九年级上册数学第四章知识点总结

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北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结

北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
一．比例线段：
1两条线段的比是的比。

将“形”的问题转化为“数”的问题。

2.成比例线段：四条线段a,b,c,d 中，如果，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段。

比例线段是有顺序的，即a,b,c,d 是成比例线段，则是a:b=c:d
3.如果c
b b
a ，那么
b 叫做a 和
c 的比例中项； 4.比例的性质：
（1）基本性质：如果，那么。

（）等比性质：如果，那么 5.平行线分线段成比例定理：
如图，321////l l l ，则可得比例式： DE//AB,则所得比例式：
6．黄金分割：黄金比二．相似三角形：
1.相似三角形的判定方法：
（1）两角对应的两个三角形相似。

（2）两边对应且相等的两个三角形相似。

（3）三边的两个三角形相似
2.相似三角形的性质：
3.位似图形：
4.位似图形有同向和两种。

在坐标系中，图形上点的坐标都乘以k 时，得到的图形与原图形关于原点位似，且位似比是|k|.
5.判定两个三角形相似的常用步骤：
先通过已知，平行、对顶角、公共角等，看能否找到两对相等的角；若只能找到一对相等的角，再分析夹这个角的两边是否成比例；若找不到相等的角，就分析三边是否成比例。

5.常见的基本模型有：
D E F
1l 3
l 2
l m n
B A C。

湘教版九年级数学上册知识点归纳总结

九年级数学上册第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系．3、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章一元二次方程（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20ax bx c++=（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

九年级上数学四单元知识点

九年级上数学四单元知识点在九年级上学期的数学课程中，有四个重要的单元，分别是代数与函数、平面直角坐标系与图像、平面几何与图形和统计与概率。

这四个单元包含了许多重要的知识点和技能，对于我们进一步学习数学和应用数学都具有重要的意义。

下面就让我们来一起回顾一下这些知识点吧。

1. 代数与函数在这个单元中，我们学习了一些重要的代数与函数的知识点。

首先是代数表达式与算式的转化：我们学会了如何将一个代数表达式转化为算式，以及如何将一个算式转化为代数表达式。

这对于我们理解并运用代数原理和规律是非常重要的。

我们还学习了一元一次方程与一元一次不等式的解法。

通过学习方程和不等式的性质，我们可以通过逆运算的方法求解方程和不等式。

这种解法在日常生活中解决实际问题时非常有用。

此外，我们还学习了二次根式的运算。

通过学习二次根式的性质和运算法则，我们可以进行二次根式的化简和运算，为以后学习高等数学打下坚实的基础。

2. 平面直角坐标系与图像在这个单元中，我们学习了平面直角坐标系的建立与应用。

通过学习如何确定点的坐标，我们可以将几何问题转化为代数问题，并通过图像解决问题。

平面直角坐标系的应用范围非常广泛，不仅可以用于解决几何问题，还可以用于研究函数和图像等数学问题。

在平面直角坐标系的基础上，我们还学习了一元一次函数与二次函数的性质和图像。

通过学习函数的性质和图像，我们可以更好地理解函数的定义域、值域、单调性等概念，并能够准确地画出函数的图像。

3. 平面几何与图形平面几何与图形是数学中非常重要的一个分支，也是我们在九年级上学期学习的重点内容之一。

在这个单元中，我们学习了平面图形的性质和判定方法。

首先是三角形的性质和判定方法。

我们学会了如何根据三边的长度关系判断三角形的形状，以及如何利用角度的大小关系判断三角形的形状。

这些方法对于解决实际问题和研究几何性质非常有用。

此外，我们还学习了平行线的性质和判定方法。

通过学习平行线的性质，我们可以解决与平行线相关的几何问题，并且能够更好地理解平行线与角的关系。

北师大版九年级数学上册知识点归纳

九年级数学上册知识点归纳第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

2.矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。

矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。

（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3.正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程1.认识一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=bxax（a、+c+b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。

※把02=bxax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一+c+般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。

九年级上册数学知识点归纳整理

九年级上册数学知识点归纳整理数学透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察而产生。

今天小编在这给大家整理了一些九年级上册数学知识点，我们一起来看看吧！九年级上册数学知识点第1章二次根式一.知识框架二.知识概念二次根式：一般地，形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式。

