0f x ¢>的解集为（）A ．(0,)B ．(-1,0)(2,)C ．(2,)D ．(-1,0)【正确答案】C【详解】()242220,0,x x f x x x x --'=-->()()0,210,2x x x x >∴-+>∴> 7．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值为10，则=a （）A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3【正确答案】C【分析】根据函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，可知f '（1）0=和f （1）10=，可求出a .【详解】由322()f x x ax bx a =+++，得2()32f x x ax b '=++，函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值10，f ∴'（1）0=，f （1）10=，∴2230110a b a a b ++=⎧⎨+++=⎩，∴411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，当33a b =-⎧⎨=⎩时，2()3(1)0f x x '=-，∴在1x =处不存在极值；当411a b =⎧⎨=-⎩时，2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-11(3x ∴∈-，1)，()0f x '<，(1,)x ∈+∞，()0f x '>，∴符合题意.故选：C本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．过抛物线2:8C y x =的焦点F 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若6AF =，则BF =（）A ．9或6B ．6或3C ．9D ．3【正确答案】D设点A 为第一象限内的点，设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用抛物线的定义可求得点A 的坐标，进而可求得直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，由韦达定理可求得点B 的横坐标，进而可求得BF .【详解】设点A 为第一象限内的点，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则1>0x ，10y >，则由题意可得：点()2,0F ，126AF x =+=，则14x =，由2118y x =，得1y =，所以42AB k ==-AB 方程为)2y x =-，将直线AB 的方程代入28y x =化简得2540x x -+=，所以21x =，所以223F x B =+=，故选：D ．结论点睛：过抛物线()220y px p =>焦点F 的弦AB ，点A 在第一象限，直线AB 的倾斜角为θ.（1）1cos p AF θ=-，1cos pBF θ=+；（2）22sin pAB θ=；（3）112AF BF p+=.二、多选题9．已知()0,πα∈，关于曲线C ：22sin cos 1x y αα+=，下列说法正确的是（）A ．曲线C 不可能是圆B ．曲线C 可能是焦点在x 轴上的椭圆C ．曲线C 不可能是焦点在y 轴上的椭圆D ．曲线C 可能是双曲线【正确答案】BD【分析】根据α的不同取值，结合椭圆和双曲线标准方程的形式，即可判断选项.【详解】A.当π4α=时，ππsin cos 44=22x y +=，即为圆的方程，故A 错误；B.曲线方程整理为22111sin cos x y αα+=，当π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110sin cos αα>>，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，故B 正确；C.当ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110cos sin αα>>，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，故C 错误；D.当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110,0cos sin αα<>，曲线C 表示双曲线，故D 正确.故选：BD10．已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，11b =，1251n n n a a b +=-+，1251n n n b b a +=-+．则下列结论不正确的是（）A ．数列{}n n a b -为等比数列B ．数列{}n n a b +为等差数列C ．6695a b +=D ．()11132312n n n a --=⨯+-【正确答案】BCD【分析】对A ，条件两等式相减，根据定义判断等比数列；对B ，条件两等式相加，根据定义判断等差数列；对C ，由B 的结论求出通项，再求第6项；对D ，由AB 的结论求出通项公式，再两式相加.【详解】对A ，()()()11251516n n n n n n n n a b a b b a a b ++-=-+--+=-，即()113n n n n a b a b ++-=-，1110a b -=≠，故数列{}n n a b -为首项为1，公比为3的等比数列，A 对；对BC ，()()112515142n n n n n n n n a b a b b a a b +++=-++-+=++，即()1121n n n n a b a b +++=++，即()11121n n n n a b a b ++++=++，故数列{}1n n a b ++为首项为1114a b ++=，公比为2的等比数列，故111422n n n n a b -+++=⨯=，故121n n n a b ++=-，故数列{}n n a b +不为等差数列，76621127a b +=-=，BC 错；对D ，由A 得13n n n a b --=，又121n n n a b ++=-，两式相加得112231n n n a +-=+-，即()11142312n n n a --=⨯+-，D 错.故选：BCD11．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列结论中正确的是（）A ．三棱锥11A PB D -的体积不变B ．DP 平面11AB D C ．11A P BD ⊥D ．平面1ACP ⊥平面PBD 【正确答案】ABD【分析】利用等体积法判断体积不变，A 正确；证明平面11//AB D 平面1BDC ，即知//DP 平面11AB D ，B 正确；建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算证明C 错误D 正确即可.【详解】对于A ，11AB D 的面积是定值，11//AD BC ，1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，∴1//BC 平面11AB D ，故P 到平面11AB D 的距离为定值，∴三棱锥11P AB D -的体积是定值，即三棱锥11A PB D -的体积不变，故A 正确；对于B ，由选项A 知，1//BC 平面11AB D ，同理//DB 平面11AB D ，而1BC BD B = ，1,BC BD ⊂平面1BDC ，∴平面11//AB D 平面1BDC ，DP ⊂ 平面1BDC ，//DP ∴平面11AB D ，故B正确；对于C ，以1D为原点，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 在1BC 上，故可设(,2,),02P a a a ，则11(2,0,0),(2,2,2),(0,0,0)A B D ，1(2,2,)A P a a =- ，1(2,2,2)BD =---，则()1122424A P BD a a a ⋅=----=-不一定为0，1A P ∴和1BD 不垂直，故C 错误；对于D ，设(,2,),02P a a a，则11(2,0,0),(0,2,2),(2,2,2),(0,0,0),(0,0,2)A C B D D ，1(2,2,)A P a a =- ，1(2,2,2)A C =- ，(,2,2)DP a a =- ，(2,2,0)DB =，设平面1ACP 的法向量(,,)n x y z =，则11(2)202220n A P a x y az n A C x y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，得221,,22a a n a a -⎛⎫= --⎝⎭ ，设平面PBD 的法向量(,,)m a b c =，则20220m DP ax y az m DB x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，得()1,1,1m =-- ，221022a a m n a a-⋅=--=-- .∴平面1ACP 和平面PBD 垂直，故D 正确.故选：ABD.12．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()f x '满足()()f x f x '<，则（）A ．()()1e 0f f <B ．()()1e 0f f >C ．()()e ln 221f f <D ．()()e ln 221f f >【正确答案】BC 【分析】构造函数()()xf xg x =e，利用导数分析函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】构造函数()()x f x g x =e ，其中x ∈R ，则()()()0e xf x f xg x '-'=>，所以，函数()g x 为R 上的增函数，则()()10g g >，即()()10ef f >，所以，()()1e 0f f >，A 错B 对；因为ln 2ln e 1<=，则()()ln 21g g <，即()()ln 212ef f <，所以，()()e ln 221f f <，C 对D 错.故选：BC.三、填空题13．已知定义在区间()0,π上的函数()2sin f x x =-，则()f x 的单调递增区间为______．【正确答案】π,π4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】对()f x 求导，求出()0f x ¢>的解即可求出答案.【详解】因为()2sin f x x =-,则()2cos f x x '=令()2cos 0f x x '=>,即cos x <且()0,πx ∈所以π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()f x 的单调递增区间为π,π4⎛⎫⎪⎝⎭故π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭14．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为___________．【分析】取11B C 的中点F ，连接EF ，1ED ，证得1//CC 平面1D EF ，把1C C 上任一点到平面1D EF 的距离即为两条异面直线1D E 与1CC 的距离，过点1C 作11C M D F ⊥，利用面面垂直的性质定理，证得1C M ⊥平面1D EF ，过点M 作//MP EF 交1D E 于点P ，得到1//MP C C ，取1C N MP =，连接PN ，证得NP ⊥平面1D EF ，在直角11D C F 中，求得1C M 的值，即可求解.【详解】解：如图所示，取11B C 的中点F ，连接EF ，1ED ，所以1//CC EF ，又EF ⊂平面1D EF ，1CC ⊄平面1D EF ，所以1//CC 平面1D EF ，所以直线1C C 上任一点到平面1D EF 的距离即为两条异面直线1D E 与1CC 的距离，过点1C 作11C M D F ⊥，因为平面1D EF ⊥平面1111D C B A ，且1C M ⊂平面1111D C B A ，所以1C M ⊥平面1D EF ．过点M 作//MP EF 交1D E 于点P ，则1//MP C C ，取1C N MP =，连接PN ，则四边形1MPNC 是矩形，可得NP ⊥平面1D EF ，在直角11D C F 中，由11111C MD F D C C F ⋅=⋅，所以1111111·2D C C F C M D F ⨯===故点P 到直线1CC15．已知数列{}n a 满足*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，若不等式2410n ta n n++≥恒成立，则实数t 的取值范围是__________【正确答案】[9,)-+∞【分析】根据题意化简得到1111(1)n n n a na +-=+，利用等差数列的通项公式化简得1(1)n a n n =+，把不等式2410nta n n++≥，转化(4)(1)n n t n ++≥-恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】由数列{}n a 满足*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，可得1111(1)n n n a na +-=+，且112a =，所以数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为2，公差为1的等差数列，所以111=+(1)1n n n na a -=+，所以1(1)n a n n =+，又由2410n ta n n++≥恒成立，即(4)(1)n n t n ++≥-对n N *∈恒成立，因为(4)(1)44(5)(25)9n n n n n n n++-=-++≤-⋅+=-，当且仅当2n =时取等号，所以9t ≥-，即实数t 的取值范围是[9,)-+∞.16．已知正项数列{}n a 满足递推关系11(2)21n n n a a n a --=+，且114a =，数列{}n b 满足21n n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12231n b b bn ++⋅⋅⋅+=+________.【正确答案】226n n +【分析】将1121n n n a a a --=+两边取倒数得1112n n a a --=，可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个首项114a =，公差为2的等差数列，可求14(1)222n n n a =+-⨯=+，继而求出4(1)1n b n n =++，所以数列1n b n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以8为首项，4为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可求解.【详解】将1121n n n a a a --=+两边取倒数得1112n n a a --=，这说明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个等差数列，又首项114a =，公差为2，所以14(1)222nn n a =+-⨯=+，于是2214(1)n n b n a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，于是4(1)1n b n n =++，所以数列1n b n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以8为首项，4为公差的等差数列，故212(1)84262312n b b b n n n n n n -++⋅⋅⋅+=+⨯=++.故答案为.226n n+本题考查等差数列的推导证明以及等差数列的求和问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中等题.四、解答题17．在①71a =，②848S =，③894a a +=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，440S =，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求n S 的最大值．【正确答案】(1)215n a n =-+(2)49【分析】（1）分别选①②③，根据等差数列的通项公式和求和公式，列出方程组，求得1,a d 的值，进而求得数列的通项公式；（2）由113a =，2d =-，利用等差数列的求和公式，化简得到2(7)49n S n =--+，结合二次函数的性质，即可得到答案.【详解】（1）解：选①，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得7141614640a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113a =，2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为13(1)(2)215n a n n =+-⋅-=-+.选②，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得8141828484640S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113a =，2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为13(1)(2)215n a n n =+-⋅-=-+.选③，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得8914121544640a a a d S a d +=+=-⎧⎨=+=⎩，解得113a =，2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为13(1)(2)215n a n n =+-⋅-=-+.（2）解：由113a =，2d =-，所以2213(215)14(7)492n n S n n n n +-+=⨯=-+=--+，所以当7n =时，n S 取得最大值为49．18．已知圆C 过两点()3,5A -，()1,7B ，且圆心在直线230x y -+=上．(1)求圆C 的方程；(2)过点()4,4P -作直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若8MN =，求直线l 的方程．【正确答案】(1)()()221225x y -+-=；(2)4x =或3440x y ++=．【分析】（1）设出圆的标准方程，利用待定系数法求解；（2）根据弦长及圆的半径求出弦心距，据此分直线斜率存在与不存在两种情况求解即可.【详解】（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则222222(3)(5)(1)(7)230a b r a b r a b ⎧--+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩，解得125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的方程为()()221225x y -+-=．（2）设圆心()1,2C 到直线l 的距离为d ，则8M N ===，则3d =．当直线l 的斜率不存在时，直线l ：4x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()44y k x +=-，即440kx y k ---=，所以3d =，解得34k =-，此时，直线l 的方程为()3444y x +=--，即3440x y ++=．综上所述，直线l 的方程为4x =或3440x y ++=．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且232-=n n n S ，*N n ∈，等比数列{}n b 中，1212b b +=，且1b ，26b +，3b 成等差数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n c 为区间(]()*,N n n a b n ∈中的整数个数，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)32n a n =-，3n n b =(2)123332n n n n T +-+-=【分析】(1)根据,n n a S 关系,结合应用等差等比数列基本量运算即可得出通项公式;(2)计算n c 后再应用等差数列前n 项和公式,等比数列前n 项和公式分组求和即可.【详解】（1）因为232-=n n n S ，所以当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()22131133222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-，1n =时也成立，所以32n a n =-．设等比数列{}n b 公比q ，因为1b ，26b +，3b 成等差数列，且1212b b +=，所以()122131226b b b b b +=⎧⎨+=+⎩，则21111121212b q b b q b b q ⎧+=+⎨+=⎩，所以133b q =⎧⎨=⎩，所以3n n b =．（2）因为nc 为在区间(32,3n n ⎤-⎦中的整数个数，所以()332n n c n =--，则()()()122313132333333143213222n n n n n n n n T n +-+---=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-=-=--所以123332n n n n T +-+-=．20．如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，1190,1,2,5BAC AB BC BB C D CD ∠====== ，平面1CC D ⊥平面11ACC A （1）求证：1AC DC ⊥；（2）若M 为1DC 中点，求证：//AM 平面1DBB ；【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，易得1CC AC ⊥，又平面1CC D ⊥平面11ACC A ，利用面面垂直的性质定理证明即可；（2）由1AA ⊥平面111A B C ，且90BAC ∠= ，建立空间直角坐标系，求得平面1DBB 的一个法向量为(),,n x y z = ，证明AM n ⊥ 即可；【详解】（1） 在直三棱柱111ABC A B C -中，∴1CC ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴1CC AC ⊥，∵平面1CC D ⊥平面11ACC A ,且平面1CC D ⋂平面111ACC A CC =，又AC ⊂ 平面11ACC A ,∴AC ⊥平面1CC D ，又1DC ⊂平面1CC D ，∴1AC DC ⊥（2）直三棱柱111ABC A B C -中，∵1AA ⊥平面111A B C ，而1111,A B A C ⊂平面111A B C ∴111111,AA A B AA AC ⊥⊥，又90BAC ∠= ，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()112,0,0,,,2,0,1,0,0,1,2A C C B B D ，所以()()12,0,0,1,1BB BD =-=- ，设平面1DBB 的一个法向量为(),,n x y z = ，则100n BB n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200x x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，则(0,1,n = ，∵M 为1DC的中点，则12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以32AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0AM n ⋅= ，所以AM n ⊥ ，又AM ⊄平面1DBB ，∴//AM 平面1DBB .方法点睛：证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．21．已知函数32()f x x ax x b =-++在1x =处取得极值.（1）当2b =-时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（2）若函数()f x 有三个零点，求实数b 的取值范围.【正确答案】（1）20x y --=（2）4027b b ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】先对函数()f x 求导，根据函数()f x 在1x =处取得极值，求出a ；（1）将2b =-代入()f x 解析式，再由导数的方法求出其在0x =处的切线斜率，进而可求出结果；（2）函数()f x 有三个零点，等价于方程322x x x b -+=-有三个不等实根，也即是函数()322g x x x x =-+与直线y b =-有三个不同的交点，由导数的方法研究函数()322g x x x x =-+的极值，即可得出结果.【详解】解：()2'321f x x ax =-+，由题意知()'10f =，所以3210a -+=，即2a =.所以()322f x x x x b =-++.（1）当2b =-时，()3222f x x x x =-+-，()2'341f x x x =-+，所以()'01f =，()02f =-，所以()f x 在0x =处的切线方程为()20y x --=-，即20x y --=.（2）令()0f x =，则322x x x b -+=-.设()322g x x x x =-+，则()y g x =与y b =-的图象有三个交点.()()()2'341311g x x x x x =-+=--，所以当x 变化时，()g x ，()'g x 的变化情况为x 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞()'g x +0-0+()g x 增函数极大值减函数极小值增函数所以14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =.又当x →-∞时，y →-∞；当x →+∞时，y →+∞，所以4027b <-<，即4027b -<<.所以b 的取值范围是4027b b ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.本题主要考查导数在函数中的应用，以及导数的几何意义；对于求函数在某点的切线方程，只需对函数求导，求出切线斜率，再由点斜式求出切线方程即可；对于函数零点问题，可转化为两个函数图像交点的问题，由导数的方法研究函数的极值，进而可求出结果.22．如图，在六面体PABCD 中，PAB 是等边三角形，二面角P AB D --的平面角为30°，4PC AB ====.(1)证明：AB PD ⊥；(2)若点E 为线段BD 上一动点，求直线CE 与平面PAB 所成角的正切的最大值.【正确答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得线面θ，满足sin θ=利用换元法结合二次函数的最值即可求解.【详解】（1）证明：取AB 中点M ，连接,PM DM ，因为,PA PB DA DB ==，所以,PM AB DM AB ⊥⊥，且PM DM M = ，所以AB ⊥平面PMD ，又PD ⊂平面PMD ，所以AB PD ⊥.（2）连接CM ，则CM AB ⊥，由4AC BC AB ===，可得2CM =，于是22216CM PM PC +==，所以PM CM ⊥，又,PM AB AB CM M ⊥⋂=，所以PM ⊥平面ABC ，以M 为原点，,,MC MB MP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()(0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,M C B P ，由120CMD ∠= ，可得(D -，平面PAB 的法向量为()1,0,0n = ，设([]1,,0,1BE BD λλλ==--∈，则()2,22,CE CB BE λλ=+=--- ，设CE 与平面PAB 所成角为θ，则sin cos ,n CE θ=令[]2,2,3t t λ+=∈，则sin θ令()[]248368,2,3f t t t t=-+∈，由对称轴138t =知，当138t =，即23λ=时，min 5()4f t =，max (sin )5θ==，于是max (tan ) 2.θ=直线CE 与平面PAB 所成角的正切的最大值为2.。
