无穷大量与无穷小量极限的运算法则

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无穷小与无穷大,极限运算法则

例如, n 时, 1 是无穷小， n
但n个 1 之和为1不是无穷小. n
2019/10/13
13
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如,当x 0时, x sin 1 , x2 arctan 1 都是无穷小
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
2019/10/13
22
例4
求
lim
x
3x2 2x 1 x3 3x 5
(

型
)
无穷小因子分出法
解 x 时,分子,分母的极限均为无穷大.
方法先用 x 3去除分子分母, 分出无穷小,
再求极限.
lim
如果对于任意给定的正数m不论它多么大总存在正数使得对于满足不等式的一切x对应的函数值注意1无穷大是变量不能与很大的数混淆
第四节无穷小与无穷大
一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系
2019/10/13
1
一、无穷小
1. 定义 (无穷小): 如果函数 f (x)当 xx0 (或x ) 时的极限为零, 则称函数 f (x) 当 xx0 (或 x)时为无穷小.
是由函数 y f (u) 与函数 u g( x) 复合而成, f [g( x)]
在点 x0 的某去心邻域内有定义,
若
lim
x x0
g(
x)

u0，
o
lim
uu0
f (u) A，且存在0 0,
当 x U ( x0 , 0 ) 时,

高数1-3无穷小无穷大与极限运算法则

lim f ( x) A , lim g ( x) B,
且 f ( x) g ( x),
则
A B .
( P45 定理 5 ) 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x)
1.lim(2 x 1)
x 1
x 1 2.lim 2 x 2 x 5 x 3
3
*. 设有分式函数
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理可由定理3 直接得出结论 .
定理 5 :若
3. 求解法 1 原式 = lim
x x2 1 x
x
lim
x
1 1 1 1 2 1 2 x
1 则 t 0 令t , x 2 1 1 1 1 t 1 原式 = lim 2 1 lim t0 t t0 t t2 t 1 1 lim 2 2 t 0 1 t 1
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
0 ,
当当
时,有时,有
取 min 1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2 2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小。
备选题设
求解:
是多项式 , 且
利用前一极限式可令
f ( x) 2 x 3 2 x 2 a x b

四、五节无穷小与无穷大极限运算法则

1，定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大，定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大
特殊情形：正无穷大，负无穷大．特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
lim f ( x ) = +∞ (或 lim f ( x ) = −∞ )
x → x0 ( x→∞ )
注意（1）无穷大是变量不是一个很大的数，它能大于任不是一个很大的数，）无穷大是变量,不是一个很大的数意大的数; 意大的数
0
x−3 例3 求 lim 2 x →3 x − 9
B、x -->∞ 时求函数极限、
例4
2x − 3 求 lim 2 x →1 x − 5 x + 4
3x3 + 4 x2 + 2 例5 求 lim 3 x→∞ 7 x + 5 x2 − 3
3 x2 − 2 x − 1 例6 求 lim 3 2 x→∞ 2x − x + 5
极限的四则运算法则
定理
设 lim f ( x) = A, lim g( x) = B, 则 (1) lim f ( x) ± g( x)] = A± B; [ (2) lim f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; [ f ( x) A (3) lim B = , 其中 ≠ 0. g( x) B
第五节极限的运算法则
本节讲述极限的四则运算法则。为此先介绍两个定理。定理1：有限个无穷小的和还是无穷小。有限个无穷小的和还是无穷小定理有限个无穷小的和还是无穷小定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。有界函数与无穷小的乘积是无穷小定理有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小。常数与无穷小的乘积是无穷小推论常数与无穷小的乘积是无穷小（常数是有界的）推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小。有限个无穷小的乘积是无穷小推论有限个无穷小的乘积是无穷小（无穷小是有界的）

第四、五节无穷大与无穷小极限运算法则

M0,0,使得 0x 当 x0时恒f有 (x)1,
M
当xx0时, f(1x)为无穷 . 大意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
16
容易证明
∗ 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大; ∗ 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; ∗ 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之
积仍为无穷大;
过程；
5
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证: lim f(x)A
xx0
0,0,当 0xx0 时,有
f(x)A
f(x)A
lim
0
xx0
注：对自变量的其它变化过程类似可证 . 6
f(2n)0.
所以 x时,f (x)不是无穷大!
13
y
例证明lim 1
x1 x1
解出 | x1|
y 1 x1
证
M0,
要使 1 x1
M,
O •1
x
只要 x1 1, M
取
1, M
1
铅直渐近线
当 0x1时 ,有 1 M. lim 1 .
x1
x1 x1
结如x l 果 ix0m f(x) ,则直 xx0是线函 yf(数 x) 论的图形的铅直渐近线(vertical asymptote).
14
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证设lim f(x). x x0 0,0,使得 0x 当 x0时恒f有 (x)1, 当xx0时, f(1x)为无穷 . 小 15

