单调有界数列收敛定理

2
5
。由 xn
> 1，舍去负值，即有
lim
n→∞
x
n
=
1
+ 2
5。
例2.4.2 设 0 < x1 < 1, xn+1 = xn (1 − xn ) , n = 1,2,3," 。证明{ xn }收 敛，并求它的极限。
解 应用数学归纳法，可以得到对一切 n ∈ N+ ， 0 < xn < 1。
由 xn+1 = xn (1 − xn ) ( n = 1,2," )，可得 xn+1 - xn = − xn2 < 0 ，
5 −1 ≈0.618。
2
π和e
设单位圆内接正
n
边形的半周长为
Ln
，则
Ln
=
n sin
180o n
。数列{Ln}
应该收敛于该圆的半周长，即圆周率 π 。现在来严格证明{Ln} 的极限
存在。
π和e
设单位圆内接正
n
边形的半周长为
Ln
，则
Ln
=
n sin
180o n
。数列{Ln}
应该收敛于该圆的半周长，即圆周率 π 。现在来严格证明{Ln} 的极限
存在。
例2.4.5
数列
⎧ ⎨n
sin
180
o
⎫ ⎬
收敛。
⎩
n⎭
证
令t
=
180o n(n + 1)
，则当 n
≥
3 时， nt
≤
45o
。
tan nt = tan(n −1)t + tan t ≥ tan(n −1)t + tan t ≥ " ≥ n tan t ，
1 − tan(n −1)t tan t
b2k +2 − b2k = 1 +
1 1
- b2k = ⎜⎜⎝⎛
1+
b2 k
5 +1 2
−
b2k
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
5 −1 2
+
b2k
⎟⎟⎠⎞
<
0
，
1 + b2k
b2k +1 - b2k −1 = 1 +
1 1
- b2k −1 = ⎜⎜⎝⎛
1+
b2k −1
5+ 2
1
−
b2k
−1
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
5 −1 2
b2k −1 ∈ ⎜⎜⎝⎛ 0,
5+ 2
1
⎟⎟⎠⎞
,
b2
k
∈ ⎜⎜⎝⎛
5+ 2
1,+∞ ⎟⎟⎠⎞
，
k
=
1,2,3," ，
b2k +2 − b2k = 1 +
1 1
- b2k = ⎜⎜⎝⎛
1+
b2 k
5 +1 2
−
b2k
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
5 −1 2
+
ห้องสมุดไป่ตู้
b2k
⎟⎟⎠⎞
<
0
，
1 + b2k
b2k +1 - b2k −1 = 1 +
解 首先有 0 < x1 < 3。设 0 < xk < 3 ，则 0 < xk+1= 3 + 2xk < 3 ，由数
学归纳法，可知对一切 n ，成立
0 < xn < 3。
由于 xn+1 - xn =
3 + 2xn
-
xn
=
(3 − xn )(1 3 + 2xn
+ +
xn ) xn
>
0 ，数列{ xn }单调增加且
到第 n + 1季度，能产小兔的兔对数为 an−1 ,所以第 n + 1季度兔对的 总数应等于第 n 季度兔对的总数 an 加上新产下的小兔对数 an−1 ，于是 { an }具有性质：
an+1 = an + an−1 ， n = 2,3,4,"。
设 an 是第 n 季度兔对总数，则 a1 =1, a2 =1, a3 =2, a4 =3, a5 =5, …
1 1
- b2k −1 = ⎜⎜⎝⎛
1+
b2k −1
5+ 2
1
−
b2k
−1
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
5 −1 2
+
b2k −1
⎟⎟⎠⎞
>
0
。
1 + b2k −1
{bn }并不是单调数列。但是有关系
b2k −1 ∈ ⎜⎜⎝⎛ 0,
5+ 2
1
⎟⎟⎠⎞
,
b2
k
∈ ⎜⎜⎝⎛
5+ 2
1 ,+∞ ⎟⎟⎠⎞
，
k
=
1,2,3," ，
= ⎜⎛1 +
⎝
1 n
⎟⎞ n ⎠
⋅1 ≤
⎡ ⎢ ⎢
n⎜⎛1 ⎝
+
1 n
⎟⎞ ⎠
⎢ n+1
+
⎤ 1⎥
n
+1
⎥=
⎥
xn+1 ,
⎢⎣
⎥⎦
1 yn
= ⎜⎛ n ⎟⎞n+1 ⋅1 ≤
⎝ n +1⎠
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
(n
+
1) n
n +
n + 2
1
+
1⎥⎤ ⎥ ⎥
n+
2
=
1 yn+1
。
⎢⎣
⎥⎦
