例说圆锥及其侧面展开图

例说圆锥及其侧面展开图

我们在解决圆锥的有关计算问题时，常常将其转化为平面图形，再利用平面图形的有关知识来解决。

如图，圆锥的底面半径r ，圆锥母线ι，圆锥的高h ，构成直角三角形，从而有ι2=r 2+h 2。圆锥的底面直径AB 与圆锥母线SA 、SB 构成等腰△SAB ，等腰△SAB 又称圆锥的轴截面。

圆锥的侧面展开图是一个以圆锥的底面周长2πr 为弧长，以圆锥母线ι为半径的扇形，从而根据扇形面积公式得S 侧=360n πι2或S 侧=2

1·2πr·ι=πrι。 圆锥的全面积是指侧面积与底面积的和，公式为S 全=πrι+πr 2。

上述四个公式共有5个量：ι、h 、r 、n 、S 侧，由于每个公式中只有三个量，

从而只要知道其中的两个量，就可以将另外三个量利用方程或方程组求出来。

我们经常要用到“四个公式”和“三个图形”的相关性质解决有关圆锥问题。 例1、如图1已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）

A ．24πcm

B ．26πcm

C ．29πcm

D ．212πcm

分析：因为是用扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积就是这个扇形的面积。

解：所以圆锥的侧面积是360120×πr 2=12π， 所以选D 。

例2、（2009年江汉油田）现有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm ，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为（ ）

A ．9°

B ．18°

C ．63°

D ．72° 分析：因为是用剩下扇形纸片围成的圆锥形纸帽，所以剩下扇形纸片就是圆锥形纸帽的侧面展开图，根据圆锥的底面周长与圆锥的侧面展开图的弧长相等，求出剩下扇形纸片的圆心角即可。

解：30％圆周的一个扇形圆心角=360°×30％=108°，设出剩下扇形纸片的圆心角为n°，则180

n ×π×40=2π×10，n=90，所以剪去的扇形纸片的圆心角=108°－90°=18°，所以选B 。

例3、已知圆锥的全面积为4πcm 2，底面半径为1cm ，则其母线长为（ ）

A ．1 cm

B ．3 cm

C ．4 cm

D ．5 cm

分析：本题是已知圆锥的全面积，可直接利用圆锥的全面积公式S 全=πr l +πr 2，即可求出圆锥的母线长。

解：圆锥的全面积：S 全=πr l +πr 2=πl +π=4π，则l =3，所以选B 。

例4、一个圆锥的侧面积是18 ，侧面展开图是半圆，则圆锥的高为（ ）

A ．9

B ．33

C ．3

D ．3

分析：根据圆锥的底面周长与圆锥的侧面展开图的弧长相等，结合弧长和扇形面积公式，求出圆锥的底面半径或母线长，因为圆锥的底面半径、母线长、高构成直角三角形，所以再利用勾股定理即可解决问题。

解：设圆锥的底面半径为r ，圆锥母线为l ，从而底面周长为2πr ，所以圆锥的侧面积是2

1·2πr·l =18π，则r·l =18，因为圆锥的侧面展开图是半圆，则360

180×πl 2=18π，则l =6，所以r=3，又因为圆锥的底面半径、母线长、高构成直角三角形，所以圆锥的高为22r l -=2236-=33，所以选B 。

例5、一个圆锥的高为33，侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长与底面圆的半径的比是 。

分析：再根据圆锥的底面周长与圆锥的侧面展开图的弧长相等列出方程，组成方程组即可求出圆锥的底面半径与母线长之间的关系。

解：设圆锥的底面半径为r ，圆锥母线为l ，从而底面周长为2πr ，因为圆锥的侧面展开图的弧长

180180×πl ，可得方程180180×πl =2πr ，化简得l =2r ，所以l ：r =2：1。