材料力学重点及公式(期末复习)
(完整版)材料力学各章重点内容总结
材料力学各章重点内容总结第一章 绪论一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性要求。
二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。
三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假设和各向同性假设。
第二章 轴向拉压一、轴力图：注意要标明轴力的大小、单位和正负号。
二、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。
注意此规定只适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。
三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式：N F Aσ= 注意正应力有正负号，拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。
四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式：2cos ασσα=，sin 22αστα=注意角度α是指斜截面与横截面的夹角。
五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],maxmax N F A σσ=≤六、利用正应力强度条件可解决的三种问题：1.强度校核[],maxmax N F A σσ=≤一定要有结论 2.设计截面[],maxN F A σ≥ 3.确定许可荷载[],max N F A σ≤七、线应变l l ε∆=没有量纲、泊松比'εμε=没有量纲且只与材料有关、 胡克定律的两种表达形式：E σε=，N F l l EA∆= 注意当杆件伸长时l ∆为正，缩短时l ∆为负。
八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线，知道四个阶段及相应的四个极限应力：弹性阶段（比例极限p σ，弹性极限e σ）、屈服阶段（屈服极限s σ）、强化阶段（强度极限b σ）和局部变形阶段。
会画低碳钢轴向压缩、铸铁轴向拉伸和压缩时的应力－应变曲线。
九、衡量材料塑性的两个指标：伸长率1100l l lδ-︒=⨯︒及断面收缩率1100A A Aϕ-︒=⨯︒，工程上把5δ︒≥︒的材料称为塑性材料。
十、卸载定律及冷作硬化：课本第23页。
材料力学总复习公式
sx sy 2 sm ax sx sy 2 1 t ±（ ） xy 2 2 sm 2in 或3
s
t
s x s y
sy
主 单元体
s2
sx
y
O x
txy s 1
s tmax x sy 2 2 ）tx y t ±（ 2 min
最大剪应力面与主平面 成45
应力
拉 （压）
s t
y x
Q
s
N ( x) s A
s max
N max [s ] A
t (r )
t max
Tr Ip
My s x Iz
QS z ty bI z
Tmax [t ] Wt
s max
M max [s ] WZ
t max [t ]
0
n 2、极限应力 : s jx {s s ,s 0.2 ,s b }
1、容许应力 :
s
s jx
变形 拉 压 L
L FN ( x) dx L EA( x )
扭
A
转
B y
平 面 弯 曲 y
y( x)
q
M ( x) EI
AB
L
FN L EA
q max
Tmax [q ] GI p
对于实心圆截面： O d
对于空心圆截面：
4
Ip
d
d
32
D Ip
Wt I p R D3 16 0.2D3
32 D 4 4 (1 ) 32
4
(D4 d 4 )
64 3 d Wz Wy 32 y bh3 Iz 12 bh Wz 6
材料力学期末考试总复习
F c r =
p
E I ( m l ) 2
2
压杆的稳定性条件
l = ml
i i = I A
s
c r
s =
F £ j A
[s ]
第十三章 能量法 变形能
Ve =
外力功(线弹性)
ò
l
2 F N ( x ) dx + 2 E A (x )
ò
l
T 2 (x ) dx + 2 G I p ( x )
图解法 内力图 应力圆
实验法 机械性质 电测
单元体应力 组合变形应力
五、基本公式
应力= 内力 截面几何量
内力×杆长 变形= 截面刚度
F s = N A FN l D L = EA
T t = r I p Tl j = GI p
M s = y I z
Ml q = EI z
A C D B
3、图示悬臂梁弯曲时，靠近固定端的一段与大半径刚性圆柱 面贴合，从此以后，随着F力增大，梁内的最大弯矩 (C) 。 (A)线性增大； (B)非线性增大； (C)保持不变； (D)开始减小。
F
4、T形截面铸铁梁，设各个截面的弯矩均为正值， 则将其截面按图 (A) 所示的方式布置，梁的强度最 高。
直线等加速
K d a = 1 + g
匀速旋转
s
d
落体冲击
2 h Kd = 1 + 1 + D st
水平冲击
K d = v 2 g D st
=
g w 2 D 2
g
轴向拉伸与压缩
1 (C)
2、已知材料的比例极限s P =200MPa,弹性模量E=200Gpa, 屈服极限 s s =240 MPa,强度极限s =400 MPa,则下列
材料力学重点公式(期末必备)PPT课件
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得 。
—该点到圆心的距离。
2020/3/2I8p—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
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材料力学 第三章 扭 转
例3-5 一内径d=100mm的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭矩 T=5kN·m，许用切应力[τ]=80MPa，试确定空心圆轴的壁厚。
材的G值约为80GPa。
弹性模量、泊松比、切变模量之间的关系
G E
2(1 )
注意：剪切胡克定律式只有在切应力不超过材料的某一极限值
时才式适用的。该极限值称为材料的剪切比例极限 p。
2020/3/28
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材料力学 第三章 扭 转
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式
。
3.4.4 公式讨论：
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材料力学 第二章 拉伸、压缩与剪切
解：
FN
FR 2
FR
π
( pb
d
d )s in
pbd
0
2