即{ xn }单调增加，{ yn }单调减少。又由于
例2.4.1
设 x1 > 0 ,
xn+1
=
1
+
1
xn + xn
,n
= 1,2,3," 。证明数列{ xn }
收敛，并求它的极限。
解 首先，应用数学归纳法可直接得到：当 n ≥ 2 时，
1 < xn < 2 。
然后由
xn
+1
=
1
+
1
xn + xn
( n = 1,2,3," ) 可得
xn+1
−
xn
=
(1 +
有上界，由定理2.4.1可知{ xn }收敛。
设 lim n→∞
xn
=
a
，对 xn+1 =
此方程，得到 a = 3 ，即
3 + 2xn 两边求极限，得到 a =
lim
n→∞
xn
= 3。
3 + 2a ，解
例2.4.4 “Fibonacci数列”与兔群增长率： 设一对刚出生的小兔要经过两个季度，即经过成长期后到达成熟 期，才能再产小兔，且每对成熟的兔子每季度产一对小兔。在不考虑 兔子死亡的前提下，求兔群逐年增长率的变化趋势。 解 设第一季度只有1对刚出生的小兔，则各季兔对总数见下表：
⎪⎩⎝
+
1 n
⎟⎞ n+1 ⎠
⎪⎫ ⎬ ⎪⎭
单调减少，两者收
敛于同一极限。
证 得到
记
xn
=
⎜⎛1 + ⎝
1 n
⎟⎞ n ⎠
,
yn
=
⎜⎛1 ⎝
+
1 n
⎟⎞ n+1 ⎠
，由平均值不等式
n
a1a 2 "a n
≤ a1 + a2 + " + an n
( ak > 0 ， k = 1,2,3,",n )，
xn
即{ xn }单调减少有下界，由定理2.4.1，{xn}收敛。
设 lim n→∞
xn
=
a
，在等式
xn+1 =
xn (1 −
xn )
两边同时求极限，得到方程
a = a(1 − a) ，解得 a = 0 。于是得到：
lim
n→∞
xn
= 0。
应用Stolz定理：
lim
n→∞
(nxn
)
= lim n→∞
n 1
即{ xn }单调减少有下界，由定理2.4.1，{xn}收敛。
例2.4.2 设 0 < x1 < 1, xn+1 = xn (1 − xn ) , n = 1,2,3," 。证明{ xn }收 敛，并求它的极限。
解 应用数学归纳法，可以得到对一切 n ∈ N+ ， 0 < xn < 1。
由 xn+1 = xn (1 − xn ) ( n = 1,2," )，可得 xn+1 - xn = − xn2 < 0 ，
+2
=
lim
k→∞
1 + 2b2k 1 + b2k
得到
a
=
1 + 2a 1+ a
；
由 lim k→∞
= b2k +1
lim
k→∞
1 + 2b2k −1 1 + b2k −1
得到
b
=
1 + 2b 1+b
。
这两个方程有相同的解 a =b = 1± 5 ,舍去负根，于是得出结论：在不
2
考虑兔子死亡的前提下，经过较长一段时间，兔群逐季增长率趋于
=
an+1 an
，则 bn
−1 表示了兔群在第 n
+ 1季度的增长率。由
bn =
an+1 an
=
an
+ an−1 an
=1+
a n −1 an
=1+
1 bn−1
，
可知当 bn >
5+ 2
1
时，
bn+1
<
5 +1 2
；当 bn
<
5+ 2
1
时，
bn+1
>
5 +1。
2
{bn }并不是单调数列。但是有关系
+
b2k −1
⎟⎟⎠⎞
>
0
。
1 + b2k −1
所以{ b2k }是单调减少的有下界的数列，{ b2k+1}是单调增加的有上界 的数列，因而都是收敛数列。
设 lim k →∞
b2k
=
a
，lim k →∞
b2k +1
=
b
，则有
5 + 1 ≤ a < +∞，0 < b ≤
2
5 +1。
2
由
lim
k→∞
b2 k
{xn
}
可以
用
⎧1
⎨ ⎩
n
⎫ ⎬ ⎭
来代替。这两个无穷小量称为是等价的。
例2.4.3 设 x1 = 2 , xn+1 = 3 + 2xn , n = 1,2,3,"。证明数列{ xn }收 敛，并求它的极限。
解 首先有 0 < x1 < 3。设 0 < xk < 3 ，则 0 < xk+1= 3 + 2xk < 3 ，由数
季度 1 2 3 4 5 6 7
小兔对数 1 0 1 1 2 3 5
成长期兔对数 0 1 0 1 1 2 3
成熟期兔对数 0 0 1 1 2 3 5
兔对总和 1 1 2 3 5 8 13
设 an 是第 n 季度兔对总数，则 a1 =1, a2 =1, a3 =2, a4 =3, a5 =5, …
数列{ an }称为Fibonacci数列。
§4 收敛准则
单调有界数列收敛定理
