整式的乘法同底数幂的乘法
第14章整式知识点
第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．⑵幂的乘方：()n m mn a a =（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．⑶幂的乘方：()nn n ab a b =（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．（4）幂的除法：n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减．（5）零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．（6）负指数幂的概念：a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用其中一个多项式除以另一个多项式再把所得的商相加4.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++； ()2222a b a ab b -=-+ 二、因式分解：因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
整式及乘法公式
第一讲 整式及乘法公式第一部分 知识梳理一、基本概念1．同底数幂乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即n m n m a a a +=⋅（m 、n 都是正整数） 2．幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即()mn nm a a =（m 、n 都是正整数）3．积的乘方积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()nn nb a ab = （n为整数）二、平方差公式及完全平方公式（1）平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2；（2）完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2;（a-b ）2=a 2-2ab+b 2，其中a 、b 可以是正数，也可以是负数，既可以是单项式，也可以是多项式。
三、整式的乘法1．单项式相乘，把它们的________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则________．2．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘________，再把所得的积________． 3．多项式与多项式相乘，先用________乘以________，再把所得的积________．第二部分 例题与解题思路方法归纳【例题1】 阅读下列材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘个n a a a ⋯⋅记为a n ．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若a n=b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b=n ）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24=，log216=，log264=．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明上述结论．〖选题意图〗本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．〖解题思路〗首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；（3）有特殊到一般，得出结论：log a M+log a N=log a（MN）；（4）首先可设log a M=b1，log a N=b2，再根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明结论．〖参考答案〗解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）4×16=64，log24+log216=log264；（3）log a M+log a N=log a（MN）；（4）证明：设log a M=b1，log a N=b2，则=M，=N，∴MN=，∴b1+b2=log a（MN）即log a M+log a N=log a（MN）．【课堂训练题】1．已知2a•5b=2c•5d=10，求证：（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．〖参考答案〗证明：∵2a•5b=10=2×5，∴2a﹣1•5b﹣1=1，∴（2a﹣1•5b﹣1）d﹣1=1d﹣1，①同理可证：（2c﹣1•5d﹣1）b﹣1=1b﹣1，②由①②两式得2（a﹣1）（d﹣1）•5（b﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1）•5（d﹣1）（b﹣1），即2（a﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1），∴（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．2．若a m=a n（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x=222，求x的值；②如果（27﹣x）2=38，求x的值．〖参考答案〗解：（1）∵2×8x×16x=21+3x+4x=222，∴1+3x+4x=22，解得，x=3（2）∵（27﹣x）2=3﹣6x=38，∴﹣6x=8，解得x=﹣【例题2】设m=2100，n=375，为了比较m与n的大小。
整式的乘法运算
整式的乘法运算整式是指由数字及其对应的字母和指数所组成的代数式。
整式的乘法运算是指对两个或多个整式进行相乘的操作。
本文将介绍整式的乘法运算规则，并提供一些例子来帮助读者更好地理解。
一、同底数幂的乘法当两个整式的底数相同时，它们的指数进行相加。
例如：(3x^2)(4x^3) = 3 * 4 * x^2 * x^3 = 12x^5解析：相乘后，指数相加得到5，底数保持不变。
二、不同底数幂的乘法当两个整式的底数不同但指数相同时，它们的底数进行相乘。
例如：(2x^2)(3y^2) = 2 * 3 * x^2 * y^2 = 6x^2y^2解析：相乘后，底数相乘，指数保持不变。
