复数加减法及几何意义
复数的几何意义与加减法的几何意义
复数由实数扩充得来
类比: 实数的几何意义?
每一个实数在数轴上都有一个点与之对应 数轴上的每一个点都有一个实数与之对应
实数与数轴上的点一一对应
实数的几何意义: 实数可以用数轴上的点来表示
建构
z ? a ? bi, (a, b ? R)
实部 虚部
横坐标 纵坐标
数对 (a,b)
2.复数加、减法运算的几何意义
3.数形结合的思想方法
4.所学内容能解决什么样的问题?
例5.若 | z ? 3 ? 4i| ? 2 ,则 z 的最大值是__7___
y
变式: z 的最小值是_3__
-3
O
x
.Z C
-4
Z
探究:满足|z-i|+|z+i|=4(z∈C)的复数 z对应的点在复平面上构成怎样的图形 ?
阅读
1545年出现了负数开方问题.
数学家:笛卡尔
1637年,笛卡尔认为负数开方是“不可思
议的”,称这样的数为“虚数” (虚数一词沿用至今)
1799年,高斯给出了复数的几何解释, 使得复数不再显得那么虚无缥缈了, 人们从此真正接受了复数.
数学家:高斯
高斯是怎样给出复数的几何解释的?
复数的几何意义
问题
向量 OZ 与 点 Z(a, b) 一.一.对.应.。
建构
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
y
uuur 一一对应 平面向量 OZ
z=a+b
z ? a ? bi, (a, b ? R) ---复数的代数形式, Z(a,b) --------------- 复数的几何形式 OZ ------------------ 复数的向量形式
复数的加减法几何意义2
C
z2 z2-z1
z1 A
z1+z2
B
4、 |z1|= |z2|,| z1+ z2|= | z1- z2| 则平行四边形OABC是正方形
三、复数乘法的几何意义:
两个复数Z1与Z2相乘时,可以先画出分别与之相对应的 向量OP1、OP2,然后把向量OP1按逆时针方向旋转一个角, 再把它的模变为原来的r2倍,所得的向量就表示积。
Z1
x
O
1、 两个复数的差z2-z1与连结两个向量终点并指向被减数的向量对应。 2、复平面上两点间的距离|Z1Z2|=|z2-z1|
1、2(|z1|2+|z2|2)=| z1+ z2|2+ | z1- z2|2
2、|z1|= |z2| 则平行四边形OABC是菱形
o 3、 | z1+ z2|= | z1- z2|
4、(1)若arg(-2-i)=α,arg(-3-i)=β,求α +β
(2)若z1=-2,z2=1+
√3 i,z3=1-i,求arg[(z1z2)/z3]
5、若|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|=7,求z1/z2
6.已知ABC的三个顶点A, B,C对应的复数分别为
z1,
z2 ,
z3 , 若
z2 z3
4
(C) 11
4
(D) 5
4
2、在复平面内,直角三角形ABC的直角顶点C对应的
复数为-2,30度的顶点A对应的复为 则点B所对应的复数为
5 3i
3.复平面内点A对应的复数为1,点B对应的复数 为3 i, 将向量AB绕A按顺时针方向旋转900并 将模扩大到原来的2倍得向量A C, 则点C对应 的复数为
复数的加减法运算
例:已知复数 z = x + yi ( x , y ∈ R )满足 | z − ( −1 + 3 i ) |= 1, y (1)求 | z | 的范围 (2)求 的范围 x (1 ) z 对应的点表示以 ( − 1, 3 )为圆心, 为半径的圆 为圆心, 1
| z | 表示该圆上一点与原点 的距离
∴ 整理得:( x − 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 2 整理得:
∴ 轨迹是以 (1, − 1)为圆心, 2为半径的圆 为圆心,
复数的减法运算: 复数的减法运算:
如果两个复数 z1 = a + bi , z 2 = c + di (a , b, c , d ∈ R )
则定义: 则定义: z 1 − z 2 = ( a − c ) + ( b − d ) i
∴ Re( x ) = ± 1
且 xy = | x | ⇒ Im( x ) = ± | x | − (Re( x )) = ± 1
2 2 2
∴ x = 1 + i , y = 1 − i或 x = 1 − i , y = 1 + i 或 x = − 1 + i , y = − 1 − i或 x = − 1 − i , y = − 1 + i
