泰特猜想的延续 ——四色定理的书面证明
四色定理的证明范文
四色定理的证明范文一、四色问题的简介根据网络上的一些内容，可知：四色猜想是说，任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
也就是说，在不引起混淆的情况下，一张地图只需四种颜色来标记就行。
用数学语言来说就是，将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
简单来说也就是，给平面或球面上的任意一张地图上色，使得相邻国家异色，那么至少需要预备几种颜料几种颜色？是否可以只预备四种颜色？在长期的论证过程中，人们发现，大量的试涂表明，四种颜色够用。
人们证明，三种颜色是不够用的，五种颜色肯定够用，四种颜色也够用（计算机证明）。
人们还证明，二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。
在四色问题中假设相邻关系是指两个国家有一段或多段共同边界，是指有邻边，不是指有邻点。
假设没有公地，所有国家都直接接壤（分别相邻），或者间接接壤（分别相连）。
假设没有飞地，国土连通。
飞地相当于任意指定一些他国属于国，则四色肯定不够用了。
假设国家的面积都足够大，不是一丁点、一个点。
假设国家的数量有限，不是无限多。
假设国家的形状任意。
这可以是五花八门，变化莫测，花样繁多，譬如像麋鹿的剪影：在四色问题中需要考虑任意地带的上下方面的相邻情况，左右方面的相邻情况，内外方面的相邻情况，首尾衔接（例如圆周中）的相邻情况，跨越跳跃（例如国形状像拱桥、麋鹿、藤蔓、交际花，与诸多位置的国家们接壤）着的相邻情况，等等。
需要考虑各国的排序，需要考虑上色的顺序。
因为许多国家相邻相连，交织交错，来来往往，层层叠叠，那么从多个方向来上色的话，齐头并进来上色的话，就会互相遭遇、碰头，在交汇点上可能发生冲突，难以协调、确定国的颜色，使得问题复杂，影响证明的进行。
二、四色定理的证明一个平面或球面上的点是无限小、无限多，或者是足够小、非常多。
令这些点各自随机选择红黄蓝三色的一种，再做布朗运动。
图论五色问题四色问题
总结： 地图着色问题是图论的一个经典问题， 一个多世纪以来一直被许多数学家 关注着，五色定理的正确证明已经被数学家给出了，所以本文只是稍作整理； 但 是通过我的查阅发现， 除了 Appel 和 Haken 用计算机给出的证明以外， 四色定理 好像没有其他被公认是正确的证明，我只能给出关于四色定理证明的一些想法， 可能并不正确， 但是通过对这个问题的研究，我确实学到了很多图论方面的有趣 的知识。
二、着色问题 定义 2.1（顶点着色） ：给图 G 的每个顶点指定一种颜色，使得任何两个相邻的 顶点颜色均不同。如果用 k 中颜色对图 G 进行顶点着色，就称对图 G 进行了 k 着 色， 也称 G 是 k -可着色的， 若 G 是 k -可着色的， 但不是 (k 1) -可着色的， 则称 G 是 k 色图，称这样的 k 为图 G 的色数，记为 (G) 。 定义 2.2（边着色） ：给图 G 的每条边指定一种颜色，使得任何两条相邻的边颜色 均不同。如果用 k 中颜色对图 G 进行边着色，就称对图 G 进行了 k 边着色，也称
五色定理的证明： 五色定理：每个可平面图是 5-可着色的。 证明：设 G 是一个有 n 6 个顶点和 m 条边的平面图，用归纳法证明，先假设每 个具有少于 n 个顶点的平面图是 5-可着色的，由推论 1.4 有：
d (G )
2m 2(3n 6) 6； n n
设 v G 是定点度不大于 5 的顶点，由归纳假设知，图 H : G v 存在一个顶点着 色 V ( H ) {1, ,5} 。如果 v 的邻点最多用了 4 种颜色，那么 c 可以扩充为图 G 的 一个 5-可着色。 所以我们可以假设顶点 v 恰有 5 个邻点， 且每个邻点着不同颜色。 设 D 是一个足够小的包含 v 的开圆盘， 使得它只与 v 关联的五条边的直线段相交。 我们按照这些线段在 D 中的循环位置列举为 s1 , , s5 ，并且假设 vvi 是包含 si 的边 （ i 1, ,5 ）如下图，不失一般性地，我们可以假设对于每个 i ，有 c(vi ) i 。 我们首先证明每条 v1 v3 路 P H 把 H 中的 v2 和 v4 分开。显然，这个结论成立当 且仅当在 G 中的圈 C : vv1 Pv3v 把 v2 和 v4 分开，我们可以通过说明 v2 和 v4 在 C 中
四色问题_高中作文
四色问题本文是关于高中作文的四色问题，感谢您的阅读！四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。
”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。
汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”。
如为正规地图，否则为非正规地图。
一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。
趣味数学故事之关于“四色问题”的证明-教育文档
趣味数学故事之关于“四色问题”的证明趣味数学故事之关于“四色问题”的证明“四色问题”是世界数学史上一个非常著名的证明难题，它要求证明在平面地图上只要用四种颜色就能使任何复杂形状的各块相邻区域之间颜色不会重复，也就是说相互之间都有交界的区域最多只能有四块。