当a>0时，√a表示a的算数平方根,其中√0=0对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求：1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由;2. 了解最简二次根式的概念;3. 理解并掌握下列结论：1) 是非负数; (2) ; (3) ;4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算;5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。

第2章一元二次根式一.知识框架二.知识概念一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项.本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。

(1)运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.(2)配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式;化二次项系数为1;常数项移到右边;方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式;变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q;如果q<0,方程无实根.介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。

这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。

北师版初三数学上册第四章相似图形知识点讲解

九年级（上）第四章图形的相像(1)形态一样的图形叫相像图形，在相像多边形中，最简洁的是相像三角形.(2) 相像多边形：假如两个边数一样的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相像多边形．相像多边形对应边长度的比叫做相像比．一．成比例线段（1）线段的比假如选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，假如b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有依次的，假如说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,假如b=c ，即 a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2b ad =。

③推断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小依次排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（留意性质立的条件：分母不能为0）根本性质：① a:b=c:d 则有 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）合、分比性质：a c abcd b d b d ±±=⇔=．（4）等比性质：假如)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以削减未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．（4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 留意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不行能有AD,BE,CF 的比例关系（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

数学九年级上册每章知识点

数学九年级上册每章知识点第一章：有理数1. 有理数的概念和分类- 有理数的定义- 正数、负数和零的分类- 有理数的大小比较2. 有理数的加法和减法- 有理数的加法原则- 有理数的减法原则3. 有理数的乘法和除法- 有理数的乘法原则和性质- 有理数的除法原则和性质4. 有理数的运算性质- 加法和减法的交换律、结合律和分配律- 乘法和除法的交换律、结合律和分配律第二章：线性方程和一次不等式1. 变量和代数式- 变量的概念- 代数式的概念和性质2. 一元一次方程- 一元一次方程的定义和基本形式- 解一元一次方程的方法3. 一元一次不等式- 一元一次不等式的定义和基本形式- 解一元一次不等式的方法4. 实际问题与一元一次方程或不等式- 将实际问题转化成一元一次方程或不等式- 解决实际问题的步骤和方法第三章：多项式与因式分解1. 代数式的加减法- 代数式的加法原则和性质- 代数式的减法原则和性质2. 一元多项式- 一元多项式的定义和基本形式- 一元多项式的加减法原则3. 一元多项式的乘法- 一元多项式的乘法原则和性质- 一元多项式的乘法公式4. 因式分解- 因式分解的定义和基本方法- 因式分解的应用第四章：平面直角坐标系与图形初步1. 平面直角坐标系- 平面直角坐标系的概念和构造- 坐标表示和坐标轴上的点2. 点、线和线段- 点的坐标和图形的位置关系- 直线和线段的定义和表示3. 直角和垂线- 直角的概念和判定条件- 垂线的概念和判定条件4. 三角形和四边形- 三角形的分类和性质- 四边形的分类和性质第五章：相似与全等1. 平行线与比例- 平行线的概念和判定条件- 比例的概念和性质2. 相似三角形- 相似三角形的定义和判定条件- 相似三角形的性质和应用3. 全等三角形- 全等三角形的定义和判定条件- 全等三角形的性质和应用4. 相似和全等图形的应用- 利用相似和全等图形求解实际问题- 利用相似和全等图形进行图形的设计以上是数学九年级上册每章的知识点概述。

北师大版数学九年级上册知识点总结

九年级上册数学各章节知识点总结第一章证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。

（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。

（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。

（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。

二、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A∠-︒ 2、等腰三角形的判定(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形. 三、等边三角形性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）三线合一判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

四、直角三角形（一）、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 其它性质：1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。