江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(文科) (1)
江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）已知命题p：∀x＞0，e x≥ex，写出命题p的否定：．2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的准线方程为．3．（5分）已知f（x）＝e x•sin x，则f′（0）的值为．4．（5分）设复数z满足（z﹣2）i＝1+i（i为虚数单位），则z的实部是．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆C：+y2＝1上一点．若点P到椭圆C的右焦点的距离为2，则它到椭圆C的右准线的距离为．6．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最小值为．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2＝1的顶点到它的渐近线的距离为．9．（5分）已知函数f（x）＝+a在（0，+∞）上的最小值为2e，则实数a的值为．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B（0，2），平面内点P满足•＝15，则PO的最大值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F2且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点．若∠AF1B＝90°，则该椭圆的离心率的值是．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0有公共点，则实数a的取值范围是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，点A（3，1），P为抛物线y2＝2x上任意一点（异于原点），过点P作圆M的切线PB，B为切点，则PA+PB的最小值是．14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x﹣6a2+4a（a＞0）只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z1＝m﹣2i，复数z2＝1﹣ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．（1）若n＝1，z1为纯虚数，求|z1+z2|的值；（2）若z1＝（）2，求m，n的值．16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（4，0），其离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）已知P是椭圆E上一点，F1，F2为椭圆E的焦点，且∠F1PF2＝，求点P到y 轴的距离．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线y＝x2﹣x﹣6与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）经过点P（﹣2，5）的直线l与圆C相交于A，B两点，若圆C在A，B两点处的切线互相垂直，求直线l的方程．18．（16分）如图，从一个面积为15π的半圆形铁皮上截取两个高度均为x的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以AB，A1B1为母线卷成两个高均为x的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为V．（1）将V表示成x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求两个圆柱体积之和V的最大值．19．（16分）已知函数f（x）＝alnx+，a∈R．（1）若a＝2，且直线y＝x+m是曲线y＝f（x）的一条切线，求实数m的值；（2）若不等式f（x）＞1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆C：+＝1的左、右焦点．动直线l过点F2，且与椭圆C相交于A，B两点（直线l与x轴不重合）．（1）若点A的坐标为（0，），求点B坐标；（2）点M（4，0），设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2＝0；（3）求△AF1B面积最大时的直线l的方程．江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）已知命题p：∀x＞0，e x≥ex，写出命题p的否定：∃x＞0，e x＜ex．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x＞0，e x≥ex，的否定是：∃x＞0，e x＜ex．故答案为：∃x＞0，e x＜ex．2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的准线方程为x＝﹣．【解答】解：抛物线y2＝2x的焦点到其准线的距离为：p＝1．抛物线的准线方程为：x＝﹣．故答案为：x＝﹣3．（5分）已知f（x）＝e x•sin x，则f′（0）的值为1．【解答】解：f（x）＝e x•sin x，f′（x）＝（e x）′sin x+e x．（sin x）′＝e x•sin x+e x•cos x，∴f'（0）＝0+1＝1故答案为：14．（5分）设复数z满足（z﹣2）i＝1+i（i为虚数单位），则z的实部是3．【解答】解：由（z﹣2）i＝1+i得，z＝＝＝＝3﹣i，所以复数的实部为：3．故答案为：3．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆C：+y2＝1上一点．若点P到椭圆C的右焦点的距离为2，则它到椭圆C的右准线的距离为．【解答】解：椭圆C：+y2＝1，可得e＝，由椭圆的第二定义可得：它到椭圆C的右准线的距离为d，d＝＝．故答案为：．6．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最小值为1．【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得B（3，﹣1）．化z＝x+2y为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过B（3，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝3+2×（﹣1）＝1．故答案为：1．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的必要不充分条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）【解答】解：由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1表示椭圆”的充要条件为：，又“m＞0”是“”的必要不充分条件，所以，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2＝1的顶点到它的渐近线的距离为．【解答】解：双曲线﹣y2＝1的一个顶点为A（2，0），双曲线的一条渐近线为y＝x，即x﹣2y＝0，则点到直线的距离公式d＝＝，故答案为：．9．（5分）已知函数f（x）＝+a在（0，+∞）上的最小值为2e，则实数a的值为e．【解答】解：f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）min＝f（1）＝e+a＝2e，解得：a＝e，故答案为：e．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B（0，2），平面内点P满足•＝15，则PO的最大值是3．【解答】解：设P（x，y），则＝（4﹣x，﹣y），＝（﹣x，2﹣y）∵•＝15，∴x（x﹣4）+y（y﹣2）＝15，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝20，∴点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆，∴PO的最大值为：|OC|+半径＝3．故答案为：3．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F2且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点．若∠AF1B＝90°，则该椭圆的离心率的值是﹣1．【解答】解：由已知可得，BF1＝，过F1且与x轴垂直的直线与椭圆交于B，C两点，且∠BF2C＝90°，可得：2c＝，即：2ca＝a2﹣c2，可得e2+2e﹣1＝0，∵0＜e＜1，∴e＝﹣1．故答案为：．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0有公共点，则实数a的取值范围是[﹣2，1]．【解答】解：根据题意，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1，其圆心C1为（a，a+2），半径为r1＝1，圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0，即（x﹣1）2+y2＝4，其圆心C2（1，0），半径r2＝2，若两圆有公共点，则2﹣1≤|C1C2|≤2+1，即1≤（a﹣1）2+（a+2）2≤9，变形可得：a2+a+2≥0且a2+a﹣2≥0，解可得：﹣2≤a≤1，即a的取值范围为[﹣2，1]；故答案为：[﹣2，1]．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，点A（3，1），P为抛物线y2＝2x上任意一点（异于原点），过点P作圆M的切线PB，B为切点，则PA+PB的最小值是3．【解答】解：设P（x，y），可得y2＝2x，圆M：（x﹣1）2+y2＝1的圆心M（1，0），半径为1，|PB|＝＝＝＝|x|，即|PB|为P到y轴的距离，抛物线的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，可得|PA|+|PB|＝|PA|+|PK|﹣＝|PA|+|PF|﹣，过A作准线的垂线，垂足为K，可得A，P，K共线时，|PA|+|PK|取得最小值|AK|＝，即有|PA|+|PB|的最小值为3．故答案为：3．14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x﹣6a2+4a（a＞0）只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a的取值范围是（1，2）．【解答】解：令f'（x）＝3x2﹣3a2＝3（x﹣a）（x+a）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a，其中a＞0，所以函数的单调性和单调区间如下：x∈（﹣∞，﹣a），f（x）递增；x∈（﹣a，a），f（x）递减；x∈（a，+∞），f（x）递增．因此，f（x）在x＝﹣a处取得极大值，在x＝a处取得极小值，结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x0，且x0＞0，只需满足：f（x）极大值＝f（﹣a）＜0，即﹣a3+3a3﹣6a2+4a＜0，整理得a（a﹣1）（a﹣2）＜0，解得，a∈（1，2），故答案为：（1，2）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z1＝m﹣2i，复数z2＝1﹣ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．（1）若n＝1，z1为纯虚数，求|z1+z2|的值；（2）若z1＝（）2，求m，n的值．【解答】解（1）因为z1＝m﹣2i为纯虚数，所以m＝0．又n＝1，所以z1＝﹣2i，z2＝1﹣i，从而z1+z2＝1﹣3i．因此|z1+z2|＝＝．（2）因为z1＝（）2，所以m﹣2i＝（1+ni）2，即m﹣2i＝（1﹣n2）+2ni．又m，n为实数，所以，解得16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（4，0），其离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）已知P是椭圆E上一点，F1，F2为椭圆E的焦点，且∠F1PF2＝，求点P到y 轴的距离．【解答】解（1）因为椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（4，0），所以a＝4．…………………（2分）又椭圆E的离心率e＝＝，所以c＝2．…………………（4分）所以b2＝a2﹣c2＝4．因此椭圆E的方程为…………………（6分）（2）：由椭圆E的方程为．知F1（﹣2，0），F2（2，0）．设P（x，y）．因为∠F1PF2＝，所以•＝0，所以x2+y2＝12．…………………（10分）由解得x2＝．…………………（12分）所以|x|＝，即P到y轴的距离为．…………………（14分）17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线y＝x2﹣x﹣6与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）经过点P（﹣2，5）的直线l与圆C相交于A，B两点，若圆C在A，B两点处的切线互相垂直，求直线l的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线y＝x2﹣x﹣6与坐标轴的三个交点坐标为（﹣2，0），（3，0），（0，﹣6），设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则，解得，所以圆C的方程为x2+y2﹣x+5y﹣6＝0．方法二：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，令y＝0，得x2+Dx+F＝0．因为圆C经过抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴的交点，所以x2+Dx+F＝0与方程x2﹣x﹣6＝0同解，所以D＝﹣1，F＝﹣6．因此圆C：x2+y2﹣x+Ey﹣6＝0．因为抛物线y＝x2﹣x﹣6与y轴的交点坐标为（0，﹣6），又所以点（0，﹣6）也在圆C上，所以36﹣6E﹣6＝0，解得E＝5．所以圆C的方程为x2+y2﹣x+5y﹣6＝0．（2）由（1）可得，圆C：（x﹣）2+（y+）2＝，故圆心C（，﹣），半径r＝．因为圆C在A，B两点处的切线互相垂直，所以∠ACB＝．所以C到直线l的距离d＝×＝．①当直线l的斜率不存在时，l：x＝﹣2，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设l：y﹣5＝k（x+2），即kx﹣y+（2k+5）＝0，所以＝，解得k＝﹣，所以直线l：y﹣5＝﹣（x+2），即4x+3y﹣7＝0．综上，所求直线l的方程为x＝﹣2和4x+3y﹣7＝0．18．（16分）如图，从一个面积为15π的半圆形铁皮上截取两个高度均为x的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以AB，A1B1为母线卷成两个高均为x的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为V．（1）将V表示成x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求两个圆柱体积之和V的最大值．【解答】解：（1）设半圆形铁皮的半径为r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1，r2．因为半圆形铁皮的面积为15π，所以πr2＝15π，即r2＝30．因为2πr1＝2，所以r1＝，同理2πr2＝2，即r2＝．所以卷成的两个圆柱的体积之和V＝f（x）＝（πr12+πr22）x＝（60x﹣5x3）．因为0＜2x＜r＝，所以x的取值范围是（0，）．（2）由f（x）＝（60x﹣5x3），得f′（x）＝（60﹣15x2），令f′（x）＝0，因为x∈（0，），故x＝2．当x∈（0，2）时，f′（x）＞0；当x∈（2，）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，）上为减函数，所以当x＝2时，f（x）取得极大值，也是最大值．因此f（x）的最大值为f（2）＝．答：两个圆柱体积之和V的最大值为．19．（16分）已知函数f（x）＝alnx+，a∈R．（1）若a＝2，且直线y＝x+m是曲线y＝f（x）的一条切线，求实数m的值；（2）若不等式f（x）＞1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．【解答】（本小题满分16分）解：（1）当a＝2时，f（x）＝2lnx+，f′（x）＝﹣．…………………（2分）设直线y＝x+m与曲线y＝f（x）相切于点（x0，2lnx0+），…………………（5分）解得x0＝1，即切点为（1，1），因为切点在y＝x+m上，所以1＝1+m，解得m＝0．…………………（7分）（2）不等式f（x）＞1可化为alnx+﹣1＞0．记g（x）＝alnx+﹣1，则g（x）＞0对任意x∈（1，+∞）恒成立．考察函数g（x）＝alnx+﹣1，x＞0，g′（x）＝﹣＝．当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝0，所以g（2）＜g（1）＝0，不合题意；…………………（9分）当a＞0时，x∈（0，），g′（x）＜0；x∈（，+∞），g′（x）＞0，所以g（x）在（0，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，…………………（11分）若≤1，即a≥1时，g（x）在[1，+∞）上单调递增，所以x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）＝0，符合题意；…………………（13分）若＞1，即0＜a＜1时，g（x）在[1，）上单调递减，所以当x∈（1，）时，g（x）＜g（1）＝0，不符合题意；综上所述，实数a的取值范围为[1，+∞）．…………………（16分）20．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆C：+＝1的左、右焦点．动直线l过点F2，且与椭圆C相交于A，B两点（直线l与x轴不重合）．（1）若点A的坐标为（0，），求点B坐标；（2）点M（4，0），设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2＝0；（3）求△AF1B面积最大时的直线l的方程．【解答】（1）解：∵直线l经过点F2（1，0），A（0，），∴直线l的方程为y＝﹣（x﹣1）．由，解得或．∴B（）；（2）证明：∵直线l与x轴不重合，故可设直线l的方程为x＝ty+1．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由，得（4+3t2）y2+6ty﹣9＝0，∴y1+y2＝，y1y2＝，∵A，B在直线l上，∴x1＝ty1+1，x2＝ty2+1，∴k1＝，k2＝，从而k1+k2＝＝．∵2ty1y2﹣3（y1+y2）＝2t•（）﹣3•（﹣）＝0，∴k1+k2＝0；（3）解：△AF1B的面积S＝|F1F2|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝．由（2）知，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，故S＝＝12＝＝．设函数f（x）＝9x+（x≥1）．∵f'（x）＝9﹣＞0，∴f（x）＝9x+在[1，+∞）上单调递增，∴当t2+1＝1，即t＝0时，9（t2+1）+取最小值10．即当t＝0时，△AF1B的面积取最大值，此时直线l的方程为x＝1．因此，△AF1B的面积取最大值时，直线l的方程为x＝1．。
江苏省南京市数学高二上学期理数期末考试试卷
