染色问题

【评析】本题属于典型的区域染色问题，通过对正六边形的六块区域进行不同的染色方 法，利用组合数学的知识很容易就能求解，此题的突破点就在利用图形特殊对称性进行 分析，也正是基于此，所以联想到将问题推广为 N 块圆区域情形，通过寻找彼此递推 关系，进而得出 N 块区域的染色种数，土木难度不是很大，但很能反映一个人的洞察 力和分析问题的能力. 通过此题我们可以也发现区域染色的计数问题实际上也就是组 合数学问题，彼此之间有着紧密的联系，包括上述其他的几种染色问题和我们常见的一 些数学方法都有着紧密的联系.
G O G … G
M C M … M
G O G … G
C M C … C
… … … …
G O G … G
M C M … M
G O G … G
C M C … C
G O G … G
M C M … M
2 回到原题，首先计算每一行出现的字母共有 C4 6 种选法，其次在每一行都以给
定的两种字母交替出现. 有两种选法. 这样“和谐棋盘”共有 6 22008 种. 同理，每一列恰好 出现两种不同字母的 “和谐棋盘 ”也一共有 6 22008 种. 下面还需要考虑每一行，每一列 均恰好出现两种不同的字母的“和谐棋盘”种数. 这样的“和谐棋盘”由左上角的 2× 2 方阵 中的字母唯一确定，一共有 4! 24 种. ∴“和谐棋盘”种数一共有 6 2
例 3： （小方格染色）给定一个 2008× 2008 的棋盘，棋盘上的每一个小方格的颜色均不 相同，在棋盘的每一个小方格中填入 C、G、M、 O 这 4 个字母中的一个，若棋盘中的 每一个 2× 2 的小棋盘都有 C、G、M、O 这 4 个字母，则称这个棋盘为“和谐棋盘”. 问一 共有多少种不同的“和谐棋盘”？ 【分析】这个问题看似没有染色的字眼出现，但实则它也是一个染色问题，我们只需要 将 C、G、M、O 这 4 个字母看成是 4 种不同的颜色，然后对小方格进行染色即可，要 解决此问题，首先要分析“和谐棋盘”应当满足什么条件，我们不妨假设左上角的四个小 方格一次填入 C、G、 M、O；那么接下来要考虑的是与这四个小方格相邻的几个小方 格应该填入什么字母？经过几次简单的尝试，我们就可以发现，要么每一行有规律，要 么每一列有规律，由此得出了解答的途径. 解：首先证明一个引理：如果在 “和谐棋盘 ”中某一行出现了至少 3 种不同的字母，那么 每一列都恰好出现两种字母. 不妨设某一行出现了 C、G、M；可考虑从左向右看时，最后出现的一个字母，不
2.染色方法
将问题中的对象适当进行染色，有利于帮助我们更好地观察、分析对象之间的关系，常 用的染色方法有点染色、线段染色、小方格染色、区域染色等染色 方法；以下我将通过一些具体的例题，对上述几类染色方法进行简 单一一介绍. 例 1： （点染色）用红、黄、蓝、绿四种颜色给如下正八面体的面 A、 B、C、D、E、F、G、H 染色（允许只用其中的几种） ，使相邻面（有 公共棱的面）不同色，求不同的染色方法的种数. 解： 如图，作一正方体，其顶点对应正八面体各面，则当且仅当正 八面体中两面相邻时，对应的正方体两顶点相邻. 这样，原问题就 转化为：求用 4 种不同颜色给正方体的八个顶点染色，相邻点不同 色的染色方法种数. ★ A 的染色方法有 4 种 下面对 B、D、E 的染色分情况讨论. （1）B、D、 E 同色，有 3 种染色方法. 则 C、F、H 至多染 3 色，各有 3 种选择，共有 27 种染色方法. 其中，
(n 3) (n 2) (n 1)
n 1 n 1 1 ∴ N 3 时，由 an an 1 4 3 可知： an an 1 4 3 ——————○
以下用构造法求解上述数列的通项公式；
an an 1 2 ; ( n ) -----○ n 3 3 1 1 n 2 式进一步整理得： an 3 an 1 3 ( 1) ； 将○ ∴ ， 1 ； 3
A B F C E D
【评析】这是一道十分经典的数学竞赛问题，原题来自 1974 年匈牙利高中联赛试题的 第一题，题目看似很简洁，也容易懂，但如果不知道将其转化为熟悉的数学知识，则将 无从入手； 此题可以从多个角度进行分析， 求解方法也有多种， 以上解法为了便于书写， 因此没有用到颜色去分析，不过虽然看似没有用到染色的知识，实则我们可以将实线和 虚线看成是两种不同的颜色，则由上述结果可知，△BDF 和△ ABF 必为同色三角形. 因 此上述问题可以归结为： 用 2 种不同颜色对平面任意 6 个点两两所连成的线段进行染色， 则必存在同色三角形.
