垂直关系的判定及其性质

变式3-1 (2011· 江苏海安如皋联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1.
证明：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所 以AC⊥BD，A1A⊥平面ABCD， 而BD⊂平面ABCD，于是BD⊥A1A. 因为AC、A1A⊂平面A1ACC1且AC交A1A于 点A，所以BD⊥平面A1ACC1. 因为BD⊂平面BC1D，所以平面BC1D⊥平面 A1ACC1.
图1 图2 A. AH⊥△EFቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ所在平面 C. HF⊥△AEF所在平面
B. AG⊥△EFH所在平面 D. HG⊥△EFH所在平面
答案：
1. D 解析：由直线与平面垂直的定义，可知D正确．
2. D 3. A
5. A
4. B
解析：在图2中，AH⊥EH，AH⊥FH，且
EH∩FH=H，所以AH⊥平面EFH.
经典例题
题型一 线线垂直 【例1】如图，a∩b=CD，EA⊥a，垂足为A，EB⊥b， 垂足为B，求证：CD⊥AB. 证明：∵a∩b=CD，∴CD⊂a，CD⊂b. 又∵EA⊥a，CD⊂a，∴EA⊥CD， 同理EB⊥CD. ∵EA⊥CD，EB⊥CD，EA∩EB=E， ∴CD⊥平面EAB. ∵AB⊂平面EAB，∴AB⊥CD.
变式1-1 (2011· 徐州模拟)如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平 面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.
证明：∵BC⊥平面ABE， AE⊂平面ABE， ∴BC⊥AE，同理AE⊥BF， ∵BF∩BC=B，∴AE⊥平面 BCE， 又∵BE⊂平面BCE， ∴AE⊥BE.
答案： 1. (1)任意一条直线 平面的垂线 直线的垂面 垂足 垂 线段 点到平面的距离 (2)任意一条 (3)两条相交直线 (4)有一条垂直于一个平面 (5)垂直于同一个平面 2. (1)直二面角 (2)一条垂线 (3)垂直于它们交线
基础达标
1. (教材改编题)下列条件中，能判定直线l⊥平面a的是( A. l与平面a内的两条直线垂直 B. l与平面a内无数条直线垂直 C. l与平面a内的某一条直线垂直 D. l与平面a内任意一条直线垂直 2. 直线a⊥直线b，a⊥平面b，则b与b的位置关系是( A. b⊥b B. b∥b C. b⊂b D. b⊂b或b∥b 3. 已知直线a和两个平面a，b，给出下列四个命题： ①若a∥a，则a内的任何直线都与a平行； ②若a⊥a，则a内的任何直线都与a垂直； ③若a∥b，则b内的任何直线都与a平行； ④若a⊥b，则b内的任何直线都与a垂直． 则其中( ) A. ②、③为真 B. ①、②为真 C. ①、④为真 D. ③、④为真 )
题型三 面面垂直 【例3】 (2011· 聊城模拟)如图，菱形ABCD所在平面与矩形 ACEF所在平面互相垂直，已知BD=2AF，且点M是线段EF的中 点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)求证：平面DEF⊥平面BEF.
(1)如图，设AC∩BD＝O，连接OE，由题意得EM1＝ EF＝ 1 AC＝ AO. 2 2 ∵EM∥AO， ∴四边形EOAM为平行四边形，EO∥AM. ∵EO⊂平面BDE，AM⊄平面BDE. ∴AM∥平面BDE. (2)如图，连接DM，BM，MO.∵AF⊥AC，EC⊥AC，平面 ACEF⊥平面ABCD，∴AF⊥平面ABCD，EC⊥平面ABCD， ∴AF⊥AD，EC⊥DC，又四边形ABCD为菱形， ∴AD＝DC，∴DF＝DE. 1 DM⊥EF. 又点M是EF的中点，∴ 2 BD＝AF＝MO， ∵BD＝2AF，∴DO＝ ∴∠DMO＝45°，同理，∠BMO＝45°， ∴DM⊥BM. 又EF∩BM＝M，∴DM⊥平面BEF.
题型二 线面垂直 【例2】 如图，已知四棱柱PABCD中，底面ABCD是直角梯 形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD， PA=1. (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积．
变式2-1 (2011· 潍坊模拟)在四棱锥PABCD中，∠ABC=∠ACD=90°， ∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点， PA=2AB=2. (1)求四棱锥PABCD的体积V； (2)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF.
第五节 垂直关系的判定及其性质
基础梳理
1. 直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面a内的__________都垂直，我们就说 直线l与平面a互相垂直．这条直线叫做__________，这个平面叫 做________，交点叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段， 叫做这个点到这个平面的________，垂线段的长度叫做 ____________． (2)性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内 的________直线垂直． (3)判定定理：如果一条直线与平面内的__________垂直，则这 条直线与这个平面垂直． (4)推论：如果在两条平行直线中，______________，那么另一 条也垂直于这个平面． (5)性质定理：如果两条直线____________，那么这两条直线平 行．
)
4. (2010· 浙江)设l，m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列 命题正确的是 ( ) A. 若l⊥m，m⊂a，则l⊥a B. 若l⊥a，l∥m，则m⊥a C. 若l∥a，m⊂a，则l∥m D. 若l∥a，m∥a，则l∥m 5. 如图1所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点， G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体 ，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图2所示，那么， 在四面体AEFH中必有( )
2. 平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ________，就称这两个平面互相垂直． (2)判定定理：如果一个平面过另一个平面的________，则这两 个平面互相垂直． (3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 __________的直线垂直于另一个平面．