空间解析几何第二章 2-1 平面的方程资料

类似地可讨论B = 0，C = 0情形
z
z
o
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o
y
y
x
x
（2）A = B = 0
D 0, D 0,
平面平行于xoy 坐标面； 与z轴垂直
有z 0,即xoy面.
z
z
o
o
y
y
x
x
类似地可讨论A = C = 0， B = C = 0情形
z
z
o
o
y
y
x
x
其他的特殊平面方程
(1)过原点的平面方程是 A x + B y + C z = 0
第二章 平面与直线
平面与直线是空间中最简单的曲面与曲线， 这一章我们将向量法和坐标法结合使用，一方 面导出平面与空间直线在直角坐标系下的方程； 另一方面研究点、直线、平面之间的相互位置 关系与有关的度量关系。
§1 平面的方程
1.1 平面的点法式方程
z
n
·M0
如果一非零向量垂直于
M
一平面，这向量就叫做该平
分析:平面的方程 1)一个点:P1(2, 1, 2)
2)法向量:P1P2 6 2, 3 1, 4 2
平面 的方程为
(6 2)(x 2) (3 1)( y 1) (4 2)(z 2) 0
1.2 平面的点位式方程
在空间，确定一个平面的几何条件多种多样。
若给定空间一点P0与不共线的向量a和b , 则通
依次为P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三点，则平面
π的方程为
z
xa y z
R
a b 0 0.
a 0 c
o P
Qy
有 bcx cay abz abc
x
当abc 0时,有 x y z 1 —平面的截距式方程 a bc
x轴上截距
y轴上截距
z轴上截距
例4 求通过点M(6, 0,1)且在x轴, y轴, z轴上 的截距之比为a : b : c 3: 2 :( 1)的平面
面的法向量（法矢）．
o
y
x
法向量的特征：垂直于平面内的任一非零向量．
已知
n
{ A,
B,
C },
平面上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M( x, y, z) 必有 M0M n M0M n 0
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
z z0 Z1 0 Z2
(2.1 4)
方程(2.1-3)与(2.1-4)都称为平面的点位式方程.
例
例2. 求通过点P1(1, 1, 5)和P2(2,3, 1)且垂直
zOx坐标平面的平面的方程.
例3. 已知不共线的三点M1(x1, y1, z1),M 2(x2, y2 , z2 ),M3(x3, y3, z3 ),求通过这三点的平面
过点P0且与向量a, b 平行的平面 也唯一确定. 与平面 平行的任意一对不共线的向量a与b
称为平面的一对方位向量. z
b
·P0
oa
y
x
下面推导由这一组几何条件所确定的平面π的方程:
设平面通过点P0(x0, y0, z0 ),平面的一对方位向量
为 a {X1, Y1, Z1},b {X 2, Y2, Z2}
平面的点法式方程
其中法向量
n
{ A,
B, C },
已知点
M0 (x0 , y0 , z0 ).
平面上的点都满足此方程，不在平面上的点都 不满足此方程，此方程称为平面的方程，平面 称为方程的图形．
例1 已知两点P1(2, 1, 2)和P2(6, 3, 4),求通
过点P1且与直线P1P2 垂直的平面 的方程.
By 0 Cz 0
0
，为一平面.
法向量 n {A, B,C}. 平面过点 ( D , 0, 0)
A
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
定理2.1.1 空间中任一平面的方程都可表
示成一个关于变数 x, y, z的一次方程;反过 来,每一个关于变数 x, y, z的一次方程都表 示一个平面.
P (x, y, z) 是平面π上任意一 点（右图）点 P0与P 的向径 分别为
点P在平面π上的充要条件就是三个向量
r r0 , a, b，
共面，也就是混合积（r r0, a, b） 0 (2.1－3)
用r r0, a, b 三向量的坐标表示，上 式可表示成
x x0 X1 X2
y y0 Y1 Y2
的方程.
1.3 平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
表示
D
即 任一平面
？
Ax By Cz D 0
（A,B,C不同时为零）
不妨设 A 0，则
A x
D A
例5 求通过两点P1(2, 1, 2)和P2(3, 2,1)且平行 于z轴的平面的方程.
小结
§1平面的方程
1.平面的点法式方程 2.平面的点位式方程 3.平面的三点式方程 4.平面的截距式方程 5.平面的一般式方程 6.平面一般式方程的几种特殊情况
(2)平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0; 平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0. 特别： D = 0时, 平面过坐标轴。
(3)平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0; (即z = k) 平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0; (即y = k) 平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0. (即x = k) 特别： D = 0时, 平面就是坐标面。
Ax+By+Cz+D=0 平面的一般方程
Ax+By+Cz+D=0 平面的一般方程
平面一般式方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
z
o y
x
(2)
A
=
0，
D D
0, 0,
平面通过 x轴； 平面平行于 x轴；
z
o y
x
这时法向量为{0, B, C}, 它垂直x轴而平行 于yoz坐标面. 平面垂直于yoz坐标面.
的方程.
设所求平面上的任意一点为M(x, y, z),由对应 的四面体体积为0，即得所求平面的方程.
即
x x1 x2 x1 x3 x1
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0. z3 z1
平面的三 点式方程.
平面的截距式方程
作为三点式的特例，若已知平面π与x, y, z轴的交点