4-5 无穷大与无穷小极限运算法则

π
2
时,
当
f ( 2 nπ + ) = 2 nπ + 2 2 而取 x = xn = 2nπ时,
π
π
f ( 2 n π ) = 0.
不是无穷大所以 x → ∞时 f (x)不是无穷大! 不是无穷大! ,
y
1 例证明 lim =∞ x →1 x − 1 解出 | x − 1 |
y=
1 x −1
1 证 ∀ M > 0, 要使 • > M, 1 O x x −1 −1 1 1 只要 x − 1 < , 取δ = , M M 铅直渐近线 1 1 0 当 < x − 1 < δ时, 有 > M. ∴ lim = ∞. x →1 x − 1 x −1
x → x0
lim f ( x ) = 0 (或lim f ( x) = 0).
x→∞
“无穷小量”并不是表达量的大小而是表无穷小量” 无穷小量并不是表达量的大小,而是表注达它的变化状态的. 无限制变小的量达它的变化状态的 “无限制变小的量” 无限制变小的量” 1) 无穷小是变量不能与很小很小的数混淆无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆不能与很小很小的数混淆; 2) 零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数唯一的数. 3) 称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和定理在同一过程中有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 仍是无穷小证设α及β 是当x → ∞时的两个无穷小 ,
∀ ε > 0, ∃N 1 > 0, N 2 > 0, 使得
ε ε 当 x > N 1时恒有 α < ; 当 x > N 2时恒有 β < ; 2 2

2.无穷小量、无穷大量、极限的四则运算

lim x
2
1
1
2 x2
1
例1-21
求
lim
x
2x3 7x3

3x2 4x2

5 1
.
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大. ( 型 )
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限.

lim
x
2x3 7x3

3x2 4x2

5 1

lim
x
[ f (x) g(x)] (A B) (A )(B ) AB (A B) 0. (2)成立.
推论1 若lim f (x)存在,而c为常数,则
lim cf (x) c lim f (x)
即:常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 若lim f (x)存在,而n为正整数,则
1．无穷大量 2．无穷小量３．极限的四则运算
作业 P14-P15
➢ 1、 3(2，3，8，12，14) ➢ 2、 6
0
222
由夹逼法则
limsin x 0, limcos x 1
x0
x0
3．无穷小量的比较与阶
在自变量 x 的同一变化过程中，两个无穷小趋于零的
快慢可能会有所不同．
如：函数x和x2，当x 0时x2变化比x快.
两个无穷小趋于零的快慢，可根据两个无穷小的商是否会有极限来判断．
例如 lim x 2 0 x0 x
即:若函数 f ( x)以为A极限,则函数 f ( x) A是无穷小; 反之,若 f ( x) A 是无穷小,则 f ( x)以A为极限. 因此,通常将
lim f ( x) A 表达为 f ( x) A (lim 0).

§1.4和1.5极限运算法则

多项式与分式函数代入法
1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + L + a n , 则有结论: 结论:
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + L + a n
+ a1 x 0 + L + a n = f ( x 0 ). P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x ) lim P ( x ) P ( x ) x → x0 0 = f ( x 0 ). lim f ( x ) = = x → x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
sin x lim x→ ∞ x
1 limxcos x→ 0 x
1 limx ar ctan x→ 0 x
2
§1.5 极限运算法则
一、无穷小的运算性质: 无穷小的运算性质定理1: 在自变量的同一变化过程中, 定理1: 在自变量的同一变化过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 小的代数和仍是无穷小. 注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 1 1 但是无穷小，例如, n → ∞ 时, 是无穷小， n 个之和的极限为 1 . n n 定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小

无穷小量与无穷大量极限运算法则

9
性质3：有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 1 例如： lim 0. 2 x x (1 x ) 三、无穷大量
1.定义: 如果在自变量的同一变化过程中,变量(函数)f(x)的绝对值无限增大,则称该变量是这个变化过程中的无穷大量。记作limf(x)=。
1 1 例如： lim ，是x 0时的无穷大. x 0 x x x lim e ， ∵ e x是x 时的正无穷大量.
把求一般的极限问题转化为求特殊极限(无穷小)的问题;
n2 2 2 n2 如： 1 , lim 0, lim 1. n n n n n n
3、无穷小的运算性质: 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 性质1：注意：无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小.
1 1 1 例如： lim ... 1 0 n lim f ( x) A.
x x
2
2.
x x0 时， f ( x ) 的极限.