1
D A B
C
H E F
G
染 3 色（共有 3！=6 种）时，G 只有 1 种选择； 染 1 色（共有 3 种）时，G 有 3 种选择； 染 2 色（共有 27-6-3=18）时，G 有 2 种选择. 共计 3× （ 6× 1+3× 3+18× 2） =153 种染色方法 . （2）B、D、 E 染 2 色，有 A
2008
+6 2Hale Waihona Puke Baidu
2008
-24= 12 22008 24 种.
【评析】此题属于对“棋盘染色”的问题，虽然也没有具体给出颜色，但我们可以将 C、 G、M、O 看成是 4 中不同的颜色，本题难度较大，若没有进行一定的尝试，从中找出 规律，则求解起来十分困难，可能还得不到正确的结果. 要找出“和谐棋盘”的个数， 关键在于弄懂“和谐棋盘”的的构造，然后从中寻找规律，进而求解.
an 1 1 1 1 ( ) ( )n3 (1)n2 ( )n1 ； n 3 9 3 3
∴数列 an 的通项公式为： an 3n 3 (1) n 2 ； ∴当 n 6 时， a6 36 3 ( 1) 4 732 ； ∴一共有 732 种.
∴ 不同的染色方法共有 4× （ 153+432+78） =2652 种. 【评析】以上例 1 是通过对“面”的染色问题转化为对“点“的染色，此题的难度较大， 若单从正八面体的各面进行分析，会使得问题变得十分模糊，很容易出错，因此，考 虑到正八面体结构的特殊性，我将问题转化为对正方体的八个顶点的分析，这样做的 目的主要是使问题变得更加清晰明了，由此可以发现，点染色是染色问题中一种很常 用也很实用的方法;
3
妨设 M 最后一个出现， 那么在 M 往左边数的前两个格子里必然是 C 和 G. 不妨设这三个 字母的顺序就是 C、G、M；那么在这个 G 的上方（如果有上方）必然为 O，而这个 O 的左边和右边分别为 M 和 C，再向上一行（如果有）的对应三个格子分别是 C、G、 M. 对下方的格子同理. 因此，在第一个 G 所在列仅有 G 和 O 两种字母. 而与这一列相邻 的两列都只有 C 和 M 两种字母. 这样一列一列地推导过去， 可得每一列都恰好出现了 2 种字母.
1 式左右两边同时除以 3 ， 将○ 并引入参数 和 ， 整理得：
n
∴
an 1 an 1 24 1 1 an 1 ( ) ( n 1) ； 为 1 可以看作是以 1 为首项， ∴数列 n n 1 3 3 3 27 9 3 3
5
公比的等比数列；从而可得：
数学竞赛常见典型问题 ——染色问题
2010 级 双师班 105012010091 章君
一、染色问题相关知识
1.染色问题基本概念
染色是分类的直观表现， 在数学竞赛中， 有一大批问题是以染色作为基本方法才得以解 决的，此类问题的特点是知识点少、逻辑性强、技巧性高，其内部蕴含着深刻的数学思想， 它与我们平时常用的一些数学方法，如：奇偶性分析、归纳法、反证法、抽屉原理、构造法、 组合数学、图论等有着紧密的联系. 同时，染色作为一种解题方法也在数学竞赛被广泛应用.
【参考文献】 [1] 张景中，朱华伟.从数学竞赛到竞赛数学[M].北京：科学出版社，2009.4-4. [2] 雷勇.数学奥林匹克问题[J].中等数学，2011（1）:48-49. [3] 徐利治.徐利治谈数学方法论[M].大连：大连理工大学出版社，2008.
