塑性力学第2章-理想弹塑性材料的三杆桁架问题

N1 N3
1
2
3
1 3
21 2 F / A0
3
F
2l0 21l1 21l0
2 21
2
1
(一) 弹性阶段
1 E1 2 E 2
2 21
2 21
21 2 F / A0
1 F 1 * 2 2 A0 2 F 2 * 2 2 A0
FY 此时对应的外载为：
1
2
3
FY Y A0 (1 2)
Y 2 Y l0 / E
FY 称为塑性极限。
弹性极限：
F
FY Y A0 (1 2)
Y 2 Y l0 / E
FY / Fe 2
1 Fe Y A0 (1 ) 2 e Y l0 / E
（2）当 F Fe 时，杆2进入塑性强化阶段。
Y 2 Y Ep 2 E 杆1仍然为弹性：
1 E1
21 2 F / A0 2 21
Ep F Y 1 A E 1 0 Ep 1 2 E 2
1 / l1 1 / 2 1 2 cos l2 2
在变形后的结构上建立平衡方程:
1 cos A2 2 F 2 A1
1 cos A2 2 Y EP Y EP F 2 A1
2 Y
Y
1 3
( 1 3 ) / 2 2 F / A0
1 2 3
F 1 ( Y ) / 2 A0
F
三根杆中有一根进入塑性后，三杆桁架变成静定的了。
(三) 塑性流动阶段 随着F的继续增大，最终使得第1和3杆也达到屈服。
1 3 Y
重复加载 若在卸载完毕后再重复加载,由于从 F * 卸载到零的过程是弹 性的,从零再加载到 F * 仍然是弹性过程. 初始状态:
0 2
0
杆2的弹性范围
0 2 Y
整个桁架结构的弹性范围也扩大了 因此,在结构内部产生某种有利的残余应力状态可以扩大结 构的弹性范围。如工程中的预应力法等。 此外，本节中的材料为理想弹塑性材料，没有强化效应， 卸载后能出现弹性范围扩大效应，是挖掘结构的承载能力。
（1）非比例加载 从O到A点
F
FY
(1)
A (1) B
极限载荷: FY Y A0 (1 2)
杆内应力: 1 2 3 Y 节点位移: y Y 2 Y l0 / E
0
Q
x 0
Q x
F y
当保持竖直位移不变情况下,增加Q,此时F 将有相应的改 变.用 F 和 Q表示F和Q的改变量. 应力关系
2 1
2 F * Y 随着F的增大,第二根杆先达到屈服状态: 2 2 2 A0 此时,对应的外载为:弹性极限载荷 Fe
1 Fe Y A0 (1 ) 2
e 2l0 2l0 / E Y l0 / E
(二) 约束塑性阶段 当 F Fe 时,第二杆已经进入塑性变形,但是1和3杆仍然 为弹性.
10
Y F* ( 1) / E Fe E
10
2 0
20 210 0
杆1的位移: 10 10l1 10
Y F* 2l0 ( 1) l0 0 Fe E
F* 2( 1) e 0 Fe
桁架的位移:
0

210
在低碳钢的拉伸试验中,经过屈服阶段卸载后的残余应变就是塑 性应变;而对本章中的静不定结构并非如此,杆1中的残余应变 为弹性应变.
卸载后重复加载扩大弹性范围
所挖掘出来的是结构的承载能 力，而不是材料的承载能力。
2.2 线性强化弹塑性材料的三杆桁架
2.2 线性强化弹塑性材料的三杆桁架 三根杆的两端都是铰连接。各杆初始的截面积均为A0，杆2的长 度为 l0 ，三杆连接处受竖直向下的力F作用，则: 假设材料是弹-线性强化的 强化模量是Ep
1 2 1 ln 1 2 1 1 ln(1 ) 2 F A0 Y A E 0 P 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2
塑性力学
第二章 结构塑性性态的基本特征
武汉理工大学理学院工程结构与力学系
2.1 理想弹塑性材料的三杆桁架问题 2.2 线性强化弹塑性材料的三杆桁架
2.3 几何大变形对桁架承载能力的影响
2.4 加载路径对于桁架内应力和应变的影响 2.5 载荷平面内的屈服曲线和极限曲线
常用的理想化模型
（a）理想弹性
1 2 0 3 E 3 E x 2l0 0
大变形的情况下，可将弹性变形忽略，采用刚-线性强化材料模型。
j j Y EP