5 − 4 a ∈ [1 , 3 ]
5 − 4a
∴| z − 2 |∈ [1, 3 ]
∵ a ∈ [ − 1,1] ⇒
法二: 法二:几何法
∴| z − 2 |∈ [1, 3 ]
( 2,0 )
法三: 法三:利用 | z 1 | − | z 2 |≤ | z 1 ± z 2 |≤ | z 1 | + | z 2 | ∴|| z | − 2 |≤ | z − 2 |≤ | z | + 2 ∴| z − 2 |∈ [1, 3 ]
复数的加减法及其几何意义
复数的加减法及其几何意义一、复数的加减法1. 复数的定义- 设z = a+bi,其中a,b∈ R,a称为复数z的实部,记作Re(z)=a;b称为复数z的虚部,记作Im(z) = b。
- 例如,z = 3 + 2i,实部a = 3,虚部b=2。
2. 复数的加法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i,z_{2}=a_{2}+b_{2}i,则z_{1}+z_{2}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i。
- 例如,若z_{1}=2 + 3i,z_{2}=1 - 2i,则z_{1}+z_{2}=(2 + 1)+(3-2)i=3 + i。
3. 复数的减法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i,z_{2}=a_{2}+b_{2}i,则z_{1}-z_{2}=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i。
- 例如,若z_{1}=4+5i,z_{2}=2 + 3i,则z_{1}-z_{2}=(4 - 2)+(5 -3)i=2+2i。
二、复数加减法的几何意义1. 复数的几何表示- 在复平面内,复数z = a+bi可以用点Z(a,b)来表示,也可以用向量→OZ来表示,其中O为坐标原点。
- 例如,复数z = 3+2i对应的点为(3,2),对应的向量→OZ,起点为O(0,0),终点为Z(3,2)。
2. 复数加法的几何意义- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i,z_{2}=a_{2}+b_{2}i,它们对应的向量分别为→OZ_{1}和→OZ_{2}。
- 那么z_{1}+z_{2}对应的向量为→OZ_{1}+→OZ_{2},即平行四边形法则:以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边作平行四边形,则对角线→OZ对应的复数就是z_{1}+z_{2}。
- 例如,z_{1}=2 + i,z_{2}=1+2i,→OZ_{1}=(2,1),→OZ_{2}=(1,2),以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边的平行四边形的对角线向量→OZ=→OZ_{1}+→OZ_{2}=(3,3),对应的复数z_{1}+z_{2}=3 + 3i。
复数的加减法及其几何意义
(2)很明显,两个复数的和仍然是一个 复数 。
对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
运算律
探究? 复数的加法满足交换律,结合律吗?
证 复:数设的Z加1=a法1+满b1i足,交Z2=换a2律+b、2i,结Z合3=a律3+,b3i即(a对1,任a2,
4分析:依题意设y=ai(a∈R),则原式变为:
(2x -1)+i=(a -3)i +ai2=- a+( a -3)i
2x -1= -a 由复数相等得
a -3=1
3
x=- 2 y=4i
探究
2.复数减法运算的几何意义?
符合 向量
复数z2-z1
y
Z2(c,d)
向量Z1Z2
减法
的三 角形 法则.
o
Z1(a,b)
课堂练习:1、计算 • (1)(2+4i)+(3-4i)= 5
• (2)(-3-4i)+(2+i)+(1-5i)= -8i • (3)已知Z1=a+bi,Z2=c+di,若Z1+Z2是纯虚数,
则有( D ) • A.a-c=0且b-d≠0 B. a-c=0且b+d≠0 • C. a+c=0且b-d≠0 D.a+c=0且b+d≠0
x
结论:复数的差Z2-Z 1 与连接两个向量终点并指向被 减数的向量对应.