一百五十多年来有许多数学家用了很长时间，化了很多精力才能证明这个问题。
前些日子报刊上曾有报道说：有好几位大学生用好几台电子计算机联合起来化了十几个小时才证明了这个问题。
本人在二十多年前就知道有这么一个“四色问题”，可一直找不到证明它的方法。
现在我刚接触到“拓扑学”，其实用“拓扑学”原理一分析，“四色问题”就象当年欧拉把“七桥问题”看成是经过四个点不重复的七条线段的“一笔画”一样简单，连一般的小学生都能证明它。
根据“拓扑学”原理，任何复杂形状的每一块区域都可看成是一个点，两块区域之间相互有交界的可看成这两点之间有连线，只要证明在一个平面内，相互之间都有连线的点不会超过四个，也就证明了“四色问题”。
平面内的任意一个点A可与许许多多的点B、C、D……X、Y、Z有连线（如图1所示），同样B点也可与其它点有连线，C、D……X、Y、Z各点也可与其它点有连线。
但有一个原则：各连线之间不能相互交叉，因为一旦交叉就会产生一条连线隔断另一条连线（如图2所示），BC的连线就隔断了AD的连线。
但有人会说：两点间的连线可有许多条，AD连线可绕到B点或C点以外（图2中虚线所示）不就没有交叉了吗？可是这样一绕就产生一个结果：原来在一个封闭图形外的点变成了封闭图形内的点。
下面就通过对封闭图形的分析来证明相互之间都有连线的点不超过四个。
一个点本身或两个点之间的连线都可形成一个或多个封闭图形（如图3所示）。
三个相互之间都有连线的点从A点连到B点再到C点又回到A点（如图4所示），必定会造成图形的封闭。
封闭图形上的点若多于四点（如图5所示），从第三点C起各点与第一点A的连线又将整个封闭图形分割成许多小的封闭图形。
四色猜想的证明
四色猜想的证明四色猜想的内容是：如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色，那么只需要4种颜色就足够了。
要证明四色猜想，首先需要定义一些新的概念：1、国家的表示法——点由于该猜想的内容中不涉及与国家形状有关的问题，而只涉及国与国之间的相邻关系，因此任何一个国家都用点来表示。
2、相邻与不相邻在叙述时，用符号“=”表示相邻，用“#”表示不相邻，如果用图示法表示相邻与不相邻则要复杂一些，先看下图：(a)(b) (c)图1在图1（a）与（b）中，分别用了直线和曲线连接两个国家A和B，表示国家A与B相邻，为了简便起见，这里只用直线表示相邻，图1（c）中是已知A与B相邻，叫你判断C 与D能否相邻，连接CD、CD与AB相交，相交是否就是不相邻呢？我们先看一组图:图2图2是把图进行等分后的结果，从三等分开始，如果每一份代表一个国家，这表示等分后的所有国家相聚于一点，从四等分后的国家A 、B、C、D可知，如果国家之间点的接触算是相邻，则A与B，C与D都为相邻，显然这时的A与B，C与D是交叉相邻，与图1（c）中的情况相同,此时A与B，C与D的交点表示接触点。
若点的接触不算相邻，那么连接A与B的直线可以看作一道墙，在这中间不能有任何直线通过。
因此，由于C与D的连线与AB相交，据此判断出C与D不能相邻。
但是当相邻用曲线进行表示，C与D却能够相邻，这是否说明用直线表示相邻有问题呢？当然不是，仔细分析就可以发现，用曲线表示相邻同样不能有相交的情况出现，因此，用直线表示相邻时，适当移动C或D的位置就可以使C与D相邻。
3、完全相邻这是一个关键问题，可以这么说，没有这一概念的证明都是伪证明，现在给出完全相邻的定义：在一个面上（可以是平面也可以是曲面）给定N个国家，如果这N个国家两相邻，那么我们就称这N个国家完全相邻。
由于1个国家没有相邻关系，因此上面的N要求要大于1。
如果是3个国家完全相邻，它们的相邻关系为：（这三个国家分别设为1、2、3）1=2，1=3，2=3有了以上这些概念之后，就有了证明四色猜想的基础。
四色定理证明方法
四色定理证明方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：四色定理是数学上一个非常重要的定理，它指出任何一个地图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域彼此颜色不同。
这个定理虽然看似简单，但却是一个深奥的数学问题，其证明方法也非常复杂。
四色定理最早由英国数学家弗朗西斯·加思顿在1852年提出，并且在1976年由美国数学家凯尼思·阿普尔和沃夫冈·哈肯证明。
这个定理的证明方法主要是通过图论和逻辑推理来完成。
我们来介绍一下四色定理的一些基本概念。
在地图着色问题中，地图可以看作是由一些区域和它们之间的边界组成的。
而一个合法的地图着色方案就是给每个区域都分配一种颜色，使得相邻的区域颜色不同。
四色定理的证明方法涉及到很多复杂的数学理论，其中最主要的是图论。
图论是一门研究图和网络结构的数学学科，它在证明四色定理中起着至关重要的作用。
在证明四色定理时，数学家们首先将地图转化为一个特殊的图的形式，这个图被称为地图的双图。
地图的双图是在地图的基础上构造出来的一个图，在这个图中每个区域对应一个顶点，而边界对应一条连接这两个顶点的边。
这样一来，地图的问题就被转化为图的问题。
为了证明四色定理，数学家们需要证明对于任意一个地图的双图，我们都可以使用四种颜色进行着色。
证明的关键在于通过逻辑推理来排除一些特殊情况，使得我们只需要考虑一些简单的情况。
数学家们通过对图的结构和特性进行分析和归纳，最终找到了一种方法来证明四色定理的真实性。
除了图论，证明四色定理还涉及到概率论、逻辑推理和计算机算法等领域的知识。
