第一讲 一笔画问题
一笔画问题(思维拓展方法)
一笔画问题
• 大数学家欧拉根据著名的“七桥问题”开创了数学新分 支----------图论。也就是“一笔画”
七桥问题的分析
• 1、观察上图的七桥图片以及其简化图 • 2、简化图上各线段之间有A、B、C、D四个交点 • 3、一笔画问题就是研究这些交点的
一笔画的问题的第一步
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通过观察，我们发现 1、A点有三根线相交 2、B点有五根线相交 3、C点有三根线相交 4、D点有三根线相交
有奇数根线相交的点称为奇点 有偶数根线相交的点称为偶点
奇点和偶点的概念是重点，后面要用
一笔画的问题的第二步
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1、回到一笔画问题的起源，一笔画问题实际上就是一个人在走路 2、一个点就是一个地方，一条线就是一条路 3、走路不是随便走，有限制条件：不能重复走同一条路，而且每条路都要走过 4、分析具体的一个地方，要么只有来路；要么只有去路；要么又有来路、又有去路。 5、走路有一个特点：有起点，有中间点，有终点。 6、起点的特点：去，一条线。 7、终点的特点：来，一条线。 8、中间点的特点：来，一条线。去，另一条线。
一笔画的问题的第三步
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1、奇点要么是起点，要么是终点 2、偶点可以是起点，可以是终点，也可以是中间点
来线和去线是一组，一组是两根线，必然是偶数
3、如果一个图上没有奇点，都是偶点，那每个点都可以来去n次，没有问题
4、如果一个图上只有一个奇点，那么作为起点，就没有终点
5、如果一个图上有两个奇点，那么一个作为起点，一个作为终点，没有问题 6、如果一个图上有三个以上的奇点，那么一个作为起点，一个作为终点，其他奇点 就必然有缺失来路或者去路
一笔画的问题的第四步
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1、0个或者两个奇点时，图形是可以一笔画画出来的。 0个奇点时，也就是全是偶点，可以从任意点出发，然后在出发点结束 两个奇点时，从一个奇点出发，另一个奇点结束
四年级奥数第一讲-一笔画问题
第十二讲一笔画问题那么，什么叫一笔画1什么样的图可以一笔画出■?欧竝又是如何彻底证明尢桥冋题的不可能性呢？下面，我们就来介貂这一方面的简单知谋数学书我们把由有限个点和连接这些点的线（线段或弧）所组成的图形叫做圈（如圈3 ）S圈中的点叫做曙的结点！连按两結点的线叫做圏的边. 如图（b）中，有三个结点：氐F. G,四条边：线段臥FG以及连接臥F的两段呱•从图Q、0>）中可以看岀，任意两点之间都有一条通路〔即可臥从其中一点出发，沿着图的边走到另一点左WJI的通路为或A-Df I…”这样的图，我扪称为连通图；而下图中〔亡）的一些^点之间却不存在通略（如M与N）,像这样的图就不是连逋图将所谓图的一笔ML指的就是；从图的一点出发，笔不离纟氐遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不推重复■从上图中容曷看出；能一笔画出的图首先必须是连逋图-但是否所有的连逋图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求醉抉这个问题的方法。
为了叙述的方使’我们把与奇数条边相连的结点叫做奇吊把与偶数条边相连的点称为播点■如I上鹵申的八个给点全是寄■点，上扇（b）申卫、F衣奇為G为偶点。
容易知道，上图00可以一笔画出，即从奇点E出发，沿箭头所指方向. 经过匚G> E.最后到达奇点心同理，从奇点F出发也可以一笔画也最后到达奇点氐而从偶点G岀发，却不能一笔画出•这是为什么呢？G事实上，这并不杲偶然现象•假定某个图可以一笔画成，且它的结点X既不是起点，也不是终点，而是中何点，那么X—定是一个偶点.这杲因为无论何时通过一条边到达X,由于不能重复，必须从另一董边离开X.这样与X连纟吉的边 -定成对出现，所以X必为偶点，也就是说：奇点在」笔画中只能作为起或终点•由此可臥看出，在一个可以一笔画出的图中，奇点的个数最多只有两个。
在七桥问题的图中有四个奇点，因此，欧拉断言’这个图无法一笔画岀，也即游人不可能不重复地1次走遍七座桥.更逬1步地，欧拉在解决七桥问题的同时彻底地解决了一笔画的问题，给出了下面的欧拉定理；①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
一笔画问题
一笔画问题2014-7-15一笔画问题简单学习总结今天学的还是图论的内容——一笔画问题。
一笔画就是把一个无向图（或有向图）所有的边都遍历一遍且不重复走同样的边。
这个新知识的算法都是建立在几个数学性质上面的，分别如下：1、这个有向图（或无向图）必须是连通的。
这是最基本的条件。
2、每个点之间度的要求：无向图：满足①所有点的度数为偶数或者②有两个点度数为奇数，其他点度数为偶数，且这两个奇数点必须为一笔画中的开端和结尾。
有向图：满足①所有点出入度相等或者②有一个点出度比入度大1，另一个点入度比出度大1，其他点的出入度相等，且出度大的点为一笔画开端，入度大的点为一笔画结尾。
数学简单证明还是比较容易的，如果一个点度数为奇数，那么从该点出发，去到的无非就两种情况：偶点或奇点，偶点我们总可以绕一个圈回到该偶点重新出发。
奇点就到达终点了。
（圈套圈的思路）对于无向边，有一个特殊处理：无向边路过一条边后，要把它的反向边去掉。
这个过程可以用指针实现，用一个指针指向它的反向边。
