广东省华南师大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题含答案解析
人教A版师大附中2019-2020学年上学期高一年级期中考试数学试卷(含答案)
人教A 版师大附中2019-2020学年上学期高一年级期中考试数学试卷 说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合S ＝{1，3，5}，T ＝{3，6}，则S T 等于A. φB. {3}C.{1，3，5，6}D. Ｒ2. 函数f （x ）＝x -12的定义域是A. （－∞，1）B. (]1,∞-C. ＲD. （－∞，1） ()∞+，13. 下列函数中在其定义域上是偶函数的是A. y ＝2xB. y ＝x 3C. y ＝x 21D. y ＝x 2-4. 下列函数中，在区间（0，＋∞）上是增函数的是A. y ＝－x 2B. y ＝ x 2－2C. y ＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛ D. y ＝log 2x 1 5. 已知函数f （x ）＝x ＋1，x ∈Ｒ，则下列各式成立的是A. f （x ）＋f （－x ）＝2B. f （x ）f （－x ）＝2C. f （x ）＝f （－x ）D. –f （x ）＝f （－x ）6. 设函数f （x ）＝a x -（a>0），且f （2）＝4，则A. f （－1）>f （－2）B. f （1）>f （2）C. f （2）<f （－2）D.f （－3）>f （－2）7. 已知a ＝log 20.3，b ＝23.0，c ＝0.32.0，则a ，b ，c 三者的大小关系是A. a>b>cB. b>a>cC. b>c>aD. c>b>a8. 函数f （x ）＝log a （x －2）＋3，a>0，a ≠1的图像过点（4，27），则a 的值为 A. 22 B. 2 C. 4 D. 21 9. 当0<a<1时，下列不等式成立的是 A. a 1.0<a 2.0B. log a 0.1> log a 0.2C. a 2<a 3D. log a 2< log a 310. A semipro baseball league has teams with 21 players each. League rules state that aplayer must be paid at least ＄15，000，and that the total of all players’ salaries for each team cannot exceed ＄700，000. What is the maximum possible salary ，in dollars ，for a single player ？A. 270，000B. 385，000C. 400，000D. 430，000E.700，000二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
华南师大附中高一数学第一学期期中考试及其答案
华南师大附中 高一数学第一学期期中考试一、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1. 已知全集：二丨幕：， -，则（）.A.B. ： IC. ：l J:D.【答案】B【解析】 由题意二 1::二，又.■- - {- ■ _，故选 B.2. 若函数的一个正数零点的附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:那么方程x'' - \ ' \ '■ ：i 的一个近似根（精确到■■: f ）为（ ）. A. B. C. V D. I -【答案】C【解析】试题分析：由二分法知，：X = J : ＞的零点在区间芒严；，所以精确到 时，方程的近似根为 ；，故答案为 ；.考点：函数的零点A. B. I - IC. |D. :「1厲【答案】D【解析】对于函数 ，则、,；肯"，且 ，]解得 ，故定义域为 ，故选.4.设集合 ，集合，下列对应关系中是从集合到集合 的映射的是（3. 1函数、的定义域为（). ).A.| ■ B. ：------- C. (x- iy【答案】CC.在区间；「I 内有零点，在区间 -内无零点D.在区间 内无零点，在区间 -内有零点【答案】Dr【解析】由题得■' ?■'=,，令2：:;得 ：，3x 令「：厂|；得 厶「*：:;得 ：，所以函数在区间上为减函数，在区间'为增函数,【解析】 因为-<■',而 匸|.;,集合 中的元素 在集合 中没有像，故选项 对于选项，集合 中的元素 在集合 中没有像，故选项 不是映射.对于选项，集合 中的所有元素在集合 中都有唯一的像和它对应，故选项 对于选项，由于函数的定义域不是 ，故选项 不是映射，故选.5.若抹一,「上込―；；=1咨二，算=匕;；、，则，，，的大小关系是A. .■卜....B. ■ ■ I ： ■ .： ■ "C. .. ■.卜D. ■■ < ■;：. <-不是映射.是映射. ).【答案】A【解析】由于函数在十庁；上是减函数，故有：'I-- 再由 ，―小’:二1，可得■'I"- ■- ■■：，故选.6.设函数 若 是奇函数，则-的值是().tg(xXx<QI 1A. B. ■'! C.D.斗4【解析】由 是奇函数得；；一 ，当 时，,_x 1：.・：：•：时，U ,2X11即:=.一，，故选.24A.在区间；丨i , ■ J •二-内均有零点 -内均无零点B.在区间在点弋处有极小值：，所以在区间丄二内无零点，在区间：I.「内有零点，故选 .e8. 已知函数：： = /■与函数' n.i的图象关于直线■/-.：：对称，则不等式ii I ■的解集为（）.A. .. IB. .. IC. ■- . I ■- | ■-D. J 1【答案】B【解析】因为中函数有定义，则，即;]-则排除，，，故选.io.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.j _或【答案】C【解析】因为函数-与函数p—仁的图象关于直线n对称,9.)_ ^,即I i ，二1 -函数侶：一「科-广T的大致图象是（).2••一,点睛：分段函数的单调性问题，要分别单调和整体单调同时满足。
2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷副标题1. 已知角α的终边经过点P(4,−3)，则tanα的值为( )A. 34B. 45C. −45D. −342. 下列命题中正确的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C. 0⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ D. OA⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 3. 若sinα>0，且tanα<0，则角α的终边位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 函数y =3cos(25x −π6)的最小正周期是( )A.2 π5B.5 π2C. 2πD. 5π5. 已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为π4，则这条弧所在的扇形面积为( )cm 2A. πB. 4πC. 2πD. √2π6. 已知tanα=12，则cosα+sinαcosα−sinα=( )A. 2B. −2C. 3D. −37. 已知向量a ⃗ =(1,1−cosθ)，b ⃗ =(1+cosθ,12)，且a ⃗ //b ⃗ ，则锐角θ= ______ ． 8. 已知cosα=45，cos(α+β)=35，且α，β均为锐角，那么cosβ=( )A. 2425B. 725或−1C. 1D. 7259. 如图是函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象，则其解析式是( )A. f(x)=3sin(x +π3) B. f(x)=3sin(2x +π3) C. f(x)=3sin(2x −π3)D. f(x)=3sin(2x +π6)10. 关于函数f(x)=cos|x|+|cosx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间(0,1)单调递减 ③f(x)在[−π,π]有2个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( )A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③11. 如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为线段BC 、AC 上的两点，且|BD|=|DC|，|AE||EC|=23，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( )A. 1114 B. 87 C. 57 D. 13712. 定义在R 内的函数f(x)满足f(x +2)=2f(x)，且当x ∈[2,4)时，f(x)={−x 2+4x,2≤x ≤3x 2+2x ,3<x <4g(x)=ax +1，对∀x 1∈[−2,0)，∃x 2∈[−2,1]，使得g(x 2)=f(x 1)，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−18]∪[18,+∞) B. [−14,0)∪(0,18] C. (0,8]D. (−∞,−14]∪[18,+∞)13. 求值：sin13π6= ______ ．14. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB =3，BD =1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．15. 函数f(x)=sin2x ，若f(x +t)为偶函数，则最小的正数t 的值为______ ． 16. 若12(tanx +sinx)−12|tanx −sinx|−k ≥0在x ∈[3π4,54π]恒成立，则k 的取值范围是______ ．17. 已知tanα，tanβ是方程6x 2−5x +1=0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2.求：tan(α+β)及α+β的值．18. 已知平面向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(9,x)，c ⃗ =(4,y)，且a ⃗ //b ⃗ ，a⃗ ⊥c ⃗ (1)求b ⃗ 与c⃗ (2)若m ⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，n ⃗ =a ⃗ +c ⃗ ，求向量m ⃗⃗⃗ 、n ⃗ 的夹角的大小．19. 如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1)若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA⃗⃗⃗⃗⃗ ，求x ，y 的值； (2)若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°时，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．20.如图所示，某居民小区内建一块直角三角形草坪ABC，直角边AB=40米，AC=40√3米，扇形花坛ADE是草坪的一部分，其半径为20米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设两条小路OM和ON，考虑到小区整体规划，要求M、N在斜边BC上，O在弧DE⏜上，OM//AB，ON//AC，．(1)设∠OAE=θ，记f(θ)=OM+ON，求f(θ)的表达式，并求出此函数的定义域；(2)经核算，两条路每米铺设费用均为400元，如何设计θ的大小使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．21.已知函数f(x)=2sin(3ωx+π3)，其中ω>0(1)若f(x+θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值；(2)若f(x)在(0,π3]上是增函数，求ω的最大值；(3)当ω=23时，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．22.已知a，b∈R，a≠0，函数f(x)=−√2(sinx+cosx)+b，g(x)=asinx⋅cosx+a 2+1a+2．(1)若x∈(0,π)，f(x)=−2√55+b，求sinx−cosx的值；(2)若不等式f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立，求b的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵角α的终边经过点P(4,−3)，∴x =4，y =−3，则tanα=yx =−34， 故选：D ．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，满足向量的的加法运算法则，所以A 正确； AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以B 不正确； 0⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以0⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，不正确，所以C 不正确； OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不正确，所以D 不正确． 故选：A ．利用向量的和以及向量的数量积的运算法则判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断，向量的加法以及向量的数量积的判断，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵sinα>0，则角α的终边位于一二象限， ∵由tanα<0，∴角α的终边位于二四象限， ∴角α的终边位于第二象限． 故选择B ．由sinα>0，则角α的终边位于一二象限，由tanα<0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．本题考查三角函数值的符号规律，属于基础题，合理地将条件化简，从而将问题转化为已知三角函数值的符号问题．4.【答案】D【解析】解：由周期公式可得：函数y =3cos(25x −π6)的最小正周期T =2π25=5π．故选：D ．由三角函数的周期性及其求法即可求解．本题主要考查了余弦函数的周期性，三角函数的周期性及其求法，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，是基础题．根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．【解答】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为π4，∴半径r=ππ4=4，∴这条弧所在的扇形面积为S=12×π×4=2πcm2．故选：C．6.【答案】C【解析】解：∵cosα+sinαcosα−sinα=1+tanα1−tanα=3故选C．对所求式分子分母同时除以cosα，转化成关于tanα的关系式即可得到答案．本题主要考查同角三角函数基本关系的应用，这种题型经常在考试中遇到．7.【答案】π4【解析】解：∵a⃗=(1,1−cosθ)，b⃗ =(1+cosθ,12)，且a⃗//b⃗ ，∴(1−cosθ)(1+cosθ)−12=0，即1−cos2θ−12=0，即cos2θ=12，∵θ为锐角，∴cosθ=√22，则θ=π4，故答案为：π4．根据向量平行的坐标公式进行化简求解即可．本题主要考查向量平行的坐标公式的应用以及三角函数函数求值，比较基础．8.【答案】A【解析】解：∵α，β均为锐角， ∴0<α+β<π，∵cosα=45，cos(α+β)=35， ∴sinα=35，sin(α+β)=45，则cosβ=cos[(α+β)−α]=cos[(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=45×35+45×35=2425, 故选：A ．根据同角关系式，结合两角和差的余弦公式进行转化进行求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合同角三角函数关系以及两角和差的余弦公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．9.【答案】B【解析】解：由图象知A =3，函数的周期T =5π6−(−π6)=π，即2πω=π，即ω=2， 则f(x)=3sin(2x +φ)，由五点对应法得2×(−π6)+φ=0， 即φ=π3，则f(x)=3sin(2x +π3)， 故选：B ．根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A ，ω和φ的值是解决本题的关键． 10.【答案】A【解析】解：关于函数f(x)=cos|x|+|cosx|有下述四个结论：f(x +π)=f(x)，可得T =π．①∵f(−x)=f(x)，∴f(x)是偶函数，正确；②f(x)在区间(0,1)上，f(x)=2cosx ，∴f(x)在区间(0,1)上单调递减，正确； ③考察在x ∈[0,π]上，当x ∈[0,π2]上时，f(x)=2cosx ，有一个零点π2；当x ∈(π2,π]上时，f(x)=cosx −cosx =0，有无数个零点． 因此f(x)在[−π,π]有无数个零点，因此③不正确． ④由③可得：f(x)的最大值为2，正确． 其中所有正确结论的编号是①②④． 故选：A ．由①可得：f(x)是偶函数，且周期T =π.只要考察在x ∈[0,π]上，当x ∈[0,π2]上时，f(x)=2cosx ；当x ∈(π2,π]上时，f(x)=0，即可得出结论．本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：因为|BD|=|DC|，|AE||EC|=23，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE −+BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =25(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =35BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25a BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又A ，M ，D 三点共线，则存在b ∈R ，使得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−b)BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1−b2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以{35a =b 25a =1−b 2，解得{a =57b =37， 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =37BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +27BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以由平面向量基本定理可得λ=37，μ=27， 所以λ+μ=57． 故选：C ．由向量的线性运算可得BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25a BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又A ，M ，D 三点共线，则存在b ∈R ，使得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−b)BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则可建立关于a ，b 的方程组，即可求得a 值，从而可得λ，μ，进而得解．本题主要考查平面向量的线性运算、平面向量的基本定理，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：当x ∈[2,4)时，f(x)={−x 2+4x,2≤x ≤3x 2+2x,3<x <4，可得f(x)在[2,3]上单调递减，在(3,4)上单调递增， ∴f(x)在[2,3]上的值域为[3,4]， 在(3,4)上的值域为(113,92)， ∴f(x)在[2,4)上的值域为[3,92)， ∵f(x +2)=2f(x)，∴f(x)=12f(x +2)=14f(x +4)，∴f(x)在[−2,0)上的值域为[34,98)， 当a >0时，g(x)为增函数，g(x)=ax +1在[−2,1]上的值域为[−2a +1,a +1]，∴{34≥−2a +198≤a +1，解得a ≥18；当a <0时，g(x)为减函数，g(x)在[−2,1]上的值域为[−a +1,2a +1]，∴{34≥a +198≤−2a +1，解得a ≤−14； 当a =0时，g(x)为常数函数，值域为{1}，不符合题意； 综上，a 的范围是a ≥18或a ≤−14． 故选：D ．求出f(x)在[2,4]上的值域，利用f(x)的性质得出f(x)在[−2,0]上的值域，再求出g(x)在[−2,1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a 的范围 本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，属于中档题．13.【答案】12【解析】解：sin 13π6=sin(2π+π6)=sin π6=12．故答案为：12．利用诱导公式即可求解．本题考查运用诱导公式化简求值，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】152【解析】解：如图，∵AB =3，BD =1，∠B =60°，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ > =9+3×1×(−12)=152．故答案为：152．利用向量的加法法则化AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，展开后利用数量积运算得答案． 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法法则，是基础题．15.【答案】π4．【解析】解：因为f(x)=sin2x ， 所以f(x +t)=sin(2x +2t)， 若f(x +t)为偶函数，则函数图象关于x =0对称，即x =0时函数y =sin(2x +2t)取得最值， 所以2t =π2+kπ，即t =π4+kπ2，k ∈Z ，当k =0时，最小的正数t 的值为π4． 故答案为：π4．由已知结合正弦函数为偶函数，图象关于y 轴对称且在对称轴处取得最值，代入可求． 本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于基础题．16.【答案】(−∞,−1]【解析】解：∵tanx−sinx=sinx(1cosx −1)，x∈[3π4,5π4]，∴cosx<0，①当x∈[3π4,π)时，sinx>0，∴tanx−sinx=sinx(1cosx−1)<0，∴12(tanx+sinx)−12|tanx−sinx|−k=tanx−k≥0，∴k≤tanx，∵x∈[3π4,π),∴tanx的最小值为tan3π4=−1，∴k≤−1．②当x∈[π,5π4]时，sinx≤0，∴tanx−sinx=sinx(1cosx−1)>0，∴12(tanx+sinx)−12|tanx−sinx|−k=sinx−k≥0，∴k≤sinx，∵x∈[π,54π),∴sinx的最小值为sin5π4=−√22，∴k≤−√22．综上所述，k≤−1．∴k的取值范围是(−∞,−1]．故答案为：(−∞,−1]．由x∈[3π4,5π4]，得cosx<0.当x∈[3π4,π)时，sinx>0，推导出k≤tanx，从而得到k≤−1；当x∈[π,5π4]，时，推导出k≤sinx，从而得到k≤−√22.由此能求出k的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．17.【答案】解：∵tanα、tan β为方程6x2−5x+1=0的两根，∴tanα+tanβ=56，tanαtanβ=16，tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=561−16=1．∵0<α<π2，π<β<3π2，∴π<α+β<2π，∴α+β=5π4．【解析】本题主要考查韦达定理，两角和的正切公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．由条件利用韦达定理，两角和的正切公式求出tan(α+β)的值，再结合0<α<π2，π<β<3π2，求得α+β的值．18.【答案】解：(1)由a ⃗ //b ⃗ 得3x −4×9=0，解得x =12； 由a ⃗ ⊥c ⃗ 得9×4+xy =0， 解得y =−36x=−3612=−3；所以b ⃗ =(9,12)，c ⃗ =(4,−3)； (2)m ⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ =(−3,−4)， n ⃗ =a ⃗ +c ⃗ =(7,1)；所以m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−3×7−4×1=−25， |m ⃗⃗⃗ |=√(−3)2+(−4)2=5， |n ⃗ |=√72+12=5√2； 所以cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=5×5√2=−√22， 所以向量m ⃗⃗⃗ 、n ⃗ 的夹角为3π4．【解析】(1)由a ⃗ //b ⃗ 求出x 的值，由a ⃗ ⊥c ⃗ 求出y 的值，从而得出b ⃗ 、c⃗ ； (2)计算m ⃗⃗⃗ 、n ⃗ ，利用平面向量夹角的公式求出cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >，即得夹角的大小． 本题考查了数量积表示两个向量的夹角，平行向量与共线向量，数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键．19.【答案】解：(1)由BP⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x =12，y =12；(2)由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 又|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°， 则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23×42+13×22+13×4×2×cos60°=−8．【解析】(1)由BP⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可； (2)由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，求出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再计算OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是中档题．20.【答案】解：(1)过O 、N 作AC 的垂线交AC 与F 、G 两点，则：AF =20cosθ，OF =NG =20sinθ，CG =20√3sinθ， ∴ON =40√3−20(√3sinθ+cosθ)，OM =√33ON ， 则f(θ)=(1+√33)[40√3−20(√3sinθ+cosθ)]，θ∈(0,π2);(2)f(θ)=(1+√33)[40√3−40sin(θ+π6)]，∵θ∈(0,π2)，∴θ+π6∈(π6,2π3)，∴当θ+π6=π2，即θ=π3时， f(θ)min =80√33， 故总费用最少为320003√3元.【解析】本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力，属于中档题．