非线性系统的描述函数分析
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1 饱和特性对系统稳定性的影响
饱和特性的负倒描述函数为
1
N (A)
2k
arcsin
a
a
AA
1
a A
2
当 A a 时， 1 1
N ( A) k
A a
16
当 A 时， 1 N ( A)
饱和特性的负倒描述函数曲线在Nyquist图中是
负实轴上
,
1 k
区段。
17
稳定交点，代
Im
表稳定极限环
A
1 N ( A)
Aa
1 0
k
G( j)
Re
Leabharlann Baidu18
Im
A
1 N ( A)
Aa
b2 b1
0
1
k
G( j)
b1 为不稳定点 b2 为稳定点 Re 条件稳定系统
19
Im
A
1 N ( A)
Aa
1
0
k
G( j)
Re 系统稳定， 无极限环
20
【例7-18】 带有饱和特性的系统方块图如下，
12
（3）
dB
20 lg 1 40 N ( A) 20
20lg G( j)
0
a点对应自持振荡
G( j)
b
1
a
A N ( A)
-20 -200°
-160°
-120°
-80°
13
（4）
b、d点对应稳定自持振荡
dB
20 lg 1 40 N ( A) 20
20lg G( j)
0
-20
-200°
a
cb
d
0 -20
-200°
非线性系统稳定 不产生自持振荡
1 N ( A)
A
G( j)
-160° -120° -80°
11
（2）
dB
20 lg 1 40 N ( A) 20
20lg G( j)
0 -20
-200°
非线性系统不稳定 不产生自持振荡
G( j)
1 A N ( A)
-160° -120° -80°
点轨迹线 1 ，则非线性系统稳定，不可能产生 N ( A)
自持振荡。
4
Im
1 N ( A)
A
0
G( j)
非线性系统稳定 不产生自持振荡
Re
角频率 增大方向 振幅 A 增大方向
5
（2） 如果线性部分频率特性 G( j) 由 0 向
变化时，非线性系统负倒描述特性 1
N ( A)
始终位于曲线 G( j) 的右侧，即曲线 G( j)包围临界
即系统存在一个振幅为 A0、角频率为0 的等幅振荡，
或者说非线性系统的自持振荡。
这相当于线性系统开环频率特性 G( j) 通过其
稳定临界点 (1, j0) 的情形。
2
这样， 1 在复平面的坐标便是非线性系统 N ( A0 )
的临界稳定点。 非线性系统的临界稳定点是随着输入信号的振幅
A 的变化而变化的。
非线性系统负倒描述函数曲线 1 是通过临界 N ( A)
稳定点的轨迹。
3
在线性部分为最小相位的前提下，给出Nyquist图 中的非线性系统稳定性判据：
（1） 如果线性部分频率特性 G( j) 由 0 向
变化时，非线性系统负倒描述特性 1
N ( A)
始终位于曲线 G( j) 的左侧，即曲线 G( j)不包围临界
e
x
K
c
-
s(0.1s 1)(0.2s 1)
饱和特性的参数为：a 1 k 2 试求当开环增益 K 15时，自持振荡的振幅 A0 和 角频率 0 。 并求出使系统不产生自持振荡的最大
开环增益 K 的值。
21
Im
Aa
1 N ( A)
1 1 0
2
G( j)
Re
22
2 死区特性对系统稳定性的影响
死区特性的负倒描述函数为
1 0
k
Re
24
表示自持振荡 Im
A
1
b2
N ( A)
b1
0
1
k
G( j)
b2 为不稳定点 b1 为稳定点 Re
25
3 间隙特性对系统稳定性的影响
间隙特性的负倒描述函数为
1 N ( A)
k
2
arcsin
1
2
A
2 1
2
A
A
1
A
j
4k A
A
1
1
当 A 时， 1 j
9
注释
自持振荡的振幅
A0
是两条曲线交点处函数
1 N ( A)
的自变元 A 的值；
自持振荡的角频率 0 是两条曲线交点处函数 G( j)
的自变元 的值。
对应于自持振荡（极限环）的交点！
10
Nichols图中的非线性系统稳定性判据
（1）
dB
20 lg 1 40 N ( A) 20
20lg G( j)
1 N ( A)
e
-160° -120°
G( j)
-80°
14
结论
描述函数法是一种工程近似方法。 当曲线 G( j)