数学家们通过将不同学科的知识相结合，从不同角度来审视这个问题，最终找到了证明四色定理的方法。
四色定理的证明方法是一个集合多种数学技巧和理论的综合性问题，它不仅考验数学家们的数学功底和逻辑思维能力，同时也展示了数学的复杂性和魅力。
四色定理虽然已经被证明，但它依然是数学领域中一个重要而且有趣的问题，相信在未来会有更多数学家对这个问题进行深入的研究和探索。
四色定理的简洁证明及其意义
第32 卷第6期佛山科学技术学院学报（社会科学版）No. 6 Vol. 322 0 1 4年11 月Journal of Foshan University （Social Science Edition ）Nov. 2 0 1 4四色定理的简洁证明及其意义收稿日期：2014-09-10作者简介：陈建国（1940-），男，河南荥阳人，江西省社会科学院研究员。
一、四色定理及其简洁证明四色定理是知名的数学难题，意思是说：一张地图上，不管要划分多少地理单元，只需要用四种颜色就可以将它们区隔开，不会在边界线两侧出现同一种颜色。
地图绘制实践说明这是正确的，但如何按数理逻辑的严格要求把它证明出来，就成了难题。
上世纪70年代中期，美国伊利诺斯州立大学的数学家阿佩尔和哈肯利用高速计算机对此题进行证明。
计算机作了两百亿个逻辑判定，经过1200小时的计算，在1976年6月证明了这个数学难题。
使延续了124年之久的四色问题得到证明，成为四色定理。
笔者认为，这反映了人类逻辑思维的不成熟，即定理成立的条件分析不到位。
如果坚持对于定理成立条件进行逻辑分析，用十分简洁的方法，即可证明四色定理成立。
一、四色定理的适用范围是：同一平面（包括能通过投影化为平面的封闭曲面，如地球仪）上的不同区域分割，与三维及更多维的立体图无关；平面面积有限，定理与无限大范围无关。
二、在由有限个地理单元组成的地图上，如果任何一个地理单元都能够不与周边单元颜色混淆；那么，由于要区分的地理单元是有限的，应承认地图上所有的地理单元都已经用颜色区分清楚，不会与周围地理单元颜色混淆。
所谓颜色混淆，是指两相邻地理单元使用同种颜色表示。
三、由以上论述推论出：只要证明对于随意选定的一个被任意多而有限个的地理单元包围的地理单元来说，要与周边地理单元区分开，最多只需要四种颜色就不会发生颜色混淆。
得出此结果即说明四色定理被证实。
四、当整个地图只有两个地理单元时（如梵蒂冈与意大利），只需要两种颜色；有三个单元时（如蒙古之夹在中国、俄罗斯之间），只需要三种颜色。
利用数学模型证明四色猜想
面，便有了“1 面、3 线、3 点”（记作“1+3”或“3+1”）组成的
起始△ABC 单元区域特征。
单元，指△“1 面、3 线”起始位置；单元区域，指△“1 面、3
线”C43
组合位置；区域，指
C3 4
组合位置的整（总）体。
根据平面几何三角形定义与平面公理二，四色猜想使用的“1 面、
2
3 线”与“1 面、3 点”概念是一致的。
重组△角与起始△角共点，相对下一个△的出现，重组△则又被称为
起始△，可链锁产生。由“1 面、3 线（点）”组成的 图形，是相
似△或等价△。
根据平角定义，直线与平角可以互相转化。因此，线段上可以有
无数平角。平角的对顶角区域同样是个区域位置概念。
（1）根据三角形定义，点是其所在的线、面的共点。重组△与
起始△有、只有一个共点，且三个角的共点可以分别连锁产生另外的
“1 面”蓝 3：P32=(124，421，142，214，412，241）
“1 面”绿 2：P32=(143，341，134，413，314，431）
“1 面”黄 1：P32=(324，432，234，423，342，243）
（三）数学归纳。
1、任意 K 个△ABC 单元区域。
平面（1→ k 区域）=∑1k
起始△ABC
的“1
面、3
线”的
C3 4
四种单元区域组合，有三种标
识方式。
1、单元区域 C43=
2、C43=123④、12③4、1②34、①234。 3、区域内的“四方八位”位置，每个起始单
元区域
C3 4
则依照“1
单元、3
相邻”面（1+3）规则
进行“3+1”链锁重组，来实现区域四色猜想。
四色定理论证
变形 ,换色办法相同 ,并示于图中 。 注意 :图 5 中的 C1 和 C2 中均有着 ③色的顶点 ;
若在某些着 ③色的顶点 ( v3 除外) ,有可能既属于 C1 又属于 C2 ,换色情况将有所变化 ,详见 D) 、E) 、F) 所 述。
D) 如图 7 所示的情况 : 图的上方 vx 顶点着 ③ 色 ,它是 C1 和 C2 中距 v1 顶点 ( ①色) 和 v4 顶点 ( ④ 色) 最近的一个公共着 ③色的顶点 ; 它们是没有“交 叉”的相接关系 ,其换色同于图 5 。
(b) 换色后 图3
色 。则需再往下进行 。 B) 再设 V 3 ,1 = { v| v 在 G1 中着 ③色或 ①色} ,并
且 G3 ,1 = G[ V 3 ,1 ] 。 ……其情况完全类同于本节之 A) :当 v3 与 v1 属于 G3 ,1 的不同连通分支时 ,换色就 成功 ,如图 4 ( d) 所示 ; 但当 v3 与 v1 在 G3 ,1 的同一 连通分支中 ,则仍不能换色 。此时 ,必须另劈蹊径进 行换色 。
(注 :换色时 ,亦可对 v3 所在的连通分支进行两 色互换 ,不影响结论 。)
若 v1 与 v3 在 G1 ,3 的同一连通分支中 ,则不能 按此办法换色 ,见图 3 (a) 所示 。此时 ,因有 G [ V 1 ,3 ∪{ v0 } ] 含回路 C , v0 在 C 上 ,除 v0 外 ,在 C 上的 顶点涂 ①、③两种颜色是交替出现的 ; v0 无法着色 。