(1)过O 、N 作AC 的垂线交AC 与F 、G 两点，求出OM ，ON ，即可求出f(θ)的表达式，并求出此函数的定义域；(2)利用辅助角公式化简，即可得出结论．21.【答案】解：(1)由函数解析式f(x)=2sin(3ωx +π3)，ω>0整理可得f(x+θ)=2sin[3ω(x+θ)+π3]=2sin(3ωx+3ωθ+π3)，由f(x+θ)的周期为2π，根据周期公式2π=2π3ω，且ω>0，得ω=13，∴f(x+θ)=2sin(x+θ+π3)，∵f(x+θ)为偶函数，定义域x∈R关于y轴对称，令g(x)=f(x+θ)=2sin(x+θ+π3)，∴g(−x)=g(x)，2sin(x+θ+π3)=2sin(−x+θ+π3)，∴x+θ+π3=π−(−x+θ+π3)+2kπ，k∈Z，∴θ=kπ+π6，k∈Z.∴ω=13，θ=kπ+π6，k∈Z．(2)∵ω>0，∴当x∈(0,π3]时，3ωx+π3∈(π3,ωπ+π3]，设u=3ωx+π3，由于y=sinu在(π3,π2]上是增函数，在[π2,3π2]上是减函数，∴ωπ+π3≤π2，∴ω≤16，∴ω的最大值为16．(3)当ω=23时，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y=2sin2x+1的图象，∴g(x)=2sin2x+1，令g(x)=0，得x=kπ+7π12或x=kπ+11π12，k∈Z，∴在[0,π]上恰好有两个零点，若y=g(x)在[0,b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π+11π12=59π12．【解析】本题考查的知识点是函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象和性质，函数f(x)= Asin(ωx+φ)的解析式求法，难度中档．(1)根据周期公式2π=2π3ω，且ω>0，得ω值，根据f(x+θ)是偶函数，f(−x+θ)=f(x+θ)，可得θ的值；(2)根据正弦函数的单调性，可得ωπ+π3≤π2，解得答案；(3)若y=g(x)在[0,b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，进而得到答案．22.【答案】解：(1)依题意得sinx +cosx =√105， ∴sin 2x +cos 2x +2sinxcosx =25，即2sinxcosx =−35，…(1分) ∴1−2sinxcosx =85，即sin 2x +cos 2x −2sinxcosx =(sinx −cosx)2=85，…(2分) 由2sinxcosx =−35<0，x ∈(0,π)，得x ∈(π2,π)，…(3分) ∴sinx >0，cosx <0，∴sinx −cosx >0， ∴sinx −cosx =2√105.…(4分) (2)不等式f(x)≤g(x)对任意x ∈R 恒成立，即不等式b ≤asinx ⋅cosx +√2(sinx +cosx)+a 2+1a +2对任意x ∈R 恒成立， 即b ≤[asinxcosx +√2(sinx +cosx)+a 2+1a +2]min ，…(5分) 下求函数y =asinx ⋅cosx +√2(sinx +cosx)+a 2+1a +2的最小值， 令t =sinx +cosx ，则t =√2sin(x +π4)∈[−√2,√2]，且sinxcosx =t2−12，…(6分)令m(t)=y =asinxcosx +√2(sinx +cosx)+a2+1a +2， =a(t 2−1)2+√2t +a 2+1a +2=a 2t 2+√2t +1a +2，=a2(t 2+2√2at)+1a +2=a2(t +√2a)2+2，(a ≠0)，…(7分)1°当−√2a <−√2，即0<a <1时，m(t)在区间[−√2,√2]上单调递增，∴m(t)min =m(−√2)=a +1a .…(8分)2°当−√2≤−√2a <0，即a ≥1时，m(t)min =m(−√2a)=2.…(9分)3°当0<−√2a ≤√2，即a ≤−1时，m(t)min =m(−√2)=a +1a .…(10分)4°当−√2a>√2，即−1<a <0时，m(t)min =m(−√2)=a +1a .…(11分)∴y min ={2,a ≥1a +1a ,a <1,a ≠0， 所以当a ≥1时，b ≤2；当a <0或0<a <1时，b ≤a +1a .…(12分)【解析】(1)推导出sinx+cosx=√105，从而2sinxcosx=−35，进而sin2x+cos2x−2sinxcosx=(sinx−cosx)2=85，由此能求出sinx−cosx．(2)推导出b≤[asinxcosx+√2(sinx+cosx)+a2+1a+2]min，再求出函数y=asinx⋅cosx+√2(sinx+cosx)+a2+1a+2的最小值，令t=sinx+cosx，令m(t)=y=a2(t+√2a)2+2，(a≠0)，由此进行分类讨论经，能求出b的取值范围．本题考查三角函数求值，考查实数值的范围的求法，考查三角函数恒等式、构造法、配方法、换元法等基础知识，考查推理论能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。
2019-2020学年华师大三附中高一上期中数学试卷
华师大三附中2019学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷(考试时间:120分钟满分:150分)一、填空题(本大题共有12题,满分54分)只要求直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得零分）1.集合{},,A a b c =有_______个子集2.不等式|1|1x -<的解集是_______3.已知命题P 是“若实数a 、b 满足a>1且b>2,则a+b>3”,则命题P 的否命题是________4.已知集合{{}2||A x y B y y x ====,则A∩B=__________5.已知a,b,c∈R,则“a>b”"是“22ac bc >”的_________条件(填:充分非必要、必要非充分、充分且必要、非充分非必要)6.已知-1<a<b<1,则a-b 的取值范围是__________7已知3()1f x ax bx =++,且f(-2)=3,那么f(2)=________8.已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集________9.某班有50名学生报名参加A,B 两项比赛、参加A 项的有30人,参加B 项的有33人,且A,B 都不参加的同学比A,B 都参加的同学的三分之一多一人.则只参加A 不参加B 的同学有________人10.若关于x 的不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集是R,则实数a 的取值范围是_______11.已知函数2224(),()32(0)6f x g x x ax a a x x==-+<+-,若不存在实数x 使得f(x)>1和g(x)<0同时成立,则a 的取值范围是_______12.已知数集{}1212,,(0,3)n n A a a a a a a n =⋅⋅⋅≤<<⋅⋅⋅<≥具有性质P:对任意i 、j (1≤i≤j≤n),j i a a +与j i a a -两数中至少有一个属于集合A ・现给出以下四个命题:①数集{}0,1,3,5,7具有性质P:②数集{}0,2,4,6,8具有性质P:③若数集A 具有性质P,则10a =①若数集{}1212345,,(0)n A a a a a a a a a =⋅⋅⋅≤<<<<具有性质P,则1322a a a +=其中真命题有_______ (填写序号)二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得5分,否则一律得零分13.如图,U 为全集,M 、P 、S 是U 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( ).()A M P S ⋂⋂ .()B M P S ⋂⋃.()U C M P C S ⋂⋂ .()U D M P C S ⋂⋃14.下列各组函数中,表示同一函数的是( ){}{}()22.()()=.()(1(0)1(0).()()=1(0)1(0).()2(1)()=21A f x x g x B f x g x x x x x C f x g x x x x x D f x xx x g x x x ==+>+≥⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬-≤-<⎩⎭⎩⎭=∈∈；；； 15已知f(x)是R 上的偶函数,且当x>0,2()(1)f x x x =- ,则x<0时,f(x)=( )2.(1)A x x - 2.(1)B x x + 2.(1)C x x -- 2.(1)D x x -+16.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B..以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须写出必要的步骤17.(本题满分14分)已知集合{}{}2222,1,,=07,5,2A a a a B a a a =+----，,且5A ∈,求集合B18.(本小题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)练习用第21页的题“0,0a b >>,+≥,还可以有如下证法++++≥ (当且仅当a=b 时等号成立≥学习以上解题过程,尝试解决下列问题:(1)证明:若a>0,b>0,c>0,则222a b c a b c b c a++≥++,并指出等号成立的条件; (2)试将上述不等式推广到(2)n n ≥个正数121,,,,n n a a a a -⋅⋅⋅的情形,并加以证明19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)某公司有价值10万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,改造就需要投入,相应就要提高产品附加值.假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足:①y 与10-x 和x 的乘积成正比:②当x=5时,y=100:③0≤2(10)x x -≤t,其中t 为常数,且1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(1)设y=f(x),求出f(x)的表达式,并求出y=f(x)的定义域(2)求出附加值y 的最大值,并求出此时的技术改造投入的x 的值20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题満分6分,第3小题满分6分) 对于函数()f x ,若00()f x x =,则称0x 为(x)的“不动点”；若()00f f x x =⎡⎤⎣⎦,则称0x 为(x)的 “稳定点”,函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B,即(){}[]{}|,|()A x f x x B x f f x x ====(1) 设函数()34f x x =+,求集合A 和B(2) 求证：A B ⊆(3) 设函数2()f x ax bx c =++,且A =∅,求证: B =∅21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1,且x≠0),则11Ax∈-(1)若2∈A,试证明A中还有另外两个元素(2)集合A是否为双元素集合,并说明理由(3)若A中元素个数不超过8个,所有元素的和为143,且A中有一个元素的平方等于所有元素的积,求:集合A.。
2019-2020学年广东省实验中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年广东省实验中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x=n2,n∈A}，则A∩B=()A. {0,1}B. {2,3}C. {4,1}D. {0,9}2.三个数a=0.67，b=70.6，c=log0.76的大小关系为()A. b<c<aB. b<a<cC. c<a<bD. c<b<a3.若函数f(x)为R上的偶函数，且f(2)=3，则f(−2)=()A. −3B. 3C. 2D. −24.已知{0,2}⊆M⫋{0,2，5，7}，则符合条件的集合M有()A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个−2=0的根所在区间为()5.方程e x−1−1x+1A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)6.与函数y=√−2x3为同一函数的是()A. y=x√−2xB. y=−x√−2xC. y=−√2x3D. y=x2√−2x7.函数f(x)=a x−b的图象如图所示，其中a，b为常数，则log a(1−b)的取值为()A. 等于0B. 恒小于0C. 恒大于0D.无法判断+√4−2x的定义域为()8.函数f(x)=1x−1A. (−∞,2]B. (0,2]C. (−∞,1)∪(1,2]D. (0,1)∪(1,2]9.关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实根，则实数m的取值范围是()A. m<−2B. m<0C. m<1D. m>010.已知函数f(x)=log√2(x+2)在[m,+∞)上是增函数，则实数m的取值范围是()A. (−∞,−1)B. (−2,−1]C. (−1,+∞)D.11.某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件()元A. 170B. 190C. 180D. 20012.若函数f(x)=3(2a−1)x+3在R上是减函数，则实数a的取值范围是()A. (−∞,12) B. (12,+∞) C. (12,1)∪(1,+∞)D. (12,1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知点M(2,14)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为______ ． 14. 若函数则f[f(−99)]=____.15. 已知f(x)是定义域在R 上的奇函数，当x ∈[0,+∞)时，f(x)=x 2+2x ，则f(−1)= ______ ． 16. 若函数f(x)=ax +1在区间(−1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是____． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设全集U =R ，集合A ={x|1≤x <4}，B ={x|2a ≤x <3−a}．(1)若a =−1，求B ∩A ，B ∩∁U A ； (2)若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围．18. 计算：(1)(lg2)3+(lg5)3+3lg2×lg5；(2)(log 25+log 40.2)×(log 52+log 250.5)．19. 已知定义域为R 的函数f(x)=a−2x b+2x是奇函数(1)求a ，b 的值；(2)判断f(x)的单调性，并用定义证明；(3)若存在t∈R，使f(k+t2)+f(4t−2t2)<0成立，求k的取值范围．20.已知二次函数f(x)=(lg a)x2+2x+4lg a的最大值为3，求a的值．21.已知函数f(x)=x(x−a)2，g(x)=−x2+(a−1)x+a(其中a为常数)；(1)如果函数y=f(x)和y=g(x)有相同的极值点，求a的值；)，使得f(x0)>g(x0)，若存在，请求出实数a的取值范围；(2)设a>0，问是否存在x0∈(−1,a3若不存在，请说明理由．(3)记函数H(x)=[f(x)−1]⋅[g(x)−1]，若函数y=H(x)有5个不同的零点，求实数a的取值范围．22.已知函数f(x)=log a x(a>0且a≠1)的图象过点(4,2)．(1)求a的值；(2)若函数g(x)=f(1−x)+f(1+x)，求函数g(x)的定义域．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了交集的定义与运算问题，属于基础题．根据题意化简集合B，再计算A∩B．【解答】解：集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x=n2,n∈A}={0,1，4，9}，则A∩B={0,1}．故选：A．2.答案：C解析：解：∵0<a=0.67<1，b=70.6>1，c=log0.76<0，∴c<a<b，故选：C．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题．【解答】解：∵f(x)为R上的偶函数，∴f(x)=f(−x)，∴f(2)=f(−2)=3，故选B．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查了集合的含义与集合元素个数的问题，属于基础题．由题意列出符合集合即可求解．【解答】解：因为{0,2}⊆M⫋{0,2，5，7}，则M={0,2}或{0,2，5}或{0,2，7}．故选D．5.答案：B解析：【分析】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用以及复合函数单调性判断，属于基础题．构造函数f(x)=e x−1−1x+1−2，易知其在(0,+∞)上为增函数，所以在(0,+∞)上最多有一个零点，根据题意可得f(0)=e−1−3<0，f(1)=e0−52=−32<0,f(2)=e−73>0，即可求得结果．【解答】解：构造函数f(x)=e x−1−1x+1−2，易知其在(0,+∞)上为增函数，所以在(0,+∞)上最多有一个零点又∵f(0)=e−1−3<0，f(1)=e0−52=−32<0,f(2)=e−73>0，故方程e x−1−1x+1−2=0的根所在区间为(1,2)，故选B．6.答案：B解析：【分析】本题考查了判断两个函数是相等函数的问题，是基础题目，根据两个函数的定义域与对应法则和值域相同，即可判断它们是相等函数，【解答】解：根据题目可知函数y=√−2x3的定义域为(−∞,0]，y=x√−2x中，x≤0，∴y≤0，即值域为(−∞,0]，这与函数y=√−2x3的值域不同，排除A，而y=−√2x3的定义域为[0,+∞)，′排除C，y=x2√−2x的定义域为(−∞,0)，排除D又y=x√−2x中，x≤0，∴y≤0，即值域为(−∞,0]，这与函数y=√−2x3的值域不同，故选B ．7.答案：B解析： 【分析】本题考查指数函数的图像，由图确定函数的单调性，求出参数a ，b 的取值范围，再运用对数的性质求解。
2019-2020学年广东省华南师大附中高一上学期期中数学试题及答案解析版
2019-2020学年广东省华南师大附中高一上学期期中数学试题及答案解析版一、单选题1．已知全集{}{}{}U=0,1,2,3,0,1,2,0,2,3A B ==集合集合，则U A C B 等于A ．{}1B ．{}2,3C ．{}0,1,2D ．Φ 【答案】A 【解析】解：因为{}{}{}{}U=0,1,2,3,0,1,2,0,2,31==∴=集合集合U A B C B故U AC B ={}12．函数211y x =+的值域是（ ） A ．[1,)+∞B ．(0,1]C ．(,1]-∞D ．(0,)+∞【答案】B【解析】根据倒数性质求值域. 【详解】因为211x +≥，所以21011x <≤+,选B. 【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基本题. 3．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A ．x y e -=B ．3y x =C ．ln y x =D ．y x =【答案】B【解析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论. 【详解】 对于A ，1xxy e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭，是R 上的减函数，不合题意；对于B ，3y x =是定义域是R 且为增函数，符合题意； 对于C ，ln y x =，定义域是()0,∞+，不合题意；对于D ，y x =，定义域是R ，但在R 上不是单调函数，不合题，故选B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题. 4．下列各不等式中成立的是（ ）A ． 2.531.9 1.9>B ．0.10.20.60.6-->C ．0.3 3.11?.60.9> D ．2 log 1.010< 【答案】C【解析】本题考查指数函数，对数函数的单调性及应用. 函数 1.9x y =是增函数， 2.531.9 1.9;<函数0.6x y =是减函数，0.10.20.60.6;--<函数 1.6x y =是增函数，0.31.61;>函数0.9x y =是减函数， 3.10.91;<所以0.3 3.11.60.9>；函数2log y x =是增函数，2log 1.010;>故选C5．函数()()3log 320,1a y x a a =+->≠的图象过定点（ ）A ．110,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,0C ．()1,3D ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据对数函数log a y x =恒过()1,0,令321x -=计算即可. 【详解】令321x -=有1x =.代入1x =得()3log 323a y =+-=. 故函数()()3log 320,1a y x a a =+->≠的图象过定点()1,3. 故选：C 【点睛】本题主要考查了对数函数过定点的问题,属于基础题型. 6．已知函数2log ,(0)(){3,(0)x x x f x x >=≤，则[(1)]f f =（ ）A ．0B ．1C ．3D ．13【答案】B 【解析】【详解】 因为2log ,(0)(){3,(0)x x x f x x >=≤，所以[(1)](0)1f f f ==. 故选：B. 7．函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为( )A ．()0,?+∞B ．(),0-∞C ．()2,+∞D ．(),2-∞-【答案】D【解析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减”的结论求解即可． 【详解】由240x ->可得2x <-或2x >，∴函数()f x 的定义域为()(),22,∞-∞-⋃+．设()24t x x =-，则()t x 在(),2-∞-上单调递减，又函数12log y t=为减函数， ∴函数()()212log 4f x x =-在(),2-∞-上单调递增，∴函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞-． 故选D ． 【点睛】（1）复合函数的单调性满足“同增异减”的结论，即对于函数()()y f g x =来讲，它的单调性依赖于函数()y f t =和函数()t g x =的单调性，当两个函数的单调性相同时，则函数()()y f g x =为增函数；否则函数()()y f g x =为减函数．（2）解答本题容易出现的错误是忽视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为(),0-∞．8．设()f x 在R 上的奇函数，()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则()5.5f 等于（）A ．5.5B ．0.5C ．0.5-D ． 5.5-【答案】B【解析】利用奇偶性与()()2f x f x +=-将()5.5f 中的自变量变换到01x ≤≤中再求解即可. 【详解】由()()2f x f x +=-得()5.5(3.5)(1.5)(0.5)f f f f =-==--. 又()f x 为奇函数故(0.5)(0.5)0.5f f --==. 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,需要根据题意将自变量根据性质变换到已知解析式的定义域内.属于中等题型.9．已知实数0a >且1a ≠，则在同一直角坐标系中，函数()()0a f x x x =>，()log a g x x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据幂函数与对数函数的图像分情况判断即可. 【详解】由题,当01a <<时, ()()0af x x x =>为增函数且图像往上凸,()log a g x x =为减函数且过()1,0.易得D 满足条件.当1a >时,()()0af x x x =>为增函数且图像往下凸,()log a g x x =为增函数且过()1,0.无对应选项.故选：D 【点睛】本题主要考查了对数函数与幂函数的图像,属于基础题型.10．f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为()A．4 B．5C．8 D．10【答案】B【解析】由题意得函数()f x的周期为2，再结合函数为偶函数可画出函数()f x的图象，然后根据函数()f x的图象和函数5=的图象的公共点的个数进行判断即可．y log x【详解】∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数()f x的周期为2．由题意可得()5=，f x log x在同一坐标系内画出函数()=的图象，如下y log x=和5y f x图，由图象得，两函数图象有5个交点，所以函数y＝f(x)－|log5x|共有5个零点．故选B．【点睛】本题考查函数的性质和函数零点的综合，解题的关键是将问题转化为函数图象公共点的个数问题出处理，画图时要结合函数的性质求解，不要忘了函数的奇偶性和周期性的应用．11．对于函数()f x 和()g x ，设(){|0}x f x α∈=，(){|0}x g x β∈=，若存在α，β，使得1αβ-，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”．若函数()12x f x ex -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]2,4 B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,3【答案】D【解析】先得出函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2的零点为x ＝1．再设g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3的零点为β，根据函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2与g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3互为“零点关联函数”，利用新定义的零点关联函数，有|1﹣β|≤1，从而得出g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可． 【详解】函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2的零点为x ＝1． 设g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3的零点为β，若函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2与g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1， ∴0≤β≤2，如图由于g（x）＝x2﹣ax﹣a+3必过点A（﹣1，4），故要使其零点在区间[0，2]上，则()()0020022gga⎧>⎪>⎪⎪⎨∆≥⎪⎪≤≤⎪⎩或()()020g g⋅≤，解得2≤a≤3，故选D【点睛】本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用二、填空题12．如果奇函数f（x）在[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f（x）在[-7,-3]上是_________.①减函数且最小值是-5；②减函数且最大值是-5；③增函数且最小值是-5；④增函数且最大值是-5【答案】④【解析】由题意结合奇函数的对称性和所给函数的性质即可求得最终结果． 