空间解析几何第二章 2-1 平面的方程资料
空间解析几何,李养成(新版),第二章_第二节
x 3y z 0, 例2.2.3 求与直线 l0 : 平行且与下列两 x y z 4 0
l1 : x x1 y y1 z z1 ， X1 Y1 Z1 x x2 y y2 z z2 l2 : . X2 Y2 Z2
l1 与 l2 的相关 从图上易见， 两直线 位置 取决于三个向量 M1M 2 , v1, v2 的 相互关系.
(1) l1 与 l2 异面 M1M 2 , v1, v2 不共面；
A1 x B1 y C1 z D 1 0, 若给定直线的一般方程 A2 x B2 y C2 z D2 0. 则它的方向向量可取为
重点知识
B1 v B2
C1 C1 , C2 C 2
A1 A1 , A2 A2
B1 B2
.
例2.2.1 化直线 l 的一般方程
1 : A1 x B1 y C1 z D 1 0, 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0.
那么 (1) 1 与 2 相交的充要条件是 A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 ;
A1 B1 C1 D1 (2) 1 与 2 平行的充要条件是 A B C D ; 2 2 2 2 A1 B1 C1 D1 (3) 1 与 2 重合的充要条件是 A B C D . 2 2 2 2
口答： 研究以下各组里两平面的位置关系：
(1) x 2 y z 1 0, y 3z 1 0
(2) 2 x y z 1 0,
(3) 2 x y z 1 0,
4x 2 y 2z 1 0
4x 2 y 2z 2 0
《解析几何》知识点总结：第2章-平面与直线
第二章平面与直线一、直角坐标系、放射坐标系以及直角坐标系中的向量计算1.直角坐标系和放射坐标系（1）定义5.1：i ，j ，k 以O 为起点，为单位向量且两两垂直，则O ；i ，j ，k 为空间的一个以O 为原点的直角标架或直角坐标系，记为{O ；i ，j ，k }。
如果向量形成右手系，则成为右手直角标架或右手直角坐标系。
i ，j ，k 称为该直角坐标系的基向量。
（2）定义5.2：不要求i ，j ，k 为单位向量且两两垂直，只要求不共面，则称为仿射标架或放射坐标系。
（3）定理5.1：v =x i +y j +z k ，称（x ，y ，z ）为向量v 在该坐标系{O ；i ，j ，k }下的坐标，记为v =（x ，y ，z ）。
（4）定义5.3：规定P 的坐标为向量→OP 的坐标，向量→OP 称为P 点的定位向量或矢径。
（5）8个卦限（逆时针，上层，右下角），x 轴为一半长。
2.直角坐标系中的向量运算（1）线性运算（仿射可）①a ±b =（a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3）；②λa =（λa 1，λa 2，λa 3）；（2）内积（仿射不可）①a ·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3；②|a |=232221a a a ++；③cos∠（a ，b ）=232221232221332211b b b a a a b a b a b a +++++++；cosα=2322211a a a a ++；cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1；·向量a 与x、y、z 轴的夹角称为向量a 的方向角，其余弦称为a 的方向余弦。
·把与三个方向余弦成比例的三个数（该向量的坐标），称为该向量的一组方向数。
（3）外积（仿射不可）a ×b =（a 2b 3-a 3b 2）i +（a 3b 1-a 1b 3）j +（a 1b 2-a 2b 1）k （4）混合积（仿射不可）（a ，b ，c ）=321212131313232c b b a a c b b a a c b b a a ++3.距离公式和定比分点公式（1）距离公式21221221221z -z y -y x -x ）（）（）（++=P P （2）定比分点公式（坐标形式）：P 1P=λPP 2λλλλλλ++=++=++=1z 1y y 1x 212121z z y x x ；；·中点公式：⎪⎭⎫⎝⎛+++2a ,2a ,2a 332211b b b ·重心公式：⎪⎭⎫⎝⎛++++++3c a ,3c a ,3c a 333222111b b b 4.题型①向量运算二、平面方程1.平面方程（1）平面的向量形式的点法式方程：N ·（P -P 0）=0平面的坐标形式的点法式方程：A （x-x 0）+B （y-y 0）+C （z-z 0）=0——平面法向量[垂直]N =（A ，B ，C ）（2）平面的一般式方程（普通方程）：Ax+By+Cz+D=0（A ，B ，C 不能同时为0）平面的一般式方程（向量形式）：N ·P+D=0定理6.1：平面方程是三元一次方程，反之三元一次方程必表示平面。
空间解析几何2-1
例2.