三、含有常数项的整式乘法含有常数项的整式乘法的运算规则与上述相同。
例如：(2x^2 + 3)(4x - 5) = 2x^2 * 4x + 2x^2 * (-5) + 3 * 4x + 3 * (-5)= 8x^3 - 10x^2 + 12x - 15解析：将每一项按照规则进行相乘，再将结果合并。
四、多项式乘法多项式乘法是指含有多个整式的乘法运算。
例如：(2x + 3)(4x - 5) = 2x * 4x + 2x * (-5) + 3 * 4x + 3 * (-5)= 8x^2 - 10x + 12x - 15= 8x^2 + 2x - 15解析：将每一项按照规则进行相乘，再将结果合并。
五、分配律的运用在整式的乘法运算中，分配律是一个重要的运算法则。
例如：3(2x - 1) = 3 * 2x - 3 * 1 = 6x - 3解析：每一项都与括号外的数进行相乘。
六、乘法的交换律和结合律整式的乘法满足乘法的交换律和结合律。
例如：2x * y = y * 2x = 2xy解析：乘法的交换律代表乘法顺序可以任意调整；乘法的结合律代表多个整式相乘的结果可以按任意顺序进行。
综上所述，整式的乘法运算遵循一定的规则，根据底数和指数的不同情况进行相应的运算。
整式的乘除知识点整理
一、知识点归纳： （一）幂的四种运算：1、同底数幂的乘法：⑴语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ⑵字母表示：a m ·a n = a m+n ；(m ，n 都是整数) ；⑶逆运用：a m+n = a m ·a n2、幂的乘方：⑴语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘； ⑵字母表示：(a m ) n = a mn ；(m ，n 都是整数)； ⑶逆运用：a mn =(a m )n =(a n )m ；3、积的乘方：⑴语言叙述：积的乘方，等于每个因式乘方的积； ⑵字母表示：(ab)n = a n b n ；(n 是整数)； ⑶逆运用：a n b n = (a b)n ；4、同底数幂的除法：⑴语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减；⑵字母表示：a m ÷a n = a m-n ；(a≠0，m 、n 都是整数)； ⑶逆运用：a m-n = a m ÷a n .（二）整式的乘法：1、单项式乘以单项式：⑴语言叙述：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
⑵实质：分三类乘：⑴系数乘系数；⑵同底数幂相乘；⑶单独一类字母，则连同它的指数照抄； 2、单项式乘以多项式：⑴语言叙述：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。
⑵字母表示：c)＝ma ＋mb ＋mc ；（注意各项之间的符号！） 3、多项式乘以多项式：(1)语言叙述：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；(2)字母表示：＝mn ＋mb ＋an ＋ab ；（注意各项之间的符号！） 注意点：⑴在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。
⑵多项式的每一项都包含它前面的符号，确定乘积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。
⑶运算结果中如果有同类项，则要 合并同类项（三）乘法公式： 1、平方差公式：(1)语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解一、知识点1.幂的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即，am·an＝am＋n（m、n为正整数）。
例如：(－2a)2(－3a2)3 = 4a2·-27a6 = -108a8.2.幂的乘方性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即，a(mn)＝(am)n（m、n为正整数）。
例如：(－a5)5 = (-1)5·a25 = a25.3.积的乘方性质：积的乘方等于各因式乘方的积。
即，(ab)n = an·bn（n为正整数）。
例如：(－a2b)3 = (-1)3·a6·b3 = -a6b3.4.幂的除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即，a/m ÷ a/n = a(m-n)（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）。
例如：(1) x8÷x2 = x6；(2) a4÷a = a3；(3) (ab)5÷(ab)2 = a3b3.5.零指数幂的概念：a0 = 1（a≠0）。
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1.例如：若(2a-3b)0=1成立，则a,b满足任何条件。
6.负指数幂的概念：a-p = 1/ap（a≠0，p是正整数）。
任何一个不等于零的数的-p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。
例如：(m/n)-2 = n2/m2.7.单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：(1) 3a2b·2abc·abc2 = 6a4b2c3；(2) (-m3n)3·(-2m2n)4 = -8m14n7.8.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
例如：(1) 2ab(5ab+3ab) = 16a2b2；(2) (ab2-2ab)·ab = a2b3-ab2.9.多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
同底数幂乘法经典例题讲解-知识复习
9、明确乘方的底数： -a 2 和-a3底数都是a;（-a）2和（-a）3底数都是-a
注意 条件：①乘法
②底数相同
结果：①底数不变 ②指数相加
练一练
下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正.
(1)b3·b3=2b3
× b6
(2)b3+b3=b6
（2）已知an-3·a2n+1=a10,求n的值; 解：n-3+2n+1=10,
n=4; （3） 3×27×9 = 32x-4,求x的值;
解：3×27×9 =3×33×32=32x-4,
2x-4=6;
x=5.