浙教版九上数学知识点归纳总结

浙教版九上数学知识点归纳总结# 浙教版九年级上册数学知识点归纳总结## 第一章：数与式### 1.1 整式- 整式的概念：由数和字母的乘积组成的代数式。

- 单项式：只含有一个字母的整式。

- 多项式：由多个单项式相加或相减组成的整式。

### 1.2 因式分解- 提取公因式法：找出多项式中所有项的公共因子并提取出来。

- 公式法：利用已知的代数公式进行因式分解。

### 1.3 分式- 分式的概念：分子和分母都是整式的有理表达式。

- 分式的加减：需要通分后进行。

- 分式的乘除：分子乘分子，分母乘分母。

## 第二章：方程与不等式### 2.1 一元一次方程- 解法：移项、合并同类项、系数化为1。

### 2.2 一元二次方程- 解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。

### 2.3 不等式- 不等式的概念：表达式两边不等关系的数学表达。

- 解法：移项、合并同类项、系数化为1。

## 第三章：函数### 3.1 函数的概念- 函数的定义：对于集合A中的每个元素x，都有集合B中唯一确定的元素y与之对应。

### 3.2 一次函数- 一次函数的表达式：\( y = kx + b \)。

- 图像：一条直线。

### 3.3 二次函数- 二次函数的表达式：\( y = ax^2 + bx + c \)。

- 图像：一个开口向上或向下的抛物线。

## 第四章：几何基础### 4.1 线段与角- 线段的性质：两点之间的最短距离。

- 角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。

### 4.2 三角形- 三角形的分类：按边分等腰、等边、不等边；按角分锐角、直角、钝角。

### 4.3 四边形- 四边形的分类：平行四边形、矩形、菱形、正方形。

## 第五章：图形的变换### 5.1 平移- 平移的性质：图形的形状和大小不变，位置改变。

### 5.2 旋转- 旋转的性质：图形的形状和大小不变，方向改变。

### 5.3 对称- 对称的性质：图形关于某条直线或点对称。

数学九年级上册知识点必看

数学九年级上册知识点必看各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，运用，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。

下面是小编给大家整理的一些数学九年级上册知识点的学习资料，希望对大家有所帮助。

九年级上册数学知识点总结第一章二次根式1 二次根式：形如 ( )的式子为二次根式;性质： ( )是一个非负数;2 二次根式的乘除：3 二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式华为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

4 海伦-秦九韶公式：，S是三角形的面积，p为。

第二章一元二次方程1 一元二次方程：等号两边都是整式，且只有一个未知数，未知数的次是2的方程。

2 一元二次方程的解法配方法：将方程的一边配成完全平方式，然后两边开方;公式法：因式分解法：左边是两个因式的乘积，右边为零。

3 一元二次方程在实际问题中的应用4 韦达定理：设是方程的两个根，那么有第三章旋转1 图形的旋转旋转：一个图形绕某一点转动一个角度的图形变换性质：对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角旋转前后的图形全等。

2 中心对称：一个图形绕一个点旋转180度，和另一个图形重合，则两个图形关于这个点中心对称;中心对称图形：一个图形绕某一点旋转180度后得到的图形能够和原来的图形重合，则说这个图形是中心对称图形;3 关于原点对称的点的坐标第四章圆1 圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义2 垂直于弦的直径圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴;垂直于弦的直径平分弦，并且平方弦所对的两条弧;平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。

3 弧、弦、圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

4 圆周角在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半;半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。

5 点和圆的位置关系点在圆外点在圆上 d=r点在圆内 d 定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结

北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结第一章特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。