设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为 OA, 且
OA a , 求OA 在 OM 方向上的投影.
解: 如图所示, 记 ∠MOA = ,
M
OA 1 cos 3 OM
Prj OM
a OA OA cos 3
O a A
2、向量的坐标表示 以i , j , k 分别表示沿 x , y , z 轴正向的单位向量.
a∥b
(为唯一实数)
三、向量的坐标及其运算的坐标表示 1、向量在轴上的投影
定义：
设 a 与 u 轴正向的夹角为 , 则 a 在轴 u 上的投影为 a cos
记作 Prj u a 或 ( a ) u , 即
M
a
O M
u
M
M
( a )u a cos
投影的性质
O
u
1) 2) (为实数)
.
方向余弦通常用来表示向量的方向.
例 4. 已知两点
和
计算向量
的模、方向余弦和方向角.
解:
M 1M 2 ( 1 2 , 3 2 , 0 2 )
( 1 , 1 , 2 )
( 1) 2 12 ( 2 ) 2 2
1 cos , 2 2 , 3
2 cos 2 3 4
a {a x , a y , a z } ( a x )i ( a y ) j ( a z )k .
例3. 设 求 解
a { 1, 0, 1 } b { 1, 1, 0 }
b. b 3{ 1, 0, 1 }
{ 1, -2, 3}. { 1, 1, 0 } { 3, 0, 3 } - { 2, 2, 0 }
大学高数空间解析几何2.
曲西方程；F （xj,z ）=O空同解祈/L 何一・曲面方程的概念定义：如果曲面s 与三元方程F (x,j,z) = O 满足:(1)曲面s 上任一点的坐标都满足方程F (xj^z) =O(2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程.二、平面及其方程例1设有点A (1,2,3)与B (2,-1,4),求与线段AB垂直平分的平面方程・所求平面就是与A和B等距离的动点的轨迹设平面上任一点为A/(x,j,z)AM\ = \MnI (X・ 1)2 + (y ・ 2)2 + (z - 3)2 = V(x-2y+6 + iy +(z-4)2化简得2x-6j + 2z-7 = 0 —所求平面方程Ax + By+ Cz + D = O平面的一般方程■特殊半廁XOYlfri z = 0YOZ 而x =()zox 而y=o适合下列条件的平面方程Ax + B\+Cz^D = 0仃什么特征？I.过原点0 = 02•平行于他标轴 3 •包含坐标轴平行于X4 = 0包含X4 = 0Q = 0v/? = o>^B = 0 D = 02C = 0zC = 0Q = ()4•平行于坐标平面平行于XOY面4=0 B=Q zox®4=0C=0YOZifii B = 0 C = 04例2作Z-2的图形.三、球面及其方程例3建立球心在点Mo (myo, z…)半径为R的球而的方程.设是球面上的任一点\M A M = RJ (X-Xo) 2 + Cv-几)'+ (z・zj 承(尤-X J+ (y - y 0 y+ (z - z J=j 11+ZH OXZ ——HA THP GWOZZ XHXZ(o n )吕舍sHJ+X•I \7 卜 乙——K \—/ 丟逗迂膜低丫OHd +Xz IJ+ wZ = JQ■宀b上半部例5求与原点O及M❶（2,3,4）的距离之比为1:2 点的全体所组成的曲面方程•解设M （兀jsz）是曲面上任一点根据题意有-=1恨俯惣恵月IMMJ 2J(X・2), + (y - 3)2 +(Z - 4), 2所求方程为卜+I卜0+1）并+寻」四•旋转曲面定义以一条平曲线纟翹平面上的一条直线旋黔一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴.旋转面的方程曲线C卩（”Z）=0lx = 0曲线C〔八”乙）二。
空间解析几何的直线与平面直线方程平面方程的求解
空间解析几何的直线与平面直线方程平面方程的求解一、直线方程的求解在空间解析几何中，直线是两点间的最短路径，它可以用直线方程来表示。
直线方程一般可以采用两种常见的形式：点向式和一般式。
1. 点向式直线方程设直线上一点为P(x,y,z)，直线的方向向量为a(i,j,k)，则该直线的点向式方程可以表示为：(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t(i,j,k) (1)其中(x1,y1,z1)为直线上已知的一点的坐标，t为参数。
根据这个方程就可以唯一确定直线上的任意一点。
2. 一般式直线方程一般式直线方程是通过直线上的两个不重合的点的坐标来表示的。
设直线通过点P1(x1,y1,z1)和点P2(x2,y2,z2)，则一般式直线方程的表示形式为：(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1) (2)或者简化为：(x-x1)/a = (y-y1)/b = (z-z1)/c (3)其中a = x2-x1, b = y2-y1, c = z2-z1。
