矩阵秩重要知识点总结_考研必看
矩阵的秩及其求法-求秩的技巧
第五节：矩阵的秩及其求法之五兆芳芳创作一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列穿插处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式.例如共有个二阶子式，有 个三阶子式矩阵 A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所组成的二阶子式为 而为 A 的一个三阶子式.显然， 矩阵 A 共有 个k 阶子式.2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 ,称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A ).规则： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质，(3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } .(4) 如果An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R()nm ij a A ⨯={}),min 1(n m k k ≤≤43334=C C 1015643213-=D nm ⨯()nm ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠( A ) = n ,则因此，方阵 A 可逆的充分需要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义).例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B ). 解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则R (B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数.例如 一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数. 例2 设 如果 求a .解 或例3则 2、用初等变换法求矩阵的秩定理2矩阵初等变换不改动矩阵的秩. 即则注： 只改动子行列式的符号. 是 A 中对应子式的k 倍.2021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 111111(),3<A R ()3<A R 1=∴a 2-=a ()3=A R =K 3-BA →)()(B R A R =ji r r ↔.1irk .2是行列式运算的性质.求矩阵A 的秩办法：1）利用初等行变换化矩阵A 为阶梯形矩阵B 2）数阶梯形矩阵B 非零行的行数即为矩阵A 的秩. 例4求 解R(A ) = 2例5三、满秩矩阵定义3A 为n 阶方阵时，称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵） 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见：对于满秩方阵A 施行初等行变换可以化为单位阵E ,又按照初等阵的作用：每对A 施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理. 定理3设A 是满秩方阵，则存在初等方阵 使得对于满秩矩阵A ，它的行最简形是n 阶单位阵 E . 例如A 为满秩方阵.关于矩阵的秩的一些重要结论：ji krr +.3().A R μλμλ,2,6352132111，求）（且设=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=A R A (),n A R =(),n A R <()0≠⇔=A nA R EA P P P P s s =-121,定理5R (AB )R (A ),R (AB )R (B ),即R (AB )min{R (A )，R (B )}设A 是 矩阵，B 是 矩阵， 性质1性质2 如果 A B = 0 则性质3 如果 R (A )= n, 如果A B = 0 则 B = 0. 性质4 设A,B 均为矩阵，则例8 设A 为n 阶矩阵，证明R （A+E ）+R （A-E ）≥n 证： ∵ （A+E ）+（E-A ）=2E∴R （A+E ）+ R （ E-A ）≥ R （2E ）=n而 R （ E-A ）=R （ A-E ） ∴ R （A+E ）+R （A-E ）≥n≤nm ⨯tn ⨯).()()(AB R n B R A R ≤-+.)()(n B R A R ≤+nm ⨯).()()(B R A R B A R +≤±。
矩阵秩的证明方法及技巧
矩阵秩的证明方法及技巧矩阵的秩是描述矩阵行（列）向量空间维数的重要指标，广泛应用在线性代数和矩阵理论中。