【详解】奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称，则若奇函数f （x ）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5， 那么f （x ）在区间[﹣7，﹣3]上是增函数且最大值为﹣5． 故答案为：④． 【点睛】本题考查了奇函数的性质，函数的对称性及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题． 13．已知幂函数()f x 的图像经过点(，则()4f 的值等于______. 【答案】2 【解析】设幂函数()af x x =,再代入点(进而求得a 与()4f 即可. 【详解】设幂函数()af x x =,132aa =⇒=.故()12f x x =.所以()12442f ==.故答案为：2 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式与求值,属于基础题型. 14．已知()2122f x x x +=++，则()f x =_____【答案】21x +【解析】令1t x =+得1x t =-，可得()()()2212121f t t t t =-+-+=+，从而可得到所求的函数解析式. 【详解】由题意1t x =+，得1x t =-， 因为()2122f x x x +=++，则()()()2212121f t t t t =-+-+=+，()21f x x ∴=+，故答案为21x +.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.15．函数()()lg 1f x x +的定义域是__________．【答案】{}2x x ≥【解析】根据函数解析式的特征得到关于自变量x 的不等式组，解不等式组可得结果． 【详解】要使函数有意义，需满足2010x x -≥⎧⎨+>⎩，解得2x ≥，所以函数的定义域为{}2x x ≥． 故答案为{}2x x ≥． 【点睛】求函数的定义域时，要根据函数解析式的特点得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）后即可得到所求的定义域，特别注意要把定义域写成集合或区间的形式． 16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21x f x x -=+，若对任意实数1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()10f t a f t +-->恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()(),30,-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：当0x >时，()()21111x f x f x x x -==-∴++在()0,+∞上单调递增，由()()10f t a f t +-->得，()()1f t a f t +>-又()f x 是定义在R 上的偶函数，()()1f t a f t +>-，则1t a t +>-，两边平方得()22210a t a ++->对任意实数1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()10f t a f t +-->恒成立，∴对任意实数1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()22210a t a ++->恒成立，则()()2222122100{{3243022210a a a a a o a a a a a ++->+>∴∴><-++>++->或，则实数a 的取值范围是．【考点】恒成立问题【思路点睛】利用奇偶性、单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（轴对称函数）与单调性综合街函数不等式和比较大小．本题中，函数为偶函数，且给出了当0x ≥时的解析式，从而可以判断出单调性，然后利用函数的偶函数的性质()()f x f x -=，即可得到一个不等式组，解不等式组即可得到所求答案．三、解答题17．计算：()513log 383353log 48π-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭【解析】根据指数幂以及对数的运算求解即可. 【详解】原式(2222131233333=--+=++--+=【点睛】本题主要考查了指数幂以及对数的运算.属于基础题型. 18．已知集合{}2120A x x x =--<，{}|211B x m x m =-≤≤+. （1）当3m =-时，求集合AB ；（2）当B A ⊆时，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{}|32AB x x =-<≤-；（2）()1,-+∞【解析】(1)根据集合的基本运算求解即可. (2)分B =∅和B ≠∅两种情况讨论求解即可. 【详解】{}|34A x x =-<<（1）当3m =-时{}|72B x x =-≤≤-,{}|32A B x x =-<≤-（2）∵B A ⊆∴应分B =∅和B ≠∅两种情况讨论 当B =∅时,有211m m ->+,即2m >；当B ≠∅时,有211,213,14,m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩,即12m -<≤.综上所述,所求实数m 的取值范围是()1,-+∞. 【点睛】本题主要考查了集合间的基本运算,同时也考查了根据集合的关系求参数的问题,属于中等题型.19．已知定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，()1=+xf x x ； （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断函数()f x 在[)0,+∞上的单调性，并用单调性定义证明. 【答案】（1）(),01,01xx x f x x x x ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩；（2）函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，理由见解析【解析】(1)根据偶函数的性质求解当0x <时的解析式即可. (2) 任取1x ,[)20,x ∈+∞,12x x >,再计算()()12f x f x -的正负即可. 【详解】（1）因为()f x 为R 上的偶函数,设0x <,则有0x ->, 故0x <时,有()()11x xf x f x x x -=-==-+-,故(),01,01xx x f x x x x ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩ （2）函数()f x 在[)0,+∞上单调递增, 证明：任取1x ,[)20,x ∈+∞,12x x >,∴()()()()12121212121111x x x x f x f x x x x x --=-=++++因为1x ,[)20,x ∈+∞,12x x >,所以120x x ->,()()12110x x ++>,∴()()12f x f x >∴函数()f x 在[)0,+∞上单调递增 【点睛】本题主要考查了根据奇偶性求解函数解析式的方法以及根据定义求解函数单调性的问题,属于中等题型. 20．某种树木栽种时高度为A 米(A 为常数)，记栽种x 年后的高度为()f x ，经研究发现，()f x 近似地满足()x9Af x a bt =+，(其中1t=a ，b为常数，x N)∈，已知()f 0A =，栽种三年后该树木的高度为栽种时高度的3倍． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求栽种多少年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍(参考数据：lg20.3010=，lg304771)=． 【答案】（Ⅰ）a 1=，b 8=；（Ⅱ）5年.【解析】(Ⅰ)由()f 0A =及()f 33A =联立解方程组可得；(Ⅱ)解不等式()f x 5A ≥，利用对数知识可得．【详解】(Ⅰ()x9A )f x a bt =+，()9Af 0A a b∴==+，a b 9∴+= ①， 又()f 33A =，即39A3A a t b =+，3a t b 3∴+=②， 联立①②解得a 1=，b 8=，(Ⅱ)由(Ⅰ)得()x9Af x 18t =+，由()f x 5A ≥得x 1t 10≤，1xlgt lg110≤=-， 1133x 4.981lgt lg40.6020lg43--∴≥===≈-．故栽种5年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍． 【点睛】本题考查了函数解析式的求解及对数的运算，考查了函数的实际应用问题，属于中档题．21．已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）k ＝－12.（2）{－3}∪(1，＋∞)．【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)， ∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx.log 44141x x －＋＋＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k＝－12.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 44•23x a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－有且只有一个实根，化简得方程2x＋12x＝a·2x－43a有且只有一个实根．令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根．①a ＝1t ＝－34，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a ＝34或－3.若a ＝34t ＝－2，不合题意，若a ＝－3t ＝12；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即11a --<0a>1.综上，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．22．已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1.设()()g x f x x=（1）求,a b 的值（2）若不等式22(log )2log 0f x k x -≥在[]2,4x ∈上有解,求实数k 的取值范围; （3）若2(21)3021x x f kk -+-=-有三个不同的实数解,求实数k 的取值范围.【答案】（1）1,0a b ==.（2）(],1-∞（3）(0,)+∞【解析】(1)由函数2()(1)1,0g x a x b a a =-++->,所以()g x 在区间[2,3]上是增函数,故(2)1(3)4g g =⎧⎨=⎩,由此解得a b 、的值; (2)由(1)可得1()2f x x x=+-,所以()22log 2log 0f x k x -≥在[2,4]x ∈上有解,等价于2221log 22log log x k x x+-≥在[2,4]x ∈上有解, 即()2221221log log k xx ≤-+在[2,4]x ∈上有解, 令21log t x=,则2221k t t ≤-+,即可求得k 的取值范围;(3)原方程可化为221(32)21(21)0xx k k --+⋅-++=,令21xt -=则(0,)t ∈+∞,2(32)(21)0t k t k -+++=有两个不同的实数解12,t t ,其中1201,1t t <<>,或1201,1t t <<=,即可求得实数k 的取值范围.【详解】(1)函数2()(1)1g x a x b a =-++-,0a >,∴ ()g x 在区间[]2,3上是增函数,故:(2)1(3)4g g =⎧⎨=⎩,解得1,0a b ==. (2)由(1)可得1()2f x x x=+-, ∴ ()22log 2log 0f x k x -≥在[2,4]x ∈上有解等价于2221log 22log log x k x x+-≥在[2,4]x ∈上有解 即()2221221log log k x x ≤-+在[2,4]x ∈上有解 令21log t x=,则2221k t t ≤-+[2,4]x ∈,故1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦记2()21t t t ϕ=-+,112t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭max 1()4t ϕ∴=∴ k 的取值范围为1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(3)原方程可化为221(32)21(21)0xx k k --+⋅-++=令21xt -=则(0,)t ∈+∞2(32)(21)0t k t k -+++=有两个不同的实数解12,t t其中1201,1t t <<>,或1201,1t t <<= 记2()(32)(21)h t t k t k =-+++则210(1)0k h k +>⎧⎨=-<⎩——①,解得0k > 或210(1)032012k h k k ⎧⎪+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩——②,不等式组②无实数解.+∞.∴实数k的取值范围为(0,)【点睛】本题考查根据函数零点求参数取值范围,解题关键是掌握利用零点存在的判定定理构建不等式求解,分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解,如果涉及由几个零点时,还需考虑函数的图像与参数的交点个数,考查了分析能力和计算能力.。
高一上学期期中考试数学试卷含答案(新课标)
2022-2023学年广东高一上学期数学期中考试试题一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）如图，U 是全集，M 、P 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．()U MPB ．M PC ．()U M PD ．()()U U M P2．（5分）函数1()x f x -=的定义域为( ) A ．(1,)+∞B ．[1，)+∞C ．[1，2)D ．[1，2)(2⋃，)+∞3．（5分）已知集合{2A =-，1}，{|2}B x ax ==，若A B B =，则实数a 值集合为( )A ．{1}-B ．{2}C ．{1-，2}D ．{1-，0，2}4．（5分）函数()f x 为R 上奇函数，且()1(0)f x x x =>，则当0x <时，()(f x = ) A ．1xB ．1x --C 1x -D 1x -5．（5分）下列命题中为假命题的是( ) A ．x R ∃∈，21x <B ．22a b =是a b =的必要不充分条件C ．集合2{(,)|}x y y x =与集合2{|}y y x =表示同一集合D ．设全集为R ，若A B ⊆，则()()R R B A ⊆ 6．（5分）函数2y x x =+-( ) A ．[0，)+∞B ．[2，)+∞C ．[4，)+∞D ．[2)+∞7．（5分）已知()f x 定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上是减函数，则满足(1)f a f ->（2）的实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，3] B ．(1,3)-C ．(1,)-+∞D ．(1,3)8．（5分）已知函数2(1)2,0()2,0a x a x f x x x x -+<⎧=⎨-⎩有最小值，则a 的取值范围是( )A ．1[2-，1)B ．1(2-，1)C ．1[2-，1]D ．1(2-，1]二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）若110a b<<，则下列不等式中，错误的有( ) A ．a b ab +< B ．||||a b > C ．a b < D ．2b a a b+ 10．（5分）下列说法正确的有( ) A ．函数1()f x x=在其定义域内是减函数 B ．命题“x R ∃∈，210x x ++>”的否定是“x R ∀∈，210x x ++” C ．两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件 D ．若()y f x =为奇函数，则()y xf x =为偶函数11．（5分）若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是( ) A ．1abB ．2a b+ C ．222a b + D ．112a b+ 12．（5分）数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的是( )A ．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B ．3()f x x =可以是某个圆的“优美函数”C ．,0(),0x x f x x x =--<⎪⎩可以同时是无数个圆的“优美函数”D ．函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中m ，0n >，则11m n+的最小值为 ． 14．（5分）已知2(2)f x x x =+，则f （1）= ；()f x 的解析式为 ．15．（5分）定义在[1-，1]上的函数()y f x =是增函数，且是奇函数，若(1)(45)0f a f a -+->，求实数a 的取值范围是 ．16．（5分）已知函数()(||2)f x x x =-，4()1xg x x =+，对于任意1(1,)x a ∈-，总存在2(1,)x a ∈-，使得12()()f x g x 成立，则实数a 的取值范围为 ． 四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）已知函数()f x =的定义域是集合A ，集合{|1B x x =或3}x ．（1）求AB ，AB ；（2）若全集U R =，求()U A B ．18．（12分）已知命题:P x R ∃∈，使240x x m -+=为假命题． （1）求实数m 的取值集合B ；（2）设{|34}A x a x a =<<+为非空集合，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知0a >，0b >，31a b +=． （1）求13a b+的最小值； （2）若2297m a b ab >++恒成立，求实数m 的取值范围．20．（12分）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x 时，2()2f x x x =-（如图）． （1）请补充完整函数()f x 的图象； （2）求出函数()f x 的解析式； （3）求不等式()3f x 的解集；（4）若函数()y f x =与y m =有两个交点，直接写出实数m 的取值范围．21．（12分）已知函数2()1x af x x +=+． （1）若1a =时，判断并证明函数()f x 在[2，3]上的单调性，并求函数()f x 在[2，3]上的最大值和最小值； （2）探究：是否存在实数a ，使得函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数1()2f x x x=+-． （1）若不等式(2)20x x f k -在[1-，1]上有解，求k 的取值范围； （2）若方程2(|21|)30|21|x x kf k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．答案及解析2022-2023学年广东高一上学期数学期中检测仿真卷（1）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）如图，U 是全集，M 、P 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．()U MPB ．M PC ．()U M PD ．()()U U M P【答案】A【详解】由已知中阴影部分在集合M 中，而不在集合P 中， 故阴影部分所表示的元素属于M ，不属于P （属于P 的补集）， 即()U C P M ，故选：A ．2．（5分）函数1()x f x -=的定义域为( ) A ．(1,)+∞ B ．[1，)+∞ C ．[1，2)D ．[1，2)(2⋃，)+∞【答案】D 【详解】由题意得：1020x x -⎧⎨-≠⎩，解得：1x 且2x ≠， 故函数的定义域是[1，2)(2⋃，)+∞， 故选：D ．3．（5分）已知集合{2A =-，1}，{|2}B x ax ==，若A B B =，则实数a 值集合为( )A ．{1}-B ．{2}C ．{1-，2}D ．{1-，0，2}【答案】D 【详解】AB B B A =⇒⊆，{2A =-，1}的子集有φ，{2}-，{1}，{2-，1}，当B φ=时，显然有0a =；当{2}B =-时，221a a -=⇒=-；当{1}B =时，122a a ⋅=⇒=；当{2B =-，1}，不存在a ，符合题意，∴实数a 值集合为{1-，0，2}，故选：D ．4．（5分）函数()f x 为R 上奇函数，且()1(0)f x x =>，则当0x <时，()(f x = )A ．1B ．1C 1D 1【答案】B【详解】函数()f x 为R 上奇函数，可得()()f x f x -=-，又()1(0)f x x >， 则当0x <时，0x ->，()()1)1f x f x =--=-=．即0x <时，()1f x =． 故选：B ．5．（5分）下列命题中为假命题的是( ) A ．x R ∃∈，21x <B ．22a b =是a b =的必要不充分条件C ．集合2{(,)|}x y y x =与集合2{|}y y x =表示同一集合D ．设全集为R ，若A B ⊆，则()()R R B A ⊆ 【答案】C【详解】A ．x R ∃∈，取12x =，则2114x =<，因此是真命题； B ．由22a b a b =⇒=，反之不成立，例如取1a =，1b =-，满足22a b =，但是a b ≠，因此22a b =是a b=的必要不充分条件，因此是真命题；C ．集合2{(,)|}x y y x =表示点的集合，而集合2{|}y y x =表示数的集合，它们不表示表示同一集合，因此是假命题；D ．全集为R ，若A B ⊆，则()()R R B A ⊆，是真命题．故选：C ．6．（5分）函数y x =+( )A ．[0，)+∞B ．[2，)+∞C ．[4，)+∞D ．)+∞【答案】B【详解】函数的定义域为[2，)+∞， 又函数为单调增函数， 当2x =时，取得最小值为2．∴值域是[2，)+∞．故选：B ．7．（5分）已知()f x 定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上是减函数，则满足(1)f a f ->（2）的实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，3] B ．(1,3)- C ．(1,)-+∞ D ．(1,3)【答案】B【详解】根据题意，()f x 定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上是减函数， 则(1)f a f ->（2）(|1|)f a f ⇒->（2）|1|2a ⇒-<， 解可得：13a -<<，即a 的取值范围为(1,3)-， 故选：B ．8．（5分）已知函数2(1)2,0()2,0a x a x f x x x x -+<⎧=⎨-⎩有最小值，则a 的取值范围是( )A ．1[2-，1)B ．1(2-，1)C ．1[2-，1]D ．1(2-，1]【答案】C【详解】当0x 时，2()(1)1f x x =--， 此时()min f x f =（1）1=-， 而当0x <时，①1a =时，()2f x =为常函数，此时在R 上满足函数()f x 有最小值为1-， ②1a ≠时，函数()f x 此时为单调的一次函数，要满足在R 上有最小值， 只需10(1)021a a a -<⎧⎨-⨯+-⎩，解得112a -<，综上，满足题意的实数a 的取值范围为：112a -， 故选：C ．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）若110a b<<，则下列不等式中，错误的有( ) A ．a b ab +< B ．||||a b > C ．a b < D ．2b a a b+ 【答案】BCD 【详解】由110a b<<，得0b a <<，则0a b ab +<<，选项A 正确，选项C 错误； 根据0b a <<可得||||b a >，所以选项B 错误； 由0b a <<，得0b a >，0a b >，则22b a b a a b a b +⋅=，当且仅当b aa b=时等号成立，又a b ≠， 所以b aa b+不能取得最小值2，选项D 错误． 故选：BCD ．10．（5分）下列说法正确的有( ) A ．函数1()f x x=在其定义域内是减函数 B ．命题“x R ∃∈，210x x ++>”的否定是“x R ∀∈，210x x ++” C ．两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件 D ．若()y f x =为奇函数，则()y xf x =为偶函数 【答案】BD【详解】对于A ：函数1()f x x=的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，所以函数在(0,)+∞和(,0)-∞上都为单调递减函数，故A 错误；对于B ：命题“x R ∃∈，210x x ++>”的否定是“x R ∀∈，210x x ++”故B 正确；对于C ：两个三角形全等，则两个三角形必相似，但是两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等，则两个三角形全等是两个三角形相似的充分不必要条件，故C 错误；对于D ：若()y f x =为奇函数，且函数y x =也为奇函数，则函数则()y xf x =为偶函数，故D 正确． 故选：BD ．11．（5分）若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是( )A ．1abB 2bC ．222a b +D ．112a b+ 【答案】ACD【详解】对于命题1ab ：由221a b ab ab =+⇒，A 正确；对于命题2a b +：令1a =，1b =时候不成立，B 错误；对于命题222222:()2422a b a b a b ab ab ++=+-=-，C 正确； 对于命题111122:2a b a b a b ab ab+++==，D 正确． 故选：ACD ．12．（5分）数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的是( )A ．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B ．3()f x x =可以是某个圆的“优美函数”C ．,0(),0x x f x x x =--<⎪⎩可以同时是无数个圆的“优美函数”D ．函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形 【答案】ABC【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ：对于任意一个圆，任意的一条直径均可以平分周长和面积，故圆的“优美函数”有无数个，A 正确；对于B ：由于3()f x x =的图象关于原点对称，而单位圆也关于原点对称，故3()f x x =可以是单位圆的“优美函数”， B 正确；对于C ，,0(),0x x f x x x =--<⎪⎩为奇函数，且经过原点，若圆的圆心在坐标原点，则()f x 是这个圆的“优美函数”， C 正确，对于D ：函数图象是中心对称图形的函数一定是“优美函数”，但反之“优美函数”不一定是中心对称的函数，如图，故D 错误；故选：ABC ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中m ，0n >，则11m n+的最小值为 ． 【答案】4【详解】函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ， 可得(1,1)A ，点A 在一次函数y mx n =+的图象上， 1m n ∴+=，m ，0n >，12m n ∴+=mn ，14mn ∴， 111()4m n m n mn mn +∴+==（当且仅当12n =，12m =时等号成立）， 故答案为：4．