江苏省南京市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知命题 p:,， 则 为（ ）A.,B.,C.,D.,2. （2 分） 以椭圆的顶点为顶点，离心率为 2 的双曲线方程（ ）A.B.C.或D . 以上都不对3. （2 分） (2017 高二上·廊坊期末) 某学校有老师 100 人，男学生 600 人，女学生 500 人，现用分层抽样 的方法从全体师生中抽取一个容量为 n 的样本，已知女学生一共抽取了 40 人，则 n 的值是（ ）A . 96B . 192C . 95D . 1904. （2 分） (2015 高二下·福州期中) 设函数 y=f（x）在（a，b）上可导，则 f（x）在（a，b）上为增函数 是 f′（x）＞0 的（ ）A . 必要不充分条件第 1 页 共 13 页B . 充分不必要条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 5. （2 分） 设 M（x0 ， y0）为抛物线 C：y2=8x 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，若以 F 为圆心，|FM|为半径 的圆和抛物线 C 的准线相交，则 x0 的取值范围是（ ） A . （2，+∞） B . （4，+∞） C . （0，2） D . （0，4） 6. （2 分） 给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若 a，b∈R，则 a－b＝0⇒ a＝b”类比推出“若 a，b∈C，则 a－b＝0⇒ a＝b”； ②“若 a，b，c，d∈R，则复数 a＋bi＝c＋di⇒ a＝c，b＝d”类比推出“若 a，b，c，d∈Q，则 a＋b＝c＋d⇒ a ＝c，b＝d”； ③若“a，b∈R，则 a－b>0⇒ a>b”类比推出“若 a，b∈C，则 a－b>0⇒ a>b”． 其中类比结论正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 7. （2 分） (2016 高二上·万州期中) 过点（3，1）作一直线与圆（x﹣1）2+y2=9 相交于 M、N 两点，则|MN| 的最小值为（ ）A. B.2第 2 页 共 13 页C.4 D.6 8.（2 分）(2020·安阳模拟) 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 11，则图中的判断条件可以为（ ）A. B. C. D. 9. （2 分） (2017 高二下·赣州期中) 已知椭圆 M：（x﹣2）2+y2=4，则过点（1，1）的直线中被圆 M 截得的 最短弦长为 2 ．类比上述方法：设球 O 是棱长为 3 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的外接球，过 AC1 的一个三等分 点作球 O 的截面，则最小截面的面积为（ ） A.π B . 4π C . 5π D . 6π10. （2 分） (2017 高一下·乾安期末) 在区间 生的概率为（ ）上随机取一个数 ，则事件“”发A.第 3 页 共 13 页B.C.D. 11. （2 分） 已知点 P 是圆 C:x2+y2+4x+ay-5=0 上任意一点，P 点关于直线 2x+y-1=0 的对称点在圆上，则实 数 a 等于（ ） A . 10 B . -10 C . 20 D . -2012. （2 分） 过双曲线左焦点 且倾斜角为段 的中点 落在 轴上，则此双曲线的离心率为（ ）的直线交双曲线右支于点 ， 若线A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高三上·上海月考) 在甲、乙等 8 名班干部中选 3 人参加一个座谈会，则甲被选中的概率 为________（结果用最简分数表示）14. （1 分） (2019 高二上·保定月考) 已知样本 5，6，7， ， 的平均数是 6，方差是，则________15. （1 分） (2018 高二下·孝感期中) 已知抛物线的焦点为 ，点 为抛物线 上任意一第 4 页 共 13 页点，若点，则的最小值为________16. （1 分） 已知正四棱柱 ABCD﹣A′B′C′D′的外接球直径为 AB′C 所成角的正切值为________， 底面边长 AB=1，则侧棱 BB′与平面三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)17. （5 分） (2017·徐水模拟) 某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在 8.0 米（四舍五入，精确到 0.1 米） 以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成 6 组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前 5 个 小组的频率分别为 0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第 6 小组的频数是 7．（Ⅰ）求进入决赛的人数；（Ⅱ）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记 X 表示两人中进入决赛的人数，求 X 的分布列及数学期 望；（Ⅲ）经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在 8～10 米之间，乙成绩均匀分布在 9.5～10.5 米之间，现甲， 乙各跳一次，求甲比乙远的概率．18. （10 分） (2019·巢湖模拟) 已知抛物线 E：，圆 C：．（1） 若过抛物线 E 的焦点 F 的直线 l 与圆 C 相切，求直线 l 方程；（2） 在 的条件下，若直线 l 交抛物线 E 于 A，B 两点，x 轴上是否存在点使为坐标原点 ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．19. （10 分） (2018 高一上·吉林期末) 已知点及圆.第 5 页 共 13 页（1） 设过点 的直线 与圆 交于 程；两点，当时，求以线段为直径的圆 的方（2） 设直线与圆 交于两点，是否存在实数 ，使得过点平分弦 ？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由.20. （10 分） 某连锁经营公司所属个零售店某月的销售额和利润额资料如表：商店名称ABCDE销售额 x（千万元）35679利润率 y（千万元）23345（1） 用最小二乘法计算利润额对销售额 y 的回归直线方程；（2） 当销售额为 4（千万元）时，估计利润额的大小．的直线 垂直=．21. （10 分） (2018·河南模拟) 如图，在边长为别在边 ， 上，点 与点 ， 不重合，的位置，使平面平面.的菱形 ，中， .沿.点 将，分 翻折到（1） 求证：平面；（2） 当 与平面所成的角为 时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.22. （5 分） (2017·泰安模拟) 已知椭圆 C：=1（a＞b＞0）的离心率为 ，短轴长为 2．直线l：y=kx+m 与椭圆 C 交于 M、N 两点，又 l 与直线 y=x 分别交于 A、B 两点，其中点 A 在第一象限，点 B 在第二象限，且△OAB 的面积为 2（O 为坐标原点）．第 6 页 共 13 页（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）求的取值范围．第 7 页 共 13 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 13 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)17-1、第 9 页 共 13 页18-1、18-2、19-1、19-2、第 10 页 共 13 页20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
2021-2022学年江苏省南京市部分学校高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年江苏省南京市部分学校（天印高级中学、秦淮中学、临江高级中学等）高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知函数，那么的值为( )A. B.C. D.2.设，若直线：与直线：平行，则a 的值为( )A. 1B. C. 1或D.3.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”“钱”是古代一种重量单位，这个问题中戊所得为( ) A.钱B. 钱C.钱D.钱4.若抛物线与直线l ：相交于A 、两点，则弦AB 的长为( )A. 6B. 8C.D.5.函数，则不等式的解集是( )A.B.C.D.6.已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为( )A. 10B. 11C. 12D. 137.在平面内，是两个定点，C 是动点．若，则点C 的轨迹为( )A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线8.已知函数，若存在三个零点，则实数a 的取值范围是( )A.B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.已知函数，若函数在上有极值，则实数a 可以取( )A. 1B. 2C. 3D. 410.已知等比数列，公比为q，前n项和为，则下列结论一定正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C. 当时，数列单调递增D. 若且，则11.已知动点P在圆上，点、，则( )A. 点P到直线AB的距离小于6B. 点P到直线AB的距离大于2C. 当最小时，D. 当最大时，12.将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列：，，，…，则以下结论中正确的是( )A. 第10个括号内的第一个数为1023B. 2021在第11个括号内C. 前10个括号内一共有1023个数D. 第10个括号内的数字之和三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.过圆上一点作圆的切线l，则直线l的方程为__________.14.牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，作曲线在点处的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；作曲线在点处的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的2次近似值．一般的，作曲线在点N处的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值．设的零点为r，取，则r的2次近似值为__________.15.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过且与圆O：相切的直线与双曲线C的一条渐近线相交于点点M在第一象限，若，则双曲线C的离心率__________.16.设数列满足，且，则__________.数列的通项__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
2023-2024学年江苏省南京市高二上册期末数学检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市高二上册期末数学检测模拟试题一、单选题1．已知等差数列{an }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5的值为（）A ．10B ．15C ．20D ．40【正确答案】B【分析】利用等差数列的性质求出a 6+a 5=22即得解.【详解】解：在等差数列{an }中，由题得a 3+a 8=a 6+a 5=22，又a 6=7，所以a 5=15.故选：B2．函数()e xf x ax =+在0x =处的切线与直线250x y --=平行，则实数=a （）A ．1-B ．1C ．12D ．14【正确答案】B【分析】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，即为关于a 的方程，可求出a 的值.【详解】函数()e xf x ax =+的导函数为()e x f x a '=+，函数在0x =处的切线的导数即为切线的斜率为0(0)e 1f a a '=+=+，且切线与直线250x y --=平行，则有12a +=，可得1a =.故选：B3．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过(5,2)A ，(1,4)B -两点，则圆C 的方程是（）．A ．22(2)17x y ++=B ．22(2)13x y -+=C ．22(1)20x y -+=D ．22(1)40x y ++=【正确答案】C设圆心坐标为(,0)C a ，利用圆过两点的坐标求出a 及半径r ，从而得圆标准方程．【详解】由题意，设圆心坐标为(,0)C a ，∵圆过(5,2)A ，(1,4)B -两点，∴2222(5)(02)(1)(04)a a -+-=++-，解得1a =，则圆半径为r ==．∴圆方程为22(1)20x y -+=．故选：C ．本题考查圆的标准方程，解题关键是求出圆心坐标和半径．4．下列求导结果正确的是（）A ．()21224x x'⎡⎤-=-⎣⎦B ．cos sin55ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()1ln 33x x'⎡⎤=⎣⎦D ．()cos cos sin x x x x x'⋅=-【正确答案】D利用导数的运算法则以及基本初等函数的导数公式可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，()()221244184x x x x ''⎡⎤-=-+=-⎣⎦，A 选项错误；对于B 选项，cos 05π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 选项错误；对于C 选项，()()1ln 3ln 3ln x x x''⎡⎤=+=⎣⎦，C 选项错误；对于D 选项，()()cos cos cos cos sin x x x x x x x x x '''⋅=+⋅=-，D 选项正确.故选：D.5．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n na a +<，若353520,64a a a a +==，则4S =A ．63126或B ．252C ．126D ．63【正确答案】C 【详解】试题分析：由，得即数列为递减数列，由得，故可得，即，，，故，故选C.6．设函数1,[1,)()2(2),(,1)x x f x f x x ⎧-∈-+∞=⎨+∈-∞-⎩，若对任意的[,)x m ∈+∞，都有()4f x ≥-，则m 的最小值是（）A ．4-B ．6-C ．132-D ．112-【正确答案】D【分析】作图函数的图象，数形结合即可求解【详解】作出f （x ）的部分图象，如图所示.当(6,5)x ∈--时，f （x ）=8（x +5）.令f （x ）=-4，解得112x =-.数形结合可得，若对任意的[,)x m ∈∞，都有()4f x ≥-，则m 的最小值是112-.故选：D7．已知直线1:2L y x m =+与曲线:C y =m 的取值范围是（）A ．(-B ．(C ．D ．【正确答案】C【分析】将曲线C 的表达式整理变形可知，其图象是由上半椭圆和上半双曲线组成的，再根据直线1:2L y x m =+与双曲线的渐近线平行，利用数形结合讨论临界位置结合交点个数即可求得实数m 的取值范围.【详解】由题意得曲线:C y =2y =，可得()22440y x y =-≥；当240x -≥时得到2244y x =-即()22104x y y +=≥；当240x -<时得到()22104x y y -=≥；由以上可得曲线C 的如图中所示，易知直线1:2L y x m =+与双曲线2214x y -=的一条渐近线12y x =平行；把直线12y x =向上平移到()0,1点时，即112y x =+与曲线C 有两个交点，此时1m =；继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点．当直线与椭圆的上半部分相切时，联立直线与椭圆的方程221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入整理得2224440x mx m ++-=()22168440m m ∆=--=即2m =2-（舍），由图示可得2m =综上可知12m <<故选：C8．已知递增等差数列{}n a 中，618=a 且2a 是1a ，4a 的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（）A ．180B ．198C ．189D ．168【正确答案】A【分析】由条件结合等差数列的通项公式及等比中项的定义列方程求数列的公差和首项，再利用求和公式求它的第4项到第11项的和.【详解】设递增等差数列{}n a 的公差为d ，则0d >，618a = 且2a 是1a ，4a 的等比中项，∴()()121111853a da d a a d =+⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得13a d ==，∴第4项到第11项的和为1131111103211322S S a d a d ⨯⨯⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以113185260180S S a d d -=+==，即数列{}n a 的第4项到第11项的和为180.故选：A ．二、多选题9．已知空间向量a 、b 、c，下列命题中不正确的是（）A ．若向量a 、b 共线，则向量a 、b所在的直线平行B ．若向量a 、b 所在的直线为异面直线，则向量a 、b一定不共面C ．若存在不全为0的实数x 、y 、z 使得0xa yb zc ++= ，则a 、b 、c共面D ．对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x 、y 、z 使得p xa yb zc=++【正确答案】ABD【分析】利用共线向量的定义可判断A 选项；利用空间任意两个向量共面可判断B 选项；利用共面向量的定义可判断C 选项；利用空间向量的基本定理可判断D 选项.【详解】对于A 选项，a 与b 共线，a 与b所在的直线也可能重合，故A 不正确；对于B 选项，根据空间向量的意义知，空间任意两向量a 、b都共面，故B 不正确；对于C 选项，实数x 、y 不全为0，不妨设0x ≠，由0xa yb zc ++= 可得y z a b c xx=--，由共面向量定理知a 、b 、c一定共面，故C 正确；对于D 选项，只有当a 、b 、c不共面时，空间任意一向量才能表示为p xa yb zc =++ ，故D 不正确；故选：ABD ．三、单选题10．已知数列{an }满足，an +1＝an +1a 1＝a ，则一定存在a ，使数列中（）A ．存在n ∈N *，有an +1an +2＜0B ．存在n ∈N *，有（an +1﹣1）（an +2﹣1）＜0C ．存在n ∈N *，有1255044n n a a ++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜D ．存在n ∈N *，有1233022n n a a ++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜【正确答案】C【分析】由函数1y x =+-y ＝x 有两个交点（0，0），（1，1），对a 分类判断A ，B 错误；由a 1＞1时，a 2一定小于32，则之后均小于32，判断D 错误；举例说明C 正确.【详解】因为an +1＝an +1所以()1,n n a a +在函数1y x =+-因为1y x =+-y ＝x 有两个交点（0，0），（1，1），如图所示：可知当a 1＜0时，数列递减，∴an ＜0；当0＜a 1＜1时，数列递增，并且an 趋向1；当a 1＞1时，数列递减，并且an 趋向1，则可知A ，B 错误；又当x ＞1时，1311122y x x x x ⎛⎫=+-=+-+--= ⎪⎝⎭，则当a 1＞1时，a 2一定小于32，则之后均小于32，∴D 错误；对于C ，可取132a =，得252a =，151044a -=>2525550444a -=---=，所以1255044a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎝⎭＜，满足要求.故选：C.本题主要考查数列递推式的应用，数列的函数特性，还考查了推理论证的能力，属于难题.四、多选题11．已知直线:20l kx y k -+=和圆22:16O x y +=，则（）A ．直线l 恒过定点()2,0B ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若1k =-，直线l 被圆O 截得的弦长为4【正确答案】BC【分析】利用直线系方程求出直线l 所过定点坐标判断A 、C ；求出使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直的k 值判断B ；根据弦长公式求出弦长可判断D .【详解】解：对于A 、C ，由:20l kx y k -+=，得(2)0k x y +-=，令200x y +=⎧⎨-=⎩，解得2x y =-⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(2,0)-，故A 错误；因为直线l 恒过定点(2,0)-，而()2220416-+=<，即(2,0)-在圆22:16O x y +=内，所以直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于B ，直线0:220l x y -+=的斜率为12，则当2k =-时，满足直线l 与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确；对于D ，1k =-时，直线:20l x y ++=，圆心到直线的距离为d =，所以直线l 被圆O 截得的弦长为==D 错误.故选：BC.12．已知函数()ln =xxf x e ，则下列说法正确的有（）A ．函数()ln =x xf x e的图象在点()1,0处的切线方程是10e x y -=-B ．函数()f x 有两个零点C ．()()23f f <D ．函数()f x 有极大值，且极大值点()01,2x ∈【正确答案】AD【分析】利用导数求出函数ln ()=x xf x e的图象在点()1,0处的切线方程判定A ；令()1ln g x x x=-，由单调性及函数零点的判定可得存在()01,2x ∈，使得()00g x =，即()00f x '=，从而得到函数()f x 的单调性与极值判定D ；由()f x 在区间()0,x +∞上单调递减，结合()01,2x ∈判断C ；由函数零点判定定理得到当()00,x x ∈时，()f x 有一个零点，()f x 在()0,x +∞上无零点判断B ．【详解】由ln ()=xxf x e ，得1ln ()xxx f x e -'=，则1(1)f e'=，∴函数ln ()=xx f x e 的图象在点()1,0处的切线方程是0(1)1y x e -=-，即函数()ln =x xf x e的图象在点()1,0处的切线方程是10e x y -=-，故A 正确；令()1()ln 0g x x x x=->，211()0g x x x'=--<，则()g x 在()0,∞+上是单调递减的，又()()111ln110,2ln 202g g =-=>=-<，由零点存在性定理可得：∴存在()01,2x ∈，使得()00g x =，即()00f x '=，则()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，∴函数()f x 有极大值，且极大值点()01,2x ∈，故D 正确；由()f x 在[)2,∞+上单调递减，∴()()23f f >，故C 错误；∴当()00,x x ∈时，()f x 单调递增，又()10f =，利用零点存在性定理可知：()f x 在()00,x 有一个零点，当0x x >时，()ln 0xxf x e =>，则()f x 在()0,x +∞上无零点，即()f x 只有一个零点，故B 错误．故选：AD ．本题主要考查了利用导数求函数的零点，极值以及切线方程问题，考查了零点存在性定理.属于中档题.五、填空题13．已知直线l 过点(),0(>0)A a a ，且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为__________.【分析】由于圆上恰有3个点到l 的距离为1，则圆心到直线的距离等于半径减去1，列方程即可求解．【详解】由于直线l 过点(,0)A a 且斜率为1，则直线:0l x y a --=，圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，∴圆心到直线的距离等于半径减去1，∴圆心(0,0)到直线:0l x y a --=21=-，解得a =因为0a >.故答案为14．已知函数3221()(21)13f x x x a x a a =++-+-+，若()0f x '=在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围为__．【正确答案】71,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】根据题意，求导得()f x '，然后根据()0f x '=在(]0,2上有解列出不等式，即可得到结果.【详解】 函数3221()(21)13f x x x a x a a =++-+-+，则()()2221f x x x a '=++-再由()0f x '=在(]0,2上有解，()f x '是二次函数，对称轴为=1x -，可得()()020f f ''<，或()20f '=，即()()21270a a -+<，或270a +=解得7122a -≤<故答案为:71,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭15．设O 为坐标原点，12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的焦点，若在双曲线上存在点M ，满足12120F MF ∠=，OM =且12F MF S =V ，则该双曲线的方程为_____________.【正确答案】2216y x -=【分析】由双曲线焦点三角形面积公式可求得2b ，利用12cos cos MOF MOF ∠=-∠可构造方程得到22221262MF MF a c +=+，结合双曲线定义求得21a =，由此可得双曲线方程.【详解】12120F MF ∠=，122212tan 60tan2F MF b b SF MF ===∠，26b ∴=；2221111cos 2MO OF MF MOF MO OF +-∠==⋅2222222cos 2MO OF MF MOF MO OF +-∠==⋅又12cos cos MOF MOF ∠=-∠，2222221233a c MF a c MF ∴+-=--+，22221262MF MF a c ∴+=+，()()2222212121221641662MF MF MF MF a a c MF MF ∴-+-+=+=+⋅=，整理可得：228a c +=，()2222268a a b a ∴++=+=，解得：21a =，∴双曲线的方程为.2216y x -=故答案为.2216y x -=结论点睛：本题考查与双曲线焦点三角形有关的问题的求解，关于圆锥曲线中焦点三角形面积有如下结论：①椭圆焦点三角形面积：2tan 2S b θ=；②双曲线焦点三角形面积.2tan 2b S θ=六、双空题16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，1332n n n S a +=-，则n a =____________；若不等式222n n n a k+≥对任意n +∈N 恒成立，则正数k 的最小值为____________．【正确答案】()423n n +⨯；【分析】由n S 与n a 关系，推出3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即可求出n a ，再由原不等式转化为2231n n k ⨯≥恒成立，23nn b n⨯=，可证出{}n b 为递增数列，不等式转化为1216b k =≤，即可得解.【详解】当1n =时，211332S a =-，得118a =．当2n ≥时，11332n n n S a --=-，1332n n n S a +=-，两式相减得1332322n n n n a a a -=--⨯，得1343n n n a a -=+⨯，所以114(2)33n n n n n a a ---=≥．又因为1163a =，所以3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以6为首项，4为公差的等差数列，所以423n na n =+，即()423n n a n =+⨯．