下面将介绍矩阵秩的定义、性质以及一些证明方法和技巧。
一、矩阵秩的定义和性质：1. 矩阵秩的定义：对于任意一个m×n矩阵A，它的秩(rank)定义为其所有非零行（列）向量的极大无关组的向量个数，即r(A) = r(A^T），其中A^T为A的转置矩阵。
2.矩阵秩的基本性质：a) r(A) ≤ min(m, n)，即矩阵秩r(A)不会超过矩阵的行数m和列数n的较小值。
b)如果r(A)=m，即矩阵的秩与行数相等，则称矩阵为满秩矩阵。
c)两个矩阵的行等价（列等价），它们的秩相等。
d)对于一个n阶方阵A，如果A可逆，则r(A)=n，即满秩方阵。
e)若A和B为同型矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B)。
二、矩阵秩的证明方法和技巧：1.行变换法证明矩阵秩：行变换可以通过初等行变换来实现，包括交换两行、行乘以一个非零常数、行加上另一行的k倍。
行变换不改变矩阵的秩，因此可以通过行变换来找到矩阵的极大无关组，从而确定矩阵的秩。
2.列空间法证明矩阵秩：列空间是由矩阵的所有列向量张成的向量空间，可以通过检查矩阵的列向量组是否线性无关来确定矩阵的秩。
如果列向量组线性无关，则矩阵的秩等于列向量组的向量个数；否则，删除线性相关的列向量，再次检查新的列向量组是否线性无关，直至找到一个线性无关的列向量组为止。
3.奇异值分解法证明矩阵秩：对于任意一个m×n矩阵A，可以进行奇异值分解为A=UΣV^T，其中U和V为正交矩阵，Σ为对角矩阵，其对角元素为矩阵A的奇异值。
矩阵A的秩等于非零奇异值的个数。
4.行列式法证明矩阵秩：矩阵A的秩等于其最高阶非零子式的阶数。
通过计算矩阵A的各个阶数的子式的行列式是否为零，可以确定矩阵的秩。
5.矩阵的分解法证明矩阵秩：常用的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解和SVD分解等。
通过对矩阵进行适当的分解，可以得到新的矩阵形式，从而更容易确定矩阵的秩。
矩阵秩重要知识点总结_考研必看
矩阵秩重要知识点总结_考研必看一．矩阵等价行等价：矩阵A经若干次初等行变换变为矩阵B列等价：矩阵A经若干次初等列变换变为矩阵B矩阵等价:矩阵A经若干次初等行变换可以变为矩阵B，矩阵B经若干次初等行变换可以变成矩阵A，则成矩阵A和B等价矩阵等价的充要条件1. 存在可逆矩阵P和Q,PAQ=B2. R(A)=R(B)二．向量的线性表示Case1：向量b能由向量组A线性表示: b=λ1α1+λ2α2+λ3α3+⋯+λmαm充要条件:1.线性方程组Ax=b有解2.R(A)=R(A,b)Case2：向量组B能由向量组A线性表示充要条件：R(A)=R(A,B)推论∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A)Case3：向量组A能由向量组B线性表示充要条件：R(B)=R(B,A)推论∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B)Case4：向量组A和B能相互表示，即向量组A和向量组B等价充要条件:R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A)Case5：n维单位坐标向量组En能由矩阵A的列向量组线性表示充要条件是:R(A)=R(A,E)n=R(E)=n，所以R(A)=n=R(A,E)三．线性方程组的解1. 非齐次线性方程组（1） R(A)=R(A,B),方程有解.（2） R(A)=R(A,B)=n，解唯一.（3） R(A)=R(A,B)（4）R(A) ≠R(A,B)2．齐次线性方程组（1）一定有解（2）有非零解的充要条件R(A)四．向量组线性相关性向量组线性相关：存在不全为0的实数λ1、λ2，λ3…λn,满足λ1α1+λ2α2+λ3α3+⋯+λnαn=0充要条件:（1） R(A)（2）向量组中至少有一个向量能由其余n-1个向量线性表示（3） n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解．Case1：向量组A要么线性相关，要么线性无关，两者必居其一Case2：向量组A只包含一个向量α，α是零向量，向量组A线性无关; α是非零向量，向量组A线性无关。
3-1 矩阵的秩
第三章
秩与方程组
第一节
矩阵的秩
秩的概念 秩的计算
一、矩阵秩的概念
定义1 在m×n 矩阵A中任取 k行 k列(k ≤ m, k ≤ n), 位于这些行列交叉处的k 2 个元素，不改变 它们在A中所处的位置次序而得到的 k 阶行 列式称为矩阵A的k 阶子式．
k k m×n 矩阵A的k 阶子式共有 C m 个． Cn
*
(要牢记)
A 1 A* A
1 A A
A可逆
A 1 A
n 1
1
|A|≠0，且
A* A
n1
A*
1
kA k
A ,
*
A
*
*
A
n 2
A (不太常用)
(2)克拉默法则 ①方程个数等于未知量个数;
②系数行列式不等于零.