1 ( pbd ) pd b 2 2
2 200 40 MPa 25
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材料力学 第二章 拉伸、压缩与剪切
F
p
FF
FN
p
①全应力：p
F cos
A
0
cos
2、变形几何关系
l1 l2 l3 cos
3、物理关系
4、补充方程
FN1l FN3l cos
l1
FN1l
EAcos
EAcos EA
5、求解方程组得
l3
材料力学重点及公式（期末复习）
材料⼒学重点及公式（期末复习）1、材料⼒学得任务：强度、刚度与稳定性；应⼒单位⾯积上得内⼒。
平均应⼒（1、1）全应⼒（1、2）正应⼒垂直于截⾯得应⼒分量，⽤符号表⽰。
切应⼒相切于截⾯得应⼒分量，⽤符号表⽰。
应⼒得量纲：线应变单位长度上得变形量，⽆量纲，其物理意义就是构件上⼀点沿某⼀⽅向变形量得⼤⼩。
外⼒偶矩传动轴所受得外⼒偶矩通常不就是直接给出，⽽就是根据轴得转速n与传递得功率P来计算。
当功率P单位为千⽡（kW），转速为n（r/min）时，外⼒偶矩为当功率P单位为马⼒（PS），转速为n（r/min）时，外⼒偶矩为拉（压）杆横截⾯上得正应⼒拉压杆件横截⾯上只有正应⼒，且为平均分布，其计算公式为 (3 -1)式中为该横截⾯得轴⼒，A为横截⾯⾯积。
正负号规定拉应⼒为正，压应⼒为负。
公式（3-1）得适⽤条件：（1）杆端外⼒得合⼒作⽤线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；（2）适⽤于离杆件受⼒区域稍远处得横截⾯；（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产⽣局部应⼒集中现象，横截⾯上应⼒分布很不均匀；（4）截⾯连续变化得直杆，杆件两侧棱边得夹⾓时拉压杆件任意斜截⾯（a图）上得应⼒为平均分布，其计算公式为全应⼒ (3-2)正应⼒（3-3）切应⼒（3-4）式中为横截⾯上得应⼒。
正负号规定：由横截⾯外法线转⾄斜截⾯得外法线，逆时针转向为正，反之为负。
拉应⼒为正，压应⼒为负。
对脱离体内⼀点产⽣顺时针⼒矩得为正，反之为负。
两点结论：（1）当时，即横截⾯上，达到最⼤值，即。
当=时，即纵截⾯上，==0。
（2）当时，即与杆轴成得斜截⾯上，达到最⼤值，即1．2 拉（压）杆得应变与胡克定律（1）变形及应变杆件受到轴向拉⼒时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压⼒时，轴向缩短，横向伸长。
如图3-2。
图3-2轴向变形轴向线应变横向变形横向线应变正负号规定伸长为正，缩短为负。
（2）胡克定律当应⼒不超过材料得⽐例极限时，应⼒与应变成正⽐。
即（3-5）或⽤轴⼒及杆件得变形量表⽰为 (3-6)式中EA称为杆件得抗拉（压）刚度，就是表征杆件抵抗拉压弹性变形能⼒得量。
材料力学期末复习重点
材料力学期末复习重点第一章绪论及基本概念P1构件正常工作的要求。
P5可变形固体的三个基本假设。
第二章轴向拉伸与压缩P10截面法、轴力及轴力图例题：2-1P15最大正应力公式（2-3）例题：2-2P20 拉压杆伸长公式（2-5b）例题2-5P39强度条件（2-13）*例题2-8-2-10第三章扭转P62 扭矩及扭矩图例题3-1P67扭转最大切应力公式（3-7）P68 切应力互等定理式（3-12）P72 强度条件式（3-14）例题3-4第四章弯曲应力P100 梁的剪力和弯矩例题4-1P102剪力方程与弯矩方程4-2-4-6P109弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系及其应用例题4-9P116按叠加原理作弯矩图例题4-10P123任意点处的正应力（4-5）P125最大正应力（4-7b）例题4-13P126梁的正应力强度条件式（4-9）例题4-14-4-16P132 任意点的切应力式（4-10）P133 矩形截面最大切应力式（4-11）P134 工字形截面最大切应力式（4-13）例题4-17P138切应力强度条件式（4-17）例题4-18第五章梁弯曲时的位移P159梁的挠曲性近似微分方程式（5-2b）例题5-1-5-2P162积分常数的几何意义P165按叠加原理计算梁的挠度和转角例题5-5P173梁的刚度校核式（5-11）第六章简单的超静定问题P184 超静定问题及其解法6-1节，能识别超静的次数第七章应力状态和强度理论P214任意斜截面的应力（7-1）-（7-2）式P214 应力圆P216主应力与主平面（7-3）-（7-5）式例题7-2P223 空间应力状态的最大正应力（7-6）式，最大切应力（7-7）例题7-3P226广义胡克定律（7-8）式例题7-5P234 强度理论及其相当应力第一-第四强度理论及适用条件例题7-7附录I 截面的几何性质P334组合截面的静矩（I-3）式和形心（I-4）式例题I-2P336 极惯性矩、惯性矩、惯性积和惯性半径计算例题I-3P339 移轴公式（I-10）熟练利用移轴公式计算组合截面的惯性矩例题I-5-I-6。
材料力学考试知识点
材料力学考试知识点材料力学是一门研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度和稳定性的学科。
对于工科学生来说，这是一门非常重要的基础课程。
以下是材料力学考试中常见的知识点。
一、拉伸与压缩1、内力与轴力图在拉伸或压缩杆件时，杆件内部产生的相互作用力称为内力。
通过截面法可以求得内力，将杆件沿某一截面假想地切开，取其中一部分为研究对象，根据平衡条件求出内力。
用轴力图可以直观地表示轴力沿杆件轴线的变化情况。
2、应力正应力是垂直于截面的应力，计算公式为σ ＝ N/A ，其中 N 为轴力，A 为横截面面积。
切应力是平行于截面的应力。
3、胡克定律在弹性范围内，杆件的变形与所受外力成正比，与杆件的长度成正比，与杆件的横截面面积成反比，与材料的弹性模量成反比。
表达式为Δl ＝ FNl/EA ，其中Δl 为伸长量， FN 为轴力，l 为杆件长度，E 为弹性模量，A 为横截面面积。
4、材料的拉伸与压缩力学性能通过拉伸试验可以得到材料的力学性能，如屈服极限、强度极限、延伸率和断面收缩率等。
二、剪切与挤压1、剪切的实用计算假设剪切面上的切应力均匀分布，根据平衡条件计算剪切面上的剪力和切应力。
2、挤压的实用计算考虑挤压面上的挤压应力，通常假定挤压应力在挤压面上均匀分布。
三、扭转1、扭矩与扭矩图扭矩是杆件受扭时横截面上的内力偶矩。
扭矩图用于表示扭矩沿杆件轴线的变化情况。
2、圆轴扭转时的应力与变形横截面上的切应力沿半径呈线性分布，最大切应力在圆轴表面。
扭转角的计算公式为φ ＝ Tl/GIp ，其中 T 为扭矩，l 为杆件长度，G 为剪切模量，Ip 为极惯性矩。
四、弯曲内力1、剪力和弯矩剪力是横截面切向分布内力的合力，弯矩是横截面法向分布内力的合力偶矩。
通过截面法可以求出剪力和弯矩。
2、剪力图和弯矩图用图形表示剪力和弯矩沿杆件轴线的变化规律，有助于分析杆件的受力情况。