因为222n n n a k +≥，所以()222423n n n n k ++⨯≥，即2231n n k ⨯≥．记1233,11n n n n b n b n b n +⨯==>+，所以{}n b 为递增数列，16n b b =≥．所以216k ≤，解得6k ≥，则正数k故()423n n a n =+⨯七、解答题17．已知函数()212ln 2f x x x x =+.(1)求函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()()()e 41x g x x a x f x =+---在定义域上无极值，求正整数a 的最大值.【正确答案】(1)532y x =-(2)5【分析】（1）求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）分析可知，()0g x '≥恒成立或()0g x '≤恒成立，利用参变量分离法可得出()min21e 2ln x a x x x ⎡⎤-≤+--⎣⎦或()max 21e 2ln x a x x x ⎡⎤-≥+--⎣⎦，利用导数分析()()1e 2ln x h x x x x =+--的单调性，求出函数()h x 的最值，即可求得正数a 的最大值.【详解】（1）解：由()212ln 2f x x x x =+可得()()21ln f x x x '=++，则()13f '=，()112f =.所以函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是()1312y x -=-，即532y x =-.（2）解：由题得()()21e 2ln 412x g x x x x x a x =--+--，定义域为()0,∞+.若()()()41g x a x x f =+--无极值，则()0g x '≥恒成立或()0g x '≤恒成立.（ⅰ）当()0g x '≥恒成立时，()()()1e 21ln 40x g x x x x a '=+-+-+-≥，即()21e 2ln x a x x x -≤+--恒成立，所以()min 21e 2ln x a x x x ⎡⎤-≤+--⎣⎦，令()()1e 2ln x h x x x x =+--.所以()()()()()()2212e 12e 2e 0x x x x h x x x x x x x x +⎛⎫'=+--=+-=+-> ⎪⎝⎭，令()1e x x x ϕ=-，则()21e 0x x xϕ=+>'，即()x ϕ在()0,∞+上单调递增，1202ϕ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()1e 10ϕ=->，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0001e 0x x x ϕ=-=，当()00,x x ∈时，()0x ϕ<，即()0h x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ>，即()0h x '>，所以函数()h x 在区间()00,x 单调递减，函数()h x 在区间()0,x +∞单调递增，所以函数()h x 的最小值为()()()00000000011e 2ln 12ln x h x x x x x x x x =+--=+⋅--又因为001e x x =，即00ln x x =-，所以()00000011121h x x x x x x =++-=++.又因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()00011p x x x =++，则()20022001110x p x x x -'=-=<，故函数()0p x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故()0001713,2p x x x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，即()0001713,2h x x x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，所以23a -≤，可得5a ≤，所以正整数a 的最大值是5；（ⅱ）当()0g x '≤恒成立时，()()()1e 21ln 40x g x x x x a '=+-+-+-≤，即()21e 2ln x a x x x -≥+--恒成立，所以()max 21e 2ln x a x x x ⎡⎤-≥+--⎣⎦，又由（ⅰ）知，函数()h x 在区间()0,x +∞上单调递增，所以函数()h x 不存在最大值.综上所述：正整数a 的最大值为5.结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.18．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点为()1,0F c -，()2,0F c ，右顶点为A ，上顶点为B .已知AB =.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的直线l 与该圆相切.求直线l 的斜率.【正确答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）4或4【分析】（Ⅰ）由题意得2223a b c +=，再结合222b a c =-即可得2212c a =，即可得解；（Ⅱ）设椭圆方程为222212x y c c+=，()00,P x y ，由题意可得4,33c c P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而可得圆的方程，利用直线与圆相切的性质列出方程后即可得解.【详解】（Ⅰ）由AB ，可得2223a b c +=，又222b ac =-，则2212c a =.所以，椭圆的离心率2e =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知222a c =，22b c =，故椭圆方程为222212x y c c+=.设()00,P x y .由()1,0F c -，()0,B c ，有()100,F P x c y =+ ，()1,F B c c = .由已知，有110F P F B ⋅= ，即()000x c c y c ++=.又0c ≠，故有000x y c ++=.①又因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c+=.②由①和②可得200340x cx +=，而点P 不是椭圆的顶点，故043c x =-，代入①得03c y =，即点P 的坐标为4,33c c 骣÷ç-÷ç÷ç桫，设圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -+==-，12323c c y c +==，进而圆的半径3r ==.设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =，由l r =3c =，整理得2810k k-+=，解得4k =所以，直线l的斜率为44.本题考查了椭圆离心率的求解，考查了椭圆与圆的综合问题，属于中档题.19．设同时满足条件：①212n n n b b b +++≥；②*(N n b M n ≤∈，M 是常数）的无穷数列{}n b 叫做P 数列，已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()1(1n n a S a a a =--为常数，且0a ≠，1)a ≠．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设21n n n S b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；并证明数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭为P 数列．【正确答案】(1)n n a a=(2)13a =，证明见解析【分析】(1)根据关系()111,2n n n a S a S S n -==-≥，结合条件求数列{}n a 的通项公式；(2)根据等比数列性质求a 的值；根据P 数列的定义证明结论.【详解】（1）当1n =时，()11111a a S a a ==--，1a a ∴=．当2n ≥时，()111n n n n n a a S S a a a --=-=--，整理得1n n a aa -=，又0a ≠，所以1n n a a a -=，即数列{}n a 是以a 为首项、a 为公比的等比数列，∴1·n n n a a a a -==；（2）由（1）知，()()()21312111n n n n na a a a a ab a a a ⨯----=+=-，(*)，所以13b =，232a b a +=，232322a a b a ++=，由数列{}n b 是等比数列，则2213b b b =，故222323223a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，解得13a =，再将13a =代入(*)式，得3n nb =．因为13n n b b +=，所以数列{}n b 为等比数列，故13a =满足要求；由于221111111133223n n n n n n b b b ++++++===，满足条件①；又由于11133n n b =≤，故存在13M ≥满足条件②．故数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为P 数列．20．如图，已知抛物线22(0)y px p =>，焦点为F ，准线为直线l ，P 为抛物线上的一点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ．当P 的横坐标为3时，PQF △为等边三角形．(1)求抛物线的方程；(2)过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交直线l 于点M ，交y 轴于G ．①若1MA AF λ= ，2MB BF λ= ，求证：12λλ+为常数；②求GA GB ⋅ 的取值范围．【正确答案】(1)24y x=(2)①证明见解析；②[)1,+∞【分析】(1)由条件求出,,P Q F 的坐标，由条件列方程求p ，由此可求抛物线方程；(2)①设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为(1)y k x =-，由条件利用12,x x 表示12λλ+，联立方程组利用设而不求法求12λλ+；②根据数量积坐标运算公式求GA GB ⋅ 表达式，再求其取值范围．【详解】（1）抛物线22y px =的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，因为P 的横坐标为3时，PQF △为等边三角形，直线PQ 与直线2p x =-垂直，所以(P，2p Q ⎛- ⎝，QF PQ =，32p =+，解得2p =所以抛物线的方程24y x=（2）①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 与准线没有交点，与已知矛盾，故设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则(1,2)M k --，()0,G k -由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=216160k ∆=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以212224k x x k ++=，121x x ⋅=，因为()111,AF x y =-- ；()221,BF x y =-- ()111,2MA x y k =++ ；()221,2MB x y k =++ 1MA AF λ= ；2MB BFλ= 所以12121211,11x x x x λλ++==--，所以()1212121212121122111x x x x x x x x x x λλ++-=+=---+++，所以120λλ+=；②()()1122,,,GA x y k GB x y k =+=+ ，所以()2121212GA GB x x y y k y y k⋅=++++ 又()()1212114y y k x k x ⋅=-⋅-=-；()()1212411y y k x k x k +=-+-=，所以2211144GA GB k k ⋅=-+=≥++ ，所以GA GB ⋅ 的取值范围为[1，)∞+(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．已知函数2()ln ,()(R)f x x x g x ax x a ==-∈．(1)求()f x 的单调区间和极值点；(2)求使()()f x g x ≤恒成立的实数a 的取值范围；(3)当18a =时，是否存在实数m ，使得方程3()()04f x m g x x++=有三个不等实根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)在1(0,)e 单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，极小值点为1e x =；(2)1a ≥；(3)存在实数m ，m 的取值范围是7153ln 3884m <<-．【分析】（1）对()f x 求导，利用()0f x '>和()0f x '<，判断函数的单调性，进而可得极大值和极小值；（2）由题可得ln 10ax x --≥，构造函数()ln 1h x ax x =--，然后利用导数求函数的最小值即得；或转化为ln 1x a x+≥对任意0x >恒成立，构造函数()h x ，对()h x 求导，判断函数的单调性，求出函数的最大值，即得；（3）假设存在实数m ，使得方程3()()04f x m g x x ++=有三个不等实根，构造函数()ϕx ，通过判断函数的单调性和极值，列出不等式组，即得．【详解】（1）由题可得()ln 1f x x '=+，由()0f x '>得1e x >，()0f x '<得10ex <<，()f x ∴的单调减区间为1(0,)e ，单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，()f x 的极小值点为1e x =；（2）方法1：由()()f x g x ≤得2ln (0)x x ax x x ≤->，ln 1ax x ∴≥+，即ln 10ax x --≥，令()ln 1h x ax x =--，则11()ax h x a x x-'=-=，ⅰ）当0a ≤时，()0h x '<，()h x 在()0,∞+单调递减，()h x 无最小值，舍去；ⅱ）当0a >时，由()0h x '>得1x a >，()0h x '<得10x a <<，()h x ∴在1(0,)a 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，min 1()()ln h x h a a∴==，只须ln 0a ≥，即1a ≥，∴当1a ≥时()()f x g x ≤恒成立；方法2：由()()f x g x ≤得2ln (0)x x ax x x ≤->，ln 1ax x ∴≥+，即ln 1x a x+≥对任意0x >恒成立，令ln 1()x h x x +=，则2ln ()'-=x h x x ，由()0h x '>得01x <<，()0h x '<得1x >，()h x ∴在(0,1)单调递增，在()1,+∞单调递减，max ()(1)1h x h ∴==，∴1a ≥，∴当1a ≥时()()f x g x ≤恒成立；（3）假设存在实数m ，使得方程3()()04f x m g x x++=有三个不等实根，即方程26ln 880x m x x ++-=有三个不等实根，令2()6ln 88x x m x x ϕ=++-，262(43)2(3)(1)()28x x x x x x x x xϕ-+--'=+-==，由()0x ϕ'>得01x <<或3x >，由()0x ϕ'<得13x <<，()x ϕ∴在(0,1)上单调递增，(1,3)上单调递减，(3,)+∞上单调递增，所以()ϕx 的极大值为(1)78m ϕ=-+，()ϕx 的极小值为(3)156ln 38m ϕ=-++，要使方程26ln 880x m x x ++-=有三个不等实根，则780156ln 380m m -+>⎧⎨-++<⎩，解得7153ln 3884m <<-，∴存在实数m ，使得方程3()()04f x m g x x ++=有三个不等实根，实数m 的取值范围是7153ln 3884m <<-．方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<.若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.。
2020-2021学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．命题“∀a，b＞0，a+≥2和b+≥2至少有一个成立”的否定为（）A．∀a，b＞0，和至少有一个成立B．∀a，b＞0，和都不成立C．∃a，b＞0，和至少有一个成立D．∃a，b＞0，和都不成立2．已知a，b∈R，则“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将A房产中介公司2010﹣2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010﹣2013年，2014﹣2016年，2017﹣2019年的数据分别建立回归直线方程、、，则（）A．，B．，C．，D．，4．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，若直线EF、GH相交于点P，则（）A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面ABD内D．点P必在平面BCD内5．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为1500nm（1nm＝10﹣9m），某次检验中可测频移范围为9.500×109（1/h）至10.000×109（1/h），该高铁以运行速度（337.5km/h至375km/h）经过时，可测量的概率为（）A．B．C．D．6．已知A，B分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ交双曲线于P，Q两点（点P，Q异于A，B），则直线AP，BQ的斜率之比k AP：k BQ＝（）A．B．﹣3C．D．7．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角的大小为，若点E，F分别是线段AC和BD上的动点，则的取值范围为（）A．[﹣1，0]B．C．D．8．在矩形ABCD中，AB＝4，，点G，H分别为直线BC，CD上的动点，AH交DG于点P．若，（0＜λ＜1），则点P的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线二、多项选择题（共4小题）.9．对下列命题的否定说法正确是（）A．P：∀x∈R，x＞0；￢p：∃x∈R，x≤0B．P：∃x∈R，x2≤﹣1；￢p：∃x∈R，x2＞﹣1C．P：如果x＜2，那么x＜1；￢p：如果x＜2，那么x≥1D．P：∀x∈R，使x2+1≠0；￢p：∃x∈R，x2+1＝010．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}．给出下列说法：A．P（A）＝P（B）＝P（C）；B．P（AB）＝P（AC）＝P（BC）；C.；D.．其中正确的是（）A．A B．B C．C D．D11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E，F分别在棱CC1，D1C1上，且C1E＝2EC，D1F＝2FC1，下列命题：A．异面直线BE，CF所成角的余弦值为；B．过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；C．三棱锥B1﹣BEF的体积为；D．过B1作平面α，使得AE⊥α，则平面α截正方体所得截面面积为．其中所有真命题为（）A．A B．B C．C D．D12．已知椭圆M：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从F1，F2，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为（）A．B．C．D．三、填空题（共4小题）.13．已知a∈R，命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若命题p ∧q为真命题，则实数a的取值范围是．14．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 2583 92 12 06 7663 01 63 78 59 1695 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 0744 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 4299 66 0279 5415．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，|F1B|＝，|F1F2|＝4，则截口BAC所在椭圆的离心率为．16．如图，在△ABC中，AB＝1，，，将△ABC绕边AB翻转至△ABP，使面ABP⊥面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则当PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ的长度为．四、解答题（共70分）17．已知命题p：方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根；命题q：2m+1＜4．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．有编号为1，2，3的三只小球，和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立．（1）求三只小球恰在两个盒子中的概率；（2）求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率．19．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l：y＝2x﹣2，直线l与E的交点为A，B．同时|AF|+|BF|＝8，直线m∥l．直线m与E的交点为C、D，与y轴交于点P．（I）求抛物线E的方程；（Ⅱ）若，求|CD|的长．20．“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2021年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革至2019年实施以来发挥巨大作用．个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如表：旧个税税率表（税起征点3500元）新个税税率表（个税起征点5000元）缴税级数每月应纳税所得额（含税）＝收税率（%）每月应纳税所得额（含税）＝收税率（%）入﹣个税起征点入﹣个税起征点﹣专项附加扣除1不超过1500元部分3不超过3000元部分32超过1500元至4500元部分10超过3000元至12000元部分103超过4500元至9000元的部分20超过12000元至25000元的部分204超过9000元至35000元的部分25超过25000元至35000元的部分255超过35000元至55000元部分30超过35000元至55000元部分30……………随机抽取某市1000名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2021年的人均月收入24000元．统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2：1：1：1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除．新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入．根据样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）求该市该收入层级的IT从业者2021年月缴个税的所有可能及其概率．（2）根据新旧个税方案，估计从2021年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入？21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA垂直于底面ABCD，AB＝AC＝AD＝3，2AM＝MD，N为PB的中点，AD平行于BC，MN平行于面PCD，PA＝2．（1）求BC的长；（2）求二面角N﹣PM﹣D的余弦值．22．已知椭圆：C1：（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E．当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．命题“∀a，b＞0，a+≥2和b+≥2至少有一个成立”的否定为（）A．∀a，b＞0，和至少有一个成立B．∀a，b＞0，和都不成立C．∃a，b＞0，和至少有一个成立D．∃a，b＞0，和都不成立解：根据含有量词的命题否定可知，∀a，b＞0，a+≥2和b+≥2至少有一个成立的否定为：∃a，b＞0，和都不成立．故选：D．2．已知a，b∈R，则“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：由a+b＜0，可得a≤0，b＜0或a＞0，b＜﹣a，当a≤0，b＜0时，可得a|a|+b|b|＜0，当a＞0，b＜﹣a时，可得a|a|+b|b|＜0，故“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的充分条件，由a|a|+b|b|＜0，可得当a≤0时，b＜0，或b＜﹣a，得a+b＜0；当a＞0时，可得b＜﹣a，得a+b＜0，故“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的必要条件，∴a，b∈R，则“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的充分必要条件，故选：C．