与曲线 1 垂直相交，或几乎垂直相交，而且， N ( A)
非线性元件的非正弦周期输出中的高次谐波已被充分 滤波的情况下， 用描述函数法得出的结果是较好的。
15
7.6.2 典型非线性特性对系统稳定性 的影响
1
1
N (A)
A a
k
2k
arcsin
a
a
AA
1
a A
2
当 A a 时， 1 N ( A)
当 A 时， 1 1
N ( A) k
23
死区特性的负倒描述函数曲线在Nyquist图中是
负实轴上
,
1 k
区段。 振幅
A
的增大方向自左
向右。 如下图所示。
Im
a A
1 N ( A)
7.6.1 非线性系统的稳定性分析
r
e N (A) x G(s)
c
-
非线性系统产生自持振荡的必要条件为：
1 N(A)G( j) 0
或：
G( j)
1
称为非线性特性 的负倒描述函数
N ( A)
1
若正弦函数 A0 sin 0t 的振幅 A0及角频率 0
可使式
1 N(A)G( j) 0
成立，则正弦函数 A0 sin 0t 是此特征方程的一个解，
点轨迹线 1 ，则非线性系统不稳定。在任何扰动 N ( A)
作用下，该系统的输出将无限增大，导致系统无法正常 工作， 系统不可能产生自持振荡。
6
Im
G( j)
0
A
1 N ( A)
非线性系统不稳定 不产生自持振荡
Re
角频率 增大方向 振幅 A 增大方向
7
（3） 如果线性部分频率特性 G( j) 由 0 向
变化时，与非线性系统负倒描述特性 1
N ( A)
曲线相交， 即曲线 G( j) 通过临界点轨迹线上 A A0
时的临界点，或通过临界点轨迹线上 A A01 及 A A02 时的两个临界点，则非线性系统可能产生自持
振荡。
8
Im a点对应一个自持振荡
1
0 a
N ( A)
Ab
G( j)
Re
角频率 增大方向 振幅 A 增大方向
N ( A)
当 A 时， 1 1 j0
N ( A) k
26
间隙特性的负倒描述函数曲线位于复平面的第III 象限，如下图所示。
Im
1 k
0
Re
1
N ( A) A
27
对于线性部分为
G(s)
K
s(T1s 1)(T2s 1)
的系统，不同的 K 值，G( j)可能与曲线 1 相交，
饱和特性的负倒描述函数为
1
N (A)
2k
arcsin
a
a
AA
1
a A
2
当 A a 时， 1 1
N ( A) k
A a
16
当 A 时， 1 N ( A)
饱和特性的负倒描述函数曲线在Nyquist图中是
负实轴上
,
1 k
区段。
17
稳定交点，代
Im
表稳定极限环
A
1 N ( A)
Aa
1 0
k
G( j)
Re
Leabharlann Baidu18
Im
A
1 N ( A)
Aa
b2 b1
0
1
k
G( j)
b1 为不稳定点 b2 为稳定点 Re 条件稳定系统
19
Im
A
1 N ( A)
Aa
1
0
k
G( j)
Re 系统稳定， 无极限环
20
【例7-18】 带有饱和特性的系统方块图如下，
12
（3）
dB
20 lg 1 40 N ( A) 20
20lg G( j)
0
a点对应自持振荡
G( j)
b
1
a
A N ( A)
-20 -200°
-160°
-120°
-80°
13
（4）
b、d点对应稳定自持振荡
dB
20 lg 1 40 N ( A) 20
20lg G( j)
0
-20
-200°
a
cb
d
0 -20
-200°
非线性系统稳定 不产生自持振荡
1 N ( A)
A
G( j)
-160° -120° -80°
11
（2）
dB
20 lg 1 40 N ( A) 20
20lg G( j)
0 -20
-200°
非线性系统不稳定 不产生自持振荡
G( j)
1 A N ( A)
-160° -120° -80°
点轨迹线 1 ，则非线性系统稳定，不可能产生 N ( A)
自持振荡。
4
Im
1 N ( A)
A
0
G( j)
非线性系统稳定 不产生自持振荡
Re
角频率 增大方向 振幅 A 增大方向
5
（2） 如果线性部分频率特性 G( j) 由 0 向
变化时，非线性系统负倒描述特性 1
N ( A)
始终位于曲线 G( j) 的右侧，即曲线 G( j)包围临界