14．（5分）已知2(2)f x x x =+，则f （1）= ；()f x 的解析式为 ． 【答案】34；211()42f x x x =+ 【详解】由21x =，得12x =，f ∴（1）2113()224=+=； 令2x t =，得2t x =，2211()()2242t t f t t t ∴=+=+， 211()42f x x x ∴=+． 故答案为：34；211()42f x x x =+． 15．（5分）定义在[1-，1]上的函数()y f x =是增函数，且是奇函数，若(1)(45)0f a f a -+->，求实数a 的取值范围是 ．【答案】6(5，3]2【详解】由题意，(1)(45)0f a f a -+->，即(1)(45)f a f a ->--， 而又函数()y f x =为奇函数，所以(1)(54)f a f a ->-． 又函数()y f x =在[1-，1]上是增函数， 有1111451154a a a a --⎧⎪--⎨⎪->-⎩⇒0231265a a a ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪>⎪⎩⇒6352a < 所以，a 的取值范围是6(5，3]2．故答案为：6(5，3]2．16．（5分）已知函数()(||2)f x x x =-，4()1xg x x =+，对于任意1(1,)x a ∈-，总存在2(1,)x a ∈-，使得12()()f x g x 成立，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】1[,3]3【详解】函数()(||2)f x x x =-，4()1xg x x =+， 因为44()411x g x x x ==-++在(1,)a -上单调递增， 所以()g x g <（a ）41aa =+， 又222,0()(||2)2,0x x x f x x x x x x ⎧-=-=⎨--<⎩，因为(1)1f -=，由221x x -=，1x =±①当11a -<<+()f x f <（1）1=，因为对于任意1(1,)x a ∈-，总存在2(1,)x a ∈-，使得12()()f x g x 成立， 所以411aa +，解得13a ，故1123a <+ ②当12a +时，()f x f <（a ）22a a =-，因为对于任意1(1,)x a ∈-，总存在2(1,)x a ∈-，使得12()()f x g x 成立， 所以2421aa aa -+，可得260a a --，解得23a -， 故123a ．综上所述，实数a 的取值范围为1[,3]3．故答案为：1[,3]3．四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）已知函数()f x =的定义域是集合A ，集合{|1B x x =或3}x ．（1）求AB ，AB ；（2）若全集U R =，求()U A B ．【答案】（1）{|41AB x x =-<或34}x <；AB R =；（2）(){|4U A B x x =-或4}x【详解】（1）因为函数()f x =的定义域是2{|160}{|44}A x x x x =->=-<<，集合{|1B x x =或3}x ， 所以{|41AB x x =-<或34}x <；A B R =；（2）因为全集U R =，所以{|4UA x x =-或4}x ，所以(){|4U A B x x =-或4}x ．18．（12分）已知命题:P x R ∃∈，使240x x m -+=为假命题． （1）求实数m 的取值集合B ；（2）设{|34}A x a x a =<<+为非空集合，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(4,)B =+∞；（2）4[3，2)【详解】（1）由题意，得关于x 的方程240x x m -+=无实数根， 所以△1640m =-<，解得4m >， 即(4,)B =+∞；（2）因为{|34}A x a x a =<<+为非空集合， 所以34a a <+，即2a <，因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，则2a <且34a ， 即423a <， 综上所述，实数a 的取值范围为4[3，2)．19．（12分）已知0a >，0b >，31a b +=． （1）求13a b+的最小值； （2）若2297m a b ab >++恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）16；（2）13(12，)+∞【详解】（1）0a >，0b >，且31a b +=，∴1313333(3)()1010216a b a b a b a b b a b +=++=+++=，当且仅当33a b b a =，即14a b ==时，等号成立， ∴13a b+的最小值为16． （2）2297m a b ab >++恒成立，22(97)max m a b ab ∴>++，222197(3)133a b ab a b ab a b ++=++=+⨯⋅，2(3)1344a b a b +⋅=，当且仅当3a b =，即12a =，16b =时，等号成立，2211139713412a b ab ∴+++⨯=，1312m ∴>， 即实数m 的取值范围为13(12，)+∞．20．（12分）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x 时，2()2f x x x =-（如图）． （1）请补充完整函数()f x 的图象； （2）求出函数()f x 的解析式； （3）求不等式()3f x 的解集；（4）若函数()y f x =与y m =有两个交点，直接写出实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）2220()20x xx f x x xx ⎧-=⎨+<⎩（3）(x ∈-∞，3][3-，)+∞；（4）0m >或1m =-【详解】（1）完整图：（2）0x <，顶点(1,1)--，过点(0,0)，(2,0)- 顶点式：2()(1)1f x a x =+-代入(0,0)，(2,0)-， 得1a =，2()2f x x x ∴=+， ∴2220()20x xx f x x xx ⎧-=⎨+<⎩， （3）()3f x ，当0x 时，2233x x x -⇒， 当0x <时，由对称性3x ⇒-， (x ∴∈-∞，3][3-，)+∞，（4）由图可知，0m >或1m =-． 21．（12分）已知函数2()1x af x x +=+． （1）若1a =时，判断并证明函数()f x 在[2，3]上的单调性，并求函数()f x 在[2，3]上的最大值和最小值； （2）探究：是否存在实数a ，使得函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）最大值为f （2）35=，最小值为f （3）25=；（2）见解析【详解】（1）21()1x f x x +=+在[2，3]上单调递减．证明：令12121212221211,[2,3],,()()11x x x x x x f x f x x x ++∀∈<-=-++ 2112212212()(1)(1)(1)x x x x x x x x -++-=++，因为1223x x <，所以210x x ->，124x x >，124x x +>，121210x x x x ++->， 所以12()()f x f x >，所以()f x 在[2，3]上单调递减；()f x 在[2，3]的最大值为f （2）35=，最小值为f （3）25=；（2）若()f x 为奇函数，且x R ∈，则(0)00f a =⇒=． 下面证明：因为2()1x f x x =+，所以2()()1xf x f x x --==-+， 所以存在0a =．22．（12分）已知函数1()2f x x x=+-． （1）若不等式(2)20x x f k -在[1-，1]上有解，求k 的取值范围； （2）若方程2(|21|)30|21|x x kf k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1k ；（2）0k > 【详解】（1）()211222201222x x x xx k k =+--⋅⇒-+原式， 11,222x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦令，则221k t t -+， 令2()21g t t t =-+，()[0g t ∈，1]，()k g t 有解，()max k g t ∴，1k ∴．（2）12212302121x x x kk -+-+-=--原式可化为，令|21|(0)x t t =->，12230kt k t t+-+-=原式可化为2(32)210t k t k ⇒-+++=，若原方程有三个不同的实数解，等价于方程2(32)210t k t k -+++=的两根分别位于(0,1)和(1,)+∞之间， 令2()(32)21g t t k t k =-+++， 只需1(0)02(1)00g k g k ⎧>>-⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪>⎩，0k ∴>．。
广东省实验中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题Word版含解析
广东省实验中学2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若，则它们的大小关系为（）A. B. C. D.3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A. B. y= C. D.4.满足条件的集合的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 55.方程的实数根所在的区间是（）A. B. C. D.6.下列各组函数不是同一函数的是（）与；与；与；与A. （1）B. （1）（2）C. （1）（3）D. （2）（3）（4）7.若函数的图象如图所示,其中a，b为常数，则函数的图象大致是( )A. B. C. D.8.已知函数，则的定义域为（）A. B. C. D.9.关于的方程至少有一个正的实根，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知在上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.11.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．当销售单价为6元时，日均销售量为480桶．根据数据分析，销售单价在进价基础上每增加1元，日均销售量就减少40桶．为了使日均销售利润最大，销售单价应定为（）A. 元B. 元C. 元D. 元12.已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.二、填空题：本大题共2小题，每题5分，共10分。
13.已知幂函数过点，这个函数的表达式为（）14.已知函数，则（）；函数的单调递增区间为（）三、解答题：本大题共3题，共30分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.设全集是实数集，（1）当，求和.（2）若，求实数的取值范围.16.（1）（2）17.已知定义域为的函数是奇函数（1）求的值（2）判断并证明该函数在定义域上的单调性（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。
2019-2020学年广东省广州天河区华南师范大学附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年广东省广州天河区华南师范大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知角α的终边经过点()4,3P -，则tan α=（ ）. A ．34-B ．43-C ．35D ．45【答案】A【分析】根据三角函数的概念，()000tan 0y x x α=≠，可得结果. 【详解】因为角α的终边经过点()4,3P - 所以33tan 44α-==- 故选：A【点睛】本题主要考查角终边过一点正切值的计算，属基础题. 2．下列命题中正确的是（ ） A ．AB BC CD AD ++= B ．0AB BA += C ．00AB ⋅= D ．OA OB AB -=【答案】A【分析】利用平面向量的加法、加法法则可判断ABD 选项的正误，利用平面向量数量积可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，AB BC CD AC CD AD ++=+=，A 选项正确； 对于B 选项，0AB BA +=，B 选项错误； 对于C 选项，00AB ⋅=，C 选项错误； 对于D 选项，OA OB BA -=，D 选项错误. 故选：A.3．若sin 0α>，且tan 0α<，则角α的终边位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【详解】∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限或y 轴的非负半轴，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限， ∴角α的终边位于第二象限． 故选择B ．4．函数23cos()56y x π=-的最小正周期是A ．25π B ．52πC ．2πD ．5π【答案】D【详解】分析：直接利用周期公式求解即可.详解：∵23cos 56y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，25ω=，∴2π5πT ω==．故选D点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于简单题.由 函数cos()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由x k ωϕπ+=可得对称轴方程；由2x k πωϕπ+=+可得对称中心横坐标.5．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为π4，则这条弧所在的扇形面积为（ ）cm 2．A ．πB ．4πC ．2πD【答案】C【分析】根据弧长计算出半径4r =，再利用面积公式得到答案. 【详解】弧长为πcm 的弧所对的圆心角为π4，则44r r ππ=∴=211162224S r παπ==⨯⨯=故选C【点睛】本题考查了扇形的面积，求出半径是解题的关键. 6．已知1tan 2α=，则cos sin cos sin αααα+=-（ ）. A ．2 B ．2-C ．3D ．3-【答案】C 【分析】将cos sin cos sin αααα+-分子分母同除以cos α，再将1tan 2α=代入求解.【详解】11cos sin 1tan 231cos sin 1tan 12αααααα+++===---. 故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7．已知向量1(11cos )(1cos )//2a b a b θθ=-=+，，，，且，则锐角θ等于 A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】B【详解】因为向量共线，则有1(1cos )(1cos )02θθ-+-=，得sin 2θ=,锐角θ等于45°，选B 8．已知4cos 5α=，()3cos 5αβ+=，且α，β均为锐角，那么cos β=（ ） A ．2425B ．725或－1 C ．1 D ．725【答案】A【分析】首先确定角(0,)αβπ+∈，接着求3sin 5α=，()4sin 5αβ+=，最后根据cos cos[()]βαβα=+-展开求值即可.【详解】因为α，β均为锐角，所以(0,)αβπ+∈， 所以3sin 5α=，()4sin 5αβ+=， 所以cos cos[()]βαβα=+-344324cos()cos sin()sin 555525αβααβα=+++=⨯+⨯=. 故选：A.【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好．9．如图是函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象，则其解析式是（ ）A ．()3sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B【分析】通过函数的图象可得到：A =3，T π=，22πωπ==，则()()3sin 2f x x ϕ=+，然后再利用点,312π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上求解.， 【详解】由函数的图象可知：A =3，T π=，22πωπ==，所以()()3sin 2f x x ϕ=+，又点,312π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上， 所以3sin 2312πϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭， 即πsinφ16，所以262k ππϕπ+=+，即23k πϕπ=+，因为2πϕ<，所以3πϕ=所以()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象求解析式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间()0,1单调递减； ③()f x 在[],ππ-有2个零点；④()f x 的最大值为2. 其中所有正确结论．．．．．．的编号是（ ） A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③【答案】A【分析】利用偶函数的定义可判断出命题①的正误；去绝对值，利用余弦函数的单调性可判断出命题②的正误；求出函数()y f x =在区间[]0,π上的零点个数，并利用偶函数的性质可判断出命题③的正误；由()y f x =取最大值知()2,222x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，然后去绝对值，即可判断出命题④的正误.【详解】对于命题①，函数()cos cos f x x x =+的定义域为R ，且()()cos cos f x x x -=-+-()cos cos x x f x =+=，则函数()y f x =为偶函数，命题①为真命题；对于命题②，当01x <<时，cos 0x >，则()2cos f x x =，此时，函数()y f x =在区间()0,1上单调递减，命题②正确； 对于命题③，当02x π<<时，cos 0x >，则()2cos 0f x x =>，当2x ππ≤≤时，cos 0x ≤，则()cos cos 0f x x x =-=，由偶函数的性质可知，当2x ππ-≤≤-时，()0f x =，则函数()y f x =在[],ππ-上有无数个零点，命题③错误；对于命题④，若函数()y f x =取最大值时，cos 0x ≥，则()2,222x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，()2cos f x x =，当()2x k k Z π=∈时，函数()y f x =取最大值2，命题④正确. 因此，正确的命题序号为①②④. 故选A.【点睛】本题考查与余弦函数基本性质相关的命题真假的判断，解题时要结合自变量的取值范围去绝对值，结合余弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题. 11．如图所示，在ABC 中，D 、E 分别为线段BC 、AC 上的两点，且BD DC =，23AE EC=，BM BA BC λμ=+，则λμ+的值为（ ）.A ．1114B ．87C ．57D ．137【答案】C【分析】由向量的线性运算可得BE ＝35BA +25BC ，可得3255BM aBE aBA aBC ==+，又A ，M ，D 三点共线，则存在b ∈R ，使得()1BM bBA b BD =+-，则可建立关于a ，b 的方程组，即可求得a 值，从而可得λ，μ，进而得解．【详解】解：因为BD DC =，23AE EC=， 所以12BD BC =，25AE AC =， 所以()22325555BE AE BA AC BA AB BC BA BA BC =+=+=++=+， 所以3255BM aBE aBA aBC ==+，又A ，M ，D 三点共线，则存在b ∈R ，使得()112bBM bBA b BD bBA BC -=+-=+， 所以352152a b b a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得5737a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3277BM BA BC =+， 因为BM BA BC λμ=+， 所以由平面向量基本定理可得λ＝37，μ＝27，所以λ+μ＝57． 故选：C ．12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当(]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）. A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C ．(]0,8 D ．11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【分析】求出()f x 在[2，4]上的值域，利用()f x 的性质得出()f x 在[2-，0]上的值域，再求出()g x 在[2-，1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a 的范围【详解】解：当[2,4]x ∈时，224,23()2,34x x x f x x x x⎧-+⎪=⎨+<≤⎪⎩，可得()f x 在[2，3]上单调递减，在(3,4]上单调递增，()f x ∴在[2，3]上的值域为[3，4]，在(3,4]上的值域为11(3，9]2，()f x ∴在[2,4]上的值域为[3，9]2，(2)2()f x f x +=， 11()(2)(4)24f x f x f x ∴=+=+， ()f x ∴在[2,0]-上的值域为3[4，9]8，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[2-，1]上的值域为[21a -+，1]a +， ∴3214918a a ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得18a ；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[2-，1]上的值域为[1a +，21]a -+，∴3149218a a ⎧+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，解得14a -；当0a =时，()g x 为常数函数，值域为{1}，不符合题意； 综上，a 的范围是18a 或14a -． 故选：D ．【点睛】本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．二、填空题13．13sin6π=________. 【答案】12【详解】试题分析：131sin sin(2)sin 6662ππππ=+==. 【解析】诱导公式.14．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅=________ ． 【答案】152【详解】试题分析：根据正三角形的性质以及向量的数量积的定义式，结合向量的特点，可以确定22121()3333AB BD AB AB AC AB AB AC ⋅=⋅+=+⋅211159333322=⋅+⋅⋅⋅=，故答案为152． 【解析】平面向量基本定理，向量的数量积，正三角形的性质．15．函数()sin 2f x x =，若()f x t +为偶函数，则最小的正数t 的值为______【答案】4π 【分析】根据三角函数的奇偶性知()sin(22)f x t x t +=+应可用诱导公式化为余弦函数．【详解】()sin 2()sin(22)f x t x t x t +=+=+，其为偶函数，则22t k ππ=+，24k x =+ππ，k Z ∈， 其中最小的正数为4π． 故答案为4π． 【点睛】本题考查三角函数的奇偶性，解题时直接利用诱导公式分析即可． 16．若()11tan sin tan sin 022x x x x k +---≥在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，则k 的取值范围是______. 【答案】(],1-∞-【分析】首先参变分离得到()11tan sin tan sin 22k x x x x ≤+--在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，接着分段求出函数的最小值，最后给出k 的取值范围即可. 【详解】因为()11tan sin tan sin 022x x x x k +---≥在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 所以()11tan sin tan sin 22k x x x x ≤+--在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 当3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，tan 0,sin 0x x ≤≥，所以tan sin sin tan x x x x -=-， 所以()()1111tan sin tan sin tan sin (sin tan )tan 2222x x x x x x x x x +--=+--=， 所以()min tan 1k x ≤=-； 当5,4x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，tan 0,sin 0x x ><，所以tan sin tan sin x x x x -=-， 所以()()1111tan sin tan sin tan sin (tan sin )sin 2222x x x x x x x x x +--=+--=，所以()minsin k x ≤=； 综上：k 的取值范围为(],1-∞-. 故答案为：(],1-∞-.【点睛】本题是含参数的不等式恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .三、解答题17．已知tan ,tan αβ 是方程26510x x -+=的两根，且π30,22παπβ<<<<.求：()tan αβ+及αβ+的值.【答案】1，54π. 【详解】试题分析：由韦达定理结合两角和差的正切公式可得()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-.结合所给的角的范围可知2,παβπ<+<则54παβ+=. 试题解析：tan tan αβ、为方程26510x x -+=的两根，51tan tan tan tan 66αβαβ∴+==，，()5tan tan 6tan 111tan tan 16αβαβαβ++===--.350,,2,224πππαπβπαβπαβ<<<<∴<+<∴+=. 点睛：三角函数式的化简、求值问题的常用技巧： ①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； ③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等．常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．18．已知平面向量()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥. （1）求b 和c ：（2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m 与向量n 的夹角的大小. 【答案】（1）()9,12b =，()4,3c =-；（2）34π. 【分析】（1）本题首先可根据//a b 、a c ⊥得出3493440x y =⨯⎧⎨⨯+=⎩，然后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据题意得出()3,4m =--以及()7,1n =，然后求出m n ⋅、m 以及n 的值，最后根据向量的数量积公式即可得出结果.