五、弯曲应力1、纯弯曲时的正应力推导得出纯弯曲时横截面上正应力的计算公式σ ＝ My/Iz ，其中 M 为弯矩，y 为所求应力点到中性轴的距离，Iz 为惯性矩。
材料力学重点及公式(期末复习)
1、材料力学得任务：强度、刚度与稳定性；应力单位面积上得内力。
平均应力（1、1）全应力（1、2）正应力垂直于截面得应力分量，用符号表示。
切应力相切于截面得应力分量，用符号表示。
应力得量纲：线应变单位长度上得变形量，无量纲，其物理意义就是构件上一点沿某一方向变形量得大小。
外力偶矩传动轴所受得外力偶矩通常不就是直接给出，而就是根据轴得转速n与传递得功率P来计算。
当功率P单位为千瓦（kW），转速为n（r/min）时，外力偶矩为当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为拉（压）杆横截面上得正应力拉压杆件横截面上只有正应力，且为平均分布，其计算公式为 (3 -1)式中为该横截面得轴力，A为横截面面积。
正负号规定拉应力为正，压应力为负。
公式（3-1）得适用条件：（1）杆端外力得合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；（2）适用于离杆件受力区域稍远处得横截面；（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀；（4）截面连续变化得直杆，杆件两侧棱边得夹角时拉压杆件任意斜截面（a图）上得应力为平均分布，其计算公式为全应力 (3-2)正应力（3-3）切应力（3-4）式中为横截面上得应力。
正负号规定：由横截面外法线转至斜截面得外法线，逆时针转向为正，反之为负。
拉应力为正，压应力为负。
对脱离体内一点产生顺时针力矩得为正，反之为负。
两点结论：（1）当时，即横截面上，达到最大值，即。
当=时，即纵截面上，==0。
（2）当时，即与杆轴成得斜截面上，达到最大值，即1．2 拉（压）杆得应变与胡克定律（1）变形及应变杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。
如图3-2。
图3-2轴向变形轴向线应变横向变形横向线应变正负号规定伸长为正，缩短为负。
（2）胡克定律当应力不超过材料得比例极限时，应力与应变成正比。
即（3-5）或用轴力及杆件得变形量表示为 (3-6)式中EA称为杆件得抗拉（压）刚度，就是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力得量。
材料力学重点公式(期末必备)
材料力学 第二章 拉伸、压缩与剪切
塑性材料制成的杆件受静荷载时，通常可不考虑应力 集中的影响。
均匀的脆性材料或塑性差的材料(如高强度钢)制成的 杆件即使受静荷载时也要考虑应力集中的影响。
非均匀的脆性材料，如铸铁，其本身就因存在气孔等 引起应力集中的内部因素，故可不考虑外部因素引起的应 力集中。
材料力学 第二章 拉伸、压缩与剪切
FN图
kN
60 50
+ 20
1
FN1 A1
0
2
FN 2 A2
60103 4
202
191MPa
3
FN3 A3
50103 4
352
52MPa
材料力学 第二章 拉伸、压缩与剪切
例2-7：试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上 的拉应力。已知：d = 200 mm，δ= 5 mm，p = 2 MPa。
d
dx
—— 扭转角沿长度方向变化率。
材料力学 第三章 扭 转
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
材的G值约为80GPa。
弹性模量、泊松比、切变模量之间的关系
G E
2(1 )
注意：剪切胡克定律式只有在切应力不超过材料的某一极限值
2、变形几何关系
l1 l2 l3 cos
3、物理关系
4、补充方程
FN1l FN3l cos
l1
FN1l
EAcos
EAcos EA
5、求解方程组得
l3
FN 3l EA
材料力学知识点总结
A=bh
扭转
max
T
GI P
1800
注意：单位统一
d T dx GI Z
TL GI P
GIp—抗扭刚度
圆截面杆， 应力在比例极限
A= d 2
4
d 4
d 3
I P 32 ;Wt 16
A D2 (1 2 ) 4
（1） ' （2） G E
2(1 )
IP
d 4 32
(1 4 )
r4 2 3 2
3
x 1
五、强度理论
破坏形式
脆性断裂
塑性断裂
强度理论
破坏主要 因素
破坏条件 强度条件 适用条件
第一强度理论 （最大拉应力理
论） 单元体内的最大拉
应力
1 b
1
脆性材料
莫尔强度理 论
脆性材料
第三强度理论 （最大剪应力理
论） 单元体内的最大
剪应力
max s
1 3
WZ A
Wt
[ ]
5
八、压杆稳定
欧拉公式： Pcr
2 EI min (l ) 2
， cr
2E 2
，应用范围：线弹性范围，cr<p，>p
柔度：
ul i
；
E
；
0
a
b
s
，
柔度是一个与杆件长度、约束、截面尺寸、 形状有关的数据，λ↑Pcr↓σcr↓
临界应力
>p——大柔度杆：
cr
2E 2
o<<p——中柔度杆：cr=a-b
3
1 E
3
( 1
2 )
x
1 E
x
材料力学基础公式
材料力学基础公式一、轴向拉压。
1. 内力 - 轴力（N）- 截面法：N = ∑ F_外（轴力等于截面一侧外力的代数和，拉力为正，压力为负）2. 应力 - 正应力（σ）- σ=(N)/(A)（A为横截面面积）3. 变形 - 轴向变形（Δ L）- 胡克定律：Δ L=(NL)/(EA)（L为杆件原长，E为弹性模量）- 线应变：varepsilon=(Δ L)/(L)，且σ = Evarepsilon二、扭转。
1. 内力 - 扭矩（T）- 截面法：T=∑ M_外（扭矩等于截面一侧外力偶矩的代数和，右手螺旋法则确定正负，拇指指向截面外法线为正）2. 应力 - 切应力（τ）- 对于圆轴扭转：τ=(Tρ)/(I_p)（ρ为所求点到圆心的距离，I_p为极惯性矩）- 在圆轴表面：τ_max=(T)/(W_t)（W_t为抗扭截面系数）3. 变形 - 扭转角（φ）- φ=(TL)/(GI_p)（G为剪切弹性模量）三、弯曲内力。
1. 剪力（V）和弯矩（M）- 截面法：- 剪力V=∑ F_y（截面一侧y方向外力的代数和）- 弯矩M=∑ M_z（截面一侧对z轴外力矩的代数和）- 剪力图和弯矩图：- 集中力作用处，剪力图有突变（突变值等于集中力大小），弯矩图有折角。
- 集中力偶作用处，弯矩图有突变（突变值等于集中力偶大小），剪力图无变化。
2. 弯曲正应力（σ）- σ=(My)/(I_z)（y为所求点到中性轴的距离，I_z为截面对z轴的惯性矩）- 最大正应力：σ_max=(M)/(W_z)（W_z为抗弯截面系数）3. 弯曲切应力（τ）- 对于矩形截面：τ=(VQ)/(Ib)（Q为所求点以上（或以下）部分面积对中性轴的静矩，b为截面宽度）- 对于圆形截面：τ=(4V)/(3A)（A为圆形截面面积）四、梁的变形。
1. 挠曲线近似微分方程。