例 2： （线段染色）证明世界上任意的六个人中，必有三个人相互认识或者相互不认识. 解：如下图所示，不妨设实线代表相互认识，虚线 代表相互不认 识；A、B、C、D、E、F 代表任意六个人, 以 A 作为起始点，则 A 与其他 5 个点链接共有 5 条线段，由抽屉原理可知：
2
至少有 3 条线段为实线或者虚线，不妨设为实线（虚 线证明也一样）如图，且我们不妨设 AB、 AD、 AF 为实线，AC、 AE 为虚线， ，再以 B 为起始点，若 BD 为实线，则命题成立，若 BD 为虚线，如下图所示， 则再以 D 为起点，若 DF 为实线，则命题成立，若 DF 为虚线，因为 AB、 AF 为实线，而 BD、 DF 为虚线， 所以无论 BF 为实线还是虚线，都能找到 3 条同为实 线或虚线，即一定存在 3 个人要么相互认识要么相互 不认识，证毕.
1 2 2 2 当 N=4 时，有 C4 3 A4 2 84 中；
1 2 2 当 N=5 时，有 C4 3 2 A4 2 (3 2 2) 324 种；
„„„„„„„„„„„„
an an 1 4 3n 1 12 由以上可以发现： 当 N n 时，设有 a n 种，则有： 4
2C1 18 种染色方法. 3 3
由对称性，不妨设 B、D 同色， E 染另外一种颜色，则 F、H 有 2 种选择，C 有 3 种 选择，共有 2× 2× 3=12 种染色方法. 其中， 染 3 色（共有 2 种）时，G 有 1 种选择； 染 1 色（共有 2 种）时，G 有 3 种选择； 染 2 色（共有 12-2-2=8 种）时，G 有 2 种选择. 共计 18× （ 2× 1+2× 3+8× 2） =432 种染色方法 . （3）B、D、 E 染 3 色，有 3！=6 种染色方法. 则 C、F、H 各有 2 种染色方法，共 2× 2× 2=8 种染色方法; 其中， 染 1 色（必与 A 同色，有 1 种）时，G 有 3 种选择； 染 2 色（同色的两点必与 A 同色，共有 3 种）时，G 有 2 种选择； 染 3 色（有 8-1-3=4 种）时，G 有 1 种选择. 共计 6× （ 1× 3+3× 2+4× 1） =78 种染色方法 . 综合以上（ 1） 、 （ 2） 、 （ 3）3 种情形，
1 若 A、C、E 三块同色；则一共有： C4 3 3 3 108 种； 1 2 若 A、C、E 三块 2 色；则一共有： C3 A4 3 2 2 432 种； 3 若 A、C、E 三块 3 色；则一共有： A4 2 2 2 192 种；
∴一共有 108+432+192=732 种. 此种解法清晰明了，从对称角度分析，抓住问题的核心，很容易就得出结果. <以下是我对本题的一个推广 > 解法二： （推广）从圆的角度考虑，将一个圆分成 N 个扇形区域，然后用红、黄、蓝、 紫四种颜色中的一种对每一块区域进行染色，要求相邻扇形不同色，则一共有多少种染 色方法？ （本题相当于 N=6 的情形； ） 易知当 N=1 时，有 4 种； 当 N=2 时，有 4×3=12 种； 以下考虑当 N 3 时的情形： 当 N=3 时，有 4×3×2=24 种；
例 :4： （区域染色）在一个正六边形的六个区域中的每一个区域 染上红、黄、蓝、紫四种颜色中的一种，要求相邻的两个区域 染色不相同，这一共有多少种不同的染色方法. 分析：区域染色问题和小方格染色问题大同小异，它主要是利 用排列组合的相关知识进行求解. 本题是对一个正六边形的六块
4
F E
A
B C
D
区域进行不同染色问题，题目难度较大，若没有找到正确的解题方向，则求解较困难， 并且容易出错，本题我将采用两种不同的解法进行求解，其中一种方法也是对本题作一 个推广. 解法一：考虑到 A、C、E 三块区域的特殊对称性，以下对 A、C、E 三块区域整体考虑：