非线性系统的描述函数分析

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非线性环节的描述函数

在满足上述条件下，应用傅里叶级数，可得出其描述函数。
描述函数的推导
输入为： X (t) X sint
非线性环节传递函数的傅立叶级数的形式为：
y(t)
A0 2
Ai cost
i 1
Bi
sint
A0 2
Yi sint
i 1
i
式中系数为：
Ai
1
2
y(t) costdt,i 0,1.....
0
对于非线性控制系统的描述函数分析方法，常用的是负倒
描述函数：
1
1
e jN ( X )
N(X) | N(X)|
2.典型非线性环节的描述函数
1.饱和非线性的输入输出特性如左图，在正弦信号下的输出波形如右图。
根据傅立叶级数，由y(x)是奇函数，有A1=0
B1 1
2 y(t) sin t 4
2k
arc
sin(
a
)
a
1
a
2
X X X
1 轨迹
N(X )
2k arcsin a a
1
a
2
2
X X X
非线性特性
描述函数N(X)表达式
k
2
arcs in(1
2a ) X
2(1
2a ) X
a X
(1
a X
)
j
4ka (
X
a X
1)
1 轨迹
N(X )
sin 1 a
X
代入上式有：
Y1
B1
kX 2
s in 1
a X
a X
1
a
2
X

《自动控制原理》考点精讲(第8讲非线性控制系统分析)

（2）稳定性分析很复杂线性系统的稳定性只取决于系统的结构与参数，而与外部作用和初始条件无关。非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构、运动的初始状态、输入信号有直接关系。非线性系统的某些平衡状态（如果不止有一个平衡状态的话）可能是稳定的，而另外一些平衡状态却可能是不稳定的。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（）
e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（）
例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况下，也可以通过积分法，直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。注1：线性系统的等倾线为直线；注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（）
由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切线方向场。

自动控制原理第七章非线性控制系统的分析

X X
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e

非线性系统的分析 (3)

第七章非线性系统的分析
2、饱和特性
输出
k x( t ) y( t ) ka sgn x( t )
输入
x( t ) a x( t ) a
特征：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。
放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、功率限制等等。饱和特性对系统性能的影响：使系统在大信号作用下开环增益下降，因而降低了稳态精度。
继电器特性对系统性能的影响
带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的综合效果
第七章非线性系统的分析
三、非线性系统的特点
１、系统的稳定性
非线性系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关，而且与初始状态有关。２、系统的自持振荡非线性系统即使无外界作用，也可能会发生某一固定振幅和频率的振荡，称为自持振荡。
第七章非线性系统的分析
7-2 相平面分析法
相平面法是Poincare在1885年首先提出来的，它是一种求解一、二阶微分方程的图解法。这种方法的实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动，通过研究这个点移动的轨迹，就能获得系统运动规律的全部信息。由于它能比较直观、准确、全面地表征系统的运动状态，因而获得广泛应用。
第七章非线性系统的分析
用x1、x2描述二阶系统常微分方程方程的解，也就是用质点的状态来表示该质点的运动。在物理学中，状态又称为相。
把由x1—x2所组成的平面坐标系称为相平面，系统的一个状态则对应于相平面上的一个点。
当t变化时，系统状态在相平面上移动的轨迹称为相轨迹。
而与不同初始状态对应的一簇相轨迹所组成的图叫做相平面图。利用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法。

第7章非线性系统分析

描述函数的定义是：输入为正弦函数时，输出的基波分量与输入正弦量的复数比。
其数学表达式为
N
X
R
X
Y1
sin(t X sint
1)
Y1 X
1
A12 B12 arctan A1
A1
1
2
y(t) costdt
0
X
B1
1
B1
2
y(t ) sin tdt
0
7.3 非线性特性的描述函数法
（2）举例说明描述函数
(1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。 (2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
4.摩擦特性
Mf
M1 •
M2
•
M f 摩擦力矩
转速
M1 静摩擦力矩
M 2 动摩擦力矩
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
摩擦特性的影响
(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精度。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
2.饱和特性
x1 a ，等效增益为常值，即线性段斜率；
而 x1 a ，输出饱
和，等效增益随输入信号的加大逐渐减小。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
饱和特性的影响
(1) 饱和特性使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利。
(2) 如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时，将使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。
7.3 非线性特性的描述函数法
KX sint
y(t) Ka
0 t 1 1 t / 2
∵ y(t) 单值奇对称， A0 0 A1 0
B1
4

