无穷大量与无穷小量极限的运算法则

第五讲

Ⅰ 授课题目：

§2.4无穷大量与无穷小量；§2.5极限的运算法则。 Ⅱ 教学目的与要求：

1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系；

2、掌握极限的运算法则。 Ⅲ 教学重点与难点：

1、无穷大与无穷小的概念、相互关系；

2、用极限的运算法则求极限。 Ⅳ 讲授内容：

§2.4无穷大量与无穷小量 一、无穷大的概念： 引例：讨论函数 1

1

)(-==x x f y ，当 1→x 时的变化趋势。

当 1→x 时，

1

1

-x 越来越大(任意大)，即：+∈∀R E ，要 E x >-11⇒E

x 1

1<-， 也即：+∈∀R E ，01>∃E ，当 E

x 1

1<-时，有：

E x >-11。 定义2.9：+∈∀R E ，变量y 在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，E y >成立，则称变量y 是无穷大量，或称变量y 趋于无穷大，记：∞=y lim 。 如：∞=-→11

lim

1

x x ，-∞=+→x x lg lim 0，+∞=-→

tgx x 2

lim π。

注 1. 若：∞=y lim ，则习惯地称此时)(x f y =的极限为无穷(大)；

2.无穷大不能与很大的数混淆；

3.无穷大与无界变量的区别；

例如：x

x f y sin 1

)(=

= 当)2,1,0(,ΛΛ±±==k k x π时，∞→)(x f ，无界，但非无穷大，πk x ≠Θ时，)(x f 为有限数。

例1 函数 ?),(cos 内是否有界在+∞-∞=x x y 又当 +∞→x 时，此函数是否为无穷大？为什么？ 解 用反证法

若：当+∞→x 时，x x y cos =非无穷大，

)1(,cos ,,0,0M x x X x X M >>>∃>∀有时当则，取2

2π

π+

=n x n ，当n 充分大时

必有X x n >，而 0cos =n n x x 与(1)式矛盾。

∴ +∞→x 时，x x y cos =，非无穷大。

4.无穷大运算的结论：

(1)有界变量与无穷大量之和是无穷大量； (2)两个无穷大量之积是无穷大量； (3)有限个无穷大量之积是无穷大量。 二、无穷小量： 1.概念：

定义2.10 以零为极限的变量称为无穷小量。 例如：021lim

=∞→n n ，则称 ∞→n 时，变量 n

n

y 21

=是无穷小量。 注 无穷小量非很小的数，但零是可作为无穷小量的唯一的数。

2.两个重要结论： 结论1

定理2.9 A y =lim ，⇔α+=A y ，0lim =α。 例如： ?56lim

=+∞→x x x ，Θx x x 5656+=+，而：05lim =∞→x x ，∴65

6lim =+∞→x

x x 。

结论2

定理2.10 若：0lim =α，且：0,>≤M M y ，⇒0lim =y α 推论 若：C 为常数，0lim =α⇒0lim =αC 。

例如：?1

sin

lim 0=→x

x x

0lim 0=→x x Θ，11sin ≤x ，∴01

sin lim 0=→x

x x 。

三、无穷大量与无穷小量的关系： 定理2.11 若：∞=y lim ，⇒ 01lim =y ；若：)0(,0lim ≠=αα⇒∞=α

1

lim 。 例如：∞=+∞

→x x e lim ，⇒ 01

lim

=+∞→x

x e 。

注 无穷大、无穷小与极限过程有关。 四、无穷小的阶(无穷小的比较)： 1.概念：

定义2.11 设βα,是关于同一过程的无穷小，α

β

lim 也是关于同一过程的极限， 若：0lim

=α

β

，则称β是比α较高阶的无穷小，记：)(αβο=；

若：∞=αβ

lim ，则称β是比α低阶的无穷小； 若：)0(lim ≠=c c α

β

，则称β是与α同阶的无穷小；

特别地：1=c 时，称α与β是等价的无穷小，记：α~β。

例如：2

1

2lim

0=→x x x Θ，∴ 0→x 时，x 与x 2是同阶无穷小。

注 1.同一过程的无穷小方能比较；

2.α

β

lim

存在，方能比较。 2.重要结论：

定理2.12 若：α~'

α，β~'

β，且：∃''lim αβ ，则 αβ

lim =''lim α

β。

常用的等价无穷小：

0→x 时，x x sin ~~tgx ~1~)1ln(~~arcsin -+x e x arctgx x ，……。

例2 设：0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而n x x sin 是比12

-x e

高阶的无穷小，则 ?=n

解 Θ 021lim 2lim sin )1ln()cos 1(lim 302

2020===+--→→→n x n x n x x xx

x

x x x x x ，∴ 03>-n ⇒ ⇒3

又：0lim lim 1sin lim 10

2002

===--→→→n x n

x x n x x x

xx e x x ，∴01>-n ⇒ 1>n ， 即：31<

定理2.13 若：A x =lim ，B y =lim ⇒=±)lim(y x B A y x ±=±lim lim 。 推论1 i i A x =lim ，n i ,,2,1Λ=，⇒ ∑∑∑=====n i n

i i

i

n i A

x x 1

1

1

lim lim

。

推论2 0lim lim ==βα，⇒ 0)lim(=±βα 注 可推广到有限个。

定理2.14 若：A x =lim ，B y =lim ⇒ AB y x xy ==lim lim )lim( 推论1 i i A x =lim ，n i ,,2,1Λ=，⇒ ∏∏∏=====n i n

i i

i

n i i

A x x 1

1

1

lim lim

推论2 0lim lim ==βα，⇒ 0lim =αβ 注 可推广到有限个。

推论3 0)(lim ≠=A x f ，0lim =α，⇒ 0)

(lim

=x f α