或者，如果用数组来储存边时，因为反向边是同时申请的，所以它们的下标一定是相邻的，可以用异或操作得到。
下面介绍几种算法：1、圈套圈算法算法思想：每次在某个点随便找一条边，一直走，如果找到环，那么就相应地插入到一笔画的顺序中，环中若有嵌套环，那么同样地找下去。
算法实现：可以用链表实现插入之类的操作，但若用深搜回溯写的话，程序会非常简单。
就是从奇点（或任意点）出发，任意地深度遍历，如果当前点已经不能往下搜，那么就回溯看祖先节点是否有其他可以遍历的点，按回溯的顺序弹出的边，在无向图里面正反顺序都是一笔画正确解法，有向图里需要取反顺序。
算法优化：由于系统栈的空间局限性，在朴素的递归算法里面不能支持较大数据范围的题目，可以改成用stack栈模拟递归的操作，这样就不再会爆栈。
2、弗罗莱算法算法思想：首先在奇点出发，尽量先不走桥（若去掉该边图不连通，则该边为桥），先走环路。
小学数学一笔画课件
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03
一笔画问题的解题方法
逐步推理法
总结词
通过逐步推理，按照一定的逻辑顺序，确定笔画的路径。
详细描述
逐步推理法是一种常用的解题方法，它通过逐步分析图形的特点和规律，推断出 笔画的路径。这种方法需要有一定的逻辑推理能力，对于一些较为复杂的图形， 需要仔细分析其结构，找出正确的笔画路径。
奇偶点分析法
拉回路是指一条通过图形的每条边且每条边只通过一次的闭合路径。
02
奇点与偶点
在图形中，如果一个节点发出的线条数是奇数，则该节点称为奇点；如
果一个节点发出的线条数是偶数，则该节点称为偶点。
03
哈密顿路径和哈密顿回路
哈密顿路径是指一条通过图形的每条边且每条边只通过一次的路径，但
不一定是闭合路径；哈密顿回路是指一条通过图形的每条边且每条边只
计算机科学
一笔画问题在计算机科学 中也有广泛应用，例如在 计算机图形学、算法设计 等领域。
实际应用
一笔画问题在现实生活中 也有很多应用，如地图的 绘制、电路设计、交通规 划等。
02
一笔画问题的数学原理
欧拉公式
欧拉公式
对于一个连通图，其边数和顶点数的关系可以用公式(V - E + F = 2)来表示，其中(V)表示顶点数，(E)表示边数，(F)表示面 数。这个公式是解决一笔画问题的重要依据。
问题的能力。
创新的一笔画问题
总结词
创意问题，挑战性
VS
详细描述
创新的一笔画问题通常涉及更为复杂和创 意的图形，如不规则多边形、立体图形等 ，这类问题旨在激发学生的创造力和挑战 精神。同时，这类问题也可能涉及到数学 中的其他知识点，如平面几何、立体几何 等。
二年级春季数学奥数班第1讲 一笔画
一笔画月日姓名【知识要点】1．概念：一笔画是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。
2．分类：图中的点可分两大类：（1）双数点：从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点。
（2）单数点：从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点。
3．规律：一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。
（1）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。
（2）凡是图形中只有两个单数点，一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一单数点为终点。
（3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。
【典型例题】例1．判断下面图形中哪些点是单数点，哪些点是双数点。
例2．下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？（1）（2）（3）（4）例3．如图，能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？例4．将下图去掉最少的线改成一笔画图形。
随堂小测姓名成绩1.判断下面图形哪些是单数点，哪些是双数点。
2. 下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？3. 一个邮递员投递信件要走的街道如下左图，为节约时间，他想自己设计一条线路，可以不重复的走遍每一条街道，你能帮帮他吗？4. 一只蚂蚁要想不重复的爬遍每一条线路，应从哪里出发，到哪里结束？（3）AC E（1）（2）（3）（4）5. 将下图加上最少的线改成一笔画的图形。
【知识拓展】1．为迎接2008年奥运会在北京召开，你能一笔画出奥运会的五环图案吗？2．你能用一笔画成4条线段把下图的9朵小花都连起来吗？课后作业姓名成绩1．判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。
2．判断下面图形能不能一笔画成。
（1）（2）B3．下图能否一笔画成？如果能，应怎样画？4．如图，是一个公园的平面图，请你设计好入口、出口，并给出一种游玩路线，要求走遍每一条路且不重复。
5．如图，是一个名画展厅的平面图，要使参观者不重复地走遍每一条画廊，问：出口、入口应设在哪里？家长签名：【课外知识链接】七桥问题著名古典数学问题之一。
奥数只是讲解第一讲一笔画问题
word 文档仅供参照第一讲一笔划问题小朋友们 , 你们能把下边的图形一笔划出来吗？假如用笔在纸上连续不停又不重复, 一笔划成某种图形, 这类图形就叫一笔划。
那么能否是全部的图形都能一笔划成呢？这一讲我们就一同来学习一笔划的规律。