课堂小结
am·an=am+n (m,n都是正整数）
同底数幂 的乘法
法则
am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数）
=x2 x（3 -x）2 =-x7
例3 (1) (-x)3 (-x)5 (-x6)+4 x10 x4
= (-x3) (-x5) (-x6)+4x14
= -x14 +x14
=0
(3) 2n +2n -3×2n+1
整式的乘法 复习总结
1、同底数幂相乘运算法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即 a m ·a n= a m+n(m,n都是正整数)
2、会逆用法则： 即 a m+n=a m ·a n (m,n都是正整数)
3、注意 am ·an 与am + an的区别 4、不能疏忽指数为1的情况：如a·an =an+1 5、若底数不同，先将底数化为一致 6、注意： 注意负数分数的乘方要加括号 7、区分： -a 2和（-a）2、-a3和（-a）3
14.1.4整式的乘法同底数幂的除法(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解整式的乘法同底数幂的除法的基本概念。整式的乘法是指将两个或多个整式相乘，而同底数幂的除法是指将相同底数的幂相除。这些运算是代数表达式中非常重要的一部分，它们帮助我们简化计算，解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，计算4个边长为2米的正方形拼成的长方形的面积。这里，我们可以将正方形的边长表示为2^1，面积就是(2^1)^2，长方形的面积就是4个这样的正方形面积相加，即4×(2^1)^2。通过整式的乘法，我们可以得到答案16平方米。
-在处理多项式乘法时，学生可能难以识别和运用同底数幂的乘法法则，需要引导他们逐步分解和组合。
-例如：对于表达式(3x^2y^3) × (2x^3y)，学生需要先分别对x和y的同底数幂进行乘法运算，即3×2=6（系数乘法），x^(2+3)=x^5，y^(3+1)=y^4，然后将结果组合起来得到6x^5y^4。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我深刻地感受到了同学们对整式的乘法同底数幂的除法这一知识点的学习热情。从导入新课到总结回顾，大家积极参与，课堂氛围良好。但在教学过程中，我也发现了一些需要改进的地方。
首先，理论讲授部分，我尽量用生动的语言和例子解释整式的乘法同底数幂的除法法则，但仍有部分同学在理解上存在困难。这说明我在讲解时可能需要更加简洁明了，用更多贴近生活的例子来帮助他们理解。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，使用代数表达式计算实际物体的面积或体积。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“整式的乘法同底数幂的除法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
整式乘法的运算法则
整式乘法的运算法则整式乘法是代数学中的基本运算之一，它是指对两个或多个整式进行乘法运算的过程。
在整式乘法中，有一些基本的运算法则需要遵循，这些法则可以帮助我们正确地进行整式乘法运算，得到正确的结果。
本文将介绍整式乘法的运算法则，并通过例题来加深理解。
一、同底数幂的乘法同底数幂的乘法是整式乘法中的一个基本法则。
当两个幂的底数相同时，它们的乘积等于底数不变，指数相加。
例如，a^m * a^n = a^(m+n)。
这条法则可以帮助我们简化整式的乘法运算，将同底数幂的乘法转化为指数相加的形式，从而更容易进行计算。
例如，计算3x^2 * 4x^3：根据同底数幂的乘法法则，我们可以将3x^2 * 4x^3转化为12x^(2+3)，即12x^5。
因此，3x^2 * 4x^3 = 12x^5。
二、一元多项式的乘法一元多项式的乘法是整式乘法中常见的情况。
一元多项式是指只含有一个变量的多项式，例如3x^2+2x+1就是一个一元多项式。
在进行一元多项式的乘法时，我们需要将每一项与另一个多项式的每一项进行乘法运算，然后将结果进行合并。
例如，计算(2x+3)(4x+5)：首先，我们将(2x+3)与4x进行乘法运算，得到8x^2+12x；然后，将(2x+3)与5进行乘法运算，得到10x+15。
最后，将这两个结果相加，得到最终的结果8x^2+22x+15。
三、多项式的乘法分配律多项式的乘法分配律是指一个多项式与另一个多项式的和的乘法等于这个多项式与另一个多项式分别相乘之后的和。
这条法则可以帮助我们简化整式的乘法运算，将一个多项式与另一个多项式的和转化为分别相乘之后的和，从而更容易进行计算。
例如，计算(2x+3)(4x+5)+(2x+3)(6x-1)：根据多项式的乘法分配律，我们可以将这个式子转化为(2x+3)(4x+5)+(2x+3)(6x-1) = (2x+3)(4x+5+6x-1)。
然后，我们将(4x+5+6x-1)进行合并，得到(2x+3)(10x+4)。
幂的运算 整式的乘法
幂的运算整式的乘法1、幂的运算（1）同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即： a m·a n=a m＋n（ m 、 n 都是正整数）（2）幂的乘方：底数不变，指数相乘即： (a m)n=a mn（ m 、 n 都是正整数）（3）积的乘方：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即： (ab)n=a n b n（4）同底数幂的除法：同底数幂相除、底数不变、指数相减。