第三章
矩阵的秩与 线性代数方程组
矩阵的秩 齐次线性方程组 非齐次线性方程组
1 0 0 0 1 0 0 0
2 4 0 0 0 1 0 0ຫໍສະໝຸດ 1 2 0 0 1 2 0 0
0 3 5 0 0 0 1 0
2 1 3 0 2 1 3 0
行梯形阵
行最简形矩阵．
定理1 对于任何矩阵 Am n ，总可经过有限次行 初等变换化为行梯形阵． 例
~
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 1 1 2 1
1 1 1 2 1
1 1 2 3 1
~
~
0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
矩阵秩重要知识点总结_考研必看复习课程
] ]
b1
3 1
4 6
2
1
5
3
1 1
4 1 1 1
b3
a3
[b1 , a3 [b1 , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
1
0
1 3
2 1
5
3
1 1
2
0
1
第二步单位化，令
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1 e1 || b1 || b1
精品文档 一． 矩阵等价
行等价：矩阵 A 经若干次初等行变换变为矩阵 B 列等价：矩阵 A 经若干次初等列变换变为矩阵 B 矩阵等价:矩阵 A 经若干次初等行变换可以变为矩阵 B，矩阵 B 经若干次初等行变换可 以变成矩阵 A，则成矩阵 A 和 B 等价 矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵 P 和 Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B) 二． 向量的线性表示
Case1：向量 b 能由向量组 A 线性表示:
充要条件:
1.线性方程组 A x =b 有解
2.R(A)=R(A,b) Case2：向量组 B 能由向量组 A 线性表示 充要条件：
R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组 A 能由向量组 B 线性表示 充要条件：
R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组 A 和 B 能相互表示，即向量组 A 和向量组 B 等价 充要条件:
R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5：n 维单位坐标向量组 能由矩阵 A 的列向量组线性表示 充要条件是:
矩阵的秩
第一章 矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。
定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R1.2 矩阵的秩的几个简单性质性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+性质5 ()()TA rank A rank =1.3矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．例设6117404112901316124223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求秩(A) 解 A →1290404161171316124223-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭→1290084010115570525108403-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12900151015711015150153-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→12900151000458800034000014-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R A =.第二章 矩阵的秩的相关问题1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念, 它既是线性代数的重点, 又是一个难点。
2-4矩阵的秩
（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上
1 1 显然， 3 中的行向量组 A i i 可以由 A 的行向量组线性表示 rj kri A A3 j j k i 而 A 的行向量组可以由 A 中的行向量组线性表示。 3 m m
0 r ( A) min m , n
当r(A)=m，A的行向量组一定线性无关，称A为行 满秩矩阵;当r(A)=n, A的列向量组一定线性无关， 称A为列满秩矩阵 行满秩矩阵和列满秩矩阵统称为满秩矩阵
例1 化矩阵A为等价标准形并求秩R A） （ . 1 2 1 4 A 2 5 3 5 1 1 6 7
r列
1 a12 0 a 22 0 am 2
a1n a2 n
1 0 0 0 1 0 ＝ 0 0 1 A 0 0 0 0 0 0
r列
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
T m
T 2
T 1
T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
定义1：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。
1 2 s
1
2
s
1
2
s
j k1 j k2 j k s j
1 2
s
则 A1 的列向量组 1, 2 , , n 中，对应的向量 j 可 由其中的 , , , 线性表示： j j j
第七节 矩阵的秩
显然,有一个 k阶 子式不为零. 而所有 k 1 阶子式 全为零.
即A
r A k
且 (aii 0 , i 1, 2, , k )
2、初等变换求秩法
定理 定理
阶梯形矩阵的秩等于其非零行个数 任意矩阵都可以只通过初等行变换 1 2 3 1
化成阶梯形矩阵.
0 3 1 4 r A 3 定理 初等变换不改变矩阵的秩 A 0 0 2 1 0 0 0 0 这三个定理解决了一般矩阵求秩的问题 0 0 0 0
结论：任何矩阵与可逆矩阵相乘其秩不变. 即
r ( B) r ( AB) r ( BC ) r ( ABC ) 其中B为n×m矩阵, A为n阶可逆矩阵, C是m阶可逆矩阵.
A O 例4 已知 r A r1 ，（B） r2 ， 求证 r （） r r1 r2 O B
分块对角阵的秩等于各子块的秩之和
A1 A A2 r ( A) r ( A ) r ( A ) r ( A ) 1 2 s As
例5
设n阶矩阵Байду номын сангаас
a 1 A 1
1 1 1 a 1
1 a 1
1 3 2 2 A 0 2 1 3 2 0 1 5
求 r ( A)
1 0 3 2 20
1阶子式: 1 1 0
2阶子式:
3阶子式:
1 0 2 3 2 0 2 1 0 1
1 3 2 2 A 0 2 1 3 2 0 1 5
各行都加到 第 n 行上
1 n 1 1 0
1 1 n 1 0
线性代数-矩阵的秩-PPT-期末复习资料
0
0 1 0 0
3 7
5, 1
3 2
2 5
4 3
00
矩阵，容易看出它的4阶子式
全为零，而以三个非零行的
首非零元为对角元的3阶子式 不等于零， 2 1 3
这里的两个行列
式分别是A 和B 的
0 3 2 24 0
最高阶非零子式
00 4
因此 R(B) 3.
4
说明
✓根据行列式的展开法则知，在 A中当所有r 1
第三节 矩阵的秩
主要内容
❖矩阵的秩的概念； ❖初等变换不改变矩阵的秩的原理，以及矩阵
的秩的求法； ❖矩阵的秩的基本性质.