几何意义运用
作图、如图的向量OZ 对应复数z,试作出下
列运算的结果对应的向量
y
z
1 z 1 2 z i 3 z (2 i)
复数的加减法和几何意义
3. 2.1复数代数形式的加减运算及几何意义高二数学 蒋海英教学目标:知识与技能:掌握复数的加法运算及意义过程与方法:理解并掌握实数进行四则运算的规律,了解复数加减法运算的几何意义情感、态度与价值观:理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念;画图得到的结论,不能代替论证,然而通过对图形的观察,往往能起到启迪解题思路的作用教学重点:复数加法运算,复数与从原点出发的向量的对应关系.教学难点:复数加法运算的运算率,复数加减法运算的几何意义。
教具准备:多媒体、实物投影仪 。
教学设想:复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应。
复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ,b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R ),由复数相等的定义可知,可以由一个有序实数对(a ,b )惟一确定.教学过程:复习回顾:1.复数的定义:2. 复数的代数形式:3. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:对于复数(,)a bi a b R +∈,当且仅当 时,复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ;当 时,复数z =a +bi 叫做虚数;当 时,z =bi 叫做纯虚数;当且仅当 时,z 就是实数0.4.复数集与其它数集之间的关系: .5. 两个复数相等的定义:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小6. 复平面、实轴、虚轴: 点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ,b )表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0,0), 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法 讲解新课:一.复数代数形式的加减运算1.复数z 1与z 2的和的定义:z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=2. 复数z 1与z 2的差的定义:z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=3. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.证明:4. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)证明:设z 1=a 1+b 1i .z 2=a 2+b 2i ,z 3=a 3+b 3i (a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3∈R ).讲解范例:例1计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)例2计算:(1-2i )+(-2+3i )+(3-4i )+(-4+5i )+…+(-2002+2003i )+(2003-2004i )二.复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减). 1.复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 3.复数加法的几何意义:4. 复数减法的几何意义:复数减法是加法的逆运算,设z =(a -c )+(b-d )i ,所以z -z 1=z 2,z 2+z 1=z ,由复数加法几何意义,以OZ 为一条对角线,1OZ 为一条边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z -z 1的差(a -c )+(b -d )i 对应21OZ Z Z =,所以,两个复数的差z -z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 例3已知复数z 1=2+i ,z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ,求AB 对应的复数z ,z 在平面内所对应的点在第几象限?解:点评:任何向量所对应的复数,总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B -z A . ,而BA 所表示的复数是z A -z B ,故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同,只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同,那么向量AB 所对应的复数是惟一的,因此我们将复平面上的向量称之自由向量,即它只与其方向和长度有关,而与位置无关例4 复数z 1=1+2i ,z 2=-2+i ,z 3=-1-2i ,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 分析一:利用BC AD ,求点D 的对应复数.解法一:分析二:利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.解法二:点评:根据题意画图得到的结论,不能代替论证,然而通过对图形的观察,往往能起到启迪解题思路的作用课堂练习:p109 1. 2.课后作业:课本第112页 习题3.2 1 , 2 , 3课堂小结 : 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小复数的加法法则:复数加法的几何意义:如果复数z 1,z 2分别对应于向量1、2OP ,那么,以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2,对角线OS 表示的向量就是z 1+z 2的和所对应的向量 复数减法的几何意义:两个复数的差z -z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.师生反思。
第十五课复数的加减运算及其几何意义
(a-c) +(b-d) =1. ② 由①②得 2ac+2bd=1.
2 2
∴|z1+z2|= a+c +b+d = a +c +b +d +2ac+2bd= 3.
2 2 2 2 2 2
小结(略)
一、选择题 1.若复数 z 满足 z+i-3=3-i,则 z=( A.0 B.2i C.6 D.6-2i )
→ =-OA →, → 对应的复数为-(3+2i), 解: ①AO 则AO 即-3-2i. → = OA → -OC → ,所以 CA → 对应的复数为 (3 ②CA +2i)-(-2+4i)=5-2i. → =OA → + AB → =OA → + OC → ,所以OB → 对应 ③ OB 的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,即 B 点对 应的复数为 1+6i.
二、填空题 3.已知|z|=3,且 z+3i 是纯虚数,则 z=________.
解:设 z=a+bi(a,b∈R),∵|z|=3,∴a +b =9.
2 2
又 w=z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数,
a=0, ∴ b+3≠0 a=0, ,即 b≠-3,
又 a +b =9,∴a=0,b=3.∴z=3i.
3.对复数加减法几何意义的理解:它包含两个方面:一方面是利
用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理, 另一方
面对于一些复数的运算也可以给予几何解释, 使复数作为工具运用 于几何之中.
题型一、复数代数形式的加减运算
例 1:计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i); (2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]; (3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).