定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。
证 不妨设数列{ xn }单调增加且有上界，根据确界存在定理，由 { xn }构成的数集必有上确界 β ， β 满足：
(1) ∀n ∈ N + : xn ≤ β ； (2) ∀ε > 0 ， ∃ xn0 : xn0 > β − ε 。
Ln+1 。
另一方面，单位圆内接正 n 边形的面积
因此当 n ≥ 3 时，
Sn
180o = n sin
n
180o cos
n
< 4，
Ln
= n sin 180o n
<
4 180o
4 ≤ cos 60o
= 8。
cos
n
综上所述，数列{ Ln }单调增加且有上界，因而收敛。将这个极 限用希腊字母π 来记，就有
= lim n→∞
1
1 −
1
= lim n→∞
xn+1xn = lim
xn − xn+1 n→∞
xn2 (1 − xn2
xn )
=
1。
xn
xn+1 xn
换言之，不管 0 < x1 < 1如何选取，当 n 充分大时，无穷小量{xn} 的
变化规律与无穷小量
⎧ ⎨ ⎩
1 n
⎫ ⎬ ⎭
愈来愈趋于一致，在许多场合，
取 N = n0 , ∀ n > N ： β − ε < xn0 ≤ xn ≤ β ，
因而 xn − β < ε ，于是得到
lim
n→∞
xn
=
β
。
证毕
注 按极限定义证明一个数列收敛时，必须先知道它的极限是什 么。定理2.4.1的重要性在于，它使我们可以从数列本身出发去研究 其敛散性，进而，在判断出数列收敛时，利用极限运算去求出相应 的极限。
xn xn
− xn−1 )(1 + xn−1 )
。
这说明对一切 n ≥ 2 , xn+1 − xn 具有相同符号，从而{xn} 是单调数列。由
定理2.4.1，{ xn }收敛。
设 lim n→∞
xn
=
a
，在等式
x
n+1
=
1
+
1
xn +x
n
两边同时求极限，得到方程
a
=
1
+
1
a +
a
,
解得方程的根为 a = 1±
2 = x1 ≤ xn < yn ≤ y1 = 4 ,
学归纳法，可知对一切 n ，成立
0 < xn < 3。
由于 xn+1 - xn =
3 + 2xn
-
xn
=
(3 − xn )(1 3 + 2xn
+ +
xn ) xn
>
0 ，数列{ xn }单调增加且
有上界，由定理2.4.1可知{ xn }收敛。
例2.4.3 设 x1 = 2 , xn+1 = 3 + 2xn , n = 1,2,3,"。证明数列{ xn }收 敛，并求它的极限。
于是
sin(n + 1)t = sin nt cost + cosnt sin t
=
sin
nt
cos t⎜⎛1 + ⎝
tan t tan nt
⎟⎞ ⎠
≤
n+ n
1 sin nt
，
所以，当 n ≥ 3 时，
Ln
= n sin 180o n
180o ≤ (n + 1) sin n + 1 =
Ln+1 。
数列{ an }称为Fibonacci数列。
到第 n + 1季度，能产小兔的兔对数为 an−1 ,所以第 n + 1季度兔对的 总数应等于第 n 季度兔对的总数 an 加上新产下的小兔对数 an−1 ，于是 { an }具有性质：
an+1 = an + an−1 ， n = 2,3,4,"。
令 bn
lim
n→∞
Sn
= lim n sin 180o
n→∞
n
180o cos
n
=π
，
可知单位圆的一个扇形的面积等于其顶角弧度的一半。
在弧度制下，上例中的极限式又可以写成
lim
n→∞
sin(π n) πn
= 1。
例2.4.6
数列
⎪⎨⎧⎜⎛1 ⎪⎩⎝
+
1 n
⎟⎞ n ⎠
⎪⎫ ⎬ ⎪⎭
单调增加，⎪⎨⎧⎜⎛1
另一方面，单位圆内接正 n 边形的面积
因此当 n ≥ 3 时，
Sn
=
180o n sin
n
180o cos
n
<
4，
Ln
= n sin 180o n
<
4 180o
4 ≤ cos 60o
= 8。
cos
n
所以，当 n ≥ 3 时，
Ln
= n sin 180o n
180o ≤ (n + 1) sin n + 1 =
lim n sin 180o = π 。
n→∞
n
注 有了 π 的定义，就可以定义角度的弧度制。
由于单位圆的半周长为 π ，就把半个圆周所对的圆心角（即180o ） 的弧度定义为 π ，其余角度的弧度则按比例得到。于是对单位圆来说，
一个圆心角的弧度恰好等于它所对的圆弧的长度。
设单位圆的内接正 n 边形的面积为 Sn ，则 Sn 的极限就是单位圆的 面积。由于