注： x x0包含了x x0 和 x x0 两个极限过程.
定理： lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
x
10
注意:
(1)记号limf(x)没有指明自变量的变化过程，指的
是任意一种变化过程。
(2)无穷大是函数(变量),不能与很大的常数混淆; (3)切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
(4)无穷大的概念是反映变量的变化趋势，因此谈及无穷大,一定指明自变量的变化趋势. 1 1 1 不是无穷大. . 而x 2 呢？例 lim x 1 x 1 x 1
4
注意 (1)无穷小是函数(变量),不是一个很小的常数;

无穷大与无穷小极限运算法则(2)

2
本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。
在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义。
3
一、无穷小
1. 定义
极限为零的变量称为无穷小量,简称无穷小.
( A B) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A B A 0. g( x) B B B B(B )
又 0, B 0, 0, 当0 x x0 时,
B , B B B 1 B 1 B
2
22
22
B(B ) 1 B2 , 故 2
定理2 设有数列{ xn }和{ yn }, 如果
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B,
那末
(1)
lim(
n
xn
yn )
A
B;
(2)
lim
n
xn
yn
A
B;
(3) 当yn 0n 1,2,且B 0时,
lim xn A . n yn B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理可由
前面的定理直接得出结论 .
所以 x 时, f (x)不是无穷大!
注：无穷大量是变量，在变化过程中可以变得大于
任意给定的正数，反映了函数的一个变化趋势；二无界量实质函数绝对值可以大于事先给定的正数M，是一个数值概念，不反映函数的变化趋势。
16
y
例证明lim 1
x1 x 1
解出| x 1 |
y 1 x1

练习2.3-2.4无穷大与无穷小极限的运算法则

班级姓名学号练习2.3-2.4 无穷大量与无穷小量, 极限的运算法则一、判断题(正确的结论打“√”，并给出简单证明；错误的结论打“×”，并举出反例)：1. 若存在，不存在，则)(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →)]()([lim 0x g x f x x +→不存在. [ ]2. 若，均不存在，则不存在. [ ])(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →)()(lim 0x g x f x x →3. 在某极限过程中，两个无穷大量之和一定是无穷大量. [ ]4. 若,又与均存在，则. [ ])()(x g x f >)(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →)(lim )(lim 00x g x f x x x x →→>5. 若0lim ()x x f x →与0lim ()()x x f x g x →均存在，则0lim ()x x g x →必存在. [ ] 二、填空题:1. 当∞→x 时，若5312)(22+++-=qx x px x f 为无穷大量，则p 为， q 为；若为无穷小量，则)(x f p 为，q 为； 2. 已知22lim 222=--++→x x b ax x x ，则_____, =a =b _____. 三、选择题：1．无穷小量是[ ].() 以零为极限的变量； () 比任何数都小的一个量.2. 设(A ) 比零稍大一点的数； (B ) 一个越来越接近于零的变量； C D 6)31)(21)(1(lim 0=++++→xa x x x x ，则a 的值为[ ].3*. 设数列(A ) ； (B ) ； (C ) ； (D ) .1-123{}n x 与{}n y ，满足lim 0n n x x y →∞=，则下列断言正确的是[ ] () 若A {}n x 发散，则{}n y 必发散； () 若B {}n x 无界，则{}n y 必有界；(C ) 若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小； (D ) 若{1/}n x 为无穷小，则{}n y 必为无穷小.四、求下列极限: 1. 4586lim 224+-+-→x x x x x ； 2.)(lim 22x x x x x --++∞→； 3. 2221(lim n n n n -++⋯++∞→；； 7.* x e e x xx 1arctan 11lim 110-+→ 4 湖南大学数学与计量经济学院编 4. 11lim 31--→x x x ； 5. n n n cos )211(lim -∞→； 6. ∑=∞→+⋯++N n N n 1211lim .。

1-4无穷小与无穷大;极限运算法则

二、无穷大
定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么
小),总存在正数(或正数 X ),使得对于适合不等式
0 x x0 (或 x X )的一切 x,所对应的函数
值 f ( x)都满足不等式 f ( x) M ,
则称函数 f (x)当 x x0(或 x )时为无穷大,
f (2n ) 0.
所以 x 时, f (x)不是无穷大!
无穷小与无穷大&极限运算法则
y
例3. 证明lim 1
x1 x 1
解出| x 1 |
y 1 x1
证:
M