典型例题例【 1】下边这些图形,哪个能一笔划？哪个不可以一笔划？〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕剖析图〔1〕一笔划出,能够从图中随意一点开始画该图, 画到同一点结束。
经过试试后 , 能够发现图〔 2〕不可以一笔划出。
图〔 3〕不是连通的 , 明显也不可以一笔划出。
图〔4〕也能够一笔画出 , 且从任何一点出发都能够。
经过察看 , 我们能够发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不一样。
由一点发出有偶数条线 , 那么这个点叫做偶点。
相应的 , 由一点出发有奇数条数 , 那么这个点叫做奇点。
再看图〔 1〕、〔4〕, 此中每一点都是偶点, 都能够一笔划 , 且能够从随意一点画起。
而图〔2〕有 4 个奇点 ,2 个偶点 , 不可以一笔划成。
这样我们发现 , 一个图形可否一笔划和这个图形奇点 , 偶点的个数有某种联系 , 究竟存在什么样的关系呢 , 我们再看一个例题。
例【 2】下边各图可否一笔划成？〔1〕〔2〕〔3〕剖析图〔 1〕从随意一点出都能够一笔划成, 由于它的每一个点都是与两条线相连的偶点。
对于图〔2〕, 经过频频试验 , 也可找到画法：由 A B C AD C 。
图中 B、D为偶点 ,A 、C为奇点 , 即图中有两个奇点 , 两个偶点。
要想一笔划 , 需从奇点出发 , 回到奇点。
经过试试 , 图〔 3〕没法一笔划成 , 而图中有 4 个奇点 ,5 个偶点。
解图〔 1〕、〔2〕能够一笔划。
这样我们能够发现可否一笔划和奇点、偶点的数量有着密切的关系。
假如图形只有偶点 , 能够以随意一点为起点, 一笔划出。
假如只有两个奇点 , 也能够一笔划出 , 但一定从奇点出发 , 由另一点结束。
假如图形的奇点个数超出两个, 那么图形不可以一笔划出。
关于一笔画问题的经典探讨PPT培训课件
一笔画定理及其证明
一笔画定理
一个连通图形可以一笔画成当且仅当该图形中奇数个顶点的度数之和为2。
证明过程
首先，根据连通性规则，图形必须是连通的。然后，根据奇偶性规则，如果图 形中奇数个顶点的度数之和为2，则该图形可以一笔画成；如果图形中奇数个顶 点的度数之和不为2，则该图形不能一笔画成。
一笔画定理的应用实例
应用
一笔画问题在计算机科学、电子工 程、运筹学等领域都有广泛的应用。
一笔画问题的重要性和应用领域
理论价值
一笔画问题在数学理论中具有重 要的价值，是图论、组合数学等 领域的重要研究课题之一。
应用价值
一笔画问题在计算机图形学、电 路设计、物流规划等领域都有广 泛的应用，可以帮助人们解决一 系列实际问题。
06
一笔画问题的实际应用案例
地图着色问题
算法设计
解决地图着色问题需要设计一种有效的算法，能够判断给定的地图是否可以一笔画成，并找出最少所需的颜色数 量。常用的算法包括贪心算法、回溯算法等。
实例分析
地图着色问题可以通过实例来分析，例如给定一个包含多个国家的地图，如何使用最少的颜色对各个国家进行着 色，使得相邻的国家颜色不同。
判断一笔画图形
通过计算图形中奇数个顶点的度数之 和，可以判断该图形是否可以一笔画 成。
设计一笔画图案
解决实际问题
一笔画定理在计算机科学、电子工程、 机械工程等领域都有广泛的应用，例 如在电路设计和布线、机器人路径规 划等方面。
利用一笔画定理，可以设计出具有特 定形状和结构的一笔画图案。
03
一笔画问题的经典问题解析
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一个顶点的度数为奇数，意味着该顶点是起点或 终点。
一笔画问题
第一讲: 一笔画问题【例1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？并说一说每个图形有几个单数点和双数点（2）1、下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？并说一说每个图形有几个单数点和双数点【例2】数一数下列图形单数点与双数点的个数，并说出一笔画图形与单数点和双数点的关系。
1、下面的图形能否一笔画完成？为什么？（1） O （2）B D（3）【例2】下面的图形能不能一笔画？如果能怎么画？1、下面的图形能不能一笔画？如果能怎么画？【例3】下面的图形能不能一笔画？如果能怎么画？12、34、、、【例4】下图（图1）能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成能够一笔画成的图形？1、将下列各图改成一笔画。
【例5】邮递员叔叔要向一个居民小区送信，怎么样走才能少走重复路，使每天走的路尽可能短？1.下图是一个小区中花园的平面图，你能一次不重复地走完所有的路吗？入口和出口应该设计在哪儿呢？2.下面是“儿童乐园”平面图，出口应没在哪里才能不重复地走遍每条路？1.数一数下面图形有几个单数点？2.下列图形能一笔画成吗？为什么？3.甲、乙两辆车同时以相同的速度分别从A 、B 出发，哪辆车能最先行驶完所有的路线？4.园林工人在花园浇花，怎样才能不重复地走遍每一条小路？第 二 讲:巧填竖式【例1】在方框里填上合适的数，使算式成立。
□ 4+ 2 □8 9练习1：下面题中各图形分别表示多少？（1） 7 ☆ （2） ☆ 9 + □ 4 + 6 59 7 8 □（3） 6 △ （4） 1 ☆ 3 + △ ☆ + □ ☆9 7 1 9 5【例2】猜一猜，每个汉字各表示什么数字？学 学— 4 生8学=（ ） 生=（ ）练习2: 想一想，每个汉字和图形各表示什么数字？（1）我爱 4—学数学我=（）爱=( )数=（）学=（）（2）☆○☆—☆☆7 9 0☆=( ) ○=( )（3） 8 5 4—○○○○○○=( )【例3】在□里填合适的数，使算式成立。