- EIfrac{d^2y}{dx^2} = M(x)（y为挠度，x为梁轴线坐标）2. 用叠加法求梁的变形。
材料力学公式总结完美版
材料力学公式总结完美版材料力学是研究物体变形和破坏行为的一门学科，它涉及材料的弹性、塑性、破坏等方面。
在材料力学中，有许多重要的公式用于描述物体的变形行为和力学特性。
以下是材料力学中一些重要的公式的总结。
1.应变-应力关系在弹性区域内，应变与应力之间存在线性关系，可以用胡克定律来描述：σ=Eε其中，σ是应力，E是弹性模量，ε是应变。
2.应力-应变能力关系材料的应力和应变能力之间存在线性关系，该关系可以用杨氏模量来描述：ε=σ/E其中，ε是应变能力，σ是应力，E是杨氏模量。
3.拉伸变形在拉伸变形中，变形后的长度L和原始长度L0之间存在线性关系，可以用拉伸应变来表示：ε=(L-L0)/L0其中，ε是拉伸应变，L是变形后的长度，L0是原始长度。
4.柯西应力张量柯西应力张量用于描述材料内部的应力状态，它可以用以下公式表示：σ = [σx σxy σxzσyx σy σyzσzx σzy σz]其中，σ是柯西应力张量，σx，σy，σz是应力分量，σxy，σxz，σyx，σyz，σzx，σzy是剪切应力分量。
5.简单剪切应力简单剪切应力是指与横截面积A垂直的平面上的剪切力F和横截面积A之间的比值，可以用以下公式表示：τ=F/A其中，τ是简单剪切应力，F是剪切力，A是横截面积。
6.剪切变形剪切变形是指物体内各处的剪切角度。
在小角度下，剪切变形可以用剪切应变来表示：γ=θL/h其中，γ是剪切应变，θ是变形前后的剪切角度，L是变形前后的长度，h是变形前后的厚度。
7.杨氏模量杨氏模量是描述材料刚度的一项重要指标，可以用以下公式表示：E=σ/ε其中，E是杨氏模量，σ是应力，ε是应变能力。
8.泊松比泊松比是描述材料纵向和横向变形关系的参数，可以用以下公式表示：ν=-εy/εx其中，ν是泊松比，εy是纵向应变，εx是横向应变。
9.体积模量体积模量是描述材料体积变化的一项重要指标，可以用以下公式表示：K=-P/ΔV/V其中，K是体积模量，P是外部施加的压力，ΔV是体积的变化量，V是初始体积。
(完整版)材料力学知识点总结
材料力学总结一、基本变形二、还有：（1）外力偶矩：)(9549m N nNm •= N —千瓦；n —转/分 （2）薄壁圆管扭转剪应力：tr T22πτ=（3）矩形截面杆扭转剪应力：hb G Th b T 32max ;βϕατ==三、截面几何性质（1）平行移轴公式：;2A a I I ZC Z += abA I I c c Y Z YZ += （2）组合截面： 1．形 心：∑∑===ni ini cii c AyA y 11； ∑∑===ni ini cii c AzA z 112．静 矩：∑=ci i Z y A S ； ∑=ci i y z A S 3. 惯性矩：∑=i Z Z I I )( ；∑=i y y I I )(四、应力分析：（1）二向应力状态（解析法、图解法）a ． 解析法： b.应力圆：σ：拉为“+”，压为“-” τ：使单元体顺时针转动为“+”α：从x 轴逆时针转到截面的 法线为“+”ατασσσσσα2sin 2cos 22x yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2x yx +-=yx xtg σστα--=220 22minmax 22x y x yx τσσσσσ+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±+=c ：适用条件：平衡状态(2)三向应力圆：1max σσ=； 3min σσ=；231max σστ-=x（3）广义虎克定律：[])(13211σσνσε+-=E [])(1z y x x E σσνσε+-=[])(11322σσνσε+-=E [])(1x z y y E σσνσε+-=[])(12133σσνσε+-=E [])(1y x z z E σσνσε+-=*适用条件：各向同性材料；材料服从虎克定律（4）常用的二向应力状态 1．纯剪切应力状态：τσ=1 ，02=σ，τσ-=32．一种常见的二向应力状态：223122τσσσ+⎪⎭⎫⎝⎛±=2234τσσ+=r2243τσσ+=r五、强度理论*相当应力：r σ11σσ=r ，313σσσ-=r ，()()()][212132322214σσσσσσσ-+-+-=r σxσ六、材料的力学性质脆性材料 δ＜5% 塑性材料 δ≥5%低碳钢四阶段： （1）弹性阶段（2）屈服阶段 （3）强化阶段 （4）局部收缩阶段 强度指标 σσb s ,塑性指标 δψ,E tg ==σα七．组合变形ε八、压杆稳定欧拉公式：2min2)(l EI P cr μπ=，22λπσE cr =，应用范围：线弹性范围，σcr <σp ，λ>λp柔度：iul =λ；ρρσπλE=；ba s σλ-=0，柔度是一个与杆件长度、约束、截面尺寸、 形状有关的数据，λ↑P cr ↓σcr ↓λ>λp ——大柔度杆：22λπσE cr =λo <λ<λp ——中柔度杆：σcr=a-b λλ<λ0——小柔度杆：σcr =σs稳定校核：安全系数法：w I cr n P P n ≥=，折减系数法：][σϕσ≤=AP提高杆件稳定性的措施有：1、减少长度2、选择合理截面3、加强约束4、合理选择材料九、交变应力金属疲劳破坏特点：应力特征：破坏应力小于静荷强度； 断裂特征：断裂前无显著塑性变形； 断口特征：断口成光滑区和粗糙区。
材料力学公式完全版
材料力学公式完全版材料力学是研究材料内部力学性能的一门学科。
它是工程学中的一个重要分支，广泛应用于机械、土木、航空航天等领域。
在材料力学中，有一些重要的公式和方程式，下面是材料力学公式的完全版，共包含了应力、应变、变形、强度和刚度等方面的内容。
1.应力方面应力（σ）：表示单位面积上的内力。
常用的单位是Pa（帕斯卡）。
σ=F/A其中，F为受力，A为受力面积。
2.应变方面线性弹性应变（ε）：表示材料由于受力而发生的形变。
ε=ΔL/L其中，ΔL为长度变化，L为初始长度。
3.变形方面胀缩变形（ΔL）：表示材料由于受热导致的体积变化。
ΔL=α×L×ΔT其中，α为热膨胀系数，ΔT为温度变化。
4.应力-应变关系钢材的Hooke定律：描述材料的线性弹性行为。
σ=E×ε其中，E为弹性模量。
5.弯曲方面梁的弯曲应变（ε）：表示材料在弯曲时发生的形变。
ε=M/(E×I)其中，M为弯矩，E为弹性模量，I为截面转动惯量。
6.胀缩方面热膨胀（ΔL）：表示材料在受热时的线膨胀。
ΔL=α×L×ΔT其中，α为热膨胀系数，L为初始长度，ΔT为温度变化。
7.强度方面拉伸强度（σt）：表示材料在拉伸过程中能承受的最大应力。
σt=F/A其中，F为拉伸力，A为受力面积。
8.刚度方面弹性模量（E）：表示材料在受力后发生弹性变形的能力。
E=σ/ε其中，σ为应力，ε为应变。
9.复合材料方面拉伸强度（σt）：表示复合材料在拉伸过程中能承受的最大应力。
σt=F/A其中，F为拉伸力，A为受力面积。