1) 当 d ( v0 ) ≤3 时 , v0 的着色显然没有问题 , G 是 4 - 可着色的 。
2) 当 d ( v0 ) = 4 时 ,与 v0 相邻的有四个顶点 (设为 v1 , v2 , v3 , v4 ) ,如图 1 所示 。若 v1 , v2 , v3 , v4 已着色少于 4 种颜色时 , v0 着v2 , v3 , v4 分别作了 ①、②、 ③、④四种颜色后 , v0 如何着色呢 ? 在此 ,就需要采 用换色办法 ,使 v1 , v2 , v3 , v4 只用 3 种颜色而把腾 出来的 1 种颜色给 v0 着色就成了 。换色的办法是 :
四色定理简易证明
四色定理简易证明Zhou Yan-hui（周彦辉）（Freelance，Beijing 100070，china）摘要：首先，证明一个多边形只需要3种颜色就可以保证相邻的边不同色。
然后，将多边形的边换成折线-边界线，结论不变。
最后，在地图上任选一个中心区域，以边界线的颜色代表相邻地区的颜色，即可证明只需要4种颜色就可以保证相邻的地区不同色。
关键词：多边形，颜色，折线，国家，地区1、引言四色定理是指在地图上只需四种颜色即可将所有的国家和地区分开，或者是相邻的两个国家或地区不能使用同一种颜色，只需要四种颜色就能保证这一点。
四色定理曾经是一个无法证明的定理，后来科学家用计算机经过上亿次验算才得以证明，但是，还有没有更简单的证明方法呢？2、任意一个多边形相邻的两条边若不同色，只需3种颜色。
证明：多边形的两条邻边须用不同的颜色，两条被隔离的边就可以使用同一种颜色。
按照这条规则，如果一个多边形的边数是偶数，只需要2种就能保证；如果一个多边形的边数是奇数，则要增加一种颜色，即需要3种颜色（见图一）。
图一所示是一个七边形ABCDEFG，唯独“FG”边的颜色是绿色。
如果去掉“FG”，就是一个六边形，只需要红、黄两种颜色。
因此，一个多边形要保证相邻两边不同色，只需要3种颜色。
3、要保证两条相邻的边界线不同色，只需3种颜色。
证明：一个国家的区域由数条边界线围成，将上述的多边形的每条边由直线段变成折线段，类似于地图上凹凸不平的边界线。
折线虽然并非直线，似乎有数不清的边，但是，由于每条折线段都有两个端点，相邻的折线同样可以用不同的颜色加以区分。
只要不涉及计算折线长度的问题，这个区域仍然可以按多边形处理。
由前面的结论推论，要保证相邻的边界线不同色，只需3种颜色（见图二）。
4、地图上相邻的两个国家不能使用同一种颜色，那么，只要4种颜色就能保证这一点。
证明：在地图上任意取一块地区作为中心区域O，它和周围地区的分界线就构成一个不规则的“多边形”。
四色定理的终极证明-证明篇
如图3所示，由于上与下区域不接 壤可用同一种颜色、左与右区域也 不接壤也可用同一种颜色，所以中 间区域只要用第三种颜色就行了。 由于中间区域只与周围四个区域有 接壤，不与外界其它区域有接壤， 所以它的存在与否，只要外围四区 域着色不变也不会影响其它区域的 着色。就是说：在整个最大平面图 中可把图3中左边的情况看成与右 边的一样（图中是中间用了绿色使 左右区域相连，也可以用红色使上 下区域相连），下方的关系图就是 去掉中心O点，把C点合并到B点， 只剩下三个点二条线。
公共边现象
•
在去掉中间点的过程中，很 容易出现连成一串的四边形 （如图8中的B和C都是四边形 的中心点），可先去掉B点把 C与A合并，也可先去掉C点把 D与B合并。从A点到D点实际 上是两个多边形的公共边， 在去掉这些四边形中心点的 过程中，因为有着依次去掉 一个合并一个的规律，可一 次性把这些点去掉，A到D的 总点数是单数，合并后只剩 下A点；A到D的总点数是双数， 合并后只剩下A和D两点。
二个区域包围一个区域的情况
•如图1所示，中间的区域只要 用不同于外面二区域的任何颜 色就可以了，而它的存在与否， 也根本不会影响外围二区域与 其它区域的着色。就是说：在 整个最大平面图中可把图1中 左边的情况看成与右边的一样， 下方的关系图就是去掉了中心 O点，把二边形左右两条边AB 合并为一条。
2n边形与（2n 样图5就需要三种颜色，图6就需要四 种颜色。因为中间的黄色是被包围在 公路当中不与外界接触，它的存在与 否不会影响公路与外面地域的着色情 况，所以可以把黄色部分去掉，去掉 中间部分后左右车道就合二为一（如 图中右边所示），图5和图6中右边与 外界的着色关系同左边时仍旧一样。 下方的关系图就是去掉中心点，通过 合并，2n边形只剩下n+1个点n条线 （图5），2n-1边形只剩下n+1个点 n+1条线（图6）。带下划线的这两个 规律其实也适合上面所述的二边形、 三边形、四边形、五边形„„。它们 只是多边形的几个特例。
四色原理
四色猜想的证明四色猜想是数学的难题之一，但关键的困难是这个证明的思路很难找到，如果找到到正确的思路，就可以证明，而且证明过程可以很简单，可以被很多人理解，本文的关键点是对国家和国家的接触关系变成点和线的关系，然后再证明点和线之间的相互关系。
四色猜想首先是在简单平面上成立，这个简单平面是指一个单一的封闭曲线可以把屏幕分成两个互相独立的部分，向轮胎一类的曲面以及更复杂的曲面四色是不够的，这个证明已经被前人证明。
对于国家来讲，也需要说明，国家也是简单的国家，即一个国家是一个可以单独连通的一块曲面，一个国家分成几个独立的几部分在这里不考虑。
对于国中国的现象和环形的国家也暂时不考虑。