四年级奥数：一笔画问题
四年级奥数：一笔画问题小朋友们,你们能把下面的图形一笔画出来吗？如果用笔在纸上连续不断又不重复,一笔画成某种图形,这种图形就叫一笔画.那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律.典型例题例【1】下面这些图形,哪个能一笔画？哪个不能一笔画？（1）（2）（3）（4）分析图（1）一笔画出,可以从图中任意一点开始画该图,画到同一点结束.经过尝试后,可以发现图（2）不能一笔画出.图（3）不是连通的,显然也不能一笔画出.图（4）也可以一笔画出,且从任何一点出发都可以.通过观察,我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同.由一点发出有偶数条线,那么这个点叫做偶点.相应的,由一点出发有奇数条数,则这个点叫做奇点.再看图（1）、（4）,其中每一点都是偶点,都可以一笔画,且可以从任意一点画起.而图（2）有4个奇点,2个偶点,不能一笔画成.这样我们发现,一个图形能否一笔画和这个图形奇点,偶点的个数有某种联系,到底存在什么样的关系呢,我们再看一个例题.例【2】下面各图能否一笔画成？（1）（2）（3）分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成,因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点.关于图（2）,经过反复试验,也可找到画法：由A B C AD C.图中B、D为偶点,A、C为奇点,即图中有两个奇点,两个偶点.要想一笔画,需从奇点出发,回到奇点.经过尝试,图（3）无法一笔画成,而图中有4个奇点,5个偶点.解图（1）、（2这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系.如果图形只有偶点,可以以任意一点为起点,一笔画出.如果只有两个奇点,也可以一笔画出,但必须从奇点出发,由另一点结束.如果图形的奇点个数超过两个,则图形不能一笔画出.例【3】 下面的图形,哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？分析 图（1）有两个奇点,两个偶点,可以一笔画,须由A 开始或由B 开始到B 结束或到A 结束.图（2）有10个奇点,大于2,不能一笔画成.图（3）有4个奇点,1个偶点,因此也不能一笔画成.解 图（1）的画法见下图.例【4】 下图中,图（1）至少要画几笔才能画成？分析 图（1）有4个奇点,所以不能一笔画出.如果把它分成几个部分,而每个部分是一笔画图形,则我们就可以用最少的几笔画出这个图形.按照这样的要D （1）求,每个部分最多含有两个奇点,可以采用再两个奇点之间增加一条或者去掉一条线的方法,该奇点就变成偶点.经观察,图（1）可以切分成图（A ）、（B ）两个图形.这两部分都可以一笔画出,所以图（1）至少用两笔画出.解 将图（1）分成图（A ）、（B ）,则图（A ）可由A-B-O-D-A-C-D 一笔画成,图（B ）由B-C 一笔画成,所以图（1）至少要两笔画完.小结 能否一笔画成,关键在于判别奇点、偶点的个数.一、 只有偶点,可以一笔画,并且可以以任意一点作为起点.二、 只有两个奇点,可以一笔画,但必须以这两个奇点分别作为起点和终点.三、 奇点超过两个,则不能一笔画.对于一些比较复杂的路线问题,可以先转化为简单的几何图形,然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答.D （1） A O B C D（A ） B C （B ）。
一笔画问题以及应用
一笔画的认识和应用知识点：一笔画问题（1）什么是一笔画问题？一个完整的图形，可以一笔不重复的画完（点可以重复经过，但是线不可以重复经过）。
（2）一笔画有什么作用？用在画图，可以节省笔墨，节省时间；用在走路，可以节省路程，节省时间；..........。
（3）一笔画中的偶数点和奇数点分别是什么？从一个点出发有几个方向出去或者有几条不同的线段连接，如果是奇数个方向或者奇数条线段连接就是奇数点；如果是偶数个方向或者偶数条线段连接就是偶数点。
线段的末端也是奇数点，且标数为“1”。
（4）一笔画问题的条件：必须是一个联通的图形，即整个图形必须是一个整体。
①当所有点都是偶数点时，可以一笔画，以其中任何一个点为起点，画完整个图形后最后还是回到整个点。
②当有奇数点，且奇数点为2个的时候，可以一笔画，以其中一个奇数点为起点，画完整个图形后，以另外一个奇数点为终点。
③其它情况都不可以一笔画。
（5）如何把两个奇数点变成两个偶数点？①把两个奇数点之间连接的线段删除或者（先不画）；或者②在两个奇数点之间再连一条线即这条线段重复走1次；（6）一个联通的图形至少需要几笔画完？奇数点个数÷2（7）把地点缩小成点，把桥梁，道路，门等转化成线段，起到一个连接的作用。
转化为一笔画问题来解决实际问题。
例题部分例1 、标出图中每个点上的数字，看看奇数点和偶数点各有多少个？奇数点个数：（）个；偶数点个数：（）个。
例2、标出图中每个点上的数字，并数字奇数点和偶数点各有多少个，写在下面横线上。
①②③④⑤⑥⑦①中奇数点有（）个、偶数点有（）个。
②中奇数点有（）个、偶数点有（）个。
③中奇数点有（）个、偶数点有（）个。
④中奇数点有（）个、偶数点有（）个。
⑤中奇数点有（）个、偶数点有（）个。
⑥中奇数点有（）个、偶数点有（）个。
⑦中奇数点有（）个、偶数点有（）个。
练习、标出下面图中每个点是奇数点还是偶数点，判断可不可以一笔画。
①②③图①中奇数点有（）个，偶数点有（）个，（）一笔画。