10.断裂方面断裂强度（σf）：表示材料在断裂前能承受的最大应力。
σf=F/A其中，F为断裂力，A为受力面积。
11.龙骨方面龙骨截面面积（A）：表示材料的截面面积。
A=b×h其中，b为龙骨宽度，h为龙骨高度。
12.塑性方面屈服强度（σy）：表示材料开始产生塑性变形的最大应力。
σy=F/A其中，F为受力，A为受力面积。
材料力学公式超级大汇总
材料力学公式超级大汇总Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速）2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正）4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）5.6.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）7.8.纵向线应变和横向线应变9.10.泊松比11.胡克定律12.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式13.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式14.轴向拉压杆的强度计算公式15.许用应力，脆性材料，塑性材料16.延伸率17.截面收缩率18.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）19.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式20.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆21.（b）空心圆22.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）23.圆截面周边各点处最大切应力计算公式24.扭转截面系数，（a）实心圆25.（b）空心圆26.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式27.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式28.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或29.等直圆轴强度条件30.塑性材料；脆性材料31.扭转圆轴的刚度条件或32.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,33.平面应力状态下斜截面应力的一般公式,34.平面应力状态的三个主应力,,35.主平面方位的计算公式36.面内最大切应力37.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，38.三向应力状态最大与最小正应力 ,39.三向应力状态最大切应力40.广义胡克定律41.42.43.四种强度理论的相当应力44.一种常见的应力状态的强度条件，45.组合图形的形心坐标计算公式，46.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式47.截面图形对轴z和轴y的惯性半径,48.平行移轴公式（形心轴z c与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）49.纯弯曲梁的正应力计算公式50.横力弯曲最大正应力计算公式51.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数，，52.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）53.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处54.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式55.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式56.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处57.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处58.弯曲正应力强度条件59.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件60.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，61.梁的挠曲线近似微分方程62.梁的转角方程63.梁的挠曲线方程64.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式65.偏心拉伸（压缩）66.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，67.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为68.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式69.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式70.剪切实用计算的强度条件71. 挤压实用计算的强度条件72. 等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式73. 压杆的约束条件：（a ）两端铰支 μ=l74. （b ）一端固定、一端自由 μ=2 75. （c ）一端固定、一端铰支 μ= 76. （d ）两端固定 μ=77. 压杆的长细比或柔度计算公式 ，78. 细长压杆临界应力的欧拉公式79. 欧拉公式的适用范围80. 压杆稳定性计算的安全系数法81. 压杆稳定性计算的折减系数法82.