3．自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将A房产中介公司2010﹣2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010﹣2013年，2014﹣2016年，2017﹣2019年的数据分别建立回归直线方程、、，则（）A．，B．，C．，D．，解：回归直线分布在散点图附近，表示回归直线的斜率，表示回归直线在y轴上的截距，由题意可知，2010﹣2013年，y随x的增加而迅速增加，2014﹣2016年，y随x的增加而平缓增加，2017﹣2019年，y随x的增加而减少，故，由图可知，，故选：A．4．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，若直线EF、GH 相交于点P，则（）A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面ABD内D．点P必在平面BCD内解：作图如下：因为EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，所以P在两面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．故选：A．5．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为1500nm（1nm＝10﹣9m），某次检验中可测频移范围为9.500×109（1/h）至10.000×109（1/h），该高铁以运行速度（337.5km/h至375km/h）经过时，可测量的概率为（）A．B．C．D．解：sinφ＝＝，＝，当高铁以运行速度337.5km/h经过时，频移为≈8.998×109（1/h）；当高铁以运行速度375km/h经过时，频移为≈9.998×109（1/h）．则频移范围为9.998×109（1/h）至8.998×109（1/h），又检验中可测频移范围为9.500×109（1/h）至10.000×109（1/h），∴该高铁以运行速度（337.5km/h至375km/h）经过时，可测量的概率为P＝＝．故选：A．6．已知A，B分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ交双曲线于P，Q两点（点P，Q异于A，B），则直线AP，BQ的斜率之比k AP：k BQ＝（）A．B．﹣3C．D．解：由已知得双曲线Γ：a＝1，b＝，c＝2．故F（﹣2，0），A（﹣1，0），B（1，0）．设直线PQ：x＝my﹣2，且P（x1，y1），Q（x2，y2）．由消去x整理得（3m2﹣1）y2﹣12my+9＝0，∴，两式相比得①，∴k AP：k BQ＝＝＝②，将①代入②得：上式＝＝﹣3．故k AP：k BQ＝﹣3．故选：B．7．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角的大小为，若点E，F分别是线段AC和BD上的动点，则的取值范围为（）A．[﹣1，0]B．C．D．解：如图，＝（）•（）＝++＝0﹣（+）+0＝﹣（+），∵，∴∈[﹣]，∵OC＝OA＝，二面角A﹣BD﹣C的平面角的大小为，∴∈[]，∴∈[﹣1，]．故选：B．8．在矩形ABCD中，AB＝4，，点G，H分别为直线BC，CD上的动点，AH交DG于点P．若，（0＜λ＜1），则点P的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线解：分别以MN和AD所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则，，M（2，0），N（﹣2，0），因为，（0＜λ＜1），所以，，所以直线AH的方程为，直线DG的方程为，联立这两条件直线方程可得点因为，则点P的坐标满足，所以点P的轨迹是以O为对称中心，N，M分别为左右焦点的椭圆，其中a＝4，，c＝2．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．对下列命题的否定说法正确是（）A．P：∀x∈R，x＞0；￢p：∃x∈R，x≤0B．P：∃x∈R，x2≤﹣1；￢p：∃x∈R，x2＞﹣1C．P：如果x＜2，那么x＜1；￢p：如果x＜2，那么x≥1D．P：∀x∈R，使x2+1≠0；￢p：∃x∈R，x2+1＝0解：P：∀x∈R，x＞0；￢p：∃x∈R，x≤0，A正确；P：∃x∈R，x2≤﹣1；￢p：∀x∈R，x2＞﹣1，B错误；P：如果x＜2，那么x＜1；￢p：如果x＜2，那么x≥1，C正确；P：∀x∈R，使x2+1≠0；￢p：∃x∈R，x2+1＝0，D正确．故选：ACD．10．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}．给出下列说法：A．P（A）＝P（B）＝P（C）；B．P（AB）＝P（AC）＝P（BC）；C.；D.．其中正确的是（）A．A B．B C．C D．D解：同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}，则P（A）＝＝，事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}，则P（B）＝＝，C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}，则P（C）＝＝，∴P（A）＝P（B）＝P（C），故A正确；∵A，B，C是相互独立事件，∴P（AB）＝P（AC）＝P（BC）＝＝，故B正确；∵A、B、C不是两两互斥事件，∴不正确，故C错误；∵P（A）＝P（B）＝P（C）＝，∴，故D正确．故选：ABD．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E，F分别在棱CC1，D1C1上，且C1E＝2EC，D1F＝2FC1，下列命题：A．异面直线BE，CF所成角的余弦值为；B．过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；C．三棱锥B1﹣BEF的体积为；D．过B1作平面α，使得AE⊥α，则平面α截正方体所得截面面积为．其中所有真命题为（）A．A B．B C．C D．D解：对于A．取A1B1的三等分点为F1，使A1F1＝2F1B1，又D1F＝2FC1，∴F1B1∥FC1且F1B1＝FC1，∴四边形FC1B1F1为平行四边形，∴FF1∥B1C1∥BC且FF1＝B1C1＝BC，∴四边形F1FCB为平行四边形，∴BF1∥CF，则∠F1BE为异面直线BE，CF所成的角，连接EF1，由题意得：BF1＝，BE＝，EF1＝，所以cos∠F1BE＝＝＝，故A正确；对于B．取B1B的三等分点为E1，使B1E1＝2E1B，又C1E＝2EC，∴BE1∥CE且BE1＝CE，∴四边形BE1EC为平行四边形，则E1E∥BC且E1E＝BC，又由A得，FF1∥BC且FF1＝BC，于是FF1∥EE1且FF1＝EE1，∴四边形EE1F1F为平行四边形，∴EE1∥F1F，取A1B1的中点为G，连接BG，又＝＝，∴E1F1∥BG∥EF，则四边形BEFG即为所求截面，由题意知：BE≠FG，故B不正确；对于C．S△B1BE＝×3×3＝，又C1F⊥面B1BE，C1F＝1，所以＝＝×C1F＝＝××1＝，故C正确；对于D．取CD的三等分点为H1，使CH1＝2DH1，取BC的三等分点为H，使CH＝2BH，∴HH1∥BD∥B1D1，则面B1D1H1H即为所求的截面α，建立如图所示的空间坐标系，则A（3，0，0），E（0，3，1），B1（3，3，3），D1（0，0，3），H1（0，1，0），＝（﹣3，3，1），＝（﹣3，﹣3，0），＝（﹣3，﹣2，﹣3），∵•＝0，•＝0，所以AE⊥平面B1D1H1H，由已知条件得，B1D1＝3，HH1＝B1D1＝2，B1H＝D1H1＝，等腰梯形B1D1H1H的高为h＝＝，所以截面面积为S＝×＝，故D正确．故选：ACD．12．已知椭圆M：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从F1，F2，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为（）A．B．C．D．解：由题意可得左右焦点和上下顶点可能构成直角三角形，这时b＝c，离心率e＝＝＝；或者长轴的点和短轴的点和一个焦点可能构成直角三角形，如图所示：这时AF22＝AB2+BF22，即（a+c）2＝a2+b2+a2，整理可得：e2+e﹣1＝0，可得e＝，故选：BC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知a∈R，命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若命题p ∧q为真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a＝1．解：若命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0”为真，则△＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a＝1，故答案为：a≤﹣2，或a＝114．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号331、572、455．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 2583 92 12 06 7663 01 63 78 59 1695 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 0744 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 4299 66 0279 54解：利用随机数表抽取是样本数据，找到第7行第8列的数开始向右读，第一个符合条件的是331，第二个数是572，第三个数是455．故答案为：331，572，455．15．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，|F1B|＝，|F1F2|＝4，则截口BAC所在椭圆的离心率为．解：由题意可得2c＝4，＝，c2＝a2﹣b2，解得a＝6，所以离心率e＝＝＝，故答案为：．16．如图，在△ABC中，AB＝1，，，将△ABC绕边AB翻转至△ABP，使面ABP⊥面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则当PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ的长度为．解：过点P作PO⊥平面ABC，交BA延长线于点O，连结OC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，在△ABC中，AB＝1，BC＝2，B＝，将△ABC绕边AB翻转至△ABP，使平面ABP⊥平面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则B（2，0，0），A（1，0，0），O（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），设Q（x，y，z），＝＝λ（﹣1，0，2），λ∈[0，1]，即（x﹣1，y，z）＝（﹣λ，0，2λ），∴Q（1﹣λ，0，2λ），D（1，1，0），＝（﹣λ，﹣1，2λ），＝（0，2，﹣2），|cos＜＞|＝＝，令f（λ）＝，λ∈[0，1]，∴f′（λ）＝，由f′（λ）＝0，λ∈[0，1]，得，λ∈[0，）时，f′（λ）＞0，λ∈（，1]时，f′（x）＜0，∴当时，f（λ）取最大值，此时PC与DQ所成角取得最小值，|AQ|＝||＝．故答案为：．四、解答题（共70分。
江苏省南京市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含答案
南京市高二年级期末试卷数学（答案在最后）2024.01注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系xOy 中，若直线()210x a y +-+=与直线310ax y +-=互相垂直，则实数a 的值是（）A.-1B.23C.32D.32.现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（）A.53 B.35A C.35C D.353.设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则“10a <，且01q <<”是“对于任意*N 都有1n n a a +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.在空间直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,1,1,1a b x =--=-- ，且a 与b的夹角为钝角，则x 的取值范围是（）A.()0,∞+ B.()0,3 C.()3,+∞ D.()()0,33,⋃+∞5.如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，且BC ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，PA ＝AD ＝2.若AB ＝1，则二面角B —AC —M 的余弦值为（）A.66B.36C.26D.166.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)(8)1C x y -+-=，圆222:(6)(6)9C x y -++=.若圆心在x轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是（）A.2281x y +=B.2264x y +=C.2249x y += D.2236x y +=7.已知数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=+，则35991a a a a ++++ 的值是（）A .25B.50C.75D.1008.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P上的投影等于1F P ，1e ，2e 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的离心率，则22129e e +的最小值是（）A.4B.6C.8D.16二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.过点(2,1)P 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）A.30x y +-= B.30x y ++= C.10x y --= D.20x y -=10.已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（）A.若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序B.若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序C.若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序D.若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序11.在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，则（）A.AB 的最小值为2B.以线段AF为直径的圆与y 轴相切C.111FA FB+=D.当3AF FB =时，直线AB 的斜率为1±12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 满足()101,01BE BC BB λμλμ=+≤≤≤≤，则（）A.若λμ=，则1B C AE ⊥B.若1λμ+=，则1B C 平面1A DEC.若1λμ+=，则1AE D E +D.若221λμ+=，则AE 与平面11BB C C 的所成角为定值π4第II 卷（非选择题共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知1121n n C -+=，那么n =________；14.在直三棱柱111ABC A B C -中，3,3,AC BC AB ===,14AA =,则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值为__________．15.数列{}n a 满足1111,2n na a a +=-=，则2024a =__________.16.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:14yC x -=的左､右顶点分别为P 、Q ，点D 在双曲线上且位于第一象限，若DP t DQ =且2DQP DPQ ∠=∠，则t 的值是__________.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）17.如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC 的棱长为1，M 是棱BC 的中点，点N 满足2ON NM =，点P 满足34AP AN =.（1）用向量OAOB OC，，表示OP；（2）求||OP .18.在平面直角坐标系xOy 中，已知半径为4的圆C 与直线1:3480l x y -+=相切，圆心C 在y 轴的负半轴上.（1）求圆C 的方程；（2）若直线2:170l kx y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且ABC 的面积为8，求直线2l 的方程.19.在等比数列{}n a 中，3339,22a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=，求证：12314n c c c c ++++< ．20.如图，四棱锥S ABCD -中，ABS 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，点E 是BS的中点.（I）求证：SD //平面ACE ；（II）若平面ABS ⊥平面ABCD ，120ABC ∠=︒，求直线AC 与平面ADS 所成角的正弦值.21.数列{}n a 的前n 项和为n s ，11a =，对任意的*n ∈N 有0n a >，1n a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b ，15-2b =，*111,2()n n n n n N b b a +++∀∈-=，求数列{}n b 的通项公式.22.已知椭圆2221(1)x y a a+=>，过点(作椭圆的两条切线，且两切线垂直.（1）求a ；（2）已知点()0,1Q -，若直线l 与椭圆交于,M N ，且以MN 为直径的圆过点Q （,M N 不与Q 重合），求证直线MN 过定点，并求出定点.南京市高二年级期末试卷数学2024.01注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系xOy 中，若直线()210x a y +-+=与直线310ax y +-=互相垂直，则实数a 的值是（）A.-1B.23C.32D.3【答案】C 【解析】【分析】根据两直线垂直的条件列方程求解．【详解】直线()210x a y +-+=与直线310ax y +-=互相垂直，则1(2)30a a ⋅+-⋅=，解得32a =.故选：C2.现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（）A.53B.35A C.35C D.35【答案】A 【解析】【分析】利用分步计数原理即得．【详解】每一位同学有3种不同的选择，则5名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数是53.故选：A ．3.设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则“10a <，且01q <<”是“对于任意*N 都有1n n a a +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质分析判断即可【详解】若10a <，且01q <<，则111111(1)0n n n n n a a q a q a q q a -+--=-=->，所以1n n a a +>，反之，若1n n a a +>，则111111(1)0n n n n n a a q a q a q q a -+--=-=->，所以10a <，且01q <<或10a >，且1q >，所以“10a <，且01q <<”是“对于任意*N ，都有1n n a a +>”的充分不必要条件.故选：A4.在空间直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,1,1,1a b x =--=-- ，且a 与b的夹角为钝角，则x 的取值范围是（）A.()0,∞+ B.()0,3 C.()3,+∞ D.()()0,33,⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据题意得出0a b ⋅< 且a 与b 不共线，根据数量积公式列出不等式并排除两个向量反向时x 的值，从而得解.【详解】因为a与b的夹角为钝角，所以0a b ⋅< ，且a 与b 不共线，又()()1,2,1,1,1,1a b x =--=--则()()11211120a b x x ⋅=⨯--⨯--⨯=-<，解得0x >，若a与b共线，则111112x --==--，即3x =，此时a b =- ，a 与b 反向，需要舍去，所以x 的取值范围为0x >且3x ≠，即()()0,33,x ∈⋃+∞.故选：D.5.如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，且BC ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，PA ＝AD ＝2.若AB ＝1，则二面角B —AC —M 的余弦值为（）A.6B.6 C.26D.16【答案】A 【解析】【分析】以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz ，求平面AMC 的一个法向量n以及平面ABC 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】因为BC ⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以PA ⊥BC ，又PA ⊥AB ，且BC ∩AB ＝B ，所以PA ⊥平面ABCD .以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz .则A (0，0，0)，C (1，2，0)，P (0，0，2)，B (1，0，0)，M 1,0,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,2,0AC = ，1,0,12AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得平面AMC 的一个法向量为n＝(－2，1，1)，又平面ABC 的一个法向量AP＝(0，0，2)，所以cos 〈n ，AP〉＝6n AP n AP⋅=== .所以二面角B --AC --M的余弦值为6.故选：A【点睛】本题考查了空间向量法求面面角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)(8)1C x y -+-=，圆222:(6)(6)9C x y -++=.若圆心在x轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是（）A .2281x y += B.2264x y +=C.2249x y += D.2236x y +=【答案】A 【解析】【分析】由题知圆C 与圆1C 的公共弦是圆1C 的直径，圆C 与圆2C 的公共弦是圆2C 的直径，进而设圆C 的圆心为(,0)C a ，半径为r 得2222121,9r CC r CC =+=+，再结合距离公式解方程即可得答案.【详解】圆C 平分圆C 1等价于圆C 与圆1C 的公共弦是圆1C 的直径．同理圆C 与圆2C 的公共弦是圆2C 的直径设圆C 的圆心为(,0)C a ，半径为r ，则()222x a y r -+=，所以2222121,9r CC r CC =+=+，即()()()222222481669a r a r⎧-+-+=⎪⎨-++=⎪⎩，解得20,81.a r =⎧⎨=⎩所以圆C 的方程为2281x y +=．故选：A7.已知数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=+，则35991a a a a ++++ 的值是（）A.25B.50C.75D.100【答案】B 【解析】【分析】根据所给递推关系可得317599972a a a a a a +=+==+= ，即可得解.【详解】由1(1)21nn n a a n ++-=+，故2212212(1)41nn n n n a a a a n +++-=+=+，21221221(1)41n n n n n a a a a n ---+-=-=-，则()()212221212141412n n n n n n a a a a a a n n +-+-+--=+=+--=，故317599972a a a a a a +=+==+= ，故91359502502a a a a ++=⨯+=+ .故选：B.8.