对数函数知识点

对数函数知识点

1．对数函数的概念 形如 y

log a x( a

0且 a

1) 的函数叫做对数函数

.

说明：（ 1）一个函数为对数函数的条件是： ①系数为 1；

②底数为大于 0 且不等于 1 的正常数； ③自变量为真数 . 对数型函数的定义域：

特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于 1。

2 、 由 对 数 的 定 义 容 易 知 道 对 数 函 数 y

log a x (a 0, a

1) 是指数函数

y a x

(a 0, a 1) 的反函数。

反函数及其性质

①互为反函数的两个函数的图象关于直线 y

x 对称。

②若函数 y

f ( x) 上有一点 (a, b ) ，则 (b, a) 必在其反函数图象上， 反之若 (b, a) 在反函

数图象上，则 ( a, b) 必在原函数图象上。

③利用反函数的性质，由指数函数

y

a x (a 0, a 1) 的定义域 x R ，值域 y 0 ，

容易得到对数函数

y log a x(a

0, a

1) 的定义域为 x

0 ，值域为 R ，利用上节学过的

对数概念，也可得出这一点。

3、．对数函数的图象和性质

定义

y

log a x (a

0且 a

1)

底数

a 1

0 a 1

图象

定义域 (0,

)

值域

R

单调性 增函数

减函数

共点性

图象过点 (1,0) ，即 log a 1

函数值x (0,1) y ( ,0); x

[1,

)

x (0,1) y (0, ); x [1, )

特征 y

[0,

)

y

(

,0]

对称性

函数 y

log a x 与 y log 1 x 的图象关于 x 轴对称

a

4．对数函数与指数函数的比较

名称

指数函数

对数函数

一般形式

y

a x (a 0, a

1) y log a x (a 0, a 1)

定义域 ( , )

(0, )

值域

(0,

)

(

,

)

当 a

1 时 当 a 1 时

1( x 0)

0( x 1)

a x

1( x 0) log a x

0( x 1)

函数值变

1( x

0)

0(0

x 1)

化情况

当 0

a

1 时

当 0

a 1 时

1( x 0)

0( x 1)

a x

1( x 0) log a x

0( x 1)

1( x

0)

0(0

x

1)

当 a

1 时， a x

是增函数；当 当 a

1 时， log a x 是增函数；

单调性

当 0 a 1 时， log a x 是减函

a

1时， a x

是减函数

数

图象

y

a x 的图象与 y

log a x 的图象关于直线 y x 对称

要

牢

记

y

2 x

, y

( 1

) x

, y 10 x

, y

(

1

)

x

的

反

函

数

2

10

y

log 2 x, y

log 1 x, y

lg x, y

log 1 x 的图象，并由此归纳出表中结论。

2

10

5、比较大小

比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：

①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性（底数

a 1 为增； 0 a

1为减）

比较。

②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较。

③ 如 果 两 对 数 的 底 数 不 同 而 真 数 相 同 ， 如 y log a 1 x 与 y

log

a 2

x 的 比 较

（ a 1

0, a 1 1, a 2 0, a 2 1 ）.

当 a 1

a 2 1 时，曲线 y 1 比 y 2 的图象（在第一象限内） 上升得慢，即当 x

1 时，y 1 y

2 ；

当 0

x

1 时， y 1

y 2 . 而在第一象限内，图象越靠近

x 轴对数函数的底数越大（同

[ 考题

2]的含义）

当 0 a 2 a 1

1 时，曲线 y 1 比 y

2 的图象（在第四象限内）下降得快，即当

x

1 时，

y 1

y 2 ；当 0

x

1 时， y 1

y 2 即在第四象限内，图象越靠近 x 轴的对数函数的底数越小。

6、求参数范围

凡是涉及对数的底含参数的问题， 要注意对对数的底数的分析， 需要分类讨论时， 一定

要分类讨论。