即系统存在一个振幅为 A0、角频率为0 的等幅振荡，
或者说非线性系统的自持振荡。
这相当于线性系统开环频率特性 G( j) 通过其
稳定临界点 (1, j0) 的情形。
2
这样， 1 在复平面的坐标便是非线性系统 N ( A0 )
的临界稳定点。 非线性系统的临界稳定点是随着输入信号的振幅
A 的变化而变化的。
非线性系统负倒描述函数曲线 1 是通过临界 N ( A)
稳定点的轨迹。
3
在线性部分为最小相位的前提下，给出Nyquist图 中的非线性系统稳定性判据：
（1） 如果线性部分频率特性 G( j) 由 0 向
变化时，非线性系统负倒描述特性 1
N ( A)
始终位于曲线 G( j) 的左侧，即曲线 G( j)不包围临界
e
x
K
c
-
s(0.1s 1)(0.2s 1)
饱和特性的参数为：a 1 k 2 试求当开环增益 K 15时，自持振荡的振幅 A0 和 角频率 0 。 并求出使系统不产生自持振荡的最大
开环增益 K 的值。
21
Im
Aa
1 N ( A)
1 1 0
2
G( j)
Re
22
2 死区特性对系统稳定性的影响
死区特性的负倒描述函数为
1 0
k
Re
24
表示自持振荡 Im
A
1
b2
N ( A)
b1
0
1
k
G( j)
b2 为不稳定点 b1 为稳定点 Re
25
3 间隙特性对系统稳定性的影响
间隙特性的负倒描述函数为
1 N ( A)
k
2
arcsin
1
2
A
2 1
2
A
A
1
A
j
4k A
A
1
1
当 A 时， 1 j
9
注释
自持振荡的振幅
A0
是两条曲线交点处函数
1 N ( A)
的自变元 A 的值；
自持振荡的角频率 0 是两条曲线交点处函数 G( j)
的自变元 的值。
对应于自持振荡（极限环）的交点！
10
Nichols图中的非线性系统稳定性判据
（1）
dB
20 lg 1 40 N ( A) 20
20lg G( j)
1 N ( A)
e
-160° -120°
G( j)
-80°
14
结论
描述函数法是一种工程近似方法。 当曲线 G( j)
与曲线 1 垂直相交，或几乎垂直相交，而且， N ( A)
非线性元件的非正弦周期输出中的高次谐波已被充分 滤波的情况下， 用描述函数法得出的结果是较好的。
15
7.6.2 典型非线性特性对系统稳定性 的影响
1
1
N (A)
A a
k
2k
arcsin
a
a
AA
1
a A
2
当 A a 时， 1 N ( A)
当 A 时， 1 1
N ( A) k
23
死区特性的负倒描述函数曲线在Nyquist图中是
负实轴上
,
1 k
区段。 振幅
A
的增大方向自左
向右。 如下图所示。
Im
a A
1 N ( A)
7.6.1 非线性系统的稳定性分析
r
e N (A) x G(s)
c
-
非线性系统产生自持振荡的必要条件为：
1 N(A)G( j) 0
或：
G( j)
1
称为非线性特性 的负倒描述函数
N ( A)
1
若正弦函数 A0 sin 0t 的振幅 A0及角频率 0
可使式
1 N(A)G( j) 0
成立，则正弦函数 A0 sin 0t 是此特征方程的一个解，
点轨迹线 1 ，则非线性系统不稳定。在任何扰动 N ( A)
作用下，该系统的输出将无限增大，导致系统无法正常 工作， 系统不可能产生自持振荡。
6
Im
G( j)
0
A
1 N ( A)
非线性系统不稳定 不产生自持振荡
Re
角频率 增大方向 振幅 A 增大方向
7
（3） 如果线性部分频率特性 G( j) 由 0 向
变化时，与非线性系统负倒描述特性 1
N ( A)
曲线相交， 即曲线 G( j) 通过临界点轨迹线上 A A0
时的临界点，或通过临界点轨迹线上 A A01 及 A A02 时的两个临界点，则非线性系统可能产生自持
振荡。
8
Im a点对应一个自持振荡
1
0 a
N ( A)
Ab
G( j)
Re
角频率 增大方向 振幅 A 增大方向
N ( A)
当 A 时， 1 1 j0
N ( A) k
26
间隙特性的负倒描述函数曲线位于复平面的第III 象限，如下图所示。
Im
1 k
0
Re
1
N ( A) A
27
对于线性部分为
G(s)
K
s(T1s 1)(T2s 1)
的系统，不同的 K 值，G( j)可能与曲线 1 相交，