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P上的投影等于1F P ，1e ，2e 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的离心率，则22129e e +的最小值是（）A.4B.6C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】由12F F 在1F P上的投影等于1F P 可知PF 1⊥PF 2，利用椭圆与双曲线的焦距相同找到1e 和2e 的关系，最后构建函数利用导数求出22129e e +的最小值.【详解】如图，设半焦距为c ．∵点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P上的投影等于1F P，∴PF 1⊥PF 2．设1PF m =，2PF n =，则12m n a +=，22m n a -=．∴22()()4m n m n mn +--=＝21a ﹣22a ．在12PF F △中，由勾股定理可得：()()22222221124242c m n m n mn a a a =+=+-=--.∴222122c a a =+．两边同除以c 2，得2＝221211+e e ，所以()()222222121212222212219111==1199++10+10+6=8222e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭++，当22123=e e即1=3e 时取等号，因此9e 12+e 22的最小值是8．故选：C.【点睛】求最值题目一般分为三步：①写表达式；②消元；③求值域.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.过点(2,1)P 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）A.30x y +-=B.30x y ++= C.10x y --= D.20x y -=【答案】ACD 【解析】【分析】利用截距式的求法，讨论截距的绝对值相等的情况，在进行截距式假设时，分截距为0，截距不为0进行假设.【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为1x ya b+=，由题可得211,,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩所以211,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或211,,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩解得3,3a b =⎧⎨=⎩或1,1,a b =⎧⎨=-⎩所以直线方程为30x y +-=或10x y --=，故A ，C 正确；当直线的截距为0时，设直线方程为y kx =，由题可知12k =，故直线方程为20x y -=，D 正确．故选：ACD10.已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（）A.若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序B.若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序C.若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序D.若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序【答案】AC 【解析】【分析】对AB ：根据分步计数原理，先安排特殊的工序，再安排其它工序即可；对C ：采用捆绑法，再根据分步计数原理即可求得结果；对D ：采用插空法，再根据分步计数原理即可求得结果.【详解】假设有甲乙丙丁戊，这5道工序.对A ：假设甲工序不能放到最后，则甲有4种安排方式，根据分步计数原理，所有的安排顺序有：4432196⨯⨯⨯⨯=种，故A 正确；对B ：假设甲乙2道工序不能放到最前，也不能放到最后，先安排甲乙，则共有326⨯=种安排方式；再安排剩余3道工序，共有3216⨯⨯=种；根据分步计数原理，则所有的安排顺序有：6636⨯=种，故B 错误；对C ：假设甲乙工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序，则共有4321248⨯⨯⨯⨯=种加工顺序，故C 正确；对D ：假设甲乙工序不能相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的4个空中，安排甲乙，故共有：3214372⨯⨯⨯⨯=种加工顺序，故D 错误.故选：AC.11.在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，则（）A.AB 的最小值为2B.以线段AF为直径的圆与y 轴相切C.111FA FB+=D.当3AF FB =时，直线AB 的斜率为1±【答案】BC 【解析】【分析】根据题意设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程可得124y y m +=，124y y =-，进而可得21242x x m +=+，()241AB m =+，根据抛物线的定义结合韦达定理逐项分析判断即可得.【详解】由题意可知：拋物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，准线为=1x -，且直线l 的斜率可以不存在，但不为0，设直线:1l x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得2440y my --=，则216160m ∆=+>，可得12124,4y y m y y +==-，可得()()()212121211242x x my my m y y m +=+++=++=+，()212241AB x x m =++=+，对于选项A ：因为()2414AB m =+≥，当且仅当0m =时，等号成立，所以AB 的最小值为4，故A 错误；对于选项B ：因为线段AF 的中点为111,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，1112p AF x x =+=+，则M 到y 轴的距离112x d +=，以以线段AF 为直径的圆的半径为112x +，即圆心到y 轴的距离等于该圆半径，故y 轴与该圆相切，故B 正确；对于选项C ：因为12121111111122FA FB x x my my +=+=+++++()()2212222212124444412448444m y y m m m y y m y y m m m ++++====+++-+++，所以111FA FB+=，故C 正确；对于选项D ：因为()()11221,,1,AF x y FB x y =--=-uuu r uu r ，且3AF FB =，则123y y -=，即123y y =-，联立121234y y y y m =-⎧⎨+=⎩，解得1262y my m =⎧⎨=-⎩，代入124y y =-可得2124m -=-，解得3m =±，所以直线l的斜率为，故D 错误.故选：BC.12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 满足()101,01BE BC BB λμλμ=+≤≤≤≤，则（）A.若λμ=，则1B C AE ⊥B.若1λμ+=，则1B C 平面1A DEC.若1λμ+=，则1AE D E +D.若221λμ+=，则AE 与平面11BB C C 的所成角为定值π4【答案】ACD 【解析】【分析】对于A 选项，点E 为1BC 中点，连接1AB 和AC ，易知1B C AE ⊥；对于B 选项，点E 在线段1B C 上运动，1B ，C ，1A ，D 四点共面，平面1A DE 和平面11B CA D 为同一平面；对于C 选项，AE 扫过的平面为平面1AB C ，1D E 扫过的平面为平面11D B C ，将这两个平面独立出来展开成同一个平面即可求解；对于D 选项，点E 在以B 为圆心半径为1的14圆上运动，AE 扫过的图形为圆锥面，据此即可求解.【详解】对于A 选项，因为λμ=，所以易知点E 为1BC 中点，如图，连接1AB 和AC ，由正方形易知1AB AC =，因为点E 是1B C 的中点，所以1B C AE ⊥，故A 选项正确；对于B 选项，由题意得点E 在线段1B C 上运动，由正方体的性质可知11//B C A D ，所以1B ，C ，1A ，D 四点共面，因为点1E C B ∈，所以点E ∈平面11CDA B ，所以平面1A DE 和平面11B CA D 为同一平面，所以1B C 在平面1A DE ，故B 选项错误；对于C 选项，由题意得AE 扫过的平面为平面1AB C ，1D E 扫过的平面为平面11D B C ，所以将这两个平面独立出来展开成同一个平面，易知当点A 、E 、1D 三点共线时1AE ED +最短，所以1162260AE ED AD +≥=︒=，故C 选项正确；对于D 选项，由11BC BB ==和221λμ+=易知点E 在以B 为圆心半径为1的14圆上运动，因为AB ⊥平面11BCC B ，所以AE 扫过的图形为圆锥面，所以12AE AB AC ===，且AE 为圆锥的母线，因为圆锥的母线与底面的夹角是恒定的，所以AE 与平面11BB C C 的所成的线面角θ恒定，因为1t n 11a h r θ===，所以π4θ=，故D 选项正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题关键在于AE 扫过的平面为平面1AB C ，1D E 扫过的平面为平面11D B C ，点E 在以B 为圆心半径为1的14圆上运动的分析.第II 卷（非选择题共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知1121n n C -+=，那么n =________；【答案】6【解析】【分析】根据组合数的性质及组合数的计算公式计算可得；【详解】解：因为1121n n C -+=，所以2121n C +=，即()1212n n +=，即2420n n +-=，解得6n =或7n =-（舍去）故答案为：614.在直三棱柱111ABC A B C -中，3,3,32AC BC AB ===,14AA =,则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值为__________．【答案】1625【解析】【分析】先由题意可得1CA CB CC 、、两两垂直，以C 点为坐标原点，以1CA CB CC 、、方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出直线1AC 与1BC 的方向向量，根据向量夹角余弦值即可得出结果.【详解】因为3,3,32AC BC AB ===，所以角C 为直角，又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以1CA CB CC 、、两两垂直，以C 点为坐标原点，以1CA CB CC 、、方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()10,0,4C ，()13,0,4A ，()0,3,0B ，所以()13,0,4A C =-- ，()10,3,4BC =-，设异面直线1AC 与1BC 所成角为θ，则1111114416cos cos 25916916A C BC A C BC A C BC θ⋅-⨯====+⨯+，.故答案为1625【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，空间向量法求异面直线所成角，是一种常用的方法，属于常考题型.15.数列{}n a 满足1111,2n na a a +=-=，则2024a =__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项.【详解】由题设312411,2, (2)2,,a a a a =-===，所以{}n a 是周期为3的数列，则202436742212a a a ⨯+===.故答案为：1216.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:14yC x -=的左､右顶点分别为P 、Q ，点D 在双曲线上且位于第一象限，若DP t DQ =且2DQP DPQ ∠=∠，则t 的值是__________.【答案】233【解析】【分析】设DPQ θ∠=，则2DQP θ∠=，由4DP DQ k k ⋅=得出cos 3θ=，再由正弦定理有||||sin 2sin DP DQ θθ=，即可得出t .【详解】如图所示，设DPQ θ∠=，则2DQP θ∠=，设11(,)D x y ，则221114y x -=，即212141y x =-，由双曲线方程可得(1,0),(1,0)P Q -，所以211121114111DP DQy y y k k x x x ⋅=⋅==+--，又2DQP DPQ ∠=∠，()tan ,tan π2DP DQ k k θθ==-，则()tan tan π24θθ⋅-=，解得tan θ=，则cos 3θ=，在DPQ V 中，由正弦定理得||||sin 2sin DP DQ θθ=，可得||sin 2232cos ||sin 3DP t DQ θθθ====.故答案为：3.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）17.如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC 的棱长为1，M 是棱BC 的中点，点N 满足2ON NM =，点P 满足34AP AN = .（1）用向量OAOB OC ，，表示OP；（2）求||OP.【答案】（1）111444OP OA OB OC=++ （2）6||4OP =【解析】【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；（2）先计算22111444OP OA OB OC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再开方即可求解.【小问1详解】因为M 是棱BC 的中点，点N 满足2ON NM =，点P 满足34AP AN = .所以()33131324444443OP OA AP OA AN OA ON OA OA ON OA OM=+=+=+-=+=+⨯()111111422444OA OB OC OA OB OC =+⨯+=++；【小问2详解】因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC 的棱长为1，所以1OA OB OC === ，π3AOB AOC BOC ∠=∠=∠=，所以111122OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅=⨯⨯= ，所以22111444OP OA OB OC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222111111111222161616444444OA OB OC OA OB OB OC OA OC =+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 11111131616161616168=+++++=，所以||4OP = .18.在平面直角坐标系xOy 中，已知半径为4的圆C 与直线1:3480l x y -+=相切，圆心C 在y 轴的负半轴上.（1）求圆C 的方程；（2）若直线2:170l kx y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且ABC 的面积为8，求直线2l 的方程.【答案】（1）22(3)16x y ++=（2）7170x y -+=或7170x y +-=.【解析】【分析】（1）设出圆心，借助点到直线距离公式可解得圆心坐标，即可得方程；（2）结合三角形面积与点到直线距离公式及勾股定理计算即可得.【小问1详解】由已知可设圆心()0,(0)C b b <，4=，解得3b =-或7b =（舍），所以圆C 的方程为22(3)16x y ++=；【小问2详解】设圆心C 到直线2l 的距离为d ，则182ABC AB S AB d ==⨯== ，即4216640d d -+=，解得d =又d ==所以7k =或7-，所以直线2l 的方程为7170x y -+=或7170x y +-=.19.在等比数列{}n a 中，3339,22a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=，求证：12314n c c c c ++++< ．【答案】（1）32n a =或1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将3339,22a S ==化为1,a q ，联立方程组，求出1,a q ，可得32n a =或1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）由于{}n b 为递增数列，所以取1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，化简得2n b n =，()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭ ，其前n 项和为()1114414n -<+.【详解】（1）假设等比数列{a n }公比为q,3339,22a S == ，313·2a a q ∴==，且()3312113S a a a a q -=+=+=，解得1132q a =⎧⎪⎨=⎪⎩或1126q a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，32n a ∴=或1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）由题意{}n b 为递增数列，所以取1162n n a -⎛⎫=⨯-⎪⎝⎭，222222166log log log 22162n n nn b na +====⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，()111111·4141n n n c b b n n n n +⎛⎫∴===- ⎪++⎝⎭，()123111111111111142231414414n c c c c n n n n ⎛⎫⎛⎫∴++++=-+-+-=-=-< ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭ ．20.如图，四棱锥S ABCD -中，ABS 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，点E 是BS的中点.（I）求证：SD //平面ACE ；（II）若平面ABS ⊥平面ABCD ，120ABC ∠=︒，求直线AC 与平面ADS 所成角的正弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）5.【解析】【分析】（I）连接BD 交AC 于点F，再连接EF，利用EF 是三角形DBS 的中位线，判断出DS 平行EF，再利用线面平行的判定得证;（II）取AB 的中点为O，利用已知条件证明DO、SO、BO 两两垂直，然后建立空间直角坐标系，求出平面ADC 的法向量，再利用线面角的公式求出直线AC 与平面ADS 所成角的正弦值.【详解】（I）证明：连接BD 角AC 于点F，再连接EF.因为四边形ABCD 是菱形，所以点F 是BD 的中点，又因为点E 是BS 的中点，所以EF 是三角形DBS 的中位线，所以DS 平行EF，又因为EF ⊂平面ACE，SD ⊄平面ACE 所以SD //平面ACE（II）因为四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，所以1602ABD ABC ∠=∠= 又AB=AD，所以三角形ABD 为正三角形.取AB 的中点O，连接SO，则DO ⊥AB 因为平面ABS ⊥平面ABCD ，平面ABS平面ABCD =AB所以DO ⊥平面ABS，又因为三角形ABS 为正三角形则以O为坐标原点建立坐标系设AB=2a，则(0,,0),,0,0),(0,0,),(0,2,)A a S D C a-(0,),,,0),(0,3)AD a AS a AC a ===设平面ADS 的一个法向量为(,,)n x y z =则0000y AD n AS n y ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎩ 取x=1，则1y z ==所以(1,n =r设直线AC 与平面ADS 所成角为θ则sin cos ,5AC n AC n AC nθ⋅===⋅【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理以及运用空间向量去解决立体几何的问题，如何建系和求法向量是解题的关键，属于中档题.21.数列{}n a 的前n 项和为n s ，11a =，对任意的*n ∈N 有0n a >，1n a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b ，15-2b =，*111,2()n n n n n N b b a +++∀∈-=，求数列{}n b 的通项公式.【答案】（1）21n a n =-；（2）232n nn b +=-.【解析】【分析】（1）利用递推关系化简，消去S n ，得到a n 与a n+1间的关系，满足等差数列定义，从而求得通项公式；（2）将（1）中通项代入递推关系中，化简得到等差数列乘等比数列的形式，利用错位相减法求和，即可得到数列通项.【详解】解：（1）()214n n a s +=①，2n+11(+1)4n a s +=②②-①得到()()11124n n n n n aa a a a +++++-=，所以()()1120n n n n a a a a +++--=因为10n n a a ++>所以12n n a a +-=所以数列{}n a 为等差数列，又因为11a =所以21n a n =-（2）因为*111,2()n n n n n N b b a +++∀∈-=所以11112122n n n n n a n b b +++++-==所以11232211()())()n n n n n b b b b b b b b b b ---=-+-++-+-+ （1322-12353522222n n n n --=++++- ③所以12212n-12353252222n n n n b ---=++++- ④.所以④-③得到1222222112222n n n n n b ---=+++-- =2111-)212322112212n n n n n --+--=--（【点睛】方法点睛：化简转化递推关系，转化为满足等差数列的形式，利用错位相减法求解等比数列与等差数列乘积形式的前n 项和.22.已知椭圆2221(1)x y a a+=>，过点(作椭圆的两条切线，且两切线垂直.（1）求a ；（2）已知点()0,1Q -，若直线l 与椭圆交于,M N ，且以MN 为直径的圆过点Q （,M N 不与Q 重合），求证直线MN 过定点，并求出定点.【答案】（1；（2）证明过程见解析，定点坐标为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）设切线方程，联立直线与椭圆，利用相切，得判别式为0，再利用切线垂直，即可得a 的值；（2）设直线MN 的方程，由以MN 为直径的圆过点Q ，得0QM QN ⋅=，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】由题可知，切线斜率存在，则设切线y kx =，联立得222220x k x a+++=，即()22222120a k x kx a +++=，相切得：()42222Δ12810a k aa k=-+=，即2220a k -=，所以12,=-=k k a a由两切线垂直得：12221k k a-⋅==-a ∴=；【小问2详解】由（1）得，椭圆方程为2212x y +=由题可知，直线MN 的斜率存在，设:=+MN y nx t ，联立得()222214220+++-=n x ntx t 设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得：2121222422,2121--+==++nt t x x x x n n 由题意MN 为直径的圆过点Q ，1122121212(,1)(,1)10QM QN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=+++∴+=①又22221212121222()()()21-=++=+++=+t n y y nx t nx t n x x nt x x t n 12121222()()()221=+++=++++=t y y nx t nx t n x x t n代入①式得：23210t t +-=13t ∴=或1-（舍去），所以MN 过定点10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数的关系，结合圆的几何性质是解题的关键.。
