2020年全国硕士研究生招生考试(数学一)--答案解析

2020年全国硕士研究生招生考试（数学一）参考答案及解析1.D解析：A 选项可知2220((1))'1~xt x e dt e x -=-⎰；B选项32(ln(1)'ln(1~xdt x =⎰； C 选项sin 2220(sin )'sin cos ~xt dt x x x =⎰；D选项1-cos 40()'sin ~=⎰. 2.C解析：当()f x 在0x =处可导时,有()f x 在0x =处连续，()()00lim 0x f f x ®==，且()00()0()lim =limx x f x f f x x x→→-存在设为a ,则有，()()00limlimlimlim 00.x x x x f x f x f x a x x xxx=???3.A函数(,)f xy 在点（0,0）处可微，,则有()(()()()()(()()(0,0,0,00,0,0,0,0,0,0li lim mx y x y fff x y f x y x y fff x yx y x y ®®抖---抖抖--抖==即有(,)limx y →4.A5.B解析：矩阵A 经初等列变换化成B ，根据左行右列，应该选B . 6.C解析：由于两直线相交，故两直线的方向向量无关，即21αα，无关，由因为两直线上有两点组成的向量与两直线的方向向量共面，故0322132213221=---c c c c b b b b a a a a ，故选C .7.D()()()()()()()()[()()]()()[()()]()()[()()]1111111000041241241212(512)()()p AB p ABC p AB p ABC p BC p ABC p A p AB p AC p ABC p B p AB p BC p ABC p C p BC p AC p P ABC P ABC P AB A C BC =-+-+-=---+---+---⎛⎫=---+--++-- ⎪⎝⎭=++8.B100100111100502i i i i E X EX ====⨯=∑∑10010011111002522i i i i D D X X ====⨯⨯=∑∑()100100115050555011555i i i i X x P P ==⎧⎫⎧⎫--⎪⎪⎪⎪-⎪⎪⎪⎪==Φ⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭∑∑剟9.-11)21(21)1()1ln(lim2222-=+--=--+→x x x x x x e x xx10.解析：1dy dx t =，223d ydx t =-221t d y dx =⇒=11.n am + 解析：n am dx x f x f a dx x f +=''-'-=⎰⎰+∞+∞)]()([)(.12.e 4解析：()()()()()2223332,e d ,e ,,1e ,1e 3e 1,14e.xyxt xx y x y y x x yx yx f x y t f x y x f x x f x x x f =ⅱ==ⅱ=+ⅱ=ò；；；13.01101111011aa a a ----00011=110a a a aa a--411100=0(1)11100a a a aa a aaa+-⨯+---241011+00=0(1)11100a a a aa a a a a+-⨯+--- 24=4a a -+. 14.2πCov(,sin )sin sin X X EX X EXE X =-11,()2201x f x π⎧⎛⎫∈-⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⎩其他222200021222sin sin sin cos cos =EX X x xdx x xdx x x xdx πππππππππ-⎛⎫===-- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰sin 0EX E X ==2Cov(,sin )sin in s X X EX X EXE X π=-=15.解：对函数关于,x y 分别求导，令并两偏导数同时为零，得'2'230240x x f x y f y x ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或16112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.又''''''6,1,48xx xy yy f x f f y ==-=，在()0,0处，210AC B -=-<，从而函数在此处不取极值；在11,612⎛⎫ ⎪⎝⎭处，230,10AC B A -=>=>，从而函数在此处取极小值，且111,612216f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.综上函数的极值为111,612216f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.16.解：由条件知22224,44x y x yP Q x y x y -+==++，可得()22222484Q x xy y Px y x y ∂--+∂==∂∂+ .令222:4l x y ε+=，其中ε为充分小的正数，取顺时针方向.则()()22'11=42L lll D D Q P I dxdy x y dx x y dy dxdy x y πεε+⎛⎫∂∂-=-+-++== ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰蜒?17.（1）已知11+21n n n a a n +=+，故111n n a a a +<<<=L ，又有1n n n n a x a x x <=，而1nn x ¥=å当1x <收敛，有比较判别法得1nn n a x ¥=å收敛，所以1n n n a x ¥=å收敛.