解:∵z+i-3=3-i
7.2.1复数的加、减及其几何意义课件(人教版)
【变式训练3】 如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小
值是(
)
A.1
B.
C.2
D.
解析:设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,
因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,
所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为,动点Z在线段Z1Z2上移动,
-3-2i,那么向量 对应的复数是
;
(2)设复数 z1 =1-i,z2 =2+2i 对应的点分别为 Z 1,Z2 ,则|Z 1 Z2 |
=
.
探究一 复数的加、减运算
【例1】 计算:
(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i);
(2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i).
复数代数情势的加、减法运算技能
0,3+2i,-2+4i.求:
(1)
表示的复数;
(2)对角线 表示的复数;
(3)对角线
表示的复数.
解:(1)因为
=-
(2)因为 =
,所以
表示的复数为-3-2i.
− ,
所以对角线 表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为对角线
所以对角线
=
+ ,
表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
∴平行四边形 OZ1ZZ2 为正方形.
∴|z1-z2|=|
|=|
|=
.
,
,
.
1.解决复数问题时,设出复数的代数情势z=x+yi(x,y∈R),利用
复数的加减法几何意义
y
Z
A
b
y
Z
A
2a 0 Z a
C
x
0 Z
a
x
B
-b
B
6
二、复数加法与减法运算的几何意义
例3、已知复平面内一个平行四边形的三个顶点对应的 复数是0, 5+2i , -3+i ,求第三个顶点对应的复数. 解:设 OA ,OB 对应的复数分别为5+2i ,-3+i
y
B
0
C
A
如图(1),在
OACB中, OC = OA+ OB
16
复数加法与减法运算的几何意义
谢
谢
17
0
B
1
x
|Z+1-2i|min =|MA|= 5 -1
14
二、复数加法与减法运算的几何意义
2、设复平面内的点Z1 , Z2 分别对应复数为Z1 , Z2 , 则线段Z1 , Z2 垂直平分线的方程是:
y
1
|Z -Z1|=|Z -Z2 |
例如|Z+1|=|Z -i|是连结复数-1, i
1
Z
-1
0
x
在复平面内对应点的线段的垂直 平分线方程。
y
Z2 Z1
证明:| Z 2 -Z 1| =|(x2+y2 i)- ( x1+ y1i)|
=|(x2- x1)+( y2- y1)i| = ( x2-x1)² + (y2 - y1)² =d
0
x
10
复数加法与减法运算的几何意义
例4、用复数表示圆心在点P,半径为r的圆的方程。
解:如图,设圆心P对应的复数是P=a+bi,圆的半径为r,
复数的加减法几何意义2
复数的几何意义及应用
一、加法的几何意义: Z1+Z2 y
Z2
Z1
o
x
以复数z1与z2所对应的向量为一组邻边画平 行四边形,那么与这个平行四边形的对角线 所表示的向量OZ即为两复数Z1+Z2的和。
y Z2
Z1+Z2
Z1
o
x
C B
E D
A
AB+BC+CD+DE=AE
二、复数减法的几何意义:
y
Z2
Z1Z2
Z1
x
O
1、 两个复数的差z2-z1与连结两个向量终点并指向被减数的向量对应。 2、复平面上两点间的距离|Z1Z2|=|z2-z1|
1、2(|z1|2+|z2|2)=| z1+ z2|2+ | z1- z2|2
2、|z1|= |z2| 则平行四边形OABC是菱形
o 3、 | z1+ z2|= | z1- z2|
4、(1)若arg(-2-i)=α,arg(-3-i)=β,求α +β
(2)若z1=-2,z2=1+
√3 i,z3=1-i,求arg[(z1z2)/z3]
5、若|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|=7,求z1/z2
6.已知ABC的三个顶点A, B,C对应的复数分别为
z1,
z2 ,
z3 , 若
z2 z3
则平行四边形OABC是矩形;若z2≠0, 则(z1/z2)2<0
C
z2 z2-z1
z1 A
z1+z2
B
4、 |z1|= |z2|,| z1+ z2|= | z1- z2| 则平行四边形OABC是正方形
高中数学复数知识点总结
高中数学复数知识点总结一、复数的定义复数是实数的扩展,形式为 `a + bi`,其中 `a` 和 `b` 是实数,`i` 是虚数单位,满足 `i^2 = -1`。
二、复数的代数形式1. 复数的加减法- 两个复数相加或相减时,分别将实部与实部、虚部与虚部相加或相减。
- 例如:`(2 + 3i) + (1 - 4i) = (2 + 1) + (3 - 4)i = 3 - i`。
2. 复数的乘法- 两个复数相乘时,使用分配律和虚数单位 `i` 的性质。
- 例如:`(2 + 3i)(1 - 4i) = 2 - 8i + 3i - 12i^2 = 2 - 5i + 12 = 14 - 5i`。