二、平面方程的求解平面是空间中的一个二维平面，可以用平面方程来表示。
平面方程一般可以采用三种常见的形式：一般式、点法式和截距式。
1. 一般式平面方程一般式平面方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0 (4)其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为常数。
一般式平面方程中的法向量可以通过已知法向量的坐标和平面上的一点来确定。
2. 点法式平面方程设平面上一点为P(x,y,z)，平面的法向量为n(A,B,C)，则点法式平面方程可以表示为：n · (P-P0) = 0 (5)其中·表示点乘运算，P0为平面上已知的一点的坐标。
3. 截距式平面方程截距式平面方程可以表示为：x/a + y/b + z/c = 1 (6)其中a、b、c为平面在坐标轴上的截距。
三、直线与平面方程的求解在空间解析几何中，求解直线与平面的交点，可以通过将直线方程代入平面方程，得到交点的坐标。
解析几何第四版吕林根课后习题答案解析第二章
第二章 轨迹与方程 §2.1平面曲线的方程1.一动点M 到A )0,3(的距离恒等于它到点)0,6(-B 的距离一半，求此动点M 的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？解：动点M 在轨迹上的充要条件是MB MA 21=。
设M 的坐标),(y x 有2222)6(21)3(y x y x ++=+- 化简得36)6(22=+-y x 故此动点M 的轨迹方程为36)6(22=+-y x此轨迹为椭圆2.有一长度为a 2a (＞0）的线段，它的两端点分别在x 轴正半轴与y 轴的正半轴上移动，是求此线段中点的轨迹。
A ，B 为两端点，M 为此线段的中点。
解：如图所示 设(,),A x o (,)B o y .则(,)22x yM .在Rt AOB 中有 222()(2)x y a +=.把M 点的坐标代入此式得:222()x y a +=(0,0)x y ≥≥.∴此线段中点的轨迹为222()x y a +=.3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值2m ,求此动点的轨迹.解:设两定点的距离为2a ,并取两定点的连线为x 轴, 两定点所连线段的中垂线为y 轴.现有:2AM BM m ⋅=.设(,)M x y 在Rt BNM中 222()a x y AM++=. (1) 在Rt BNM中222()a x y BM -+=. (2) 由(1)(2)两式得:22222244()2()x y a x y m a +--=-.4.设,,P Q R 是等轴双曲线上任意三点,求证PQR 的重心H 必在同一等轴双曲线上. 证明:设等轴双曲线的参数方程为x ct c y t =⎧⎪⎨=⎪⎩11(,)P x y ,22(,)Q x y ,33(,)R x y .重心H 123123(,)33x x x y y y ++++5.任何一圆交等轴双曲线2xy c =于四点11(,)c P ct t ,22(,)cQ ct t ,33(,)c R ct t 及44(,)cS ct t .那么一定有12341t t t t =.证明:设圆的方程22220x y Dx Ey F ++++=.圆与等轴双曲线交点(,)c ct t,则代入得2222220.c Ec c t Dct F t t++++=整理得:24322220.c t Dct Ft Ect c ++++=可知(1,2,3,4i =是它的四个根,则有韦达定理1234t t t t ⋅⋅⋅=242(1)1c c-=.8. 把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程. ⑴32x y =; ⑵ ()0,212121>=+a a yx ; ⑶()0,0333>=-+a axy y x .解:⑴⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 32令θ4cos a x =,代入方程212121a y x =+ 得θθθ42212212121sin ,sin cosa y a a a y ==-=∴参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θθ44sin cos a y a x . ⑶令,tx y =代入方程0333=-+axy y x得()031233=-+atx x t()[]03132=-+⇒at x t x3130t at x x +==⇒或当0=x 时,;0=y 当313t at x +=时,3213tat y += 故参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=3231313t at y t at x .§2.2 曲面的方程1、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。