最佳路线-一笔画问题ppt课件
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
由于那里风景优美，游人众多，在这美丽 的地方，人们议论着一个有趣的问题：能不能 设计一条游览线路，使一个游人不重复的一次 走遍七座桥呢？
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下面就让我们利用欧拉定理来解决一些问题吧！ 下面哪些图形可以一笔画出？
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心得体会
1、通过学习欧拉对七桥问题的思路，把实际 问题转化成“一笔画”的数学问题，从中体会到转 化的数学思想以及从具体到抽象的思想。
2、通过运用“一笔画”的规律解决生活中的 实际问题，把数学问题又转化并应用到实际生活中， 真正体现数学来源于生活并应用于生活这一特点。
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加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是俄罗斯的 海港城市和著名的历史名城，位于波罗的海海 岸，始建于1255年，在那里曾经诞生和培育过 许多伟大的人物。
三年级上册数学课件-一笔画问题 全国通用
20.顽强的毅力可以征服世界上任何一座高峰! 2、初三不再有，劝君珍惜之。一年之经历，终身之财富 8、贫不足羞，可羞是贫而无志。 6.在这个并非尽善尽美的世界上，勤奋会得到报偿，而游手好闲则要受到惩罚 5.未曾失败的人恐怕也未曾成功过— 4、书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲。——于谦 8、贫不足羞，可羞是贫而无志。 1.明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 14.要随时牢记在心中：决心取得成功比任何一件事情都重要。 14、读书，这个我们习以为常的平凡过程，实际上是人们心灵和上下古今一切民族的伟大智慧相结合的过程。——高尔基 24.如果我们想要更多的玫瑰花，就必须种植更多的玫瑰树。
让我们什来么看样一的看图，形奇才点偶点 和一笔可画以有一什笔么画关呢系？吧！
然后，我们还要认识两个新朋友，一个叫奇点，一个叫偶 点。
奇点：从我这里出发的线，是单数个噢！ 偶点：从我这里出发的线，是双数个噢！
你能找出奇点和偶点吗？再试试能不能一笔画吧。
你能找出奇点和偶点吗？再试试能不能一Байду номын сангаас画吧。
（） （） （）
（1）有 0 个奇点：可以随意起点随意终点，都能一笔画；
你能什判么断样一的笔图画形了才吗？ 可以一笔画呢？
（2）有 2 个奇点：1号奇点作起点，2号奇点做终点，才能一 笔画；
（3）超过2个奇点，就不能一笔画了。
谁能一次不重复地走遍所有小路？
它想一次不重复地走完每条小路．该从哪个路口出发呢？
我能一次不重复地走遍 所有的小桥吗？
我从哪个入口出发， 才能一次不重复地走遍 所有小路？
这个增如蝴加果蝶一去能条掉一线笔试条画一线出试呢吗？？
哪些图形可以一笔画， 哪些不可以呢？
被我们“否定”的图形 你能把它改成一笔画吗？
小学数学思维方法：一笔画问题
一笔画问题【知识要点】1.什么是一笔画：所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从定义可知，能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．2.一笔画问题相关结论：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点；(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．3.多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成．例如 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？解：奇点：J D H 偶点：A E B C G I 、F例如 判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．解：：图a 能，因为有2个奇点，图b 不能，因为图形不是连通的，图c 能，因为因为图中全是偶点【典型例题】例 1.下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？E解：要想不重复爬出，需要图形能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应该从奇点出发才能一笔画出图形，所以甲蚂蚁能够．例 2.判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．解：图a 不能一笔画出，因为图中有4个奇点，连结BD ，或者去掉BF 都可以使图形能一笔画出．图b 不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉KL ，或者BK 都可以使图形能一笔画出．小结：一个K (K ＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K 笔画有2K 个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点．如左下图中的B ，C 两个奇点在右下图中都变成了偶点．