j
1, 2,3
Y
塑性变形体积不变,则:
1 2 A1 A0 2l0 / l1 A0 / 1 2
l2 A0 / 1 A2
变形后,杆1与杆2的夹角为:
Y 2 e
塑性极限：
弹性极限：
FY Y A0 (1 2)
Y 2 Y l0 / E
FY / Fe 2
1 Fe Y A0 (1 ) 2 e Y l0 / E
Y 2 e
F Fe
Fe F FY F FY
弹性阶段 约束塑性阶段 塑性流动阶段
1 2 ln(1 ) 1 ln 1 2 2 1 1 F A0 Y A E 0 P 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2
考虑：节点同时受水平力Q和竖直力F作用
2.4 加载路径对于桁架内应力和应变的影响
F
A
(1) B (2) Q
Q x
(1)
F y
（1）非比例加载
先施加F至极限载荷 FY ，同时保持Q=0；保持竖直位移不变的情况
下，Q逐步增大，至新的塑性状态。
（2）比例加载
Q和F同时加载，整个过程 F : Q 1: 2 ，直至（1）的塑性状态。
由此可见,考虑材料强化所得到的F与理想弹塑性桁架的塑性极
限载荷差别不大.
线性强化材料进入塑性后应力 仍然随应变增长,F并不是承载 极限;而理想弹塑性材料进入 塑性流动后不能继续承载.
2.3 几何大变形对桁架承载能力的影响 前面章节采用了以下假定： （1）小变形的假定 （2）平衡方程建立在结构的初始几何上 （3）杆截面不发生变化 实际上：
（强化材料），几何大变形对于结构的弹塑性来说，一般不可忽 略，甚至是一个起决定性作用的因素。
2.4 加载路径对于桁架内应力和应变的影响 区别：
弹性状态下：应力应变满足线性关系，可以叠加， 因此不受加载路径的影响。
Q x
F y
弹塑性状态下：应力应变是非线性关系，而且有 加载卸载的区别，应力应变不是一一对应的关系， 不同的变形路径得到不同的结果。
2 ( 1 3 ) ( 1 3 )
应变关系
2 F A0
F y
Q x
2 Q A0
1 ( y x ) 2l0 2 y l0 3 ( y x ) 2l0
2 1 3
（b）理想刚塑性
（c）理想弹塑性 （d）刚-线性强化 （e）弹-线性强化
2.1 理想弹塑性材料的三杆桁架问题
2.1 理想弹塑性材料的三杆桁架问题 三根杆的两端都是铰连接。各杆初始的截面积均为A0，杆2的长 度为 l0 ，三杆连接处受竖直向下的力F作用，则:
N N cos 45 N2 F 1 3
2 从A到B点(施加Q) 保持竖直位移不变,故: y 0 施加Q, 故: x x 0
1 ( y x ) 2l0 0 2 y l0 0 3 ( y x ) 2l0 0
说明:第1杆继续伸长，第2杆长度不变，第3杆卸载
1 百度文库 2 / 2
2 Y
F 1 ( Y ) / 2 A0
10 20
F* ( 1) Y / Fe
2 0
F* (1 ) Y 0 Fe
残余应变 杆1中的残余应力为
10
F* ( 1) Y / Fe
2 0
* 因为 Fe F FY ,杆1仍然为弹性,其卸载也为弹性,则:
l1
1 2 3
l0
2
1 2 l0 2l0 1 2 2
/ l0
l0 l0 1 l2
杆的对数应变：
1 1 2 1 ln l1 / 2l0 ln(1 ) 2 2


2 ln l2 / l0 ln(1 )
2 Y 2 21 E
FY Y A0 (1 2)
外载比较分析： 线性强化弹塑性: 理想弹塑性:
Ep F Y A0 2 1 E
FY Y A0 (1 2)
当
Ep E 0.1
F 1 Ep 1 FY 2 1 E
F 1.041 FY
FY
Fe
（四） 卸载 卸载服从弹性规律。 若加载到 Fe F * FY 后卸载，应力的 变化应该按弹性状态的变化规律.
Y
1 F 1 * 2 2 A0 2 F 2 * 2 2 A0
2 F * 2 2 2 A0 Fe Y 1 A0 1 2
2 F 2 * 2 2 A0
1 Fe Y A0 (1 ) 2
1 1 / E 2 2 / E
F 2 Y Fe
1 2 / 2
残余应力
* 若将 F *全部卸除: F F
F F* 2 Y Y Fe Fe
Ep F Ep Y 1 / 2 E A0 E 2 Ep 1 E 2
1 Y （3）当F进一步增大，杆1也进入塑性：
Y 1 E
3 Y
Y Y 2 Y Ep 2 Y E p E E 此时的外载为： Ep F 2N1 N2 21 A0 2 A0 Y A0 2 1 E
当 EP / Y 1 时，虽然有材料强化和 变小两个因素使桁架在
F 值随着 的增大而 较小时力 F 提高，但随着杆件截面积缩小，
减小，变成不稳定结构。当 EP / Y 8 时也有类似的变化趋势。
小结：几何大变形对结构承载能力可能产生重要的影响。一旦结
构进入塑性流动阶段（理想弹塑性材料）或者自由塑性变形阶段
当 j Y E j j Y E p j 当 j Y Y E
当 j Y E j j Y Y E p j E 当 j Y
（1）当 F Fe时，桁架处于弹性阶段，上一节中得到的结 果仍然适用。