第四节用描述函数法分析非线性系统2003

第四节用描述函数法分析非线性系统
内容提要 ✓1. 系统的典型结构及前提条件 ✓2. 非线性系统的稳定分析 ✓3. 自振荡分析 ✓4. 非线性系统方框图的简化
1. 系统的典型结构及前提条件
➢ 典型结构
r(t)=0
x
y
c(t)
N
G(s)
非线性系统的分析：稳定性
自振荡
奈奎斯特判据在非线性
频率特性在非线性系统
当G(j)曲线通过(-0.5, j0)
点时,求kmax
Re[G(
j )]
1
0.05
0.3K
2 0.0004
4
50
0.5
得
kmax 7.5
当K=7.5时，-1/N(x)与G(jω)相交于b1(-0.5, j0) 点，若取K＜7.5，则两曲线不再相交，此时系统是稳定的，不会产生自振荡。
4. 非线性系统方框图的简化
-1/N(X)
30
1(0 22)
4524j(4524)
求G( j)与1/N(X)曲线的交点。
G( j)
令ImG( j) =0，得 =1.414 (rad/s)
Re [G( j)] =1.414= 1.66 1 X 1.66
N(X) 4
X=2.1
Im 0 Re
13
【例8-1】非线性系统如图8-27（a）所示。
-1 c
Re
0
若复平面中-1/N(x)曲线与G(j)曲线有交点，则交点对应着等幅振荡，这个等幅振荡能否稳定地存在？也就是说，若系统受到一个瞬时扰动使振荡的振幅发生变化，系统是否具有恢复到施加扰动之前的能力？若可以，该等幅振荡可以稳定地存在，能够被观察到，称之为自持振荡，反之，则振荡不能稳定地存在，必然转移到其他运动状态。

自动控制原理(黄家英)第二版课后答案-10

1 x 1 的t值，因此上式 1 不存在使x x x 1 ，并当： 0 1，x
0 t 定的也可能是不稳定的； e x 1 0 x 0 即：t ln 时,x 。平衡状态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与 x0 1 7 系统的初始条件有直接的关系。
14
(4) 继电器特性
y (t ) y (t )
x(t)
x(t)
具有滞环的继电器
M x 0: y 0 M M . x 0: y 0 M
.
x h2 h2 x h1 x h1 x h1 h1 x h2 x h2
2.等倾线法
（3）α取不同值时，画出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示斜率为α的小线段，构成相轨迹的切线方向场（4）从相轨迹的初始状态点按顺序将各小线段连接起来，就得到了所求的相轨迹。
10.1.2非线性控制系统的特点
• (3)可能存在自持振荡（极限环）现象
– 自持振荡：指没有外界周期变化信号的作用时，系统内部产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。 – 线性系统的运动状态只有收敛和发散，只有在临界稳定的情况下才能产生周期运动。而这一周期运动是物理上不可能实现的 – 非线性系统，在没有外作用时，可能会发生一定频率和振幅的稳定的周期运动，即自持振荡，这个周期运动在物理上是可以实现的。长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加控制误差，因此多数情况下不希望系统有自振发生自持振荡是某些非线性系统的重要特征，也是研究非线性 8 系统的一个重要内容
相轨迹的基本特征： (3)相轨迹的运动方向
0 — 向右移动上半平面: x 0 — 向左移动下半平面: x