基本要求
❖理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变 矩阵的秩的原理；
❖掌握用初等变换求矩阵的秩的方法； ❖知道矩阵的标准形与秩的联系； ❖知道矩阵的秩的基本性质.
1
一、k 阶子式
定义1 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m,
行阶梯形矩阵.
3
A
3 2 1
2 2 0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
0 1
r1 r2
r4 r4
1 0
3 4
r3 r4
2r1 3r1
0 0
6 4 12 16
4 3 9 12
1 1 7 8
4
1
1121
8
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1
0 0
12 16
说明
➢分块矩阵只是形式上的矩阵；
➢分块法的优越之处是：
•把大矩阵的运算化为小矩阵的运算. •矩阵分块后，能突出该矩阵的结构，从而可利 用它的特殊结构，使运算简化.
•可为某些命题的证明提供方法.
矩阵的秩
（ 1 ）
a1n a2 n asn
n 的行秩 r ，那么它有非零解．
, , , 的秩为r，且不妨设 为其一个极大无关组. 1 2 r
证：设矩阵 A 的行向量组 ( a , a , , a ) , i 1 , 2 , , s i i 1 i 2 i n
, , , , , , 由于向量组 与向量组 等价， 1 2 s 1 2 r
于是方程组(1)与方程组(1')是同解的.
a a 1 1x 1 a 1 2x2 1nx n 0 a a 2 1x 1 a 2 2x 2 2nx n 0 0 a x a x a x 0 rn n r1 1 r2 2
a a n 1 2 1 k k 0 , 2 2 1 n n 1 1 1 1 1 a a
改写一下，有
不全为零的n个数
, ,, 线性相关 R ( A ) n . 1 2 n
a a n 1 2 1 k k k 0 , k 2 n 1 22 n n a a 1 1 1 1
=0
R ( A ) n .
( ) 只有零解 A 0 R ( A ) n .
推论2
n 个 n 维向量
i
( a , a , , a ) , i 1 , 2 , , n i 1 i 2 i n
a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n 2 a1 n a2n a nn a1 n a2n a nn 0. 0.
也线性无关． 于是矩阵A的列秩 r1 r ． 同理可证 r1 r . 所以 r1 r ．
线性代数 矩阵的秩
所以R(A)=3. 对于B，显然
2 6 10
325 0 1 4 0 002
, 而所有的四阶子式全为零.
所以R(B)=3.
6
印象: 1. 一般的矩阵按定义求其秩，计算量相当大。
2. 行阶梯形矩阵按定义求其秩,非常方便,其秩为非零行的行数. 例2中的两矩阵A与B的秩相等, 且由例1知, 矩阵A与B等价. 由行列式的计算性质进一步有： 【定理2.4】 若矩阵A与B 等价,则R(A )=R(B ).
1
1 50
, 所以R(B)=2 .
05
3
结论：
1) n阶方阶A的秩 R(A) = n A 0 n方阵A可逆 2) n阶方阶A的秩 R(A) < n A 0 n方阵A不可逆
可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩 小于矩阵的阶数，因此，可逆矩阵又称满秩矩阵 不可逆矩阵又称降秩矩阵 行满秩矩阵 A的秩等于矩阵A的行数， 列满秩矩阵：A的秩等于矩阵A的列数，
2）若R(A)=r ，则A中至少有一个r阶子式非零，而所有阶 数大于r的子式全为零.
2
1 1 1 1
如矩阵: A 2 2 2 2
3 3 3 3
所有二、三阶子式为零，A中又有非零元素，
故R(A)=1；
又如：
1 2 1 0 0 B 0 0 5 3 6
0 0 0 0 0
由于B中所有三阶子式均为零,而二阶子式
第二章 矩阵
§6 矩阵的秩
矩阵的秩及其求法 矩阵的秩的性质
1
三、矩阵的秩
1.子矩阵和子式
定义2.10: 将矩阵 而成的矩阵
A
称
为
aij
矩
的某些行或某些列划去，余下的元素按原来的顺序排列 阵mAn 的子(矩)阵.矩阵A可以看做自身的一个子 （矩）
矩阵的秩
r3 5 r4 r3
1 2 2 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
R( A) 2, R(B) 3.
三、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
2 1 3 而 0 3 2 0,
00 4
r(B) 3.