0,
要使
1 x1

M,
O 1
x
只要
x1

1 M
,
取

1 M
,
1
铅直渐近线
当0 x 1 时, 有 1 M . lim 1 .
如, 当x 0时, 函数sin x是无穷小;
当x 时,函数 sin x 是无穷小; x
当x 2时,函数x 2是无穷小;
当x 1时,
皆非无穷小.
无穷小与无穷大&极限运算法则
定义1 0(不论它多么小), 0(或X 0),
使得当0 | x x0 | (或 | x | X ), 恒有 | f ( x) |
无穷小与无穷大&极限运算法则
第四节无穷小与无穷大第五节极限运算法则
一.无穷小的定义二.无穷大的定义三.无穷小与无穷大的关系四.极限运算法则五.求极限方法列举六.复合函数的极限运算法则七.小结&作业
第一章函数与极限

无穷大与无穷小极限运算法则.ppt

1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
容易证明
∗ 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大;
∗ 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; ∗ 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之
积仍为无穷大;
∗ 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.
lim ( x ) lim ( x ) a b.
由保号性定理, 有 lim f ( x ) 0, 即 a b 0, 故 a b.
若在U ( x0 , )内有f ( x ) 0,则必有A 0.

注意
应用四则运算法则时,要注意条件:
参加运算的是有限个函数,它们的极限都存在, 商的极限要求分母的极限不为0.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 2 1 例如,当x 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x
例1. 求
解:
sin x y x
1 lim 0 x x
利用定理 3 可知
x
如果 lim f ( x ) ,则直线 x x0是函数 y f ( x) 结 x x0 论的图形的铅直渐近线(vertical asymptote).
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
设 lim f ( x ) .
前面的定理直接得出结论 .
lim[ f ( x ) g( x )] A B
定理3
如果 ( x ) ( x ), 而 lim ( x ) a ,

1.4无穷小、无穷大、极限运算法则

返回返回
三、无穷小的比较
引例 . x →0时, 1 Y=x Y=x2 1 1 2 0.1 0.01
x, x2 都是无穷小, 但
3 0.01 4 0.001 …… –> 0 –>0
0.000 0.0001 …… 001
所以无穷小趋于零的速度不一样，所以无穷小趋于零的速度不一样，因此引入阶的概念
返回返回
例如： − 是很小的数，穷小量。例如： 1010000000000 是很小的数，但不是无穷小量。
2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的 3.分析 f (x) 是否为无穷小一定要考虑自变分析变化过程.如量 x 的变化过程如 x → 2时 x − 2 是无穷不是无穷小。小，但 x → 3时，则 x − 2 不是无穷小。返回返回
定义: 定义:设α, β是同一过程中的两个无 , 且α ≠ 0. 穷小 β (1) 如果lim = 0, 就说β是比α高阶的无穷小 , α 记作β = o(α); β β α低阶的无穷小. (2)如果lim = ∞, 就说是比低阶的无穷小. α β (3) 如果lim = C(C ≠ 0),就说β与α是同阶的无穷小 ; α β ; 特殊地如果lim = 1, 则称β与α是等价的无穷小 α 记作α ~ β;
β β′ α′ = lim ⋅ lim ⋅ lim = lim β ′ . β′ α′ α α′
返回返回
tan 2x . 例5 求lim x→0 1 − cos x
1 2 解当x →0时, 1 − cos x ~ x , tan2x ~ 2x. 2 2 (2x) 原式= lim = 8. x→0 1 → 2 x 2

无穷小和无穷大的概念极限的运算法则答案详解

x 1
x 1时， x 2 3 ， x 1 0 ，则倒式 1 ，故 x 2 是无穷大
x 1
x 1
1
4. y 2x 1
解：
x
时，
1 x

1
0， 2x

20
1
1 ，则 2x
1
0 是无穷小
x
0 时，
1 x

1
， 2x

1
，则 2x
1
3 1 解：分析同 3 题类似，原式 lim x
2 x2
3
x
1
1 x4
5. lim x( x2 1 x) x
解：分子或分母有理化是求极限时常用的变形技巧
原式 lim x( x
x2 1 x)(
x2
1

x)
抓大头

lim
x2 1 x
x

1
1
lim
x
2x 715
210 35
215

3 2
5

5. limln[(sin 2x)3] （ 0 ）. x 4
解：复合函数的极限，从内层到外层逐层讨论
x 时， 2x ,sin 2x 1, (sin 2x)3 1, ln[(sin 2x)3] 0
1.3 无穷小和无穷大的概念极限的运算法则
一、指出下列函数在什么情况下是无穷小量，什么情况下是无穷大量：
分析：极限趋于 0 的量为无穷小，趋于的量为无穷大，故该类型题关键是求极限 1. y ex
解：
y