即： a m÷a n=a m-n（a≠0 ， m 、 n 都是正整数且 m>n）2、整式的乘法（1）单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，只要将它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.（3）多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)=am＋bm＋an＋bn3、幂的运算法则的逆向应用（m,n为正整数）a m＋n=a m·a na mn=(a m)na nb n=(ab)n例1、以下计算是否准确，错的请指出错因，并加以改正．（1）x5·x5=2x5(2)x3·x3=x9(3)(-2a3)2=－2a6(4)(a n+1)3=a3n+1例2、（1）比较：355，444，533；（2）已知a m=2，a n=3，求a3m＋2n的值；（3）已知2a=3，2b=6，2c=12，求a、b、c之间的关系.例3、计算：（4）(x m＋1x2n)3÷x m+n（5）(a＋b)5÷(－a－b)3·(－a－b)2例4、已知求代数式例6、计算：（1）(－3ab)(2a2b＋ab－1)(2)a n b2[3b n－1－2ab n＋1＋(－1)2005]例7、计算：（1）(a－2b)(5a＋3b)（2）(x＋y)(x2－xy＋y2)（3）（3x＋1）(x＋1)－(2x－1)(x－1)－3x(x－2)－2x(－3x) 例8、若(x2＋px＋q)(x2－3x＋2)的乘积中不含x2和x3项，求p、q的值. 12、解方程（1）2x(5－4x)＋5x(7－2x)=9x(8－2x)－108（2）(x－2)(x－3)＋2(x＋6)(x－5)=3(x2－7x＋15) 11、计算（1） (－x)2·x3·(－2y)3－(－2xy)2·(2x)3·y （2） [(－x2y)3]3·(－x3y3)2·(－xy2)5（3）（4） (x m＋2·x n)3÷x2m＋n。
北师大版数学七年级下册1.1同底数幂的乘法(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“同底数幂乘法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在小组讨论环节，学生们表现得积极主动，能够围绕同底数幂乘法在实际生活中的应用展开讨论。但在分享成果时，我发现有些小组对问题的分析不够深入，这可能是因为他们在讨论过程中没有充分考虑到问题的各个方面。为此，我计划在下一节课中增加一些引导性的问题，帮助学生更好地展开讨论。
在实践活动方面，我认为将实验操作与理论讲解相结合的方式有助于学生加深对同底数幂乘法的理解。但在操作过程中，我也注意到有些学生动手能力较弱，导致实验结果不够理想。针对这一问题，我打算在今后的教学中增加一些简单的计算练习，以提高学生的动手能力。
-识别：学生在理解幂的乘方运算时，可能难以把握指数的变化规律，以及何时应用该运算。
-举例解释：通过具体案例，如（x^2）^3=x^6，解释幂的乘方运算，强调“指数相乘”的概念。
-教学方法：采用直观图示、实际操作、重复练习等方法，帮助学生构建清晰的认识，并能够灵活应用。
-难点内容：同底数幂乘法法则在解决实际问题中的应用。
2.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算，解决实际问题，并掌握幂的乘方运算，即（am）n=amn（a≠0，m、n是正整数）。通过实例分析与练习，让学生理解并熟练运用这些法则。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过同底数幂乘法法则的推导与应用，让学生理解数学知识之间的内在联系，提高逻辑推理能力。
整式的乘法
整式的乘法包括（单项式）与（单项式）相乘；(单项式)与（多项式）相乘；（多项式）与（多项式）相乘单项式与单项式相乘的运算法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
整式乘法法则：1、同底数的幂相乘：法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
数学符号表示：a m.a n=a m+n（其中m、n为正整数）2、幂的乘方：法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
数学符号表示：（a m）n=a mn（其中m、n为正整数）3、积的乘方：法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（即等于积中各因式乘方的积。
）数学符号表示：（ab）n=a n b n（其中n为正整数）4、单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
5、单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
6、多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
