矩阵秩重要知识点总结_考研必看

一． 矩阵等价

行等价：矩阵A 经若干次初等行变换变为矩阵B

列等价：矩阵A 经若干次初等列变换变为矩阵B

矩阵等价:矩阵A 经若干次初等行变换可以变为矩阵B ，矩阵B 经若干次初等行变换可以变成矩阵A ，则成矩阵A 和B 等价

矩阵等价的充要条件

1. 存在可逆矩阵P 和Q,PAQ=B

2. R(A)=R(B)

二． 向量的线性表示

Case1：向量b r 能由向量组A 线

性表示:

充要条件:

1.线性方程组A x r =b 有解

(A)=R(A,b)

Case2：向量组B 能由向量组A 线性表示

充要条件：

R(A)=R(A,B)

推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A)

Case3：向量组A 能由向量组B 线性表示

充要条件：

R(B)=R(B,A)

推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B)

Case4：向量组A 和B 能相互表示，即向量组A 和向量组B 等价

充要条件:

R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A)

Case5：n 维单位坐标向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示

充要条件是:

R(A)=R(A,E)

n=R(E)<=R(A),又R(A)>=n ，所以R(A)=n=R(A,E)

三． 线性方程组的解

1. 非齐次线性方程组

（1） R(A)=R(A,B),方程有解.

（2） R(A)=R(A,B)=n ，解唯一.

（3） R(A)=R(A,B)

（4） R(A) ≠R(A,B)

2．齐次线性方程组

（1） 一定有解

（2） 有非零解的充要条件R(A)

四．向量组线性相关性 向量组线性相关： 存在不全为0的实数、,满

足=0

充要条件:

（1） R(A)

（2） 向量组中至少有一个向量能由其余n-1个向量线性表示

（3） n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解．

Case1：向量组A 要么线性相关，要么线性无关，两者必居其一

Case2：向量组A 只包含一个向量αr ，αr 是零向量，向量组A 线性无关;

αr 是非零向量，向量组A 线性无关。

Case3：两个向量线性相关，向量的分量对应成比例

Case4：三个向量线性相关，向量共面

向量组线性无关

向量组 A ：a 1, a 2, …, a m 线性无关

如果 k 1a 1 + k 2a 2 + … + k m a m =0（零向量），则必有k 1 = k 2 = … = k m =0 ．

充要条件

（1）m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解．

（2）矩阵A = (a 1, a 2, …, a m ) 的秩等于向量的个数 m ．

（3）向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m －1 个向量线 性表示．

重要推论：

1.若向量组 A ：a1, a2, …, am 线性相关， 则向量组 B ：a1, a2, …, am, am+1 也线性相关．其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关． 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时，一定线性相关．

3.特别地， n + 1个 n 维向量一定线性相关．

设向量组 A ：a1, a2, …, am 线性无关， 而向量组 B ：a1, a2, …, am, b 线性相关，则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的．

五.斯密特正交化 11

1222111132333121122111[,]45321[,]631114111[,][,]1512120[,][,]330111b a b a b a b b b b a b a b a b b b b b b =--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

第二步单位化，令

111

222

333112||||1111||||111

0||||1e b b e b b e b b ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭

六、正交阵

n阶矩阵A是正交阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交;A的行向量都是单位向量且两两正交。