例
已知
A
1 0
3 2
2 1
2 3
，求该矩阵的秩．
2 0 1 5
解
1
3 2 0,
计算A的3阶子式，
02
1 3 2 1 3 2 3 2 2 1 2 2
0 2 1 00, 2 3 20, 1 3 00, 1 3 0,
2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
3 2 5 32 5 2 0 52 0 5 3 2 6 6 0 11
25
2
16 0.
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
设 n 阶可逆矩阵 A， A 0, A 的最高阶非零子式为 A, R( A) n, 故 A 的标准形为单位阵E, A ~ E.
可逆矩阵的秩等于阶数，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵.
1 2 2 1 1
B
2 2
4 4
8 2
0 3
2 3
3 6 0 6 4
r2 2r1 1 2 2 1 1
r3 2r1 0 0 4 2 0
r4 3r1
0 0
0 0
2 1 5 6 3 1
r2 2 1 2 2 1 1 r3 r2 0 0 2 1 0
线性代数4.1矩阵的秩
(2) 若A是 m n 矩阵,则必有
0 r ( A) min(m, n)
r ( A) r ( AT )
(3) 若是 n 阶矩阵,则 r(A)≤n, 特别的 当|A| ≠ 0 时， r(A) = n ;
可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵．
当|A| = 0 时， r(A) < n ; 不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵．
2 0 12 0 分析 在 A 中，2 阶子式 1 6
3 3 A的 3 阶子式共有 C4 C5 40 (个)，
要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的．
一般的矩阵，当行数和列数较高时，计算其秩 是比较麻烦的 梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.
一个自然的想法是用初等行变换将一般的矩 阵化为梯形矩阵.
一般m n非齐次线性代数方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
§4.1 矩阵的秩
1、矩阵秩的概念与计算
2、关于线性代数方程组的定理
不同的矩阵有相同的标准形; 一个矩阵可经行初 等变换化为不同的阶梯形矩阵, 但不同的阶梯形矩 阵中非零行的个数却是相同的. 这都是因为矩阵的本质特征——矩阵的秩.
1、矩阵秩的概念
定义 在m×n 矩阵A 中，任取k 行 k 列( k ≤ m, k≤n)，位
证明 对m n的系数矩阵A,可建立标
A=PNQ,其中P,Q分别是m阶、n阶 说明 齐次方程组若有非平凡解，则必有无限多个解 . 的满秩
例 求3×4齐次方程组的解
方程组Ax=0,可写成PNQx=0 ,若记 Qx= y
矩阵秩的性质及应用
矩阵秩的性质及应用矩阵秩是矩阵理论中的一个重要概念，它代表的是矩阵中线性无关的向量或行列的最大数量，也可以理解为矩阵的非零行列的最大线性无关的数量。
矩阵秩有很多重要的性质和应用，下面将详细介绍。
一、性质：1. 对于任意的m x n矩阵A，其秩满足以下性质：（1）矩阵的秩不会超过矩阵的行数和列数中的较小者，即rank(A) ≤min(m, n)。
（2）如果矩阵A的秩等于行数或者等于列数，即rank(A) = min(m, n)，那么矩阵A被称为满秩矩阵。
（3）如果矩阵A的秩等于0，即rank(A) = 0，那么矩阵A被称为零矩阵。
（4）两个矩阵相似，它们的秩是相等的，即如果A和B相似，则rank(A) = rank(B)。
（5）对于矩阵A的任意非零子矩阵B，有rank(B) ≤rank(A)。
2. 矩阵的秩与其对应的行列式的性质有关：（1）如果一个n阶方阵A的行列式不等于0，即det(A) ≠0，则rank(A) = n，也就是说该矩阵是满秩矩阵。
（2）如果一个n阶方阵A的行列式等于0，即det(A) = 0，则rank(A) < n，也就是说该矩阵不是满秩矩阵。
二、应用：1. 线性方程组的解：考虑一个包含m个方程和n个未知数的线性方程组，可以将其表示为矩阵形式Ax = b，其中A是一个m x n的矩阵，x和b是n维列向量。
如果方程组能够有解，则有rank(A) = rank([A, b])，即矩阵A和增广矩阵[A, b]的秩相等。
通过计算矩阵A的秩，可以判断线性方程组是否有解，以及有多少个自由变量。
2. 线性映射的维数问题：考虑一个线性映射T：V →W，其中V和W分别是n维和m维向量空间。
根据线性映射的定义，如果对于V中的任意向量v，总能找到一个唯一的映射结果T(v)在W空间中，那么我们可以把V称为映射T的定义域，把W称为映射T 的值域。
根据线性映射的定义和性质，可知rank(A) = rank(T)，其中A是矩阵表示映射T的矩阵。
矩阵的秩及其求法
定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
即 A B 则 R(A) R(B)
说明：1. ri rj 只改变子行列式的符号。
2. k ri 是 A 中对应子式的 k 倍。
3. ri krj 是行列式运算的性质。
由于初等变换不改变矩阵的秩，而任一 Amn 都等价
子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩， 记作R(A)或秩(A)。
4
规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子
式 Dr 0 , 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶
子式均为 0，r 是 A 中非零的子式的最高阶数.