7、乘法公式：平方差公式：（a+b）·（a-b）=a2-b2，完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2。
整式乘法运算：单项式乘以单项式法则：单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式.注：单项式乘以单项式，实际上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法则完成的。
①．积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误是，将系数相乘与指数相加混淆，如2a3·3a2=6a5，而不要认为是6a6或5a5.②．相同字母的幂相乘，运用同底数幂的乘法运算性质.③．只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式.④．单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.⑤．单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.单项式乘以多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加.法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.方法总结：在探究多项式乘以多项式时，是把某一个多项式看成一个整体，利用分配律进行计算，这里再一次说明了整体性思想在数学中的应用。
八年级数学上册听课记录：第十四章整式的乘法与因式分解《整式的乘法：同底数幂的乘法》
新2024秋季八年级人教版数学上册第十四章整式的乘法与因式分解《整式的乘法：同底数幂的乘法》听课记录一、教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解同底数幂的乘法法则，掌握其运算方法，并能准确进行运算。
2.过程与方法：通过具体实例的探究，引导学生发现同底数幂乘法的规律，培养学生的观察、归纳和推理能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养严谨、细致的学习态度，以及合作学习的精神。
二、导入教师行为：•教师首先展示几个同底数幂的乘法实例，如a2⋅a3、54⋅52，让学生观察这些表达式的结构特点。
•提出问题：“同学们，你们能发现这些表达式有什么共同之处吗？我们能否直接得出它们的结果，而不需要一步一步地展开计算呢？”引导学生思考同底数幂乘法可能存在的规律。
学生活动：•学生认真观察教师给出的例子，尝试找出它们之间的共同点。
•思考教师提出的问题，与同桌或小组内成员讨论可能的答案。
过程点评：•导入环节通过直观展示和问题引导，有效地激发了学生的好奇心和探究欲，为学习同底数幂的乘法法则做好了铺垫。
•学生积极参与讨论，初步感知了同底数幂乘法的规律，为后续学习打下了基础。
三、教学过程3.1 讲解同底数幂的乘法法则教师行为：•明确给出同底数幂的乘法法则：“am⋅an=am+n”，并解释其含义：同底数幂相乘时，底数不变，指数相加。
•通过具体例子演示法则的应用，如计算x2⋅x3、24⋅25等，让学生观察结果并验证法则的正确性。
学生活动：•认真听讲，记录同底数幂的乘法法则，并尝试理解其含义。
•跟随教师的演示，自己完成例题的计算，验证法则的正确性。
过程点评：•教师讲解清晰、准确，通过具体例子帮助学生理解同底数幂的乘法法则及其应用。
•学生通过动手计算，加深了对法则的理解和掌握。
3.2 探究与巩固教师行为：•设计一系列由易到难的练习题，要求学生独立完成，以巩固同底数幂的乘法法则。
•鼓励学生尝试自己编写同底数幂的乘法题目，并解答，以加深理解。
《同底数幂的乘法》整式的乘法与因式分解
整式的乘法与因式分解的相互转化
通过整式的乘法，我们可以将一 个多项式乘以1，从而得到一个
新的多项式。
如果我们将这个新的多项式再逆 用整式的乘法运算律，就可以得
到原来的多项式。
这种相互转化的关系在数学中非 常重要，它可以帮助我们更好地 理解整式的乘法和因式分解的本
质和相互关系。
THANKS
感谢观看
03
CATALOGUE
因式分解
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这 种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作 分解因式。
因式分解的性质
因式分解是整式乘法的逆变形，可以应用在 解决很多数学问题上。
因式分解的方法
公式法
利用平方差公式、完全平方公式、立 方和公式等基本公式进行因式分解。
分期付款问题
在金融领域，因式分解可 以用于计算分期付款的本 金、利息等。
图形面积计算
在几何学中，通过因式分 解可以计算图形的面积或 周长等。
04
CATALOGUE
整式的乘法与因式分解的关系
整式的乘法与因式分解的联系
整式的乘法与因式分解都是数学 中重要的代数方法。
在整式的乘法中，我们通常关注 的是运算律和计算规则，而因式 分解则更注重将多项式分解为更
解析实例
再比如求解$(3x)^{3} \times (3x)^{2}$的值，根据同底数幂的乘法规则，可以得 出$(3x)^{3+2}=(3x)^5$。
02
CATALOGUE
整式的乘法
单项式与单项式的乘法
总结词
系数相乘，相同字母相加，其余字母不变
详细描述
将两个单项式的系数相乘，相同字母相加，如$3x^2 \times 5x^3 = (3 \times 5)x^(2+3) = 15x^5$