在这两点的前提下，再对地图作简化，将国家和国家之间的相临关系变成点和线的关系。
这是关键所在。
可以用点来代替国家，用点之间的连线表示国家的相临关系，对点涂色来代表对国家的着色，每一个线的两个端点颜色不能相同。
这样就可以研究点和线之间的关系，用这个关系来代替对国家的着色。
例如下图，A、B、C、D代表四个国家。
图1将上图变成下面点和线的关系，图2这个点和线的关系完全和上图相对应，四种颜色就可以用四种数字表示，点A代表A这个国家，点A有四种选择，点B有三种选择，点C有两种选择，点D也有两种选择。
用四种颜色对上面的图着色，可以有4×3×2×2=48种着色方式。
如果上图D和A相接壤，那么不是将B和外界隔离，就是将C和外界隔离，如下图。
图3这时D和A、B、C都相接，D就只有一个选择，这时有4×3×2=24 种着色方式。
这个图中的每一个点都和其他三个点相接，虽然有24种着色方式，但总是需要四种颜色。
以下的文中用点来代表国家，用线来表示相临关系，这样和对国家的着色是一致的，可以使关系简化。
对于N个点来讲，最少的相临方式有N-1种，就是N个国家只是但独相接。
这种情况很简单，这是只需要两种颜色即可，那么最复杂的连接方式有多少呢？公式13N-6最复杂的连接方式有3N－6种连接方式，这时整个图形的最外面的一圈有3个点，这可以被很简单的证明，例如图3，A、B、C三个点，相互之间可以有3条连线，在增加一个点D最多增加3条连线这个图3的外围只有A、C、D三个点，点B被封闭在由A、C、D 这三个点之简的连线中，不可能和外面的点相连。
四色定理证明过程-定义说明解析
四色定理证明过程-概述说明以及解释1.引言1.1 概述:四色定理是著名的图论问题，最初由英国数学家弗朗西斯·伯兰德提出。
该定理表明，任何平面上的地图都可以用四种颜色进行着色，使得任何相邻的区域都拥有不同的颜色。
四色定理在图论中具有重要的地位，它不仅仅是一个数学问题，更是一种对于地图着色问题的普遍性解决思路。
通过证明四色定理，我们可以更好地理解颜色着色问题的本质，以及在实际应用中的意义。
本文将从四色定理的基本概念入手，介绍其证明过程和要点，希望可以帮助读者更深入地理解这一经典的数学问题。
1.2 文章结构本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，将对四色定理进行简要概述，介绍文章的结构和目的。
正文部分将分为三个小节：四色定理简介、证明过程概述和证明要点。
在四色定理简介中，将介绍四色定理的背景和基本概念；在证明过程概述中，将介绍证明四色定理的主要思路和方法；在证明要点中，将详细展开证明过程中的关键步骤和技巧。
结论部分将总结全文内容，探讨四色定理的意义和展望。
通过本文，读者将对四色定理的证明过程有一个清晰的了解，同时也能认识到四色定理在数学领域的重要性和影响。
1.3 目的：本文的目的在于阐述四色定理的证明过程，通过详细分析和解释，让读者了解四色定理的重要性和深刻意义。
同时，通过揭示证明过程中的关键要点，帮助读者更好地理解数学领域中的重要定理和证明方法。
通过本文的阐述，希望能够激发读者对数学的兴趣，增强他们对数学知识的掌握和运用能力，促进数学领域的发展和进步。
2.正文2.1 四色定理简介四色定理是数学领域中一项著名的定理，它指出任何一个平面上的地图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域颜色不同。
这个定理最早由英国数学家弗朗西斯·格斯特在1852年提出，并在1976年被美国数学家康韦·阿佩尔和沃夫冈·汉克尔利用电脑进行证明。
四色定理的重要性在于它证明了一个简单而直观的问题，却需要复杂的数学推理和计算才能得出结论。
趣味数学故事之彻底解决“四色问题”
趣味数学故事之彻底解决“四色问题”趣味数学故事之彻底解决“四色问题”地图“四色问题”（又称“四色猜想”）最早由英国大学生法兰西斯·古特里（Francis Guthrie）于1852年在绘制地图时发现，他却找不出科学肯定的证明就去请教他在伦敦大学读书的哥哥费特里克·古特里（Frederick Guthrie）。
兄弟俩搞了好些日子还是证明不了，就由哥哥去向伦敦大学的老师、当时非常著名的数学家奥古斯都·德·摩根（Augustus de morgan）请教，摩根教授当时也证明不了，就至函他在三一学院的好友——著名数学家威廉·哈密尔顿（William Rowan Hamilton），希望他能帮助证明。
可哈密尔顿对这个问题研究了十三年，到死也没能给出证明。
自从1879年至今全世界不断有人提出证明了“四色问题”，可是都叫人难以信服，不断又被别人否定，至今这个“四色问题”仍与“哥德巴赫猜想”及“费马最后定律”一起被全世界公认为数学史上最著名的三大难题。
本人2019年夏天刚接触到“拓扑学”，试着用“拓扑学”的方法去分析“四色问题”，只化半小时左右时间就证明了“四色问题”。
我写的《关于“四色问题”的证明》（以下简称《证明》，可在电脑中文搜索栏打入“四色问题”或作者姓名“焦永溢”查看）2019年底在许多数学网站上刊登出来后，看了的人很多认为非常正确；但也有一部分不明白的人认为证明了“相互间有连线的点不多于四个”并不是证明了“四色问题”，他们认为四点相互间有连线只是平面图上的局部现象，不能代表整个平面图，还提出比如中间一个点周围五个点的图形并没有四个点之间相互有连线却也要四种颜色。