3. 复数的除法- 两个复数相除时,先将分母的复数取共轭,然后相乘,最后将结果化简。
- 例如:`(2 + 3i) / (1 - 4i) = (2 + 3i)(1 + 4i) / (1 -4i)(1 + 4i) = (8 + 10i + 12i + 12i^2) / (1 + 16i^2) = (20 +22i) / 17 = 20/17 + (22/17)i`。
三、复数的几何意义复数 `a + bi` 可以对应于平面上的点 `(a, b)`,其中 `a` 是横坐标,`b` 是纵坐标。
这种表示方法称为复数的几何表示或阿尔冈图。
四、复数的模和幅角1. 模(Magnitude)- 复数 `z = a + bi` 的模是`|z| = √(a^2 + b^2)`。
- 模表示复数在复平面上的长度。
2. 幅角(Argument)- 复数 `z = a + bi` 的幅角(或称为相位)是`θ =arctan(\frac{b}{a})`。
- 幅角表示复数与实轴正方向的夹角,取值范围为 `0` 到`2π`。
五、复数的极坐标形式复数 `z = a + bi` 可以表示为极坐标形式`r(cosθ + isinθ)`,其中 `r` 是模,`θ` 是幅角。
4.3.1复数的加法与减法
3.两个(或几个)复数的和(或差)仍然是一个复数,求两个复数的和(或差)时,要准确找出复数的实部与虚部,明确有关概念.
4.从几何意义上理解,复数的加减运算同平面向量的加减运算是一样的,这为我们利用数形结合解题提供了条件,如|z-(1+i)|=1表示以(1,1)为圆心,以1为半径的圆;|z1+z2|=|z1-z2|表示以和为邻边的四边形为矩形等.
三、解答题
10.已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=4,求z1,z2.
11.在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,求向量+,对应的复数及A、B两点之间的距离.
12.设z1=1+2ai,z2=a-i(a∈R),A={z||z-z1|<},B={z||z-z2|≤2},已知A∩B=∅,求a的取值范围.
六、
一、选择题
1.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1+z2在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.如果一个复数与它的模的和为5+i,那么这个复数是()
A.B.i C.+i D.+2i
3.设f(z)=z,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)=()
A.0B.2i C.6 D.6-2i
2.计算(-i+3)-(-2+5i)的结果为()
A.5-6i B.3-5i C.-5+6i D.-3+5i
3.向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是()
A.-10+8i B.10-8i C.0 D.10+8i
4.若、对应的复数分别是7+i,3-2i,等的充要条件解题时要确保复数必须化成a+bi(a,b∈R)的形式,否则等量关系不成立.
复数的加、减运算及其几何意义
我们规定,复数的加法法则如下: 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d RR )是两个任意复数, 那么它们的和
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
说明:(1)复数的加法运算法则是一种规定.当b=0,d=0时, 与实数加法法则保持一致;
(2)两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法 可以推广到多个复数相加的情形.
知识一:复数的加法
探究:
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d RR)是两个任意复数, 由于希望加法结合律成立,
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(bi+di)
由于希望乘法分配律成立,
z1+z2=(a+c)+(bi+di)=(a+c)+(b+d)i
这样就猜想出了复数的加法法则.
说明:(3)复数的加法法则:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 如果将i 看作“变元”,a+bi中的实部和虚部 a,b看作常数,我们就可以将复数看成是 “一次二项式”,很容易发现两个复数相加与 两个一次二项式相加(合并同类项)一致. 这样,得到两个复数相加与两个多项式相加 相类似.
例题2
y
解:复平面内的点Z1(x1,y1),Z2(x2,y2) 对应的复数分别为z1=x1+y1i,z2=x2+y2i, 所以点Z1,Z2之间的距离为
Z2(x2,y2)
z2
z2-z1
Z1(x1,y1)
课件复数加减法及几何意义
反 思 感 悟
复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)是与以原点为起点,Z(a,b)为终点的向量一一 对应的. (2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的 复数可能改变.