自动控制原理-第8章非线性控制系统教案

8 非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。

本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。

8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。

严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。

例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。

当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。

实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。

如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。

图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。

但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。

图8-1 伺服电动机特性8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。

例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。

实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。

自控理论 8-4用描述函数法分析非线性系统

或 1 G ( jω ) = − N(X ) (8 − 27)
(8-26)
非线性特性的负倒描述函数
对于某一个特定的X 对于某一个特定的 0及ω0，式(8-26)或或成立，式(8-27)成立，这相当于线性系统中 G(jω) = -1 成立 ω 的情况，会产生等幅的周期性振荡。式中1/N(X)为描述函数的负倒特性，它相当于线性为描述函数的负倒特性，为描述函数的负倒特性系统的临界点（，）系统的临界点（-1，j0）。
−
1 N(X )
Re
G ( jω )
− 0.3 K Re[G ( jω )] = 1 + 0.05ω 2 + 0.0004ω 4
− K (1 − 0.02ω 2 ) Im[G ( jω )] = ω (1 + 0.05ω 2 + 0.0004ω 4 )
令 Im[G(jω)]=0，得 Im[G(jω)]=0
因此，因此，可以认为能够通过线性部分又反馈到非线性环节输入端的信号只是基波正弦信号，这个结果，环节输入端的信号只是基波正弦信号，这个结果，恰与前面的假定相吻合。因此，恰与前面的假定相吻合。因此，自振荡时可认为系统各部分的输入输出量均是基波频率的正弦量。统各部分的输入输出量均是基波频率的正弦量。在上述的条件下，在上述的条件下，可以用非线性环节的描述函数近似表示非线性环节的特性，数近似表示非线性环节的特性，线性环节的特性可用频率特性表示，此时非线性系统的方框图如图8用频率特性表示，此时非线性系统的方框图如图 25所示。所示。所示
扰动使 X ↑→ a移到c → 进入稳定区 X ↓→ 回到a点 a点 : 扰动使X ↓→ a移到d → 进入不稳定区 ↑→回到a点 X

非线性环节的描述函数分析

上式相等的条件与下式等价：
| G( j)N ( X ) | 1 N ( X ) G( j)
由上页式
| G( j)N ( X ) | 1 N ( X ) G( j)
可以得到： 1+G(jω)N(X)=0
可写成： G( j) 1
N(X)
上式即为非线性系统产生自持振荡的条件，由此可以得到非线性系统的乃奎斯特判据。
根据自持振荡产生的条件，得到临界增益K：
K 1 N(X) 4
2
1
1
1
2
2
2
1.非线性系统的稳定性判据
当非线性系统产生自持振荡时，它仅与系统的结构和参数有关，而与输入信号和初始条件无关。令r(t)=0,且 G(s)为最小相位系统，则当系统产生自持振荡时，假如在非线性环节的输入端的信号e(t)=Xsin(ωt)，则在其输出端的信号为：
u1(t) | N(X ) | X sin(t N(X ))
P1和P3是稳定的自持振荡，P2是不稳定的振荡。 P1处振幅大，频率低， P3 处振幅小，频率高。
例题9-7
一个具有非线性元件串联的非线性控制系统如下图，分析当K=π时系统产生自持振荡的频率和幅值，并研究产生自持振荡时的临界增益K。
解：首先对非线性串联环节的等效特性进行分析。
当|e|<1，e1=0,u=0. 当e>1,e1=2,u=k(e-1)=1
G0( j)
K
j(( j)2 ( j) 1)
2
K
(1 2 )2
K 12 j3 12
当K = π时，在交点处，
1 N(X) 4
X
1
1 1 2
X
求得：X 8 4 3 （取“+” 号）此时ω=1

第4.5 描述函数法

1 , e(t ) 0 sign(e(t )) 1 , e(t ) 0
（4.86b）
式中（4.86c）
(3) 饱和特性的描述函数
饱和特性在正弦输入下的输出波形如图4.21所示。
图4.21 饱和特性正弦输入下的输出波形

其中A1=0
4 B1 π
x(t ) sinω td(ω t )
e(t )
N
x(t ) G(s)
c(t )
图4.17 非线性系统
当输入正弦函数时，其输出x(t)中含有与输入信号频率相同的基波分量，还有其它高频分量，但没有常值分量。线性部分在x(t)作用下产生的响应c(t)中，也会包含这些高频分量。但很多线性系统具有低通滤波特性,c(t)中的高频分量相对于基波分量要小得多。在这种情况下，可以只考虑x(t)中基波分量的作用，用来近似分析非线性系统的特性，这就是描述函数法的基本思想。
1.描述函数的定义对于很多非线性环节，当输入信号为正弦函数 e(t ) A sinω t 时，输出量x(t)一般都不是同频率的正弦波，而是一个非正弦的周期函数，其周期与输入信号的周期相同，一般可以展开为傅里叶级数 A0 (4.80) x(t ) ( Ai cos iω t Bi siniω t )
（4）死区特性的描述函数死区特性在正弦输入下的输出波形如图4.24所示。
图4.24 死区特性正弦输入下的输出波形
可见，是单值奇函数，具有半周期的对称性，所以 A1=0