关系需查表求得3 截面的几何参数序号 公式名称 公式 符号说明（） 截面形心位置 A zdA z A c ⎰=，AydA y Ac ⎰= Z 为水平方向 Y 为竖直方向 （） 截面形心位置 ∑∑=i i i c A A z z ， ∑∑=i i i cA A y y（）面积矩⎰=AZ ydA S ，⎰=Ay zdA S4 应力和应变5 应力状态分析2 内力和内力图6 强度计算7 刚度校核8 压杆稳定性校核10 动荷载9 能量法和简单超静定问题材料力学公式汇总一、应力与强度条件 1、 拉压 []σσ≤=maxmax AN2、 剪切 []ττ≤=AQmax 挤压 []挤压挤压挤压σσ≤=AP3、 圆轴扭转 []ττ≤=W tTmax 4、平面弯曲 ①[]σσ≤=maxz max W M②[]max t max t max max σσ≤=y I Mzt③[]ττ≤⋅=bI S Q z *max z max max5、斜弯曲 []σσ≤+=maxyyz z max W M W M6、拉（压）弯组合 []σσ≤+=maxmax zW M A N注意：“5”与“6”两式仅供参考 7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论 []στσσ≤+=+=z 2n2w 2n2wr34W M M ②第四强度理论 []στσσ≤+=+=z2n2w 2n2w r475.03W M M二、变形及刚度条件 １、 拉压 ∑⎰===∆LEAx x N EAL N EANLL d )(ii２、 扭转 ()⎰=∑==Φpp i i p GI dx x T GI L T GI TLπφ0180⋅=Φ=p GI T L （m / ）３、 弯曲(1)积分法:)()(''x M x EIy = C x x M x EI x EIy +==⎰d )()()('θ D Cx x x x M x EIy ++=⎰⎰d ]d )([)( (2)叠加法:()21,P P f …=()()21P f P f ++…， ()21,P P θ=()()++21P P θθ…(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)EIML B3=θ,EI ML A 6=θ EI PL A B 162==θθ EIqL A B 243==θθ(4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出)EI L M U 22==i i i EI L M 22∑=()⎰EIdxx M 22 (5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)三、应力状态与强度理论１、 二向应力状态斜截面应力２、 二向应力状态极值正应力及所在截面方位角 ３、 二向应力状态的极值剪应力注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为450４、 三向应力状态的主应力：321σσσ≥≥最大剪应力：231max σστ-=5、二向应力状态的广义胡克定律（1）、表达形式之一（用应力表示应变） （2）、表达形式之二（用应变表示应力） 6、三向应力状态的广义胡克定律 7、强度理论（1）[]111σσσ≤=r ()3212σσμσσ+-=r []σ≤ []bb n σσ=（2）[]σσσσ≤-=313r ()()()[]213232221421σσσσσσσ-+-+-=r []σ≤ []s s n σσ=8、平面应力状态下的应变分析 （1）αγαεεεεεα2sin 22cos 22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++=xyyx yx +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-αεεγα2sin 22y x αγ2cos 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛-xy（2）22min max 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=xy y x yx γεεεεεε yx xyεεγα-=02tg四、压杆稳定1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）①细长受压杆 p λλ≥ ()2min2cr L EI P μπ=22crλπσE = ②中长受压杆 s p λλλ≥≥ λσb a -=cr③短粗受压杆 s λλ≤ “cr σ”=s σ 或 b σ2、关于柔度的几个公式 i Lμλ= p 2p σπλE = b a s s σλ-= 3、惯性半径公式A I i z= （圆截面 4di z =，矩形截面12min bi =（b 为短边长度））五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式） 能量方程 U V T ∆=∆+∆冲击系数 st d 211∆++=h K （自由落体冲击） st20d ∆=g v K （水平冲击） 六、截面几何性质1、惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）⎰=dA I P 2ρ=324d π ()44132απ-D D d =α 2、惯性矩平移轴公式。
《材料力学》期末考试知识点总结整理
M>0
x
O
d 2
dx 2
0
M<0
x
O
d2 0
dx2
d2 M (x)
dx2 EI
or
EI
d 2
dx 2
M (x)
挠曲轴的近似微分方程
6-3 用积分法求弯曲变形
EI d2 M (x)
dx 2
EI const
EI
d
dx
M (x)dx
C
d
dx
f2 ( x)
EI M (x)dxdx Cx D
任一截面的剪力 FS =
S截面一侧外力的代数值
左上右下为正，反之为负 任一截面的弯矩 M =
S截面一侧外力对截面形心之矩的代数值
左顺右逆为正，反之为负
总结FS、M 图的基本画法：
1、用静力学平衡方程求解出支座反力
2、研究FS、M 的分段情况 分段端点通常为：
# 集中力或集中力偶的作用处 # 分布载荷的起始和终点处
拉伸 FN •1
A
扭转
t T •
Ip
弯曲
M •y
Iz
应力 内力 •分布规律 几何量
Fuzhou University
材料力学课件
二、弯曲问题的几何量
由
max
M Iz
ymax
Iz
M / ymax
M
Wz
式中
Wz
Iz ymax
称之为抗弯截面系数
矩形截面
Iz
bh3 12
h ymax 2
Wz
轴向拉压／拉压杆的应力与圣维南原理
FN
A
等截面拉压杆横截面上 正应力计算公式
(完整版)材料力学知识点总结
以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。——《管子·牧民》
六、材料的力学性质
脆性材料 ＜5%
塑性材料 ≥5% 低碳钢四阶段： （1）弹性阶段
（2） 屈服阶段 （3） 强化阶段 （4） 局部收缩阶段
强度指标 s , b
e
塑性指标 ,
拉
压
α
s
tg
b
E 扭
45
低
碳
钢
滑移线与轴线 45，剪
只有s，无b
( l)2
cr
2
cr p
p
柔度：
ul
；
i
E
；
0
a s b
，
柔度是一个与杆件长度、约束、截面尺寸、形 状有关的数据，λ↑Pcr↓σcr↓
>p——大柔度杆：
cr
2E
2
临界应力
o<<p——中柔度杆：cr=a-b
cr cr=s o
cr=a-b
2E
cr
2
P
<0——小柔度杆：cr=s
P 稳定校核：安全系数法： n cr n ，折减系数法：
材料疲劳极限：材料经无限次应力循环而不发生疲劳破坏的应力极限值——N=107：
1
条件疲劳极限：（有色金属）无水平渐近线：N=（5-7）107 对应的
1
构件疲劳极限：考虑各种因素 0