所以只要在K 笔画的2K 个奇点间添加(K -1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画．例3.18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a )．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？解：欧拉解决这个问题的方法非常巧妙．他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线．这样，一个实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了．而图B 中有4个奇点显然不能一笔画出．例4.下图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？解：将图形中的6个区域（5个展室及出入口部分）看成6个点，每个门看成连结他们的线段，显然6个点都是偶点，所以有人能一次不重复的走过所有的门．I H G FE D C B A图a H G I K L J F EDC B A图b例5.在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100米．小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米？解：这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解．首先，图中有8 个奇点，在8 个奇点之间至少要去掉4 条线段，才能使这8 个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B 点，A，B 两点必须是奇点，现在A，B 都是偶点，必须在与A，B 连接的线段中各去掉1 条线段，使A，B 成为奇点．所以至少要去掉6 条线段，也就是最多能走1800 米，走法如图例6.一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？解：长方体每个顶点有三边，且同一棱不可爬两次，所以不是终点和起点的顶点只能走一次，也就是说非终点和起点的顶点上有一条边是走不了的，8个点除去终点和起点，是6个点，也就是3条边，去掉最短的3条边，所以是48；所以最长路径是6+5+6+5+4+6+5+6+5=48（分米）．由分析可知：如上图，沿A－B－G－H－A－D－C－F－E－D共走：6+5+6+5+4+6+5+6+5=48（分米）．答：小虫最多能爬48分米．练习题1.下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．2.下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？3.判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．4.如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？５.下图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？６.一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A 点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A 点时，最多能爬行多少厘米？D CHG FBA图c ECD B A。
第一讲 一笔画问题
中小学课外辅导YAZHI EDUCATION第一讲一笔画问题小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。
那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。
典型例题例【1】（1）（2）（3）（4）分析图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。
经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。
图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。
图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。
通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。
由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。
相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。
再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。
而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。
这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。
例【2】下面各图能否一笔画成？（1）（2）（3）分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。
关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由A B C AD C。