（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。

（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

注意：平行线间的距离处处相等。

5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。

（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。

（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。

（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。

（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

九年级上册数学四章知识点

九年级上册数学四章知识点九年级上册数学的四章内容分别是：函数与方程、立体几何、平面向量和三角函数。

这四章知识点是九年级学习数学不可或缺的一部分，是基础也是承上启下的关键。

下面我将为大家简要介绍这四章的主要内容和一些重点知识点。

一、函数与方程函数与方程是数学的基础概念，也是后续数学学习的基石。

在这个章节中，我们将学习关于函数和方程的相关知识。

函数是一种对应关系，可以将自变量的值映射到因变量的值。

在函数的表示中，我们常使用函数图像、表达式和函数关系式等形式来描述。

函数的图像可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。

方程是一个等式，其中含有未知数。

解方程就是找到使得方程成立的未知数的值。

在解方程时，我们可以使用等式性质、变型等方法来辅助求解。

二、立体几何立体几何是对三维空间中物体形状和性质的研究。

在这个章节中，我们将学习关于立体几何的相关知识。

首先，我们学习了立体图形的展开图与面积的计算。

展开图是将一个立体图形展开成二维平面的图形，可以帮助我们更好地理解立体图形的结构和性质。

通过展开图，我们可以计算立体图形的表面积和体积。

其次，我们学习了多面体的性质和分类。

多面体是由平面多边形组成的空间图形，如三棱柱、四棱锥、正六面体等。

了解多面体的性质有助于我们解决与多面体相关的问题。

三、平面向量平面向量是描述平面上有方向和大小的量。

在这个章节中，我们将学习关于平面向量的相关知识。

平面向量可以表示为有序数对，并具有平移、共线和比例等性质。

我们可以使用向量的加法、减法、数乘等运算来进行向量的计算。

另外，平面向量还可以表示为坐标表示和分解式。

坐标表示是将平面向量的起点设为原点，将其终点的坐标表示为有序数对。

分解式是将平面向量按照坐标轴的方向分解成两个分量。

四、三角函数三角函数是研究角度和边长之间关系的函数。

在这个章节中，我们将学习关于三角函数的相关知识。

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们的定义和性质都与三角形的边长和角度有关。

九年级上册数学各章节知识点总结(最新最全)

九年级上册数学各章节知识点总结(最新
最全)
1. 有理数与整式有理数与整式
- 有理数的概念及表示方法
- 有理数的大小比较
- 有理数的加法、减法、乘法、除法运算法则
- 整式的定义和基本运算
2. 方程与不等式方程与不等式
- 一元一次方程的概念、解法及应用
- 恒等方程和条件方程
- 一元一次不等式的概念及解法
- 一元一次方程与不等式的综合应用
3. 函数与图像函数与图像
- 函数的概念及表示
- 函数的增减性和奇偶性
- 函数的概率和函数的平移、翻折、对称变换
- 函数图像的特点和简单的函数图像绘制
4. 图形的性质图形的性质
- 平行线与相交线
- 三角形的定义及分类
- 三角形的性质与判定
- 常见四边形的性质及判定
5. 相似与全等相似与全等
- 相似的概念及相似三角形的判定
- 相似比的计算
- 全等的概念及全等三角形的判定
- 全等三角形的性质和应用
6. 三角函数三角函数
- 角的概念及角的度量
- 反义函数、同角三角函数特殊值
- 三角函数的图像
- 三角函数的性质及简单的计算与应用7. 圆圆
- 圆的定义和性质
- 圆上的弧和弦
- 切线与圆的位置关系
- 圆的周长和面积的计算
以上是九年级上册数学各章节知识点的总结，请根据具体情况进行查阅和复习。

北师大版《数学》(九年级上册)知识点总结

北师大版《数学》（九年级上册）知识点总结第一章证明（二）1、你能证明它吗？（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、（2）等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

或者三个角都相等的三角形是等边三角形。

（4）含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。

（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）3、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。

4、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

北师大版数学九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题

北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形．知识点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．知识点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项）（2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

九年级数学上册第四单元重要知识点总结

九年级数学上册第四单元重要知识点总结(1)位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.(2)掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形;②两个位似图形的位似中心只有一个;③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧;④位似比就是相似比.利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似.(3)位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质.位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比(相似比).(4)两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线;不经过位似中心的对应线段平行.(5)利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题.作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择;②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点;③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小;④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形.1.下列说法正确的是().A.相似的两个五边形一定是位似图形B.两个大小不同的正三角形一定是位似图形C.两个位似图形一定是相似图形D.所有的正方形都是位似图形考查目的：考查位似图形的概念.答案：C.解析：位似图形是相似图形的特例，相似图形不一定是位似图形，故答案应选择C.2.两个位似多边形一对对应顶点到位似中心的距离比为1∶2，且它们面积和为80，则较小的多边形的面积是()A.16B.32C.48D.64考查目的：考查位似图形的概念和性质.答案：A.解析：位似图形必定相似，具备相似形的性质，其相似比等于一对对应顶点到位似中心的距离比.相似比为1∶2，则面积比为1∶4，由面积和为80，得到它们的面积分别为16，64.故答案应选择A.3.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为________ cm.考查目的：考查位似图形的概念和性质.答案：50.解析：位似图形一定是相似图形，具备相似图形的性质，其相似比等于一组对应边的比，相似比是3∶5，则周长比是3∶5，故答案应是50.。