;
1
0 1
1 k
1 k
6
谋事在人，成事在天！——《增广贤文》
我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。——《白居易》
P
[]
P
w
A
I
提高杆件稳定性的措施有：
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1、材料力学的任务：强度、刚度和稳定性；应力单位面积上的内力。
平均应力（）全应力（）正应力垂直于截面的应力分量，用符号表示。
切应力相切于截面的应力分量，用符号表示。
应力的量纲：线应变单位长度上的变形量，无量纲，其物理意义是构件上一点沿某一方向变形量的大小。
外力偶矩传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n与传递的功率P 来计算。
当功率P单位为千瓦（kW），转速为n（r/min）时，外力偶矩为当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为拉（压）杆横截面上的正应力拉压杆件横截面上只有正应力，且为平均分布，其计算公式为 (3-1)式中为该横截面的轴力，A为横截面面积。
正负号规定拉应力为正，压应力为负。
公式（3-1）的适用条件：（1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；（2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀；（4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角时拉压杆件任意斜截面（a图）上的应力为平均分布，其计算公式为全应力 (3-2)正应力（3-3）切应力（3-4）式中为横截面上的应力。
正负号规定：由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。
拉应力为正，压应力为负。
对脱离体内一点产生顺时针力矩的为正，反之为负。
两点结论：（1）当时，即横截面上，达到最大值，即。
当=时，即纵截面上，==0。
（2）当时，即与杆轴成的斜截面上，达到最大值，即1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律（1）变形及应变杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。
如图3-2。
图3-2轴向变形轴向线应变横向变形横向线应变正负号规定伸长为正，缩短为负。
（2）胡克定律当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。
即（3-5）或用轴力及杆件的变形量表示为 (3-6)式中EA称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。
公式(3-6)的适用条件：(a)材料在线弹性范围内工作，即；(b)在计算时，l长度内其N、E、A均应为常量。
如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。
即(3-7)(3)泊松比当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。
即 (3-8)表1-1 低碳钢拉伸过程的四个阶段阶段图1-5中线段特征点说明弹性阶段oab比例极限弹性极限为应力与应变成正比的最高应力为不产生残余变形的最高应力屈服阶段bc屈服极限为应力变化不大而变形显著增加时的最低应力强化阶段ce抗拉强度为材料在断裂前所能承受的最大名义应力局部形变阶段ef产生颈缩现象到试件断裂表1-2 主要性能指标性能性能指标说明弹性性能弹性模量E当强度性能屈服极限材料出现显著的塑性变形抗拉强度材料的最大承载能力塑性性能延伸率材料拉断时的塑性变形程度截面收缩率材料的塑性变形程度强度计算许用应力材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。
塑性材料[]=；脆性材料[]=其中称为安全系数，且大于1。
强度条件：构件工作时的最大工作应力不得超过材料的许用应力。
对轴向拉伸（压缩）杆件（3-9）按式（1-4）可进行强度校核、截面设计、确定许克载荷等三类强度计算。
切应力互等定理受力构件内任意一点两个相互垂直面上，切应力总是成对产生，它们的大小相等，方向同时垂直指向或者背离两截面交线，且与截面上存在正应力与否无关。
纯剪切单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态，称为纯剪切应力状态。
切应变切应力作用下，单元体两相互垂直边的直角改变量称为切应变或切应变，用表示。
剪切胡克定律在材料的比例极限范围内，切应力与切应变成正比，即(3-10)式中G为材料的切变模量，为材料的又一弹性常数（另两个弹性常数为弹性模量E及泊松比）,其数值由实验决定。
对各向同性材料,E、、G有下列关系 (3-11)切应力计算公式横截面上某一点切应力大小为 (3-12)式中为该截面对圆心的极惯性矩，为欲求的点至圆心的距离。
圆截面周边上的切应力为 (3-13)式中称为扭转截面系数，R为圆截面半径。
切应力公式讨论（1）切应力公式（3-12）和式（3-13）适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆截面直杆；对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用，其误差在工程允许范围内。
（2）极惯性矩和扭转截面系数是截面几何特征量，计算公式见表3-3。
在面积不变情况下，材料离散程度高，其值愈大；反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强。
因此，设计空心轴比实心轴更为合理。
表3-3实心圆（外径为d ）空心圆（外径为D，内径为d）强度条件圆轴扭转时，全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值，否则将发生破坏。
因此，强度条件为(3-14) 对等圆截面直杆（3-15）式中为材料的许用切应力。
中性层的曲率与弯矩的关系 (3-16)式中，是变形后梁轴线的曲率半径；E是材料的弹性模量；是横截面对中性轴Z轴的惯性矩。
横截面上各点弯曲正应力计算公式 (3-17)式中，M是横截面上的弯矩；的意义同上；y是欲求正应力的点到中性轴的距离最大正应力出现在距中性轴最远点处（3-18）式中，称为抗弯截面系数。
对于的矩形截面，；对于直径为D的圆形截面，；对于内外径之比为的环形截面，。
若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，若不是对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值不相等。