【详解】（1）因为()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥，所以3493440x y =⨯⎧⎨⨯+=⎩，解得123x y =⎧⎨=-⎩，故()9,12b =，()4,3c =-.（2）因为()3,4a =，()9,12b =，所以()23,4m a b =-=--， 因为()3,4a =，()4,3c =-，所以()7,1n a c =+=，374125m n ⋅=-⨯-⨯=-，()()22345m =-+-=，227152n =+=，设m 与n 的夹角为θ， 则252cos 2552m n m nθ⋅-===-⨯⋅，因为0θπ≤≤，所以34πθ=，向量m 与向量n 的夹角为34π. 【点睛】本题考查向量平行、向量垂直以及向量的数量积的相关性质，若11,a x y 、22,bx y 且//a b ，则1221x y x y =，考查通过向量的数量积公式求向量的夹角，考查计算能力，是中档题.19．如图，在OAB ∆中，已知P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+.（1）若BP PA =，求,x y 的值；（2）若2BP PA =，4OA =，2OB =，且OA 与OB 的夹角为60时，求OP AB ⋅的值．【答案】（1）11,22；（2）8-. 【分析】（1）根据平面向量基本定理可得OB OA OP OP -=-，整理可得结果；（2）根据平面向量基本定理可求得2133OP OA OB =+，AB OB OA =-，根据数量积的运算法则代入模长和夹角，整理可求得结果.【详解】（1）由BP PA =得：OB OA OP OP -=-()111222OP OA OB OA OB ∴=+=+ 12x ∴=，12y =（2）由2BP PA =得：()2O OB OA P OP -=- 2133OP OA OB ∴=+ 又4OA =，2OB =，且OA 与OB 的夹角为60则()222121133333OP AB OA OB OB OA OA OA OB OB ⎛⎫⋅=+⋅-=-+⋅+ ⎪⎝⎭2111642cos6048333=-⨯+⨯⨯+⨯=-【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用、平面向量数量积的求解，关键是能将所求向量的数量积通过平面向量基本定理转化为已知模长和夹角的向量的数量积运算. 20．如图所示，某居民小区内建一块直角三角形草坪ABC ，直角边40AB =米，403AC =米，扇形花坛ADE 是草坪的一部分，其半径为20米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设两条小路OM 和ON ，考虑到小区整体规划，要求M 、N 在斜边BC 上，O 在弧DE 上（点O 异于D ，E 两点），//OM AB ，//ON AC .（1）设OAE θ∠=，记()f OM ON θ=+，求()f θ的表达式，并求出此函数的定义域.（2）经核算，两条路每米铺设费用均为400元，如何设计θ的大小，使铺路的总费用最低？并求出最低总费用. 【答案】（1）()3140340sin 6fπθθ⎛⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎣⎦⎝⎭，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦；（2）3πθ=，3200033【分析】（1）过,O N 作AC 的垂线交AC 与,F G 两点，求出,OM ON ，即可求出()f θ的表达式，并求出此函数的定义域. （2）利用辅助角公式化简，即可得出结果.【详解】（1）如图，过,O N 作AC 的垂线交AC 与,F G 两点，则20cos AF θ=，20sin OF NG θ==，203CG θ=，()403203cos ON θθ∴=+，3OM =，则())31403203cos f OM ON θθθ⎛⎡⎤=+=+ ⎣⎦⎝⎭，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，所以()3140340sin 36f πθθ⎛⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎣⎦⎝⎭，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦， （2）0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，2,663πππθ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，当62ππθ+=，即3πθ=320003321．已知函数()2sin 33f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0>ω.（1）若()f x θ+是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值. （2）若()f x 在0,3π⎛⎤⎥⎝⎦上是增函数，求ω的最大值. （3）当23ω=时，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y g x 的图象，若y g x 在[]()0,0b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.【答案】（1）13ω=，6k πθπ=+，k ∈Z ；（2）16；（3）5912π. 【分析】（1）由题知223ππω=，3,32k k Z ππωθπ+=+∈，进而求解即可得答案； （2）由题知函数sin y x =在,33πππω⎛⎤+ ⎥⎝⎦上是增函数，故32πππω+≤，进而解不等式即可得答案.（3）由题知()2sin 21g x x =+，进而根据题意得方程1sin 2x =-在[]()0,20b b >上至少含有10个零点，进而得2106b ππ≥-，再解不等式即可得答案.【详解】解：（1）由题知()()2sin 32sin 3333f x x x ππωθωθωθ⎡⎤⎛⎫++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝=⎭+， 因为()f x θ+是周期为2π的偶函数，所以223ππω=，3,32k k Z ππωθπ+=+∈，解得：13ω=，,6k k Z πθπ=+∈， 所以13ω=，,6k k Z πθπ=+∈.（2）因为0,3πx ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3,333x πππωπω⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦， 因为函数()2sin 33f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在0,3π⎛⎤⎥⎝⎦上是增函数，所以函数sin y x =在,33πππω⎛⎤+ ⎥⎝⎦上是增函数，所以32πππω+≤，解得16ω≤， 又因为0>ω，故106ω<≤. 所以ω的最大值为16. （3）当23ω=时，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()2sin 212sin 2163g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 当[]()0,0x b b ∈>时，[]()20,20x b b ∈>， 又因为函数yg x 在[]()0,0b b >上至少含有10个零点，所以方程1sin 2x =-在[]()0,20b b >上至少含有10个零点， 所以2106b ππ≥-，解得5912b π≥故b 的最小值为5912π. 【点睛】本题考查三角函数图像平移变换，正弦型函数的性质，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键件在于利用整体换元的思想，将为题转化为利用函数sin y x =的图像性质求解.22．已知,a b ∈R ,0a ≠，函数()cos )f x x x b =++，1()sin cos 22a g x a x x a=⋅+++ （1）若(0,)x π∈，()5f x b =-+，求sin cos x x -的值； （2）若不等式()()f x g x ≤对任意x ∈R 恒成立，求b 的取值范围．【答案】(1)5（2）见解析. 【详解】试题分析：（1）利用同角三角函数基本关系式进行求解；（2）作差，分离参数，将问题转化为求函数的最值问题，再利用换元思想进行求解. 试题解析：(1)依题意得sin cos x x +=， 222sin cos 2sin ?cos 5x x x x ∴++=，即32sin ?cos 5x x =- 812sin ?cos 5x x ∴-=，即()2228sin cos 2sin ?cos sin cos 5x x x x x x +-=-= 由32sin ?cos 05x x =-<，()0,x π∈，得,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， sin 0,cos 0,sin cos 0,x x x x ∴>∴-sin cos 5x x ∴-=（2）即不等式)1sin cos sin cos 22a b a x x x x a≤⋅++++对任意R x ∈恒成立，即)min1sin cos sin cos 22a b a x x x x a ⎡⎤≤⋅++++⎢⎥⎣⎦下求函数)1sin cos sin cos 22a y a x x x x a=⋅++++的最小值 令sin cos ,t x x =+则4t x π⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭且21sin cos .2t x x -⋅= 令())1sin cos sin cos 22a m t y a x x x x a==⋅+++++ ()2211122222a t a a t a a-=+++=++()22122,022a a t t a a ⎛⎫⎛=++=++≠ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭1°当()01,a m t a⎡-<<<⎣即时在区间上单调递增， ()()(min 1.m t m a a∴==+2°当0a ≤-<，即1a ≥时，()min 2.m t m ⎛== ⎝⎭3°当()(101,min a m t m a a<≤≤-==+即时 4°当()(110,min .a m t m a a>-<<==+即时 min2111,0a y a a a a ≥⎧⎪∴=⎨+<≠⎪⎩，所以当1a ≥时，2b ≤；当0a <或0<1a <时,1.b a a≤+。
2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高三(上)月考数学试卷(理科)(二)(解析版)
2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知zi＝2﹣i，则复数z在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）2．已知sin2α＝，，则sinα﹣cosα的值是（）A．B．C．D．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝，b＝3，A＝60°，则边c＝（）A．1B．2C．4D．64．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）＝36，则S11＝（）A．66B．55C．44D．335．已知集合A＝{x|﹣2＜x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是（）A．[2，3]B．（2，3]C．（﹣∞，3]D．（2，+∞）6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）8．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；当x＞时，f（x+）＝f（x﹣）．则f（6）＝（）A．﹣2B．1C．0D．29．设a＞1，b＞1且ab﹣（a+b）＝1，那么（）A．a+b有最小值2（+1）B．a+b有最大值C．ab有最大值+1D．ab有最小值2（+1）10．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3＝0，则|﹣|的最小值是（）A．﹣1B．+1C．2D．2﹣11．已知函数f（x）＝，且g（x）＝f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪（0，]B．（﹣，﹣2]∪（0，]C．（﹣，﹣2]∪（0，]D．（﹣，﹣2]∪（0，]12．设函数f（x）＝与g（x）＝a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，满分20分）13．若x，y满足不等式组，则的最大值是．14．已知函数，则f（f（﹣2））＝，若f（x）＝10，则x＝．15．已知函数f（x）＝sinωx﹣cosωx（ω＞0），若方程f（x）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为．16．已知数列{a n}中，a1＝﹣1，a n+1＝2a n+3n﹣1（n∈N*），则其前n项和S n＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝3a n﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为数列{b n}的前n项和，求证：．18．已知直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，∠BAC＝120°，，E是BC的中点，F是A1E上一点，且A1F＝3FE．（Ⅰ）证明：AF⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角B﹣A1E﹣B1余弦值的大小．19．如图，椭圆C：＝1（a＞b＞c）的离心率e＝，且椭圆C的短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l过点D（0，），且与椭圆C相交于M，N两点，又点P是椭圆C的上顶点，求△PMN面积的最大值．20．某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：（1）求出表中x，y的值；（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的数学期望．附：．21．已知函数f（x）＝e x（3x﹣2），g（x）＝a（x﹣2），其中a，x∈R．（1）求y＝f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）若对任意x∈R，有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；（3）若存在唯一的整数x0，使得f（x0）≤g（x0），求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为，直线l与y轴的交点为M，与曲线C1相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）（1）t＝2时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知zi＝2﹣i，则复数z在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）【解答】解：zi＝2﹣i，∴z＝＝＝﹣1﹣2i，∴复数z在复平面对应点的坐标是（﹣1，﹣2），故选：A．2．已知sin2α＝，，则sinα﹣cosα的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由sin2α＝，得2sinαcosα＝，又，∴sinα﹣cosα＝＝．故选：A．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝，b＝3，A＝60°，则边c＝（）A．1B．2C．4D．6【解答】解：由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴13＝9+c2﹣3c，化为c2﹣3c﹣4＝0，解得c＝4．故选：C．4．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）＝36，则S11＝（）A．66B．55C．44D．33【解答】解：由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）＝36，∴6a3+6a9＝36，即a1+a11＝6．则S11＝＝11×3＝33．故选：D．5．已知集合A＝{x|﹣2＜x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是（）A．[2，3]B．（2，3]C．（﹣∞，3]D．（2，+∞）【解答】解：∵A∪B＝A，∴B⊆A，①B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；②B≠∅时，，解得2≤m≤3，∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故选：C．6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．+D．+【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，＝﹣＝﹣＝﹣×（+）＝﹣，故选：A．7．若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）【解答】解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y＝是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．8．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；当x＞时，f（x+）＝f（x﹣）．则f（6）＝（）A．﹣2B．1C．0D．2【解答】解：∵当x＞时，f（x+）＝f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）＝f（x），即周期为1．∴f（6）＝f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（1）＝﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）＝x3﹣1，∴f（﹣1）＝﹣2，∴f（1）＝﹣f（﹣1）＝2，∴f（6）＝2．故选：D．9．设a＞1，b＞1且ab﹣（a+b）＝1，那么（）A．a+b有最小值2（+1）B．a+b有最大值C．ab有最大值+1D．ab有最小值2（+1）【解答】解：∵a＞1，b＞1且ab﹣（a+b）＝1，∴1+a+b＝ab，化为（a+b）2﹣4（a+b）﹣4≥0，解得．故选：A．10．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3＝0，则|﹣|的最小值是（）A．﹣1B．+1C．2D．2﹣【解答】解：由﹣4•+3＝0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y＝（x＞0）上．不妨以y＝为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．11．已知函数f（x）＝，且g（x）＝f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪（0，]B．（﹣，﹣2]∪（0，]C．（﹣，﹣2]∪（0，]D．（﹣，﹣2]∪（0，]【解答】解：由g（x）＝f（x）﹣mx﹣m＝0，即f（x）＝m（x+1），分别作出函数f（x）和y＝h（x）＝m（x+1）的图象如图：由图象可知f（1）＝1，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，当h（x）过（1，1）时，m＝此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤，当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）＝﹣2，解得m＝﹣2，此时两个函数有两个交点，当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即m（x+1）2+3（x+1）﹣1＝0，当m＝0时，x＝，只有1解，当m≠0，由△＝9+4m＝0得m＝﹣，此时直线和f（x）相切，∴要使函数有两个零点，则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤，故选：A．12．设函数f（x）＝与g（x）＝a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：设y＝f（x）与y＝g（x）（x＞0）在公共点P（x0，y0）处的切线相同、f′（x）＝3x﹣2a，g′（x）＝，由题意f（x0）＝g（x0），f′（x0）＝g′（x0），即x02﹣2ax0＝a2lnx0+b，3x0﹣2a＝由3x0﹣2a＝得x0＝a或x0＝﹣a（舍去），即有b＝a2﹣2a2﹣a2lna＝﹣a2﹣a2lna．令h（t）＝﹣t2﹣t2lnt（t＞0），则h′（t）＝2t（1+lnt），于是当2t（1+lnt）＞0，即0＜t＜时，h′（t）＞0；当2t（1+lnt）＜0，即t＞时，h′（t）＜0．故h（t）在（0，）为增函数，在（，+∞）为减函数，于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（）＝，故b的最大值为．故选：A．二、填空题（每小题5分，满分20分）13．若x，y满足不等式组，则的最大值是2．【解答】解：由题意作平面区域如下，，的几何意义是阴影内的点（x，y）与原点的连线的斜率，结合图象可知，过点A（1，2）时有最大值，此时＝＝2，故答案为：2．14．已知函数，则f（f（﹣2））＝﹣10，若f（x）＝10，则x＝﹣3．【解答】解：∵函数，∴f（f（﹣2））＝f（5）＝﹣10，若x≤0，由x2+1＝10，得x＝﹣3，或x＝3（舍去），若x＞0，由﹣2x＝10，得x＝﹣5（舍去），综上所述，若f（x）＝10，则x＝﹣3，故答案为：﹣10，﹣315．已知函数f（x）＝sinωx﹣cosωx（ω＞0），若方程f（x）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为．【解答】解：函数f（x）＝sinωx﹣cosωx（ω＞0），＝2sin（ωx﹣），令2sin（ωx﹣）＝﹣1，解得：，或（k∈Z），所以：或（k∈Z），设直线y＝﹣1与y＝f（x）在（0，+∞）上从左到右的第四个交点为A第五个交点为B，则：，．由于方程f（x）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则：x A＜π≤x B，即：，解得：．故答案为：．16．已知数列{a n}中，a1＝﹣1，a n+1＝2a n+3n﹣1（n∈N*），则其前n项和S n＝2n+2﹣4﹣．【解答】解：∵a n+1＝2a n+3n﹣1（n∈N*），a1＝﹣1，∴a2＝0．n≥2时，a n＝2a n﹣1+3n﹣4，相减可得：a n+1﹣a n＝2a n﹣2a n﹣1+3，化为：a n+1﹣a n+3＝2（a n﹣a n﹣1+3），∴数列{a n﹣a n﹣1+3}为等比数列，首项为4，公比为2．∴a n﹣a n﹣1+3＝4×2n﹣2，∴a n﹣a n﹣1＝2n﹣3．∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2n﹣3+2n﹣1﹣3+…+22﹣3﹣1，＝﹣3（n﹣1）﹣1＝2n+1﹣3n﹣2．∴其前n项和S n＝﹣3×﹣2n＝2n+2﹣4﹣．故答案为：2n+2﹣4﹣．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝3a n﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为数列{b n}的前n项和，求证：．【解答】解：（Ⅰ）2S n＝3a n﹣1，可得n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣，化为a n＝3a n﹣1，可得{a n}为首项为1，公比为3的等比数列，则a n＝3n﹣1，n∈N*；（Ⅱ）证明：＝＝，则T n＝2+++…+，T n＝+++…+，两式相减可得T n＝2+++…+﹣，＝2+﹣，可得T n＝﹣，由＞0，可得T n＜．18．已知直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，∠BAC＝120°，，E是BC的中点，F是A1E上一点，且A1F＝3FE．（Ⅰ）证明：AF⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角B﹣A1E﹣B1余弦值的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AE，AF，在△ABC中，＝，即＝×AE，解得AE＝1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AE，Rt△A1AE中，AA1＝，AE＝1，∴A1E＝2，∴EF＝，∵＝，∴∠AFE是直角，∴A1E⊥AF，∵E是BC中点，且△ABC是等腰三角形，∴AE⊥BC，∵AA1⊥BC，BC⊥AF，BC∩A1E＝E，∴AF⊥平面A1BC．（Ⅱ）解：∵AE⊥BC，如图以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，BE＝＝，∴B（﹣，0，0），A1（0，1，），E（0，0，0），B1（﹣），＝（﹣），＝（0，1，），＝（﹣），设面BA1E的法向量＝（x，y，z），面B1A1E的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（0，﹣，1），，取z＝1，得＝（1，﹣，1），设二面角B﹣A1E﹣B1的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角B﹣A1E﹣B1余弦值为．19．如图，椭圆C：＝1（a＞b＞c）的离心率e＝，且椭圆C的短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l过点D（0，），且与椭圆C相交于M，N两点，又点P是椭圆C的上顶点，求△PMN面积的最大值．【解答】解：（1）由已知得，解得，所以椭圆C的方程是；（2）由已知可知直线l的斜率定存在，设直线l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（1+4k2）x2﹣4kx﹣3＝0，所以，，所以，又，所以，令，，所以，令（），则，所以g（m）在上单调递增，所以当时，此时k＝0，g（m）有最小值，此时S△PMN有最大值．20．某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：（1）求出表中x，y的值；（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A 类人数和C类人数差的绝对值，求X的数学期望．附：．【解答】解：（1）设抽取的20人中，男、女生人数分别为n1，n2，则，……1分所以x＝12﹣5﹣3＝4，………………2分y＝8﹣3﹣3＝2；…………………3分（2）列联表如下：………………………………………5分计算K2的观测值为，所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；……………………………………………7分（3）X的可能取值为0，1，2，3，则，……………………………………………8分，……………………………………9分，…………………………………………10分，……………………………………………11分所以X分布列为；所以数学期望为E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．………………………………………12分21．已知函数f（x）＝e x（3x﹣2），g（x）＝a（x﹣2），其中a，x∈R．（1）求y＝f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）若对任意x∈R，有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；（3）若存在唯一的整数x0，使得f（x0）≤g（x0），求a的取值范围．【解答】解：（1）依题意，得f'（x）＝e x（3x+1），所以k＝f'（1）＝4e，所以y＝f（x）在点（1，e）处的切线方程为y﹣e＝4e（x﹣1），即y＝4ex﹣3e；（2）由题意，对任意x∈R有e x（3x﹣2）≥a（x﹣2）恒成立，①当x∈（﹣∞，2）时，有恒成立，故，令，则，令F'（x）＝0得x＝0，且x∈（﹣∞，0）时F'（x）＞0，x∈（0，2）时F'（x）＜0，故y＝F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，从而y＝F（x）在x＝0处取得极大值，也即最大值F（0）＝1，故此时有a≥1；②当x＝2时，恒成立，故此时a∈R；③当x∈（2，+∞）时，有恒成立，故，令，则，令F'（x）＝0得，且时F'（x）＜0，时F'（x）＞0，故y＝F（x）在上单调递减，在上单调递增，从而y＝F（x）在处取得极小值，也即最小值，故此时有；综上可得，；（3）因为f（x）＜g（x），即e x（3x﹣2）＜a（x﹣2），由（2）知，令，则，于是有如下表：当x∈（﹣∞，2），存在唯一的整数x0使得f（x0）＜g（x0），等价于存在唯一的整数x0成立，因为F（0）＝1最大，，，所以当时，至少有两个整数成立，所以；当x∈（2，+∞），存在唯一的整数x0使得f（x0）＜g（x0），等价于存在唯一的整数x0成立，因为最小，且F（3）＝7e3，F（4）＝5e4，所以当a＞5e4时，至少有两个整数成立，所以当a≤7e3时，没有整数成立，所有（7e3，5e4]；故a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为，直线l与y轴的交点为M，与曲线C1相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．【解答】解：（1）由（φ为参数），消去参数φ，得曲线C1的普通方程为：（x﹣5）2+y2＝10．由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，得曲线C2的普通方程为：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．由两圆心的距离，得两圆相交，∴两方程相减可得交线为﹣6x+21＝5，即．∴直线的极坐标方程为；（2）由，得，∴直线l的直角坐标方程：x+y＝4，则与y轴的交点为M（0，4）．直线l的参数方程为，代入曲线C1（x﹣5）2+y2＝10，得．设A，B两点的参数为t1，t2，∴，t 1t2＝31，则t1，t2同号．∴．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）（1）t＝2时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当t＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|，若x≤1，则f（x）＝3﹣2x，于是由f（x）＞2，解得x＜，综合得x＜；若1＜x＜2，则f（x）＝1，显然f（x）＞2不成立；若x≥2，则f（x）＝2x﹣3，于是由f（x）＞2，解得x＞，综合得x＞∴不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜，或x＞}．（2）f（x）≥a+x等价于a≤f（x）﹣x，令g（x）＝f（x）﹣x，当﹣1≤x≤1时，g（x）＝1+t﹣3x，显然g（x）min＝g（1）＝t﹣2，当1＜x＜t时，g（x）＝t﹣1﹣x，此时g（x）＞g（1）＝t﹣2，当t≤x≤3时，g（x）＝x﹣t﹣1，g（x）min＝g（1）＝t﹣2，∴当x∈[1，3]时，g（x）min＝t﹣2，又∵t∈[1，2]，∴g（x）min≤﹣1，即a≤﹣1，综上，a的取值范围是a≤﹣1．。