江苏省南京市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，，，则△ABC 的BC 边上的高所在的直线的方程为（ ） ()1,1A -()3,1B ()1,3C A ． B ． C ． D ．20x y ++=0x y +=20x y -+=0x y -=【答案】C【分析】根据垂直关系求出高线的斜率，利用点斜式方程求出． 【详解】边BC 所在直线的斜率， 13131BC k -==--∴BC 边上的高线斜率．1k =又∵BC 边上的高线经过点A （﹣1，1），∴BC 边上的高线方程为，即． 11y x -=+20x y -+=故选：C ．2．当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（ ） P 221x y +=()3,0Q PQ M A ． B ． ()2231x y ++=()2231x y -+=C ． D ．()222341x y -+=()222341x y ++=【答案】C【分析】设出的坐标，根据中点坐标关系用的坐标表示出的坐标，结合在圆上得到,M P M P P M 的坐标所满足的关系式，即为的轨迹方程.M 【详解】设，因为的中点为，()()00,,,M x y P x y PQ M 所以，所以，003202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩00232x x y y =-⎧⎨=⎩又因为在圆上，所以， P 221x y +=()222341x y -+=所以的轨迹方程即为， M ()222341x y -+=故选：C.3．设椭圆的左、右焦点分别为，，为直线上一点，()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P 32x a =21F PF A 是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ） 30︒C AB ．CD ．1234【答案】D【分析】由是底角为的等腰三角形，把用表示出来后可求得离心率．21F PF A 30︒212PF F F =,a c【详解】解：由题意可得，，如图，，则，212PF F F =2(,0)F c 121230PF F F PF ∠=∠=︒260PF E ∠=︒，230F PE ∠=︒所以，223222PF EF a c ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以，∴，∴．3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭34a c =34e =故选：D ．4．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线22221(0,0)y x a b a b -=>>)2的准线上，则双曲线的方程为 2x =()A ．B ．2212128x y -=2212821x y -=C ．D ．22143y x -=22134x y -=【答案】C【分析】由题意可得渐近线的斜率，即为a ，b 的关系式，再根据抛物线的准线方程解得c ，由a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到所求双曲线的方程．【详解】解：双曲线的一条渐近线过点，22221(0,0)y x a b a b-=>>)2可得渐近线的斜率为a kb ==双曲线的一个焦点在抛物线的准线上， 2x =y =可得 c =即， 227a b +=解得，2a =b =则双曲线的方程为：．22143y x -=故选C ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，以及抛物线的方程和性质，运用渐近线方程和斜率公式是解题的关键，属于基础题．5．在数列中，，（，），则数列的前n 项和取最大值时，n {}n a 120a =13n n a a -=-2n ≥*N n ∈{}n a 的值是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】A【分析】由已知得，根据等差数列的定义得数列是以20为首项，以-3为公差的13n n a a --=-{}n a 等差数列，由等差数列的通项公式求得，令，求解即可.n a 0n a ≥【详解】解：由得，又因为，所以数列是以20为首项，以-3为13n n a a -=-13n n a a --=-120a ={}n a 公差的等差数列，所以， ()20313+23n a n n =--=-令，解得：，又，所以数列的前n 项和取最大值时，n 的值是7， 3+230n a n =-≥233n ≤*N n ∈{}n a 故选：A.6．已知等比数列的前项和为，若，公比，，，则{}n a n n S 0n a >1q >3520a a +=2664a a =6S =（ ） A ． B ．C ．D ．31364863【答案】D【分析】根据等比中项的性质可得，解方程即可得数列中的项，进而可得首项与公263564a a a a ==比，求得.6S 【详解】由等比中项的性质得， 263564a a a a ==又，3520a a +=解得或，35=4=16a a ⎧⎨⎩35=16=4a a ⎧⎨⎩当时，或（舍），35=4=16a a ⎧⎨⎩=2q 2q =-当时，（舍），35=16=4a a ⎧⎨⎩12q =±所以，，35=4=16a a ⎧⎨⎩=2q此时，1=1a 所以，()()6616111263112a q S q-⨯-===--故选：D.7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ()ln f x kx x =-()1,+∞k A ． B ．C ．D ．(],2-∞-(],1-∞-[)2,∞+[)1,+∞【答案】D【详解】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区()ln f x kx x =-()1,+∞间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是()1,+∞()1,+∞．故选D ．[)1,+∞【解析】利用导数研究函数的单调性.8．设等差数列，的前n 项和分别是，若，则 （ ） {}n a {}n b ,n n S T 237n n S nT n =+33a b =A ．1 B ．C ．D ．511221738【答案】B【分析】根据等差数列的性质和求和公式变形求解即可 【详解】因为等差数列，的前n 项和分别是，{}n a {}n b ,n n S T 所以， 1515351515355()105225()1571122a a a a a S b b b b b T ++=====+++故选：B二、多选题9．已知双曲线的左右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，M 为OA 的中点，P2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>为双曲线C 右支上一点且，且，则( ) 212PF F F ⊥123tan 4PF F ∠=A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为0x =C ．PM 平分D ．12F PF ∠121344PA PF PF =+ 【答案】ACD【分析】在直角三角形中，利用列出关于a 、b 、c 的齐次式求出离心率，从而12PF F 123tan 4PF F ∠=判断A ；根据离心率求出渐近线方程，从而判断B ；根据是否相等即可判断PM 是否平1122PF F MPF F M、分，从而判断C ；根据、的比例关系，利用平面向量的线性运算即可表示用12F PF ∠2F A 12F F 表示，从而判断D.12PF PF 、PA 【详解】由可知，212PF F F ⊥22b PF a=由得，，22212123tan 224b PF b a PF F F Fc ac ∠====232ac b =即，即，即，∴，故A 正确；()2232ac c a =-22320e e --=()()2120e e +-=2e =由∴双曲线渐近线为，故B 错误；2b e a ==⇒=y =由，﹒ 22cc a a=⇒=b =则，，22233b a PF a a a ===12125PF PF a PF a -=⇒=∴； 125533PF a PF a ==∵，，∴， 152222a a a F M c a =+=+=232222a a aF M c a =-=-=12552332aF M a F M ==∴，∴根据角平分线的性质可知PM 平分，故C 正确； 112253PF F M PF F M==12F PF ∠，，22F A c a a a a =-=-=1224F F c a ==，故D 正确；()222212121211134444PA PF F A PF F F PF PF PF PF PF =+=+=+-=+故选：ACD ．【点睛】本题主要考查与双曲线的焦半径和焦点三角形有关的性质，考察构造关于a 、b 、c 的齐次式求离心率的方法，考察利用角平分线的性质，考察了向量的线性运算，解题时需数形结合，合理运用图形的几何关系. 10．对于函数，下列说法正确的有（ ） ln ()xf x x=A ．在处取得极大值B ．在处取得最大值()f x e x =1e()f x e x =1eC ．有两个不同零点D ．()f x ()()2(π)3f f f <<【答案】ABD【分析】对函数求导，利用函数单调性求极值和最值即可判断A 、B ，令函数等于0，求出零点即可判断C ，利用函数单调性即可判断D. 【详解】函数的导数， 21ln (),(0)xf x x x -'=>令得，()0f x '=e x =则当时，，函数为增函数， 0e x <<()0f x '>()f x 当时，，函数为减函数， e x >()0f x '<()f x 则当时，函数取得极大值，极大值为，e x =1(e)ef =故A 正确，由上述可知当时，函数的极大值即为最大值，且最大值为，e x =1(e)ef =故B 正确，由，得，得，即函数只有一个零点， ()0f x =ln 0x =1x =()f x 故C 错误， 由， ()()ln 2ln 42ln 2ln 22,42442f f ====所以，()()24f f =由时，函数为减函数，知， e x >()f x ()()()3(π)42f f f f >>=故成立， ()()2(π)3f f f <<故D 正确． 故选：ABD ．11．已知，，，依次成等比数列，且公比不为1．将此数列删去一个数后得到的数列1a 2a 3a 4a q （按原来的顺序）是等差数列，则正数的值是（ ） qA B C D ． 【答案】AB【分析】因为公比不为1，所以不能删去，，分类讨论，结合等差数列的性质及等比的通项q 1a 4a 公式，即可得到答案.【详解】公比不为1，删去的不是与， q ∴1a 4a 当删去的是时：2a ，，成等差数列，，即，1a 3a 4a 3142a a a ∴=+231112a q a a q =+则，即，又，解得；232(1)()0q q q -+-=2(1)(1)0q q q ---=1q ≠q =q )当删去的是时：3a ，，成等差数列，，即，1a 2a 4a 2142a a a ∴=+31112a q a a q =+则，即，又，解得， 3(1)()0q q q -+-=2(1)(1)0q q q -+-=1q ≠q =q =)综上，， q =q =故选：AB ．12．下列不等式正确的是（ ） A ．当时， B ．当时， x R ∈1x e x ≥+0x >ln 1≤-x x C ．当时， D ．当时，x R ∈x e ex ≥x R ∈sin x x ≥【答案】ABC【解析】构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确. 【详解】对于A ：设，则，令，解得，()1x f x e x =--()1x f x e =-'()0f x '=0x =当时函数单调递减，当时，函数单调递增，(,0)x ∈-∞(0,)x ∈+∞所以函数在时，函数取得最小值，故当时，，故A 正确；0x =()(0)0min f x f ==x R ∈1x e x +…对于B ：设，所以， ()ln 1f x x x =-+1(1)()1'--=-=x f x x x令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， ()0f x '=1x =(0,1)x ∈(1,)x ∈+∞所以在时，（1），故当时，恒成立，故B 正确；1x =max ()f x f =0=0x >1lnx x -…对于C ：设，所以，令，解得，当时，函数单调()x f x e ex =-()x f x e e '=-()0f x '=1x =(,1)x ∈-∞递减，当时，函数单调递增，(1,)x ∈+∞所以当时，（1），所以当时，，故C 正确；1x =min ()f x f =0=x R ∈x e ex …对于D ：设函数，则，所以是定义在上单调递增的奇函数， ()sin f x x x =-()1cos 0f x x '=-…()f x R 所以时，成立，时，，故D 错误． 0x >sin x x …0x <()0f x <故选：ABC三、填空题13．观察数列1，，，4，，，7，，，…，则该数列的第11项等于_____ ln 2sin 3ln 5sin 6ln 8sin 9【答案】ln11【分析】由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，依次出现常数，对数，正弦的形式，从而得解．【详解】由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，依次出现常数，对数，正弦的形式，由，所以该数列的第11项为． 11332=⨯+ln11故答案为：．ln1114．若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9【详解】试题分析：. 1109M M x x +=⇒=【解析】抛物线的定义．【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离． y15．已知圆过点，，，则圆的方程为___．C (1,0)(3,0)-C【答案】22230x y x ++-=【分析】设圆的一般方程，然后将点代入组成方程组解出即可. 【详解】根据题意，设圆的方程为 220x y Dx Ey F ++++=又由圆过点，，，C(1,0)(3,0)-则有，1030930D F F D F ++=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩解可得，，， 2D =0E =3F =-即圆的方程为：， 22230x y x ++-=故答案为：.22230x y x ++-=16．设函数是奇函数的导函数．，当时，，则()f x '()()f x x R ∈()10f -=0x >()()0xf x f x '-<使得成立的的取值范围为______． ()0f x <x 【答案】()()1,01,-⋃+∞【分析】构造函数，求解单调性与奇偶性，再结合的正负求解. ()()f xg x x=(),g x x 【详解】令，当时，， ()()f xg x x =0x >()()()20xf x f x g x x '-'=<所以函数在上为减函数，()g x ()0,∞+又因为为奇函数，的定义域为， ()f x ()g x ()(),00,∞-+∞U 所以， ()()()()f x f x g x g x x x---===--所以为偶函数，得在上为增函数， ()g x ()g x (),0∞-因为，所以， ()10f -=()()110g g =-=作出的大致图象如图所示，()g x 当时，，得， ()0,0f x x <>()0g x <()1,x ∈+∞当时，，得 ()0,0f x x <<()0g x >()1,0x ∈-所以的取值范围为 x ()()1,01,-⋃+∞故答案为：()()1,01,-⋃+∞【点睛】根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.四、解答题17．已知函数 (a ，b ∈R)的图象在点处的切线方程为y ＝1. ()sin f x x ax+b -＝()()00f ，(1)实数a 的值；(2)求函数在区间上的最大值和最小值. ()f x [0]1，【答案】(1)1；(2)最大值为b ，最小值为. sin11b -+【分析】（1）直接利用导数的几何意义求出a ； （2）先利用导数判断单调性，求出最值.【详解】（1）因为函数，则. ()sin f x x ax+b -＝()cos f x x a '-＝所以.()0cos01f a a '-=-＝又函数的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1， ()f x 所以，解得：.()010f a '=-=1a =（2）由（1）知，，.()sin f x x x+b -＝()cos 1f x x '-＝在时，有，所以函数f (x )在区间上单减， ]1[0x ∈，()cos 10f x x '-≤＝[0]1，所以，.()()max 0f x f b ==()()min sin111f b x f ==-+18．已知是各项均为正数的等比数列，.{}n a 1322,216a a a ==+（1）求的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前n 项和.2log n n b a ={}n b 【答案】（1）；（2）.212n n a -=2n S n =【分析】(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带{}n a 3a 21a q 2a 1a q 入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；32216a a =+{}n a 12a =(2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列{}n a {}n b 的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．{}n b {}n b 【详解】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，{}n a 32216a a =+12a =所以令数列的公比为，，，{}n a q 2231=2a a q q =212a a q q ==所以，解得(舍去)或，22416q q =+2q =-4所以数列是首项为、公比为的等比数列，．{}n a 24121242n n n a --=⨯=(2)因为，所以，，，2log n n b a =21n b n =-+121n b n =+12n n b b +-=所以数列是首项为、公差为的等差数列，．{}n b 1221212n n S n n +-=⨯=【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．19．已知抛物线的焦点为，点．2:4C y x =F (4,0)P (1)设是抛物线上的动点，求的最小值；Q C ||PQ(2)过点的直线与抛物线交于、两点，若的面积为的方程．P l C M N FMN A l【答案】(1)(2)40x y ±-=【分析】（1）设，由两点间距离公式得(,)Q x y PQ =果；（2）设直线，与抛物线方程联立，结合韦达定理与面积的表达式求解即可.:4l x my =+FMN A【详解】（1）设，则，(,)Q x y PQ ==当时，2x =min ||PQ =（2）设直线，，，焦点．:4l x my =+11(,)M x y 22(,)N x y (1,0)F 联立，消去得， 244x my y x=+⎧⎨=⎩x 24160y my --=，．124y y m ∴+=1216y y =-121·2FMN S PF y y ∴=-=△===，1m ∴=±直线的方程为：．∴l 40x y ±-=20．已知点在双曲线上． (2,1)A 2222:1(1)1x y C a a a -=>-(1)求双曲线的方程；(2)是否存在过点的直线l 与双曲线相交于A ,B 两点，且满足P 是线段的中点？若存11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭AB 在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2212x y -=(2)不存在，理由见解析【分析】（1）代入点的坐标，解方程可得的值，即可得双曲线方程；(2,1)A a （2）假设存在，设过的直线方程为：，，两点的坐标为，，11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭1(1)2y k x =--A B 1(x 1)y 2(x ，，代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可得到所求2)y 直线的斜率，进而得到直线方程，代入双曲线方程，检验判别式即可判断．【详解】（1）解：已知点在双曲线上 (2,1)A 2222:1(1)1x y C a a a -=>-所以，整理得：，解得：，则221114a a -=-42440a a -+=22a =a =所以双曲线方程为：. 2212x y -=（2）解：由题可知若直线存在则直线的斜率存在，故设直线的方程为： l l 1(1)2y k x =--且设交点1122(,),(,)A x y B x y 则 ，两式相间得： 22112222=12=12x y x y --⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()()()()121212122x x x x y y y y -+=-+由于为中点，则 11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭AB 12122,1x x y y +=+=-则 12121y y k x x -==--即有直线的方程：，即 l 1(1)2y x =---12y x =-+ 2221=+224+5=0=12y x x x x y -⇒--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩检验判别式为，方程无实根． ()24425240∆=--⨯⨯=-<故不存在过点的直线与该双曲线相交A ,B 两点，且满足P 是线段的中点. 11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭l AB 21．设为等差数列的前项和，已知，．n S {}n a n 59a =525S =(1)求数列的通项公式；{}n a (2)记，为数列的前项和，求的取值范围． 11n n n b a a +=n T {}n b n n T 【答案】(1)()*21N n a n n =-∈(2) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项公式列出方程组解出等差数列的首项和公差即可； n （2）先求出数列的通项公式，然后利用裂项相减法求和，在根据数列的单调性求出的取值{}n b n T 范围.【详解】（1）等差数列中，，，{}n a 59a = 525S =， ∴1149545252a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得，，11a =2d =． ()*21N n a n n ∴=-∈（2）， 11n n n b a a += ， ()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭ 111111123352121n T n n ⎛⎫∴=-+-++- ⎪-+⎝⎭ ， 11(122121n n n =-=++由于为递增数列， 11212n n n=++时，取得最小值，且， 1n =131121221n n n=<++则， 1132n T ≤<故的取值范围为：. n T 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭22．已知函数． ()()()21ln 1R 2f x x ax a x a =+-+∈(1)当时，求函数的极值；2a =()y f x =(2)求当时，函数在区间上的最小值；0a >()y f x =[1,e]()Q a (3)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明：． x 21()2f x ax =12,x x a 212e x x ⋅>【答案】(1)极大值为，极小值为 5ln 24--2-(2) 2111e (1)e,02e 11()ln 1,12e 11,12a a a Q a a a a a a ⎧+-+<≤⎪⎪⎪=---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩(3)，证明见解析 111ea -<<-【分析】（1）求导，根据函数的单调性和极值的概念即可得到结果；（2）由函数的定义域是，分为，和四种情况，进行分类讨()f x (0,)+∞10,01a a ><≤11e a<<1e a ≥论即可求出结果；（3）根据题意和函数的单调性，结合函数的图象可知，当时，有两个不111e a -<<-()212f x ax =同实根，满足，，两式化简得到，不妨设12,x x ()11ln 1x a x =+()22ln 1x a x =+12122211ln ln x x x x x x x x +=-12x x <，利用分析证明法和换元法即可证明结果． 【详解】（1）当时，函数．2a =2()ln 3(0)f x x x x x =+->， 1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=令，得或 ()0f x '=1x =12x =当时，，在上单调递增， 1(0,)2x ∈()0f x '>()f x 1(0,)2当时，，在上单调递减， 1(,1)2x ∈()0f x '<()f x 1(,1)2当时，，在上单调递增，(1,)x ∈+∞()0f x '>()f x (1,)+∞则在处取得极大值，在处取得极小值． ()f x 12x =1x =极大值为，极小值为． 15(ln 224f =--(1)2f =-（2）函数的定义域是，()f x [1,e]． 1()(1)1()(1)(0)a x x a f x ax a a x x--'=+-+=>当时，令有两个解，或． 0a >()0f x '=1x =1x a =当，即时，，在上单调递减， 10ea <≤1e a ≥()0f x '≤()f x ∴[1,e]在上的最小值是， ()f x ∴[1,e](e)f 211e (1)e 2a a =+-+当，即时， 11ea <<11e a <<当时，，在上单调递减， 1(1,x a ∈()0f x '<()f x ∴1(1,)a当时，，在上单调递增， 1(,e)x a ∈()0f x '>()f x ∴1(,e)a在上的最小值是， ()f x ∴[1,e]11()ln 12f a a a=---当，即时，，，在上单调递增， 1a ≥101a <≤[1,e]x ∈()0f x '≥()f x ∴[1,e]在上的最小值是． ()f x ∴[1,e](1)f 112a =--综上，． 2111e (1)e,02e 11()ln 1,12e 11,12a a a Q a a a a a a ⎧+-+<≤⎪⎪⎪=---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩（3）关于的方程有两个不同实根，即有两个不同实根， x 21()2f x ax =12,x x ln (1)0x a x -+=12,x x 得，令，， ln 1x a x +=ln ()(0)x g x x x=>21ln ()x g x x -'=令，得，()0g x '=e x =当时，，在上单调递增， (0,e)x ∈()0g x '>()g x ∴(0,e)当时，，在上单调递减， (e,)x ∈+∞()0g x '<()g x ∴(e,)+∞时，取得最大值，且，当时， e x ∴=()gx 1e(1)g 0=1x >()0g x >得的大致图象如下： ()g x． 11(0,)ea ∴+∈即当时，有两个不同实根． 111e a -<<-21()2f x ax =12,x x 两根满足，，11ln (1)x a x =+22ln (1)x a x =+两式相加得：，两式相减得：， 1212ln()(1)()x x a x x =++2211ln (1)()x a x x x =+-上述两式相除得． 12122211ln()ln x x x x x x x x +=-不妨设，要证：，12x x <212e x x ⋅>只需证：， 12212211ln()ln 2x x x x x x x x +=>-即证， 22211212112(1)2()ln 1x x x x x x x x x x -->=++设，令， 211x t x =>2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++则， 22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t '-=-=>++函数在上单调递增，且． ∴()F t (1,)+∞(1)F 0=，即，． ()0F t ∴>2(1)ln 1t t t ->+212e x x >⋅∴。