可我在这里要再强调一下：《证明》中三个定理概括讲就是“三点必闭，四点必围，五点必断”，并没有说一定要四点相互间有连线才需四色，证明“四色问题”关键在于“五色必断”。
《证明》中分析了第五点E落在封闭图形ABC以内及以外的情况，也提到了第五点若落在连线上必定会隔断这条连线，只是没有把隔断的情况用图画出来，其实一画出来也是与另两种情况一样：三点包围一点，另一点又被小的封闭图形所包围。
四色猜想证明四色猜想证明——运用“变形三角形原理”证明四色猜想
四色猜想证明四色猜想证明——运用“变形三角形原理”证
明四色猜想
谭仕芬
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2015(000)009
【摘要】四色猜想诞生的100多年来,困惑了许多想解开此疑题的人们.本文以明确四色猜想的数理涵义和数理概念为切入点,明确出100多年来没有谁明确出的四色猜想的数理涵义和数理概念,从而准确地找到了论证四色猜想的论题、论点、论据,开拓了论证此论题的捷径.从而轻而易举地用平面几何原理求证出四色猜想的初级定理,并创新性地确立了化不规则N边形为变形三角形——即不规则三边形的变形几何原理,使之与四色猜想的初级定理相结合,导引出广义四色定理（又称四色定理）,使四色定理能够直接应用于描绘复杂的地图.使论题成立.
【总页数】5页(P145-149)
【作者】谭仕芬
【作者单位】广西钦州市钦南区计生服务站,535000
【正文语种】中文
【中图分类】G431
【相关文献】
1.四色猜想（定理）简单证明 [J], 王锦根;
2.图的着色证明与图的着色定理——兼对四色猜想命题的证明 [J], 张尔光
3.四色猜想能够成立的证明\r——着重于对\"能够做到四色区分\"的证明 [J], 张尔光
4.地图四色猜想证明与解读探索 [J], 崔岩; 崔朝栋
5.泰特猜想的延续——四色定理的书面证明 [J], 韩文镇
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组合数学四色证明
组合数学四色证明部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑四色问题的证明如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。
这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。
但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一个更简单的证明。
根据欧拉创立的“拓扑学”原理，平面地图上不管形状多么复杂、大小多么不等的每块区域都可看成一个点。
而相互间有接壤的可用连线来表示<从图1到图6每幅图上方的区域图都可用下面的关系图来表示）。
地图上着色时只要相互有接壤的区域用的颜色不同就能分清不同区域了，也就是关系图上每条线两端的点不同色就行了。
下面的是湖南地图！可以用四种颜色！！从最大平面图上看，每一个区域<点）都是被其它若干个区域<点）所包围。
下面我们就逐一就各种包围情况来分析需要几种颜色。
1。
一个区域完全包围另一个区域的情况：这种情况相信不用画图大家也能明了，比如梵蒂冈处在罗马的包围之中，地图上它只要用与罗马不同的任何颜色就能分别出来，而处在中间的梵蒂冈存在与否，根本不会影响罗马与周围区域的着色。
2..二个区域包围一个区域的情况：如图1所示，中间的区域只要用不同于外面二区域的任何颜色就可以了，而它的存在与否，也根本不会影响外围二区域与其它区域的着色。
就是说：在整个最大平面图中可把图1中左边的情况看成与右边的一样，下方的关系图就是去掉了中心O点，把二边形左右两条边AB合并为一条。
3..三个区域包围一个区域的情况：如图2所示，中间的区域只要用不同于外面三区域的任何第四种颜色就可以了，而它的存在与否，也根本不会影响外围三区域与其它区域的着色。
就是说：在整个最大平面图中可把图2中左边的情况看成与右边的一样，下方的关系图就是去掉中心O点，只剩下外面三边形ABC。
4. 四个区域包围一个区域的情况：如图3所示，由于上与下区域不接壤可用同一种颜色、左与右区域也不接壤也可用同一种颜色，所以中间区域只要用第三种颜色就行了。
泰特定理（猜想）正确否？
泰特定理（猜想）正确否？雷明（二○一七年三月十二日）1 什么是泰特猜想或者泰特定理有关文献中对泰特猜想或泰特定理的描中下：1、1 许寿椿教授在《图说四色问题》一书中说：“1880年泰特（Tsit）根据另外一个猜想‘每个平面三次图都有哈密顿圈’给出四色猜想的另一个证明。
……”（第5页）“泰特于1880年的证明，在60多年后，也被发现有误。
……，象泰特的三次图哈密顿性、三边着色与四着色关系等等结果，都被后人接受，并计入图论发展的历史。
……”（第6页）泰特定理（猜想）正确否？“泰特猜想64年后，直到1946年，著名图论大师塔特（Tutte）构造出一个没有哈密顿圈的平面三次图，即塔特反例图D46T（或D（g25T））（图1.4）。
这时人们才发现，泰特的四色定理证明又错了。
”与此同时，许教授在塔特图旁边又给出了一个1966年由Lederberg和Bosak分别构造的、由38个顶点构成的、所谓的“现今已知最小的非哈密顿的平面三次图” D38b（或D（g21b））。
（第7页至第8页）塔特图与最小的非哈密顿平面三次图分别如图1和图2。
泰特定理（猜想）正确否？……………………“泰特猜想：每一个三连通平面三次图D都有哈密顿圈。
”（第113页）“泰特还从图D有哈密顿圈，推导出与D对偶的极大平面图g必定有四着色。