42 B1 x (t ) sin ω td (ω t ) π 0
在1/4周期内，x(t)的数学表达式为
0, 0 ωt α 1 x(t ) k ( A sin ω t a ), α ω t 1 2

非线性系统的分析

非线性系统理论1.1.非线性系统特点非线性系统与线性控制系统相比，具有一系列新的特点］，线性系统满足叠加原理，而非线性控制系统不满足叠加原理。

图8-1带滤波器的非线性系统2•非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件以及外加输入有关系。

例：对于一由非线性微分方程 X=-x(1 ―) 描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即x 1=0和x 2=1。

将上式改写为=—dt x(l - x)设20吋，系统的初态为咛积分上式可得dx3•非线性系统可能存在自激振荡现象的情况： (1) 如图跳跃谐振和多值响应8 — 3 所砂)其输出存在极其复杂图8—3跳跃谐振与多值响应(2)分频振荡和倍频振荡非线性系统在正弦信号作用下，其稳态分量除产生同频率振荡外,和分频振荡。

如图 8—4所示波形。

还可能产生倍频振荡4•非线性系统在正弦信号作用下, 的输入信号倍频信号分频信图8—4倍频撮荡与分频振荡8.1.2 研究非线性系统的意义与方法1•研究非线性系统的意义1）实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。

这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果不一致。

线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响。

2）非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良影响。

2•研究非线性系统的方法1）相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。

通过绘制控制系统相轨迹,达到分析非线性系统特性的方法。

2）描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。

它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。

3）计算机求解法是利用计算机运算能力和高速度对非线性微分方程的一种数值解法。

8.2典型非线性特性的数学描述及其对系统性能的影响8.2.1饱和特性在电子放大器中常见的一种非线性，如图8-5所示，饱和装置的输入特性的数学描述如下：［辰。

sig 滋(f)8.2.2死区特性死区特性也称为不灵敏区，如图8-6所示。

第七章__非线性系统分析

输出
铁磁部件的元件
输入
电液伺服阀中的力矩马达
输出
非单值非线性
输入
7、静摩擦与动摩擦
静摩擦 M1
M2
Mf
动摩擦
0
x
直流电动机的方框图
摩擦力矩示意图
摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个很重要的非线性因素。它的影响，从静态方面看，相当于在执行机构中引入了死区，从而造成了系统的静差，这一点和死区的影响相类似。
第七章非线性系统分析
☆非线性数学模型的线性化 ☆典型非线性特性 ☆描述函数与典型环节描述函数 ☆用描述函数分析非线性系统 ☆改进非线性系统性能的方法
第一节非线性数学模型的线性化
绝大多数物理系统在参数某些范围内呈现出线性特性。当参数范围不加限制时，所有的物理系统都是非线性的。
对每个系统都应研究其线性特性和相应的线性工作范围。
D(s) 1 N( A)G(s) 0
N ( A) 1
G(s) 1 N ( A)
负倒描述函数（描述函数负倒特性)
1
?
N ( A)
线性系统
1 G(s) 0
G(s) 1
(乃奎斯特判据) 若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是 G(j) 轨迹不包围G平面的(-1,j0)。
第三节描述函数与典型环节描述函数
一、描述函数
X sint
系统或元件
y(t )
将 y(t) 表示为富氏级数形式

y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1

A0 Yn sin(nt n ) n1
式中：
An

1

2

西工大、西交大自动控制原理第八章非线性系统_03_描述函数法_1描述函数

A3
[例1] 故：该非线性元件的描述函数为
N ( A) B1 jA1 1 3 A2 A 2 16
y
6
3
123 x
N ( A)
4 2
12345 A
二、应用描述函数法的基本假设条件
基本条件：非线性环节正弦输入的响应输出高次谐波可忽略
基本条件成立的条件：
A 经结构图等效变换，非线性系统可简化成如下典型结构
在线性环节和非线性环节两种情况下的输出。
1、描述函数定义
设其输入为正弦函数，即：x(t) Asint
则其输出 y(t) 为非正弦周期函数，
对非正弦周期函数 y(t) ，可以展开成傅立叶级数：
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) A0 Yn sin(nt n )
1
arcsin
h A
,
2
arcsin mh , A
y(t) 为奇对称函数，但非奇函数，有 A0 0
因其在一个周期内对称：
A1
2
2 M costdt 2Mh (m 1)
1
A
2
B1
2
M
sintdt
2M
Hale Waihona Puke 11 mh2
A
1
h
2
A
五、典型非线性特性的描述函数
死区滞环继电非线性环节特性的描述函数
)2
1
五、典型非线性特性的描述函数
死区(不灵敏区)特性的描述函数
负倒特性
1 N ( A)
2K
2
sin1(
a ) A
a A
1
(
a A
)2
1
当 A a时

