第一讲 一笔画问题

第一讲一笔画问题

小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？

如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。

典型例题

例【1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？

（1）（2）（3）（4）

分析图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。

经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。

图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。

通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条

数不同。由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。

再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。

这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。

例【2】下面各图能否一笔画成？

（1）（2）（3）

分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。

关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由A B C A D C。图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。

经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5个偶点。

解图（1）、（2

这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。

如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。如果只有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。

如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。

例【3】

分析 图（1

）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由A 开始或由B 开始到B 结束或到A 结束。

图（2）有10

个奇点，大于2，不能一笔画成。

图（3）有4个奇点，1个偶点，因此也不能一笔画成。

解 图（1）的画法见下图。

例【4】 下图中，图（1）至少要画几笔才能画成？

D

（1）

分析 图（1）有4个奇点，所以不能一笔画出。如果把它分成几个部分，而每个部分是一笔画图形，则我们就可以用最少的几笔画出这个图形。按照这样的要求，每个部分最多含有两个奇点，可以采用再两个奇点之间增加一条或者去掉一条线的方法，该奇点就变成偶点。经观察，图（1）可以切分成图（A ）、（B ）两个图形。这两部分都可以一笔画出，所以图（1）至少用两笔画出。

解 将图（1）分成图（A ）、（B ），则图（A ）可由一笔画成，图（B ）由一笔画成，所以图（1）至少要两笔画完。

小结 能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的

个数。

一、 只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。

二、 只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起

点和终点。

三、 奇点超过两个，则不能一笔画。对于一些比较复杂的路线问题，

可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的O A B D （1） A O B C D

（A ） B C （B ）

方法进行解答。