空间解析几何-第2章 空间的平面与直线
n{4,1,2},
4 A B 2C 0
2 A B C, 3 所求平面方程为 2 x 2 y 3 z 0.
例5 求通过点M(2,-1,1)与N(3,-2,1)，且平行于 z轴的平面的方程
4. 过点M(3,2,-4)且在x轴和y轴上截距分别为-2 和-3的平面 5. 已知两点M1(3,-1,2)和M2(4,-2,-1) ，通过 M1且垂直于M1M2的平面 6. 已知平面上三点A(3,-1,2) B (4,-2,-1) C(3,2,-4)，求平面方程。 求通过直线 截距相等的平面方程 ，且在y轴与z轴上
类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.
(4) A B D 0,
有z 0,即xoy面.
例 4 设平面过原点及点( 6,3, 2) ，且与平面
4 x y 2 z 8 垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过原点知 D 0,
代入体积式
1 1 1 1 1 1 t , 6 6t t 6 t 6
a 1, b 6, c 1,
所求平面方程为 6 x y 6 z 6. 或
6 x y 6z 6.
已知平面上一点和不共线两个向量, 求通过该点与两向量平行的平面 ——点位式/坐标式参数方程
例 3 一直线过点 A( 2,3,4 )，且和 y 轴垂直 . . 相交，求其方程
解
因为直线和y 轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
取 s BA ( 2, 0, 4),
x2 y3 z4 所求直线方程 . 2 0 4
解析几何第二章 第一节
图2.1
点 M x , y , z 平面
v v 向量 M 0 M ， 1 ， 2 共面
得到平面的参数方程 或
r r0 v1 v 2
x x0 X 1 X 2 , y y 0 Y1 Y2 , z z Z Z , 0 1 2
r r0 t v
0
或
x x 0 t cos , y y 0 t cos , z z t cos , 0
其中参数 t 的绝对值恰好是直线 l 上的两点 M 0 与M 之 间的距离，这是因为 | t || r r0 || M 0 M | . 这时 直线 l
A1 x B1 y C 1 z D1 0, l: A2 x B 2 y C 2 z D 2 0,
(2.1.16)
它称为直线的一般方程.
在直角坐标系 O ; i, j, k 下, 直线 l 的方向向量可取成 单位向量 v 0 cos , cos , cos , 这时 l 的参数方程为
=
A B C
2 2 2
0 时，
的
在取定符号后称为平面的法式化因子. 学生口答: 在直角坐标系下, 将平面的一般方程
(1) x y 1 0,
(2) x 2 0
化为法式方程.
2.1.3 空间直线的方程 在空间给定一个点 M 0 和非零向量 v , 那么过点 M 0 且 与向量 v 平行的直线便惟一确定. 向量 v (以及 k v , k 0 )叫做直线的方向向量. 现推导直线方程. 取定仿射标架O ; e1 , e 2 , e 3 . 设点 M 0 的坐标为 x0 , y 0 , z 0 , v X , Y , Z , 则点 M x , y , z 直 线 l 的充要条件是存在惟 一的实数 t，使得
空间解析几何2
[4]
A 0 x轴平行于 B 0 y轴平行于 C 0 z轴平行于 D 0 原点O在 上
这里的‘平行’包括了重合的情 形。 解析几何 第二章 空间解析几何
三、平面间的位置关系
相交 重合 两平面关系： 平行 无交点
定理2 在一个仿射坐标系中，给出两张平面的方程：
解析几何 第二章 空间解析几何
D D D 将A , B , C , a b c
代入所设方程得
x y z 1 平面的截距式方程 a b c
x 轴上截距
y 轴上截距
z 轴上截距
解析几何 第二章 空间解析几何 Nhomakorabea二、平面一般方程的系数的几何意义
[1] 定理1 假设平面的一般方程为 Ax By Cz D 0，
则向量r(k,m,n)平行于的充要条件是
证明： 任取 上一点M0(x0 , y0 ,z0 ), 以它为起点作r M0 M,
则M (x0 k, y0 m, z0 n);
r平行于 点M 在 上
Ak Bm Cn 0.