解析 ∵z+(3-4i)=1, ∴z=-2+4i,故z的虚部是4.
4.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数, 则a=_-__1__.
解析 ∵z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i(a∈R)为纯虚数, ∴aa22- +aa- -26= ≠00, , 解得 a=-1.
设问2、复数还有其它特殊情形吗?是什么?对这类 复数的加法,你有什么想法?举例说明。
纯虚数2i与3i的和是多少呢?
即 z1=0+2i ,z2=0+3i 猜想z1+z2=(0+0)+(2+3)i=0+5i=5i。
猜想归纳 对一般的两个复数相加有什么猜想,即
z1=a1+b1i, z2=a2+b2i ,z1+z2=?
跟踪训练 2 已知平行四边形 ABCD 中,A→B与A→C对应的复数分别是 3+2i 与 1+4i,
两对角线 AC 与 BD 相交于点 O.求: (1)A→D对应的复数;
解 因为ABCD是平行四边形,
D
C
o
所以A→C=A→B+A→D,于是A→D=A→C-A→B,
A
而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i, 即A→D对应的复数是-2+2i.
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实数 a (b=0)
复数z = a+bi
(a、bR)
无理数
零 负分数 无限不循环小数
纯虚数bi (a 0,b 0) 虚数 a+bi (b0) 非纯虚数a+bi(a 0,b 0)
3、复数的几何意义是什么?
3、复数的几何意义是什么?
(数) 复数z=a+bi 一一对应 一一对应 (形) 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应
A组ex1~3 2)类比实数的乘法和除法,试探讨复数的 乘除法运算。 3)预习3.2.2复数代数形式的乘除运算。
图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
问题探索
探讨、两个复数:z1=a1+b1i ,z2=a2+b2i z1+z2=?
设问1、回忆:是否学习过某些复数的加减运算?能 否用复数形式表达?若能,从复数的概念角度如何解 释? 实数2与3的和有2+3=5
写成复数形式为z1=2+0i,z2=3+0i
显然,此时式子z1+z2=(2+3)+(0+0)i=5
向量Z1Z2
y
Z2(c,d)
Z1(a,b)
o
x
结论:复数的差Z2-Z 1 与连接两个向量终点并指向被 减数的向量对应.
归纳总结
二、复数加法与减法运算的几何意义
y
Z2 Z1
Z
y
Z2 Z1
0
x
(1)
0
x
(2)
复数的和对应向量的和 复数的差对应向量的差
几何意义运用
练习、如图的向量OZ 对应复数z,试作出下 列运算的结果对应的向量
y
Z2 Z1
| z1 z 2 || (a c) (b d )i | (a c) (b d )
2 2
0
x
复平面内两点距离就是对应两个复数的差的模
已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z-(1+2i)|
点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
y
1
3
2
z 1 z i z (2 i )
z
o
1
x
几何意义运用
例3
已知 OA, OB对应复数是 3 2i,2 i, 求向 量 AB对应的复数.
变式1 已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B 对应复数是 -3+2i, 0, 2+i ,求点C对应的复数.
几何意义运用 变式1 已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B 对应复数是 -3+2i, 0, 2+i ,求点C对应的复数.
归纳:复数可以求和差,虚实各自相加减。
例题讲解 例1、计算(2-3i )+(-8-3i) - (3-4i) 解: (2-3i )+(-8-3i) - (3-4i) = (2-8-3)+(-3-3+4)i = -9-2i .
点评:复数可以求和差,虚实各自相加减
学以致用
练习:计算下列各式 ⑴ (2+4i)+(3-4i) ⑵ ⑶ (-3+2i)-(-3-2i) (4-i)+3i
z =a +b i Z (a,b)
O
y
| z | = a 2 b2
x
思考:
(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个?
(2)这些复数对应的点在复平面上构
成怎样的图形?
y
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形?