（2）设1()n n n S x a x ¥==å，则'111()=(1)n n nn n n S x na xn a x ゥ-+===+邋则''101()()(1)=n n n n n n S x xS x n a x na x ゥ+==-=+-邋11()2a S x +. 故'11()()2(1)1S x S x x x-=--所以()=2+S x 由于(0)=0S ，所以2C =-.故()=2S x -18.z =1n ìüïïïï=-ïþïî，则有d d d d d d 1y z z x x yx y ==-，即d d d d d d y z x y z x x y ìïï=-ïïïïíïï=-ïï?ïî[][][]()+(2)()2()2I xf xy x y yf xy y x zf xy dxdy S 禳骣骣镲鼢镲珑镲珑=--+++-++睚珑镧顼珑镲桫桫镲铪蝌=2d d 2d 21d d x y x y x y SSS-=-+蝌蝌 设S 在xoy 面的投影为xy D ，则(){}22=,14xy D x y x y ??22222112d d (2)d d r r r r 则上式p pqq=+-蝌蝌103p =.19.（1）因为()f x 在[]0,2上可导连续，所以()f x 连续，故()f x 在[]0,2上可取到最大值M ，不妨设该点为0x ，即[]00,2x Î，且0()f x M =.若0M =，则结论显然成立.若0M >，由于(0)(2)0f f ==，故0(0,2)x Î，此时0()f x M ='010()(0)()M f x f f x x =-=，10(0,)x x Î （1） '00(2)()()(2)M f f x f x x =-=-，20(,2)x x Î （2）若0(0,1)x Î，由（1）式得 '10()Mf M x x => 若0(1,2)x Î，由（2）式得'20()2Mf M x x =>- 综上所述，无论0x 在(0,2)中何处，均有(0,2)x Î使'()f M x ³ (2)20.（1）可知矩阵1224A 轾-犏=犏-臌，22a b B 轾犏=犏臌.故有5a b +=，40ab -=，联立解得4a =，1b =.（2）12==(5)24A E l l l l l------当特征值为0时，其对应的特征向量为()T1=2,1α. 当特征值为5时，其对应的特征向量为()T22=1,α-.故1P 轾=犏-，11T00 05P AP 骣÷ç=?ç÷÷ç桫. 42==(5)2B E l l l l l----当特征值为0时，其对应的特征向量为()T32=1,α-. 当特征值为5时，其对应的特征向量为()T1=2,1α.故2P 轾=犏-,22T 00 05P BP 骣÷ç=?ç÷÷ç桫. 所以12T T 12P AP P BP =，T 2112TP P AP P B =所以T 1243553455Q P P 轾轾轾-犏-犏===犏犏犏犏---犏犏臌. 21.（1）由于(,)P αA α=，0α¹，且αA αl ¹ 则α与A α不成比例，且0α¹，故P 可逆. （2）2(,)(,)(,6)AP A αA αA αA αA αA αα===-+即0611AP P 轾犏=犏-臌故10611P AP -轾犏=犏-臌所以0611A B 轾犏=犏-臌:6==(3)(2)11B E l l l l l--+---故12l =，23l =-，故B 可以有两个不同的特征值，可以相似对角化，因此A可以相似对角化.22.（1）{}(){}113132(,),,1X X F x y p x Y y p x X X X X y ==+-≤剟? (){}{}(){}{}13132331313233,1|00,1|11p X x X X X X y X p X p X x X X X X y X p X =+-==++-==剟剟{}{}121111,,22p X x X y X x X y =+≤剟? 当x y <时，{}121111(,),{}()()()2222F x y p X x X y p X x x y x =≤≤+≤=ΦΦ+Φ当x y ≥时，{}121111(,),{}()()()2222F x y p X x X y p X y x y y =≤≤+≤=ΦΦ+Φ 综上所述：11()()()22(,)11()()()22x y x x yF x y x y y x y⎧ΦΦ+Φ<⎪⎪=⎨⎪ΦΦ+Φ≥⎪⎩（2）{}211111(){}{)()()()2222F y p Y y p X y p X y y y y =≤=≤+≤=Φ+Φ=Φ 即Y 服从标准正态分布23.10()0mt m m mt e t f t θθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎧⎪=⎨⎪⎩，其他，…{}}{}{,1{}|{}{}1{}P T s t T s T s t p T s t P T s t T s P p T s p T s p T s >+>>+-≤+>+>===>>-≤1()ee 1()e mm mms s s t s t F s t F s θθθθ+⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭-+===-似然函数为()1111211,,,...()0,0nmi m i m n n t ni mn i i n i m t e t t t L f t θθθ=--==⎧∑⎛⎫⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎪⎩≥∏∏其他当12,,..0.n t t t ≥时111ln ()ln ln (1)ln nnmi imi i L n m mn m t tθθθ===-+--∑∑11ln ()0n mi m i d L mn m t d θθθθ+==-+=∑$θ=。