A x0 k) B y0 m) C(z0 n) D 0. ( ( Ak Bm Cn 0. 因为 Ax0 By0 Cz0 D 0
假设M(x, y, z),M0(x0 , y0 , z0 ),(X1 ,Y1 , Z1 ),(X 2 ,Y2 , Z2 ),
x x0 X 1 X 2 x x0 X 1 X 2 y y0 Y1 Y2 y y0 Y1 Y2 z z Z Z z z Z Z 0 1 2 0 1 2
所以r平行于 Ak Bm Cn 0.
空间解析几何中的平面方程
空间解析几何中的平面方程在空间解析几何中，平面方程是一个重要的概念。
通过平面方程，我们可以描述和表示平面在三维坐标系中的位置和性质。
本文将介绍平面方程的定义、常见形式以及如何根据给定条件求解平面方程的过程。
一、平面方程的定义平面是三维空间中的一个二维图形，可以通过其中的一点和一个法向量来确定。
在解析几何中，平面方程的一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面的法向量的三个分量，D为平面到原点的距离。
二、平面方程的常见形式根据平面方程的一般形式，我们可以得到一些常见的形式，如点法式、截距式和三点式。
1. 点法式点法式用一个平面上的点和该平面的法向量来确定平面方程。
设平面上一点为P(x₁, y₁, z₁)，法向量为n(A, B, C)，则该平面的方程可以表示为Ax + By + Cz - (Ax₁ + By₁ + Cz₁) = 0。
2. 截距式截距式利用平面与三个坐标轴的截距来确定平面方程。
设平面与x 轴、y轴、z轴的截距分别为a、b、c，则该平面的方程可以表示为x/a + y/b + z/c = 1。
3. 三点式三点式通过平面上的三个点来确定平面方程。
设平面上的三个点为P₁(x₁, y₁, z₁)、P₂(x₂, y₂, z₂)、P₃(x₃, y₃, z₃)，则该平面的方程可以表示为|(x - x₁) (y - y₁) (z - z₁)||(x - x₂) (y - y₂) (z - z₂)| = 0|(x - x₃) (y - y₃) (z - z₃)|三、求解平面方程的过程根据给定的条件，我们可以利用向量运算和线性方程组的方法来求解平面的方程。
例如，已知平面过点P₁(x₁, y₁, z₁)、点P₂(x₂, y₂, z₂)和点P₃(x₃, y₃, z₃)，我们可以按照以下步骤求解平面方程：1. 计算平面的法向量n根据向量的减法和叉乘公式，计算向量P₁P₂和向量P₁P₃的叉乘，得到平面的法向量n。
高中数学必修二第二章2.1.1平面
探究（三）：平面的基本性质2
思考1:空间中，经过两点有且只有一条 直线，即两点确定一条直线，那么两点 能否确定一个平面？经过三点、四点可 以作多少个平面？ 思考2:照相机，测量仪等器材的支架为 何要做成三脚架？
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20
思考3:经过任意三点都能确定一个平面 吗？由此可得什么结论？
公理2 过不在一条直线上的三点,有
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9
思考4:我们不可能把一条直线或一个平 面全部画在纸上，在作图时通常用一条 线段表示直线，你认为用一个什么图形 表示平面比较合适？ 怎样画才能呈现 更强的立体感呢?
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10
平面的画法: (1)通常用平行四边形表示,有时也可根据需要用其 它平面图形表示,如:矩形;菱形;三角形;圆(椭圆)等;
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思考3:直线是否有长短、粗细之分？平 面是否有大小、厚薄之别？
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平面是一个只描述而不定义的最基本的概念, 它是从日常见到的具体的平面抽象出来的理想化 的模型.
点评：几何里的平面的特征:
1.无限延展
（没有边界）
2.不计大小
（无所谓面积）
3.不计厚薄
（没有质量）
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31
推论1: 经过一条直线和直线外的一 点,有且只有一个平面.
A B
aC
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32
推论2: 经过两条相交直线,有且只 有一个平面.
B
b aA
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33
推论3: 经过两条平行直线,有且只 有一个平面.
A B
aC
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34
空间解析几何第二章 2-1 平面的方程资料
化简得 2x 3 y z 6 0.