图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。
要想一笔画，需从经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5个偶点。
中小学课外辅导 YAZHI EDUCATION 解 图（1）、（2）可以一笔画。
但必须从奇点出发，由另一点结束。
如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。
例【3】分析 图（1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由A 开始或由B 开始到B 结束或到A 结束。
图（2）有10个奇点，大于2，不能一笔画成。
图（3）有4个奇点，1个偶点，因此也不能一笔画成。
解 图（1）的画法见下图。
例【4】 下图中，图（1）至少要画几笔才能画成？分析 图（1）有4个奇点，所以不能一笔画出。
01一笔画问题讲义
01⼀笔画问题讲义《我们⼀起玩数学》第⼀讲⼀笔画问题【⽬的】1.通过⼀笔画游戏培养⼩朋友数学与图形结合、转化的思维⽅式，拓展⼩朋友形象及抽象思维的综合使⽤能⼒；2.激发⼩朋友认知⽣活中的数学问题，使⼩朋友具有⼀定的图论基础。
【热⾝游戏】1.不⾛回头路，⼤家把这两个字分别⼀笔画完，期间笔不能离开纸也不能离开线。
⼩朋友⾃⼰分析规律。
⽇⽥2.怎么添⼀笔，让“⽥”字可以⼀笔画？讲解奇数点、偶数点。
3.房间可以重复进，怎么可以不重复的⾛过这个房间所有的门？讲解⾯到点的抽象及怎么化为⼀笔画问题。
【知识梳理】1.怎么分清奇数点、偶数点？从⼀个点引出的线段数量来判定点的奇偶性，为让⼩朋友易理解，从单、双数导⼊奇数、偶数的概念。
释疑：“⼗”字的⼀笔画2.什么情况下可以⼀笔画，从哪个点画起？如果⼀个图形的奇数点数量不⼤于2，则该图形可以⼀笔画。
可以⼀笔画的图形，有奇数点应从奇数点开始画起，没有奇数点的则可从任⼀点画起。
【知识应⽤】1.请⼀笔画出五⾓星，如图。
考虑⼀下有⼏种画法。
2.怎么可以不重复的⾛过这个房间所有的门？如果⾛不通的话，请说明原因；那让你再建⼀个门，你可以提出⼏种建法以保证不重复⾛过所有门？3.下图是厦门市中⼭公园的湖⼼岛和岛间的桥。
你能不重复的把所有桥⼀次性⾛完吗？【知识回顾】1.什么是奇数点、偶数点？2.判断能否⼀笔画的条件，⼀笔画的起点判定。
【知识延伸】18世纪，在东普鲁⼠哥尼斯堡城风景秀美的普莱格尔河上有7座别致的拱桥，将河中的两个岛和河岸连结（如下图）。
城中的居民经常沿河过桥散步。
城中有位青年很聪明，爱思考，有⼀天，这位青年给⼤家提出了这样⼀个问题：能否⼀次⾛遍7座桥，⽽每座桥只许通过⼀次，最后仍回到起始地点。
这就是举世闻名的七桥问题，当时的⼈们始终没有能找到答案。
⼤数学家欧拉从朋友那⾥听到这个问题，很快便证明了这样的⾛法不存在，并开创了图论与拓扑学的学科体系。
⼩朋友，你试试⽤有这节课讲的⽅法分析⼀下为什么⾛不通呢？下次课我们再来讲解。
一笔画问题及解决策略
一笔画问题及解决策略一、问题提出一笔画是一个大问题，为了更好的解决这个问题，我们从生活提出一笔画问题。
我们先看一个公路检查员的问题:他为了检查几个城市之间的若干公路，希望在这些城市和公路组成的公路系统中找出一条路线，使他能不重复地恰好通过每条公路一次,而经过每个城市的次数不限.这就是拓扑学中的数学问题.二、问题解决（一）数学化我们把这问题数学化，以点表示城市，以弧表示公路，这样构成的网络图就表示某个简单公路系统。
（二）点线图用点线图表示四个不同的公路系统。
如图所示:(三）一笔画的含义一个图形由一笔构成叫一笔画.对于平面图形的一笔画与多笔画问题，通常的几何方法是无能为力的，因为一个图形能否一笔画,与图形的大小、形状等几何概念都没有关系，而是与图形中线段的数目及连接关系有关，我们可以随意地将图形拉伸、压缩或弯曲，甚至在保持端点不动的前提下,还可以将某些线段“搬家"，只要图形的整体结构不变，能否一笔画的性质也就不会改变。
（四）一笔画图形的判别著名的哥尼斯堡七桥问题实质上就是一个一笔画问题.欧拉最终证明了这个图形是不能一笔画成的，并在关于七桥问题的报告中得到了任一网络图能否一笔画的判别法则。
1.必要条件一个网络图是由有限个点和有限条曲线组成的平面图形,这些点和线分别称为网络的顶点和弧。
如果从网络的一个顶点出发,一条弧连着一条弧地把所有的弧都画出,且每条弧都只画一次，而经过每个顶点的次数不限，就称该网络能一笔画。
当一个网络能一笔画时，只有两种情形：一是开放图形,只有起点和终点的指数为奇数，其余顶点的指数均为偶数；二是封闭图形，所有顶点的指数均为偶数。
我们称指数为奇数的顶点为奇顶点，指数为偶数的顶点为偶顶点，那么当一个网络能一笔画时，奇顶点个数必为0或2，所以，连通且奇顶点的个数是0或2,是一个网络图能一笔画的必要条件。
（1）。
凡是由偶点组成的连通图,一定可以一笔画成.画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
第一章 一笔画
第一章一笔画
探究目标：一笔画的问题是一种有趣的数学游戏。
它是从图形的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不重复。
我们知道，任何图形都是由点和线组成的，图形中的点分为两大类：
（1）从一点出发的线的条数是双数，这点称为双数点。
（2）从一点出发的线的条数是单数，这点称为单数点。
一个图形能否一笔画成，关键在于图中的单数点的多少。
图形中没有单数点的，一定可以一笔画成；图形中只有两个单数点，也一定可以一笔画成；其他情况的图形，都不能一笔画成。
单数点在一笔画中只能作为起点或终点。