14.1整式的乘法
14.1整式的乘法知识点一同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加（n m n m a a a +=∙，m,n 都是正整数）举例：53232xx x x ==∙+知识详解●同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是单项式，也可以是多项式。
【举例：3222和，n m a a 和，nm b a b )()a (++和）】●同底数幂的乘法推广：p n m p n m a a a a ++=∙∙（m,n,p 都是正整数），p n m p n m a a a +⋅⋅⋅++=∙⋅⋅⋅∙∙a （m,n,...,p 都是正整数）●同底数幂的乘法运算性质的逆用：n m n m a a a ∙=+（m,n 都是正整数）例11)53232x x x x ==⋅+2)1211--+-==⋅n n n n n y y y y 3)198641864a a a a a a ==⋅⋅⋅+++4)8884315343532a a a a a a a a a a =+=+=⋅⋅+⋅+++5)774334343-3-3-3-3-3-3===⨯=⨯+）（）（）（）（）（6)322)()()()()(a b a b a b a b b a -=-⋅-=-⋅-知识点二同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减（n m n m a a a -=÷）（a 不等于0，m,n 都是正整数，且m>n）详解●底数可以是单项式，也可以是多项式●此法则也适用于三个或三个以上的同底数幂相除例21)615x x ÷2)813)()(xy xy -÷-3)242-+÷m m a a 4)23)2()2(x y y x -÷-知识点三幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘mn n m a a =)（（m,n 都是正整数）举例：42222)(x x x ==⨯知识详解●幂的乘方运算法则中的底数是指幂的底数，幂的底数可以是单项式，也可以是多项式。
整式的乘法-同底数幂的乘法
整式的乘法P1：同学们，今天我们上新课，整式的乘法，第一课时，同底数幂的乘法，首先让我们来看一个资料P2：你知道吗？在2010年全球超级计算机排行榜中，中国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号”雄居第一，其实测运算速度可以达到美妙2570万亿次。
P3问题1一种电子计算机美妙可进行1千万亿1015次运算，它工作103s可进行多少次运算？根据以前所学的知识，我们可以列式得10的15次方×10的3次方，那么，这个又应该怎么计算的？P4 在计算之前，先让我们回顾一下，什么叫做乘方？求几个相同因数的积的运算叫做乘方。
下面我们计算几个题目第一题，-2乘以-2乘以-2等于-2的三次方a乘a乘a乘a乘a 五个a相乘等于a的五次方x的四次方等于x乘以x乘以x乘以xP5我们发现这结果或者式子里边都含有a的n次方的项，那么a的n次方的意义是什么？其中的a，n,a的N次方分别叫做什么a叫底数，n叫做指数，a的n次方叫做幂,a的n次方表示的是n 个的相乘的乘积，你明白了吗?P6：那么，问题1中的式子10的15次方乘以10的3次方中的两个因式有什么特点呢？我们发现他们的底数相同，都是10，我们把底数相同的幂称为同底数幂。
请同学们先根据乘方的意义解答10的15次方乘以10的三次方，10的15次方乘以10的三次方也就是15个连续相乘的10乘以3个连续相乘的10，等于18个连续相乘的10，也就是10的18次方P7探究，根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？1 2的5次方乘以2的平方等于二的七次方，a的三次方乘以a的平方等于a的5次方5的11次方乘以5的7次方等于5的18次方，思考：观察上面各题左右两边，底数、指数有什么关系？让我们来猜想一下a的M次方乘以a的n次方等于什么呢？,m,n都是整数P8 猜想当m，n都是整数的时候a的M次方乘以a的n次方等于a的m+n次方证明，a的M次方乘以a的n次方等于m个连续相乘的a乘以n 个连续相乘的a，根据乘法结合律，等于m+n个连续相乘的a即a的m+n次方所以猜想正确。
第32课时 整式的乘法(1)——同底数幂的乘法
（3）a3·a5=____a_8_____； n都是正整数）.
（4）ym·y2m=_____y_3m____.
返回目录
典型例题
知识点1：同底数幂的乘法运算
【例1】计算下列各式，结果用幂的形式表示：
（1）x2·以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单 乘除法 项式，再把所得的商相加．
乘法公 式
平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两 个数的平方差． （a+b）（a-b）=a2-b2. 平方差公式特征：①左边是两个二项式相乘，并且这两个 二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是 相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是 具体数，也可以是单项式或多项式.
解：原式=2a9-a6.