高一数学-广东省广州市华南师大附中高一(上)期中数学试卷
2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大共8小，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（3分）函数f（x）=+1−1的定义域是（）A．R B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．[﹣1，0）∪（0，+∞）2．（3分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4，6}，集合B＝{1，5}，则A∩（∁U B）＝（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}3．（3分）已知函数op=2+1，≤0，−2，＞0，若f（x0）＝5，则x0的取值集合是（）A．{﹣2}B．{−52，2}C．{﹣2，2}D．{−2，2，−52} 4．（3分）函数f（x）为R上奇函数，且op=+1(＞0)，则当x＜0时，f（x）＝（）A．−+1B．−−−1C．−+1D．−−1 5．（3分）下列命题中为假命题的是（）A．∃x∈R，x2＜1B．a2＝b2是a＝b的必要不充分条件C．集合{（x，y）|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示同一集合D．设全集为R，若A⊆B，则（∁R B）⊆（∁R A）6．（3分）函数y＝x+−2的值域是（）A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[2，+∞）7．（3分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则对任意实数a、b，“|a|＞|b|”是“f （a）＞f（b）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（3分）已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，则2r3r（）A．有最大值176B．有最大值145C．有最小值176D．有最小值145二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．在每小题给出的四个项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分．（多选）9．（3分）下列函数中为奇函数的有（）A．f（x）＝x2+1B．op=1C．f（x）＝2x D．f（x）＝|x|（多选）10．（3分）小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b（a＜b），其全程的平均速度为v，则（）A．＜＜B B．=B C．B＜＜r2D．=2B r（多选）11．（3分）函数f（x）＝ax2+2x+1与函数g（x）＝x a在同一个坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．（多选）12．（3分）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，则下列命题中正确的是（）A．对于任意集合A，都有A∈P（A）B．若n（A）﹣n（B）＝1，则n（P（A））＝2×n（P（B））C．若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝∅D．若A⊆B，则P（A）⊆P（B）三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．13．（3分）函数f（x）＝3﹣x2的单调减区间是．14．（3分）函数f（x）=2r2在区间[2，4]上的最小值为．15．（3分）已知幂函数f（x）＝x2m+1过点（3，27），若f（k2+3）+f（9﹣8k）＜0，则实数k的取值范围是．16．（3分）若区间[a，b]满足：①函数f（x）在[a，b]上有定义且单调；②函数f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的共鸣区间．请完成：（1）写出函数op=13的一个共鸣区间；（2）若函数op=2+1−存在共鸣区间，则实数k的取值范围是．四、解答题：本大共6小题，满分52分．解答应写出文字记明、证明过程或演算过程．17．（8分）（1）化简(214)12−(−9.6)0−(338)13；（2）若12+−12=6，求x2+x﹣2的值．18．（8分）已知集合M＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，N＝{x|x﹣a＞0}．（1）当a＝2时，求M∩N，M∪N；（2）若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（8分）已知函数op=2+2．（1）求f（1），f（2）的值；（2）设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；（3）若关于x的不等式o−1)≥2(−1)+2K1+恒成立，求实数m的取值范围．20．（8分）已知二次函数f（x）＝x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）若f（x）是偶函数，求m的值；（2）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的最大值．21．（10分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）满足关系式：= 50，0＜≤2060−140−，20＜≤120(∈p．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v不小于40千米/小时，求车流密度x的取值范围；（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y＝x⋅v，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．22．（10分）设函数y＝f（x）与函数y＝f（f（x））的定义域的交集为D，集合M是由所有具有性质：“对任意的x∈D，都有f（f（x））＝x”的函数f（x）组成的集合．（1）判断函数f（x）＝3x﹣2，g（x）=−1是不是集合M中的元素？并说明理由；（2）设函数h（x）＝kx+a（k≠1），φ（x）＝x+，且h（x）∈M，若对任意x1∈（﹣∞，1]，总存在x2∈[1，+∞），使12h（x1）＝φ（x2）成立，求实数a的取值范围．2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大共8小，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（3分）函数f（x）=+1−1的定义域是（）A．R B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．[﹣1，0）∪（0，+∞）【解答】解：函数f（x）=+1−1中，令+1≥0≠0，解得≥−1≠0，所以函数f（x）的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．故选：D．2．（3分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4，6}，集合B＝{1，5}，则A∩（∁U B）＝（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4，6}，集合B＝{1，5}，∴∁U B＝{2，3，4，6}，则A∩（∁U B）＝{2，4，6}．故选：B．3．（3分）已知函数op=2+1，≤0，−2，＞0，若f（x0）＝5，则x0的取值集合是（）A．{﹣2}B．{−52，2}C．{﹣2，2}D．{−2，2，−52}【解答】解：根据题意，函数op=2+1，≤0，−2，＞0，若f（x0）＝5，当x0≤0时，则f（x0）＝（x0）2+1＝5，解可得x0＝±2，又由x0≤0，则x0＝﹣2，当x0＞0时，则f（x0）＝﹣2x0＝5，解可得x0=−52，综合可得：x0＝﹣2，则x0的取值集合是{﹣2}；故选：A．4．（3分）函数f（x）为R上奇函数，且op=+1(＞0)，则当x＜0时，f（x）＝（）A．−+1B．−−−1C．−+1D．−−1【解答】解：函数f（x）为R上奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），又op=+1(＞0)，则当x＜0时，﹣x＞0，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（−+1）=−−−1．即x＜0时，f（x）=−−−1．故选：B．5．（3分）下列命题中为假命题的是（）A．∃x∈R，x2＜1B．a2＝b2是a＝b的必要不充分条件C．集合{（x，y）|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示同一集合D．设全集为R，若A⊆B，则（∁R B）⊆（∁R A）【解答】解：A．∃x∈R，取x=12，则x2=14＜1，因此是真命题；B．由a＝b⇒a2＝b2，反之不成立，例如取a＝1，b＝﹣1，满足a2＝b2，但是a≠b，因此a2＝b2是a＝b的必要不充分条件，因此是真命题；C．集合{（x，y）|y＝x2}表示点的集合，而集合{y|y＝x2}表示数的集合，它们不表示表示同一集合，因此是假命题；D．全集为R，若A⊆B，则（∁R B）⊆（∁R A），是真命题．故选：C．6．（3分）函数y＝x+−2的值域是（）A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：函数的定义域为[2，+∞），又函数为单调增函数，当x＝2时，取得最小值为2．∴值域是[2，+∞）．故选：B．7．（3分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则对任意实数a、b，“|a|＞|b|”是“f （a）＞f（b）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则对任意实数a、b，“|a|＞|b|”是“f（a）＞f（b）”的充要条件，故选：C．8．（3分）已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，则2r3r（）A．有最大值176B．有最大值145C．有最小值176D．有最小值145【解答】解：由a2﹣b+4＝0，得b＝a2+4，则a+b＝a2+a+4，即=2+r4，又a＞0，所以2r3r=3−r=3−2+r4=3−1r4+1≥3=3−15=145，当且仅当a=4，即a＝2，b＝8时等号成立，所以2r3r有最小值145，无最大值，故选：D．二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．在每小题给出的四个项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分．（多选）9．（3分）下列函数中为奇函数的有（）A．f（x）＝x2+1B．op=1C．f（x）＝2x D．f（x）＝|x|【解答】解：由f（x）＝x2+1为偶函数，故A不符题意；由f（x）=1为奇函数，故B符合题意；由f（x）＝2x为奇函数，故C符合题意；由f（x）＝|x|为偶函数，故D不符题意．故选：BC．（多选）10．（3分）小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b（a＜b），其全程的平均速度为v，则（）A．＜＜B B．=B C．B＜＜r2D．=2B r 【解答】解：根据题意，设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为+，则全程的平均速度=2+=2B r，D正确，又由b＞a＞0，由基本不等式可得B＜r2，则=2B r 2B=B，同时=2B r＜2(r2)2r=r2，−=2B r−=B−2r＞2−2r=0，v＞a，则＜＜B，A正确，故选：AD．（多选）11．（3分）函数f（x）＝ax2+2x+1与函数g（x）＝x a在同一个坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：对于A选项，函数y＝x a正确，可得出a＜0，此时二次函数图象开口向下，对称轴x=−12＞0，所给图象符合这一特征，故可能是A；不可能是B；对于选项C，函数y＝x a正确，可得出a＞0，此时二次函数图象开口向上，对称轴x=−12＜0，所给图象符合这一特征，故可能是C；对于选项D，函数y＝x a正确，可得出a＞0，此时二次函数图象开口向上，对称轴x=−12＜0，所给图象符合这一特征，故可能是D；故选：ACD．（多选）12．（3分）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，则下列命题中正确的是（）A．对于任意集合A，都有A∈P（A）B．若n（A）﹣n（B）＝1，则n（P（A））＝2×n（P（B））C．若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝∅D．若A⊆B，则P（A）⊆P（B）【解答】解：由P（A）的定义可知A正确，D正确，若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝{∅}，故C错误，若n（A）﹣n（B）＝1，即A中元素比B中元素多1个，则n（P（A））＝2n（P（B）），故B正确，故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．13．（3分）函数f（x）＝3﹣x2的单调减区间是（0，+∞）．【解答】解：根据二次函数的性质可知，f（x）＝3﹣x2的单调减区间[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．14．（3分）函数f（x）=2r2在区间[2，4]上的最小值为1．【解答】解：∵f（x）=2r2=2(r2)−4r2=2−4r2，∴函数f（x）在[2，4]上单调递增，则函数f（x）在区间[2，4]上的最小值为f（2）=2×22+2=1．故答案为：1．15．（3分）已知幂函数f（x）＝x2m+1过点（3，27），若f（k2+3）+f（9﹣8k）＜0，则实数k的取值范围是（2，6）．【解答】解：∵幂函数f（x）＝x2m+1过点（3，27），∴32m+1＝33，∴m＝1，幂函数f（x）＝x3，显然f（x）是奇函数，且在R上单调递增．若f（k2+3）+f（9﹣8k）＜0，则不等式即f（k2+3）＜f（8k﹣9），∴k2+3＜8k﹣9，∴2＜k＜6，故答案为：（2，6）．16．（3分）若区间[a，b]满足：①函数f（x）在[a，b]上有定义且单调；②函数f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的共鸣区间．请完成：（1）写出函数op=13的一个共鸣区间[0，1]；（2）若函数op=2+1−存在共鸣区间，则实数k的取值范围是[1，2）．【解答】解：（1）∵op=13，∴f（0）＝0，f（1）＝1，且函数f（x）在[0，1]上单调递增，故函数op=13的一个共鸣区间为[0，1]；（2）函数op=2+1−在其定义域[﹣1，+∞）是单调递增，∵函数op=2+1−存在共鸣区间，∴2+1−k＝x在[﹣1，+∞）有两个不同的解，即（+1−1）2＝2﹣k在[﹣1，+∞）有两个不同的解，故+1=1+2−或+1=1−2−，故0＜2−≤1，故1≤k＜2；故答案为：（1）[0，1]，（2）[1，2）．四、解答题：本大共6小题，满分52分．解答应写出文字记明、证明过程或演算过程．17．（8分）（1）化简(214)12−(−9.6)0−(338)13；（2）若12+−12=6，求x2+x﹣2的值．【解答】解：（1）原式=32−1−32=−1．（2）∵12+−12=6，∴(12+−12)2=x+2+x﹣1＝6，∴x+x﹣1＝4，∴（x+x﹣1）2＝x2+2+x﹣2＝16，∴x2+x﹣2＝14．18．（8分）已知集合M＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，N＝{x|x﹣a＞0}．（1）当a＝2时，求M∩N，M∪N；（2）若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：M＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，N＝{x|x＞a}，（1）当a＝2时，N＝{x|x﹣2＞0}＝{x|x＞2}，则M∩N＝{x|2＜x＜3}，M∪N＝{x|x＞﹣2}；（2）因为x∈N是x∈M的必要不充分条件，所以M⫋N，则a≤﹣2．19．（8分）已知函数op=2+2．（1）求f（1），f（2）的值；（2）设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；（3）若关于x的不等式o−1)≥2(−1)+2K1+恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数op=2+2，所以f（1）＝1+2＝3，f（2）＝4+1＝5；（2）f（a）﹣f（b）=2+2−2−2=(+p(−p+2(Kp B=（a﹣b）（a+b−2B），因为a＞b＞1，则a﹣b＞0，a+b＞2，0＜2B＜2，所以+−2B＞0，则f（a）﹣f（b）＞0，所以f（a）＞f（b）；（3）因为f（x﹣1）=(−1)2+2K1，所以不等式o−1)≥2(−1)+2K1+恒成立，等价于(−1)2+2K1≥2(−1)+2K1+m恒成立，整理可得x2﹣4x+3﹣m≥0恒成立，所以Δ＝（﹣4）2﹣4（3﹣m）≤0，解得m≤﹣1，所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．20．（8分）已知二次函数f（x）＝x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）若f（x）是偶函数，求m的值；（2）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的最大值．【解答】解：（1）二次函数f（x）＝x2﹣mx+m﹣1（m∈R），若f（x）是偶函数，可得f（x）的对称轴为y轴，即有2=0，解得m ＝0；（2）f （x ）的对称轴为x =2，当2≤−1，即m ≤﹣2时，f （x ）在[﹣1，1]上递增，可得g （m ）＝f （﹣1）＝2m ；当﹣1＜2＜1，即﹣2＜m ＜2时，f （x ）的最小值为g （m ）＝f （2）＝m ﹣1−24；当2≥1，即m ≥2时，f （x ）在[﹣1，1]上递减，可得g （m ）＝f （1）＝0．所以g （m ）=2，≤−2−1−24，−2＜＜20，≥2，当m ≤﹣2时，g （m ）≤﹣4；当﹣2＜m ＜2时，g （m ）=−(K2)24∈（﹣4，0）；当m ≥2时，g （m ）＝0．综上可得，g （m ）的最大值为0．21．（10分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：=50，0＜≤2060−140−，20＜≤120(∈p ．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y ＝x ⋅v ，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．【解答】解：（1）由题意，当x ＝120（辆/千米）时，v ＝0（千米/小时），代入=60−140−，得0＝60−140−120，解得k ＝1200．∴=50，0＜≤2060−1200140−，20＜≤120，当0＜x ≤20时，v ＝50≥40，符合题意；当20＜x ≤120时，令60−1200140−≥40，解得x ≤80，∴20＜x≤80．综上，0＜x≤80．故车流速度v不小于40千米/小时，车流密度x的取值范围为（0，80]；（2）由题意得，=50，0＜≤2060−1200140−，20＜≤120，当0＜x≤20时，y＝50x为增函数，∴y≤20×50＝1000，等号当且仅当x＝20时成立；当20＜x≤120时，y=60−1200140−=60(−20140−)=60[+20(140−p−2800140−]=60(20+2800140−(140−p−2800140−]≤60(160−=60(160−407)≈3250．当且仅当140﹣x=2800140−，即x＝140﹣207≈87∈（20，120]时成立，综上，y的最大值约为3250，此时x约为87．故隧道内车流量的最大值为3250辆/小时，车流量最大时的车流密度87辆/千米．22．（10分）设函数y＝f（x）与函数y＝f（f（x））的定义域的交集为D，集合M是由所有具有性质：“对任意的x∈D，都有f（f（x））＝x”的函数f（x）组成的集合．（1）判断函数f（x）＝3x﹣2，g（x）=−1是不是集合M中的元素？并说明理由；（2）设函数h（x）＝kx+a（k≠1），φ（x）＝x+，且h（x）∈M，若对任意x1∈（﹣∞，1]，总存在x2∈[1，+∞），使12h（x1）＝φ（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）不是集合M的元素，g（x）是集合M的元素．理由如下：因为对任意的x∈R，f（f（x））＝3（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8≠x，所以f（x）＝3x﹣2∉M；因为对于任意的x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（g（x））=−11−=，所以g（x）=−1∈M．（2）因为h（x）∈M，且h（x）＝kx+a（k≠1），则h（h（x））＝k（kx+a）+a＝x，即2=1B+=0，解得k＝1，a＝0（舍）或k＝﹣1，a∈R，故h（x）＝﹣x+a，当x≤1时，h（x）≥a﹣1，则12h（x）≥K12，则函数12h（x）的值域为[K12，+∞），因为对任意x1∈（﹣∞，1]，总存在x2∈[1，+∞），使12h（x1）＝φ（x2）成立，、则[K12，+∞）为φ（x）在[1，+∞）上值域的子集，φ（x）＝x+，当a≤1时，φ（x）在[1，+∞）上单调递增，所以φ（x）≥a+1，即φ（x）在[1，+∞）上的值域为[a+1，+∞），所以[K12，+∞）⊆[a+1，+∞），故1+≤K12≤1，解得a≤﹣3；当a＞1时，φ（x）在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，所以φ（x）≥φ（）＝2，则φ（x）在[1，+∞）上的值域为[2，+∞），所以[K12，+∞）⊆[2，+∞），故2≤K12＞1，解得≥9+45．综上所述，实数a的取值范围为(−∞，3]∪[9+45，+∞)．。
广东省华南师大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