通过本课有趣的学习，培养学生对学习数学的兴趣。
探究过程：
例1：从有小黑点的地方开始描，你能不重复、不遗漏，一笔就可以把这些图描出来吗？为什么？
[提示]先找出图中的点，再数一数从这点出发的线有几条，就能确定能不能一笔画了。
（3幅图都可以一笔画成）
例2：下列图形能一笔画成吗？为什么？
例3：下列图形能一笔画成吗？为什么？
例4：下列图形能一笔画成吗？如果可以，请你动笔画成。
创新训练：检测一下自己的能耐吧，你一定很棒！
1.下面图形能不能一笔画出？怎么画？
2.下图是一个公园的平面图，要使游客走遍每条路而不重复，问出入口应设在哪里？。
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第一讲一笔画问题
小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？
如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。
那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。
典型例题
例【1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？
（1）（2）（3）（4）
分析图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。
经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。
图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。
图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。
通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条
数不同。
由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。
相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。
再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。
而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。
这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。
例【2】下面各图能否一笔画成？
（1）（2）（3）
分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。
关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由A B C A D C。
图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。
要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。
经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5个偶点。
解图（1）、（2
这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。
如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。
如果只有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。
如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。
例【3】
分析 图（1
）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由A 开始或由B 开始到B 结束或到A 结束。
图（2）有10
个奇点，大于2，不能一笔画成。
图（3）有4个奇点，1个偶点，因此也不能一笔画成。
解 图（1）的画法见下图。
例【4】 下图中，图（1）至少要画几笔才能画成？
D
（1）
分析 图（1）有4个奇点，所以不能一笔画出。
如果把它分成几个部分，而每个部分是一笔画图形，则我们就可以用最少的几笔画出这个图形。
按照这样的要求，每个部分最多含有两个奇点，可以采用再两个奇点之间增加一条或者去掉一条线的方法，该奇点就变成偶点。
经观察，图（1）可以切分成图（A ）、（B ）两个图形。
这两部分都可以一笔画出，所以图（1）至少用两笔画出。
解 将图（1）分成图（A ）、（B ），则图（A ）可由一笔画成，图（B ）由一笔画成，所以图（1）至少要两笔画完。
小结 能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的
个数。
一、 只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。
二、 只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起
点和终点。
三、 奇点超过两个，则不能一笔画。
对于一些比较复杂的路线问题，
可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的O A B D （1） A O B C D
（A ） B C （B ）
方法进行解答。