证据理论总结

一、D-S基本理论
设D是变量x所有可能取值的集合，且D中的 元素是互斥的，在任一时刻x都取且只能取 D中的某一个元素为值，则称D为x的样本空 间，也称D为辨别框 。在证据理论中，D的 任何一个子集A都对应于一个关于x的命题， 称该命题为“x的值在A中”。 引入三个函数：概率分配函数，信任函数 及似然函数等概念。
信任函数与似然函数的关系
• Pl（A）≥Bel（A）
证明： ∵ Bel（A）十Bel（￢A）>>=1
∴Pl（A）－Bel（A）＝1－Bel（￢A）一Bel（A） ＝1－（Bel（￢A）＋Bel（A）） ≥0
∴ Pl（A）≥Bel（A）
对偶（Bel(A) ,Pl(A)）称为信任空间
信任区间
0
Bel(A)
• A（0，0．85）：由于Bel（A）＝0，而Bel（￢A）＝1一 Pl（A）＝1－0.85＝0.15，所以A（0，0.85）表示对A为 假有一定程度的信任，信任度为0.15。
• A（0.25，0.85）：由于Bel（A）＝0.25，说明对A为真 有0.25的信任度；由于Bel（￢A）＝1－0.85＝0.15，说 明对A为假有0.15的信任度。所以A（0.25，0.85）表示对 A为真的信任度比对A为假的信任度稍高一些
3. 概率分配函数不是概率
信任函数
定义2 :命题的信任函数Bel：2D→［0，1］，且 Bel(A）＝ΣM（B）对所有的A⊆D
B⊆A
其中2D表示D的所有子集。 Bel函数又称为下限函数，Bel（A）表示对命
题A为真的信任程度。 由信任函数及概率分配函数的定义推出： Bel（Φ）＝M（Φ）＝0 Bel（D）＝ΣM（B）＝1
支持证据区间
Pl(A) Байду номын сангаас绝证据区间
拟信区间
• 信任度是对假设信任程度的下限估计—悲 观估计；
• 似然度是对假设信任程度的上限估计—乐 观估计。
• 下面用例子进一步说明下限与上限的意义：
• A（0.25，1）：由于Bel（A）＝0.25，说明对A为真有一 定程度的信任，信任度为0.25；另外，由于Bel（￢A）＝ 1－Pl（A）＝0，说明对￢A不信任。所以A（0.25，1） 表示对A为真有0.25的信任度。
果K=0，则不存在正交和M，称M1 与M2矛盾。
• 定义5 ：设M1,M2,……，Mn是n个概率分配函数， 则其正交和M＝M1⊕M2⊕……⊕Mn为
M(Φ)=0
••
M(A)=K－1×∑ ∏ Mi(Ai)
∩Ai =A 1<i<n
•• 其中:
K= ∑ ∏ Mi(Ai)
∩Ai≠Φ 1<i<n
• 例：设D＝{黑，白}，且
M1({黑},{白},{黑,白},Φ)=(0.3,0.5,0.2,0)
M2({黑},{白},{黑,白},Φ)=(0.6,0.3,0.1,0)
• K=1-∑M1(x)×M2(y)=0.61
•
••
M({黑}x)∩＝y=ΦK－1×∑M1(x)×M2(y)＝0.54 x∩y={黑}
• 同理可得 M({白})=0.43, M({黑,白})=0.03
概率分配函数的正交和
• 定义4 :设M1和M2是两个概率分配函数，则其正 交和M= M1 ⊕M2为
•
• • • 其中:
M(Φ)=0 M(A)=K－1×∑M1(x)×M2(y)
x∩y=A
• K=1-∑M1(x)×M2(y)=∑M1(x)×M2(y)
•
x∩y=Φ
x∩y≠Φ
• 如果K≠0,则正交和M也是一个概率分配函数；如
概率分配函数
设D为样本空间，领域内的命题都用D的子集 表示，则概率分配函数定义如下： 定义1： 设函数M：2D→［0，1］，且满足
① 不可能事件的基本概率是0，即 M（Φ）＝0
②中全部元素的基本概率之和为1， 即
ΣM（A）＝1
A⊆D
则称M是2D上的概率分配函数，M（A）称 为A的基本概率数。
说明 ： 1. 设样本空间D中有n个元素，则D中子集的个数为
电气12-4 陈仿雄
目录
• 一、证据理论 基本内 容
• 二、基于证据理论的 不完全信息多属性决 策方法论文的感想
• 三、新无量刚指标的 概念
• 四、故障诊断常用的 方法
• 五、K-NN算法
证据理论
证据理论是由德普斯特（A.P.Dempster） 首先提出，并由沙佛（G．Shafer）进一步 发展起来的一种处理不确定性的理论，因 此又称为D－S理论。
2n个，定义中的2D就是表示这些子集的。
2. 概率分配函数的作用是把D的任意一个子集A都映射为 ［0，1］上的一个数M（A）。当A⊂D时，M（A）表 示对相应命题的精确信任度。实际上就是对D的各个子 集进行信任分配，M（A）表示分配给A的那一部分。当 A由多个元素组成时，M(A)不包括对A的子集的精确信 任度，而且也不知道该对它如何进行分配。当A＝D时， M（A）是对D的各子集进行信任分配后剩下的部分，它 表示不知道该对这部分如何进行分配。 定义：若A⊆D则M(A)≠0，称A为M的一个焦元。
B⊆D
似然函数
定义3: 似然函数Pl：2D→［0，1］，且 Pl（A）＝1一Bel（￢A） 其中A⊆D 似然函数的含义：由于Bel(A)表示对A
为真的信任程度，所以Bel(￢A)就表示对非 A为真，即A为假的信任程度，由此可推出 Pl（A）表示对A为非假的信任程度。 似然函数又称为不可驳斥函数或上限函数。
• 适用领域：信息融合、专家系统、情报分 析、法律案件分析、多属性决策分析，等 等
D-S证据理论的优势和局限性
• 优势： 满足比Bayes概率理论更弱的条件，即不需要知道先验概率，具
有直接表达“不确定”和“不知道”的能力。
• 局限性： 要求证据必须是独立的，而这有时不易满足；证据合成规则没有
非常坚固的理论支持，其合理性和有效性还存在较大的争议；计算上 存在着潜在的组合爆炸问题。 所谓的bayes概率是由贝叶斯理论所提供的一种对概率的解释，它采用 将概率定义为某人对一个命题信任的程度的概念。
• 所以，组合后的概率分配函数为
M({黑},{白},{黑,白},Φ)=(0.54,0.43,0.03,0)
基于证据理论的不完全信息多属性 决策方法的论文的感想
• 在实际的决策中，由于信息大多数具有不精确、 不完备、模糊等性质，加上决策者由于对问题认 识的局限性或自身知识的缺乏等原因，决策者给 出的决策矩阵往往是不完全的，即决策矩阵中存 在空缺，这对于决策存在难度，而这篇论文，文 章首先描述了证据理论的基本概念；然后对现有 的基于证据结构的决策规则存在不足进行分析； 最后综合考虑在信息处理中存在的问题一步一步 进行分析，进一步总结得出一些处理此类问题的 方法，一步一步完善不完全信息的决策方法