ex

1 x e

第三次课无穷小与无穷大极限运算法则

x 1
解：原式 lim3x 2 lim 2 x3
x 1 x 1
2 3 3 （lim x ） 2 （lim x ） x 1 x 1
如果f(x)连续，极限值等于函数值。
3 12 2 13 1
14
x 1 例2.求 lim 2 x 1 2 x 3
解：原式
推论1 推论2
性质3
有限个无穷小的积是无穷小.
性质4 lim f ( x) A f ( x) A
4
1 例1.求 lim x sin x 0 x 1 又 lim x 0, 解： | sin | 1, x 0 x arctan x 例2.求 lim x x
解： | arctan x |
0
19
2x 1 例7. lim x 5 x 2
3
( 型)
1 2 3 3 2x 1 x 解： lim lim x 5 x 2 x 5 2 3 2 x x

20
m m 1 a x a x 小结: lim 0 n 1 n1 am x b x b x bn 0 1
( 型)
a0 b , 当n m , 0 0, 当n m , , 当n m .
(a0 0, b0 0, m, n为非负整数)
21
x 2 例8. 求 lim x 4 x 4
0 ( 型) 0
( x 2)( x 2) 解 : 原式= lim x 4 ( x 4)( x 2)
2.5 极限的运算
12
一、极限的四则运算法则
设在同一极限过程中，lim f ( x ) A, lim g ( x ) B

极限的运算法则无穷小与无穷大两个重要极限

定理在自变量的同一变化过程中 , 如果 f( x )为无穷大 , 则
1为无穷小 ; 反之 , 若 f(x )为 ( 非零 ) 无穷小 , 则 1为无穷大 .
f(x )
f(x )
如 lim x 0 lim 1
x0
x 0 x
8
二、函数的极限运算法则
1、定理设 lim u A ,lim v B ,则 ( 1 )li u m v ) li u ( m li v m A B ; ( 2 )liu m ) l v i u ( l m i v m A B ; u lim u A (3) lim (B0) v lim v B
9
说明：
例如, 当 x 0 时 ,3 x ,x 2 ,s in x ,都是无穷小 .
观
x2
lim 0, x0 3 x
下节证
x2比3x要快得;多
察
sin x
各 lim
1,
极 x0 x
sinx与x大致相;同
限
lim
x0
x x2
，
x比x2要慢得多.
比值极限不同, 反映了两者趋向于零的
“快慢”程度不同.
limsinx0. x x
4
例2 limarctanx x x
解 Q lim 1 0 x x
arctan x
2
limarctanx 0 x x
5
2、无穷大(量)
定义如果变量u在其变化过程中|u|无限增大，则称u为无穷大(量)，记作
u 或 liu m
注: 1. 无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数混为一谈；
记作 a~;

2.3-2.4无穷小与无穷大、极限运算法则

第三节无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系基本要求： 1. 理解无穷小与无穷大的定义。

2. 掌握无穷小与无穷大的相关关系。

一、无穷小 1. 定义定义1 定义如果函数 f ( x) 当 x → x0 (或 x → ∞ )时的极限为零，那么称函数 f ( x ) 为当 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小。

1 x = 0 lim cos x = 0, = 0 limsin 例：lim x →0 π x →∞ x x→ 2 1 故 , sin x, cos x是相应过程的无穷小量 x注1：无穷小与极限过程分不开, 不能脱离极限过程谈无穷小。

如：f (x)=sinx 当x →∵ lim sin == 1≠ ∵ lim sinx x 00 πx→ →0 x 2当x→0时，f (x)=sinx为无穷小π2时，f (x)=sinx不是无穷小.注2：0是任何极限过程的无穷小. 即 lim 0 = 0 注3：由于limC = C(常数), 所以, 除0外的任何常数不是无穷小量. 注4：不能将无穷小与很小的数混淆; 如：数10-10 ≈0，但不是无穷小。

定理lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α ( x ). 其中α ( x )是该极限过程中的无穷小量. A为常数. (省去x→xo , x→∞的极限符号“lim” 表示任一极限过程).2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质：性质： 1 有限个无穷小的和是无穷小注1：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.。

1 例. 求 lim x sin x →0 x解: 因为 x → 0 时， x为无穷小, sin 1 ≤ 1 x 1 sin 为有界函数, x 1 。

由定理1.4 2 , 得到 lim x sin = 0 x →0 x2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质：性质： 1 有限个无穷小的和是无穷小 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。