5 第五讲 中国古代算学发展(考研讲义)

第五讲中国古代数学发展

萌芽与奠基：

一、原始社会时期

数学的萌芽-事物的数量和形状

1）对具体的几何图形有一定认识2）会使用简单的画几何图形的工具3）通过织物，对形和数间的关系有一定认识

二、夏商周奴隶社会时期

概况：由于商品交换的扩大，防治洪水和开挖沟渠、建筑城市宫殿、测量地亩、编制适合农时的历法等都需要数学知识和计算技能，因而数学知识获得比较大的发展。

表现：1）商代陶文和甲骨文里有很多记数文字；

2）计数法遵循十进制，含有位值制的意义，简洁明了；

3）用小木棍作为计算工具，叫做算筹；用算筹进行计算，叫做筹算；

4）西周时期，数学是士阶层”六艺”之一；

5）发明简单的四则运算

三、春秋战国大变革时期

背景：天文历法、赋税商业、工艺规范化和标准量器的使用，建筑水利工程，都对计算方法的改进和发展提出要求。

数学进步主要标志：十位进制值的确立和筹算法的发展

表现：1）“十进”逢十进一，“位值”同样的一个数在不同位置上表示不同的值。我国是使用十进位值制最早的国家。（印度到6世纪）

2）筹算的四则运算已经完备，并有分数运算方法。

3）《考工记》涉及角度和标准量器容积的计算。

4）《墨经》对一些几何概念做了抽象概括，提出一些科学的定义，如点线面体圆。并有类似极限的观念的思想。

体系形成与完善：

四、秦汉到南北朝封建社会前期

（一）秦汉时期

秦汉时期的最早的数学著作

1）最早出现的数学著作《许商算数》《杜忠算数》（西汉）；

2）流传到现在的最早的数学著作《周骳算经》（西汉后期c.1)：包括应用勾股定理进行测量方面的计算；使用了繁复的分数算法和开平方法；

3）流传到现在的我国的最早的数学专著《九章算术》

《九章算术》的出现标志着中国古代数学体系的形成

①最后成书至迟在东汉前期（1），内容至迟在西汉后期成型（c.1);

②总结了周秦以来的中国古代数学，即包含古代已解决的数学问题，也有西汉中期人们的新成就。它的出现标志着我国古代数学体系的形成，是中国古代数学体系的初期代表作；

③内容十分丰富，246个问题，分九大类，是世界上最早的对分数进行系统叙述的著作，世界上第一次出现联立一次方程组的解法和关于正负数的加减法法则。（“方”是指求解一次联立方程组时所列出的各方程系数恰好排成方形，“程”有求出多少的意思）特点是和当时的实际需要紧密结合，这是中国古代数学的一大特色和优点；

④叙述方式以归纳为主，先给出若干例题，再列出一般方程。这和古希腊数学的代表著作欧几里得（c.330-c.275）的《几何原本》以演绎为主的叙述方式有明显不同。

（二）三国魏晋南北朝

1）刘徽《九章算术注》和《海岛算经》（魏晋）

①给一些数学概念下了定义，如正负数；“两算得失相反，要令正负以名之。”

②各个问题解法的数学证明-把分割后的几何图形再次拼凑在一起的方法验证算法的正确性-“出入相补原理”；

③创造“割圆术”，开创了我国古代计算圆周率的途径。把极限的概念运用来解决实际的数学问题，孕育了用有限来逼近无穷这样一个及其重要的思想。从圆内接正六边形算起，逐渐使边数加倍，用圆内接正多边形逐次逼近圆周的方法进行计算。

④《海岛算经》是一部测量长度和高度（深度）的测量用数学书，应用的是勾股定理和相似三角形对应边成比例定理。

2）祖冲之的圆周率和祖恒原理（南北朝）

①得出小数点后六位准确圆周率

②祖恒原理：等高处横截面积常相等的两个立体，它们体积也必定相等。得出球体体积正确公式。

发展的高峰：

五、隋唐到元代封建社会中期

（一）唐宋：数学教育和“算经十书”的注释

概述：秦汉时期，由于《九章算术》的出现，数学已经形成初步的体系；到了隋唐时期，中国古代数学已经构成了更加完整的体系。

1、隋唐和宋代的数学教育

1）隋：开始在国家学校里设立数学科目—“国子监”的“算学”科

2）唐：国子监算学科，时断时续；统一规定了教科书“算经十书”；国家考试中设有“明算”科，但只鼓励死记硬背；

3）宋：学习考试制度时断时续

2、“算经十书”的注释

对“算经十书”的整理、校注、刊行是唐宋数学教育发展中的一项功绩

1）唐太史令李淳风等根据实际测量纠正了一些错误；引用了祖恒对于球体体积的计算方法，保存了宝贵资料；详细指出一些演算步骤。

2）北宋宰相司马光领衔校刊“算经十书”，是印刷本书籍在世界上的首次出现。

（二）宋元：宋元数学四大家

概述：中国古代数学到了宋元时期，出现了一个新的发展高潮，特别是宋末元初的几十年时间里，可以说是以算筹为主要计算工具的中国古代数学的顶峰。

1、南宋·秦九韶“大衍求一术”与《数学九章》

《数学九章》：记述了宋代许多数学成果，最重要的两项：高次方程的数值解法和联立一次同余式

“大衍求一术”：联立一次同余式解法

2、元·李冶“天元术”与《测圆海镜》《益古演段》

《测圆海镜》：我国流传下来的数学著作中首先系统讲述“天元术”的一部著作。

《益古演段》：为初学“天元术”的人而写的一部入门著作。

“天元术”：中国古代的代数学，“天元”代表未知数；主要内容为根据问题设未知数，进行包括未知数的各次幂在内的多项式的运算，最后列出有待求解的方程。

另外：开创了用代数方法解几何问题的先例。

3、南宋末年·杨辉与《详解九章算法》《日用算法》

著作特点：密切联系当时的社会实际需要，是日用算术、商用算术的开始；记载了改革筹算的一些简洁算法；记载了一些已经失传的算法，如高次开方法和“开方作法本源图”（北宋贾宪）