(2) 由行列式的性质，R( A) R( AT ) .
(3) R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } .
(4) 如果 An×n , 且 A 0 , 则 R ( A ) = n . 反之，如 R ( A ) = n ,则 A 0 .
因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .
5
二、矩阵秩的求法
于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为 RA.
所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩。
10
例4
1 A 2
0 1
2 3
4 6
求 RA.
1 1 1 2
1
解
A
rr32 2rr11
0
0
0 1 1
2 1 1
24 2
1 0 0
0 1 0
2 1 0
4 2 ， 0
R(A) = 2
0 0 1
RA 3
第十三讲 矩阵的秩
3
m 也就是说： × n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中 不等于零的子式的最高 阶数 .
1 如： A 2 4 2 3 1 1 1 1
因为 所以矩阵A的秩R(A)=2
4
注：由矩阵秩的定义，可知 （1）设矩阵A为m×n矩阵,则秩R(A)≤m,R(A)≤n （2）设n阶方阵A可逆，则R(A)=n.
R ( A ) 3, 知 A 的最高阶非零子式为 3阶 .
A 的 3 阶子式共有
C 4 C 5 40 个 .
3 3
从中找一
个非零子式，运算量是很大的。
考察 A 的行阶梯形矩阵，
记 A ( a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ),
则矩阵 B (a1 , a2 , a4 )的行 阶梯形矩阵为
2
2 6
5 11
16 0 .
则这个子式便是
的一个最高阶非零子式.
15
小结:
1.矩阵秩的概念
2.求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
16
6
2) 行最简形矩阵
1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 4 3 3 0
注意： 1) 对于任何矩阵A，总可经过有限次初等行变换把 它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵． 2)行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的.
3)一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的(只用初等 行变换).
1 0 0 0 6 4 0 0 1 1 4 0
14
矩阵秩的一些著名结论
引言矩阵的秩是高等代数中一个应用及其广泛的理论，有关矩阵的秩的等式或不等式的证明，常常和向量组的秩，线性方程组的解等密切相关，推证有难度也有技巧。
熟练掌握关于矩阵秩的一些结论及其证明技巧，对有关理论的学习会有很大的裨益。
矩阵A 中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵A 的秩，记为r(A).一些平凡的理论及概念读者可参阅一些权威教材,这里只对一些经典的理论做一讨论.1. 证明: 设B A ,为两个同阶矩阵,则有r(A ﹢B)≤r(A)﹢r(B)证 设A =(α1,α2,…,αn), B =()βββn,...,,21则 A +B =(α1+β1,α2+β2,…,αn+βn)不妨设A 列向量的极大线性无关组为α1,α2,…,αr. (1≤r ≤n)；B 列向量的极大线性无关组为β1，β2，…βs . (1≤s ≤n).则k i i1=αα1+α22k i +…+αrir k ;βi=β11l i +β22l i +…+βsisl ;则αi+βi=k i 1α1+α22k i +…+αrirk +β11l i +β22l i +…+βsisl ;即A +B 的列向量可由α1,α2,…,αr，β1，β2，…βs线性表出，故)()()(B +A =+≤B +A r r s r r . 2. 若AB =O ,则)()(B r A r +n ≤.证 记 ),...,,(21βββnB =，由AB =O ，知B 的每一列都是O =AX 解,即O =Aβi,i =1,2,…,n又因O =AX 的基础解系所含向量个数为)(A r n -,换言之, O =AX 的所有解所构成的向量组的秩为)(A r n -.故≤)(B r )(A r n -, 即)()(B r A r +n ≤.3.若E A=2， 证明)(E A r ++)(E A r -=n.证E A =2,EA 22=,E A22-=)(E A -)(E A +O =,由结论2知r )(E A -+r )(E A +n ≤;)()(2A E A E E ++-= 再由结论1知 ，r )(E A -+r )(E A +n E r =≥)2(,综上所述, )(E A r ++)(E A r -=n.4 若A A=2证明： )(A r +)(E A r -n =.证O A E A A A=-=-)(2,由结论2知 )(A r +)(E A r -n ≤.