梁的正应力强度条件梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力，其表达式为（3-19）对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁（如T字形截面、上下不等边的工字形截面等），其强度条件应表达为（3-20a）（3-20b）式中，分别是材料的容许拉应力和容许压应力；分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离。
梁的切应力（3-21）式中，Q是横截面上的剪力；是距中性轴为y的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩；是整个横截面对中性轴的惯性矩；b是距中性轴为y处的横截面宽度。
矩形截面梁切应力方向与剪力平行，大小沿截面宽度不变，沿高度呈抛物线分布。
切应力计算公式（3-22）最大切应力发生在中性轴各点处，。
工字形截面梁切应力主要发生在腹板部分，其合力占总剪力的95~97%，因此截面上的剪力主要由腹板部分来承担。
切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线。
计算公式为 (3-23)近似计算腹板上的最大切应力：d为腹板宽度h1为上下两翼缘内侧距圆形截面梁横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点，其竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线变化。
最大切应力发生在中性轴上，其大小为（3-25）圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似。
切应力强度条件梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力，即 (3-2 6)式中，是梁上的最大切应力值；是中性轴一侧面积对中性轴的静矩；是横截面对中性轴的惯性矩；b是处截面的宽度。
对于等宽度截面，发生在中性轴上，对于宽度变化的截面，不一定发生在中性轴上。
剪切的实用计算名义切应力：假设切应力沿剪切面是均匀分布的，则名义切应力为（3-27）剪切强度条件：剪切面上的工作切应力不得超过材料的许用切应力,即（3 -28）挤压的实用计算名义挤压应力假设挤压应力在名义挤压面上是均匀分布的，则（3 -29）式中，表示有效挤压面积，即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上的投影。
当挤压面为平面时为接触面面积，当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上的投影面积。
挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力（3-30）1，变形计算圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。
相距为l的两个横截面的相对扭转角为(rad)若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为(rad)图式中称为圆轴的抗扭刚度。
显然，的正负号与扭矩正负号相同。
公式（）的适用条件：（1）材料在线弹性范围内的等截面圆轴，即；（2）在长度l内，T、G、均为常量。
当以上参数沿轴线分段变化时，则应分段计算扭转角，然后求代数和得总扭转角。
即 (rad) 当T、沿轴线连续变化时,用式计算。
2，刚度条件扭转的刚度条件圆轴最大的单位长度扭转角不得超过许可的单位长度扭转角,即(rad/m)式（）（）2，挠曲线的近似微分方程及其积分在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系对于跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得挠曲线的近似微分方程，即（）将上式积分一次得转角方程为（）再积分得挠曲线方程（）式中，C,D为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。
当梁分为若干段积分时，积分常数的确定除需利用边界条件外，还需要利用连续条件。
3，梁的刚度条件限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的刚度条件，即，（）3，轴向拉伸或压缩杆件的应变能在线弹性范围内，由功能原理得当杆件的横截面面积A、轴力F N为常量时，由胡克定律，可得（）杆单位体积内的应变能称为应变能密度，用表示。
线弹性范围内，得（）4，圆截面直杆扭转应变能在线弹性范围内，由功能原将与代入上式得（）图根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功，得应变能的密度：（）5，梁的弯曲应变能在线弹性范围内，纯弯曲时，由功能原理得将与代入上式得（）图横力弯曲时，梁横截面上的弯矩沿轴线变化，此时，对于微段梁应用式（），积分得全梁的弯曲应变能，即（）2．截面几何性质的定义式列表于下：静矩惯性矩惯性半径惯性积极惯性矩3．惯性矩的平行移轴公式静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示。
定义式：，（Ⅰ-1）量纲为长度的三次方。
由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标和。
则由此可得薄板重心的坐标为同理有所以形心坐标，（Ⅰ-2）或，由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即，；，则；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。
静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。
如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。
设第I 块分图形的面积为，形心坐标为，则其静矩和形心坐标分别为，（Ⅰ-3），（Ⅰ-4）§Ⅰ-2 惯性矩和惯性半径惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图Ⅰ-4所示。
，（Ⅰ-5）量纲为长度的四次方，恒为正。
相应定义，（Ⅰ-6）为图形对轴和对轴的惯性半径。
组合图形的惯性矩。
设为分图形的惯性矩，则总图形对同一轴惯性矩为，（Ⅰ-7）若以表示微面积到坐标原点的距离,则定义图形对坐标原点的极惯性矩（Ⅰ-8）因为所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系（Ⅰ-9）式（Ⅰ-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。