2006年天津高考理科数学试题及答案

第1页2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中只有一个正确答案）1、i 是虚数单位，=+ii1（ ） A ．i 2121+ B ．i 2121+- C ．i 2121- D ．i 2121--2、如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（ ）A ．36B ．4C ．2D ．13、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x xy ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．94、设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种 6、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,第2页7、已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ） A ．55 B ．70 C ．85 D ．1008、已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 9、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个10、已知函数)(x f y =的图象与函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(C ．)1,21[D ．]21,0(第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）第3页11、7)12(xx +的二项展开式中x 的系数是____ （用数学作答）． 12、设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __________．13、如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ． 若二面角1C AB C --的大小为60，则点C 到平面1ABC 的距离为______________．14、设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为a =____________．15、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨． 16、设函数()11+=x x f ，点0A 表示坐标原点，点()()()*,N n n f n A n ∈，若向量01121n n na A A A A A A -=+++，n θ是n a 与i 的夹角，（其中()0,1=i），设n n S θθθtan tan tan 21+++= ，则n n S ∞→lim = ．三、解答题（本题共6道大题，满分76分）17、（本题满分12分）如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，43cos =C ． （1）求AB 的值； （2）求()C A +2sin 的值.第4页18、（本题满分12分）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为53，且各次射击的结果互不影响。

（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）； （2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）； （3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．第5页19、（本题满分12分）如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱//12EF BC =． （1）证明FO //平面CDE ；（2）设BC =，证明EO ⊥平面CDF ．第6页班级_____________ 姓名___________________20、（本题满分12分）已知函数()θθcos 163cos 3423+-=x x x f ，其中θ,R x ∈为参数，且πθ20≤≤． （1）当时0cos =θ，判断函数()x f 是否有极值；（2）要使函数()x f 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()x f 在区间()a a ,12-内都是增函数，求实数a 的取值范围．第7页21、（本题满分14分）已知数列{}{}n n y x ,满足2,12121====y y x x ，并且1111,-+-+≥=n n n n n n n n y yy y x x x x λλ（λ为非零参数， ,4,3,2=n ）． （1）若531,,x x x 成等比数列，求参数λ的值； （2）当0>λ时，证明()*11N n y x y x nnn n ∈≤++； 当1>λ时，证明()*11332222111N n y x y x y x y x y x y x n n n n ∈-<--++--+--++λλ.第8页22、（本题满分14分）如图，以椭圆()012222>>=+b a by a x 的中心O 为圆心，分别以a 和b 为半径作大圆和小圆。

过椭圆右焦点()()b c c F >0,作垂直于x 轴的直线交大圆于第一象限内的点A ．连结OA 交小圆于点B ．设直线BF 是小圆的切线．（1）证明ab c =2，并求直线BF 与y 轴的交点M 的坐标；（2）设直线BF 交椭圆于P 、Q 两点，证明212OP OQ b ⋅=．第9页2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）参考答案：一、选择题二、填空题 11、280 12、1013、34 14、0 15、20 16、11、i 是虚数单位，=+i i 1(1)1222i i i-=+，选A. 2、如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，∴229a b ba⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2236a b ⎧=⎨=⎩，所以它的两条准线间的距离是222a c ⋅=，选C.3、设变量x 、y 满足约束条件2,36y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩在坐标系中画出可行域△ABC ，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则目标函数2z x y =+的最小值为3，选B. 4、设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x xN ，M N ⊃，所以若“M a ∈”推不出“N a ∈”；若“N a ∈”，则“M a ∈”，所以“M a ∈”是“N a ∈”的必要而不充分条件，选B.5、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有144C =种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有246C =种方法；则不同的放球方法有10种，选A ．6、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面。

下列命题中正确的命题是第10页n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//，选B.7、已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于1210b b b a a a +++=11119b b b a a a +++++，111(1)4b a a b =+-=，∴11119b b b a a a +++++=4561385++++=，选C.8、已知函数()s i n c f x a x b x =-(a 、b 为常数,0,)a x R ≠∈，∴())f x x ϕ=-的周期为2π，若函数在4π=x 处取得最小值，不妨设3()si n()4f x x π=-，则函数3()4y f x π=-=33sin()sin 44x x ππ-+=，所以3()4y f x π=-是奇函数且它的图象关于点(,0)π对称，选D.9、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A.10、已知函数)(x f y =的图象与函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称,则()log a f x x =，记()()[()(2)1]g x f x f x f =+-=2(log )(log 21)log a a a x x +-．当a >1时，若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，log a y x =为增函数，令log a t x =，t ∈[1log 2a, log 2a ]，要求对称轴log 211log 22a a --≤，矛盾；当0<a <1时，若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，log a y x =为减函数，令log a t x =，t ∈[log 2a ,1log 2a]，要第11页求对称轴log 211log 22a a --≥，解得12a ≤,所以实数a 的取值范围是]21,0(,选D.二、填空题 11、280 1213、34 14、0 15、20 16、111、7)12(xx +的二项展开式中x的项是3347(2)280C x x ⋅=，所以x 的系数是280． 12、设向量a 与b 的夹角为,θ且(3,3),2(1,1),a b a =-=-∴ (1,2)b =，则c o s θ=||||32a b a b ⋅==⋅⋅。