从而给出了四色定理的一个证明。
泰特这个证明，实际上是从D有哈密顿圈，推导出图g有树—树型四着色。
泰特当时并不知道树—树型仅仅是一种四着色类型，也不知道有的图g根本就没有树—树型四着色，或者是，他还根本没有注意到着色类型，仅仅注意到图g可以着四色，所以其结论有错。
原本他的结论确切的应该是：‘图D有哈密顿圈是图g有树—树型四着色的充分条件’。
2002年牛津大学版关于四问题的专著中给出了这个充分性证明。
”（第113页）。
许教授这里所说的“三次平面图”指的就是“各顶点度度都是3的3—正则平面图”。
也就是地图的原型图。
地图中所有的顶点都是连着三条边界线，这就是所谓的“三界点”，即平时人们所说的“三不管地区”。
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Pure Mathematics 理论数学, 2019, 9(8), 949-960Published Online October 2019 in Hans. /journal/pmhttps:///10.12677/pm.2019.98121Tait’s Conjecture Continue—The Proof of the Four-Color TheoremWenzhen HanJincheng Energy Co. Ltd., Jincheng ShanxiReceived: Sep. 30th, 2019; accepted: Oct. 22nd, 2019; published: Oct. 29th, 2019AbstractThe four-color theorem also known as the four-color conjecture or the four-color problem is one of the world’s three largest mathematical conjecture. Although it has been proved on computer, which owes to its powerful computing ability, after all, it isn’t strictly reasoned mathematically.Lots of math enthusiasts devote themselves to studying the problem around the globe. In this pa-per, the new concepts of two-color dyeable continuous line are put forward. A new method is used to prove that the 3-coloring of 3-regular planar graph lines is equivalent to the 4-coloring of maximal graph points. It is also proved that the 3-coloring of 3-regular planar graph lines is in-evitably possible. Thus, a universal four-color coloring method for vertices of any maximal graph is given.KeywordsFour Colors Enough, Two-Color Dyeable Continuous Line, 3-Regular Plane, Maximum Graph,Even Ring Elimination Method泰特猜想的延续——四色定理的书面证明韩文镇晋城能源有限责任公司，山西晋城收稿日期：2019年9月30日；录用日期：2019年10月22日；发布日期：2019年10月29日摘要四色定理，又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。
计算机证明虽然做了百亿次判断，终韩文镇究只是在庞大的数量优势上取得成功，这并不符合数学严密的逻辑体系，至今仍有无数数学爱好者投身其中研究。
本文另辟蹊径，创新提出两色可染连续线、偶数环消除法等新概念，用新的办法证明3-正则平面图线的3着色与极大图点的4着色等价，且证明了3-正则平面图线的3着色是必然可以的，以此给予任意极大图顶点一个普遍四色可染的方法。
关键词四色定理，两色可染连续线，3-正则平面，极大图，偶数环消除法Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY)./licenses/by/4.0/1. 引言百度上是这么说的：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”目前只有通过计算机经过百亿次计算得以证明，还没有可信服的书面证明方式，下面我们来尝试书面证明。
2. 证明思路2.1. 证明范围及限制条件平面或球面地图，不考虑“飞地”。
2.2. 思路根据坎泊关于四色猜测的证明，地图可以认为是无割边的3-正则平面图，其对偶图是一个极大图，泰特猜想认为证明3-正则平面图线的3着色等价于极大图顶点的4着色[1]。
所以我下面的证明分为两个步骤，第一证明3-正则平面图线的3着色与极大图点的4着色等价，第二证明3-正则平面图线的3着色是必然可以的。