重庆大学(自动控制原理)课后答案,考研的必备

第一章绪论重点：1．自动控制系统的工作原理；2．如何抽象实际控制系统的各个组成环节；3．反馈控制的基本概念；4．线性系统（线性定常系统、线性时变系统）非线性系统的定义和区别；5．自动控制理论的三个基本要求：稳定性、准确性和快速性。

第二章控制系统的数学模型重点：1.时域数学模型--微分方程；2.拉氏变换；3.复域数学模型--传递函数；4.建立环节传递函数的基本方法；5.控制系统的动态结构图与传递函数；6.动态结构图的运算规则及其等效变换；7.信号流图与梅逊公式。

难点与成因分析：1.建立物理对象的微分方程由于自动化专业的本科学生普遍缺乏对机械、热力、化工、冶金等过程的深入了解，面对这类对象建立微分方程是个难题，讲述时2.动态结构图的等效变换由于动态结构图的等效变换与简化普遍只总结了一般原则，而没有具体可操作的步骤，面对变化多端的结构图，初学者难于下手。

应引导学生明确等效简化的目的是解除反馈回路的交叉，理清结构图的层次。

如图1中右图所示系统存在复杂的交叉回路，若将a点移至b点，同时将c点移至d点，同理，另一条交叉支路也作类似的移动，得到右图的简化结构图。

图1 解除回路的交叉是简化结构图的目的3.梅逊公式的理解梅逊公式中前向通道的增益K P 、系统特征式∆及第K 条前向通路的余子式K ∆之间的关系仅靠文字讲述，难于理解清楚。

需要辅以变化的图形帮助理解。

如下图所示。

图中红线表示第一条前向通道，它与所有的回路皆接触，不存在不接触回路，故11=∆。

第二条前向通道与一个回路不接触，回路增益44H G L -=，故4421H G +=∆。

第三条前向通道与所有回路皆接触，故13=∆。

第三章时域分析法重点：1. 一、二阶系统的模型典型化及其阶跃响应的特点；2. 二阶典型化系统的特征参数、极点位臵和动态性能三者间的相互关系；3. 二阶系统的动态性能指标（r t ，p t ，%σ，s t ）计算方法；4. 改善系统动态性能的基本措施；5. 高阶系统主导极点的概念及高阶系统的工程分析方法；6. 控制系统稳定性的基本概念，线性定常系统稳定的充要条件；7. 劳斯判据判断系统的稳定性；8. 控制系统的误差与稳态误差的定义；9. 稳态误差与输入信号和系统类型之间的关系；10. 计算稳态误差的终值定理法和误差系数法；11. 减少或消除稳态误差的措施和方法。

饱和非线性的描述函数

性化后的等效线性环节，可以作为一个具有实数或复数增益的放大环节来处理，于
是非线性系统可以看成是一个等效的线性系统，并可以应用线性理论中的频率判据来判断闭环系统的稳定性。
如图所示系统，闭环系统的频率特性为
( jω) C ( jω) N ( A)G ( jω) R( jω) 1 N ( A)G ( jω)
实际上，在确定自振荡频率ω和幅值A时，常用基准描述函数的负倒数，对于饱和非线性，它的基准描述函数的负倒数为， 1 N 0 ( A) (-1，j０)点，随着把它画在复平面上，是一条起自的增长，沿负实轴向 1 左延伸的直线, A B0 ( ) a
a
A
2
当输入为正弦函数x(t)＝Asinωt时，死区非线性及其输入输出波形如图所示。
0 ωt
π ωt π θ1 2 π θ1 ωt π
π 2
y (t 为奇对称，但非单值 )
K B( A) n π π 2a 2a a a 1 (1 ) K n B0 ( A) sin (1 ) 2(1 ) A A A A 2 K 4a a A C ( A) n ( 1) K nC0 ( ) πA A a
K n A sinωt y (t ) K nα
0 ωt θ1 π θ1 ωt 2
（ θ sin1 ） 1
由于y(t)为单值奇对称函数，故有，
2K n a C ( A) 0 ， B( A) (θ1 cosθ1 ) π A
其描述函数为
a A
2K n N ( A) π
（7）（8）

式(6)可写成矢量形式:
输入正弦函数也写成矢量形式，有