广东省华南师大附中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题第一卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U =Z ，{}2,1,1,2A =--，{}2|320B x x x =-+=，则()U A B =ð（ ）． A ．{}1,2B ．{}1,2--C ．{}1,2-D ．{}1,2-2．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点的附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--= A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.53．函数()lg(10)f x x +-的定义域为（ ）．A ．RB ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．[1,10]D ．(1,10)4．设集合A =R ，集合{}|0B y y =>，下列对应关系中是从集合A 到集合B 的映射的是（ ）．A ．||x y x →=B ．21(1)x y x →=-C ．12xx y ⎛⎫→= ⎪⎝⎭D ．x y →=5．若2log 3a =，3log 2b =，1log 23c =，21log 3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ）．A ．a b c d <<<B ．d b c a <<<C ．d c b a <<<D ．c d a b <<<6．设函数2,0()(),0x x f x g x x ⎧>=⎨<⎩若()f x 是奇函数，则(2)f -的值是（ ）．A ．14B ．4C ．14-D ．4-7．设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则()y f x =（ ）．A ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,e)内均有零点B ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,e)内均无零点C ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，在区间(1,e)内无零点D ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，在区间(1,e)内有零点8．已知函数2x y =与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则不等式210f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤的解集为（ ）．A ．(2,1]--B ．[2,1]--C ．(,1][0,)-∞-+∞D ．(2,0)-9．函数2()log |1|f x x =-的大致图象是（ ）．A ．B ．C ．D．10．已知函数22,1()log ,1ax ax x f x x x ⎧-+-⎪=⎨>⎪⎩≤在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．03a <≤B ．2a ≥C ．23a ≤≤D ．02a <≤或3a ≥11．设函数()f x 定义在实数集上，(1)(1)f x f x +=-，且当1x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有（ ）．A ．11(2)32f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11(2)23f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．11(2)23f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11(2)32f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．已知函数2|21|,1()log (),1x x f x x m x +<⎧=⎨->⎩，若123()()()f x f x f x ==（1x 、2x 、3x 互不相等），且123x x x ++的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为（ ）． A ．0B ．1-C ．1D ．2第二卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数2()(1)1(0)x g x a a -=++>的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为__________．14．已知幂函数223()()m m f x x m --=∈Z 的图象关于y 轴对称，并且()f x 在第一象限是单调递减函数，则m =__________．15．函数212()log (23)f x x x =--的单调递增区间为__________． 16．已知函数2()|log |f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则n m +=__________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程） 17．（本小题满分10分）（1）计算0141333270.064[(2)]|0.01|8-⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭．（2）2log 33lg 2524++．18（本小题满分12分）设集合{}|2,12xA y y x ==≤≤，{}|0ln 1B x x =<<，{}|12,C x t x t t =+<<∈R ．（1）求A B ．（2）若A C C =，求t 的取值范围．19．（本小题满分12分） 已知函数2()1ax bf x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）确定函数()f x 的解析式．（2）当(1,1)x ∈-时判断函数()f x 的单调性，并证明．20．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单 单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式．（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．21．（本小题满分10分）函数()f x 对一切实数x 、y 均有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且(1)0f =． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式． （Ⅱ）解不等式(|3|)4f x -<．（Ⅲ）对任意的110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，210,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有12()2log ()a f x x +<，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分10分）定义：对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （Ⅰ）已知二次函数2()24()f x ax x a a =+-∈R ，试判断()f x 是否为定义域R 上的“局部奇函数”?若是，求出所有满足()()f x f x -=-的x 的值；若不是，请说明事由．（Ⅱ）若()2x f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围． （Ⅲ）若12()423x x f x m m +=-⋅+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．广东省华南师大附中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题参考答案第一卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U =Z ，{}2,1,1,2A =--，{}2|320B x x x =-+=，则()U A B =ð（ ）． A ．{}1,2B ．{}1,2--C ．{}1,2-D ．{}1,2-【答案】B【解析】{}2|320B x x x =-+=，2320x x -+=， (1)(2)0x x --=， 11x =，22x =，∴{}1,2B =， 又{}2,1,1,2A =--， ∴{}()1,2U A B =--ð． 故选B ．2．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点的附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--= A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5【答案】C【解析】由图中参考数据可得(1.43750)0f >，(1.40625)0f <， 又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为1.4． 故选C ．3．函数()lg(10)f x x +-的定义域为（ ）．A ．RB ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．[1,10]D ．(1,10)【答案】D【解析】本题主要考查函数的定义域． 对于函数2()lg(10)f x x +-，0≠，10x ->且100x ->，故定义域为{}|110x x <<． 故选D ．4．设集合A =R ，集合{}|0B y y =>，下列对应关系中是从集合A 到集合B 的映射的是（ ）．A ．||x y x →=B ．21(1)x y x →=-C ．12xx y ⎛⎫→= ⎪⎝⎭D ．x y →=【答案】C【解析】∵|0|0=，而0+∉R ，集合A 中的元素0在集合B 中没有像，故选项A 不是映射． 对于选项B ，集合A 中的元素1在集合B 中没有像，故选项B 不是映射．对于选项C ，集合A 中的所有元素在集合B 中都有唯一的像和它对应，故选项C 是映射． 对于选项D ，由于函数的定义域不是R ，故选项D 不是映射． 故选C ．5．若2log 3a =，3log 2b =，1log 23c =，21log 3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ）．A ．a b c d <<<B ．d b c a <<<C ．d c b a <<<D ．c d a b <<<【答案】A【解析】由于函数0.5log y x =在(0,)+∞上是减函数，故有0a b <<． 再由01c <<，0.30221d =>=，可得a b c d <<<． 故选A ．6．设函数2,0()(),0x x f x g x x ⎧>=⎨<⎩若()f x 是奇函数，则(2)f -的值是（ ）．A ．14B ．4C ．14-D ．4-【答案】C【解析】由()f x 是奇函数得()()f x f x =--，再由0x <时，()2x f x =，求出()g x 的解析式，再求出(2)g 的值． ∵()f x 为奇函数，0x <时，()2x f x =，∴0x >时，1()()22xxf x f x -=--=-=-， 即1()2x g x =-，1(2)4f =-． 故选C ．7．设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则()y f x =（ ）．A ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,e)内均有零点B ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,e)内均无零点C ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，在区间(1,e)内无零点D ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，在区间(1,e)内有零点【答案】D【解析】由题得3()3x f x x -'=，令()0f x '>得3x >，令()0f x '<得03x <<，()0f x '=得3x =，故知函数()f x 在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,)+∞为增函数， 在点3x =处有极小值1ln30-<， 又1(1)03f =>，e(e)103f =-<，1110e 3ef ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭． 故选D ．8．已知函数2x y =与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则不等式210f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤的解集为（ ）．A ．(2,1]--B ．[2,1]--C ．(,1][0,)-∞-+∞D ．(2,0)-【答案】B【解析】∵函数2x y =与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称， ∴2()log f x x =，∴221010f x x ⎛⎫⎛⎫--⇔-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，∴2011x <--≤，∴221x -<-≤，解得21x -<-≤． 故选B ．9．函数2()log |1|f x x =-的大致图象是（ ）．A ．B ．C ．D．【答案】A【解析】2()log |1|f x x =-中函数有定义， 则|1|0x ->，即{}|1x x x ∈≠， 则排除B ，C ，D ． 故选A ．10．已知函数22,1()log ,1ax ax x f x x x ⎧-+-⎪=⎨>⎪⎩≤在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．03a <≤B ．2a ≥C ．23a ≤≤D ．02a <≤或3a ≥【答案】C【解析】当1x ≤时，2()2f x x ax =-+-的对称轴为2ax =， 由递增可得，12a≤，解得2a ≥，当1x >时，()log a f x x =递增，可得1a >， 由x ∈R ，()f x 递增，即有12log 10a a -+-=≤， 解得3a ≤．综上可得，a 的范围是23a ≤≤． 故选C ．11．设函数()f x 定义在实数集上，(1)(1)f x f x +=-，且当1x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有（ ）．A ．11(2)32f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11(2)23f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11(2)23f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11(2)32f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由(1)(1)f x f x +=-，得函数()f x 关于1x =对称， 当1x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，为减函数，则当1x ≤时，函数()f x 为增函数， ∵(2)(11)f f =+ (11)f =- (0)f =， ∴11(0)32f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即11(2)32f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选D ．12．已知函数2|21|,1()log (),1x x f x x m x +<⎧=⎨->⎩，若123()()()f x f x f x ==（1x 、2x 、3x 互不相等），且123x x x ++的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为（ ）． A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】作出()f x 的图象，如图所示， 可令123x x x <<，则有图知点1(0)x ，2(,0)x关于直线12x =-对称，所以121x x +=-，又12318x x x <++<，所以329x <<，由于123()()()f x f x f x ==（1x 、2x 、3x 互不相等）， 结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得23log (9)m =-，解得1m =． 故选C ．第二卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数2()(1)1(0)x g x a a -=++>的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为__________． 【答案】(2,2)A【解析】解：令20x -=得2x =，则0(2)(1)12g a =++=， 所以函数()g x 的图象恒过定点(2,2)A ．14．已知幂函数223()()m m f x x m --=∈Z 的图象关于y 轴对称，并且()f x 在第一象限是单调递减函数，则m =__________．【答案】1【解析】因为幂函数223()()m m f x x m --=∈Z 的图象关于y 轴对称，所以函数()f x 是偶函数， ∴223m m --为偶数， ∴22m m -为奇数， 故1m =．15．函数212()log (23)f x x x =--的单调递增区间为__________．【答案】(,1)-∞-【解析】函数的定义域为{}|31x x x ><-或，令223t x x =--，则12log y t =， 因为12log y t=在(0,)+∞单调递减223t x x =--在(,1)-∞-单调递减，在(3,)+∞单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为(,1)-∞-．故答案为：(,1)-∞-．16．已知函数2()|log |f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则n m +=__________． 【答案】52【解析】由对数函数的性质知∵2()|log |f x x =正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，∴01m n <<<，以及1mn =，又函数在区间2[,]m n 上的最大值为2，由于()()f m f n =，2()2()f m f m =，故可得2()2f m =，即22|log |2m =，即22log 2m =-，即214m =， 可得12m =，2n =，则52m n +=． 三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程）17．（本小题满分10分）（1）计算0141333270.064[(2)]|0.01|8-⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭． （2）2log 33lg 2524++． 【答案】见解析．【解析】（1）0141333270.064[(2)]|0.01|8-⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭ 4113323320.41(2)0.01⎛⎫⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭=-+-+41170.41(2)0.1121616-=-+-+=-+=-． 综上所述，结论是：716-．（2）2log 33lg 2524++ 原式3232lg53lg 24=⨯⨯++ 3(lg5lg2)32=++ 39322=+=． 18（本小题满分12分）设集合{}|2,12x A y y x ==≤≤，{}|0ln 1B x x =<<，{}|12,C x t x t t =+<<∈R ． （1）求A B ．（2）若A C C =，求t 的取值范围．【答案】见解析．【解析】（1）{}|24A y y =≤≤，{}|1e B x x =<<， 所以{}|2e AB t t =<≤．（2）因为A C C =，所以C A ⊆，若C 是空集，则21t t +≤，得到1t ≤，若C 非空，则122412t t t t +⎧⎪⎨⎪+<⎩≥≤，得12t <≤， 综上所述，2t ≤，即t 的取值范围是(,2]-∞．19．（本小题满分12分） 已知函数2()1ax b f x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）确定函数()f x 的解析式．（2）当(1,1)x ∈-时判断函数()f x 的单调性，并证明．【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意可知()()f x f x -=-， ∴2211ax b ax b x x -++=-++， ∴0b =， ∴2()1ax f x x =+，又∵1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴1a =， ∴2()1x f x x =+． （2）当(1,1)x ∈-时，函数()f x 是增函数，证明如下：对于任意1x 、2(1,1)x ∈-，且12x x <， 则22221221112211221222222211212()(1)()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-----=-==++++++， ∵1211x x -<<<，∴210x x ->，1210x x ->，又∵2110x +>，2210x +>， ∴21122212()(1)0(1)(1)x x x x x x -->++， ∴21()()0f x f x ->，所以在(1,1)-上单调递增．20．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单 单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式．（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）由题意：当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x <≤时，设()v x ax b =+，再由已知得20002060a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故函数()v x 的表达式60,020()1(200),202003x v x x x <⎧⎪=⎨-⎪⎩≤≤≤． （Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得60,020()1(200),202003x x f x x x x <⎧⎪=⎨-⎪⎩≤≤≤，当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60201200⨯=，当20200x ≤≤时，211(200)10000(20)33(0)32x x x f x x +-⎡⎤-=⎢⎥⎣=⎦≤， 当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立．所以，当100x =时，()f x 在区间(20,200]上取得最大值100003． 综上所述，当100x =时，()f x 在区间[0,200]上取得最大值为1000033333≈。
2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高三(上)月考数学试卷(文科)(二)
2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高三（上）月考数学试卷（文科）（二）试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={x|（x-3）（x+1）＞0}.B={x||x-1|＞1}.则（∁R A）∩B=（）A.[-1.0）∪（2.3]B.（2.3]C.（-∞.0）∪（2.+∞）D.（-1.0）∪（2.3）=（）2.（单选题.5分）在复平面内.复数z对应的点与1+i对应的点关于实轴对称.则ziA.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i3.（单选题.5分）在一个圆柱内挖去一个圆锥.圆锥的底面与圆柱的上底面重合.顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形.则圆锥的侧面展开图面积为（）A.3πB.4πC. √5πD. √6π4.（单选题.5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层.红光点点倍加增.共灯三百八十一.请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯.且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍.则塔的顶层共有灯（）A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏5.（单选题.5分）已知f （x ）= {2x ，x ＜0a +log 2x ，x ≥0.若f （f （-1））=-1．则实数a 的值为（ ）A.-2B.2C.0D.16.（单选题.5分）已知 x ＞2，y =x +1x−2 .则y 的最小值为（ ）A.2B.1C.4D.37.（单选题.5分）已知x.y∈R .且x ＞y ＞0.则（ ）A. x −y ＞1x −1yB.cosx-cosy ＜0C. 1x −1y ＞0D.lnx+lny ＞08.（单选题.5分）将函数 f (x )=2sin (4x −π4) 的图象纵坐标不变.横坐标伸长到原来2倍.再向右平移 π4 个单位.得到函数g （x ）的图象.则g （0）=（ ）A. √2B.2C. −√2D.09.（单选题.5分）已知△ABC 的内角A.B.C 的对边分别为a.b.c.且（a+b ）2=c 2+ab.B=30°.a=4.则△ABC 的面积为（ ）A.4B.3 √3C.4 √3D.6 √310.（单选题.5分）等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=23.S 6=12a 8.则使S n 达到最大值的n 是（ ）A.10B.11C.12D.1311.（单选题.5分）黄金三角形有两种.其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形.它是顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如.正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成.如图所示.在一个黄金三角形ABC 中. BC AC =√5−12 .根据这些信息.可得sin234°=（ ） A. 1−2√54 B. −3+√58 C.- 1+√54D.- 4+√58 12.（单选题.5分）已知三棱锥D-ABC 的每个顶点都在球O 的表面上.AB⊥AC .AB=6. AC =2√6 .顶点D 在平面ABC 上的投影E 为BC 的中点.且DE=5.则球O 的表面积为（ ）A.16πB.17πC.60πD.64π13.（填空题.5分）已知幂函数f （x ）=x α的图象过点 (2，√2) .则函数f （x ）的定义域是___ ．14.（填空题.5分）已知向量 a ⃗=(1，−2) . b ⃗⃗=(2，m) .且 a ⃗∥b ⃗⃗ .则 a ⃗•b⃗⃗ =___ ． 15.（填空题.5分）已知实数x.y 满足 {2x −1≥0x −y ≤0x +y −2≤0.则目标函数z=2x+y 的最大值为___ ． 16.（填空题.5分）设函数f （x ）= ax 33−bx 2+a 2x −13在x=1处取得极值为0.则a+b=___ ． 17.（问答题.12分）在公差不为0的等差数列{a n }中.a 1.a 3.a 9成公比为a 3的等比数列.又数列{b n }满足 b n ={2a n ，n =2k −1，2n ，n =2k ，（k∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．18.（问答题.12分）如图.在四棱锥P-ABCD 中.底面ABCD 为平行四边形.AB=2AD=2. PD =BD =√3AD .且PD⊥底面ABCD ．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD ；（Ⅱ）求A 到平面PBC 的距离．19.（问答题.12分）某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查.张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y （单位：万只）与相应年份x （序号）的数据表和散点图（如图所示）.根据散点图.发现y 与x 有较强的线性相关关系． 年份序号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9年养殖山羊y/万只1.2 1.5 1.6 1.6 1.82.5 2.5 2.6 2.7 ∑(x i −x )29i=1=60 . ∑(x i −x )9i=1(y i −y )=12 ；（Ⅱ）李四提供了该县山羊养殖场的个数z （单位：个）关于x 的回归方程 ẑ=−2x +30 ． 试估计： ① 该县第一年养殖山羊多少万只？② 到第几年.该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b ̂ = i −x )(i −y )ni=1∑(x −x )2n . a ̂=y −b ̂x ．20.（问答题.12分）已知椭圆C ： x 2a 2 +y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √63 .