我们不再讨论前人的各种各样的图，现在把所有极大图归为一个图集，把所有3-正则平面图归为一个图集，那么意味着下面的证明只能从这两个图集各自存在的普遍性质及两集之间的固有联系出发来展开论述。
2.3. 证明步骤步骤一：证明3-正则平面图线的3着色与极大图点的4着色等价。
步骤二：证明3-正则平面图线的3着色是必然可以的。
3. 证明步骤一3.1. 找出任意3-正则平面图及其对偶图(极大图)之间的点、线、面之间的对应关系以任意一个极大图为例，我们设此极大图顶点个数为V (V为大于2的自然数)，线数为Y，图中三边形(边可能是曲线，后文不再解释)个数为X，由于要证明球面的情况，所以我们认为图外部也是一个三韩文镇边形，那么三者之间存在如下关系：Y = 3V − 6，此式可以说是定理，证明也很简单，不再解释；X = 2Y/3，因为每个三边形需要三根线，每根线均为2个三边形共用；X = 2V −4，由以上两式推出，显然X必是一个大于等于2的偶数。
我们继续以任意一个3—正则平面图为例，设3-正则图的顶点(三界点)个数为x，线数为y，那么两者之间会有如下关系：x = 2y/3，每个顶点都通过3根线连接其它顶点，每根线连接2个顶点。
那么我们看对于任意一个固定的3-正则图与其对偶图(极大图)之间存在的必然联系，把3-正则图每一个面浓缩为1个顶点，用线代替面与面之间的邻接关系，即可得到其对偶图。
在3-正则图里2个相邻面之间只可能存在1根共线(边)，其对偶图里2个相邻顶点之间也只存在一根邻接线，所以此两图线数是相等的并且存在一一对应关系，也就是Y = y = 3V − 6。
另外，3-正则图里的每个顶点也都为3个面所共有，所以在转换成其对偶图的过程中，每个顶点(三界点)都必然化为极大图内的一个三边形，也就是说3-正则图内的每个顶点与其对偶图内的三边形存在一一对应关系，即x = X = 2V − 4，为偶数。
3.2. 根据点、线、面之间的对应关系，以简单图为例找出染色对应规律根据以上对应关系，如果我们能够对3-正则平面图线进行3色区分，那么3-正则图内的每个顶点所连接的线必然包含3色，然后把每根线的染色一一对应到其对偶图中，也必然导致此对偶图(极大图)中所有三边形的边线包含3色。
如图1：Figure 1. Correspondence between simple 3-regular graphs and their dual graphs图1.简单3-正则图与其对偶图的对应关系图1中左图为3-正则图，右图为其对偶图，3-正则图的顶点与其对偶图的三边形存在一一对应关系，我用s1、s2……sn标注，A、B、C代表3种颜色，对左图线3着色并一一对应到右图，右图中每个三边形的边线均为3色。
把图1右图中同一色线加粗，如下图2：从图2中我们很容易发现，只需要任选一图把同一根加粗线上的顶点交互染A、B两色，另一个根加粗线上的顶点交互染C、D两色，即可完成对此极大图的顶点4染色。
3.3. 以更复杂的图为例，验证染色规律我们直接引入更复杂的极大图，对所有三边形的边进行3染色，并分别对同一色线加粗，如下图3~5：韩文镇Figure 2. Coarsening of the same color line图2.对同一色线加粗处理Figure 3.Roughening and classification of complex maximum graph A chromatic lines图3.复杂极大图A色线加粗并分类仔细观察以上3图，我们可以把图中同一色线的加粗线归为两类，两类线之间存在另外2色的连接线，而同一类之间不存在连接线，因此我们依然可以一类线的顶点交替染A、B两色，另一类线交替染C、D两色，从而实现极大图的顶点染4色。
韩文镇Figure 4.Roughening and classification of complex maximum graph B chromatic lines图4.复杂极大图B色线加粗并分类Figure 5.Roughening and classification of complex maximum graph C chromatic lines图5.复杂极大图C色线加粗并分类韩文镇3.4. 证明3-正则平面图线的3着色与极大图点的4着色等价以上我们仅证明了3-正则图与其对偶图(也就是极大图)线的一一对应关系，以及如果可以对3-正则图线3染色，即可对其对偶图(极大图)中每个三边形的三边3染色。
至于极大图同一色线加粗后可对其顶点4染色，只是我们发现的规律，下面我们来继续证明其必然性。
我们先引入一个定义，我称为两色可染连续线。
两色可染连续线：任意数量点、线连接构成的一条连续线，如果此线的顶点两色可区分，我们称为一条两色可染连续线。
如图6所示，两色可染连续线具备以下几点性质：a、可以是点、线、环线、树状线及其组合组成；b、必须是连续的，除了一个点的特殊情况外，可以从任意一个点出发经过不重复路径到达另外一个任意点；c、环线必须是偶数环，不可存在任何形式的奇数环。
d、如果设点数为v，连线数为y，则y大于或等于v − 1，环越多，点数与线数差值越大。
Figure 6.Two-color dyeable continuous line图6.两色可染连续线以上图2~5，各图加粗线每一条都是两色可染连续线，但所有极大图中的线按照我们给定规则3染色，是不是同一色线中的任意一条线都是两色可染连续线？我们只需要证明最重要的一点，那就是没有奇数环。
如图7给出一个A色线的奇数环，并且把此图连接至极大图。