例 7 设平面过原点及点(6,3, 2)，且与平面
4x y 2z 8垂直，求此平面方程. 解 设平面为 Ax By Cz D 0,
由平面过原点知 D 0,
由平面过点(6,3, 2)知 6A 3B 2C 0
n{4,1,2},
4A B 2C 0
616
化简得 1 1 1 , 令 1 1 1 t 6a b 6c 6a b 6c
a 1 , b 1, c 1 ,
6t
t
6t 代入体积式
1 1 1 1 1 t 1 ,
6 6t t 6t
6
a 1, b 6, c 1,
所求平面方程为 6x y 6z 6.
或 6x y 6z 6.
面的法向量（法矢）．
o
y
x
法向量的特征：垂直于平面内的任一非零向量．
已知
n
{ A,
B,
C },
平面上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M( x, y, z) 必有 M0M n M0M n 0
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量
n
{ A,
B, C },
已知点
M0 (x0 , y0 , z0 ).
平面上的点都满足此方程，不在平面上的点都 不满足此方程，此方程称为平面的方程，平面 称为方程的图形．
例1 已知两点P1(2, 1, 2)和P2(6, 3, 4),求通
过点P1且与直线P1P2 垂直的平面 的方程.
例5 求通过两点P1(2, 1, 2)和P2(3, 2,1)且平行 于z轴的平面的方程.
空间解析几何与平面的方程
空间解析几何与平面的方程空间解析几何是研究空间中几何对象及其性质的数学学科。
在空间解析几何中，平面是一个重要的概念，平面可以通过一个点和两个不共线的向量来确定。
本文将介绍空间解析几何中平面的方程表示方法及其应用。
一、平面的一般方程在空间解析几何中，平面一般可以用以下方程表示：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C为不全为零的实数，A、B、C不全为零是因为平面至少要有一个法向量。
A、B、C表示平面的法向量的坐标，D则为一个常数。
例如，对于平面2x + 3y - z + 4 = 0，可以得到法向量为(2, 3, -1)。
平面上的点(x, y, z)满足2x + 3y - z + 4 = 0，即满足方程的解。
二、平面的点法向式方程除了一般方程外，平面还可以用点法向式方程表示。
点法向式方程表示平面上的一点和平面的法向量之间的关系。
点法向式方程的一般形式如下：r · n = p · n其中r为平面上一点的位置向量，n为平面的法向量，p为平面上一点的坐标。
·表示向量的点积。
根据点法向式方程，我们可以计算平面上任意一点的坐标，并且判断一个点是否在平面上。
三、平面与直线的关系平面与直线的关系是空间解析几何中的一大重要内容。
平面可以与直线相交，也可以平行于直线。
两个平面还可以相交或平行。
1. 平面与直线相交时，它们的交点满足平面和直线的方程。
2. 平面与直线平行时，它们的法向量互相平行。
3. 两个平面相交时，它们的交线满足两个平面的方程。
4. 两个平面平行时，它们的法向量互相平行。
四、平面与平面之间的关系平面与平面之间的关系也是空间解析几何的重要内容。
两个平面可以相交、平行或重合。
1. 两个平面相交时，它们的交线满足两个平面的方程。
2. 两个平面平行时，它们的法向量互相平行。
3. 两个平面重合时，它们的法向量完全相同。
五、平面方程的应用平面方程的应用十分广泛，以下是一些常见的应用领域：1. 几何图形：平面方程可以用于描述几何图形中的平面，如平面几何中的圆、三角形等。
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点P在平面π上的充要条件就是三个向量
r r0 , a, b，
共面，也就是混合积（r r0, a, b） 0 (2.1－3)
用r r0, a, b 三向量的坐标表示，上 式可表示成
x x0 X1 X2
y y0 Y1 Y2
By 0 Cz 0
0
，为一平面.
法向量 n {A, B,C}. 平面过点 ( D , 0, 0)
A
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
定理2.1.1 空间中任一平面的方程都可表
示成一个关于变数 x, y, z的一次方程;反过 来,每一个关于变数 x, y, z的一次方程都表 示一个平面.
平面的点法式方程
其中法向量
n
{ A,
B, C },
已知点
M0 (x0 , y0 , z0 ).