江苏省南京市高二(上)期末数学复习卷
江苏省南京市高二（上）期末数学复习卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分.1．命题：“∃x∈Q，x2﹣8=0”的否定是______．2．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px经过点（4，2），则实数p=______．3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程是______．4．已知p：0＜m＜1，q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，则p是q的______条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空）5．函数f（x）=x+sinx的图象在点O（0，0）处的切线方程是______．6．在空间直角坐标系中，已知A（1，0，0），B（4，﹣3，0），且=2，则点P的坐标是______．7．已知实数x，y满足，则z=x﹣2y的最大值是______．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是______．9．函数f（x）=（e为自然对数的底数）的最大值是______．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），A（3，0），动点P满足2PO=PA，则点P的轨迹方程是______．11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到点A（3，0）的距离等于它到准线的距离，则PA=______．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x，y=0，x=t（t＞0）围成的△OAB的面积为S（t），则S（t）在t=2时的瞬时变化率是______．13．在平面直角坐标系xOy中，已知直l：x+y﹣3=0和圆M：x2+（y﹣m）2=8，若圆M上存在点P，使得P到直线l的距离为3，则实数m的取值范围是______．14．已知函数y=x3﹣3x在区间[a，a+1]（a≥0）上的最大值和最小值的差为2，则满足条件的实数a的所有值是______．二、解答题：本大题共6小题，共计58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点（0，2），其焦点为F1（﹣，0），F2（，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1=4，求△PF1F2的面积．16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且=0，求实数m的值．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=2，AA1=1，∠BAC=90°，D 为线段BC的中点．（1）求异面直线B1D与AC所成角的大小；（2）求二面角D﹣A1B1﹣A的大小．18．A，B两地相距300km，汽车从A地以vkm/h的速度匀速行驶到B地（速度不得超过60km/h）．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v的立方成正比，比例系数，设全程的运输成本为y元．（1）求y关于v的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（m＞0）的离心率为．（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，其满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值？若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=lnx．（1）若直线y=2x+p（p∈R）是函数y=f（x）图象的一条切线，求实数p的值；（2）若函数g（x）=x﹣﹣2f（x）（m∈R）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．①求实数m的取值范围；②证明：g（x2）＜x2﹣1．。
江苏省南京市数学高二上学期理数期末考试试卷
江苏省南京市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）记F（x，y）=x+y﹣a（2 +x），存在x0∈R+使F（x0 ， 3）=3，则实数a满足（）A . 0＜a＜1B . 0≤a＜1C . 0＜a≤1D . 0≤a≤12. （2分）下列四个命题中错误的是（）A . 若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面B . 若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C . 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D . 两条异面直线不可能垂直于同一个平面3. （2分）(2020·滨州模拟) 已知O，A，B，C为平面内的四点，其中A，B，C三点共线，点O在直线外，且满足 .其中，则的最小值为（）A . 21B . 25C . 27D . 344. （2分） (2018高二上·遵化期中) 直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于（）A .B . 2C . 2D . 45. （2分） (2019高二上·东湖期中) 如图所示,点是抛物线的焦点,点分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,则的周长的取值范围（）A .B .C .D .6. （2分）“直线a∥直线β”是“直线a至少平行于平面β内的一条直线”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）为三角形的内角，则是的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2017高三上·常州开学考) 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1与抛物线y2=﹣12x 有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________．10. （1分） (2020高一下·开鲁期中) 已知x，y满足，求的最小值________．11. （1分）有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体外接球的体积为________．12. （1分） (2017高三上·唐山期末) 设为椭圆的左、右焦点，经过的直线交椭圆于两点，若是面积为的等边三角形，则椭圆的方程为 ________.13. （1分） (2017高三上·韶关期末) 已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），若圆心在直线x﹣y﹣1=0上且半径为1的动圆P上存在一点Q满足|QA|=2|QB|，则点P横坐标a的取值范围为________．14. （1分） (2018高二下·溧水期末) 已知直线（其中为非零实数）与圆相交于A,B两点，O为坐标原点，且，则的最小值为________．三、解答题 (共6题；共50分)15. （5分） (2019高二上·黄陵期中) 若“ ，”为真命题，求实数m的最大值。
江苏省南京市高二上学期期末数学试卷
江苏省南京市高二上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）设，那么“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）函数f(x)=sinx在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=-1,f(b)=1，则（）A . 0B .C . -1D . 13. （2分） (2019高三上·宁波月考) 已知函数f（x），g（x）＝f（）+1（k∈R，k≠0），则下列关于函数y＝f[g（x）]+1的零点个数判断正确的是（）A . 当k＞0时，有2个零点；当k＜0时，有4个零点B . 当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有2个零点C . 无论k为何值，均有2个零点D . 无论k为何值，均有4个零点4. （2分）(2016·陕西模拟) 已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0 ， y0）是C上一点，AF=| x0|，则x0=（）A . 1B . 2C . 4D . 85. （2分）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）A .B . 8C .D .6. （2分） (2016高二上·桓台期中) 已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形，若将该几何体削成球，则球的最大表面积是（）A . 16πB . 8πC . 4πD . 2π7. （2分） P是双曲线上的点，F1、F2是其焦点，且，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分）(2016高二上·吉林期中) 等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A . 12B . 10C . 8D . 2+log35二、填空题 (共7题；共8分)9. （1分） (2016高一下·赣榆期中) 关于x的方程cosx﹣sinx+a=0在区间[0，π]上有解，则实数a的取值范围是________．10. （1分） (2019高一上·会宁期中) 如果函数在区间上是单调减函数，那么实数的取值范围是________．11. （1分） (2018高二下·西宁期末) 已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：，则圆C截直线l所得弦长为________．12. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 在平面直角坐标系中，是动点，且直线与的斜率之积等于，动点的轨迹方程为________；直线与轨迹的公共点的个数为________.13. （1分） (2016高一下·信阳期末) 已知半径为2的扇形面积为4，则扇形的角度大小为________弧度．14. （1分） (2016高一上·泗阳期中) 设m，n∈R，定义在区间[m，n]上函数f（x）=x2的值域是[0，4]，若关于t的方程|3﹣|t|﹣ |﹣n=0恰有4个互不相等的实数解，则m+n的取值范围是________．15. （1分）球O为边长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点，DP⊥BM，则点P的轨迹周长为________三、解答题 (共5题；共50分)16. （10分） (2017高一上·长沙月考) 如图，是直径，所在的平面，是圆周上不同于的动点.（1）证明：平面平面；（2）若，且当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角的正弦值.17. （10分）(2017·腾冲模拟) 如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA= ，cosC= ．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？18. （5分）如图，已知椭圆的离心率为，且过点P（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，﹣1）的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N（均异于点P）．问直线PM与PN的斜率之和是否是定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．19. （10分） (2017高一上·潮州期末) 已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．（1）求函数g（x）的解析式；（2）设f（x）= ．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值范围．20. （15分） (2015高二上·葫芦岛期末) 如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1 ， F2为顶点的三角形的周长为．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1•k2=1；（3）探究是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共8分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共50分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。
2023—2024学年江苏省南京市高二上学期期末模拟数学试卷
2023—2024学年江苏省南京市高二上学期期末模拟数学试卷一、单选题1. 记为等差数列的前n项和，若则的公差为（）A．1B．2C．3D．42. 在抛物线y2＝16 x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（）A．B．C．D．3. 若，则可导函数在处的导数为（）A．B．C．1D．24. 若直线与圆相交于A、B两点，且(其中O是原点)，则k的值为（）A．B．C．-D．5. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（）A．B．C．D．6. 已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为( )A．3B．2C．D．7. 已知，则的大小关系为（）A．B．C．D．8. 已知，是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与曲线的左、右两支分别交于，两点.若，，，成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、多选题9. 已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（）A．B．C．的最大值为D．的前10项和为10. 下列说法正确的有（）A．直线过定点B．过点作圆的切线，则的方程为C．圆上存在两个点到直线的距离为2D．若圆与圆有唯一公切线，则11. 一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（）B．线段长度的取值范围是A．椭圆的离心率是C．面积的最大值是D．的周长存在最大值12. 若直线与两曲线、分别交于、两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论正确的有（）A．存在，使B．当时，取得最小值C．没有最小值D．三、填空题13. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则 ______ ．14. 若直线将圆的周长分为2∶1两部分，则直线的斜率为 ________ .15. 数列中，，且，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________ ．16. 已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围是 ___________ .四、解答题17. 已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线与圆相交于两点．(1)求圆的标准方程；(2)当时，求直线的方程．18. 某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克．(1)求的解析式；(2)若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大．19. 在等差数列中，为的前n项和，，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前n项和．20. 已知数列的前n项和为，．(1)求；(2)若，对任意的，，，求的取值范围．21. 已知函数有两个不同的零点.(1)求实数的取值范围；(2)若方程有两个不同的实数根，证明：.22. 已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．(1)若，求证：；(2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．。
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江苏省南京市高二上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2015高一上·福建期末) 已知直线方程y﹣3= （x﹣4），则这条直线的倾斜角是（）
A . 150°
B . 120°
C . 60°
D . 30°
2. （2分）若直线x+y﹣1=0和ax+2y+1=0互相平行，则两平行线之间的距离为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）椭圆9x2+y2=36的短轴长为（）
A . 2
B . 4
C . 6
D . 12
4. （2分） (2020高一下·南宁期末) 下面说法正确的是（）.
A . 经过定点的直线都可以用方程表示
B . 不经过原点的直线都可以用方程表示
C . 经过定点的直线都可以用方程表示
D . 经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示
5. （2分） (2019高三上·凤城月考) 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，为坐标原点，若，且，则该椭圆的离心率为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a的值等于（）
A . ﹣1或3
B . 1或3
C . ﹣3
D . ﹣1
7. （2分）平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是（）
A . 2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B . 2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C . 2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D . 2x－y＋＝0或2x－y－＝0
8. （2分）(2020·绍兴模拟) 如图，三棱锥的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱
上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为，二面角的平面角为，则不可能是（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2019高一下·扬州期末) 在平面直角坐标系中，点在圆上运动，
则的最小值为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）若直线y=kx与曲线y=x3﹣3x2+2x相切，则k的值为（）
A .
B . 0或
C . 2或-
D . 2
11. （2分）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与y轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆的标准方程为（）
A . +=8
B . +=8
C . +=8
D . +=8
12. （2分） (2017高二上·芜湖期末) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P 在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）
A . [ ，1]
B . [ ，1]
C . [ ， ]
D . [ ，1]
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是________
14. （1分）过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为________
15. （1分）(2019高三上·吉林月考) 直线（，）过圆：
的圆心，则的最小值是________.
16. （1分） (2017高三上·苏州开学考) 圆心在抛物线（x＜0）上，并且与抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程是________．
三、解答题 (共8题；共70分)
17. （10分）(2019·桂林模拟) 已知抛物线，过点的直线交抛物线于、两点，设为坐标原点，点 .
（1）求的值；
（2）若，，的面积成等比数列，求直线的方程.
18. （5分）在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为CD和AD的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量．
19. （10分） (2017高二上·常熟期中) 已知圆C经过A（﹣2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x 上．
（1）求圆C的方程；
（2）动直线l：（m+2）x+（2m+1）y﹣7m﹣8=0过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．
20. （5分）(2019·龙岩模拟) 如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段
的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
21. （10分） (2016高二上·普陀期中) 已知长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=2；
（1）求出异面直线AC'和BD所成角的余弦值；
（2）找出AC'与平面D'DBB'的交点，并说明理由．
22. （10分）已知圆，直线
．
（1）求证：对任意的，直线与圆恒有两个交点；
（2）求直线被圆截得的线段的最短长度，及此时直线的方程．
23. （10分）(2020·淮北模拟) 在直角梯形（如图1），，，，
，为线段中点.将沿折起，使平面平面，得到几何体（如图2）.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
24. （10分）(2020·锦州模拟) 已知椭圆的焦距为2，过点 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆的右焦点为F，定点，过点F且斜率不为零的直线与椭圆交于A，B两点，以线段
为直径的圆与直线的另一个交点为Q，试探究在轴上是否存在一定点M，使直线恒过该定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共8题；共70分) 17-1、
17-2、
18-1、19-1、19-2、
20-1、21-1、
21-2、
22-1、
22-2、
23-1、
23-2、
24-1、
24-2、。