又因.)(A E A E +-= 知，).()()()()(A r E A r A r A E r E r +-=+-≤ 即 n ≤)(A r +)(E A r -. 综上所述，)(A r +)(E A r -n =. 5.矩阵=A )(a ij sn,)(b ij B nm=,证明：)(AB r ≥)(A r +)(B r -n .证 设)(A r =r1,)(B r =r2,)(AB r =r则存在可逆矩阵P ss,Qnn使PAQ =⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O O E 1. 及 B Q 1-=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯B B m n m r r 1. 故)(AB r =⎪⎭⎫⎝⎛∙-B QPAQ r 1B Q PAQ 1-∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O O O E 1()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯B B m n mr r 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯O r B m 1.则)(AB r =⎪⎭⎫⎝⎛∙-B QPAQ r 1=()B mr r ⨯1=r .因r ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯B B m n m r r 1=)(B r =r 2 则()B mn r ⨯-1中还有rr -2个线性无关行向量,故r r -2≤r n 1-则r rr ≤-+21,即)(AB r ≥)(A r +)(B r -n .6.设A*为A的伴随矩阵，则伴随矩阵A *的秩为：)(*A r =⎪⎩⎪⎨⎧-<-==1)(,01)(,1)(,n A r n A r n A r n证 若)(A r =n 时,即A可逆,因EA A A =∙*，则有A AA 1*-∙=,故)(*A r =n r A =-)(1.若1)(-=n A r 时,0=A , EA A A =∙*=O ,由结论2知)(*A r +)(A r n ≤，即 )(*A r ≤-n )(A r =1.也就是)(*A r =0,或 )(*A r =1. 假设)(*A r =0,则A 的所有1-n 阶子式为0, 这与)(A r =1-n 矛盾.故)(*A r =1.若当)(A r <1-n 时，则A 的所有1-n 阶子式全为0，则O A =*,即)(*A r =0.故上述结论 )(*A r =⎪⎩⎪⎨⎧-<-==1)(,01)(,1)(,n A r n A r n A r n 成立。
秩的知识点总结
秩的知识点总结1. 矩阵的秩在线性代数中，一个矩阵的秩是指该矩阵列向量的最大线性无关组的大小。
换句话说，一个矩阵的秩是它的列向量的最大线性无关组的数量。
矩阵的秩通常用小写字母“r”表示。
2. 矩阵的行秩和列秩一个矩阵的秩可以通过它的行和列来计算。
矩阵的行秩是指该矩阵的行向量的最大线性无关组的数量，而矩阵的列秩是指该矩阵的列向量的最大线性无关组的数量。
一个矩阵的行秩和列秩是相等的。
3. 矩阵的秩与线性方程组矩阵的秩也可以用来求解线性方程组。
例如，对于一个包含n个未知数和m个方程的线性方程组，可以使用矩阵的秩来判断方程组的解是否存在以及解的个数。
4. 矩阵的秩与逆矩阵一个方阵的逆矩阵存在的必要条件是方阵的秩等于它的阶数。
因此，计算矩阵的秩可以帮助我们判断一个方阵是否有逆矩阵，并且可以帮助我们求解逆矩阵。
5. 矩阵的秩与特征值矩阵的秩也与特征值有关。
一个方阵的秩等于它的非零特征值的个数。
因此，矩阵的秩可以帮助我们求解矩阵的特征值和特征向量。
6. 矩阵的秩与奇异值分解矩阵的秩还与奇异值分解有关。
奇异值分解是一种将一个矩阵分解成三个矩阵乘积的方法，其中一个是秩为r的对角矩阵。
因此，矩阵的秩可以帮助我们进行奇异值分解。
7. 矩阵秩的计算方法求解矩阵的秩有多种方法，包括高斯消元法、矩阵的行化简、矩阵的列化简和矩阵的特征值分解等方法。
8. 矩阵秩的应用领域矩阵的秩在科学和工程领域有着广泛的应用，包括在控制理论中的状态空间表示、计算机图形学中的图像处理、机器学习中数据分析和模式识别等领域。
在工程领域，矩阵的秩被用来描述有限元分析中的刚度矩阵和质量矩阵、电路分析中的导纳矩阵和励磁矩阵、化学工程中的化学反应平衡和化学反应速率等问题。
在研究领域，矩阵的秩被用来描述在复杂网络和生物信息学中的数据分析、社会科学中的调查数据分析、金融工程中的风险分析和投资组合优化等问题。
总之，矩阵的秩是一个在数学以及多个科学和工程领域中都具有重要意义的概念。
第三节 矩阵秩
3 2 0 5 0
例1
设
A
3 2
2 0
3 1
6 5
31, 求矩阵 A的
1
6
4 1
4
秩．
解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
r1 r4
3
2
3
6 1
2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
定理4.3.1 一个 m n 矩阵 A (aij )经过有限次初 等变换后必可化为下面的 m n 标准矩阵.