返回目录
10. 已知a+b+c=3，求22a-3·23b-2·2a+3c的值． 解：22a-3·23b-2·2a+3c =22a-3+3b-2+a+3c=23（a+b+c）-5， ∵a+b+c=3，∴原式=23×3-5=24=16．
11. 已知a3·am·a2m+1=a25，求m的值. 解：∵a3·am·a2m+1=a3m+4=a25， ∴3m+4=25，即m=7.
因式分 提公因式法：字母表示为ma+mb+mc=m（a+b+c）. 解
返回目录
运用平方差公式法：公式为a2-b2=（a+b）（a-b）. 因式分
解 运用完全平方公式法：公式为a2±2ab+b2=（a±b）2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
14.1整式的乘法
14.1.1同底数幂的乘法
目标确定的依据
1.课程标准相关要求
了解整数指数幂的意义和基本性质。
2、教材分析
同底数幂的乘法是幂的一种运算，在整式的乘法中具有基础地位。
在整式的乘法中，多项式的乘法要转化为单项式的乘法，单项式的乘法要转化为幂的运算，而幂的运算以同底数幂的乘法为基础。
3、学情分析
教学对象是八年级学生，在学习本章前，学生已经掌握了用字母表示数、列简单代数式，会把一些简单的实际问题中的数量关系用代数式表示出来，并会进行整式加减运算和乘法运算，对一次方程(组)、一次不等式(组)有了全面系统地认识;虽然通过全等三角形、对称变换学习，积累了初步的理性思辨及推理论证经验，但思维水平仍以经验型为主，理论型思维尚处于萌芽阶段，因此，在推理论证方面须坚持遵循“特殊——一般——特殊”规律。
个别学生计算能力较差，符号感不强，以至于他们在运用性质计算的时候出现符号上的错误，因此，教学中尽量采用问题诱导和积极鼓励学生大胆尝试的方式帮助学生进一步提高幂的运算能力和符号感。
学习目标
1、理解同底数幂的乘法，会用这一性质进行同底数幂得运算。
2、体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用。
评价任务
1、学生能根据乘方的意义推导出同底数幂的乘法的性质，会用符号语言、文字语言表述这一性质，会用性质进行同底数幂的乘法运算。
（达成目标1）
2、学生在发现和推导同底数幂的乘法的运算性质的过程中，能认识到具体例子在发现结论
的过程中所起到的作用，能体会到数式通性在推导结论的过程中起到的作用（达成目标2）
学习环节评价要点教学流程
自主预习，
初知要点
让学生回顾乘方
的意义，为学习
同底数幂的乘法
做基础。
1、让学生预习课本95-96页“14.1.1同底数
幂的乘法”的知识内容。
2、让学生回顾a n的意义是：a n表示____个_____
相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫
_____；叫做底数，• 是指数．
3、让学生写出同底数幂的乘法则是：
___________________________________________。
探索交流，
发现新知
引导学生合作
交流，探索发现
同底数幂乘法的
运算性质，使学
生获得成功。
活动1、请根据自己的理解，解答下面3个小题．
活动2、观察上题从左到右的变化，猜想：
?
=
⋅n
m a
a (m,n都是正整数)
你能说明你的猜想的正确性吗？
活动3、当三个或三个以上同底数幂相乘时
也具有这一性质吗？请你谈谈自己的看法。
a m·a n·a p = a p n m++
展示点拨、
深化理解
为了帮助学生学
会运用性质，引
导学生从条件和
结论两方面来辨
1、计算下列各式，结果用幂的形式表示：
6
56
6
)1(⨯
4
5
)
2
(x
x⋅
(3）（－a）
7
×（－a）6 )
2
1
(
)
2
1
)(
4(3-
⨯
-
析性质的特点。
(5） (6)（a-b）
2·（a-b）
2、试一试：
3
2
)
2
(y
y
y⋅
⋅
自我小测，
巩固提升
使学生对本节课
所学知识进行自
我检查，明确自
己学到了哪个程
度.
1、下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（5）
3、填空：
（1）若a m=a3a4，则m=____
（2）若x4x m=x6，则m=____
（3），则．
（4），则．布置作业教科书96页练习(2)、(4).,习题14.1第1(1)(2) 课后反思：【我的收获——我快乐】
【我的不足——我改正】你有做错题吗？记录下来吧
3
22
)
2
(⋅
-
()5
4
33
3
3
1⨯
⨯
()()11
3
87
7
7-
=
⋅
-
()()11
4
75
5
5=
-⋅
-。