设z=x+yi(x,y∈R)
| z | x y 5
问题探索 设问3、复数的加法满足交换律,结合律吗? 即:对于任意的 z1 , z2 , z3 C ,有
z1 z2 z2 z1
证:设Z1=a1+b1i,Z2=a2+b2i,Z3=a3+b3i (a1,a2, a3,b1,b2,b3∈R) 则Z1+Z2=(a1+a2)+(b1+b2)i, Z2+Z1=(a2+a1)+(b2+b1)i
复数的减法法则:
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
点评:根据复数相等的定义,我们可以得出复数的减法法 则,且知两个复数的差是唯一确定的复数。
归纳总结
一、复数加法与减法的运算法则
a bi c di a c b d i
(a, b, c, d R)
平面向量 OZ
y
z=a+bi
建立了平面直角坐标系来 表示复数的平面------复数平面 (简称复平面) x轴------实轴 y轴------虚轴 x
Z(a,b)
o
b
a
4、复数的绝对值(复数的模)的几何意义是什么?
对应平面向量 OZ 的模| OZ |,即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
2 2
5
–5 O
5 x
x y 25
2 2
–5
图形: 以原点为圆心,5为半径的圆上
猜想:
满足3<|z|<5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎样 的图形? –5 设z=x+yi(x,y∈R)
5
y
3
–3
O
5
3
5 x
3 x y 5
2 2
9 x y 25
2 2
–3
–5
对一般的两个复数相加有什么猜想,即 z1=a1+b1i, z2=a2+b2i ,z1+z2=?
归纳、类比
复数的加法法则:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
点评:(1)复数的加法运算法则是一种规定。当b=0, d=0时与实数加法法则保持一致。 (2)两个复数的和仍然是一个复数。对于复数的 加法可以推广到多个复数相加的情形。
点A到点(-1, -2)的距离
(3)|z-1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
点A到点(0, -2)的距离
课堂小结
1.复数代数形式的加减运算: 复数可以求和差,虚实各自相加减。
2.复数加减运算的几何意义:
一一对应
复数加减
一一对应
复平面的点坐标运算 平面向量加减
一一对应
反馈作业
1)教材P63习题3.2
人教版选修1-2
3.2.1
复数代数形式的加减运算及其几何意义
复数加减及其几何意义
知识回顾
请你谈谈对复数的理解与思考.
知识回顾 a+bi(a,b∈R) 的数叫做复 1、复数的概念:形如______________ 实部和虚部 。 数,a,b分别叫做它的_____________ 2、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i 相等的充要条件是 a1=a2,b1=b2 _____________。 正分数 小数
1.复数加法运算的几何意义?
符合 向量 加法 的平 行四 边形 法则.
y
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ Z(a+c,b+d) Z2(c,d)
Z1(a,b)
o
x
结论:复数的加法可以按照向量的加法来进行,复数的 和对应向量的和。
问题探索
2.复数减法运算的几何意义?
复数z2-z1 符合 向量 减法 的三 角形 法则.
⑷
⑸
5-(3+2i)
(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)
⑹
(2-i)-(2+3i)+4i
二、复数加法与减法运算的几何意义
复数z=a+bi
一一对应 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量 OZ
y b
z=a+bi Z(a,b)
a
?由此出发探讨复 数加法的几何意义
o
x
问题探索
解:复数-3+2i ,2+i,0对应点A(-3,2),B(2,1),O(0,0),如图.
y
C A
在平行四边形 AOBC中,
OC OA OB
B
OC (3,2) (2,1) (1,3)
0
x
∴ 点C对应的复数是
-1+3i
变式2 已知复平面内一平行四边形ABCD三个顶点对 应复数是 -3+2i, 2+i, 1+5i求第四个对应的复数.
问题探索
探讨、两个复数:z1=a1+b1i ,z2=a2+b2i z1+z2=?
设问2、复数还有其它特殊情形吗?是什么?对这类 复数的加法,你有什么想法?举例说明。 纯虚数2i与3i的和是多少呢?
即 z1=0+2i ,z2=0+3i
猜想z1+z2=(0+0)+(2+3)i=0+5i=5i。
猜想归纳
同理可证
z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 ) z3
点评:实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然 成立。
类比猜想 设问4、类比复数的加法法则,你认为复数有减法吗? 复数的减法法则如何呢? 复数的减法规定是加法的逆运算,即把满足 (c+di)+(x+yi)= a+bi的复数x+yi 叫做复数 a+bi减去复数c+di的差,记作(a+bi)-(c+di)