Er 0
00
此标准形中 r 由A所惟一决定.
定义4.3.2 定理4.3.1中的r称为矩阵A 的秩,记作rank(A)或R(A)。
矩阵秩的性质
命题4.3.2 (1)等价的矩阵有相同的秩; (2)rank(A)=rank(AT).
1,ir 1
c1n
d1
0 L
0
0
L
c2i2 L
c c L 2ir
2,ir 1
c2n
d2
M
O
M0
O
MO
M
MO
M
M
(A | b) L
0
L
0
0
L
0 L 0 0 L
0 L 0 0 L
0
L
c c L rir
r ,ir 1
crn
dr
0L 0
0
L
0
d
r
1
0 L 0 0 L 0 0
M
O
M MO
MO
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一． 矩阵等价
行等价：矩阵A 经若干次初等行变换变为矩阵B
列等价：矩阵A 经若干次初等列变换变为矩阵B
矩阵等价:矩阵A 经若干次初等行变换可以变为矩阵B ，矩阵B 经若干次初等行变换可以变成矩阵A ，则成矩阵A 和B 等价
矩阵等价的充要条件
1. 存在可逆矩阵P 和Q,PAQ=B
2. R(A)=R(B)
二． 向量的线性表示
Case1：向量b r 能由向量组A 线
性表示:
充要条件:
1.线性方程组A x r =b 有解
(A)=R(A,b)
Case2：向量组B 能由向量组A 线性表示
充要条件：
R(A)=R(A,B)
推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A)
Case3：向量组A 能由向量组B 线性表示
充要条件：
R(B)=R(B,A)
推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B)
Case4：向量组A 和B 能相互表示，即向量组A 和向量组B 等价
充要条件:
R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A)
Case5：n 维单位坐标向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示
充要条件是:
R(A)=R(A,E)
n=R(E)<=R(A),又R(A)>=n ，所以R(A)=n=R(A,E)
三． 线性方程组的解
1. 非齐次线性方程组
（1） R(A)=R(A,B),方程有解.
（2） R(A)=R(A,B)=n ，解唯一.
（3） R(A)=R(A,B) <n,无穷多解.解向量的个数=n-R(A)
（4） R(A) ≠R(A,B)
2．齐次线性方程组
（1） 一定有解
（2） 有非零解的充要条件R(A)<n
四．向量组线性相关性 向量组线性相关： 存在不全为0的实数、,满
足=0
充要条件:
（1） R(A)<n
（2） 向量组中至少有一个向量能由其余n-1个向量线性表示
（3） n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解．
Case1：向量组A 要么线性相关，要么线性无关，两者必居其一
Case2：向量组A 只包含一个向量αr ，αr 是零向量，向量组A 线性无关;
αr 是非零向量，向量组A 线性无关。
Case3：两个向量线性相关，向量的分量对应成比例
Case4：三个向量线性相关，向量共面
向量组线性无关
向量组 A ：a 1, a 2, …, a m 线性无关
如果 k 1a 1 + k 2a 2 + … + k m a m =0（零向量），则必有k 1 = k 2 = … = k m =0 ．
充要条件
（1）m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解．
（2）矩阵A = (a 1, a 2, …, a m ) 的秩等于向量的个数 m ．
（3）向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m －1 个向量线 性表示．
重要推论：
1.若向量组 A ：a1, a2, …, am 线性相关， 则向量组 B ：a1, a2, …, am, am+1 也线性相关．其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关． 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时，一定线性相关．
3.特别地， n + 1个 n 维向量一定线性相关．
设向量组 A ：a1, a2, …, am 线性无关， 而向量组 B ：a1, a2, …, am, b 线性相关，则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的．
五.斯密特正交化 11
1222111132333121122111[,]45321[,]631114111[,][,]1512120[,][,]330111b a b a b a b b b b a b a b a b b b b b b =--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
第二步单位化，令
111
222
333112||||1111||||111
0||||1e b b e b b e b b ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
六、正交阵
n阶矩阵A是正交阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交;A的行向量都是单位向量且两两正交。