两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 √2 ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与圆O ：x 2+y 2= 34 相切的直线l 交椭圆C 于A.B 两点（O 为坐标原点）.求△AOB 面积的最大值．21.（问答题.12分）已知函数f （x ）=lnx.g （x ）=x-1．（Ⅰ）证明：当x ＞0时.f （x ）≤g （x ）；（Ⅱ）若x∈[1.e]时.不等式 g(√x)≥af (x ) 成立.求a 的取值范围．22.（问答题.10分）在平面直角坐标系xOy 中.直线 C 1：√3x +y −4=0 .曲线 C 2：{x =cosφy =1+sinφ(φ 为参数）.以坐标原点O 为极点.以x 轴正半轴为极轴.建立极坐标系． （Ⅰ）求C 1.C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 3的极坐标方程为 θ=π3 （ρ＞0）.且曲线C 3分别交C 1.C 2于A.B 两点.求|AB|．23.（问答题.0分）已知函数f （x ）=|2x-4|+|x+1|.x∈R ．（1）解不等式f （x ）≤9；（2）若方程f （x ）=-x 2+a 在区间[0.2]有解.求实数a 的取值范围．2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高三（上）月考数学试卷（文科）（二）参考答案与试题解析试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={x|（x-3）（x+1）＞0}.B={x||x-1|＞1}.则（∁R A）∩B=（）A.[-1.0）∪（2.3]B.（2.3]C.（-∞.0）∪（2.+∞）D.（-1.0）∪（2.3）【正确答案】：A【解析】：先分别求出集合A.B.由此能求出C R A.进而能求出（∁R A）∩B．【解答】：解：∵集合A={x|（x-3）（x+1）＞0}={x|x＜-1或x＞3}.B={x||x-1|＞1}={x|x＜0或x＞2}.∴C R A={x|-1≤x≤3}.∴（∁R A）∩B={x|-1≤x＜0或2＜x≤3}=[-1.0）∪（2.3]．故选：A．【点评】：本题考查补集、交集的求法.考查补集、交集、不等式的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（单选题.5分）在复平面内.复数z对应的点与1+i对应的点关于实轴对称.则z=（）iA.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i【正确答案】：C.再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：由已知求得z.代入zi【解答】：解：由题意.z=1-i.则zi = 1−ii=(1−i)(−i)−i2=−1−i .故选：C．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.是基础题．3.（单选题.5分）在一个圆柱内挖去一个圆锥.圆锥的底面与圆柱的上底面重合.顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形.则圆锥的侧面展开图面积为（）A.3πB.4πC. √5πD. √6π【正确答案】：C【解析】：首先求出圆锥的母线的长和圆锥的底面周长.进一步利用侧面积公式的应用求出结果．【解答】：解：根据题意知：圆锥的高为2.圆锥的底面半径为1.所以圆锥的底面周长为2π.圆锥的母线长为√12+22=√5 .所以圆锥的侧面展开面的面积为S= 12×2π×√5=√5π．故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：圆锥的侧面的面积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．4.（单选题.5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层.红光点点倍加增.共灯三百八十一.请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯.且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍.则塔的顶层共有灯（）A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【正确答案】：B【解析】：设塔的顶层共有a1盏灯.则数列{a n}公比为2的等比数列.利用等比数列前n项和公式能求出结果．【解答】：解：设塔的顶层共有a 1盏灯.则数列{a n }公比为2的等比数列.∴S 7= a 1(1−27)1−2=381. 解得a 1=3．故选：B ．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．5.（单选题.5分）已知f （x ）= {2x ，x ＜0a +log 2x ，x ≥0.若f （f （-1））=-1．则实数a 的值为（ ）A.-2B.2C.0D.1【正确答案】：C【解析】：推导出f （-1）=2-1= 12 .由f （f （-1））=-1．的f （f （-1））=f （ 12 ）=a+log 2 12 =-1.由此能求出a ．【解答】：解：∵f （x ）= {2x ，x ＜0a +log 2x ，x ≥0 .∴f （-1）=2-1= 12 .∵f （f （-1））=-1．∴f （f （-1））=f （ 12 ）=a+log 2 12 =-1.解得a=0．故选：C ．【点评】：本题考查函数值的求法.考查函数性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．6.（单选题.5分）已知 x ＞2，y =x +1x−2 .则y 的最小值为（ ）A.2B.1C.4D.3【正确答案】：C【解析】：由 x ＞2，y =x +1x−2 =x-2+ 1x−2+2 .利用基本不等式即可求解．【解答】：解：∵ x ＞2，y =x +1x−2 =x-2+ 1x−2+2 ≥2+2=4. 当且仅当x-2= 1x−2 即x=3时取等号.则y 的最小值为4．故选：C ．【点评】：本题考查了基本不等式在求最值中的应用.属于基础题7.（单选题.5分）已知x.y∈R .且x ＞y ＞0.则（ ）A. x −y ＞1x −1yB.cosx-cosy ＜0C. 1x −1y ＞0D.lnx+lny ＞0【正确答案】：A【解析】：利用不等式的基本性质、取特殊值法即可得出．【解答】：解：A ．∵x ＞y ＞0.∴x -y-（ 1x - 1y ）=（x-y ）•1+xy xy ＞0.∴x -y ＞ 1x - 1y .因此正确； B ．取x=4π+ π6 .y=2π+ π3 .则cosx-cosy ＞0.因此不正确；C ．∵x ＞y ＞0.∴ 1y ＞ 1x .∴ 1y - 1x ＞0.因此不正确；D ．取x= 1e .y= 1e 2 .则lnx+lny=-3＜0.因此不正确．故选：A ．【点评】：本题考查了不等式的基本性质、取特殊值法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．8.（单选题.5分）将函数 f (x )=2sin (4x −π4) 的图象纵坐标不变.横坐标伸长到原来2倍.再向右平移 π4 个单位.得到函数g （x ）的图象.则g （0）=（ ）A. √2B.2C. −√2D.0【正确答案】：C【解析】：由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.求得函数g（x）的解析式.从而求得g（0）的值．【解答】：解：∵将函数f(x)=2sin(4x−π4)的图象纵坐标不变.横坐标伸长到原来2倍.可得y=2sin（2x- π4）的图象；再向右平移π4个单位.得到函数g（x）=2sin（2x- π2- π4）=-2sin[ π2-（2x- π4）]=-2cos（2x- π4）的图象.则g（0）=-2cos（- π4）=-2cos π4=- √2 .故选：C．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．9.（单选题.5分）已知△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c.且（a+b）2=c2+ab.B=30°.a=4.则△ABC的面积为（）A.4B.3 √3C.4 √3D.6 √3【正确答案】：C【解析】：首先利用余弦定理求出B的值.进一步判定三角形为等腰三角形.进一步利用面积公式的应用求出结果．【解答】：解：△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c.且（a+b）2=c2+ab.整理得a2+b2-c2=-ab.所以cosC=a2+b2−c22ab =−12.由于0＜C＜π.故C= 2π3．由于B=30°.a=4.则△ABC为等腰三角形.所以b=4．.所以S△ABC=12•4•4•√32=4 √3．故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．10.（单选题.5分）等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1=23.S6=12a8.则使S n达到最大值的n是（）A.10B.11C.12D.13【正确答案】：C【解析】：S6=12a8.所以a1+a62×6 =12（a1+7d）.又a1=23.所以d=-2.所以令a n=a1+（n-1）d=25-2n＞0.得n≤12.令a n＜0得.n≥13.即可得到结论．【解答】：解：依题意.S6=12a8.所以a1+a62×6 =12（a1+7d）.又a1=23.所以d=-2.令a n=a1+（n-1）d=25-2n＞0.得n≤12.令a n＜0得.n≥13.即a12＞0.a13＜0.所以使S n达到最大值的n是12.故选：C．【点评】：本题考查了等差数列的前n项和.等差数列的通项公式.属于基础题．11.（单选题.5分）黄金三角形有两种.其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形.它是顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如.正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成.如图所示.在一个黄金三角形ABC中. BCAC =√5−12.根据这些信息.可得sin234°=（）A. 1−2√54B. −3+√58C.- 1+√54D.- 4+√58【正确答案】：C【解析】：由已知求得∠ACB=72°.可得cos72°的值.再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解sin234°．【解答】：解：由图可知.∠ACB=72°.且cos72°= 12BC AC = √5−14． ∴cos144°=2cos 272°-1=-√5+14． 则sin234°=sin （144°+90°）=cos144°=- √5+14． 故选：C ．【点评】：本题考查三角函数的恒等变换.考查解读信息与应用信息的能力.是中档题． 12.（单选题.5分）已知三棱锥D-ABC 的每个顶点都在球O 的表面上.AB⊥AC .AB=6. AC =2√6 .顶点D 在平面ABC 上的投影E 为BC 的中点.且DE=5.则球O 的表面积为（ ） A.16π B.17π C.60π D.64π【正确答案】：D【解析】：由题意画出图形.求解三角形求外接球的半径.再由球的表面积公式求解．【解答】：解：如图.在△ABC 中.AB⊥AC .AB=6. AC =2√6 .∴ BC=√62+(2√6)2=2√15 . AE=1BC=√15．2设球O的半径为R.则15+（5-R）2=R2.∴R=4．∴球O的表面积为4πR2=64π．故选：D．【点评】：本题考查球的表面积的求法.考查空间想象能力与思维能力.是中档题．13.（填空题.5分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点(2，√2) .则函数f（x）的定义域是___ ．【正确答案】：[1][0.+∞）【解析】：依题意可求得α=2.从而可求f（x）的定义域．【解答】：解：∵f（x）=xα的图象过点（2. √2）.∴2α= √2 ..∴α= 12∴f（x）= x12 .∴函数f（x）的定义域是[0.+∞）．故答案为：[0.+∞）．【点评】：本题考查幂函数的性质.求得α是关键.属于基础题．14.（填空题.5分）已知向量a⃗=(1，−2) . b⃗⃗=(2，m) .且a⃗∥b⃗⃗ .则a⃗•b⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]10【解析】：利用平面向量的共线定理和坐标表示求出m的值.再计算a⃗•b⃗⃗的值．【解答】：解：向量a⃗=(1，−2) . b⃗⃗=(2，m) .且a⃗∥b⃗⃗ .∴1×m-（-2）×2=0.解得m=-4.∴ a⃗•b⃗⃗ =1×2+（-2）×（-4）=10．故答案为：10．【点评】：本题考查了平面向量的共线定理与数量积运算问题.是基础题．15.（填空题.5分）已知实数x.y 满足 {2x −1≥0x −y ≤0x +y −2≤0 .则目标函数z=2x+y 的最大值为___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由题意作出其平面区域.将z=2x+y 化为y=-2x+z.z 相当于直线y=-2x+z 的纵截距.由几何意义可得．【解答】：解：由题意作出其平面区域.将z=2x+y 化为y=-2x+z.z 相当于直线y=-2x+z 的纵截距. 则由 {x −y =0x +y −2=0 解得.x=1.y=1；故z=2x+y 的最大值是2×1+1=3. 故答案为：3．【点评】：本题考查了简单线性规划.作图要细致认真.属于中档题． 16.（填空题.5分）设函数f （x ）= ax 33−bx 2+a 2x −13 在x=1处取得极值为0.则a+b=___ ．【正确答案】：[1]- 79【解析】：求出导函数.根据定义可知f'（1）=a-2b+a 2=0.f （1）=0.得出a=1或a=- 23.由极值概念可知a=1不成立.故a=- 23 .b=- 19 .得出答案．【解答】：解：∵f （x ）= ax 33−bx 2+a 2x −13 .∴f'（x ）=ax 2-2bx+a 2. ∵在x=1处取得极值为0. ∴f'（1）=a-2b+a 2=0.f （1）=0. ∴a=1或a=- 23 .∵函数有极值.a=1不成立． ∴a=- 23 .b=- 19 . 故答案为- 79 ．【点评】：本题考查了极值的概念和导函数的应用.属于基础题型.应熟练掌握．17.（问答题.12分）在公差不为0的等差数列{a n }中.a 1.a 3.a 9成公比为a 3的等比数列.又数列{b n }满足 b n ={2a n ，n =2k −1，2n ，n =2k ， （k∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．【正确答案】：【解析】：（1）公差d 不为0的等差数列{a n }.由等比数列中项性质和等差数列的通项公式.解方程可得首项和公差.进而得到所求通项公式；（2）运用数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式.计算可得所求和．【解答】：解：（1）公差d 不为0的等差数列{a n }中.a 1.a 3.a 9成公比为a 3的等比数列. 可得a 32=a 1a 9.a 3=a 1a 3.可得（a 1+2d ）2=a 1（a 1+8d ）.a 1=1. 化简可得a 1=d=1. 即有a n =n.n∈N*；（2）由（1）可得b n = {2n ，n =2k −12n ，n =2k.k∈N*；前2n 项和T 2n =（2+8+16+…+22n-1）+（4+8+12+…+4n ）= 2(1−4n )1−4 + 12 n （4+4n ）= 2(4n −1)3 +2n （n+1）．【点评】：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用.考查数列的求和方法：分组求和.考查方程思想和运算能力.属于中档题．18.（问答题.12分）如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为平行四边形.AB=2AD=2. PD=BD=√3AD .且PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）求A到平面PBC的距离．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）证明AD⊥BD.BC⊥BD．PD⊥BC．然后证明BC⊥平面PBD．（Ⅱ）设A到平面PBC距离为d.由V P-ABC=V A-PBC.转化求解A到平面PBC的距离．【解答】：（Ⅰ）证明：∵AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.∵AD || BC.∴BC⊥BD．又∵PD⊥底面ABCD.∴PD⊥BC．∵PD∩BD=D.∴BC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD.BD⊂平面ABCD.∴PD⊥BD．∴ PB=√PD2+BD2=√6．由（1）BC⊥平面PBD.又PB⊂平面PBD.∴BC⊥PB．∴ S△PBC=12×BC×PB=12×1×√6=√62．又S△ABC=12×2×√32=√32.设A到平面PBC距离为d.由V P-ABC =V A-PBC 可得 13×S △ABC ×PD =13×S △PBC ×d . ∴ d =√62． 即A 到平面PBC 的距离为 √62 ．【点评】：本题考查等体积法的应用.点到平面的距离的求法.直线与平面垂直的判断定理的应用.考查空间想象能力以及计算能力.是中档题．19.（问答题.12分）某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查.张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y （单位：万只）与相应年份x （序号）的数据表和散点图（如图所示）.根据散点图.发现y 与x 有较强的线性相关关系．年份序号x 1 2 345 6 7 8 9 年养殖山羊y/万只1.2 1.5 1.6 1.6 1.82.5 2.5 2.6 2.7∑(x i −x )29i=1=60 . ∑(x i −x )9i=1(y i −y )=12 ；（Ⅱ）李四提供了该县山羊养殖场的个数z （单位：个）关于x 的回归方程 ẑ=−2x +30 ． 试估计： ① 该县第一年养殖山羊多少万只？② 到第几年.该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b ̂ = i −x )(i −y )ni=1∑(x −x )2n . a ̂=y −b ̂x ．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由已知求得 x 与 y .进一步得到 b ̂ 与 a ̂ 的值.则线性回归方程可求； （Ⅱ）由题意求得 y ̂•ẑ =-0.4x 2+4x+30. ① 在 y ̂•ẑ =-0.4x 2+4x+30中取x=1求解； ② 由题意得-0.4x 2+4x+30＜33.6.求解不等式得答案．【解答】：解：（Ⅰ）设y 关于x 的线性回归方程为 y ̂=b ̂x +a ̂ . 由 x =1+2+3+4+5+6+7+8+99=5 .y =1.2+1.5+1.6+1.6+1.8+2.5+2.5+2.6+2.79=2 .得 b ̂=i −x )(i −y )9i=1∑(x −x )29=1260=0.2 . ∴ a ̂=y −b̂x =2−0.2×5=1 . ∴y 关于x 的线性回归方程为 y ̂=0.2x +1 ；（Ⅱ）估计第x 年山羊养殖的只数 y ̂•ẑ=(0.2x +1)(−2x +30)=−0.4x 2+4x +30 . ① 第1年山羊养殖的只数为-0.4+4+30=33.6.故该县第一年养殖山羊约33.6万只； ② 由题意.得-0.4x 2+4x+30＜33.6.整理得（x-9）（x-1）＞0. 解得x ＞9或x ＜1（舍去）．∴到第10年该县山羊养殖的数量相比第1年缩小了．【点评】：本题考查线性回归方程的求法.考查计算能力.是基础题．20.（问答题.12分）已知椭圆C ： x 2a 2 +y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √63 .两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 √2 ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与圆O ：x 2+y 2= 34 相切的直线l 交椭圆C 于A.B 两点（O 为坐标原点）.求△AOB 面积的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知可得关于a.b.c 的方程组.求解可得a.b.c 的值.则椭圆方程可求； （2）当k 不存在时.求出△AOB 的面积；当k 存在时.设直线为y=kx+m.A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.将直线y=kx+m 代入椭圆方程.运用韦达定理和弦长公式.以及直线和圆相切的条件得m 与k 的关系.结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l 的方程．【解答】：解：（1）由题意可得.e= ca =√63.a 2-b 2=c 2.bc= √2 . 解得a= √3 .b=1.c= √2 .即有椭圆的方程为 x 23 +y 2=1；（2）当k 不存在时.x=± √32 .可得y=± √32. S △OAB = 12 × √3 × √32 = 34 ；当k 存在时.设直线为y=kx+m （k≠0）.A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）. 将直线y=kx+m 代入椭圆方程可得（1+3k 2）x 2+6kmx+3m 2-3=0. x 1+x 2=- 6km1+3k 2 .x 1x 2= 3m 2−31+3k 2 .由直线l 与圆O ：x 2+y 2= 34 相切.可得 |m|√1+k2=√32. 即有4m 2=3（1+k 2）. |AB|= √1+k 2 • √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √1+k 2 • √(−6km 1+3k 2)2−12(m 2−1)1+3k 2= √3 • √1+10k 2+9k 41+6k 2+9k 4 = √3 • √1+4k 21+6k 2+9k 4 = √3 • √1+49k 2+1k2+6≤ √3 • √1+42√9+6=2 .当且仅当9k 2= 1k 2 .即k=± √33 时等号成立. 可得S △OAB = 12 |AB|•r≤ 12 ×2× √32 = √32 . 即有△OAB 面积的最大值为 √32 ． 此时直线方程y=± √33x ±1．【点评】：本题考查椭圆的方程的求法.考查直线与椭圆位置关系的应用.训练了利用基本不等式求最值.属于中档题．21.（问答题.12分）已知函数f （x ）=lnx.g （x ）=x-1． （Ⅰ）证明：当x ＞0时.f （x ）≤g （x ）；（Ⅱ）若x∈[1.e]时.不等式 g(√x)≥af (x ) 成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）令k（x）=f（x）-g（x）.讨论函数h（x）的单调性.得出最值.可证；（Ⅱ）令ℎ(x)=af(x)−g(√x)=alnx−√x+1 .则ℎ′(x)=ax −2√x=2a−√x2x.讨论h′（x）的符号.得出函数h（x）的单调性；从而得出参数的范围；【解答】：解：（Ⅰ）令k（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1.x＞0.∴ k′(x)=1x −1=1−xx.∴当x∈（0.1）时.k'（x）＞0.k（x）单调递增.当x∈（1.+∞）时.k'（x）＜0.k（x）单调递减.∴当x=1时.k（x）取得最大值.∴k（x）≤k（1）=0. 即f（x）-g（x）≤0.∴当x＞0时.f（x）≤g（x）．（Ⅱ）令ℎ(x)=af(x)−g(√x)=alnx−√x+1 .则ℎ′(x)=ax −2√x=2a−√x2x.① 当a≤0时.h'（x）＜0.所以函数h（x）在[1.e]上单调递减.所以h（x）≤h（1）=0.所以a≤0满足题意．② 当a＞0时.令h'（x）=0.得x=4a2.所以当x∈（0.4a2）时.h'（x）＞0.当x∈（4a2.+∞）时.h'（x）＜0．所以函数h（x）在（0.4a2）上单调递增.在（4a2.+∞）上单调递减．（ⅰ）当4a2≥e.即a≥√e2时.h（x）在[1.e]上单调递增.所以ℎ(x)≤ℎ(e)=a−√e+1≤0 .所以a≤√e−1 .此时无解．（ⅱ）当1＜4a2＜e.即12＜a＜√e2时.函数h（x）在（1.4a2）上单调递增.在（4a2.e）上单调递减．所以h（x）≤h（4a2）=aln（4a2）-2a+1=2aln（2a）-2a+1≤0．设m(x)=2xln(2x)−2x+1(12＜x＜√e2) .则m'（x）=2ln（2x）＞0.所以m（x）在(12，√e2)上单调递增. m(x)＞m(12)=0 .不满足题意．（ⅲ）当0＜4a2≤1.即0＜a≤12时.h（x）在[1.e]上单调递减.所以h（x）≤h（1）=0.所以0＜a≤12满足题意．故a的取值范围为(−∞，12]．【点评】：本题考查构造函数证明不等式.函数单调性.函数最值；不等式恒成立.分离讨论思想.属于难题．22.（问答题.10分）在平面直角坐标系xOy 中.直线 C 1：√3x +y −4=0 .曲线 C 2：{x =cosφy =1+sinφ(φ 为参数）.以坐标原点O 为极点.以x 轴正半轴为极轴.建立极坐标系． （Ⅰ）求C 1.C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 3的极坐标方程为 θ=π3 （ρ＞0）.且曲线C 3分别交C 1.C 2于A.B 两点.求|AB|．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）把x=ρcosθ.y=ρsinθ.代入曲线C 1的直角坐标方程.可得C 1的极坐标方程；把曲线C 2中的参数消去.得到C 2的普通方程.结合极坐标与直角坐标的互化公式求得C 2的极坐标方程；（Ⅱ）把 θ=π3 代入两曲线的极坐标方程.分别求得A.B 的极径.则|AB|可求．【解答】：解：（Ⅰ）把x=ρcosθ.y=ρsinθ.代入 C 1：√3x +y −4=0 .得 C 1：√3ρcosθ+ρsinθ−4=0 ；由 {x =cosφy =1+sinφ .消去参数φ.得x 2+（y-1）2=1.代入x=ρcosθ.y=ρsinθ.得（ρcosθ）2+（ρsinθ-1）2=1.即ρ2-2ρsinθ=0.∴C 2：ρ=2sinθ；（Ⅱ）曲线C 3为 θ=π3(ρ＞0) .设A （ρ1. π3 ）.B （ρ2. π3 ）.则 ρ1=√3cos π3+sin π3=4√33 . ρ2=2sin π3=√3 . ∴ |AB |=ρ1−ρ2=√33 ．【点评】：本题考查简单曲线的极坐标方程.考查参数方程化普通方程.是基础的计算题．23.（问答题.0分）已知函数f （x ）=|2x-4|+|x+1|.x∈R ．（1）解不等式f （x ）≤9；（2）若方程f （x ）=-x 2+a 在区间[0.2]有解.求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）通过讨论x 的范围得到关于x 的不等式组.解出即可；（2）根据题意.原问题可以等价函数y=a 和函数y=x 2-x+5图象在区间[0.2]上有交点.结合二次函数的性质分析函数y=x 2-x+5的值域.即可得答案．【解答】：解：（1）f （x ）≤9可化为|2x-4|+|x+1|≤9.故 {x ＞23x −3≤9 .或 {−1≤x ≤25−x ≤9 .或 {x ＜−1−3x +3≤9；…（2分） 解得：2＜x≤4.或-1≤x≤2.或-2≤x ＜-1； …（4分）不等式的解集为[-2.4]；…（5分）（2）由题意：f （x ）=-x 2+a⇔a=x 2-x+5.x∈[0.2]．故方程f （x ）=-x 2+a 在区间[0.2]有解⇔函数y=a 和函数y=x 2-x+5.图象在区间[0.2]上有交点 ∵当x∈[0.2]时.y=x 2-x+5∈[ 194 .7]∴.实数a 的取值范围是[ 194 .7]…………………（10分）【点评】：本题考查绝对值不等式的性质以及应用.注意零点分段讨论法的应用.属于中档题．。