平面上的点都满足此方程，不在平面上的点都 不满足此方程，此方程称为平面的方程，平面 称为方程的图形．
例1 已知两点P1(2, 1, 2)和P2(6, 3, 4),求通
过点P1且与直线P1P2 垂直的平面 的方程.
Ax+By+Cz+D=0 平面的一般方程
Ax+By+Cz+D=0 平面的一般方程
平面一般式方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
z
o y
x
(2)
A
=
0，
D D
0, 0,
平面通过 x轴； 平面平行于 x轴；
z
o y
x
这时法向量为{0, B, C}, 它垂直x轴而平行 于yoz坐标面. 平面垂直于yoz坐标面.
过点P0且与向量a, b 平行的平面 也唯一确定. 与平面 平行的任意一对不共线的向量a与b
称为平面的一对方位向量. z
b
·P0
oa
y
x
下面推导由这一组几何条件所确定的平面π的方程:
设平面通过点P0(x0, y0, z0 ),平面的一对方位向量
为 a {X1, Y1, Z1},b {X 2, Y2, Z2}
(2)平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0; 平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0. 特别： D = 0时, 平面过坐标轴。
(3)平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0; (即z = k) 平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0; (即y = k) 平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0. (即x = k) 特别： D = 0时, 平面就是坐标面。
类似地可讨论B = 0，C = 0情形
z
z
o
o
y
y
x
x
（2）A = B = 0
D 0, D 0,
平面平行于xoy 坐标面； 与z轴垂直
有z 0,即xoy面.
z
z
o
o
y
y
x
x
类似地可讨论A = C = 0， B = C = 0情形
z
z
o
o
y
y
x
x
其他的特殊平面方程
(1)过原点的平面方程是 A x + B y + C z = 0
第二章 平面与直线
平面与直线是空间中最简单的曲面与曲线， 这一章我们将向量法和坐标法结合使用，一方 面导出平面与空间直线在直角坐标系下的方程； 另一方面研究点、直线、平面之间的相互位置 关系与有关的度量关系。
§1 平面的方程
1.1 平面的点法式方程
z
n
·M0
如果一非零向量垂直于
M
一平面，这向量就叫做该平
分析:平面的方程 1)一个点:P1(2, 1, 2)
2)法向量:P1P2 6 2, 3 1, 4 2
平面 的方程为
(6 2)(x 2) (3 1)( y 1) (4 2)(z 2) 0
1.2 平面的点位式方程
在空间，确定一个平面的几何条件多种多样。
若给定空间一点P0与不共线的向量a和b , 则通
例5 求通过两点P1(2, 1, 2)和P2(3, 2,1)且平行 于z轴的平面的方程.
小结
§1平面的方程
1.平面的点法式方程 2.平面的点位式方程 3.平面的三点式方程 4.平面的截距式方程 5.平面的一般式方程 6.平面一般式方程的几种特殊情况
z z0 Z1 0 Z2
(2.1 4)
方程(2.1-3)与(2.1-4)都称为平面的点位式方程.
例
例2. 求通过点P1(1, 1, 5)和P2(2,3, 1)且垂直
zOx坐标平面的平面的方程.
例3. 已知不共线的三点M1(x1, y1, z1),M 2(x2, y2 , z2 ),M3(x3, y3, z3 ),求通过这三点的平面
面的法向量（法矢）．
o
y
x
法向量的特征：垂直于平面内的任一非零向量．
已知
n
{ A,
B,
C },
平面上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M( x, y, z) 必有 M0M n M0M n 0
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
的方程.
1.3 平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
表示
D
即 任一平面
？
Ax By Cz D 0
（A,B,C不同时为零）
不妨设 A 0，则
A x
D A
的方程.
设所求平面上的任意一点为M(x, y, z),由对应 的四面体体积为0，即得所求平面的方程.
即
x x1 x2 x1 x3 x1
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0. z3 z1
平面的三 点式方程.
平面的截距式方程
作为三点式的特例，若已知平面π与x, y, z轴的交点
依次为P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三点，则平面
π的方程为
z
xa y z
R
a bcx cay abz abc
x
当abc 0时,有 x y z 1 —平面的截距式方程 a bc
x轴上截距
y轴上截距
z轴上截距
例4 求通过点M(6, 0,1)且在x轴, y轴, z轴上 的截距之比为a : b : c 3: 2 :( 1)的平面